간단한 용어로 평균의 법칙. 평균 값. 큰 수의 약한 법칙

많은 수에 대한 단어는 테스트 수를 나타냅니다. 많은 수의 확률 변수 값 또는 많은 수의 확률 변수의 누적 동작이 고려됩니다. 이 법칙의 본질은 다음과 같습니다. 단일 무작위 변수가 단일 실험에서 어떤 값을 취할지 예측하는 것은 불가능하지만 많은 수의 독립 확률 변수의 작용으로 인한 전체 결과는 무작위 특성을 잃어 버릴 수 있습니다. 거의 확실하게 예측할 수 있습니다(즉, 높은 확률로). 예를 들어, 동전이 어느 쪽에 떨어질지 예측하는 것은 불가능합니다. 그러나 2톤의 동전을 던진다면, 문장을 올린 채로 떨어진 동전의 무게는 1톤이라는 것은 매우 확실하게 주장할 수 있습니다.

우선, 소위 체비쇼프 부등식(Chebyshev 불평등)은 큰 수의 법칙을 말하며, 이는 임의의 변수가 주어진 값 이하로 평균값에서 벗어나는 값을 받아들일 확률을 별도의 테스트에서 추정합니다.

체비쇼프의 부등식. 허락하다 엑스임의의 확률 변수이고, a=M(X) , ㅏ 디(엑스) 그 분산이다. 그 다음에

예시. 기계에서 가공된 슬리브 직경의 공칭(즉, 필수) 값은 다음과 같습니다. 5mm, 그리고 분산은 더 이상 0.01 (이것은 기계의 정확도 공차입니다). 한 부싱의 제조에서 공칭 직경의 편차가 다음보다 작을 확률을 추정하십시오. 0.5mm .

해결책. 하자 r.v. 엑스- 제조된 부싱의 직경. 조건에 따라 수학적 기대치는 공칭 직경과 같습니다(기계 설정에 체계적인 오류가 없는 경우). a=M(X)=5 , 그리고 분산 디(X)≤0.01. 체비쇼프 부등식 적용 ε = 0.5, 우리는 다음을 얻습니다.

따라서 이러한 편차의 가능성은 상당히 높으므로 부품을 단일 생산하는 경우 공칭에서 직경의 편차가 다음을 초과하지 않을 것이 거의 확실하다고 결론을 내릴 수 있습니다 0.5mm .

기본적으로 표준편차는 σ 특징 평균중심에서 확률 변수의 편차(즉, 수학적 기대치에서). 그것 때문에 평균편차가 크면 테스트 중에 큰 편차(o 강조)가 가능합니다. 실제로 얼마나 큰 편차가 가능합니까? 정규 분포 확률 변수를 연구할 때 "3 시그마" 규칙을 도출했습니다. 정규 분포 확률 변수 엑스 단일 테스트에서실제로 평균에서 더 이상 벗어나지 않습니다. 3σ, 어디 σ= σ(X) r.v의 표준 편차입니다. 엑스. 우리는 우리가 부등식을 얻었다는 사실에서 그러한 규칙을 추론했습니다.

.

이제 확률을 추정해보자. 임의의랜덤 변수 엑스평균과 표준 편차의 3배 이하 차이가 나는 값을 받아들입니다. 체비쇼프 부등식 적용 ε = 3σ그리고 주어진 디(X)=σ 2 , 우리는 다음을 얻습니다.

.

이런 식으로, 일반적으로확률 변수가 평균에서 3개 이하의 표준편차만큼 벗어날 확률을 추정할 수 있습니다. 0.89 , 정규 분포의 경우 확률로 보장할 수 있습니다. 0.997 .

Chebyshev의 부등식은 독립적으로 동일하게 분포된 확률 변수 시스템으로 일반화할 수 있습니다.

일반화된 체비쇼프의 부등식. 독립 확률 변수인 경우 엑스 1 , X 2 , … , X N 중(엑스 나 )= ㅏ및 분산 디(엑스 나 )= 디, 그 다음에

~에 N=1 이 부등식은 위에서 공식화된 체비쇼프 부등식으로 넘어갑니다.

해당 문제를 푸는 데 독립적인 의미를 갖는 체비쇼프 부등식은 이른바 체비쇼프 정리를 증명하는 데 사용됩니다. 우리는 먼저 이 정리의 본질을 설명한 다음 공식 공식화합니다.

허락하다 엑스 1 , X 2 , … , X N– 수학적 기대치를 가진 다수의 독립 확률 변수 엠(X 1 )=아 1 , … , 엠(X N )=아 N. 이들 각각은 실험의 결과로 평균(즉, 수학적 기대치)에서 멀리 떨어진 값을 취할 수 있지만, 임의의 변수
, 산술 평균과 같으며 높은 확률로 고정된 숫자에 가까운 값을 취합니다.
(이것은 모든 수학적 기대치의 평균입니다). 이것은 다음을 의미합니다. 테스트 결과, 독립 확률 변수 엑스 1 , X 2 , … , X N(그들이 많이 있습니다!) 그에 따라 값을 취했습니다 엑스 1 , X 2 , … , X N각기. 그런 다음 이러한 값 자체가 해당 확률 변수의 평균 값에서 멀리 떨어져 있는 것으로 판명될 경우 해당 평균 값은
에 가까울 가능성이 높다
. 따라서 많은 확률 변수의 산술 평균은 이미 임의의 특성을 상실하고 매우 정확하게 예측할 수 있습니다. 이것은 값의 무작위 편차가 있다는 사실로 설명할 수 있습니다. 엑스 나~에서 ㅏ 나기호가 다를 수 있으므로 전체적으로 이러한 편차는 높은 확률로 보상됩니다.

테레마 체비셰바 (큰 수의 법칙체비쇼프의 형태로). 허락하다 엑스 1 , X 2 , … , X N … 분산이 동일한 수로 제한되는 쌍별 독립 확률 변수의 시퀀스입니다. 그러면 ε이 아무리 작아도 불평등의 확률은

숫자가 있으면 임의로 1에 가까울 것입니다. N충분히 큰 확률 변수. 공식적으로 이것은 정리의 조건에서 다음을 의미합니다.

이러한 유형의 수렴을 확률 수렴이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다.

따라서 Chebyshev의 정리에 따르면 독립 확률 변수가 충분히 많으면 단일 테스트에서 산술 평균이 수학적 기대치의 평균에 가까운 값을 취하는 것이 거의 확실합니다.

대부분의 경우 Chebyshev 정리는 확률 변수가 다음과 같은 상황에서 적용됩니다. 엑스 1 , X 2 , … , X N … 동일한 분포(즉, 동일한 분포 법칙 또는 동일한 확률 밀도)를 갖습니다. 사실, 이것은 동일한 확률 변수의 많은 수의 인스턴스일 뿐입니다.

결과(일반화된 체비쇼프 부등식의). 독립 확률 변수인 경우 엑스 1 , X 2 , … , X N … 수학적 기대치와 동일한 분포를 가짐 중(엑스 나 )= ㅏ및 분산 디(엑스 나 )= 디, 그 다음에

, 즉.
.

증명은 다음과 같이 극한으로 전달함으로써 일반화된 체비쇼프 부등식에서 나옵니다. N→∞ .

우리는 다시 한번 위에 쓰여진 평등이 수량의 가치를 보장하지 않는다는 점에 주목합니다.
경향이 ㅏ~에 N→∞. 이 값은 여전히 ​​​​임의 변수이며 개별 값은 ㅏ. 그러나 그러한 확률( ㅏ) 값이 증가함에 따라 N 0 경향이 있습니다.

논평. 추론의 결론은 독립 확률 변수가 더 일반적인 경우에도 분명히 유효합니다. 엑스 1 , X 2 , … , X N … 분포는 다르지만 수학적 기대치는 동일합니다(동일 ㅏ) 및 집계에서 제한된 분산. 이렇게 하면 이러한 측정이 다른 기기로 수행되더라도 특정 양을 측정하는 정확도를 예측할 수 있습니다.

이 결과를 수량 측정에 적용하는 방법을 더 자세히 살펴보겠습니다. 어떤 장치를 사용하자 N동일한 양의 측정값, 그 실제 값은 다음과 같습니다. ㅏ그리고 우리는 모릅니다. 그러한 측정 결과 엑스 1 , X 2 , … , X N서로 크게 다를 수 있습니다(그리고 실제 값과 ㅏ) 다양한 무작위 요인(압력 강하, 온도, 무작위 진동 등)으로 인해 발생합니다. r.v를 고려하십시오. 엑스- r.v 세트뿐만 아니라 수량의 단일 측정을 위한 기기 판독값. 엑스 1 , X 2 , … , X N- 첫 번째, 두 번째, ..., 마지막 측정에서 기기 판독값. 따라서 각각의 수량은 엑스 1 , X 2 , … , X N r.v의 인스턴스 중 하나만 있습니다. 엑스, 따라서 그들은 모두 r.v와 동일한 분포를 갖습니다. 엑스. 측정 결과는 서로 독립적이므로 r.v. 엑스 1 , X 2 , … , X N독립적이라고 볼 수 있습니다. 장치가 계통적 오류를 나타내지 않으면(예를 들어, 0이 저울에서 "넉다운"되지 않고 스프링이 늘어나지 않는 등) 수학적 기대치가 다음과 같이 가정할 수 있습니다. M(X) = 에이, 따라서 엠(X 1 ) = ... = M(X N ) = 에이. 따라서 위의 추론의 조건이 충족되므로 수량의 근사값으로 ㅏ우리는 확률 변수의 "구현"을 취할 수 있습니다
우리의 실험에서 (일련의 N측정), 즉

.

많은 수의 측정으로 실질적으로 신뢰할 수 있습니다. 좋은 정확도이 공식을 사용하여 계산합니다. 이것은 많은 수의 측정에서 산술 평균이 실제로 측정된 양의 실제 값과 크게 다르지 않다는 실제 원칙에 대한 근거입니다.

수학 통계에서 널리 사용되는 "선택적" 방법은 큰 수의 법칙을 기반으로 하므로 상대적으로 작은 확률 변수 값 샘플에서 허용 가능한 정확도로 객관적인 특성을 얻을 수 있습니다. 그러나 이것은 다음 섹션에서 논의될 것입니다.

예시. 체계적인 왜곡을 일으키지 않는 측정기에서 일정량을 측정 ㅏ한 번(수신된 값 엑스 1 ), 그리고 또 다른 99번(얻은 값 엑스 2 , … , X 100 ). 측정의 진정한 가치를 위해 ㅏ먼저 첫 번째 측정 결과를 가져옵니다.
, 모든 측정값의 산술 평균
. 장치의 측정 정확도는 측정 σ의 표준 편차가 1보다 크지 않아야 합니다. 디=σ 2 또한 1)을 초과하지 않습니다. 각 측정 방법에 대해 측정 오차가 2를 초과하지 않을 확률을 추정합니다.

해결책. 하자 r.v. 엑스- 단일 측정을 위한 기기 판독. 그럼 조건으로 M(X)=a. 제기된 질문에 답하기 위해 일반화된 체비쇼프 부등식을 적용합니다.

ε에 대해 =2 먼저 N=1 그리고 다음을 위해 N=100 . 첫 번째 경우에 우리는
, 그리고 두 번째. 따라서 두 번째 경우는 주어진 측정 정확도를 실질적으로 보장하는 반면 첫 번째 경우는 이러한 의미에서 심각한 의심을 남깁니다.

베르누이 방식에서 발생하는 확률변수에 위의 문장을 적용해 보자. 이 계획의 본질을 기억합시다. 생산하자 N 각각의 이벤트에서 독립적인 테스트 하지만같은 확률로 나타날 수 있습니다 아르 자형, ㅏ 큐=1–r(의미로, 이것은 반대 사건의 확률입니다 - 사건의 발생이 아닙니다 하지만) . 돈 좀 쓰자 N그러한 테스트. 확률 변수를 고려하십시오. 엑스 1 – 이벤트 발생 횟수 하지만안에 1 테스트, ..., 엑스 N– 이벤트 발생 횟수 하지만안에 N테스트. 모든 소개 r.v. 값을 취할 수 있습니다 0 또는 1 (이벤트 하지만테스트에 나타날 수 있음) 및 값 1 확률로 각 시행에서 조건부로 수락됨 피(사건이 일어날 확률 하지만각 테스트에서) 및 값 0 확률로 큐= 1 – 피. 따라서 이러한 수량에는 동일한 분포 법칙이 있습니다.

따라서 이러한 양과 그 분산의 평균값도 동일합니다. 엠(X 1 )=0 ∙ 큐+1 ∙ p= 피, …, M(X N )= 피 ; 디(엑스 1 )=(0 2 ∙ 큐+1 2 ∙ 피)− 피 2 = 피∙(1− 피)= 피 ∙ 큐, … , 디(엑스 N )= 피 ∙ q . 이 값을 일반화된 체비쇼프 부등식에 대입하면 다음을 얻습니다.

.

r.v. 엑스=엑스 1 +…+Х N이벤트의 발생 횟수입니다. 하지만모두에서 N시도 (그들이 말하는 것처럼 - "성공의 수" N테스트). 들여보내 N테스트 이벤트 하지만에 나타났다 케이 그들의. 그러면 이전 부등식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

.

그러나 규모
, 이벤트 발생 횟수의 비율과 동일 하지만안에 N이전에 상대 사건 비율이라고 불렀던 총 시행 수에 대한 독립 시행 하지만안에 N테스트. 따라서 불평등이 존재한다.

.

에서 한계에 지금 통과 N→∞, 우리는
, 즉.
(확률에 따라). 이것은 베르누이 형식의 대수의 법칙의 내용입니다. 이로부터 충분히 많은 수의 시도에 대해 N상대 주파수의 임의의 작은 편차
확률로부터의 사건 아르 자형거의 확실한 사건이고 큰 편차는 거의 불가능합니다. 상대 주파수의 안정성에 대한 결과적인 결론(이전에 실험적인사실)은 사건의 상대적 빈도가 변동하는 숫자로 사건의 확률에 대한 이전에 도입된 통계적 정의를 정당화합니다.

표현이라고 생각하면 피∙ 큐= 피∙(1− 피)= 피− 피 2 변경 간격을 초과하지 않음
(이 세그먼트에서 이 함수의 최소값을 찾으면 이를 쉽게 확인할 수 있습니다.) 위의 부등식에서
그것을 쉽게 얻을

,

해당 문제를 해결하는 데 사용됩니다(그 중 하나는 아래에 제공됨).

예시. 동전은 1000번 던졌습니다. 문장의 출현 빈도와 그 확률의 편차가 0.1보다 작을 확률을 추정하십시오.

해결책. 부등식 적용
~에 피= 큐=1/2 , N=1000 , ε=0.1, 우리는 얻는다.

예시. 이전 예의 조건에서 숫자가 케이떨어지는 문장의 범위는 400 ~ 전에 600 .

해결책. 상태 400< 케이<600 의미 400/1000< 케이/ N<600/1000 , 즉. 0.4< 여 N (ㅏ)<0.6 또는
. 이전 예에서 방금 보았듯이 그러한 사건의 확률은 최소한 0.975 .

예시. 어떤 사건의 확률을 계산하려면 하지만 1000번의 실험이 진행되었고, 그 이벤트에서 하지만 300번 등장. 상대 빈도(300/1000=0.3과 동일)가 실제 확률과 다를 확률을 추정합니다. 아르 자형 0.1 이하.

해결책. 위의 부등식 적용
n=1000, ε=0.1에 대해, 우리는 .

큰 수의 법칙

큰 수의 법칙확률 이론에서는 고정 분포에서 충분히 큰 유한 표본의 경험적 평균(산술 평균)이 이 분포의 이론적인 평균(기대)에 가깝다고 말합니다. 수렴의 유형에 따라 확률의 수렴이 일어날 때 큰 수의 약한 법칙이 있고 거의 모든 곳에서 수렴이 일어날 때 큰 수의 강한 법칙이 있습니다.

미리 결정된 확률과 함께 어떤 사건의 상대적 발생 빈도가 확률과 임의로 거의 다를 정도로 많은 시도가 항상 있을 것입니다.

큰 수의 법칙의 일반적인 의미는 많은 수의 무작위 요인의 공동 작용이 우연에 거의 독립적인 결과를 초래한다는 것입니다.

유한 샘플 분석을 기반으로 확률을 추정하는 방법은 이 속성을 기반으로 합니다. 좋은 예는 유권자 표본의 설문 조사를 기반으로 한 선거 결과 예측입니다.

큰 수의 약한 법칙

동일한 확률 공간에 정의된 동일하게 분포되고 상관되지 않은 확률 변수의 무한 시퀀스(연속적인 열거)가 있다고 가정합니다. 즉, 그들의 공분산입니다. 허락하다 . 첫 번째 항의 표본 평균을 표시해 보겠습니다.

큰 수의 강력한 법칙

동일한 확률 공간에서 정의된, 독립적으로 동일하게 분포된 무작위 변수의 무한 시퀀스가 ​​있다고 가정합니다. 허락하다 . 첫 번째 항의 표본 평균을 표시해 보겠습니다.

그러면 거의 확실합니다.

또한보십시오

문학

• Shiryaev A. N.확률, - M .: 과학. 1989.
• 치스티야코프 V.P.확률 이론 과정, - M., 1982.

위키미디어 재단. 2010년 .

• 러시아의 영화
• 그로메카, 미하일 스테파노비치

다른 사전에 "큰 수의 법칙"이 무엇인지 확인하십시오.

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큰 수의 법칙- skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. 큰 수의 법칙 vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. 큰 수의 법칙, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

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대수의 법칙- 표본의 통계적 지표(모수)와 일반 인구의 관계를 나타내는 통계법. 특정 샘플에서 얻은 통계 지표의 실제 값은 항상 소위 말하는 것과 다릅니다. 이론적 인 ... ... 사회학: 백과사전

대수의 법칙- 유사한 유형의 손실이 많은 경우 특정 유형의 재정적 손실 빈도를 높은 정확도로 예측할 수 있다는 원리 ... 경제 및 법률의 백과 사전

서적

• 테이블 세트입니다. 수학. 확률 이론 및 수학 통계. 6개의 테이블 + 방법론, . 테이블은 680 x 980 mm 크기의 두꺼운 인쇄 판지에 인쇄되어 있습니다. 키트에는 교사를 위한 방법론적 권장 사항이 포함된 브로셔가 포함되어 있습니다. 6장의 교육용 앨범. 무작위의…

성공적인 판매자의 비결은 무엇입니까? 어떤 회사의 최고의 영업 사원을 보면 공통점이 하나 있음을 알 수 있습니다. 그들 각각은 덜 성공적인 영업 사원보다 더 많은 사람들을 만나고 더 많은 프레젠테이션을 합니다. 이 사람들은 판매가 숫자 게임이라는 것을 이해하고 더 많은 사람들에게 제품이나 서비스에 대해 이야기할수록 더 많은 거래를 성사시킬 수 있습니다. 그들은 분명히 찬성할 소수의 사람들뿐만 아니라 그들의 제안에 대한 관심이 크지 않은 사람들과 의사 소통을 하면 평균의 법칙이 그들에게 유리하게 작용할 것임을 이해합니다.

수입은 판매 수에 따라 달라지지만 동시에 프레젠테이션 수에 정비례합니다. 평균의 법칙을 이해하고 실천하기 시작하면 새로운 사업을 시작하거나 새로운 분야에서 일하는 것과 관련된 불안이 줄어들기 시작할 것입니다. 결과적으로 자신의 수입에 대한 통제력과 자신감이 자라기 시작할 것입니다. 프레젠테이션을 하고 그 과정에서 기술을 연마하기만 하면 거래가 성사될 것입니다.

거래의 수를 생각하기보다 프레젠테이션의 수를 생각하십시오. 아침에 일어나거나 저녁에 집에 와서 누가 당신의 제품을 살지 궁금해하는 것은 이치에 맞지 않습니다. 대신, 매일 얼마나 많은 전화를 걸어야 하는지 계획하는 것이 가장 좋습니다. 그리고 무슨 일이 있어도 전화를 걸어보세요! 이 접근 방식은 간단하고 구체적인 목표이기 때문에 작업을 더 쉽게 만듭니다. 매우 구체적이고 달성 가능한 목표가 눈앞에 있다는 것을 안다면 계획된 횟수만큼 전화를 걸기가 더 쉬울 것입니다. 이 과정에서 "예"를 두 번 들으면 훨씬 더 좋습니다!

그리고 "아니오"인 경우 저녁에는 정직하게 할 수 있는 모든 일을 했다고 느낄 것이며, 얼마나 많은 돈을 벌었는지 또는 하루에 몇 명의 파트너를 얻었는지에 대한 생각으로 괴로워하지 않을 것입니다.

귀하의 회사 또는 귀하의 비즈니스에서 평균적인 영업 사원이 4번의 프레젠테이션마다 하나의 거래를 성사한다고 가정해 보겠습니다. 이제 덱에서 카드를 뽑는다고 상상해보십시오. 스페이드, 다이아몬드 및 클럽의 세 가지 수트로 구성된 각 카드는 제품, 서비스 또는 기회를 전문적으로 제시하는 프레젠테이션입니다. 당신은 최선을 다하지만 여전히 거래를 성사시키지 않습니다. 그리고 각 하트 카드는 돈을 벌거나 새로운 동료를 얻을 수 있는 거래입니다.

그런 상황에서, 당신은 가능한 한 많은 카드를 덱에서 뽑고 싶지 않습니까? 하트 카드를 뽑을 때마다 돈을 지불하거나 새로운 동료를 제안하면서 원하는 만큼 카드를 뽑으라는 제안을 받았다고 가정해 보겠습니다. 당신은 열정적으로 카드를 그리기 시작하고, 방금 카드가 무엇을 꺼냈는지 거의 눈치채지 못할 것입니다.

52장의 카드 한 덱에 13개의 하트가 있다는 것을 알고 있습니다. 그리고 두 개의 데크에서 - 26개의 하트 카드 등. 스페이드, 다이아몬드 또는 클럽을 그리면 실망할 것입니까? 당연히 아니지! 당신은 그러한 "미스"가 당신을 더 가깝게 만든다고 생각할 것입니다. 무엇에? 하트카드까지!

하지만 뭔지 알아? 이미 이 제안을 받았습니다. 당신은 원하는 만큼 벌고 인생에서 그리고 싶은 만큼 하트 카드를 뽑을 수 있는 독특한 위치에 있습니다. 그리고 양심적으로 "카드 뽑기"만 하면 실력이 향상되고 약간의 스페이드, 다이아몬드, 곤봉을 견디면 훌륭한 세일즈맨이 되어 성공할 수 있습니다.

판매를 매우 즐겁게 만드는 것 중 하나는 덱을 섞을 때마다 카드가 다르게 섞이게 된다는 것입니다. 때로는 모든 마음이 데크의 시작 부분에서 끝나고 성공적인 연속 행진 후에 (이미 우리가 결코 잃지 않을 것으로 보일 때!) 우리는 다른 소송의 긴 줄의 카드를 기다리고 있습니다. 그리고 또 다른 시간에는 첫 번째 심장에 도달하기 위해 무한한 수의 스페이드, 클럽 및 탬버린을 통과해야 합니다. 그리고 때로는 다른 소송의 카드가 차례로 엄격하게 떨어집니다. 그러나 어쨌든 52장의 모든 카드 데크에는 어떤 순서로든 항상 13개의 하트가 있습니다. 찾을 때까지 카드를 꺼내십시오.

큰 수의 법칙확률 이론에서는 고정 분포에서 충분히 큰 유한 표본의 경험적 평균(산술 평균)이 이 분포의 이론적인 평균(기대)에 가깝다고 말합니다. 수렴의 유형에 따라 확률의 수렴 이 일어날 때 큰 수의 약한 법칙과 거의 모든 곳에서 수렴이 일어날 때 큰 수의 강한 법칙이 구별됩니다.

주어진 확률로 다음보다 작은 시행 횟수는 항상 유한합니다. 1 어떤 사건의 상대적 발생 빈도는 그 확률과 임의로 거의 다를 것입니다.

많은 수의 법칙의 일반적인 의미: 다수의 동일하고 독립적인 무작위 요인의 공동 작용은 한계 내에서 우연에 의존하지 않는 결과를 초래합니다.

유한 샘플 분석을 기반으로 확률을 추정하는 방법은 이 속성을 기반으로 합니다. 좋은 예는 유권자 표본의 설문 조사를 기반으로 한 선거 결과 예측입니다.

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✪ 대수의 법칙

✪ 07 - 확률 이론. 큰 수의 법칙

✪ 42 대수의 법칙

✪ 1 - 체비쇼프의 큰 수 법칙

✪ 11학년, 25과, 가우스 곡선. 큰 수의 법칙

자막

수학 및 확률 이론에서 가장 직관적인 법칙인 큰 수의 법칙을 살펴보겠습니다. 그리고 너무 많은 것들에 적용되기 때문에 가끔 쓰이고 오해를 받기도 합니다. 먼저 정확성에 대한 정의를 제공하고 직관에 대해 이야기하겠습니다. 확률 변수, 예를 들어 X를 가정해 보겠습니다. 수학적 기대치 또는 모집단 평균을 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 큰 수의 법칙은 단순히 확률 변수의 n번째 관찰 횟수의 예를 취하고 모든 관찰 횟수의 평균을 낸다면... 변수를 취합시다. 아래 첨자 n과 상단에 대시를 사용하여 X라고 부르겠습니다. 이것은 랜덤 변수의 n번째 관측값의 산술 평균입니다. 여기 내 첫 번째 관찰이 있습니다. 저는 실험을 한 번 하고 이 관찰을 하고, 또 다시 하고, 이 관찰을 하고, 다시 하고 이것을 얻습니다. 이 실험을 n번 실행한 다음 관찰 횟수로 나눕니다. 여기 내 표본 평균이 있습니다. 다음은 내가 수행한 모든 관찰의 평균입니다. 큰 수의 법칙은 표본 평균이 확률 변수의 평균에 접근할 것임을 알려줍니다. 또는 내 표본 평균이 무한대로 가는 n번째 숫자에 대한 모집단 평균에 접근할 것이라고 쓸 수도 있습니다. "근사"와 "수렴"을 명확하게 구분하지는 않겠지만 여기에서 상당히 큰 표본을 취하면 전체 모집단에 대한 예상 값을 얻을 수 있다는 점을 직관적으로 이해하시기 바랍니다. 많은 샘플 샘플로 충분한 테스트를 수행하면 결국 테스트에서 수학적 기대치, 확률 및 모든 것을 고려하여 예상한 값을 얻을 수 있다는 것을 대부분의 사람들이 직관적으로 이해하고 있다고 생각합니다. 하지만 왜 이런 일이 일어나는지 종종 불분명하다고 생각합니다. 왜 그런지 설명하기 전에 구체적인 예를 들어보겠습니다. 큰 수의 법칙은 우리에게 다음과 같이 알려줍니다. 무작위 변수 X가 있다고 가정해 봅시다. 그것은 올바른 동전을 100번 던질 때 앞면이 나온 수와 같습니다. 우선, 우리는 이 랜덤 변수의 수학적 기대치를 알고 있습니다. 이것은 동전 던지기 또는 시도 횟수에 시도 성공 확률을 곱한 것입니다. 따라서 50과 같습니다. 즉, 큰 수의 법칙에 따르면 표본을 취하거나 이러한 시도의 평균을 구하면 얻을 수 있습니다. .. 처음 테스트를 할 때 동전을 100번 던지거나 100개의 동전이 든 상자를 들고 흔들어서 앞면이 나온 횟수를 세고 숫자 55를 얻습니다. X1. 그런 다음 상자를 다시 흔들면 숫자 65가 나옵니다. 그런 다음 다시 - 그리고 45가 됩니다. 이 작업을 n번 수행한 다음 시행 횟수로 나눕니다. 큰 수의 법칙은 이 평균(내 모든 관찰의 평균)이 50이 되는 경향이 있는 반면 n은 무한대가 되는 경향이 있음을 알려줍니다. 이제 왜 이런 일이 일어나는지에 대해 조금 이야기하고 싶습니다. 많은 사람들은 100번의 시행 후에 내 결과가 평균 이상이라면 확률의 법칙에 따라 차이를 보상하기 위해 더 많거나 적은 머리를 가져야 한다고 믿습니다. 이것은 정확히 일어날 일이 아닙니다. 이것을 흔히 "도박사의 오류"라고 합니다. 차이점을 보여드리겠습니다. 다음 예를 사용하겠습니다. 그래프를 그려보겠습니다. 색상을 변경해 보겠습니다. 이것은 n이고 내 x축은 n입니다. 이것은 내가 실행할 테스트의 수입니다. 그리고 내 y축은 표본 평균이 될 것입니다. 이 임의 변수의 평균이 50이라는 것을 알고 있습니다. 내가 이것을 그려 보자. 이것은 50입니다. 우리의 예로 돌아가 봅시다. n이... 첫 번째 테스트에서 평균인 55를 얻었습니다. 데이터 진입점이 하나뿐입니다. 그런 다음 두 번의 시도 후에 65가 됩니다. 그래서 제 평균은 65+55를 2로 나눈 값이 됩니다. 그것은 60입니다. 그리고 제 평균은 약간 올라갔습니다. 그런 다음 산술 평균을 다시 낮추는 45를 얻었습니다. 차트에 45를 표시하지 않겠습니다. 이제 모든 평균을 계산해야 합니다. 45+65는 무엇과 같습니까? 이 값을 계산하여 점을 나타내겠습니다. 그건 165 나누기 3입니다. 그건 53입니다. 아니, 55. 그래서 평균은 다시 55로 떨어집니다. 우리는 이러한 테스트를 계속할 수 있습니다. 우리가 세 번의 시행을 거쳐 이 평균을 얻은 후에 많은 사람들은 확률의 신이 그렇게 하여 미래에 더 적은 수의 앞면이 나오도록 하고 다음 몇 번의 시행은 평균을 줄이기 위해 더 낮아질 것이라고 생각합니다. 그러나 항상 그런 것은 아닙니다. 미래에도 확률은 항상 동일하게 유지됩니다. 내가 머리를 굴릴 확률은 항상 50%입니다. 처음에는 예상보다 많은 머리가 나왔다가 갑자기 꼬리가 빠지는 것이 아닙니다. 이것이 "플레이어의 오류"입니다. 불균형한 수의 앞면이 나온다고 해서 어느 시점에서 불균형적인 수의 뒷면이 떨어지기 시작한다는 의미는 아닙니다. 이것은 완전히 사실이 아닙니다. 큰 수의 법칙은 그것이 중요하지 않다고 말합니다. 예를 들어, 유한한 횟수의 시행 후에 평균이... 이것의 확률은 매우 낮지만 그럼에도 불구하고... 평균이 이 표시인 70에 도달했다고 가정해 보겠습니다. 당신은 "와, 우리는 기대 이상으로 갔다"고 생각하고 있습니다. 그러나 큰 수의 법칙은 우리가 얼마나 많은 테스트를 실행하는지 상관하지 않는다고 말합니다. 우리 앞에는 여전히 무한한 시련이 있습니다. 특히 이와 같은 상황에서 이 무한한 시도의 수학적 기대는 다음과 같을 것입니다. 어떤 큰 가치를 표현하는 유한 수를 생각해 냈을 때, 그것에 수렴하는 무한 수는 다시 예상 값으로 이어질 것입니다. 물론 이것은 매우 느슨한 해석이지만 이것이 큰 수의 법칙이 말하는 것입니다. 그건 중요해. 그는 우리가 앞면을 많이 얻으면 어떻게든 뒷면을 얻을 확률이 증가하여 보상할 것이라고 말하지 않습니다. 이 법칙은 우리 앞에 무한한 수의 시행이 있는 한 유한한 수의 시행으로 결과가 어떻게 되든 상관없다고 말합니다. 그리고 당신이 그들을 충분히 만든다면, 당신은 다시 기대치로 돌아올 것입니다. 이것은 중요한 포인트입니다. 그것에 대해 생각해보십시오. 그러나 이것은 복권과 카지노에서 실제로 매일 사용되지는 않지만 충분한 테스트를 수행하면 ... 우리는 계산할 수도 있습니다 ... 우리가 표준에서 심각하게 벗어날 확률은 얼마입니까? 그러나 카지노와 복권은 적은 수의 샘플로 물론 짧은 시간에 충분한 사람들을 취하면 소수의 사람들이 대박을 칠 것이라는 원칙에 따라 매일 작동합니다. 그러나 장기적으로 카지노는 초대한 게임의 매개변수로부터 항상 이익을 얻을 것입니다. 이것은 직관적인 중요한 확률 원리입니다. 때로는 무작위 변수로 공식적으로 설명할 때 모든 것이 약간 혼란스러워 보입니다. 이 법칙에 따르면 샘플이 많을수록 해당 샘플의 산술 평균이 실제 평균으로 수렴됩니다. 더 구체적으로 말하면 표본의 산술 평균은 확률 변수의 수학적 기대치와 수렴합니다. 그게 다야. 다음 영상에서 만나요!

큰 수의 약한 법칙

대수의 약법칙은 1713년에 이를 증명한 Jacob Bernoulli의 이름을 따서 Bernoulli의 정리라고도 합니다.

동일하게 분포되고 상관되지 않은 확률 변수의 무한 시퀀스(연속적인 열거)가 있다고 하자. 즉, 그들의 공분산 c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). 허락하다 . 첫 번째의 표본 평균으로 표시 n (\디스플레이 스타일 n)회원:

.

그 다음에 X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

즉, 모든 긍정적 ε (\displaystyle \varepsilon )

큰 수의 강력한 법칙

독립적으로 동일하게 분포된 랜덤 변수의 무한 시퀀스가 ​​있다고 가정합니다. ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty ))하나의 확률 공간에 정의 (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). 허락하다 E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). 로 나타내다 X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n))첫 번째 표본 평균 n (\디스플레이 스타일 n)회원:

그 다음에 X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu )거의 언제나.

모든 수학 법칙과 마찬가지로 큰 수의 법칙은 어느 정도의 정확도로만 충족될 수 있는 알려진 가정 하에서만 실제 세계에 적용될 수 있습니다. 예를 들어, 연속적인 테스트의 조건은 종종 무한정 절대 정확도로 유지될 수 없습니다. 또한 큰 수의 법칙은 정말 같지 않음수학적 기대치에서 평균값의 상당한 편차.

평균값은 통계에서 가장 일반적인 지표입니다. 이는 정량적으로 변하는 속성에 따라 모집단을 특성화하는 데 사용할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 두 기업의 근로자의 임금을 비교하기 위해 두 특정 근로자의 임금은 가변 지표 역할을 하기 때문에 취할 수 없습니다. 또한 기업에서 지급하는 급여의 총액은 직원 수에 따라 달라지므로 공제할 수 없습니다. 각 기업의 총액을 직원수로 나누면 비교하여 어느 기업이 평균임금이 더 높은지 알 수 있습니다.

즉, 조사 대상 근로자의 임금은 평균값에서 일반화된 특성을 갖는다. 연구 대상 특성과 관련하여 근로자 전체의 특징인 일반적이고 전형성을 나타냅니다. 이 값에서는 모집단 단위에 대해 다른 값을 갖는 이 속성의 일반적인 측정값을 보여줍니다.

평균값의 결정. 통계의 평균 값은 양적으로 변하는 속성에 따라 유사한 현상 집합의 일반화된 특성입니다. 평균값은 인구 단위와 관련된 이 기능의 수준을 나타냅니다. 평균 값의 도움으로 다양한 특성(1인당 소득, 작물 수확량, 다양한 기업의 생산 비용)에 따라 다양한 골재를 서로 비교할 수 있습니다.

평균 값은 항상 우리가 연구 중인 모집단을 특성화하고 모집단의 모든 단위에 동일하게 고유한 기능의 양적 변동을 일반화합니다. 이것은 평균값 뒤에는 항상 다양한 속성에 따라 인구 단위의 일련의 분포가 있음을 의미합니다. 변형 시리즈. 이와 관련하여 평균값은 상대값, 특히 강도 표시기와 근본적으로 다릅니다. 집약도 지표는 서로 다른 두 집합체의 부피 비율(예: 1인당 GDP 생산량)이고, 평균 지표는 특성 중 하나에 따라 집합체 요소의 특성을 일반화합니다(예: 평균 노동자의 임금).

평균값과 큰 수의 법칙.평균 지표의 변화에는 전반적인 현상의 발전 과정이 형성되는 영향으로 일반적인 추세가 나타나지만 개별 개별 경우에는 이러한 추세가 명확하게 나타나지 않을 수 있습니다. 평균이 사실의 방대한 일반화를 기반으로 하는 것이 중요합니다. 이 조건에서만 전체 프로세스의 기저에 깔린 일반적인 경향을 드러낼 것입니다.

큰 수의 법칙의 본질과 평균에 대한 중요성은 관찰 수가 증가함에 따라 무작위 원인에 의해 생성된 편차를 점점 더 완전히 상쇄합니다. 즉, 대수의 법칙은 특정한 장소와 시간의 조건하에서 변하는 속성의 전형적인 수준이 평균값에 나타나도록 하는 조건을 만든다. 이 수준의 값은 이 현상의 본질에 의해 결정됩니다.

평균 유형.통계에 사용되는 평균 값은 전력 수단의 클래스에 속하며 일반 공식은 다음과 같습니다.

여기서 x는 거듭제곱 평균입니다.

X - 속성 값 변경(옵션)

- 숫자 옵션

평균의 지수;

요약 기호입니다.

평균 지수의 다른 값에 대해 다른 유형의 평균이 얻어집니다.

산술 평균;

평균 제곱;

평균 입방체;

평균 고조파;

기하학적 평균.

동일한 소스 통계를 사용할 때 다른 유형의 평균은 다른 의미를 갖습니다. 동시에 평균의 지수가 클수록 값이 높아집니다.

통계에서 각 개별 사례의 정확한 모집단 특성화는 완전히 명확한 유형의 평균 값에 의해서만 제공됩니다. 이러한 유형의 평균 값을 결정하기 위해 평균의 속성을 결정하는 기준이 사용됩니다. 모든 변이가 평균으로 대체될 때 평균 값은 다양한 속성에 따라 모집단의 진정한 일반화 특성이 됩니다. 값, 가변 속성의 총 볼륨은 변경되지 않은 상태로 유지됩니다. 즉, 가변 피처의 전체 볼륨이 어떻게 형성되는지에 따라 올바른 유형의 평균이 결정됩니다. 따라서 산술 평균은 가변 특성의 부피가 개별 옵션의 합으로 형성될 때, 평균 제곱 - 가변 특성의 부피가 제곱합으로 형성될 때 조화 평균 - 의 합으로 사용됩니다. 개별 옵션의 역수, 기하 평균 - 개별 옵션의 곱. 통계의 평균값 외에

변수 기능(구조 평균), 모드(가장 일반적인 변형) 및 중앙값(중간 변형) 분포의 기술적인 특성이 사용됩니다.