Zagonetka sa brojevima od 1 do 9. Kako riješiti magične kvadrate? Koja su rješenja?

Postoje različite tehnike za konstruisanje kvadrata jednostrukog i dvostrukog pariteta.

Kako riješiti magične kvadrate?

Slagalica poput Sudokua se obično naziva magični kvadrat. Ovo je kvadrat čije su ćelije ispunjene brojevima tako da je zbroj na kraju bilo kojeg reda, stupca i dijagonale isti. U slagalicama s čarobnim kvadratima nedostaju neki brojevi i morate ih rasporediti na način da zadovoljite gore opisani uvjet jednakog zbroja. Kako riješiti magične kvadrate?

Metode rješavanja magičnih kvadrata

Da bi rješenje magičnih kvadrata bilo ispravno, morate znati sam magični zbir koji treba dobiti pri sabiranju brojeva u redove, stupce i dijagonale. Nakon toga, postavljanje brojeva koji nedostaju postaje mnogo lakše. Kako pronaći ovaj iznos?

Metoda 1

Najjednostavnija verzija magičnog kvadrata je kada je jedan od redova, jedan od stupaca ili jedna od dijagonala potpuno ispunjen brojevima. U ovom slučaju, ostaje samo izračunati zbir ovih brojeva i odabrati rješenja.

Metoda 2

Zbir brojeva na krajevima redova, stupaca i dijagonala može se izračunati pomoću posebnih formula. U ovom slučaju, formula za kvadrate s parnim brojem ćelija u jednom redu će se razlikovati od kvadrata s neparnim brojem ćelija.

Dakle, za parne kvadrate formula je prikladna:

• n + ((n+1) * n * (n-1) / 2) , gdje je n broj ćelija u jednom redu.

Za neparne kvadrate formula je:

• n * (n 2 +1) / 2, gdje je n i broj ćelija u jednom redu.

Primjer rješenja

Razmotrimo rješenja magičnog kvadrata od devet ćelija sa brojevima od 1 do 9. Prvo izračunajmo zbroj koji treba dobiti na krajevima. Imamo 3 ćelije u jednom redu, odnosno n = 3. Zamijenite vrijednost u formulu:

• 3 * (3 2 +1) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15

Sada biramo brojeve tako da zbir bude 15.

Zatim, algoritam će zahtijevati malo prostorne mašte. Stavite broj 1 na sredinu gornje linije. Svaki sljedeći broj stavljamo desno dijagonalno prema gore. Pokušavamo staviti 2. Ali tamo nema ćelija, ako zamijenimo još jedan identičan zamišljeni kvadrat iznad našeg kvadrata, tada će broj 2 biti u donjem desnom kutu ovog
novi trg. Prenosimo ga na naš kvadrat i postavljamo u donji desni ugao. Također stavljamo broj 3 s desne strane dijagonalno prema gore - i tu opet nema ćelije, pomoću zamišljenog kvadrata saznajemo da je njegovo mjesto u sredini lijevog stupca. Po istom principu stavljamo broj 4, ali ovu ćeliju zauzima jedan - u ovom slučaju ga stavljamo direktno ispod broja 3. Broj 5 dijagonalno gore i desno od 4 je u samom centru, a broj 6 je u gornjem desnom uglu. Broj 7 je, uz pomoć mašte, trebao završiti u donjem lijevom uglu. Ali tamo već postoji 4, pa ga stavljamo direktno ispod broja 6. Broj 8 se pojavljuje uz pomoć zamišljenog kvadrata u gornjem lijevom uglu, a broj 9 u preostaloj ćeliji u sredini desnog stupca . Opći algoritam je sljedeći: stavite sljedeći broj u gornjem desnom kutu dijagonalno, ako nema mjesta, koristite zamišljeni kvadrat, a ako je ćelija zauzeta, stavite broj direktno ispod prethodnog.

Volim igre u kojima moraš razmišljati. Stoga se naša serija „top 10“ članaka glatko pretvara u zagonetke. Danas ću govoriti o deset zagonetki s brojevima. Kada sam požurio da sastavim ovu ocjenu, suočio sam se s problemom pronalaska deset dobrih igara, uprkos činjenici da u App Store-u ima tona digitalnih zagonetki! Loša stvar je što ima puno klonova, ponavljanja i nekvalitetnih rukotvorina... Ali kada je vrh sastavljen, shvatio sam da će svako u njemu pronaći nešto novo! Čak sam i ja upoznao tri odlične igre. Idi!

Trojke!

Na terenu su brojevi. Igrač može pomicati sve brojeve u bilo kojem od 4 smjera. Štaviše, ako je kretanje bilo kojeg reda ili stupca ometeno zidom i postoje:

a) identični brojevi veći ili jednaki 3
b) 1 i 2

zatim se sabiraju i umjesto dva broja pojavljuje se treći - zbir. Cilj je osvojiti što više bodova. Igra je beskonačna, ali je jako teško postići puno poena.

Nakon izlaska Threes! App Store je bio preplavljen klonovima pod imenom “2048”.

Shikaku

Jednostavna i ne-pop slagalica od kreatora Sudokua. Cilj ove igre je podijeliti polje s brojevima na pravokutnike tako da površina pravokutnika bude jednaka broju unutar njega. Postoji samo jedna implementacija ove igre za iPad.

Numtris: igra logike i brojeva

Ovo je originalna avanturistička igra. Tetris sa brojevima. Brojevi padaju odozgo i trebate ih prikupiti prema principu trojki (1 i 2 će dati 3) ili ih ukloniti prikupljanjem nekoliko identičnih (na primjer, četiri identične četvorke). Numtris ima punu kampanju sa mnogo misija. Misije su različite: od izdržanja 40 sekundi do ubijanja čudovišta... Možete se takmičiti sa prijateljima i na mreži i na istom iPadu.

Igra je vrlo elegantna sa lijepom grafikom. Preporučujem da ga isprobate, jer je besplatan.

Besplatno preuzmite Numtris (dostupne kupovine u aplikaciji)

GREG — Matematička slagalica

Zanimljiva igra za brzinu i mogućnost brzog dodavanja brojeva. Na polju 4 sa 4 nalaze se brojevi. Od ovih brojeva potrebno je birati zbir tako da dobijete broj u krugu na vrhu. Čim se broj prikupi, on se mijenja i morate ponovo odabrati brojeve. Što manje koristite neke brojeve na terenu, oni se više zagrevaju... Posle 5 ovakvih „zagrevanja“ igra se može završiti. Reset se dešava nakon svakog nivoa. Na kraju vas igra nagrađuje nekim naslovom. Možete li nokautirati "matematičkog genija"?

Postoji nezamisliv broj matematičkih zagonetki. Svaki od njih je jedinstven na svoj način, ali njihova ljepota leži u činjenici da je za rješavanje neminovno potrebno doći do formula. Naravno, možete ih pokušati riješiti, kako kažu, ali to će biti jako dugo i praktično neuspješno.

Ovaj članak će govoriti o jednoj od ovih zagonetki, tačnije o čarobnom kvadratu. Detaljno ćemo pogledati kako riješiti magični kvadrat. 3. razred opšteobrazovnog programa, naravno, to prolazi, ali možda nisu svi razumjeli ili se uopće ne sjećaju.

Šta je ovo misterija?

Ili, kako se još naziva, magija, je tabela u kojoj je broj kolona i redova isti, a svi su ispunjeni različitim brojevima. Glavni zadatak je da se ovi brojevi sabiraju okomito, vodoravno i dijagonalno do iste vrijednosti.

Osim magičnog kvadrata, postoji i polumagični kvadrat. To implicira da je zbir brojeva isti samo vertikalno i horizontalno. Magični kvadrat je „normalan“ samo ako se njime popuni.

Postoji i takva stvar kao što je simetrični magični kvadrat - to je kada je vrijednost zbroja dvije znamenke jednaka, dok se nalaze simetrično u odnosu na centar.

Takođe je važno znati da kvadrati mogu biti bilo koje veličine osim 2 sa 2. Kvadrat 1 sa 1 se takođe smatra magičnim, pošto su ispunjeni svi uslovi, iako se sastoji od jednog broja.

Dakle, upoznali smo se s definicijom, a sada razgovarajmo o tome kako riješiti magični kvadrat. Nastavni plan i program za 3. razred teško da će sve objasniti tako detaljno kao ovaj članak.

Koja su rješenja?

Oni ljudi koji znaju riješiti magični kvadrat (razred 3 sigurno zna) odmah će reći da postoje samo tri rješenja, i svako od njih je pogodno za različite kvadrate, ali se ipak ne može zanemariti četvrto rješenje, odnosno „nasumično ” . Uostalom, u određenoj mjeri postoji mogućnost da će neznalica ipak uspjeti riješiti ovaj problem. Ali bacit ćemo ovu metodu u dugu kutiju i prijeći direktno na formule i metode.

Prvi način. Kada je kvadrat neparan

Ova metoda je prikladna samo za rješavanje kvadrata koji ima neparan broj ćelija, na primjer, 3 sa 3 ili 5 sa 5.

Dakle, u svakom slučaju, u početku je potrebno pronaći magičnu konstantu. Ovo je broj koji se dobija zbrajanjem brojeva dijagonalno, okomito i horizontalno. Izračunava se pomoću formule:

U ovom primjeru razmotrit ćemo kvadrat tri puta tri, pa će formula izgledati ovako (n je broj stupaca):

Dakle, imamo trg ispred sebe. Prvo što treba da uradite je da unesete broj jedan u sredinu prvog reda odozgo. Svi naredni brojevi moraju biti postavljeni jedan kvadrat udesno dijagonalno.

Ali ovdje se odmah postavlja pitanje: kako riješiti magični kvadrat? Malo je vjerovatno da će treći razred koristiti ovu metodu, a većina će imati problem, kako to učiniti na ovaj način ako ova ćelija ne postoji? Da biste sve učinili ispravno, morate uključiti svoju maštu i nacrtati sličan čarobni kvadrat na vrhu i ispostavit će se da će broj 2 biti u njemu u donjoj desnoj ćeliji. To znači da u našem kvadratu upisujemo dva na istom mjestu. To znači da moramo uneti brojeve tako da zbir bude 15.

Naredni brojevi se unose na potpuno isti način. To jest, 3 će biti u centru prve kolone. Ali neće biti moguće unijeti 4 koristeći ovaj princip, jer već postoji jedinica na njenom mjestu. U tom slučaju stavite broj 4 ispod 3 i nastavite. 5 je u centru kvadrata, 6 je u gornjem desnom uglu, 7 je ispod 6, 8 je u gornjem levom uglu, a 9 je u centru donje linije.

Sada znate kako riješiti magični kvadrat. Položio sam Demidov 3. razred, ali ovaj autor je imao nešto jednostavnije zadatke, međutim, poznavajući ovu metodu, moći ćete da rešite svaki sličan problem. Ali ovo je ako je broj kolona neparan. Ali šta da radimo ako, na primer, imamo kvadrat 4 sa 4? O tome više u nastavku teksta.

Drugi način. Za kvadrat dvostrukog pariteta

Kvadrat dvostrukog pariteta je onaj čiji se broj kolona može podijeliti sa 2 i 4. Sada ćemo razmotriti kvadrat 4 sa 4.

Dakle, kako riješiti magični kvadrat (3. razred, Demidov, Kozlov, Tonkikh - zadatak u udžbeniku matematike) kada je broj njegovih stupaca 4? Vrlo je jednostavno. Lakše nego u prethodnom primjeru.

Prije svega, nalazimo magičnu konstantu koristeći istu formulu koja je data prošli put. U ovom primjeru, broj je 34. Sada trebate rasporediti brojeve tako da zbroj po vertikali, horizontali i dijagonali bude isti.

Prije svega, trebate obojiti neke ćelije, to možete učiniti olovkom ili u svojoj mašti. Prefarbamo sve uglove, odnosno gornju lijevu ćeliju i gornju desnu, donju lijevu i donju desnu. Ako je kvadrat bio 8 sa 8, onda morate prefarbati ne jedan kvadrat u uglu, već četiri, dimenzija 2 sa 2.

Sada morate obojiti središte ovog kvadrata, tako da njegovi uglovi dodiruju uglove već zasjenjenih ćelija. U ovom primjeru dobićemo kvadrat 2 sa 2 u centru.

Počnimo da ga popunjavamo. Popunit ćemo s lijeva na desno, redoslijedom kojim se ćelije nalaze, samo ćemo vrijednost unijeti u zasjenjene ćelije. Ispada da u gornji levi ugao upišemo 1, u desni ugao popunimo centralni sa 6, 7 i zatim 10, 11. Donji levi 13 i 16 u desnom punjenje je jasno.

Preostale ćelije popunjavamo na isti način, samo u opadajućem redoslijedu. Odnosno, pošto je zadnji unet broj bio 16, onda na vrhu kvadrata pišemo 15. Sledeće je 14. Zatim 12, 9 i tako dalje, kao što je prikazano na slici.

Sada znate drugi način rješavanja čarobnog kvadrata. Treća godina će se složiti da je kvadrat dvostrukog pariteta mnogo lakše riješiti od ostalih. Pa, prelazimo na posljednju metodu.

Treći način. Za kvadrat jednostrukog pariteta

Kvadrat jednostrukog pariteta je kvadrat čiji se broj stupaca može podijeliti sa dva, ali ne sa četiri. U ovom slučaju to je kvadrat 6 sa 6.

Dakle, izračunajmo magičnu konstantu. Jednako je sa 111.

Sada moramo vizualno podijeliti naš kvadrat na četiri različita kvadrata 3 x 3. Dobit ćete četiri mala kvadrata dimenzija 3 x 3 u jednom velikom 6 x 6. Nazovimo gornji lijevi A, donji desni - B, gornji. desni - C i donji lijevi - D.

Sada trebate riješiti svaki mali kvadrat koristeći prvu metodu danu u ovom članku. Ispada da će u kvadratu A biti brojevi od 1 do 9, u B - od 10 do 18, u C - od 19 do 27 i D - od 28 do 36.

Nakon što riješite sva četiri kvadrata, počinje rad na A i D. Potrebno je vizualno ili olovkom istaknuti tri ćelije u kvadratu A, i to: gornju lijevu, središnju i donju lijevu. Ispostavilo se da su označeni brojevi 8, 5 i 4. Na isti način morate odabrati kvadrat D (35, 33, 31). Sve što ostaje da se uradi je da promenite izabrane brojeve sa kvadrata D na A.

Sada znate posljednji način da riješite magični kvadrat. Ocjeni 3 najviše se ne sviđa kvadrat jednostrukog pariteta. I to nije iznenađujuće, od svih predstavljenih je najkompleksniji.

Zaključak

Nakon što ste pročitali ovaj članak, naučili ste kako riješiti magični kvadrat. Treći razred (Moro je autor udžbenika) nudi slične probleme sa samo nekoliko popunjenih ćelija. Nema smisla razmatrati njegove primjere, jer poznavajući sve tri metode možete lako riješiti sve predložene probleme.

Malo je ljudi voljelo matematiku u djetinjstvu, ali matematičke zagonetke na internetu uvijek postaju hit, jer njihovo rješavanje obično ne zahtijeva dubinsko znanje, već domišljatost i inovativno razmišljanje. Pozivamo vas da se testirate na pet glavnih ovogodišnjih logičkih zagonetki.

Zadatak br. 1

Kumar Ankit je pozvao korisnike Facebooka da izbroje koliko je trouglova prikazano na njegovom crtežu. Gotovo niko od korisnika nije se nosio s naizgled jednostavnim zadatkom brojanja cifara. Mnogi su blizu tačnog odgovora, ali većini nedostaje malo pažnje.

odgovor:

Unutar velikog trokuta se nalaze 24 trougla, nije teško izbrojati, ali većina korisnika nije obratila pažnju na još jedan trokut koji se krije u potpisu autora. Dakle, na slici je ukupno 25 trouglova.

Zadatak br. 2

Nesvakidašnji problem sa dva rješenja korisnicima interneta ponudili su kreatori stranice gotumble.com. Prema njihovim riječima, jedno rješenje zagonetke je jednostavnije, oko 10% ljudi ga može pronaći, ali samo jedna osoba od hiljadu može doći do drugog rješenja. Probajte sami.

odgovor:

Prvo rješenje sastoji se od dodavanja svakom sljedećem primjeru rezultata prethodnog. Dakle, dodajući 5 zbiru 2 i 5, dobijamo 12. Zbrajanjem 12 zbiru 3 i 6, dobijamo 21. I tako dalje. U ovom slučaju, tačan odgovor na slagalicu će biti 40.

I ovdje drugo rešenje, koji samo jedna osoba od hiljadu razumije, sastoji se od sabiranja prve cifre primjera s umnoškom dvije cifre:

2 + 2*5 = 12, 3 + 3*6 = 21, 8 + 8*11 = 96.

Zadatak br. 3

Imamo trokut koji se sastoji od četiri dijela, ali ako prerasporedimo dijelove, on se pojavljuje kao prazan kvadrat. Kako ovo može biti?

odgovor:

Ovo uopće nije optička iluzija. Sve se radi o različitim uglovima nagiba hipotenuze crvenog i tirkiznog trokuta - otuda i različite veličine figura.

Zadatak br. 4

Kolumnista Guardiana Alex Bellos pozvao je čitatelje da riješe problem koji je dio završnog ispita iz matematike u nekim zemljama. Prema statistici, samo jedna osoba od 10 to rješava.

Imamo cilindar oko kojeg je konac četiri puta namotan simetrično. Obim cilindra je 4 cm, a njegova dužina je 12 cm.

odgovor:

Zadatak se većini školaraca čini previše kompliciranim, ali u stvari, samo trebate shvatiti da okretanjem cilindra na ravninu dobivamo običan pravokutnik sa stranicama od 4 i 12 cm, koji se može podijeliti na četiri manja pravokutnika sa stranicama. od 4 i 3 cm u ovom slučaju, to će biti hipotenuza pravokutnog trokuta i njegova dužina u svakoj od četiri figure može se izračunati pomoću jednostavne školske formule, kao rezultat toga ukupna dužina konca je 20 centimetara.

Problem #5

I na kraju, najnovija matematička zagonetka koja je raznela društvene mreže. Prema autoru posta, on prikazuje zagonetku koja se daje kao bonus pitanje studentima u Singapuru. Sastavljači zagonetke predlažu proučavanje niza brojeva i popunjavanje četiri prazna prozora brojevima koji nedostaju.

odgovor:

Netizens je dugo bio zbunjen ovim problemom, ali čak ni ozbiljni matematičari nisu mogli da se nose s njim. A Ministarstvo obrazovanja Singapura se odreklo ovog zadatka, rekavši da on nema nikakve veze s tim. Dakle, najvjerovatnije je zagonetka bila samo nečija okrutna šala.