Zákon priemeru v jednoduchosti. Priemerné hodnoty. Slabý zákon veľkých čísel

Slová o veľkých číslach sa vzťahujú na počet testov - zvažuje sa veľký počet hodnôt náhodnej premennej alebo kumulatívne pôsobenie veľkého počtu náhodných premenných. Podstata tohto zákona je nasledovná: hoci nemožno predpovedať, akú hodnotu nadobudne jedna náhodná premenná v jedinom experimente, celkový výsledok pôsobenia veľkého počtu nezávislých náhodných premenných však stráca svoj náhodný charakter a môže takmer spoľahlivo (t. j. s vysokou pravdepodobnosťou). Nedá sa napríklad predpovedať, na ktorú stranu padne minca. Ak však hodíte 2 tony mincí, potom s veľkou istotou možno tvrdiť, že hmotnosť mincí, ktoré padli erbom nahor, je 1 tona.

V prvom rade takzvaná Čebyševova nerovnosť odkazuje na zákon veľkých čísel, ktorý v samostatnom teste odhaduje pravdepodobnosť, že náhodná premenná prijme hodnotu, ktorá sa od priemernej hodnoty neodchyľuje viac ako o danú hodnotu.

Čebyševova nerovnosť. Nechaj X je ľubovoľná náhodná premenná, a=M(X) , a D(X) je jeho rozptyl. Potom

Príklad. Menovitá (t.j. požadovaná) hodnota priemeru objímky opracovanej na stroji je 5 mm a rozdiel už nie je 0.01 (to je tolerancia presnosti stroja). Odhadnite pravdepodobnosť, že pri výrobe jedného puzdra bude odchýlka jeho priemeru od nominálnej hodnoty menšia ako 0,5 mm .

Riešenie. Nech r.v. X- priemer vyrobeného puzdra. Podľa podmienok sa jeho matematické očakávanie rovná menovitému priemeru (ak nedôjde k systematickému zlyhaniu pri nastavovaní stroja): a=M(X)=5 a rozptyl D(X) < 0,01. Aplikácia Čebyševovej nerovnosti pre e = 0,5, dostaneme:

Pravdepodobnosť takejto odchýlky je teda pomerne vysoká, a preto môžeme konštatovať, že v prípade jednorazovej výroby dielu je takmer isté, že odchýlka priemeru od nominálnej hodnoty nepresiahne 0,5 mm .

V podstate štandardná odchýlka σ charakterizuje priemer odchýlka náhodnej premennej od jej stredu (t. j. od jej matematického očakávania). Pretože to priemer odchýlka, potom sú pri testovaní možné veľké odchýlky (dôraz na o). Aké veľké odchýlky sú prakticky možné? Pri štúdiu normálne rozdelených náhodných premenných sme odvodili pravidlo „tri sigma“: normálne rozložená náhodná premenná X v jedinom teste prakticky nevybočuje zo svojho priemeru ďalej ako 3σ, kde σ= σ(X) je smerodajná odchýlka r.v. X. Takéto pravidlo sme odvodili z toho, že sme získali nerovnosť

.

Poďme teraz odhadnúť pravdepodobnosť pre svojvoľný náhodná premenná X akceptovať hodnotu, ktorá sa nelíši od priemeru o viac ako trojnásobok štandardnej odchýlky. Aplikácia Čebyševovej nerovnosti pre ε = 3σ a vzhľadom na to D(X) = a 2 , dostaneme:

.

Touto cestou, všeobecne môžeme odhadnúť pravdepodobnosť, že sa náhodná premenná odchýli od svojho priemeru najviac o tri smerodajné odchýlky o číslo 0.89 , pričom pri normálnom rozdelení to možno s pravdepodobnosťou zaručiť 0.997 .

Čebyševovu nerovnosť možno zovšeobecniť na systém nezávislých identicky rozdelených náhodných premenných.

Zovšeobecnená Čebyševova nerovnosť. Ak nezávislé náhodné premenné X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a a disperzie D(X i )= D, potom

O n=1 táto nerovnosť prechádza do Čebyševovej nerovnosti formulovanej vyššie.

Čebyševova nerovnosť, ktorá má nezávislý význam pre riešenie príslušných problémov, sa používa na dokázanie takzvanej Čebyševovej vety. Najprv opíšeme podstatu tejto vety a potom uvedieme jej formálnu formuláciu.

Nechaj X 1 , X 2 , … , X n– veľký počet nezávislých náhodných premenných s matematickými očakávaniami M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Hoci každá z nich môže v dôsledku experimentu nadobudnúť hodnotu ďaleko od svojho priemeru (t. j. matematického očakávania), náhodná premenná
, ktorý sa rovná ich aritmetickému priemeru, s vysokou pravdepodobnosťou nadobudne hodnotu blízku pevnému číslu
(toto je priemer všetkých matematických očakávaní). To znamená nasledovné. Nech ako výsledok testu nezávislé náhodné premenné X 1 , X 2 , … , X n(je ich veľa!) podľa toho prijali hodnoty X 1 , X 2 , … , X n resp. Potom, ak sa tieto hodnoty samy osebe môžu ukázať ako ďaleko od priemerných hodnôt zodpovedajúcich náhodných premenných, ich priemerná hodnota
pravdepodobne bude blízko
. Aritmetický priemer veľkého počtu náhodných premenných teda už stráca svoj náhodný charakter a dá sa predpovedať s veľkou presnosťou. Dá sa to vysvetliť tým, že náhodné odchýlky hodnôt X i od a i môžu mať rôzne znaky, a preto sú celkovo tieto odchýlky s vysokou pravdepodobnosťou kompenzované.

Terema Čebyševová (zákon veľkých čísel v podobe Čebyševa). Nechaj X 1 , X 2 , … , X n … je postupnosť párovo nezávislých náhodných premenných, ktorých rozptyly sú obmedzené na rovnaký počet. Potom, bez ohľadu na to, aké malé číslo ε vezmeme, pravdepodobnosť nerovnosti

bude ľubovoľne blízko k jednote, ak počet n náhodné premenné, aby boli dostatočne veľké. Formálne to znamená, že za podmienok vety

Tento typ konvergencie sa nazýva konvergencia pravdepodobnosti a označuje sa:

Čebyševova veta teda hovorí, že ak existuje dostatočne veľký počet nezávislých náhodných premenných, potom ich aritmetický priemer v jedinom teste takmer určite nadobudne hodnotu blízku priemeru ich matematických očakávaní.

Najčastejšie sa Čebyševova veta uplatňuje v situácii, keď sú náhodné premenné X 1 , X 2 , … , X n … majú rovnaké rozdelenie (t. j. rovnaký zákon rozdelenia alebo rovnakú hustotu pravdepodobnosti). V skutočnosti ide len o veľký počet prípadov tej istej náhodnej premennej.

Dôsledok(zo zovšeobecnenej Čebyševovej nerovnosti). Ak nezávislé náhodné premenné X 1 , X 2 , … , X n … majú rovnaké rozdelenie s matematickými očakávaniami M(X i )= a a disperzie D(X i )= D, potom

, t.j.
.

Dôkaz vyplýva zo zovšeobecnenej Čebyševovej nerovnosti prechodom na limit as n→∞ .

Ešte raz poznamenávame, že vyššie uvedené rovnosti nezaručujú, že hodnota množstva
má tendenciu a pri n→∞. Táto hodnota je stále náhodná premenná a jej jednotlivé hodnoty môžu byť dosť vzdialené a. Ale pravdepodobnosť takéhoto (zďaleka nie a) hodnoty s rastúcim n má tendenciu k 0.

Komentujte. Záver následku je zrejme platný aj vo všeobecnejšom prípade, keď ide o nezávislé náhodné premenné X 1 , X 2 , … , X n … majú iné rozdelenie, ale rovnaké matematické očakávania (rovn a) a odchýlky obmedzené v súhrne. To umožňuje predpovedať presnosť merania určitej veličiny, aj keď sú tieto merania vykonávané rôznymi prístrojmi.

Uvažujme podrobnejšie o aplikácii tohto následku na meranie veličín. Použime nejaké zariadenie n merania tej istej veličiny, ktorej skutočná hodnota je a a nevieme. Výsledky takýchto meraní X 1 , X 2 , … , X n sa môžu navzájom výrazne líšiť (a od skutočnej hodnoty a) v dôsledku rôznych náhodných faktorov (poklesy tlaku, teploty, náhodné vibrácie atď.). Zvážte r.v. X- prístrojový odpočet na jedno meranie veličiny, ako aj súbor r.v. X 1 , X 2 , … , X n- údaj prístroja pri prvom, druhom, ..., poslednom meraní. Teda každá z veličín X 1 , X 2 , … , X n je tam len jeden z prípadov r.v. X, a preto majú všetky rovnaké rozdelenie ako r.v. X. Keďže výsledky meraní sú na sebe nezávislé, r.v. X 1 , X 2 , … , X n možno považovať za nezávislé. Ak zariadenie nedáva systematickú chybu (napríklad nula nie je „zrazená“ na stupnici, pružina nie je natiahnutá atď.), Potom môžeme predpokladať, že matematické očakávanie M(X) = a, a preto M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Podmienky vyššie uvedeného sú teda splnené, a teda ako približná hodnota veličiny a môžeme vziať "implementáciu" náhodnej premennej
v našom experimente (pozostávajúcom zo série n merania), t.j.

.

Pri veľkom počte meraní je prakticky spoľahlivý dobrá presnosť výpočty pomocou tohto vzorca. To je zdôvodnenie praktickej zásady, že pri veľkom počte meraní sa ich aritmetický priemer prakticky príliš nelíši od skutočnej hodnoty meranej veličiny.

„Selektívna“ metóda, ktorá je široko používaná v matematickej štatistike, je založená na zákone veľkých čísel, ktorý umožňuje získať jej objektívne charakteristiky s prijateľnou presnosťou z relatívne malej vzorky hodnôt náhodnej premennej. Ale o tom bude reč v ďalšej časti.

Príklad. Na meracom zariadení, ktoré nerobí systematické skreslenia, sa meria určitá veličina a raz (prijatá hodnota X 1 ), a potom ďalších 99-krát (získané hodnoty X 2 , … , X 100 ). Pre skutočnú hodnotu merania a najprv urobte výsledok prvého merania
a potom aritmetický priemer všetkých meraní
. Presnosť merania prístroja je taká, že štandardná odchýlka merania σ nie je väčšia ako 1 (pretože rozptyl D=σ 2 tiež nepresahuje 1). Pre každú z metód merania odhadnite pravdepodobnosť, že chyba merania nepresiahne 2.

Riešenie. Nech r.v. X- údaj prístroja pre jedno meranie. Potom podľa podmienok M(X)=a. Aby sme odpovedali na položené otázky, použijeme zovšeobecnenú Čebyševovu nerovnosť

pre ε =2 najprv pre n=1 a potom pre n=100 . V prvom prípade dostaneme
a v druhom. Druhý prípad teda prakticky garantuje danú presnosť merania, pričom prvý v tomto zmysle zanecháva vážne pochybnosti.

Aplikujme vyššie uvedené tvrdenia na náhodné premenné, ktoré vznikajú v Bernoulliho schéme. Pripomeňme si podstatu tejto schémy. Nech sa vyrába n nezávislé testy, v každom z nich nejaké event ALE sa môže objaviť s rovnakou pravdepodobnosťou R, a q=1–r(v zmysle ide o pravdepodobnosť opačnej udalosti - nie o výskyt udalosti ALE) . Strávme nejaké číslo n takéto testy. Zvážte náhodné premenné: X 1 – počet výskytov udalosti ALE v 1 test, ..., X n– počet výskytov udalosti ALE v n test. Všetky zavedené r.v. môže nadobudnúť hodnoty 0 alebo 1 (udalosť ALE sa môžu alebo nemusia objaviť v teste) a hodnotu 1 podmienečne prijaté v každom pokuse s pravdepodobnosťou p(pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE v každom teste) a hodnotu 0 s pravdepodobnosťou q= 1 – p. Preto majú tieto množstvá rovnaké distribučné zákony:

Preto sú priemerné hodnoty týchto množstiev a ich disperzie tiež rovnaké: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= str ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, …, D(X n )= p ∙ q. Nahradením týchto hodnôt do zovšeobecnenej Čebyševovej nerovnosti získame

.

Je jasné, že r.v. X=X 1 +…+Х n je počet výskytov udalosti ALE vo všetkom n pokusy (ako sa hovorí - „počet úspechov“ v n testy). Vpustite do n testovacie podujatie ALE objavil sa v k z nich. Potom možno predchádzajúcu nerovnosť zapísať ako

.

Ale veľkosť
, ktorý sa rovná pomeru počtu výskytov udalosti ALE v n nezávislých štúdií k celkovému počtu štúdií, predtým nazývaných relatívna miera udalostí ALE v n testy. Preto existuje nerovnosť

.

Prebieha teraz na limit o n→∞, dostávame
, t.j.
(podľa pravdepodobnosti). Toto je obsah zákona veľkých čísel v tvare Bernoulliho. Z toho vyplýva, že pre dostatočne veľký počet pokusov nľubovoľne malé odchýlky relatívnej frekvencie
udalosti z jej pravdepodobnosti R sú takmer isté udalosti a veľké odchýlky sú takmer nemožné. Výsledný záver o takejto stabilite relatívnych frekvencií (ktorú sme predtým označovali ako experimentálne fakt) odôvodňuje skôr zavedenú štatistickú definíciu pravdepodobnosti udalosti ako čísla, okolo ktorého kolíše relatívna frekvencia udalosti.

Vzhľadom na to, že výraz p∙ q= p∙(1− p)= p− p 2 neprekročí interval výmeny
(možno to ľahko overiť nájdením minima tejto funkcie na tomto segmente), z vyššie uvedenej nerovnosti
ľahké to získať

,

ktorý sa používa pri riešení zodpovedajúcich problémov (jeden z nich bude uvedený nižšie).

Príklad. Minca sa hodila 1000-krát. Odhadnite pravdepodobnosť, že odchýlka relatívnej frekvencie výskytu erbu od jeho pravdepodobnosti bude menšia ako 0,1.

Riešenie. Aplikácia nerovnosti
pri p= q=1/2 , n=1000 , e = 0,1, dostaneme .

Príklad. Odhadnite pravdepodobnosť, že za podmienok predchádzajúceho príkladu číslo k zo spadnutých erbov bude v rozsahu 400 predtým 600 .

Riešenie. Podmienka 400< k<600 znamená to 400/1000< k/ n<600/1000 , t.j. 0.4< W n (A)<0.6 alebo
. Ako sme práve videli z predchádzajúceho príkladu, pravdepodobnosť takejto udalosti je minimálne 0.975 .

Príklad. Na výpočet pravdepodobnosti nejakej udalosti ALE Uskutočnilo sa 1000 experimentov, pri ktorých sa event ALE sa objavilo 300-krát. Odhadnite pravdepodobnosť, že relatívna frekvencia (rovná sa 300/1000 = 0,3) sa líši od skutočnej pravdepodobnosti R nie viac ako 0,1.

Riešenie. Použitie vyššie uvedenej nerovnosti
pre n=1000, ε=0,1 dostaneme .

Zákon veľkých čísel

Zákon veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti uvádza, že empirický priemer (aritmetický priemer) dostatočne veľkej konečnej vzorky z pevného rozdelenia je blízky teoretickému priemeru (očakávaniu) tohto rozdelenia. V závislosti od typu konvergencie existuje slabý zákon veľkých čísel, kedy dochádza ku konvergencii pravdepodobnosti, a silný zákon veľkých čísel, kedy konvergencia prebieha takmer všade.

Vždy bude taký počet pokusov, že s akoukoľvek vopred určenou pravdepodobnosťou sa relatívna frekvencia výskytu nejakej udalosti bude ľubovoľne málo líšiť od jej pravdepodobnosti.

Všeobecný význam zákona veľkých čísel je, že spoločné pôsobenie veľkého množstva náhodných faktorov vedie k výsledku, ktorý je takmer nezávislý od náhody.

Na tejto vlastnosti sú založené metódy odhadu pravdepodobnosti založené na analýze konečnej vzorky. Dobrým príkladom je predikcia výsledkov volieb na základe prieskumu na vzorke voličov.

Slabý zákon veľkých čísel

Nech existuje nekonečná postupnosť (konzekutívna enumerácia) identicky rozdelených a nekorelovaných náhodných premenných definovaných na rovnakom pravdepodobnostnom priestore. Teda ich kovariancia. Nechaj . Označme vzorový priemer prvých výrazov:

Silný zákon veľkých čísel

Nech existuje nekonečná postupnosť nezávislých identicky rozdelených náhodných premenných definovaných na rovnakom pravdepodobnostnom priestore. Nechaj . Označme vzorový priemer prvých výrazov:

Potom takmer určite.

pozri tiež

Literatúra

• Shiryaev A. N. Pravdepodobnosť, - M .: Veda. 1989.
• Chistyakov V.P. Kurz teórie pravdepodobnosti, - M., 1982.

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Kino Ruska
• Gromeka, Michail Stepanovič

Pozrite sa, čo je „Zákon veľkých čísel“ v iných slovníkoch:

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- (zákon veľkých čísel) V prípade, že správanie jednotlivých členov populácie je vysoko osobité, správanie skupiny je v priemere predvídateľnejšie ako správanie ktoréhokoľvek z jej členov. Trend, v ktorom skupiny ... ... Ekonomický slovník

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- pozri ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL. antinacistický. Encyklopédia sociológie, 2009 ... Encyklopédia sociológie

Zákon veľkých čísel- princíp, podľa ktorého sa kvantitatívne vzorce vlastné masovým spoločenským javom najjasnejšie prejavujú pri dostatočne veľkom počte pozorovaní. Jednotlivé javy sú náchylnejšie na účinky náhodných a ... ... Slovník obchodných podmienok

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- tvrdí, že s pravdepodobnosťou blízkou jednej sa aritmetický priemer veľkého počtu náhodných premenných približne rovnakého rádu bude len málo líšiť od konštanty rovnajúcej sa aritmetickému priemeru matematických očakávaní týchto premenných. Rozdiel… … Geologická encyklopédia

zákon veľkých čísel- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Anglický ruský slovník elektrotechniky a energetiky, Moskva, 1999] Elektrotechnické témy, základné pojmy EN zákon priemeru veľkých čísel ... Technická príručka prekladateľa

zákon veľkých čísel- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. zákon veľkých čísel vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. zákon veľkých čísel, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- všeobecný princíp, vďaka ktorému kombinované pôsobenie náhodných faktorov vedie za určitých veľmi všeobecných podmienok k výsledku, ktorý je takmer nezávislý od náhody. Konvergencia frekvencie výskytu náhodnej udalosti s jej pravdepodobnosťou s nárastom počtu ... ... Ruská sociologická encyklopédia

Zákon veľkých čísel- zákon, ktorý uvádza, že kumulatívne pôsobenie veľkého počtu náhodných faktorov vedie za určitých veľmi všeobecných podmienok k výsledku takmer nezávislému od náhody... Sociológia: slovník

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- štatistický zákon vyjadrujúci vzťah štatistických ukazovateľov (parametrov) výberového súboru a všeobecnej populácie. Skutočné hodnoty štatistických ukazovateľov získané z určitej vzorky sa vždy líšia od tzv. teoreticky...... Sociológia: Encyklopédia

ZÁKON VEĽKÝCH ČÍSEL- zásada, že frekvenciu finančných strát určitého typu je možné predvídať s vysokou presnosťou pri veľkom počte strát podobného typu ... Encyklopedický slovník ekonómie a práva

knihy

• Sada stolov. Matematika. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika. 6 tabuliek + metodika, . Tabuľky sú vytlačené na hrubom polygrafickom kartóne s rozmermi 680 x 980 mm. Súčasťou sady je brožúra s metodickými odporúčaniami pre učiteľov. Vzdelávací album 6 listov. Náhodné…

Aké je tajomstvo úspešných predajcov? Ak sledujete najlepších predajcov akejkoľvek spoločnosti, všimnete si, že majú jedno spoločné. Každý z nich sa stretáva s viacerými ľuďmi a robí viac prezentácií ako menej úspešní predajcovia. Títo ľudia chápu, že predaj je hra s číslami a čím viac ľuďom povedia o svojich produktoch alebo službách, tým viac obchodov uzavrú, to je všetko. Chápu, že ak budú komunikovať nielen s tými niekoľkými, ktorí im určite povedia áno, ale aj s tými, ktorých záujem o ich návrh nie je až taký veľký, tak zákon priemeru bude hrať v ich prospech.

Vaše zárobky budú závisieť od počtu predajov, no zároveň budú priamo úmerné počtu prezentácií, ktoré urobíte. Akonáhle pochopíte a začnete uvádzať do praxe zákon priemeru, začne sa znižovať úzkosť spojená so začatím nového podnikania alebo prácou v novej oblasti. A v dôsledku toho začne rásť pocit kontroly a dôvera v ich schopnosť zarábať. Ak len robíte prezentácie a zdokonaľujete svoje zručnosti v tomto procese, dôjde k dohodám.

Namiesto premýšľania o počte obchodov myslite na počet prezentácií. Nemá zmysel sa ráno zobudiť alebo prísť večer domov a začať premýšľať, kto si kúpi váš produkt. Namiesto toho je najlepšie naplánovať si každý deň, koľko hovorov musíte uskutočniť. A potom, bez ohľadu na to, urobte všetky tie hovory! Tento prístup vám uľahčí prácu – pretože ide o jednoduchý a konkrétny cieľ. Ak viete, že máte pred sebou veľmi konkrétny a dosiahnuteľný cieľ, bude pre vás jednoduchšie uskutočniť plánovaný počet hovorov. Ak počas tohto procesu budete niekoľkokrát počuť „áno“, tým lepšie!

A ak „nie“, tak večer budete mať pocit, že ste poctivo urobili všetko, čo ste mohli, a nebudú vás trápiť myšlienky na to, koľko peňazí ste zarobili, či koľko partnerov ste za deň získali.

Povedzme, že vo vašej spoločnosti alebo vo vašej firme priemerný predajca uzavrie jednu transakciu každé štyri prezentácie. Teraz si predstavte, že ťaháte karty z balíčka. Každá karta troch farieb – piky, káry a palice – je prezentáciou, kde profesionálne prezentujete produkt, službu alebo príležitosť. Robíte to najlepšie, ako viete, ale obchod stále neuzavriete. A každá srdcová karta je obchod, ktorý vám umožní získať peniaze alebo získať nového spoločníka.

Nechceli by ste si v takejto situácii potiahnuť čo najviac kariet z balíčka? Predpokladajme, že vám bude ponúknuté, aby ste si potiahli toľko kariet, koľko chcete, pričom vám zaplatíme alebo navrhnete nového spoločníka zakaždým, keď si vytiahnete kartu srdca. Začnete nadšene ťahať karty a sotva si všimnete, v akej farbe bola karta práve vytiahnutá.

Viete, že v balíčku päťdesiatich dvoch kariet je trinásť sŕdc. A v dvoch balíčkoch - dvadsaťšesť srdcových kariet atď. Sklame vás kreslenie piky, diamanty alebo palice? Samozrejme, že nie! Budete si myslieť len to, že každá takáto „misska“ vás zbližuje – k čomu? Na kartu sŕdc!

Ale vieš čo? Túto ponuku ste už dostali. Ste v jedinečnej pozícii, aby ste zarobili toľko, koľko chcete, a vytiahli toľko kariet srdca, koľko chcete vo svojom živote potiahnuť. A ak budete len svedomito „ťahať karty“, zdokonaľovať sa a vydržať trochu rýľa, diamantu a palice, stanete sa vynikajúcim obchodníkom a uspejete.

Jedna z vecí, vďaka ktorým je predaj taký zábavný, je, že zakaždým, keď zamiešate balíček, karty sa zamiešajú inak. Niekedy všetky srdcia skončia na začiatku balíčka a po úspešnej sérii (keď sa nám už zdá, že nikdy neprehráme!) čakáme na dlhý rad kariet inej farby. A inokedy, aby ste sa dostali k prvému srdcu, musíte prejsť nekonečným množstvom pikov, palíc a tamburín. A niekedy karty rôznych farieb vypadnú striktne postupne. Ale v každom prípade, v každom balíčku päťdesiatich dvoch kariet, v určitom poradí, je vždy trinásť sŕdc. Stačí vytiahnuť karty, kým ich nenájdete.

Zákon veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti uvádza, že empirický priemer (aritmetický priemer) dostatočne veľkej konečnej vzorky z pevného rozdelenia je blízky teoretickému priemeru (očakávaniu) tohto rozdelenia. V závislosti od typu konvergencie sa rozlišuje slabý zákon veľkých čísel, kedy dochádza ku konvergencii pravdepodobne, a silný zákon veľkých čísel, kedy dochádza ku konvergencii takmer všade.

Vždy existuje konečný počet pokusov, pre ktoré je pri akejkoľvek danej pravdepodobnosti menej ako 1 relatívna frekvencia výskytu nejakej udalosti sa bude ľubovoľne málo líšiť od jej pravdepodobnosti.

Všeobecný význam zákona veľkých čísel: spoločné pôsobenie veľkého počtu rovnakých a nezávislých náhodných faktorov vedie k výsledku, ktorý v limite nezávisí od náhody.

Na tejto vlastnosti sú založené metódy odhadu pravdepodobnosti založené na analýze konečnej vzorky. Dobrým príkladom je predikcia výsledkov volieb na základe prieskumu na vzorke voličov.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ Zákon veľkých čísel

✪ 07 - Teória pravdepodobnosti. Zákon veľkých čísel

✪ 42 Zákon veľkých čísel

✪ 1 - Čebyševov zákon veľkých čísel

✪ 11. ročník, lekcia 25, Gaussova krivka. Zákon veľkých čísel

titulky

Poďme sa pozrieť na zákon veľkých čísel, ktorý je azda najintuitívnejším zákonom v matematike a teórii pravdepodobnosti. A keďže sa vzťahuje na toľko vecí, niekedy sa používa a nepochopí. Dovoľte mi najprv uviesť definíciu presnosti a potom budeme hovoriť o intuícii. Zoberme si náhodnú premennú, povedzme X. Povedzme, že poznáme jej matematické očakávanie alebo priemer populácie. Zákon veľkých čísel jednoducho hovorí, že ak si vezmeme príklad n-tého počtu pozorovaní náhodnej premennej a spriemerujeme počet všetkých tých pozorovaní... Zoberme si premennú. Nazvime to X s dolným indexom n a pomlčkou navrchu. Toto je aritmetický priemer n-tého počtu pozorovaní našej náhodnej premennej. Tu je môj prvý postreh. Urobím experiment raz a urobím toto pozorovanie, potom to urobím znova a urobím toto pozorovanie, urobím to znova a dostanem toto. Tento experiment spustím n-krát a potom ho vydelím počtom svojich pozorovaní. Tu je môj vzorový priemer. Tu je priemer všetkých pozorovaní, ktoré som urobil. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že môj výberový priemer sa bude približovať k priemeru náhodnej premennej. Alebo môžem tiež napísať, že môj výberový priemer sa bude približovať k priemeru populácie pre n-té číslo idúce do nekonečna. Nebudem jasne rozlišovať medzi „aproximáciou“ a „konvergenciou“, ale dúfam, že intuitívne chápete, že ak tu vezmem dosť veľkú vzorku, dostanem očakávanú hodnotu pre populáciu ako celok. Myslím, že väčšina z vás intuitívne chápe, že ak urobím dostatok testov s veľkou vzorkou príkladov, nakoniec mi testy dajú hodnoty, ktoré očakávam, berúc do úvahy matematické očakávania, pravdepodobnosť a tak ďalej. Myslím si však, že často nie je jasné, prečo sa to deje. A skôr ako začnem vysvetľovať, prečo je to tak, uvediem konkrétny príklad. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že... Povedzme, že máme náhodnú premennú X. Tá sa rovná počtu hláv na 100 hodov správnej mince. V prvom rade poznáme matematické očakávanie tejto náhodnej premennej. Toto je počet hodov alebo pokusov vynásobený pravdepodobnosťou úspešného pokusu. Takže sa rovná 50. To znamená, že zákon veľkých čísel hovorí, že ak odoberieme vzorku, alebo ak spriemerujem tieto pokusy, dostanem. .. Keď robím test prvýkrát, hodím si 100-krát mincou, alebo vezmem škatuľu so stovkou mincí, zatrasiem ňou a potom spočítam, koľko hláv dostanem, a dostanem povedzme číslo 55. Toto bude X1. Potom znova zatrasiem krabicou a dostanem číslo 65. Potom znova - a dostanem 45. A toto urobím n-krát a potom to vydelím počtom pokusov. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že tento priemer (priemer všetkých mojich pozorovaní) bude mať tendenciu k 50, zatiaľ čo n bude mať tendenciu k nekonečnu. Teraz by som chcel trochu hovoriť o tom, prečo sa to deje. Mnohí veria, že ak je môj výsledok po 100 pokusoch nadpriemerný, tak podľa zákonov pravdepodobnosti by som mal mať viac-menej hláv, aby som takpovediac vyrovnal rozdiel. Presne toto sa nestane. Toto sa často označuje ako „klam hráča“. Dovoľte mi ukázať vám rozdiel. Použijem nasledujúci príklad. Dovoľte mi nakresliť graf. Zmeňme farbu. Toto je n, moja os x je n. Toto je počet testov, ktoré vykonám. A moja os y bude vzorový priemer. Vieme, že priemer tejto ľubovoľnej premennej je 50. Dovoľte mi to nakresliť. Toto je 50. Vráťme sa k nášmu príkladu. Ak n je... Počas môjho prvého testu som dostal 55, čo je môj priemer. Mám len jeden vstupný bod údajov. Potom po dvoch pokusoch dostanem 65. Takže môj priemer by bol 65+55 delené 2. To je 60. A môj priemer sa trochu zvýšil. Potom som dostal 45, čo opäť znížilo môj aritmetický priemer. Do grafu nenapíšem 45. Teraz to musím všetko spriemerovať. Koľko sa rovná 45+65? Dovoľte mi vypočítať túto hodnotu, aby predstavovala bod. To je 165 delené 3. To je 53. Nie, 55. Takže priemer opäť klesá na 55. V týchto testoch môžeme pokračovať. Potom, čo sme urobili tri pokusy a prišli s týmto priemerom, veľa ľudí si myslí, že bohovia pravdepodobnosti to urobia tak, že v budúcnosti dostaneme menej hláv, že niekoľko ďalších pokusov bude nižších, aby sa znížil priemer. Ale nie vždy to tak je. V budúcnosti zostáva pravdepodobnosť vždy rovnaká. Pravdepodobnosť, že budem valcovať hlavy, bude vždy 50%. Nie že by som na začiatku dostal určitý počet hláv, viac, ako som očakával, a potom by zrazu mali vypadnúť chvosty. Toto je „klam hráča“. Ak získate neúmerný počet hláv, neznamená to, že v určitom momente vám začne padať neúmerný počet chvostov. Nie je to celkom pravda. Zákon veľkých čísel nám hovorí, že na tom nezáleží. Povedzme, že po určitom konečnom počte pokusov váš priemer... Pravdepodobnosť je dosť malá, ale napriek tomu... Povedzme, že váš priemer dosiahne túto známku - 70. Pomyslíte si: "Wow, prekonali sme očakávania." Ale zákon veľkých čísel hovorí, že nezáleží na tom, koľko testov vykonáme. Máme pred sebou ešte nekonečné množstvo skúšok. Matematické očakávania tohto nekonečného počtu pokusov, najmä v situácii, ako je táto, budú nasledovné. Keď prídete na konečné číslo, ktoré vyjadruje nejakú veľkú hodnotu, nekonečné číslo, ktoré s ním konverguje, opäť povedie k očakávanej hodnote. Toto je, samozrejme, veľmi voľná interpretácia, ale to nám hovorí zákon veľkých čísel. To je dôležité. Nehovorí nám, že ak dostaneme veľa hláv, potom sa nejako zvýši pravdepodobnosť, že dostaneme chvosty, aby sme to kompenzovali. Tento zákon nám hovorí, že nezáleží na tom, aký bude výsledok s konečným počtom pokusov, pokiaľ máte pred sebou ešte nekonečný počet pokusov. A ak ich urobíte dostatok, opäť sa vrátite k očakávaniu. Toto je dôležitý bod. Zamyslite sa nad tým. Ale to sa v praxi pri lotériách a kasínach nepoužíva denne, hoci je známe, že ak urobíte dostatok testov... Vieme to aj vypočítať... aká je pravdepodobnosť, že sa vážne odchýlime od normy? Ale kasína a lotérie fungujú každý deň na princípe, že ak zoberiete dostatok ľudí, samozrejme v krátkom čase, s malou vzorkou, tak pár ľudí trafí jackpot. Ale z dlhodobého hľadiska bude kasíno vždy ťažiť z parametrov hier, ktoré vás pozývajú hrať. Toto je dôležitý princíp pravdepodobnosti, ktorý je intuitívny. Aj keď niekedy, keď je vám to formálne vysvetlené pomocou náhodných premenných, to všetko vyzerá trochu mätúce. Tento zákon hovorí len o tom, že čím viac vzoriek bude, tým viac sa bude aritmetický priemer týchto vzoriek približovať k skutočnému priemeru. A aby som bol konkrétnejší, aritmetický priemer vašej vzorky sa bude zbližovať s matematickým očakávaním náhodnej premennej. To je všetko. Uvidíme sa v ďalšom videu!

Slabý zákon veľkých čísel

Slabý zákon veľkých čísel sa tiež nazýva Bernoulliho veta podľa Jacoba Bernoulliho, ktorý to dokázal v roku 1713.

Nech existuje nekonečná postupnosť (po sebe idúce vyčíslenie) identicky rozdelených a nekorelovaných náhodných premenných. Teda ich kovariancia c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Nechaj . Označte vzorovým priemerom prvého n (\displaystyle n)členovia:

.

Potom X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Teda za každé pozitívum ε (\displaystyle \varepsilon )

Silný zákon veľkých čísel

Nech existuje nekonečná postupnosť nezávislých identicky rozdelených náhodných premenných ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) definované na jednom pravdepodobnostnom priestore (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Nechaj E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Označiť podľa X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) vzorový priemer prvého n (\displaystyle n)členovia:

Potom X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) takmer vždy.

Ako každý matematický zákon, aj zákon veľkých čísel je možné aplikovať na reálny svet len ​​za známych predpokladov, ktoré možno splniť len s určitým stupňom presnosti. Takže napríklad podmienky následných testov sa často nedajú dodržiavať donekonečna a s absolútnou presnosťou. Okrem toho zákon veľkých čísel hovorí iba o nepravdepodobnosť významná odchýlka strednej hodnoty od matematického očakávania.

Priemerná hodnota je najvšeobecnejším ukazovateľom v štatistike. Je to spôsobené tým, že ho možno použiť na charakterizáciu populácie podľa kvantitatívne premenlivého atribútu. Napríklad na porovnanie miezd pracovníkov dvoch podnikov nemožno brať mzdy dvoch konkrétnych pracovníkov, pretože fungujú ako premenlivý ukazovateľ. Taktiež nemožno brať do úvahy celkovú výšku miezd vyplatených v podnikoch, pretože závisí od počtu zamestnancov. Ak vydelíme celkovú výšku miezd každého podniku počtom zamestnancov, môžeme ich porovnať a určiť, ktorý podnik má vyššiu priemernú mzdu.

Inými slovami, mzdy skúmanej populácie pracujúcich dostávajú zovšeobecnenú charakteristiku v priemernej hodnote. Vyjadruje všeobecné a typické, čo je charakteristické pre totalitu pracovníkov vo vzťahu k skúmanému znaku. V tejto hodnote zobrazuje všeobecnú mieru tohto atribútu, ktorý má pre jednotky populácie inú hodnotu.

Stanovenie priemernej hodnoty. Priemerná hodnota v štatistike je zovšeobecnenou charakteristikou súboru podobných javov podľa nejakého kvantitatívne premenlivého atribútu. Priemerná hodnota zobrazuje úroveň tohto prvku vo vzťahu k jednotke obyvateľstva. Pomocou priemernej hodnoty je možné navzájom porovnávať rôzne agregáty podľa rôznych charakteristík (príjem na obyvateľa, výnosy plodín, výrobné náklady v rôznych podnikoch).

Priemerná hodnota vždy zovšeobecňuje kvantitatívnu variáciu znaku, ktorým charakterizujeme skúmanú populáciu, a ktorý je rovnako vlastný všetkým jednotkám populácie. To znamená, že za akoukoľvek priemernou hodnotou je vždy séria rozdelenia jednotiek populácie podľa nejakého premenlivého atribútu, t.j. variačná séria. V tomto ohľade sa priemerná hodnota zásadne líši od relatívnych hodnôt a najmä od ukazovateľov intenzity. Ukazovateľ intenzity je pomer objemov dvoch rôznych agregátov (napríklad produkcia HDP na obyvateľa), pričom priemerný zovšeobecňuje charakteristiky prvkov agregátu podľa jednej z charakteristík (napríklad priemer mzda pracovníka).

Stredná hodnota a zákon veľkých čísel. V zmene priemerných ukazovateľov sa prejavuje všeobecný trend, pod vplyvom ktorého sa formuje proces vývoja javov ako celku, pričom v jednotlivých individuálnych prípadoch sa tento trend nemusí prejaviť zreteľne. Je dôležité, aby priemery boli založené na masívnom zovšeobecňovaní faktov. Iba za tejto podmienky odhalia všeobecný trend, ktorý je základom procesu ako celku.

Podstata zákona veľkých čísel a jeho význam pre priemery, ako počet pozorovaní narastá, stále viac a viac úplne ruší odchýlky generované náhodnými príčinami. To znamená, že zákon veľkých čísel vytvára podmienky na to, aby sa typická úroveň rôzneho atribútu objavila v priemernej hodnote za špecifických podmienok miesta a času. Hodnota tejto úrovne je určená podstatou tohto javu.

Typy priemerov. Stredné hodnoty používané v štatistike patria do triedy výkonových prostriedkov, ktorých všeobecný vzorec je nasledujúci:

kde x je stredná mocnina;

X - zmena hodnôt atribútu (možnosti)

- možnosť voľby čísla

Exponent priemeru;

Súhrnný znak.

Pre rôzne hodnoty exponentu priemeru sa získajú rôzne typy priemeru:

Aritmetický priemer;

Hlavné námestie;

Priemerná kubická;

Priemerná harmonická;

Geometrický priemer.

Rôzne typy priemerov majú pri použití rovnakých zdrojových štatistík rôzny význam. Zároveň platí, že čím väčší je exponent priemeru, tým vyššia je jeho hodnota.

V štatistike je správna charakteristika populácie v každom jednotlivom prípade daná len úplne určitým typom priemerných hodnôt. Na určenie tohto typu priemernej hodnoty sa používa kritérium, ktoré určuje vlastnosti priemeru: priemerná hodnota bude až vtedy skutočnou zovšeobecňujúcou charakteristikou populácie podľa premenlivého atribútu, keď pri nahradení všetkých variantov priemerom hodnota, celkový objem premenlivého atribútu zostáva nezmenený. To znamená, že správny typ priemeru je určený tým, ako sa tvorí celkový objem premenného znaku. Takže aritmetický priemer sa používa, keď objem premenného znaku je tvorený súčtom jednotlivých možností, stredná štvorec - keď objem premenného znaku je tvorený ako súčet štvorcov, harmonický priemer - ako súčet recipročné hodnoty jednotlivých opcií, geometrický priemer - ako súčin jednotlivých opcií. Okrem priemerných hodnôt v štatistikách

Používajú sa deskriptívne charakteristiky rozloženia premenného znaku (štrukturálne priemery), modus (najčastejší variant) a medián (stredný variant).