Энгийн хэллэгээр дундажийн хууль. Дундаж утгууд. Их тооны сул хууль

Олон тооны тухай үгс нь тестийн тоог хэлдэг - санамсаргүй хэмжигдэхүүний олон тооны утгууд эсвэл олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний хуримтлагдсан үйлдлийг харгалзан үздэг. Энэ хуулийн мөн чанар нь дараах байдалтай байна: нэг туршилтанд нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн ямар утгыг авахыг урьдчилан таамаглах боломжгүй боловч олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үйл ажиллагааны нийт үр дүн санамсаргүй шинж чанараа алдаж, бараг найдвартай урьдчилан таамаглах (өөрөөр хэлбэл өндөр магадлалтай). Жишээлбэл, зоос аль тал дээр унахыг таамаглах боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та 2 тонн зоос шидвэл төрийн сүлд унасан зоосны жин 1 тонн байна гэж маш их итгэлтэйгээр маргаж болно.

Юуны өмнө, Чебышевын тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг том тооны хуулийг хэлдэг бөгөөд энэ нь дундаж утгаас өгөгдсөн утгаас илүүгүй хазайсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр утгыг хүлээн авах магадлалыг тусдаа тестээр тооцдог.

Чебышевын тэгш бус байдал. Болъё Xдурын санамсаргүй хэмжигдэхүүн, a=M(X) , a Д(X) түүний тархалт юм. Дараа нь

Жишээ. Машин дээр боловсруулсан ханцуйны диаметрийн нэрлэсэн (жишээ нь шаардлагатай) утга нь 5мм, мөн ялгаа байхгүй болсон 0.01 (энэ нь машины нарийвчлалын хүлцэл юм). Нэг бутыг үйлдвэрлэхэд түүний диаметр нь нэрлэсэн хэмжээнээс бага байх магадлалыг тооцоол. 0.5 мм .

Шийдэл. r.v. X- үйлдвэрлэсэн бутны диаметр. Нөхцөлөөр түүний математикийн хүлээлт нь нэрлэсэн диаметртэй тэнцүү байна (хэрэв машиныг суурилуулахад системчилсэн алдаа гараагүй бол): a=M(X)=5 , мөн ялгаа Д(X)≤0.01. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглах ε = 0.5, бид авах:

Тиймээс ийм хазайлтын магадлал нэлээд өндөр байгаа тул нэг хэсгийг үйлдвэрлэх тохиолдолд диаметрийн нэрлэсэн хэмжээнээс хазайх нь бараг л хэтрэхгүй байх болно гэж бид дүгнэж болно. 0.5 мм .

Үндсэндээ стандарт хазайлт σ онцлогтой дундажсанамсаргүй хэмжигдэхүүний төвөөс хазайх (өөрөөр хэлбэл математикийн хүлээлтээс). Учир нь тэр дундажхазайлт, дараа нь туршилтын явцад их хэмжээний хазайлт (о-г онцолсон) боломжтой. Практикт хэр их хазайлт хийх боломжтой вэ? Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахдаа бид "гурван сигма" дүрмийг гаргасан: хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн. X нэг тестээр-аас бараг дунджаас хазайдаггүй 3σ, хаана σ= σ(X)нь r.v-ийн стандарт хазайлт юм. X. Бид тэгш бус байдлыг олж авсан баримтаас ийм дүрмийг гаргасан

.

Одоо гарах магадлалыг тооцоолъё дур зоргоороосанамсаргүй хувьсагч Xдундаж утгаас стандарт хазайлтаас гурав дахин ихгүй зөрүүтэй утгыг хүлээн авна. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглах ε = 3σмөн үүнийг өгсөн Д(X)=σ 2 , бид авах:

.

Энэ замаар, ерөнхийдөөБид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажаас гурван стандарт хазайлтаас илүүгүй хазайх магадлалыг тоогоор нь тооцоолж болно. 0.89 , харин хэвийн тархалтын хувьд үүнийг магадлалаар баталгаажуулж болно 0.997 .

Чебышевын тэгш бус байдлыг бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системд нэгтгэж болно.

Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдал. Хэрэв бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 1 , X 2 , … , X n М(X би )= аболон тархалт Д(X би )= Д, дараа нь

At n=1 Энэ тэгш бус байдал нь дээр дурдсан Чебышевын тэгш бус байдал руу шилждэг.

Харгалзах асуудлыг шийдвэрлэхэд бие даасан ач холбогдолтой Чебышевын тэгш бус байдал нь Чебышевын теоремыг батлахад ашиглагддаг. Бид эхлээд энэ теоремын мөн чанарыг тайлбарлаж, дараа нь түүний албан ёсны томъёоллыг өгдөг.

Болъё X 1 , X 2 , … , X n– математикийн хүлээлт бүхий олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн М(X 1 )=а 1 , … , М(X n )=а n. Туршилтын үр дүнд тус бүр нь дунджаас хол утгыг (өөрөөр хэлбэл математикийн хүлээлт) авч чаддаг боловч санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.
, тэдгээрийн арифметик дундажтай тэнцүү, өндөр магадлалтай нь тогтмол тоотой ойролцоо утгыг авна.
(энэ нь бүх математикийн хүлээлтийн дундаж юм). Энэ нь дараах гэсэн үг юм. Туршилтын үр дүнд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг авч үзье X 1 , X 2 , … , X n(тэдгээрийн олон байна!) үүний дагуу утгыг авсан X 1 , X 2 , … , X nтус тус. Дараа нь эдгээр утгууд нь харгалзах санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгуудаас хол байж болох юм бол тэдгээрийн дундаж утга
ойр байх магадлалтай
. Тиймээс олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь санамсаргүй шинж чанараа аль хэдийн алдаж, маш нарийвчлалтай урьдчилан таамаглах боломжтой байдаг. Үүнийг утгуудын санамсаргүй хазайлтаар тайлбарлаж болно X би-аас а биөөр өөр шинж тэмдэгтэй байж болох тул нийтдээ эдгээр хазайлтыг өндөр магадлалтайгаар нөхдөг.

Терема Чебышева (их тооны хуульЧебышев хэлбэрээр). Болъё X 1 , X 2 , … , X n … ялгаа нь ижил тоогоор хязгаарлагдах хос бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал юм. Тэгвэл ε тоог хичнээн бага авсан ч тэгш бус байх магадлал

тоо бол дур зоргоороо нэгдмэл ойр байх болно nхангалттай том хэмжээтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Албан ёсоор энэ нь теоремийн нөхцөлд гэсэн үг юм

Энэ төрлийн нэгдлийг магадлалын нэгдэл гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Тиймээс Чебышевын теорем нь хэрэв хангалттай олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгаа бол нэг тестийн арифметик дундаж нь тэдний математикийн хүлээлтийн дундажтай ойролцоо утгыг авах нь гарцаагүй гэж хэлдэг.

Ихэнх тохиолдолд Чебышевын теоремыг санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй нөхцөлд ашигладаг X 1 , X 2 , … , X n … ижил тархалттай (өөрөөр хэлбэл ижил тархалтын хууль эсвэл ижил магадлалын нягт). Үнэн хэрэгтээ энэ нь ижил санамсаргүй хэмжигдэхүүний олон тооны жишээ юм.

Үр дагавар(Ерөнхий Чебышевын тэгш бус байдлын тухай). Хэрэв бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 1 , X 2 , … , X n … Математикийн хүлээлттэй ижил тархалттай байна М(X би )= аболон тархалт Д(X би )= Д, дараа нь

, өөрөөр хэлбэл
.

Нотлох баримт нь Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдлын хязгаарт шилжих замаар гарч ирдэг n→∞ .

Дээр бичсэн тэгшитгэл нь хэмжигдэхүүний үнэ цэнийг баталгаажуулахгүй гэдгийг бид дахин тэмдэглэж байна
хандлагатай байдаг ацагт n→∞. Энэ утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн хэвээр байгаа бөгөөд түүний бие даасан утга нь үүнээс нэлээд хол байж болно а. Гэхдээ ийм магадлал (хол а) нэмэгдэж буй үнэ цэнэ n 0 байх хандлагатай байна.

Сэтгэгдэл. Үр дүнгийн дүгнэлт нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй харьцуулахад илүү ерөнхий тохиолдолд хүчинтэй байх нь ойлгомжтой. X 1 , X 2 , … , X n … өөр тархалттай боловч математикийн хүлээлт ижил байна (тэнцүү а) болон нийлбэрт хязгаарлагдмал хэлбэлзэл. Энэ нь эдгээр хэмжилтийг өөр өөр хэрэглүүрээр хийсэн ч тодорхой хэмжигдэхүүнийг хэмжих нарийвчлалыг урьдчилан таамаглах боломжтой болгодог.

Хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд энэхүү үр дүнгийн хэрэглээг илүү нарийвчлан авч үзье. Зарим төхөөрөмж ашиглацгаая nжинхэнэ утга нь ижил хэмжигдэхүүнтэй хэмжилт амөн бид мэдэхгүй. Ийм хэмжилтийн үр дүн X 1 , X 2 , … , X nбие биенээсээ эрс ялгаатай байж болно (мөн жинхэнэ утгаас а) янз бүрийн санамсаргүй хүчин зүйлээс (даралтын уналт, температур, санамсаргүй чичиргээ гэх мэт). R.v-г авч үзье. X- хэмжигдэхүүнийг нэг удаа хэмжих хэрэгслийн уншилт, түүнчлэн r.v-ийн багц. X 1 , X 2 , … , X n- эхний, хоёр дахь, ..., сүүлчийн хэмжилтийн үед багажийн уншилт. Тиймээс тоо хэмжээ тус бүр X 1 , X 2 , … , X n r.v-ийн тохиолдлуудын зөвхөн нэг нь байдаг. X, тиймээс тэд бүгд r.v-тэй ижил тархалттай байна. X. Хэмжилтийн үр дүн нь бие биенээсээ хамааралгүй тул r.v. X 1 , X 2 , … , X nбие даасан гэж үзэж болно. Хэрэв төхөөрөмж системчилсэн алдаа гаргаагүй бол (жишээлбэл, тэг нь масштаб дээр "унаагүй", пүрш нь сунадаггүй гэх мэт) математикийн хүлээлт гэж бид үзэж болно. M(X) = a, Тиймээс М(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Тиймээс дээрх үр дүнгийн нөхцөлүүд хангагдсан тул тоо хэмжээний ойролцоо утгатай болно. абид санамсаргүй хэмжигдэхүүний "хэрэгжилт"-ийг авч болно
бидний туршилтанд (цувралаас бүрдсэн nхэмжилт), өөрөөр хэлбэл.

.

Олон тооны хэмжилтээр энэ нь бараг найдвартай байдаг сайн нарийвчлалЭнэ томъёог ашиглан тооцоо хийх. Энэ нь олон тооны хэмжилтийн үед тэдгээрийн арифметик дундаж нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгаас бараг ялгаагүй гэсэн практик зарчмын үндэслэл юм.

Математикийн статистикт өргөн хэрэглэгддэг "түүвэрлэлтийн" арга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний харьцангуй бага түүврээс объектив шинж чанарыг хүлээн зөвшөөрөгдөх нарийвчлалтайгаар олж авах боломжийг олгодог олон тооны хууль дээр суурилдаг. Гэхдээ энэ талаар дараагийн хэсэгт хэлэлцэх болно.

Жишээ. Системчилсэн гажуудал үүсгэдэггүй хэмжих төхөөрөмж дээр тодорхой хэмжигдэхүүнийг хэмждэг анэг удаа (хүлээн авсан үнэ цэнэ X 1 ), дараа нь өөр 99 удаа (авсан утгууд X 2 , … , X 100 ). Хэмжилтийн жинхэнэ утгын хувьд аэхлээд эхний хэмжилтийн үр дүнг авна
, дараа нь бүх хэмжилтийн арифметик дундаж
. Төхөөрөмжийн хэмжилтийн нарийвчлал нь хэмжилтийн стандарт хазайлт σ нь 1-ээс ихгүй байна (учир нь тархалт Д=σ 2 мөн 1-ээс хэтрэхгүй). Хэмжилтийн аргууд тус бүрийн хувьд хэмжилтийн алдаа 2-оос хэтрэхгүй байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. r.v. X- нэг хэмжилтийн багажийн уншилт. Дараа нь нөхцөлөөр M(X)=a. Асуултанд хариулахын тулд бид Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдлыг ашигладаг

ε хувьд =2 эхлээд n=1 тэгээд дараа нь n=100 . Эхний тохиолдолд бид авдаг
, хоёрдугаарт. Тиймээс, хоёр дахь тохиолдол нь өгөгдсөн хэмжилтийн нарийвчлалыг бараг баталгаажуулдаг бол эхнийх нь энэ утгаараа ноцтой эргэлзээ төрүүлдэг.

Дээрх мэдэгдлүүдийг Бернулли схемд үүссэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд хэрэглэцгээе. Энэ схемийн мөн чанарыг эргэн санацгаая. Үүнийг үйлдвэрлэе n бие даасан туршилтууд, тус бүрдээ зарим үйл явдал ГЭХДЭЭижил магадлалтай гарч ирж болно Р, a q=1–r(энэ нь эсрэг үйл явдлын магадлал юм - үйл явдал тохиолдох биш ГЭХДЭЭ) . Хэдэн тоо гаргая nийм туршилтууд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье: X 1 - үйл явдлын тохиолдлын тоо ГЭХДЭЭ in 1 тест, ..., X n- үйл явдлын тохиолдлын тоо ГЭХДЭЭ in nр тест. Бүгдийг танилцуулсан r.v. утгыг авч болно 0 эсвэл 1 (үйл явдал ГЭХДЭЭтуршилтанд гарч ирж болно, эсвэл байхгүй), мөн утга 1 магадлал бүхий туршилт бүрт нөхцөлтэйгээр хүлээн зөвшөөрсөн х(үйл явдал болох магадлал ГЭХДЭЭтуршилт бүрт), мөн утга 0 магадлалаар q= 1 – х. Тиймээс эдгээр хэмжигдэхүүнүүд ижил хуваарилалтын хуультай байна:

Тиймээс эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн дундаж утга ба тэдгээрийн тархалт нь ижил байна: М(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= х ; Д(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ х)− х 2 = х∙(1− х)= х ∙ q, … , Д(X n )= х ∙ q . Эдгээр утгыг Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдалд орлуулснаар бид олж авна

.

r.v гэдэг нь тодорхой байна. X=X 1 +…+Х nнь үйл явдлын тохиолдлын тоо юм ГЭХДЭЭбүгдээрээ nсорилтууд (тэдний хэлснээр - "амжилтын тоо" nтуршилтууд). Оруул nтуршилтын үйл явдал ГЭХДЭЭ-д гарч ирэв к тэднээс. Дараа нь өмнөх тэгш бус байдлыг дараах байдлаар бичиж болно

.

Гэхдээ хэмжээ
, үйл явдлын тохиолдлын тооны харьцаатай тэнцүү байна ГЭХДЭЭ in nбие даасан туршилт, туршилтын нийт тоо, өмнө нь харьцангуй үйл явдлын хувь гэж нэрлэдэг ГЭХДЭЭ in nтуршилтууд. Тиймээс тэгш бус байдал бий

.

Одоо хязгаарт хүрч байна n→∞, бид олж авна
, өөрөөр хэлбэл
(магадлалын дагуу). Энэ бол Бернулли хэлбэрийн их тооны хуулийн агуулга юм. Үүнээс үзэхэд хангалттай олон тооны туршилт хийх боломжтой nхарьцангуй давтамжийн дур мэдэн жижиг хазайлт
түүний магадлалаас үйл явдал Рбараг тодорхой үйл явдлууд бөгөөд том хазайлт нь бараг боломжгүй юм. Харьцангуй давтамжийн ийм тогтвортой байдлын талаархи дүгнэлт (бид үүнийг өмнө нь гэж нэрлэдэг байсан туршилтынбаримт) нь үйл явдлын магадлалын тухай өмнө нь танилцуулсан статистик тодорхойлолтыг эргэн тойронд нь үйл явдлын харьцангуй давтамж хэлбэлздэг тоо гэж зөвтгөдөг.

Үүнийг харгалзан үзвэл илэрхийлэл х∙ q= х∙(1− х)= х− х 2 өөрчлөлтийн интервалаас хэтрэхгүй
(энэ сегмент дээрх энэ функцийн хамгийн бага утгыг олох замаар үүнийг шалгахад хялбар байдаг), дээрх тэгш бус байдлаас
үүнийг авахад амархан

,

харгалзах асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг (тэдгээрийн аль нэгийг доор өгөх болно).

Жишээ. Зоосыг 1000 удаа эргүүлэв. Сүлд харагдах харьцангуй давтамжийн магадлалаас хазайх нь 0.1-ээс бага байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Тэгш бус байдлыг хэрэглэх
цагт х= q=1/2 , n=1000 , ε=0.1, бид авдаг.

Жишээ. Өмнөх жишээний нөхцөлд тоо гарах магадлалыг тооцоол кунасан төрийн сүлдний хүрээнд байх болно 400 өмнө 600 .

Шийдэл. Нөхцөл байдал 400< к<600 гэсэн үг 400/1000< к/ n<600/1000 , өөрөөр хэлбэл 0.4< В n (А)<0.6 эсвэл
. Өмнөх жишээнээс харахад ийм үйл явдлын магадлал хамгийн багадаа байна 0.975 .

Жишээ. Зарим үйл явдлын магадлалыг тооцоолох ГЭХДЭЭ 1000 туршилт явуулсан бөгөөд үүнд үйл явдал болсон ГЭХДЭЭ 300 удаа гарч ирэв. Харьцангуй давтамж (300/1000=0.3-тай тэнцүү) бодит магадлалаас өөр байх магадлалыг тооцоол. Р 0.1-ээс ихгүй байна.

Шийдэл. Дээрх тэгш бус байдлыг ашиглах
n=1000, ε=0.1-ийн хувьд бид .

Их тооны хууль

Их тооны хуульМагадлалын онолд тогтмол тархалтаас хангалттай том хязгаарлагдмал түүврийн эмпирик дундаж (арифметик дундаж) нь энэ тархалтын онолын дундаж (хүлээлт) ойролцоо байна гэж заасан. Конвергенцийн төрлөөс хамааран магадлалын нэгдэл үүсэх үед олон тооны сул хууль, бараг хаа сайгүй нийлэх үед их тооны хүчирхэг хуулийг ялгадаг.

Урьдчилан тогтоосон магадлалын хувьд аливаа үйл явдлын харьцангуй давтамж нь түүний магадлалаас бага зэрэг ялгаатай байх тул ийм олон тооны туршилтууд үргэлж байх болно.

Олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн хамтарсан үйл ажиллагаа нь тохиолдлоос бараг хамааралгүй үр дүнд хүргэдэг гэсэн үг юм.

Хязгаарлагдмал түүврийн шинжилгээнд үндэслэн магадлалыг тооцоолох аргууд нь энэ шинж чанарт суурилдаг. Сонгогчдын дунд явуулсан санал асуулгад үндэслэн сонгуулийн үр дүнг урьдчилан таамагласан нь сайн жишээ юм.

Их тооны сул хууль

Ижил магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон, ижил тархсан ба хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хязгааргүй дараалал (дараалсан тоолол) байг. Энэ нь тэдний ковариац юм. Let . Эхний нэр томъёоны түүврийн дундаж утгыг тэмдэглэе.

Их тооны хүчтэй хууль

Ижил магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хязгааргүй дараалал байг. Let . Эхний нэр томъёоны түүврийн дундаж утгыг тэмдэглэе.

Дараа нь бараг гарцаагүй.

бас үзнэ үү

Уран зохиол

• Ширяев А.Н.Магадлал, - М .: Шинжлэх ухаан. 1989 он.
• Чистяков В.П.Магадлалын онолын курс, - М., 1982.

Викимедиа сан. 2010 он.

• Оросын кино театр
• Громека, Михаил Степанович

Бусад толь бичгүүдээс "Том тооны хууль" гэж юу болохыг хараарай.

ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- (олон тооны хууль) Хүн амын бие даасан гишүүдийн зан байдал маш их ялгаатай тохиолдолд бүлгийн зан байдал нь түүний аль нэг гишүүний зан төлөвөөс дунджаар илүү урьдчилан таамаглах боломжтой байдаг. Ямар бүлгүүдийн чиг хандлага ... ... Эдийн засгийн толь бичиг

ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- ТОМ ТООНЫ ХУУЛИЙГ үзнэ үү. Антинази. Социологийн нэвтэрхий толь, 2009 ... Социологийн нэвтэрхий толь бичиг

Их тооны хууль- нийгмийн олон нийтийн үзэгдэлд хамаарах тоон хэв маяг нь хангалттай олон тооны ажиглалтаар хамгийн тод илэрдэг зарчим. Ганц үзэгдлүүд санамсаргүй болон ... ... нөлөөнд илүү өртөмтгий байдаг. Бизнесийн нэр томьёоны тайлбар толь

ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- магадлал нь нэгтэй ойролцоо байх үед ойролцоогоор ижил дарааллын олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь эдгээр хувьсагчдын математик хүлээлтийн арифметик дундажтай тэнцүү тогтмол хэмжээнээс бага зэрэг ялгаатай байх болно гэж мэдэгджээ. Ялгаа…… Геологийн нэвтэрхий толь бичиг

их тооны хууль- — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Цахилгааны инженерчлэл ба эрчим хүчний үйлдвэрлэлийн англи хэлний орос хэлний толь бичиг, Москва, 1999] Цахилгааны инженерийн сэдэв, үндсэн ойлголтууд EN их хэмжээний дундаж хуулийн тухай хууль ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

их тооны хууль- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: англи хэл. их тооны хууль vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. их тооны хууль, m pranc. loi des grands nombres, f … Физикос терминų žodynas

ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- санамсаргүй хүчин зүйлсийн нэгдмэл үйл ажиллагаа нь тодорхой ерөнхий нөхцөлд бараг тохиолдлын хамааралгүй үр дүнд хүргэдэг ерөнхий зарчим. Санамсаргүй тохиолдлын давтамжийг түүний магадлалын тоо нэмэгдэхэд нийлэх нь ... ... Оросын социологийн нэвтэрхий толь бичиг

Их тооны хууль- олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн хуримтлагдсан үйл ажиллагаа нь тодорхой ерөнхий нөхцөлд бараг тохиолдлын хамааралгүй үр дүнд хүргэдэг тухай хууль ... Социологи: толь бичиг

ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- түүврийн болон нийт хүн амын статистик үзүүлэлтүүдийн (параметрүүдийн) хамаарлыг илэрхийлсэн статистикийн хууль. Тодорхой түүврээс олж авсан статистик үзүүлэлтүүдийн бодит утга нь тухайн нэрлэсэн зүйлээс үргэлж ялгаатай байдаг. онолын ...... Социологи: нэвтэрхий толь бичиг

ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- ижил төрлийн олон тооны алдагдалтай үед тодорхой төрлийн санхүүгийн алдагдлын давтамжийг өндөр нарийвчлалтайгаар урьдчилан таамаглах зарчим ... Эдийн засаг, хуулийн нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Ширээний багц. Математик. Магадлалын онол ба математик статистик. 6 хүснэгт + арга зүй, . Хүснэгтийг 680 х 980 мм хэмжээтэй зузаан полиграфик картон дээр хэвлэв. Энэхүү багцад багш нарт зориулсан арга зүйн зөвлөмж бүхий товхимол багтсан болно. 6 хуудас бүхий боловсролын цомог. Санамсаргүй…

Амжилттай борлуулагчдын нууц юу вэ? Хэрэв та аль ч компанийн шилдэг борлуулагчдыг ажиглавал тэдэнтэй ижил төстэй зүйл байгааг анзаарах болно. Тэд тус бүр нь амжилт муутай борлуулагчдаас илүү олон хүнтэй уулзаж, олон илтгэл тавьдаг. Эдгээр хүмүүс борлуулалт бол тооны тоглоом гэдгийг ойлгодог бөгөөд олон хүнд бүтээгдэхүүн, үйлчилгээнийхээ талаар ярих тусам тэд илүү олон хэлэлцээрийг хаадаг. Зөвхөн өөрт нь "Тийм" гэж хариулдаг цөөхөн хүмүүстэй төдийгүй тэдний саналыг төдийлөн сонирхдоггүй хүмүүстэй ч харилцаж чадвал дундажийн хууль тэдний талд үйлчилнэ гэдгийг тэд ойлгож байгаа.

Таны орлого борлуулалтын тооноос хамаарна, гэхдээ тэр үед таны хийсэн илтгэлийн тоотой шууд пропорциональ байх болно. Дундаж хэмжигдэхүүний хуулийг ойлгож, хэрэгжүүлж эхэлмэгц шинэ бизнес эхлүүлэх, шинэ салбарт ажиллахтай холбоотой түгшүүр багасаж эхэлнэ. Үүний үр дүнд хяналт, орлого олох чадварт итгэх итгэл нэмэгдэж эхэлнэ. Хэрэв та зүгээр л танилцуулга хийж, энэ явцад ур чадвараа дээшлүүлбэл тохиролцоо хийх болно.

Хэлэлцээрийн тоог бодохын оронд илтгэлийн тоог бодоорой. Өглөө босоод эсвэл орой гэртээ ирээд хэн таны бүтээгдэхүүнийг авах бол гэж бодож эхлэх нь утгагүй юм. Үүний оронд өдөр бүр хэдэн дуудлага хийхээ төлөвлөх нь дээр. Тэгээд дараа нь юу ч байсан хамаагүй - эдгээр бүх дуудлагыг хий! Энэ арга нь таны ажлыг хөнгөвчлөх болно - учир нь энэ нь энгийн бөгөөд тодорхой зорилго юм. Хэрэв таны өмнө маш тодорхой, биелэх боломжтой зорилго байгаа гэдгээ мэдэж байвал төлөвлөсөн тооны дуудлага хийх нь танд илүү хялбар байх болно. Хэрэв та энэ үйл явцын туршид "тийм" гэж хэд хэдэн удаа сонсвол хамаагүй дээр!

Хэрэв "үгүй" гэвэл үдэш та чадах бүхнээ шударгаар хийсэн гэдгээ мэдэрч, хичнээн их мөнгө олсон, эсвэл өдөрт хэдэн хамтрагчтай болсон тухай бодолд шаналахгүй.

Танай компани эсвэл бизнест дунджаар нэг худалдагч дөрвөн танилцуулга тутамд нэг хэлцлийг хаадаг гэж бодъё. Одоо та тавцангаас карт зурж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Хүрз, очир алмааз, дугуй гэсэн гурван хослол бүхий карт бүр нь бүтээгдэхүүн, үйлчилгээ, боломжоо мэргэжлийн түвшинд танилцуулдаг танилцуулга юм. Та үүнийг чадах чинээгээрээ хийдэг ч гэрээгээ хаадаггүй. Зүрхний карт бүр нь мөнгө авах эсвэл шинэ хамтрагч олж авах боломжийг олгодог хэлцэл юм.

Ийм нөхцөлд та тавцангаас аль болох олон карт зурахыг хүсэхгүй байна уу? Зүрхний карт сугалах бүртээ мөнгө төлөх эсвэл шинэ хамтрагч санал болгохын зэрэгцээ хүссэн хэмжээгээрээ карт зурахыг санал болгож байна гэж бодъё. Та картыг урам зоригтойгоор зурж эхлэх бөгөөд картаа ямар костюм сугалж авсныг анзаарахгүй байх болно.

Тавин хоёр картын тавцанд арван гурван зүрх байдаг гэдгийг та мэднэ. Мөн хоёр тавцан дээр - хорин зургаан зүрхний карт гэх мэт. Хүз, очир алмааз, дугуй зураад урам хугарах болов уу? Мэдээж үгүй! Ийм "мисс" бүр таныг юунд ойртуулдаг гэж та бодох болно? Зүрхний карт руу!

Гэхдээ та юу мэдэх вэ? Танд энэ саналыг аль хэдийн өгсөн байна. Та хүссэн хэмжээгээрээ орлого олж, амьдралдаа зурахыг хүссэн олон зүрхний карт зурах онцгой байр суурьтай байна. Хэрэв та зүгээр л ухамсартайгаар "хөзөр зурж", ур чадвараа дээшлүүлж, бага зэрэг хүрз, алмаз, дугуйг тэвчиж чадвал та маш сайн худалдагч болж, амжилтанд хүрэх болно.

Борлуулалтыг маш хөгжилтэй болгодог нэг зүйл бол тавцангаа холих болгонд картууд өөр өөр холилдсон байдаг. Заримдаа бүх зүрх сэтгэл нь тавцангийн эхэнд дуусдаг бөгөөд амжилттай дараалсан дараа (бид хэзээ ч алдахгүй юм шиг санагдаж байна!) Бид өөр костюмтай урт эгнээний картуудыг хүлээж байна. Өөр нэг удаа, эхний зүрхэнд хүрэхийн тулд та хязгааргүй олон тооны хүрз, цохиур, хэнгэрэгийг туулах хэрэгтэй. Заримдаа янз бүрийн костюмны картууд ээлжлэн унадаг. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд тавин хоёр картын тавцан бүрт ямар нэгэн дарааллаар үргэлж арван гурван зүрх байдаг. Картуудыг олох хүртлээ зүгээр л сугалж ав.

Их тооны хуульМагадлалын онолд тогтмол тархалтаас хангалттай том хязгаарлагдмал түүврийн эмпирик дундаж (арифметик дундаж) нь энэ тархалтын онолын дундаж (хүлээлт) ойролцоо байна гэж заасан. Конвергенцийн төрлөөс хамааран магадлалын хувьд нийлэх үед их тооны сул хууль, бараг хаа сайгүй нийлэх үед их тооны хүчтэй хууль гэж ялгадаг.

Үргэлж хязгаарлагдмал тооны туршилтууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь өгөгдсөн магадлалаас бага байдаг 1 зарим үйл явдлын харьцангуй давтамж нь түүний магадлалаас бага зэрэг ялгаатай байх болно.

Олон тооны хуулийн ерөнхий утга нь: олон тооны ижил, бие даасан санамсаргүй хүчин зүйлсийн хамтарсан үйл ажиллагаа нь хязгаарт тохиолдлоос хамаардаггүй үр дүнд хүргэдэг.

Хязгаарлагдмал түүврийн шинжилгээнд үндэслэн магадлалыг тооцоолох аргууд нь энэ шинж чанарт суурилдаг. Сонгогчдын дунд явуулсан санал асуулгад үндэслэн сонгуулийн үр дүнг урьдчилан таамагласан нь сайн жишээ юм.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 5

✪ Их тооны тухай хууль

✪ 07 - Магадлалын онол. Их тооны хууль

✪ 42 Их тооны хууль

✪ 1 - Чебышевын олон тооны хууль

✪ 11-р анги, 25-р хичээл, Гауссын муруй. Их тооны хууль

Хадмал орчуулга

Математик болон магадлалын онолын хамгийн зөн совингийн хууль болох их тооны хуулийг авч үзье. Мөн энэ нь маш олон зүйлд хамаатай учраас заримдаа хэрэглэж, буруугаар ойлгодог. Эхлээд нарийвчлалын тодорхойлолтыг өгье, дараа нь бид зөн совингийн талаар ярилцъя. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье, X гэж хэлье. Бид түүний математик хүлээлт эсвэл популяцийн дундажийг мэддэг гэж бодъё. Хэрэв бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний n-р тооны ажиглалтын жишээг авч, тэдгээр бүх ажиглалтын тоог дунджаар тооцвол... Нэг хувьсагчийг авч үзье. Үүнийг X гэж нэрлэе. Энэ нь бидний санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглалтын n дахь тооны арифметик дундаж юм. Энд миний анхны ажиглалт байна. Би туршилтыг нэг удаа хийж, энэ ажиглалтыг хийж, дараа нь би үүнийг дахин хийж, энэ ажиглалтыг хийж, би үүнийг дахин хийж, үүнийг олж авдаг. Би энэ туршилтыг n удаа хийж, дараа нь ажиглалтын тоонд хуваана. Энд миний жишээ дундаж байна. Миний хийсэн бүх ажиглалтын дундажийг энд харуулав. Их тооны хууль нь миний түүврийн дундаж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажтай ойртох болно гэдгийг бидэнд хэлдэг. Эсвэл миний түүврийн дундаж нь n-р тооны хязгааргүйд хүрч байгаа хүн амын дунджид ойртоно гэж би бас бичиж болно. Би "ойролцоо" ба "нийцэх" хоёрын хооронд тодорхой ялгаа гаргахгүй, гэхдээ би эндээс нэлээд том түүвэр авбал нийт хүн амын хүлээгдэж буй утгыг авна гэдгийг та бүхэн зөн совингоор ойлгоно гэж найдаж байна. Хэрэв би олон жишээн дээр хангалттай тест хийвэл эцэст нь тестүүд математикийн хүлээлт, магадлал болон бусад зүйлийг харгалзан миний хүлээж буй утгыг өгөх болно гэдгийг та нарын ихэнх нь зөн совингоор ойлгосон гэж бодож байна. Гэхдээ яагаад ийм зүйл болдог нь ихэвчлэн ойлгомжгүй байдаг гэж би боддог. Яагаад ийм байдгийг тайлбарлаж эхлэхээсээ өмнө тодорхой жишээ хэлье. Их тооны хууль бидэнд ингэж хэлдэг... Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна гэж бодъё. Энэ нь зөв зоос 100 шидэхэд толгойн тоотой тэнцүү байна. Юуны өмнө бид энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг мэддэг. Энэ нь зоос шидэлтийн тоо эсвэл туршилтыг амжилттай болох магадлалаар үржүүлсэн тоо юм. Тэгэхээр 50-тай тэнцэнэ. Өөрөөр хэлбэл, олон тооны хуулинд хэрэв бид дээж авбал, эсвэл би эдгээр туршилтуудыг дундажлавал би авна гэж хэлдэг. .. Би анх удаа тест хийхдээ зоосыг 100 удаа эргүүлэх юм уу, эсвэл зуун зоостой хайрцгийг аваад сэгсэрч, дараа нь хэдэн толгой авснаа тоолоод 55 гэсэн тоог авдаг. Энэ нь ийм байх болно. X1. Дараа нь би хайрцгийг дахин сэгсэрч, би 65 гэсэн тоог авна. Дараа нь би 45-ыг авна. Би үүнийг n удаа хийж, дараа нь туршилтын тоогоор хуваана. Их тооны хууль нь энэ дундаж (миний бүх ажиглалтын дундаж) 50, харин n нь хязгааргүй байх хандлагатай байгааг бидэнд хэлдэг. Одоо би яагаад ийм зүйл болдог талаар бага зэрэг ярихыг хүсч байна. Хэрэв 100 туршилтын дараа миний үр дүн дунджаас дээгүүр байвал магадлалын хуулийн дагуу зөрүүг нөхөхийн тулд би илүү их эсвэл бага толгойтой байх ёстой гэж олон хүн үздэг. Энэ нь яг юу болох биш юм. Үүнийг ихэвчлэн "мөрийтэй тоглоомчдын төөрөгдөл" гэж нэрлэдэг. Би танд ялгааг харуулъя. Би дараах жишээг ашиглах болно. Би график зуръя. Өнгийг нь өөрчилье. Энэ бол n, миний x тэнхлэг бол n. Энэ бол миний хийх тестийн тоо юм. Мөн миний y тэнхлэг нь түүврийн дундаж болно. Энэхүү дурын хувьсагчийн дундаж нь 50 гэдгийг бид мэднэ. Үүнийг зуръя. Энэ бол 50. Өөрийнхөө жишээ рүү буцъя. Хэрэв n бол... Эхний шалгалтын үеэр би 55 авсан нь миний дундаж үзүүлэлт юм. Надад өгөгдөл оруулах ганц цэг бий. Дараа нь 2 туршилтын дараа би 65 авдаг. Тэгэхээр миний дундаж 65+55-ыг 2-т хуваана. Энэ нь 60. Тэгээд миний дундаж бага зэрэг өссөн. Дараа нь би 45 авсан нь миний арифметик дундажийг дахин бууруулсан. Би график дээр 45-ыг зурахгүй. Одоо би бүгдийг нь дундажлах хэрэгтэй. 45+65 хэдтэй тэнцүү вэ? Би цэгийг илэрхийлэхийн тулд энэ утгыг тооцоолъё. Энэ нь 165-ыг 3-т хуваана. Энэ нь 53. Үгүй, 55. Тэгэхээр дундаж нь дахин 55 болж буурна. Бид эдгээр туршилтуудыг үргэлжлүүлж болно. Гурван туршилт хийж, энэ дундажийг гаргасны дараа олон хүмүүс магадлалын бурхад үүнийг хийх болно, ингэснээр бид ирээдүйд цөөн толгойтой болно, дараагийн хэдэн туршилтууд дунджийг бууруулахын тулд бага байх болно гэж боддог. Гэхдээ энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Ирээдүйд магадлал үргэлж ижил хэвээр байна. Би толгойгоо эргүүлэх магадлал үргэлж 50% байх болно. Би эхэндээ бодсоноосоо олон тооны толгойтой болж, дараа нь гэнэт сүүл унах ёстой гэсэн үг биш юм. Энэ бол "тоглогчийн төөрөгдөл" юм. Хэрэв та пропорциональ бус тооны толгойг авбал энэ нь хэзээ нэгэн цагт та пропорциональ бус тооны сүүл унана гэсэн үг биш юм. Энэ нь бүхэлдээ үнэн биш юм. Энэ нь хамаагүй гэдгийг их тооны хууль бидэнд хэлдэг. Тодорхой хязгаарлагдмал тооны туршилтын дараа таны дундаж... Үүний магадлал нэлээд бага, гэхдээ, гэсэн хэдий ч ... Таны дундаж энэ оноо - 70-д хүрлээ гэж бодъё. Та "Хөөх, бид төсөөлж байснаас хамаагүй хол явчихлаа" гэж бодож байна. Гэвч олон тооны тухай хуульд бид хичнээн шалгалт өгөх нь хамаагүй гэсэн байдаг. Бидний өмнө хязгааргүй олон сорилтууд байна. Энэхүү хязгааргүй тооны туршилтын математикийн хүлээлт, ялангуяа ийм нөхцөл байдалд дараах байдалтай байх болно. Ямар нэг их утгыг илэрхийлдэг хязгаартай тоо гарч ирэхэд үүнтэй нийлж байгаа хязгааргүй тоо дахин хүлээгдэж буй утга руу хүргэнэ. Энэ нь мэдээжийн хэрэг маш сул тайлбар боловч их тооны хууль үүнийг бидэнд хэлдэг. Энэ нь чухал. Тэр бидэнд олон толгой авчихвал яаж ийгээд нөхөхийн тулд сүүл авах магадлал нэмэгдэнэ гэж хэлдэггүй. Таны өмнө хязгааргүй олон сорилт байгаа л бол хязгааргүй тооны сорилтоор үр дүн нь ямар байх нь хамаагүй гэдгийг энэ хууль бидэнд хэлж байна. Хэрэв та эдгээрийг хангалттай авч чадвал та дахин хүлээлт рүү буцах болно. Энэ бол чухал цэг юм. Үүний тухай бодож үз. Гэхдээ үүнийг өдөр бүр сугалаа, казинод ашигладаггүй, гэхдээ хангалттай туршилт хийвэл бид үүнийг тооцоолж чадна ... бид нормоос ноцтой хазайх магадлал хэд вэ? Харин казино, хонжворт сугалаа өдөр бүр ажилладаг, хэрэв та хангалттай хүн авбал мэдээж богино хугацаанд, багахан хэмжээний дээж авч чадвал цөөхөн хэдэн хүн азтан болно гэсэн зарчмаар ажилладаг. Гэхдээ урт хугацааны туршид казино таныг тоглохыг урьсан тоглоомуудын параметрүүдээс үргэлж ашиг тусаа өгөх болно. Энэ бол зөн совингийн магадлалын чухал зарчим юм. Хэдийгээр заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр үүнийг албан ёсоор тайлбарлавал энэ бүхэн жаахан ойлгомжгүй харагддаг. Энэ бүх хуульд түүвэр их байх тусмаа тэдгээр түүврийн арифметик дундаж нь жинхэнэ дундаж руу нийлнэ гэж заасан байдаг. Илүү тодорхой болгохын тулд таны түүврийн арифметик дундаж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлттэй нийлнэ. Тэгээд л болоо. Дараагийн видеогоор уулзацгаая!

Их тооны сул хууль

Их тооны сул хуулийг 1713 онд баталсан Якоб Бернуллигийн нэрээр Бернуллийн теорем гэж бас нэрлэдэг.

Ижил тархсан ба хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хязгааргүй дараалал (дараалсан тоолол) байг. Энэ нь тэдний ковариац юм c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Let . Эхнийх нь түүврийн дундажаар тэмдэглэнэ n (\displaystyle n)гишүүд:

.

Дараа нь X ¯ n → P μ (\ displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Энэ нь эерэг бүрийн хувьд ε (\displaystyle \varepsilon)

Их тооны хүчтэй хууль

Бие даасан ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хязгааргүй дараалал байг ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty ))нэг магадлалын орон зайд тодорхойлогддог (Ω , F , P) (\displaystyle (\Омега,(\маткал (F)),\mathbb (P))). Болъё E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). -ээр тэмдэглээрэй X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n))эхний дундаж жишээ n (\displaystyle n)гишүүд:

Дараа нь X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu )бараг үргэлж.

Математикийн аливаа хуулийн нэгэн адил их тооны хууль нь зөвхөн бодит ертөнцөд мэдэгдэж буй таамаглалын дагуу хэрэгжих боломжтой бөгөөд үүнийг зөвхөн тодорхой хэмжээний нарийвчлалтайгаар биелүүлэх боломжтой. Тиймээс, жишээлбэл, дараалсан туршилтын нөхцлийг хязгааргүй, үнэмлэхүй нарийвчлалтайгаар хадгалах боломжгүй байдаг. Үүнээс гадна, их тооны хууль зөвхөн ярьдаг магадлалгүйматематикийн хүлээлтээс дундаж утгын мэдэгдэхүйц хазайлт.

Дундаж утга нь статистикийн хамгийн ерөнхий үзүүлэлт юм. Энэ нь популяцийг тоон хувьд өөрчлөгддөг шинж чанарын дагуу тодорхойлоход ашиглаж болохтой холбоотой юм. Жишээлбэл, хоёр аж ахуйн нэгжийн ажилчдын цалинг харьцуулахын тулд тодорхой хоёр ажилтны цалинг авч үзэх боломжгүй, учир нь энэ нь янз бүрийн үзүүлэлт болдог. Мөн аж ахуйн нэгжүүдэд төлж буй цалингийн хэмжээ нь ажилчдын тооноос хамаардаг тул авах боломжгүй. Аж ахуйн нэгж бүрийн цалингийн нийт дүнг ажилчдын тоонд хуваавал харьцуулж үзэхэд аль аж ахуйн нэгжийн дундаж цалин өндөр байгааг тодорхойлж болно.

Өөрөөр хэлбэл, судалгаанд хамрагдсан ажилчдын цалин дундаж утгын ерөнхий шинж чанарыг хүлээн авдаг. Энэ нь судалж буй шинж чанартай холбоотой ажилчдын нийтийг хамарсан ерөнхий ба ердийн шинж чанарыг илэрхийлдэг. Энэ утгад энэ шинж чанарын ерөнхий хэмжүүрийг харуулсан бөгөөд энэ нь хүн амын нэгжийн хувьд өөр утгатай байна.

Дундаж утгыг тодорхойлох. Статистикийн дундаж утга гэдэг нь тоон хувьд өөрчлөгддөг шинж чанарын дагуу ижил төрлийн үзэгдлийн багцын ерөнхий шинж чанар юм. Дундаж утга нь хүн амын нэгжтэй холбоотой энэ шинж чанарын түвшинг харуулдаг. Дундаж утгын тусламжтайгаар янз бүрийн үзүүлэлтүүдийг (нэг хүнд ногдох орлого, газар тариалангийн ургац, янз бүрийн аж ахуйн нэгжийн үйлдвэрлэлийн зардал) дагуу өөр хоорондоо харьцуулах боломжтой.

Дундаж утга нь бидний судалж буй популяцийг тодорхойлдог шинж чанарын тоон хэлбэлзлийг үргэлж нэгтгэдэг бөгөөд энэ нь хүн амын бүх нэгжид ижил төстэй байдаг. Энэ нь ямар ч дундаж утгын ард хүн амын нэгжийн янз бүрийн шинж чанарын дагуу тархалтын цуваа үргэлж байдаг гэсэн үг юм. вариацын цуврал. Үүнтэй холбогдуулан дундаж утга нь харьцангуй утгаас, ялангуяа эрчмийн үзүүлэлтээс эрс ялгаатай байна. Эрчим хүчний үзүүлэлт нь хоёр өөр агрегатын эзлэхүүний харьцаа (жишээлбэл, нэг хүнд ногдох ДНБ-ий үйлдвэрлэл), дундаж үзүүлэлт нь аль нэг шинж чанарын дагуу дүүргэгчийн элементүүдийн шинж чанарыг ерөнхийд нь тодорхойлдог (жишээлбэл, дундаж үзүүлэлт). ажилтны цалин).

Дундаж утга ба их тооны хууль.Дундаж үзүүлэлтүүдийн өөрчлөлтөд ерөнхий чиг хандлага илэрдэг бөгөөд түүний нөлөөн дор үзэгдлийн хөгжлийн үйл явц бүхэлдээ бүрддэг бол бие даасан тохиолдлуудад энэ хандлага тодорхой харагдахгүй байж болно. Дундаж үзүүлэлтүүд нь бодит байдлын өргөн хүрээний ерөнхий ойлголт дээр үндэслэсэн байх нь чухал юм. Зөвхөн энэ нөхцөлд л тэд үйл явцын үндсэн чиг хандлагыг бүхэлд нь илчлэх болно.

Ажиглалтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр олон тооны хуулийн мөн чанар, түүний дундаж үзүүлэлтүүдийн ач холбогдол улам бүр бүрэн дүүрэн болж байна. Өөрөөр хэлбэл, их тооны хууль нь тухайн газар, цаг хугацааны тодорхой нөхцөлд хувьсах шинж чанарын ердийн түвшний дундаж утгад гарч ирэх нөхцлийг бүрдүүлдэг. Энэ түвшний үнэ цэнэ нь энэ үзэгдлийн мөн чанараар тодорхойлогддог.

Дундажуудын төрлүүд.Статистикт ашигладаг дундаж утгууд нь эрчим хүчний хэрэгслийн ангилалд хамаарах бөгөөд ерөнхий томъёо нь дараах байдалтай байна.

Энд x нь чадлын дундаж;

X - шинж чанарын утгыг өөрчлөх (сонголтууд)

- тооны сонголт

Дундажийн илтгэгч;

Дүгнэлт тэмдэг.

Дундаж үзүүлэлтийн янз бүрийн утгуудын хувьд янз бүрийн төрлийн дундаж утгыг авна.

Арифметик дундаж;

Дундаж дөрвөлжин;

Дундаж куб;

Дундаж гармоник;

Геометрийн дундаж.

Нэг эх сурвалжийн статистикийг ашиглах үед өөр өөр төрлийн дундаж утга өөр өөр утгатай байдаг. Үүний зэрэгцээ дундаж үзүүлэлт их байх тусам түүний утга өндөр байна.

Статистикийн хувьд зөвхөн тодорхой тодорхойлогдсон дундаж утгууд нь хувь хүн бүрийн хувьд хүн амын зөв шинж чанарыг өгдөг. Энэ төрлийн дундаж утгыг тодорхойлохын тулд дундаж утгын шинж чанарыг тодорхойлдог шалгуурыг ашигладаг: бүх хувилбаруудыг дундажаар солих үед дундаж утга нь өөр өөр шинж чанарын дагуу хүн амын жинхэнэ ерөнхий шинж чанар болно. утга, өөр өөр шинж чанарын нийт хэмжээ өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна. Өөрөөр хэлбэл, хувьсах шинж чанарын нийт эзэлхүүн хэрхэн үүссэнээр дундажийн зөв төрлийг тодорхойлно. Тиймээс хувьсах шинж чанарын эзэлхүүнийг тус тусын сонголтуудын нийлбэрээр, дундаж квадратыг - хувьсах шинж чанарын эзэлхүүнийг квадратуудын нийлбэрээр, гармоник дундажийг - нийлбэрээр үүсгэх үед арифметик дундажийг ашигладаг. бие даасан сонголтуудын харилцан утгууд, геометрийн дундаж нь бие даасан сонголтуудын үр дүн юм. Статистикийн дундаж утгуудаас гадна

Хувьсах шинж чанар (бүтцийн дундаж), горим (хамгийн түгээмэл хувилбар) ба медиан (дунд хувилбар) -ын тархалтын дүрслэх шинж чанарыг ашигладаг.