საშუალოების კანონი მარტივი სიტყვებით. საშუალო ღირებულებები. დიდი რიცხვების სუსტი კანონი

სიტყვები დიდი რიცხვების შესახებ ეხება ტესტების რაოდენობას - განიხილება შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების დიდი რაოდენობა ან შემთხვევითი ცვლადების დიდი რაოდენობის კუმულაციური მოქმედება. ამ კანონის არსი შემდეგია: თუმცა შეუძლებელია იმის პროგნოზირება, თუ რა მნიშვნელობას მიიღებს ერთი შემთხვევითი ცვლადი ერთ ექსპერიმენტში, თუმცა დიდი რაოდენობით დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის მოქმედების მთლიანი შედეგი კარგავს თავის შემთხვევით ხასიათს და შეუძლია. იწინასწარმეტყველა თითქმის საიმედოდ (ანუ მაღალი ალბათობით). მაგალითად, შეუძლებელია წინასწარ განსაზღვრო, რომელ მხარეს დაეცემა მონეტა. თუმცა, თუ თქვენ გადააგდებთ 2 ტონა მონეტას, მაშინ დიდი დარწმუნებით შეიძლება ითქვას, რომ მონეტების წონა, რომლებიც გერბთან ერთად დაეცა, არის 1 ტონა.

უპირველეს ყოვლისა, ეგრეთ წოდებული ჩებიშევის უტოლობა ეხება დიდი რიცხვების კანონს, რომელიც ცალკე ტესტში აფასებს შემთხვევითი ცვლადის ალბათობას, რომ მიიღოს მნიშვნელობა, რომელიც გადახრის საშუალო მნიშვნელობიდან არაუმეტეს მოცემული მნიშვნელობით.

ჩებიშევის უთანასწორობა. დაე Xარის თვითნებური შემთხვევითი ცვლადი, a=M(X) , ა დ(X) არის მისი დისპერსია. მერე

მაგალითი. მანქანაზე დამუშავებული ყდის დიამეტრის ნომინალური (ანუ საჭირო) მნიშვნელობა არის 5 მმ, და სხვაობა აღარ არის 0.01 (ეს არის აპარატის სიზუსტის ტოლერანტობა). გამოთვალეთ ალბათობა, რომ ერთი ბუჩქის დამზადებისას მისი დიამეტრის გადახრა ნომინალიდან ნაკლები იქნება 0.5 მმ .

გამოსავალი. დაე რ.ვ. X- წარმოებული ბუჩქის დიამეტრი. პირობით, მისი მათემატიკური მოლოდინი უდრის ნომინალურ დიამეტრს (თუ არ არის სისტემატური მარცხი აპარატის დაყენებაში): a=M(X)=5 და განსხვავება დ(X)≤0.01. ჩებიშევის უტოლობის გამოყენება ε = 0.5, ვიღებთ:

ამრიგად, ასეთი გადახრის ალბათობა საკმაოდ მაღალია და ამიტომ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ნაწილის ერთჯერადი წარმოების შემთხვევაში, თითქმის დარწმუნებულია, რომ დიამეტრის გადახრა ნომინალიდან არ აღემატება. 0.5 მმ .

ძირითადად, სტანდარტული გადახრა σ ახასიათებს საშუალოდშემთხვევითი ცვლადის გადახრა მისი ცენტრიდან (ანუ მისი მათემატიკური მოლოდინიდან). Იმიტომ, რომ ეს საშუალოდგადახრა, მაშინ ტესტირების დროს შესაძლებელია დიდი გადახრები (ხაზგასმით o). რამდენად დიდი გადახრებია პრაქტიკულად შესაძლებელი? ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადების შესწავლისას ჩვენ გამოვიყვანეთ „სამი სიგმის“ წესი: ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი. X ერთ ტესტშიპრაქტიკულად არ გადაუხვევს საშუალოდან უფრო მეტად ვიდრე 3σ, სადაც σ= σ(X)არის r.v-ის სტანდარტული გადახრა. X. ასეთი წესი გამოვყავით იმ ფაქტიდან, რომ მივიღეთ უტოლობა

.

მოდით ახლა შევაფასოთ ამის ალბათობა თვითნებურიშემთხვევითი ცვლადი Xმიიღეთ მნიშვნელობა, რომელიც განსხვავდება საშუალოდან არაუმეტეს სამჯერ სტანდარტული გადახრით. ჩებიშევის უტოლობის გამოყენება ε = 3σდა იმის გათვალისწინებით, რომ დ(X)=σ 2 , ვიღებთ:

.

Ამგვარად, ზოგადადჩვენ შეგვიძლია შევაფასოთ შემთხვევითი ცვლადის საშუალოდან გადახრის ალბათობა არაუმეტეს სამი სტანდარტული გადახრით რიცხვით 0.89 , ხოლო ნორმალური განაწილებისთვის შეიძლება გარანტირებული იყოს ალბათობით 0.997 .

ჩებიშევის უტოლობა შეიძლება განზოგადდეს დამოუკიდებელი იდენტურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადების სისტემაზე.

განზოგადებული ჩებიშევის უთანასწორობა. თუ დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები X 1 , X 2 , … , X ნ მ(X მე )= ადა დისპერსიები დ(X მე )= დ, მაშინ

ზე ნ=1 ეს უტოლობა გადადის ზემოთ ჩამოყალიბებულ ჩებიშევის უტოლობაში.

ჩებიშევის უტოლობა, რომელსაც დამოუკიდებელი მნიშვნელობა აქვს შესაბამისი ამოცანების გადასაჭრელად, გამოიყენება ე.წ. ჩებიშევის თეორემის დასამტკიცებლად. ჩვენ ჯერ აღვწერთ ამ თეორემის არსს და შემდეგ ვაძლევთ მის ფორმალურ ფორმულირებას.

დაე X 1 , X 2 , … , X ნ– დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების დიდი რაოდენობა მათემატიკური მოლოდინებით M(X 1 )=ა 1 , … , M(X ნ )=ა ნ. მიუხედავად იმისა, რომ თითოეულ მათგანს, ექსპერიმენტის შედეგად, შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობა შორს მისი საშუალოდან (ანუ მათემატიკური მოლოდინი), თუმცა, შემთხვევითი ცვლადი.
მათი არითმეტიკული საშუალოს ტოლია, დიდი ალბათობით მიიღებს ფიქსირებულ რიცხვთან მიახლოებულ მნიშვნელობას
(ეს არის ყველა მათემატიკური მოლოდინის საშუალო). ეს ნიშნავს შემდეგს. მოდით, ტესტის შედეგად დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები X 1 , X 2 , … , X ნ(ბევრია!) შესაბამისად აიღეს მნიშვნელობები X 1 , X 2 , … , X ნშესაბამისად. მაშინ თუ ეს მნიშვნელობები თავად შეიძლება აღმოჩნდეს შორს შესაბამისი შემთხვევითი ცვლადების საშუალო მნიშვნელობებისგან, მათი საშუალო მნიშვნელობა
სავარაუდოდ ახლოს იქნება
. ამრიგად, შემთხვევითი ცვლადების დიდი რაოდენობის საშუალო არითმეტიკული მაჩვენებელი უკვე კარგავს თავის შემთხვევით ხასიათს და მისი წინასწარმეტყველება შესაძლებელია დიდი სიზუსტით. ეს აიხსნება იმით, რომ მნიშვნელობების შემთხვევითი გადახრები X მესაწყისი ა მეშეიძლება იყოს სხვადასხვა ნიშნის და ამიტომ მთლიანობაში ეს გადახრები ანაზღაურდება დიდი ალბათობით.

ტერემა ჩებიშევა (დიდი რიცხვების კანონიჩებიშევის სახით). დაე X 1 , X 2 , … , X ნ … არის წყვილი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების თანმიმდევრობა, რომელთა ვარიაციები შემოიფარგლება ერთი და იგივე რაოდენობით. მაშინ, რაც არ უნდა მცირე რიცხვი ავიღოთ ε, უტოლობის ალბათობა

თვითნებურად ახლოს იქნება ერთიანობასთან თუ რიცხვი ნშემთხვევითი ცვლადები საკმარისად დიდი ზომის მისაღებად. ფორმალურად ეს ნიშნავს, რომ თეორემის პირობებში

ამ ტიპის კონვერგენციას ეწოდება კონვერგენცია ალბათობით და აღინიშნება:

ამრიგად, ჩებიშევის თეორემა ამბობს, რომ თუ არსებობს საკმარისად დიდი რაოდენობით დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები, მაშინ მათი საშუალო არითმეტიკული ერთ ტესტში თითქმის აუცილებლად მიიღებს მნიშვნელობას მათემატიკური მოლოდინების საშუალოსთან ახლოს.

ყველაზე ხშირად, ჩებიშევის თეორემა გამოიყენება იმ სიტუაციაში, როდესაც შემთხვევითი ცვლადებია X 1 , X 2 , … , X ნ … აქვთ იგივე განაწილება (ანუ იგივე განაწილების კანონი ან იგივე ალბათობის სიმკვრივე). სინამდვილეში, ეს არის იგივე შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევების დიდი რაოდენობა.

შედეგი(განზოგადებული ჩებიშევის უთანასწორობა). თუ დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები X 1 , X 2 , … , X ნ … აქვთ იგივე განაწილება მათემატიკური მოლოდინებით მ(X მე )= ადა დისპერსიები დ(X მე )= დ, მაშინ

, ე.ი.
.

მტკიცებულება გამომდინარეობს განზოგადებული ჩებიშევის უთანასწორობიდან, როგორც ზღვარზე გადასვლით ნ→∞ .

ჩვენ კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ, რომ ზემოთ დაწერილი ტოლობები არ იძლევა იმის გარანტიას, რომ რაოდენობრივი მნიშვნელობა აქვს
მიილტვის აზე ნ→∞. ეს მნიშვნელობა ჯერ კიდევ შემთხვევითი ცვლადია და მისი ინდივიდუალური მნიშვნელობები შეიძლება საკმაოდ შორს იყოს ა. მაგრამ ასეთის ალბათობა (შორს ა) მნიშვნელობები ზრდით ნმიდრეკილია 0-მდე.

კომენტარი. შედეგის დასკვნა ცხადია ასევე მოქმედებს უფრო ზოგად შემთხვევაში, როდესაც დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადებია X 1 , X 2 , … , X ნ … აქვთ განსხვავებული განაწილება, მაგრამ იგივე მათემატიკური მოლოდინები (თანაბარი ა) და აგრეგატში შეზღუდული განსხვავებები. ეს შესაძლებელს ხდის გარკვეული რაოდენობის გაზომვის სიზუსტის პროგნოზირებას, მაშინაც კი, თუ ეს გაზომვები შესრულებულია სხვადასხვა ინსტრუმენტებით.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ამ შედეგის გამოყენება რაოდენობების გაზომვისას. მოდით გამოვიყენოთ რაიმე მოწყობილობა ნიგივე რაოდენობის გაზომვები, რომელთა ნამდვილი მნიშვნელობა არის ადა ჩვენ არ ვიცით. ასეთი გაზომვების შედეგები X 1 , X 2 , … , X ნშეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ერთმანეთისგან (და ნამდვილი მნიშვნელობიდან ა) სხვადასხვა შემთხვევითი ფაქტორების გამო (წნევის ვარდნა, ტემპერატურა, შემთხვევითი ვიბრაცია და ა.შ.). განვიხილოთ r.v. X- ინსტრუმენტის წაკითხვა სიდიდის ერთჯერადი გაზომვისთვის, ისევე როგორც r.v. X 1 , X 2 , … , X ნ- ინსტრუმენტის კითხვა პირველ, მეორე, ..., ბოლო გაზომვაზე. ამრიგად, თითოეული რაოდენობა X 1 , X 2 , … , X ნ არის მხოლოდ ერთი შემთხვევა რ.ვ. Xდა, შესაბამისად, მათ ყველას აქვთ იგივე განაწილება, რაც r.v. X. ვინაიდან გაზომვის შედეგები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია, რ.ვ. X 1 , X 2 , … , X ნშეიძლება ჩაითვალოს დამოუკიდებლად. თუ მოწყობილობა არ იძლევა სისტემურ შეცდომას (მაგალითად, ნული არ არის „ჩამოყრილი“ სასწორზე, ზამბარა არ არის დაჭიმული და ა.შ.), მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ მათემატიკური მოლოდინი M(X) = a, და, შესაბამისად M(X 1 ) = ... = M(X ნ ) = ა. ამრიგად, დაკმაყოფილებულია ზემოაღნიშნული შედეგის პირობები და შესაბამისად, როგორც რაოდენობის მიახლოებითი მნიშვნელობა აშეგვიძლია ავიღოთ შემთხვევითი ცვლადის „განხორციელება“.
ჩვენს ექსპერიმენტში (რომელიც შედგება სერიისგან ნგაზომვები), ე.ი.

.

გაზომვების დიდი რაოდენობით, ის პრაქტიკულად საიმედოა კარგი სიზუსტეგამოთვლები ამ ფორმულის გამოყენებით. ეს არის პრაქტიკული პრინციპის დასაბუთება, რომ გაზომვების დიდი რაოდენობით, მათი არითმეტიკული საშუალო პრაქტიკულად დიდად არ განსხვავდება გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობიდან.

"შერჩევითი" მეთოდი, რომელიც ფართოდ გამოიყენება მათემატიკურ სტატისტიკაში, ემყარება დიდი რიცხვების კანონს, რაც საშუალებას იძლევა მიიღოთ მისი ობიექტური მახასიათებლები მისაღები სიზუსტით შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების შედარებით მცირე ნიმუშიდან. მაგრამ ეს იქნება განხილული შემდეგ ნაწილში.

მაგალითი. საზომ მოწყობილობაზე, რომელიც არ ახდენს სისტემატურ დამახინჯებას, იზომება გარკვეული რაოდენობა აერთხელ (მიღებულია ღირებულება X 1 ), და შემდეგ კიდევ 99 ჯერ (მიღებული მნიშვნელობები X 2 , … , X 100 ). გაზომვის ნამდვილი მნიშვნელობისთვის აჯერ მიიღეთ პირველი გაზომვის შედეგი
, შემდეგ კი ყველა გაზომვის საშუალო არითმეტიკული
. მოწყობილობის გაზომვის სიზუსტე ისეთია, რომ σ გაზომვის სტანდარტული გადახრა არ არის 1-ზე მეტი (რადგან დისპერსიის დ=σ 2 ასევე არ აღემატება 1). თითოეული გაზომვის მეთოდისთვის შეაფასეთ ალბათობა იმისა, რომ გაზომვის შეცდომა არ აღემატებოდეს 2-ს.

გამოსავალი. დაე რ.ვ. X- ინსტრუმენტის კითხვა ერთი გაზომვისთვის. მერე პირობით M(X)=a. დასმულ კითხვებზე პასუხის გასაცემად ვიყენებთ განზოგადებულ ჩებიშევის უტოლობას

ε =2 პირველი ამისთვის ნ=1 და შემდეგ ამისთვის ნ=100 . პირველ შემთხვევაში ვიღებთ
და მეორეში. ამრიგად, მეორე შემთხვევა პრაქტიკულად გარანტიას იძლევა მოცემული გაზომვის სიზუსტეს, ხოლო პირველი ამ თვალსაზრისით სერიოზულ ეჭვებს ტოვებს.

მოდით გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული განცხადებები შემთხვევით ცვლადებზე, რომლებიც წარმოიქმნება ბერნულის სქემაში. გავიხსენოთ ამ სქემის არსი. დაე, წარმოიქმნას ნ დამოუკიდებელი ტესტები, რომელთაგან თითოეულში გარკვეული მოვლენა მაგრამშეიძლება გამოჩნდეს იგივე ალბათობით რ, ა ქ=1–რ(მნიშვნელობით, ეს არის საპირისპირო მოვლენის ალბათობა - არა მოვლენის დადგომა მაგრამ) . დავხარჯოთ რაღაც რიცხვი ნასეთი ტესტები. განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადები: X 1 - მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა მაგრამ in 1 ტესტი, ..., X ნ- მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა მაგრამ in ნე ტესტი. ყველა გააცნო რ.ვ. შეუძლია ღირებულებების აღება 0 ან 1 (მოვლენა მაგრამშეიძლება გამოჩნდეს ტესტში თუ არა) და მნიშვნელობა 1 პირობითად მიღებული ყოველ ცდაში ალბათობით გვ(მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამთითოეულ ტესტში) და მნიშვნელობა 0 ალბათობით ქ= 1 – გვ. ამრიგად, ამ რაოდენობებს აქვთ განაწილების იგივე კანონები:

ამრიგად, ამ რაოდენობების საშუალო მნიშვნელობები და მათი დისპერსიები ასევე იგივეა: M(X 1 )=0 ∙ ქ+1 ∙ p= p, …, M(X ნ )= გვ ; დ(X 1 )=(0 2 ∙ ქ+1 2 ∙ გვ)− გვ 2 = გვ∙(1− გვ)= გვ ∙ q,…, დ(X ნ )= გვ ∙ ქ . ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით განზოგადებულ ჩებიშევის უტოლობაში, ჩვენ ვიღებთ

.

ცხადია, რომ რ.ვ. X=X 1 +…+Х ნარის მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა მაგრამსულ ნგამოცდები (როგორც ამბობენ - "წარმატების რაოდენობა" ში ნტესტები). შეუშვით ნსატესტო ღონისძიება მაგრამგამოჩნდა კ მათგან. მაშინ წინა უტოლობა შეიძლება დაიწეროს როგორც

.

მაგრამ სიდიდე
, მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობის ტოლია მაგრამ in ნდამოუკიდებელი ცდები, ცდების მთლიან რაოდენობას, რომელსაც ადრე ეწოდებოდა მოვლენის ფარდობითი მაჩვენებელი მაგრამ in ნტესტები. აქედან გამომდინარე, არსებობს უთანასწორობა

.

გადის ახლა ლიმიტამდე at ნ→∞, მივიღებთ
, ე.ი.
(ალბათობით). ეს არის ბერნულის სახით დიდი რიცხვების კანონის შინაარსი. აქედან გამომდინარეობს, რომ საკმარისად დიდი რაოდენობის ცდებისთვის ნფარდობითი სიხშირის თვითნებურად მცირე გადახრები
მოვლენები მისი ალბათობიდან რთითქმის გარკვეული მოვლენებია და დიდი გადახრები თითქმის შეუძლებელია. შედეგად მიღებული დასკვნა ფარდობითი სიხშირეების ასეთი სტაბილურობის შესახებ (რომელსაც ადრე ვახსენეთ ექსპერიმენტულიფაქტი) ამართლებს მოვლენის ალბათობის ადრე შემოღებულ სტატისტიკურ განმარტებას, როგორც რიცხვს, რომლის გარშემოც იცვლება მოვლენის ფარდობითი სიხშირე.

იმის გათვალისწინებით, რომ გამოხატულება გვ∙ ქ= გვ∙(1− გვ)= გვ− გვ 2 არ აღემატება ცვლილების ინტერვალს
(ამის გადამოწმება ადვილია ამ სეგმენტზე ამ ფუნქციის მინიმუმის მოძიებით), ზემოაღნიშნული უტოლობიდან
ამის მიღება ადვილია

,

რომელიც გამოიყენება შესაბამისი ამოცანების გადაჭრისას (ერთ-ერთი მათგანი ქვემოთ იქნება მოცემული).

მაგალითი. მონეტა გადატრიალდა 1000-ჯერ. შეაფასეთ ალბათობა იმისა, რომ გერბის გარეგნობის ფარდობითი სიხშირის გადახრა მისი ალბათობიდან იქნება 0,1-ზე ნაკლები.

გამოსავალი. უტოლობის გამოყენება
ზე გვ= ქ=1/2 , ნ=1000 , ε=0.1ვიღებთ .

მაგალითი. შეაფასეთ ალბათობა, რომ წინა მაგალითის პირობებში რიცხვი კჩამოვარდნილი გერბების დიაპაზონში იქნება 400 ადრე 600 .

გამოსავალი. მდგომარეობა 400< კ<600 ნიშნავს რომ 400/1000< კ/ ნ<600/1000 , ე.ი. 0.4< ვ ნ (ა)<0.6 ან
. როგორც წინა მაგალითიდან ვნახეთ, ასეთი მოვლენის ალბათობა მაინც არის 0.975 .

მაგალითი. რაიმე მოვლენის ალბათობის გამოთვლა მაგრამჩატარდა 1000 ექსპერიმენტი, რომელშიც ღონისძიება მაგრამგამოჩნდა 300-ჯერ. შეაფასეთ ალბათობა იმისა, რომ ფარდობითი სიხშირე (უდრის 300/1000=0.3) განსხვავდება ჭეშმარიტი ალბათობისგან. რარაუმეტეს 0.1.

გამოსავალი. ზემოაღნიშნული უტოლობის გამოყენება
n=1000-ისთვის ε=0.1 ვიღებთ.

დიდი რიცხვების კანონი

დიდი რიცხვების კანონიალბათობის თეორიაში ნათქვამია, რომ ფიქსირებული განაწილებიდან საკმაოდ დიდი სასრული ნიმუშის ემპირიული საშუალო (საშუალო არითმეტიკული) უახლოვდება ამ განაწილების თეორიულ საშუალოს (მოლოდინს). კონვერგენციის ტიპებიდან გამომდინარე, არსებობს დიდი რიცხვების სუსტი კანონი, როდესაც ხდება ალბათობის კონვერგენცია და დიდი რიცხვების ძლიერი კანონი, როდესაც კონვერგენცია თითქმის ყველგან ხდება.

ყოველთვის იქნება ისეთი რაოდენობის ცდები, რომ ნებისმიერი წინასწარგანსაზღვრული ალბათობით, რაიმე მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირე თვითნებურად ცოტათი განსხვავდება მისი ალბათობისგან.

დიდი რიცხვების კანონის ზოგადი მნიშვნელობა იმაში მდგომარეობს, რომ დიდი რაოდენობით შემთხვევითი ფაქტორების ერთობლივი მოქმედება იწვევს შედეგს, რომელიც თითქმის დამოუკიდებელია შემთხვევითობისგან.

სასრული ნიმუშის ანალიზზე დაფუძნებული ალბათობის შეფასების მეთოდები ეფუძნება ამ თვისებას. კარგი მაგალითია არჩევნების შედეგების პროგნოზირება ამომრჩეველთა შერჩევის საფუძველზე.

დიდი რიცხვების სუსტი კანონი

მოდით იყოს უსასრულო თანმიმდევრობა (თანმიმდევრული ჩამოთვლა) იდენტურად განაწილებული და არაკორელირებული შემთხვევითი ცვლადების, რომელიც განსაზღვრულია იმავე ალბათობის სივრცეში. ანუ მათი კოვარიანტობა. დაე . მოდით აღვნიშნოთ პირველი ტერმინების საშუალო ნიმუში:

დიდი რიცხვების ძლიერი კანონი

დაე არსებობდეს დამოუკიდებელი იდენტურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადების უსასრულო თანმიმდევრობა, რომელიც განსაზღვრულია იმავე ალბათობის სივრცეში. დაე . მოდით აღვნიშნოთ პირველი ტერმინების საშუალო ნიმუში:

მაშინ თითქმის აუცილებლად.

იხილეთ ასევე

ლიტერატურა

• შირიაევი A.N.ალბათობა, - M .: მეცნიერება. 1989 წ.
• ჩისტიაკოვი ვ.პ.ალბათობის თეორიის კურსი, - მ., 1982 წ.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

• რუსეთის კინო
• გრომეკა, მიხაილ სტეპანოვიჩი

ნახეთ, რა არის „დიდი რიცხვების კანონი“ სხვა ლექსიკონებში:

კანონი დიდი რიცხვების შესახებ- (დიდი რიცხვების კანონი) იმ შემთხვევაში, როდესაც მოსახლეობის ცალკეული წევრების ქცევა ძალზე გამორჩეულია, ჯგუფის ქცევა საშუალოდ უფრო პროგნოზირებადია, ვიდრე მისი რომელიმე წევრის ქცევა. ტენდენცია, რომელშიც ჯგუფები ... ... ეკონომიკური ლექსიკონი

კანონი დიდი რიცხვების შესახებ- იხილეთ კანონი დიდი რიცხვების შესახებ. ანტინაზი. სოციოლოგიის ენციკლოპედია, 2009 ... სოციოლოგიის ენციკლოპედია

დიდი რიცხვების კანონი- პრინციპი, რომლის მიხედვითაც მასობრივი სოციალური ფენომენების თანდაყოლილი რაოდენობრივი შაბლონები ყველაზე მკაფიოდ ვლინდება საკმარისად დიდი რაოდენობით დაკვირვებით. ცალკეული ფენომენები უფრო მგრძნობიარეა შემთხვევითი და ... ... ბიზნეს ტერმინების ლექსიკონი

კანონი დიდი რიცხვების შესახებ- ამტკიცებს, რომ ერთთან მიახლოებული ალბათობით, დაახლოებით ერთი და იგივე რიგის შემთხვევითი ცვლადების დიდი რაოდენობის საშუალო არითმეტიკული მცირედით განსხვავდება ამ ცვლადების მათემატიკური მოლოდინების საშუალო არითმეტიკული მუდმივისაგან. განსხვავება…… გეოლოგიური ენციკლოპედია

დიდი რიცხვების კანონი- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, მოსკოვი, 1999] ელექტროტექნიკის თემები, ძირითადი ცნებები დიდი რიცხვების საშუალო კანონის EN კანონი ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

დიდი რიცხვების კანონი- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: ინგლ. დიდი რიცხვების კანონი ვოკ. Gesetz der großen Zahlen, n rus. დიდი რიცხვების კანონი, m pranc. გრანდიოზული სახელები, ვ … ფიზიკურ ტერმინალში

კანონი დიდი რიცხვების შესახებ- ზოგადი პრინციპი, რომლის წყალობითაც შემთხვევითი ფაქტორების ერთობლივი მოქმედება იწვევს, გარკვეულ ძალიან ზოგად პირობებში, შემთხვევითობისგან თითქმის დამოუკიდებელ შედეგამდე. შემთხვევითი მოვლენის დადგომის სიხშირის დაახლოება მის ალბათობასთან რიცხვის მატებასთან ... ... რუსული სოციოლოგიური ენციკლოპედია

დიდი რიცხვების კანონი- კანონი, რომელიც ამბობს, რომ შემთხვევითი ფაქტორების დიდი რაოდენობის კუმულაციური მოქმედება იწვევს, გარკვეულ ძალიან ზოგად პირობებში, შემთხვევითობისგან თითქმის დამოუკიდებელ შედეგამდე... სოციოლოგია: ლექსიკონი

კანონი დიდი რიცხვების შესახებ- სტატისტიკური კანონი, რომელიც გამოხატავს შერჩევის სტატისტიკურ მაჩვენებლებს (პარამეტრებს) და საერთო პოპულაციას. გარკვეული ნიმუშიდან მიღებული სტატისტიკური მაჩვენებლების რეალური მნიშვნელობები ყოველთვის განსხვავდება ე.წ. თეორიული...... სოციოლოგია: ენციკლოპედია

კანონი დიდი რიცხვების შესახებ- პრინციპი, რომ გარკვეული ტიპის ფინანსური ზარალის სიხშირის პროგნოზირება შესაძლებელია მაღალი სიზუსტით, როდესაც მსგავსი ტიპის ზარალის დიდი რაოდენობაა ... ეკონომიკისა და სამართლის ენციკლოპედიური ლექსიკონი

წიგნები

• მაგიდების კომპლექტი. Მათემატიკა. ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა. 6 ცხრილი + მეთოდოლოგია, . ცხრილები იბეჭდება სქელ პოლიგრაფიულ მუყაოს ზომით 680 x 980 მმ. კომპლექტში შედის ბროშურა მასწავლებლებისთვის მეთოდოლოგიური რეკომენდაციებით. სასწავლო ალბომი 6 ფურცლისგან. შემთხვევითი…

რა არის წარმატებული გამყიდველების საიდუმლო? თუ რომელიმე კომპანიის საუკეთესო გამყიდველებს უყურებთ, შეამჩნევთ, რომ მათ ერთი რამ აქვთ საერთო. თითოეული მათგანი უფრო მეტ ადამიანს ხვდება და უფრო მეტ პრეზენტაციას აკეთებს, ვიდრე ნაკლებად წარმატებული გამყიდველები. ამ ადამიანებს ესმით, რომ გაყიდვები რიცხვების თამაშია და რაც უფრო მეტ ადამიანს ეუბნებიან თავიანთ პროდუქტებსა თუ სერვისებზე, მით უფრო მეტ გარიგებას ხურავენ, ეს ყველაფერია. მათ ესმით, რომ თუ ისინი დაუკავშირდნენ არა მხოლოდ იმ რამდენიმეს, ვინც მათ ნამდვილად იტყვის დიახ, არამედ მათთანაც, ვისი ინტერესი მათი წინადადებით არც ისე დიდია, მაშინ საშუალოების კანონი მათ სასარგებლოდ იმუშავებს.

თქვენი შემოსავალი დამოკიდებული იქნება გაყიდვების რაოდენობაზე, მაგრამ ამავე დროს, ისინი პირდაპირპროპორციული იქნება თქვენს მიერ გაკეთებული პრეზენტაციების რაოდენობისა. როგორც კი გაიგებთ და დაიწყებთ საშუალოების კანონის პრაქტიკაში გამოყენებას, შფოთვა, რომელიც დაკავშირებულია ახალი ბიზნესის დაწყებასთან ან ახალ სფეროში მუშაობასთან, შემცირდება. და შედეგად, გაიზრდება კონტროლის გრძნობა და ნდობა მათი შემოსავლის უნარის მიმართ. თუ თქვენ უბრალოდ გააკეთებთ პრეზენტაციებს და აუმჯობესებთ თქვენს უნარებს ამ პროცესში, იქნება გარიგებები.

იმის ნაცვლად, რომ იფიქროთ გარიგებების რაოდენობაზე, იფიქრეთ პრეზენტაციების რაოდენობაზე. აზრი არ აქვს დილით გაღვიძებას ან საღამოს სახლში მისვლას და ფიქრს, ვინ შეიძენს თქვენს პროდუქტს. ამის ნაცვლად, უმჯობესია დაგეგმოთ ყოველი დღე რამდენი ზარის განხორციელება გჭირდებათ. და შემდეგ, რაც არ უნდა მოხდეს - განახორციელეთ ყველა ეს ზარი! ეს მიდგომა გაგიადვილებთ საქმეს – რადგან ეს მარტივი და კონკრეტული მიზანია. თუ იცით, რომ ძალიან კონკრეტული და მისაღწევი მიზანი გაქვთ, გაგიადვილდებათ დაგეგმილი ზარების განხორციელება. თუ ამ პროცესის განმავლობაში რამდენჯერმე გაიგონებთ "დიახ", მით უკეთესი!

და თუ "არა", მაშინ საღამოს იგრძნობთ, რომ გულწრფელად გააკეთეთ ყველაფერი, რაც შეგეძლოთ და არ გაწუხებთ ფიქრები იმაზე, თუ რამდენი ფული გამოიმუშავეთ, ან რამდენი პარტნიორი შეიძინეთ დღეში.

ვთქვათ, თქვენს კომპანიაში ან თქვენს ბიზნესში, საშუალო გამყიდველი ხურავს ერთ გარიგებას ყოველ ოთხ პრეზენტაციაზე. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ ხატავთ ბარათებს გემბანიდან. სამი კოსტიუმისგან შემდგარი თითოეული ბარათი - ყვავი, ბრილიანტი და კლუბი - არის პრეზენტაცია, სადაც პროფესიონალურად წარმოგიდგენთ პროდუქტს, სერვისს ან შესაძლებლობას. თქვენ ამას აკეთებთ საუკეთესოდ, რაც შეგიძლიათ, მაგრამ მაინც არ დახურავთ გარიგებას. და თითოეული გულის ბარათი არის გარიგება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ფული ან შეიძინოთ ახალი კომპანიონი.

ასეთ ვითარებაში არ გინდათ დასტაზე რაც შეიძლება მეტი კარტის გამოღება? დავუშვათ, რომ შემოგთავაზებენ იმდენი კარტის დახატვას, რამდენიც გინდა, თანხის გადახდას ან ახალ კომპანიონს შესთავაზებენ ყოველ ჯერზე, როცა გულის კარტს ათამაშებ. თქვენ დაიწყებთ ბარათების დახატვას ენთუზიაზმით, ძლივს შეამჩნევთ, თუ რა კოსტიუმია ახლახან ამოღებული ბარათი.

თქვენ იცით, რომ ორმოცდათორმეტი კარტის დასტაში ცამეტი გულია. და ორ გემბანში - ოცდაექვსი გულის კარტი და ა.შ. იმედგაცრუებული დარჩებით ყვავი, ბრილიანტები ან ხელკეტები? Რათქმაუნდა არა! თქვენ მხოლოდ იფიქრებთ, რომ ყოველი ასეთი „მისსი“ გვაახლოებს – რასთან? გულების ბარათამდე!

მაგრამ იცი რა? ეს შეთავაზება უკვე მოგეწოდებათ. თქვენ იმყოფებით უნიკალურ მდგომარეობაში, რომ მიიღოთ იმდენი, რამდენიც გსურთ და დახაზოთ იმდენი გულის ბარათი, რამდენის დახატვაც გსურთ თქვენს ცხოვრებაში. და თუ უბრალოდ კეთილსინდისიერად „გახატავთ ბარათებს“, გაიუმჯობესებთ უნარებს და გაუძლებთ პატარა ყვავი, ბრილიანტი და ჯოხი, მაშინ გახდებით შესანიშნავი გამყიდველი და წარმატებას მიაღწევთ.

ერთ-ერთი რამ, რაც გაყიდვას ასე სახალისოს ხდის, არის ის, რომ ყოველ ჯერზე, როცა გემბანს არევთ, ბარათები სხვაგვარად ირევა. ზოგჯერ ყველა გული მთავრდება გემბანის დასაწყისში და წარმატებული სერიების შემდეგ (როდესაც უკვე გვეჩვენება, რომ არასდროს წავაგებთ!) ჩვენ ველოდებით სხვადასხვა კოსტუმის კარტების გრძელ რიგს. და სხვა დროს, პირველ გულამდე მისასვლელად, თქვენ უნდა გაიაროთ უსასრულო რაოდენობის ყვავი, ხელკეტები და ტამბურები. და ზოგჯერ სხვადასხვა კოსტიუმების ბარათები მკაცრად რიგრიგობით ამოვარდება. მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, ორმოცდათორმეტი კარტის თითოეულ გემბანში, გარკვეული თანმიმდევრობით, ყოველთვის არის ცამეტი გული. უბრალოდ ამოიღეთ ბარათები, სანამ არ იპოვით მათ.

დიდი რიცხვების კანონიალბათობის თეორიაში ნათქვამია, რომ ფიქსირებული განაწილებიდან საკმაოდ დიდი სასრული ნიმუშის ემპირიული საშუალო (საშუალო არითმეტიკული) უახლოვდება ამ განაწილების თეორიულ საშუალოს (მოლოდინს). კონვერგენციის ტიპებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ დიდი რიცხვების სუსტ კანონს, როდესაც ხდება დაახლოება ალბათობაში და დიდი რიცხვების ძლიერი კანონი, როდესაც კონვერგენცია თითქმის ყველგან ხდება.

ყოველთვის არის საცდელების სასრული რაოდენობა, რომლებისთვისაც, ნებისმიერი მოცემული ალბათობით, ნაკლებია 1 ზოგიერთი მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირე თვითნებურად მცირედ განსხვავდება მისი ალბათობისგან.

დიდი რიცხვების კანონის ზოგადი მნიშვნელობა: დიდი რაოდენობით იდენტური და დამოუკიდებელი შემთხვევითი ფაქტორების ერთობლივი მოქმედება იწვევს შედეგს, რომელიც, ლიმიტში, შემთხვევითობაზე არ არის დამოკიდებული.

სასრული ნიმუშის ანალიზზე დაფუძნებული ალბათობის შეფასების მეთოდები ეფუძნება ამ თვისებას. კარგი მაგალითია არჩევნების შედეგების პროგნოზირება ამომრჩეველთა შერჩევის საფუძველზე.

ენციკლოპედიური YouTube

1 / 5

✪ დიდი რიცხვების კანონი

✪ 07 - ალბათობის თეორია. დიდი რიცხვების კანონი

✪ 42 დიდი რიცხვების კანონი

✪ 1 - ჩებიშევის კანონი დიდი რიცხვების შესახებ

✪ მე-11 კლასი, გაკვეთილი 25, გაუსის მრუდი. დიდი რიცხვების კანონი

სუბტიტრები

მოდით გადავხედოთ დიდი რიცხვების კანონს, რომელიც ალბათ ყველაზე ინტუიციური კანონია მათემატიკასა და ალბათობის თეორიაში. და რადგან ის ბევრ რამეს ეხება, ზოგჯერ გამოიყენება და არასწორად ესმით. ნება მომეცით ჯერ მივცეთ მისი განმარტება სიზუსტისთვის და შემდეგ ვისაუბრებთ ინტუიციაზე. ავიღოთ შემთხვევითი ცვლადი, ვთქვათ X. ვთქვათ, ვიცით მისი მათემატიკური მოლოდინი ან პოპულაციის საშუალო მნიშვნელობა. დიდი რიცხვების კანონი უბრალოდ ამბობს, რომ თუ ავიღებთ შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვების n-ე რიცხვის მაგალითს და ყველა ამ დაკვირვების საშუალო რაოდენობას... ავიღოთ ცვლადი. მოდით ვუწოდოთ მას X n ქვემოწერით და ტირე ზედა. ეს არის ჩვენი შემთხვევითი ცვლადის მე-n რაოდენობის დაკვირვების საშუალო არითმეტიკული. აქ არის ჩემი პირველი დაკვირვება. მე ვაკეთებ ექსპერიმენტს ერთხელ და ვაკეთებ ამ დაკვირვებას, შემდეგ ისევ ვაკეთებ და ვაკეთებ ამ დაკვირვებას, ვაკეთებ ისევ და ვიღებ ამას. მე ვატარებ ამ ექსპერიმენტს n-ჯერ და შემდეგ ვყოფ ჩემი დაკვირვებების რაოდენობაზე. აქ არის ჩემი საშუალო ნიმუში. აქ არის მე ყველა დაკვირვების საშუალო მაჩვენებელი. დიდი რიცხვების კანონი გვეუბნება, რომ ჩემი ნიმუშის საშუალო მიახლოება შემთხვევითი ცვლადის საშუალოს. ან შემიძლია ასევე დავწერო, რომ ჩემი შერჩევის საშუალო მიახლოება პოპულაციის საშუალოს n-ე რიცხვისთვის, რომელიც მიდის უსასრულობამდე. მე არ გავაკეთებ მკაფიო განსხვავებას „დაახლოებას“ და „კონვერგენციას“ შორის, მაგრამ იმედი მაქვს, რომ თქვენ ინტუიციურად გესმით, რომ თუ აქ საკმაოდ დიდ ნიმუშს ავიღებ, მაშინ მივიღებ მოსალოდნელ მნიშვნელობას მთლიანი მოსახლეობისთვის. ვფიქრობ, თქვენგან უმეტესობას ინტუიციურად ესმის, რომ თუ საკმარის ტესტებს გავაკეთებ მაგალითების დიდი ნიმუშით, საბოლოოდ ტესტები მომცემს იმ მნიშვნელობებს, რომლებსაც ველოდები, მათემატიკური მოლოდინის, ალბათობის და ყველაფრის გათვალისწინებით. მაგრამ მე ვფიქრობ, რომ ხშირად გაუგებარია რატომ ხდება ეს. და სანამ დავიწყებ იმის ახსნას, თუ რატომ არის ასე, ნება მომეცით მოგცეთ კონკრეტული მაგალითი. დიდი რიცხვების კანონი გვეუბნება, რომ... ვთქვათ გვაქვს შემთხვევითი ცვლადი X. ის უდრის თავების რაოდენობას სწორი მონეტის 100 გადაგდებაში. პირველ რიგში, ჩვენ ვიცით ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი. ეს არის მონეტების გადაგდების ან ცდების რაოდენობა გამრავლებული ნებისმიერი ცდის წარმატების შანსზე. ანუ უდრის 50-ს. ანუ, დიდი რიცხვების კანონი ამბობს, რომ თუ ავიღებთ ნიმუშს, ან თუ ამ ცდებს საშუალოდ ვაფასებ, მივიღებ. .. პირველად რომ ვაკეთებ ტესტს, 100-ჯერ ვისვრი მონეტას, ან ვიღებ ყუთს ასი მონეტით, ვაკანკალებ და მერე ვითვლი რამდენ თავს ვიღებ და ვიღებ, ვთქვათ, რიცხვს 55. ეს იქნება. X1. შემდეგ ისევ ვაკანკალებ ყუთს და ვიღებ რიცხვს 65. შემდეგ ისევ - და ვიღებ 45. და ამას ვაკეთებ n-ჯერ და შემდეგ ვყოფ ცდების რაოდენობაზე. დიდი რიცხვების კანონი გვეუბნება, რომ ეს საშუალო (ჩემი ყველა დაკვირვების საშუალო) მიისწრაფვის 50-მდე, ხოლო n - უსასრულობისკენ. ახლა მსურს ცოტათი ვისაუბრო იმაზე, თუ რატომ ხდება ეს. ბევრს სჯერა, რომ თუ 100 ცდის შემდეგ ჩემი შედეგი საშუალოზე მაღალია, მაშინ ალბათობის კანონების მიხედვით, მეტ-ნაკლებად თავები უნდა მქონდეს, რათა, ასე ვთქვათ, სხვაობა ანაზღაურდეს. ეს არ არის ზუსტად ის, რაც მოხდება. ამას ხშირად მოიხსენიებენ, როგორც "აზარტული მოთამაშეების შეცდომა". ნება მომეცით გაჩვენოთ განსხვავება. შემდეგ მაგალითს გამოვიყენებ. ნება მომეცით დავხატო გრაფიკი. მოდით შევცვალოთ ფერი. ეს არის n, ჩემი x ღერძი არის n. ეს არის ტესტების რაოდენობა, რომელსაც ჩავატარებ. და ჩემი y-ღერძი იქნება ნიმუშის საშუალო. ჩვენ ვიცით, რომ ამ თვითნებური ცვლადის საშუალო არის 50. ნება მომეცით დავხატო ეს. ეს არის 50. დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. თუ n არის... ჩემი პირველი ტესტის დროს მივიღე 55, რაც ჩემი საშუალოა. მონაცემთა შეყვანის მხოლოდ ერთი წერტილი მაქვს. შემდეგ ორი ცდის შემდეგ ვიღებ 65-ს. ასე რომ, ჩემი საშუალო იქნება 65+55 გაყოფილი 2-ზე. ეს არის 60. და ჩემი საშუალო ოდნავ გაიზარდა. შემდეგ მივიღე 45, რამაც ისევ შეამცირა ჩემი არითმეტიკული საშუალო. მე არ დავწერ 45-ს სქემაზე. ახლა მჭირდება ამ ყველაფრის საშუალო გამოთვლა. რის ტოლია 45+65? ნება მომეცით გამოვთვალო ეს მნიშვნელობა წერტილის წარმოსადგენად. ეს არის 165 გაყოფილი 3-ზე. ეს არის 53. არა, 55. ასე რომ, საშუალო ისევ 55-მდე ეცემა. ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ ეს ტესტები. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გავაკეთეთ სამი ცდა და მივიღეთ ეს საშუალო, ბევრი ფიქრობს, რომ ალბათობის ღმერთები გააკეთებენ იმას, რომ მომავალში ნაკლები თავები მივიღოთ, რომ მომდევნო რამდენიმე ცდა უფრო დაბალი იქნება, რათა შემცირდეს საშუალო. მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის. მომავალში, ალბათობა ყოველთვის იგივე რჩება. ალბათობა იმისა, რომ თავებს დავყრი ყოველთვის იქნება 50%. არა, რომ თავიდან ვიღებ თავების გარკვეულ რაოდენობას, იმაზე მეტს, ვიდრე ველოდი, შემდეგ კი უცებ კუდები უნდა ამოვარდეს. ეს არის "მოთამაშის სიცრუე". თუ თქვენ მიიღებთ თავების არაპროპორციულ რაოდენობას, ეს არ ნიშნავს რომ რაღაც მომენტში დაიწყებთ კუდების არაპროპორციულ რაოდენობას. ეს მთლად სიმართლეს არ შეესაბამება. დიდი რიცხვების კანონი გვეუბნება, რომ არ აქვს მნიშვნელობა. ვთქვათ, გარკვეული სასრული რაოდენობის ცდების შემდეგ, თქვენი საშუალო... ამის ალბათობა საკმაოდ მცირეა, მაგრამ, მიუხედავად ამისა... ვთქვათ თქვენი საშუალო აღწევს ამ ნიშნულს - 70. თქვენ ფიქრობთ: „ვაიმე, ჩვენ მოლოდინს გადავაჭარბეთ“. მაგრამ დიდი რიცხვების კანონი ამბობს, რომ არ აინტერესებს რამდენ ტესტს ჩავატარებთ. ჯერ კიდევ უსაზღვრო რაოდენობის განსაცდელი გველის წინ. ამ უსასრულო რაოდენობის ცდების მათემატიკური მოლოდინი, განსაკუთრებით მსგავს სიტუაციაში, შემდეგი იქნება. როდესაც თქვენ მიიღებთ სასრულ რიცხვს, რომელიც გამოხატავს რაიმე დიდ მნიშვნელობას, უსასრულო რიცხვი, რომელიც ემთხვევა მას, კვლავ მიგვიყვანს მოსალოდნელ მნიშვნელობამდე. ეს, რა თქმა უნდა, ძალიან თავისუფალი ინტერპრეტაციაა, მაგრამ ამას დიდი რიცხვების კანონი გვეუბნება. Ეს არის მნიშვნელოვანი. ის არ გვეუბნება, რომ თუ ბევრ თავებს მივიღებთ, მაშინ რატომღაც გაიზრდება კუდების მიღების შანსები კომპენსაციისთვის. ეს კანონი გვეუბნება, რომ არ აქვს მნიშვნელობა რა შედეგს მოიტანს ცდების სასრული რაოდენობა, სანამ ჯერ კიდევ უსასრულო რაოდენობის ცდები გელის წინ. და თუ მათ საკმარისად გამოიმუშავებთ, ისევ მოლოდინს დაუბრუნდებით. ეს მნიშვნელოვანი პუნქტია. Იფიქრე ამაზე. მაგრამ ეს არ გამოიყენება ყოველდღიურად პრაქტიკაში ლატარიებთან და კაზინოებთან, თუმცა ცნობილია, რომ თუ საკმარის ტესტებს გააკეთებთ... შეგვიძლია გამოვთვალოთ კიდეც... რა არის ალბათობა, რომ სერიოზულად გადავუხვიოთ ნორმას? მაგრამ კაზინოები და ლატარიები ყოველდღიურად მუშაობენ იმ პრინციპით, რომ თუ საკმარის ხალხს მიიღებთ, რა თქმა უნდა, მოკლე დროში, მცირე ნიმუშით, მაშინ რამდენიმე ადამიანი მოხვდება ჯეკპოტში. მაგრამ გრძელვადიან პერსპექტივაში, კაზინო ყოველთვის ისარგებლებს იმ თამაშების პარამეტრებით, რომლებსაც ისინი გიწვევთ სათამაშოდ. ეს არის მნიშვნელოვანი ალბათობის პრინციპი, რომელიც ინტუიციურია. მიუხედავად იმისა, რომ ზოგჯერ, როდესაც ეს ფორმალურად აგიხსნით შემთხვევითი ცვლადებით, ეს ყველაფერი ცოტა დამაბნეველად გამოიყურება. ყველაფერი ეს კანონი ამბობს, რომ რაც უფრო მეტი ნიმუშია, მით მეტია ამ ნიმუშების საშუალო არითმეტიკული თანხვედრა ჭეშმარიტ საშუალოზე. და უფრო კონკრეტულად რომ ვთქვათ, თქვენი ნიმუშის საშუალო არითმეტიკული თანხვედრა შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკურ მოლოდინთან. Სულ ეს არის. შევხვდებით შემდეგ ვიდეოში!

დიდი რიცხვების სუსტი კანონი

დიდი რიცხვების სუსტ კანონს ასევე უწოდებენ ბერნულის თეორემას, იაკობ-ბერნულის სახელით, რომელმაც ეს დაამტკიცა 1713 წელს.

მოდით იყოს უსასრულო თანმიმდევრობა (თანმიმდევრული ჩამოთვლა) იდენტურად განაწილებული და არაკორელირებული შემთხვევითი ცვლადების. ანუ მათი კოვარიანტობა c o v (X i, X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). დაე . აღნიშნეთ პირველის საშუალო ნიმუშით n (\displaystyle n)წევრები:

.

მერე X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\ to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu).

ანუ ყოველი პოზიტივისთვის ε (\displaystyle \varepsilon)

დიდი რიცხვების ძლიერი კანონი

დაე, იყოს დამოუკიდებელი იდენტურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადების უსასრულო თანმიმდევრობა (X i) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty))განსაზღვრულია ერთი ალბათობის სივრცეზე (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). დაე E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). აღნიშნეთ მიერ X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n))პირველის საშუალო ნიმუში n (\displaystyle n)წევრები:

მერე X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\ to \mu )თითქმის ყოველთვის.

ნებისმიერი მათემატიკური კანონის მსგავსად, დიდი რიცხვების კანონი შეიძლება გამოყენებულ იქნას რეალურ სამყაროში მხოლოდ ცნობილი ვარაუდებით, რაც შეიძლება მხოლოდ გარკვეული სიზუსტით დაკმაყოფილდეს. ასე, მაგალითად, თანმიმდევრული ტესტების პირობები ხშირად არ შეიძლება შენარჩუნდეს განუსაზღვრელი ვადით და აბსოლუტური სიზუსტით. გარდა ამისა, დიდი რიცხვების კანონი მხოლოდ საუბრობს წარმოუდგენლობასაშუალო მნიშვნელობის მნიშვნელოვანი გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდან.

საშუალო მნიშვნელობა სტატისტიკაში ყველაზე ზოგადი მაჩვენებელია. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოსახლეობის დასახასიათებლად რაოდენობრივად განსხვავებული ატრიბუტის მიხედვით. მაგალითად, ორი საწარმოს მუშაკთა ხელფასის შესადარებლად, ორი კონკრეტული მუშის ხელფასი არ შეიძლება იქნას მიღებული, რადგან ის მოქმედებს როგორც ცვალებად ინდიკატორად. ასევე, საწარმოებში გადახდილი ხელფასის მთლიანი ოდენობა არ შეიძლება იქნას მიღებული, რადგან ეს დამოკიდებულია დასაქმებულთა რაოდენობაზე. თუ თითოეული საწარმოს ხელფასის ჯამურ ოდენობას გავყოფთ დასაქმებულთა რაოდენობაზე, შეგვიძლია შევადაროთ ისინი და დავადგინოთ რომელ საწარმოს აქვს საშუალო ხელფასი უფრო მაღალი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მუშათა შესწავლილი მოსახლეობის ხელფასები იღებენ განზოგადებულ მახასიათებელს საშუალო მნიშვნელობაში. იგი გამოხატავს ზოგადსა და ტიპურს, რაც დამახასიათებელია მუშაკთა მთლიანობისთვის შესასწავლ თვისებასთან მიმართებაში. ამ მნიშვნელობაში ის აჩვენებს ამ ატრიბუტის ზოგად ზომას, რომელსაც განსხვავებული მნიშვნელობა აქვს პოპულაციის ერთეულებისთვის.

საშუალო მნიშვნელობის განსაზღვრა. სტატისტიკაში საშუალო მნიშვნელობა არის მსგავსი ფენომენების ნაკრების განზოგადებული მახასიათებელი რაოდენობრივად განსხვავებული ატრიბუტის მიხედვით. საშუალო მნიშვნელობა აჩვენებს ამ მახასიათებლის დონეს, რომელიც დაკავშირებულია მოსახლეობის ერთეულთან. საშუალო ღირებულების დახმარებით შესაძლებელია სხვადასხვა აგრეგატების ერთმანეთთან შედარება სხვადასხვა მახასიათებლების მიხედვით (შემოსავალი ერთ სულ მოსახლეზე, მოსავლის მოსავლიანობა, წარმოების ხარჯები სხვადასხვა საწარმოში).

საშუალო მნიშვნელობა ყოველთვის აზოგადებს იმ მახასიათებლის რაოდენობრივ ცვალებადობას, რომლითაც ჩვენ ვახასიათებთ შესწავლილ პოპულაციას და რომელიც თანაბრად თანდაყოლილია მოსახლეობის ყველა ერთეულში. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი საშუალო მნიშვნელობის მიღმა ყოველთვის დგას მოსახლეობის ერთეულების განაწილების სერია რაიმე განსხვავებული ატრიბუტის მიხედვით, ე.ი. ვარიაციის სერია. ამ მხრივ, საშუალო მნიშვნელობა ფუნდამენტურად განსხვავდება ფარდობითი მნიშვნელობებისგან და, კერძოდ, ინტენსივობის ინდიკატორებისგან. ინტენსივობის მაჩვენებელი არის ორი განსხვავებული აგრეგატის მოცულობის თანაფარდობა (მაგალითად, მშპ-ს წარმოება ერთ სულ მოსახლეზე), ხოლო საშუალო აზოგადებს აგრეგატის ელემენტების მახასიათებლებს ერთ-ერთი მახასიათებლის მიხედვით (მაგალითად, საშუალო მუშის ხელფასი).

საშუალო მნიშვნელობა და დიდი რიცხვების კანონი.საშუალო მაჩვენებლების ცვლილებაში ვლინდება ზოგადი ტენდენცია, რომლის გავლენითაც ყალიბდება ფენომენების განვითარების პროცესი მთლიანობაში, ცალკეულ ცალკეულ შემთხვევებში კი ეს ტენდენცია შეიძლება მკაფიოდ არ გამოვლინდეს. მნიშვნელოვანია, რომ საშუალო მაჩვენებლები ეფუძნებოდეს ფაქტების მასიურ განზოგადებას. მხოლოდ ამ პირობით გამოავლენენ ზოგად ტენდენციას, რომელიც საფუძვლად უდევს პროცესს მთლიანობაში.

დიდი რიცხვების კანონის არსი და მისი მნიშვნელობა საშუალოებისთვის, დაკვირვებების რიცხვის მატებასთან ერთად, სულ უფრო და უფრო სრულად აუქმებს შემთხვევითი მიზეზებით წარმოქმნილ გადახრებს. ანუ, დიდი რიცხვების კანონი ქმნის პირობებს, რომ განსხვავებული ატრიბუტის ტიპიური დონე გამოჩნდეს საშუალო მნიშვნელობაში ადგილისა და დროის კონკრეტულ პირობებში. ამ დონის ღირებულება განისაზღვრება ამ ფენომენის არსით.

საშუალოების ტიპები.სტატისტიკაში გამოყენებული საშუალო მნიშვნელობები მიეკუთვნება სიმძლავრის საშუალებების კლასს, რომლის ზოგადი ფორმულა ასეთია:

სადაც x არის სიმძლავრის საშუალო;

X - ატრიბუტის მნიშვნელობების შეცვლა (ოფციები)

- ნომრის ვარიანტი

საშუალოს მაჩვენებელი;

შემაჯამებელი ნიშანი.

საშუალო მაჩვენებლის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის მიიღება საშუალოს სხვადასხვა ტიპი:

Საშუალო არითმეტიკული;

საშუალო კვადრატი;

საშუალო კუბური;

საშუალო ჰარმონიული;

გეომეტრიული საშუალო.

სხვადასხვა ტიპის საშუალოს განსხვავებული მნიშვნელობა აქვს ერთი და იმავე წყაროს სტატისტიკის გამოყენებისას. ამავდროულად, რაც უფრო დიდია საშუალო მაჩვენებელი, მით უფრო მაღალია მისი მნიშვნელობა.

სტატისტიკაში, მოსახლეობის სწორი დახასიათება თითოეულ ცალკეულ შემთხვევაში მოცემულია მხოლოდ სრულიად განსაზღვრული ტიპის საშუალო მნიშვნელობებით. ამ ტიპის საშუალო მნიშვნელობის დასადგენად გამოიყენება კრიტერიუმი, რომელიც განსაზღვრავს საშუალოს თვისებებს: საშუალო მნიშვნელობა მხოლოდ მაშინ იქნება პოპულაციის ჭეშმარიტი განმაზოგადებელი მახასიათებელი სხვადასხვა ატრიბუტის მიხედვით, როდესაც, როდესაც ყველა ვარიანტი შეიცვლება საშუალოზე. მნიშვნელობა, განსხვავებული ატრიბუტის მთლიანი მოცულობა უცვლელი რჩება. ანუ საშუალოს სწორი ტიპი განისაზღვრება იმით, თუ როგორ ყალიბდება ცვლადი მახასიათებლის მთლიანი მოცულობა. ასე რომ, საშუალო არითმეტიკული გამოიყენება, როდესაც ცვლადი მახასიათებლის მოცულობა ყალიბდება ცალკეული ვარიანტების ჯამად, საშუალო კვადრატი - როდესაც ცვლადი მახასიათებლის მოცულობა ყალიბდება კვადრატების ჯამად, ჰარმონიული საშუალო - როგორც ჯამი. ინდივიდუალური ვარიანტების საპასუხო მნიშვნელობები, გეომეტრიული საშუალო - როგორც ინდივიდუალური ვარიანტების პროდუქტი. სტატისტიკის საშუალო მნიშვნელობების გარდა

გამოყენებულია ცვლადი მახასიათებლის განაწილების აღწერილობითი მახასიათებლები (სტრუქტურული საშუალოები), რეჟიმი (ყველაზე გავრცელებული ვარიანტი) და მედიანა (შუა ვარიანტი).