Oddiy so'zlar bilan o'rtachalar qonuni. O'rtacha qiymatlar. Katta sonlarning kuchsiz qonuni

Katta sonlar haqidagi so'zlar testlar soniga ishora qiladi - tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli qiymatlari yoki ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilarning yig'indisi ko'rib chiqiladi. Ushbu qonunning mohiyati quyidagicha: bitta tasodifiy o'zgaruvchining bitta tajribada qanday qiymat olishini oldindan aytish mumkin bo'lmasa-da, lekin ko'p sonli mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar ta'sirining umumiy natijasi o'zining tasodifiy xarakterini yo'qotadi va shunday bo'lishi mumkin. deyarli ishonchli bashorat qilish mumkin (ya'ni yuqori ehtimollik bilan). Misol uchun, tanganing qaysi tomoniga tushishini oldindan aytib bo'lmaydi. Biroq, agar siz 2 tonna tanga tashlasangiz, unda gerb ko'tarilgan holda tushgan tangalarning og'irligi 1 tonnani tashkil etishi haqida katta ishonch bilan bahslashish mumkin.

Avvalo, Chebishev tengsizligi katta sonlar qonuniga taalluqlidir, u alohida testda tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatdan ma'lum bir qiymatdan oshmaydigan qiymatni qabul qilish ehtimolini baholaydi.

Chebishev tengsizligi. Mayli X ixtiyoriy tasodifiy o'zgaruvchidir, a=M(X) , a D(X) uning dispersiyasidir. Keyin

Misol. Mashinada ishlangan gilzaning diametrining nominal (ya'ni talab qilinadigan) qiymati 5 mm, va farq endi yo'q 0.01 (bu mashinaning aniqlik tolerantligi). Bitta tupni ishlab chiqarishda uning diametrining nominaldan og'ishi kamroq bo'lish ehtimolini hisoblang. 0,5 mm .

Yechim. r.v. X- ishlab chiqarilgan vtulkaning diametri. Shartga ko'ra, uning matematik kutilishi nominal diametrga teng (agar mashinani o'rnatishda tizimli nosozlik bo'lmasa): a=M(X)=5 , va farq D(X)≤0,01. Chebishev tengsizligini qo'llash e = 0,5, biz olamiz:

Shunday qilib, bunday og'ish ehtimoli juda yuqori va shuning uchun biz bir qismni bitta ishlab chiqarishda diametrning nominaldan og'ishi deyarli aniq emas degan xulosaga kelishimiz mumkin. 0,5 mm .

Asosan, standart og'ish σ xarakterlaydi o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchining o'z markazidan chetlanishi (ya'ni, uning matematik kutilishidan). Chunki u o'rtacha og'ish, keyin sinov paytida katta og'ishlar (o ga urg'u) mumkin. Qanday katta og'ishlar amalda mumkin? Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rganishda biz "uch sigma" qoidasini oldik: normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi X bitta testda dan amalda o'rtachadan chetga chiqmaydi 3s, qayerda s= s(X) r.v ning standart og'ishidir. X. Biz tengsizlikni olganimizdan shunday qoidani chiqardik

Keling, ehtimollikni taxmin qilaylik o'zboshimchalik bilan tasodifiy o'zgaruvchi X standart og'ishning uch barobaridan ko'p bo'lmagan o'rtacha qiymatdan farq qiladigan qiymatni qabul qilish. Chebishev tengsizligini qo'llash ε = 3s va shuni hisobga olgan holda D(X)=s 2 , biz olamiz:

Shunday qilib, umuman biz tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatdan uchdan ko'p bo'lmagan standart og'ishlar soni bo'yicha chetga chiqish ehtimolini taxmin qilishimiz mumkin. 0.89 , normal taqsimot uchun esa ehtimollik bilan kafolatlanishi mumkin 0.997 .

Chebishev tengsizligi mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar tizimiga umumlashtirilishi mumkin.

Chebishevning umumlashtirilgan tengsizligi. Agar mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a va dispersiyalar D(X i )= D, keyin

Da n=1 bu tengsizlik yuqorida tuzilgan Chebishev tengsizligiga o'tadi.

Tegishli masalalarni yechish uchun mustaqil ahamiyatga ega bo'lgan Chebishev tengsizligi Chebishev teoremasi deb ataladigan narsani isbotlash uchun ishlatiladi. Biz birinchi navbatda bu teoremaning mohiyatini bayon qilamiz va keyin uning rasmiy formulasini beramiz.

Mayli X 1 , X 2 , … , X n- matematik taxminlarga ega bo'lgan ko'p sonli mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Garchi ularning har biri, tajriba natijasida, o'rtacha qiymatdan (ya'ni, matematik kutishdan) uzoqroq qiymatni olishi mumkin bo'lsa-da, lekin tasodifiy o'zgaruvchi.
, ularning arifmetik o'rtacha qiymatiga teng, yuqori ehtimollik bilan belgilangan raqamga yaqin qiymatni oladi
(bu barcha matematik taxminlarning o'rtacha ko'rsatkichidir). Bu quyidagilarni anglatadi. Sinov natijasida mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin X 1 , X 2 , … , X n(ularning ko'pi bor!) shunga mos ravishda qiymatlarni oldi X 1 , X 2 , … , X n mos ravishda. Agar bu qiymatlarning o'zlari mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha qiymatlaridan uzoq bo'lishi mumkin bo'lsa, ularning o'rtacha qiymati
ga yaqin bo'lishi mumkin
. Shunday qilib, ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha arifmetik qiymati allaqachon tasodifiy xarakterini yo'qotadi va katta aniqlik bilan bashorat qilinishi mumkin. Buni qiymatlarning tasodifiy og'ishlari bilan izohlash mumkin X i dan a i turli belgilarga ega bo'lishi mumkin va shuning uchun jami bu og'ishlar yuqori ehtimollik bilan qoplanadi.

Terema Chebysheva (katta sonlar qonuni Chebishev shaklida). Mayli X 1 , X 2 , … , X n … - dispersiyalari bir xil son bilan chegaralangan juftlik mustaqil tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi. Keyin, e sonini qancha kichik olsak ham, tengsizlik ehtimoli

soni bo'lsa o'zboshimchalik bilan birlikka yaqin bo'ladi n tasodifiy o'zgaruvchilar etarlicha katta bo'lishi uchun. Rasmiy ravishda, bu teorema shartlari ostida degan ma'noni anglatadi

Ushbu turdagi yaqinlashish ehtimollik bo'yicha yaqinlashuv deb ataladi va quyidagicha belgilanadi:

Shunday qilib, Chebishev teoremasida aytilishicha, agar mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar etarli darajada ko'p bo'lsa, unda bitta testda ularning arifmetik o'rtacha qiymati deyarli ularning matematik taxminlarining o'rtacha qiymatiga yaqin qiymatni oladi.

Ko'pincha, Chebyshev teoremasi tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lgan vaziyatda qo'llaniladi X 1 , X 2 , … , X n … bir xil taqsimotga ega (ya'ni bir xil taqsimot qonuni yoki bir xil ehtimollik zichligi). Aslida, bu bir xil tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli misollari.

Natija(umumiy Chebishev tengsizligidan). Agar mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 , X 2 , … , X n … matematik taxminlar bilan bir xil taqsimotga ega M(X i )= a va dispersiyalar D(X i )= D, keyin

, ya'ni.
.

Isbot chegaraga o'tish orqali umumlashtirilgan Chebishev tengsizligidan kelib chiqadi n→∞ .

Yana bir bor ta'kidlaymizki, yuqorida yozilgan tengliklar miqdorning qiymatini kafolatlamaydi
moyil bo'ladi a da n→∞. Bu qiymat hali ham tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, uning individual qiymatlari juda uzoq bo'lishi mumkin a. Ammo bunday bo'lish ehtimoli (uzoq a) ortib borayotgan qiymatlar n 0 ga intiladi.

Izoh. Natijaning xulosasi, shubhasiz, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar umumiy holatda ham haqiqiydir. X 1 , X 2 , … , X n … turli taqsimotga ega, lekin bir xil matematik taxminlar (teng a) va agregatda cheklangan farqlar. Bu ma'lum miqdorni o'lchashning to'g'riligini taxmin qilish imkonini beradi, hatto bu o'lchovlar turli asboblar tomonidan amalga oshirilgan bo'lsa ham.

Keling, bu xulosaning miqdorlarni o'lchashda qo'llanilishini batafsil ko'rib chiqaylik. Keling, qandaydir qurilmadan foydalanaylik n bir xil miqdordagi o'lchovlar, ularning haqiqiy qiymati a va biz bilmaymiz. Bunday o'lchovlarning natijalari X 1 , X 2 , … , X n bir-biridan (va haqiqiy qiymatdan) sezilarli darajada farq qilishi mumkin a) turli tasodifiy omillar (bosim tushishi, harorat, tasodifiy tebranish va boshqalar) tufayli. R.v.ni ko'rib chiqing. X- miqdorni bir marta o'lchash uchun asboblarni o'qish, shuningdek, r.v. X 1 , X 2 , … , X n- birinchi, ikkinchi, ..., oxirgi o'lchovdagi asboblarni o'qish. Shunday qilib, miqdorlarning har biri X 1 , X 2 , … , X n r.v holatlaridan faqat bittasi mavjud. X, va shuning uchun ularning barchasi r.v. bilan bir xil taqsimotga ega. X. O'lchov natijalari bir-biridan mustaqil bo'lganligi sababli, r.v. X 1 , X 2 , … , X n mustaqil deb hisoblash mumkin. Agar qurilma tizimli xatoga yo'l qo'ymasa (masalan, shkalada nol "yiqilmagan", kamon cho'zilmagan va hokazo), unda biz matematik kutishni taxmin qilishimiz mumkin. M(X) = a, va shuning uchun M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Shunday qilib, yuqoridagi xulosaning shartlari qondiriladi va shuning uchun miqdorning taxminiy qiymati sifatida a biz tasodifiy o'zgaruvchining "amalga oshirish" ni olishimiz mumkin
tajribamizda (bir qatordan iborat n o'lchovlar), ya'ni.

Ko'p sonli o'lchovlar bilan u amalda ishonchli yaxshi aniqlik Ushbu formuladan foydalangan holda hisob-kitoblar. Bu amaliy printsipning mantiqiy asosi bo'lib, ko'p sonli o'lchovlar bilan ularning arifmetik o'rtacha qiymati o'lchangan miqdorning haqiqiy qiymatidan deyarli farq qilmaydi.

Matematik statistikada keng qo'llaniladigan "tanlangan" usul katta sonlar qonuniga asoslanadi, bu tasodifiy o'zgaruvchining nisbatan kichik qiymatlari namunasidan ob'ektiv xususiyatlarini maqbul aniqlik bilan olish imkonini beradi. Ammo bu keyingi bo'limda muhokama qilinadi.

Misol. Tizimli buzilishlarni amalga oshirmaydigan o'lchash moslamasida ma'lum miqdor o'lchanadi a bir marta (qabul qilingan qiymat X 1 ), keyin yana 99 marta (qadrlar olingan X 2 , … , X 100 ). Haqiqiy o'lchov qiymati uchun a birinchi o'lchov natijasini oling
, va keyin barcha o'lchovlarning arifmetik o'rtacha qiymati
. Qurilmaning o'lchov aniqligi shundayki, o'lchovning standart og'ishi s 1 dan oshmaydi (chunki dispersiya D=σ 2 ham 1 dan oshmaydi). O'lchov usullarining har biri uchun o'lchov xatosi 2 dan oshmasligi ehtimolini hisoblang.

Yechim. r.v. X- bitta o'lchov uchun asboblarni o'qish. Keyin shart bilan M(X)=a. Berilgan savollarga javob berish uchun biz umumiy Chebishev tengsizligini qo'llaymiz

e uchun =2 uchun birinchi n=1 va keyin uchun n=100 . Birinchi holda, biz olamiz
, va ikkinchisida. Shunday qilib, ikkinchi holat berilgan o'lchov aniqligini amalda kafolatlaydi, birinchisi esa bu ma'noda jiddiy shubhalarni qoldiradi.

Bernulli sxemasida yuzaga keladigan tasodifiy o'zgaruvchilarga yuqoridagi gaplarni qo'llaymiz. Keling, ushbu sxemaning mohiyatini eslaylik. Ishlab chiqarilsin n mustaqil testlar, ularning har birida ba'zi hodisalar LEKIN bir xil ehtimollik bilan paydo bo'lishi mumkin R, a q=1–r(ma'nosi bo'yicha, bu hodisaning sodir bo'lishi emas, balki qarama-qarshi hodisaning ehtimoli LEKIN) . Keling, bir oz raqamni sarflaymiz n bunday testlar. Tasodifiy o'zgaruvchilarni ko'rib chiqing: X 1 - voqea sodir bo'lgan holatlar soni LEKIN ichida 1 test, ..., X n- voqea sodir bo'lgan holatlar soni LEKIN ichida n th test. Barcha tanishtirilgan r.v. qiymatlarni qabul qilishi mumkin 0 yoki 1 (voqea LEKIN testda paydo bo'lishi mumkin yoki yo'q) va qiymat 1 har bir sinovda ehtimollik bilan shartli ravishda qabul qilinadi p(hodisaning yuzaga kelish ehtimoli LEKIN har bir testda) va qiymat 0 ehtimollik bilan q= 1 – p. Shuning uchun bu miqdorlar bir xil taqsimot qonunlariga ega:

X 1

X n

Shuning uchun bu miqdorlarning o'rtacha qiymatlari va ularning dispersiyasi ham bir xil: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= p ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(X n )= p ∙ q . Ushbu qiymatlarni umumlashtirilgan Chebishev tengsizligiga almashtirib, biz olamiz

Ko'rinib turibdiki, r.v. X=X 1 +…+X n hodisaning sodir bo'lish soni LEKIN hammasida n sinovlar (ular aytganidek - "muvaffaqiyatlar soni" n testlar). Kirilsin n sinov hodisasi LEKIN ichida paydo bo'ldi k ulardan. Keyin oldingi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin

Ammo kattaligi
, hodisaning sodir bo'lish sonining nisbatiga teng LEKIN ichida n mustaqil sinovlar, ilgari nisbiy hodisa darajasi deb nomlangan sinovlarning umumiy soniga LEKIN ichida n testlar. Shuning uchun tengsizlik mavjud

Hozir chegaraga o'tish n→∞, olamiz
, ya'ni.
(ehtimolga ko'ra). Bu Bernulli ko'rinishidagi katta sonlar qonunining mazmunidir. Bundan kelib chiqadiki, etarlicha ko'p miqdordagi sinovlar uchun n nisbiy chastotaning o'zboshimchalik bilan kichik og'ishlari
uning ehtimolidan kelib chiqqan hodisalar R deyarli aniq hodisalardir va katta og'ishlar deyarli mumkin emas. Nisbiy chastotalarning bunday barqarorligi to'g'risida olingan xulosa (biz avvalroq deb atagan edik eksperimental fakt) hodisaning nisbiy chastotasi tebranib turadigan raqam sifatida hodisa ehtimolining ilgari kiritilgan statistik ta'rifini asoslaydi.

Buni hisobga olgan holda ifoda p∙ q= p∙(1− p)= p− p 2 o'zgartirish oralig'idan oshmaydi
(buni ushbu segmentda ushbu funktsiyaning minimalini topish orqali tekshirish oson), yuqoridagi tengsizlikdan
buni olish oson

tegishli muammolarni hal qilishda qo'llaniladigan (ulardan biri quyida keltirilgan).

Misol. Tanga 1000 marta aylantirildi. Gerb paydo bo'lishining nisbiy chastotasining uning ehtimolidan chetlanishi 0,1 dan kam bo'lish ehtimolini hisoblang.

Yechim. Tengsizlikni qo'llash
da p= q=1/2 , n=1000 , e=0,1, olamiz.

Misol. Oldingi misol shartlariga ko'ra, sonning ehtimolini hisoblang k tushib qolgan gerblar oralig'ida bo'ladi 400 oldin 600 .

Yechim. Vaziyat 400< k<600 shuni anglatadi 400/1000< k/ n<600/1000 , ya'ni. 0.4< V n (A)<0.6 yoki
. Oldingi misoldan ko'rganimizdek, bunday hodisaning ehtimoli kamida 0.975 .

Misol. Ba'zi bir hodisaning ehtimolini hisoblash LEKIN 1000 ta tajriba o'tkazildi, unda tadbir o'tkazildi LEKIN 300 marta paydo bo'ldi. Nisbiy chastotaning (300/1000=0,3 ga teng) haqiqiy ehtimoldan farq qilish ehtimolini hisoblang. R 0,1 dan oshmasligi kerak.

Yechim. Yuqoridagi tengsizlikni qo'llash
n=1000, e=0,1 uchun ni olamiz.

Katta sonlar qonuni

Katta sonlar qonuni ehtimollar nazariyasida sobit taqsimotdan yetarlicha katta chekli tanlamaning empirik o'rtacha (arifmetik o'rtacha) bu taqsimotning nazariy o'rtacha (kutish) ga yaqin ekanligini bildiradi. Konvergentsiyaning turiga qarab, ehtimollikda yaqinlashish sodir bo'lganda katta sonlarning zaif qonuni va deyarli hamma joyda yaqinlashuv sodir bo'lganda katta sonlarning kuchli qonuni mavjud.

Har doim shunday bir qator sinovlar bo'ladiki, har qanday oldindan belgilangan ehtimollik bilan, biron bir hodisaning yuzaga kelishining nisbiy chastotasi uning ehtimolidan o'zboshimchalik bilan kam farq qiladi.

Katta sonlar qonunining umumiy ma'nosi shundaki, ko'p sonli tasodifiy omillarning birgalikdagi harakati tasodifdan deyarli mustaqil bo'lgan natijaga olib keladi.

Cheklangan namunani tahlil qilish asosida ehtimollikni baholash usullari ushbu xususiyatga asoslanadi. Saylovchilar o‘rtasida o‘tkazilgan so‘rovnoma asosida saylov natijalarini bashorat qilish yaxshi misoldir.

Katta sonlarning kuchsiz qonuni

Bir xil ehtimollik fazosida aniqlangan, bir xil taqsimlangan va korrelyatsiyasiz tasodifiy o'zgaruvchilarning cheksiz ketma-ketligi (ketma-ket sanab) bo'lsin. Ya'ni, ularning kovariatsiyasi. Mayli. Birinchi atamalarning namunaviy o'rtacha qiymatini belgilaymiz:

Katta sonlarning kuchli qonuni

Bir xil ehtimollik fazosida aniqlangan mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarning cheksiz ketma-ketligi bo'lsin. Mayli. Birinchi atamalarning namunaviy o'rtacha qiymatini belgilaymiz:

Keyin deyarli aniq.

Shuningdek qarang

Adabiyot

Shiryaev A.N. Ehtimol, - M .: Fan. 1989 yil.
Chistyakov V.P. Ehtimollar nazariyasi kursi, - M., 1982.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Rossiya kino
Gromeka, Mixail Stepanovich

Boshqa lug'atlarda "Katta sonlar qonuni" nima ekanligini ko'ring:

BUYUK SONLAR QONUNI- (katta sonlar qonuni) Agar aholining alohida a'zolarining xatti-harakati juda o'ziga xos bo'lsa, guruhning xatti-harakati o'rtacha har qanday a'zoning xatti-harakatidan ko'ra ko'proq taxmin qilinadi. Qaysi guruhlardagi tendentsiya ...... Iqtisodiy lug'at

BUYUK SONLAR QONUNI- KATTA RAQAMLAR QONUNiga qarang. Antinazi. Sotsiologiya entsiklopediyasi, 2009 yil ... Sotsiologiya entsiklopediyasi

Katta sonlar qonuni- ommaviy ijtimoiy hodisalarga xos bo'lgan miqdoriy qonuniyatlar etarlicha ko'p kuzatuvlar bilan eng aniq namoyon bo'ladigan printsip. Yagona hodisalar tasodifiy va ... ta'siriga ko'proq moyil bo'ladi. Biznes atamalarining lug'ati

BUYUK SONLAR QONUNI- ehtimollik birga yaqin bo'lganda, taxminan bir xil tartibdagi ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha arifmetik qiymati ushbu o'zgaruvchilarning matematik taxminlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng bo'lgan doimiydan ozgina farq qiladi. Farqi…… Geologik entsiklopediya

katta sonlar qonuni- — [Ya.N.Luginskiy, M.S.Fezi Jilinskaya, Yu.S.Kabirov. Elektrotexnika va energetika sanoatining inglizcha ruscha lug'ati, Moskva, 1999] Elektrotexnika mavzulari, asosiy tushunchalar EN katta sonlarning o'rtacha qonuni ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

katta sonlar qonuni- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. katta sonlar qonuni vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. katta sonlar qonuni, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

BUYUK SONLAR QONUNI- umumiy tamoyil, buning natijasida tasodifiy omillarning birgalikdagi ta'siri ma'lum umumiy sharoitlarda tasodifdan deyarli mustaqil bo'lgan natijaga olib keladi. Tasodifiy hodisaning paydo bo'lish chastotasining uning sonining ortishi bilan ehtimoli bilan yaqinlashishi ... ... Rus sotsiologik entsiklopediyasi

Katta sonlar qonuni- ko'p sonli tasodifiy omillarning to'plangan ta'siri ma'lum umumiy sharoitlarda tasodifdan deyarli mustaqil natijaga olib kelishini ko'rsatadigan qonun ... Sotsiologiya: lug'at

BUYUK SONLAR QONUNI- tanlanma va umumiy aholi sonining statistik ko'rsatkichlari (parametrlari) munosabatlarini ifodalovchi statistik qonun. Muayyan tanlamadan olingan statistik ko'rsatkichlarning haqiqiy qiymatlari har doim shunday deyilganidan farq qiladi. nazariy ... ... Sotsiologiya: Entsiklopediya

BUYUK SONLAR QONUNI- ma'lum bir turdagi moliyaviy yo'qotishlar chastotasini o'xshash turdagi yo'qotishlar ko'p bo'lganda yuqori aniqlik bilan bashorat qilish printsipi ... Iqtisodiyot va huquqning entsiklopedik lug'ati

Kitoblar

Jadvallar to'plami. Matematika. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. 6 ta jadvallar + metodologiya, . Jadvallar 680 x 980 mm o'lchamdagi qalin poligrafik kartonga bosilgan. To'plamda o'qituvchilar uchun uslubiy tavsiyalar mavjud risola mavjud. 6 varaqdan iborat o'quv albomi. Tasodifiy…

Muvaffaqiyatli sotuvchilarning siri nimada? Agar siz har qanday kompaniyaning eng yaxshi sotuvchilarini kuzatsangiz, ularning umumiy bir jihati borligini sezasiz. Ularning har biri kam muvaffaqiyat qozongan sotuvchilarga qaraganda ko'proq odamlar bilan uchrashadi va ko'proq taqdimotlar qiladi. Bu odamlar sotish bu raqamlar o'yini ekanligini tushunishadi va qancha ko'p odamlar o'z mahsuloti yoki xizmatlari haqida gapirsalar, shuncha ko'p bitimlar yopishadi, hammasi shu. Ular tushunadilarki, agar ular nafaqat ularga albatta "ha" deb aytadiganlar bilan, balki ularning taklifiga qiziqish unchalik katta bo'lmaganlar bilan ham muloqot qilsalar, o'rtachalar qonuni ularning foydasiga ishlaydi.

Sizning daromadingiz sotuvlar soniga bog'liq bo'ladi, lekin ayni paytda ular siz taqdim etgan taqdimotlar soniga to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'ladi. O'rtachalar qonunini tushunib, amalda qo'llashni boshlaganingizdan so'ng, yangi biznes boshlash yoki yangi sohada ishlash bilan bog'liq tashvishlar pasaya boshlaydi. Natijada, nazorat qilish hissi va ularning daromad olish qobiliyatiga bo'lgan ishonch o'sishni boshlaydi. Agar siz shunchaki taqdimotlar qilsangiz va bu jarayonda o'z mahoratingizni oshirsangiz, bitimlar bo'ladi.

Bitimlar soni haqida o'ylashdan ko'ra, taqdimotlar soni haqida o'ylang. Ertalab uyg'onish yoki kechqurun uyga kelib, mahsulotingizni kim sotib olishiga hayron bo'lishni boshlashning ma'nosi yo'q. Buning o'rniga, har kuni qancha qo'ng'iroq qilishingiz kerakligini rejalashtirgan ma'qul. Va keyin, nima bo'lishidan qat'iy nazar - barcha qo'ng'iroqlarni qiling! Bunday yondashuv sizning ishingizni osonlashtiradi - chunki bu oddiy va aniq maqsad. Agar sizning oldingizda juda aniq va erishish mumkin bo'lgan maqsad borligini bilsangiz, rejalashtirilgan qo'ng'iroqlar sonini amalga oshirish sizga osonroq bo'ladi. Agar siz ushbu jarayon davomida bir necha marta "ha" deb eshitsangiz, shuncha yaxshi!

Va agar "yo'q" bo'lsa, kechqurun siz qo'lingizdan kelganini qilganingizni his qilasiz va qancha pul topganingiz yoki bir kunda qancha sheriklar orttirganingiz haqidagi o'ylar sizni qiynamaydi.

Aytaylik, sizning kompaniyangiz yoki biznesingizda o'rtacha sotuvchi har to'rtta taqdimotda bitta bitimni yopadi. Endi siz palubadan kartalar chizayotganingizni tasavvur qiling. Uchta kostyumdan iborat har bir karta - belkurak, olmos va klub - bu mahsulot, xizmat yoki imkoniyatni professional tarzda taqdim etadigan taqdimot. Siz buni qo'lingizdan kelganicha qilasiz, lekin siz hali ham shartnomani yopmaysiz. Va har bir yurak kartasi - bu pul olish yoki yangi hamroh sotib olish imkonini beruvchi bitim.

Bunday vaziyatda palubadan iloji boricha ko'proq kartalarni olishni xohlamaysizmi? Aytaylik, sizga har safar yurak kartasini tortganingizda pul to'lash yoki yangi hamroh taklif qilishda sizga xohlagancha kartalarni jalb qilish taklif qilinmoqda. Siz kartochkalarni ishtiyoq bilan chizishni boshlaysiz, karta qanday kostyumni tortib olganini zo'rg'a sezasiz.

Bilasizmi, ellik ikkita kartadan iborat palubada o'n uchta yurak bor. Va ikkita palubada - yigirma oltita yurak kartasi va boshqalar. Kurtaklar, olmoslar yoki tayoqchalarni chizish sizni xafa qiladimi? Albatta yo'q! Siz har bir bunday "sog'inish" sizni yanada yaqinlashtiradi deb o'ylaysiz - nimaga? Yuraklar kartasiga!

Lekin bilasizmi? Sizga bu taklif allaqachon berilgan. Siz xohlagancha pul ishlash va hayotingizda xohlagancha yurak kartalarini chizish uchun noyob holatdasiz. Va agar siz vijdonan "karta chizsangiz", o'z mahoratingizni oshirsangiz va ozgina belkurak, olmos va kulpga chidasangiz, unda siz zo'r sotuvchiga aylanasiz va muvaffaqiyatga erishasiz.

Sotishni juda qiziqarli qiladigan narsalardan biri shundaki, siz har safar kemani aralashtirsangiz, kartalar boshqacha aralashtiriladi. Ba'zan barcha yuraklar kemaning boshida tugaydi va muvaffaqiyatli seriyadan so'ng (qachonki, biz hech qachon yo'qotmaydigandek tuyuladi!) Biz boshqa kostyumning uzun qatorli kartalarini kutmoqdamiz. Va yana bir safar, birinchi yurakka erishish uchun cheksiz ko'p belkurak, tayoq va daflardan o'tishingiz kerak. Va ba'zida turli xil kostyumlarning kartalari qat'iy ravishda o'z navbatida tushadi. Biroq, har qanday holatda, ellik ikkita kartaning har bir palubasida, qandaydir tartibda, har doim o'n uchta yurak bor. Kartochkalarni topmaguningizcha ularni tortib oling.

Kimdan: Leylya,

Katta sonlar qonuni ehtimollar nazariyasida sobit taqsimotdan yetarlicha katta chekli tanlamaning empirik o'rtacha (arifmetik o'rtacha) bu taqsimotning nazariy o'rtacha (kutish) ga yaqin ekanligini bildiradi. Konvergentsiya turiga qarab, ehtimollik bo'yicha konvergentsiya sodir bo'lganda katta sonlarning zaif qonuni va deyarli hamma joyda yaqinlashuv sodir bo'lganda katta sonlarning kuchli qonuni farqlanadi.

Har doim cheklangan miqdordagi sinovlar mavjud bo'lib, ular uchun har qanday berilgan ehtimoldan kamroq 1 ba'zi bir hodisaning yuzaga kelishining nisbiy chastotasi uning ehtimolidan o'zboshimchalik bilan juda oz farq qiladi.

Katta sonlar qonunining umumiy ma'nosi: ko'p sonli bir xil va mustaqil tasodifiy omillarning birgalikdagi ta'siri chegarada tasodifga bog'liq bo'lmagan natijaga olib keladi.

Entsiklopedik YouTube

1 / 5

✪ Katta sonlar qonuni

✪ 07 - Ehtimollar nazariyasi. Katta sonlar qonuni

✪ 42 Katta sonlar qonuni

✪ 1 - Chebishevning katta sonlar qonuni

✪ 11-sinf, 25-dars, Gauss egri chizig'i. Katta sonlar qonuni

Subtitrlar

Keling, matematika va ehtimollar nazariyasidagi eng intuitiv qonun bo'lgan katta sonlar qonunini ko'rib chiqaylik. Va u juda ko'p narsalarga taalluqli bo'lgani uchun, ba'zan ishlatiladi va noto'g'ri tushuniladi. Avvaliga aniqlik uchun ta'rif bersam, keyin sezgi haqida gaplashamiz. Tasodifiy o'zgaruvchini olaylik, deylik X. Aytaylik, biz uning matematik kutilishi yoki aholi o'rtacha qiymatini bilamiz. Katta sonlar qonuni oddiygina shuni aytadiki, agar biz tasodifiy o'zgaruvchining n-sonli kuzatishlarini misol qilib olsak va bu barcha kuzatishlar sonini o'rtacha hisoblasak... O'zgaruvchini olaylik. Keling, uni X deb ataymiz, n pastki belgisi va tepasida chiziqcha. Bu tasodifiy o'zgaruvchimiz kuzatuvlarining n-sonining o'rtacha arifmetik qiymati. Mana mening birinchi kuzatuvim. Men tajribani bir marta qilaman va bu kuzatuvni qilaman, keyin yana qilaman va bu kuzatuvni qilaman, yana qilaman va buni olaman. Men bu tajribani n marta bajaraman va keyin kuzatuvlarim soniga bo'laman. Mana mening namunaviy o'rtacham. Mana, men qilgan barcha kuzatishlarimning o'rtachasi. Katta sonlar qonuni, mening namunaviy o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatiga yaqinlashishini aytadi. Yoki men ham yozishim mumkinki, mening namunaviy o'rtacha n-sonning cheksizligi uchun umumiy o'rtachaga yaqinlashadi. Men "yaqinlashish" va "yaqinlashish" o'rtasida aniq farq qilmayman, lekin umid qilamanki, agar men bu erda juda katta namuna olsam, men butun aholi uchun kutilgan qiymatni olaman, deb intuitiv ravishda tushunasiz. O'ylaymanki, ko'pchiligingiz intuitiv ravishda tushunasizki, agar men misollarning katta namunasi bilan etarlicha testlar qilsam, oxir-oqibat testlar matematik kutish, ehtimollik va boshqa narsalarni hisobga olgan holda men kutgan qiymatlarni beradi. Lekin menimcha, nima uchun bu sodir bo'layotgani ko'pincha tushunarsiz. Va nima uchun bunday bo'lganini tushuntirishni boshlashdan oldin, sizga aniq bir misol keltiraman. Katta sonlar qonuni shuni aytadiki... Aytaylik, bizda X tasodifiy o‘zgaruvchisi bor. Bu to‘g‘ri tanganing 100 ta otilishidagi boshlar soniga teng. Avvalo, biz ushbu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini bilamiz. Bu tangalar yoki sinovlar soni har qanday sinovning muvaffaqiyatli bo'lish ehtimoliga ko'paytiriladi. Demak, u 50 ga teng. Ya'ni, katta sonlar qonuni shuni aytadiki, agar biz namuna olsak yoki bu sinovlarni o'rtacha qilsam, men olaman. .. Birinchi marta test qilganimda, men 100 marta tanga tashlayman yoki yuz tanga solingan qutini olib, silkitaman, keyin qancha bosh olganimni hisoblayman va aytaylik, 55 raqamini olaman. Bu shunday bo'ladi. X1. Keyin men qutini yana silkitaman va men 65 raqamini olaman. Keyin yana - va men 45 ni olaman. Va men buni n marta qilaman va keyin uni sinovlar soniga bo'laman. Katta sonlar qonuni bizga bu o'rtacha (barcha kuzatishlarimning o'rtacha) 50 ga, n esa cheksizlikka moyil bo'lishini aytadi. Endi men nima uchun bu sodir bo'lishi haqida bir oz gaplashmoqchiman. Ko'pchilik, agar 100 ta sinovdan so'ng mening natijasim o'rtacha darajadan yuqori bo'lsa, ehtimollik qonunlariga ko'ra, farqni qoplash uchun men ko'proq yoki kamroq boshlarga ega bo'lishim kerak deb hisoblaydi. Bu aniq sodir bo'ladigan narsa emas. Bu ko'pincha "qimorbozning xatosi" deb ataladi. Keling, sizga farqni ko'rsataman. Men quyidagi misoldan foydalanaman. Menga grafik chizishga ruxsat bering. Keling, rangni o'zgartiraylik. Bu n, mening x o'qim n. Bu men o'tkazadigan testlar soni. Va mening y o'qi o'rtacha namuna bo'ladi. Biz bilamizki, bu ixtiyoriy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati 50 ga teng. Keling, buni chizaman. Bu 50. Keling, misolimizga qaytaylik. Agar n bo'lsa... Birinchi testim davomida men 55 ball oldim, bu mening o'rtacham. Menda faqat bitta ma'lumot kiritish nuqtasi bor. Keyin ikkita sinovdan so'ng men 65 ball olaman. Demak, mening o'rtacha ko'rsatkichim 2 ga bo'linganda 65+55 bo'ladi. Bu 60. Va o'rtacha ko'rsatkichim biroz ko'tarildi. Keyin men 45 ni oldim, bu mening arifmetik o'rtachani yana pasaytirdi. Men diagrammada 45 ni chizmayman. Endi hammasini o'rtacha hisoblab chiqishim kerak. 45+65 nimaga teng? Nuqtani ifodalash uchun ushbu qiymatni hisoblab chiqaman. Bu 165 ni 3 ga bo'lish. Bu 53. Yo'q, 55. Shunday qilib, o'rtacha yana 55 ga tushadi. Ushbu testlarni davom ettirishimiz mumkin. Biz uchta sinovni o'tkazganimizdan so'ng va bu o'rtacha natijaga erishganimizdan so'ng, ko'p odamlar ehtimollik xudolari buni kelajakda kamroq boshlar olishimiz uchun qiladi, deb o'ylaydi, keyingi bir necha sinovlar o'rtachani kamaytirish uchun pastroq bo'ladi. Lekin har doim ham shunday emas. Kelajakda ehtimollik har doim bir xil bo'lib qoladi. Mening boshimni aylantirish ehtimoli har doim 50% bo'ladi. Men dastlab kutganimdan ko'ra ma'lum miqdordagi boshlarni olaman, keyin to'satdan dumlar tushishi kerak. Bu "futbolchining xatosi". Agar siz nomutanosib miqdordagi boshlarni olsangiz, bu bir nuqtada siz nomutanosib miqdordagi dumlar tushishni boshlaysiz degani emas. Bu mutlaqo to'g'ri emas. Katta sonlar qonuni bu muhim emasligini aytadi. Aytaylik, ma'lum bir cheklangan miqdordagi sinovlardan so'ng, sizning o'rtachangiz... Buning ehtimoli juda kichik, ammo, shunga qaramay... Aytaylik, sizning o'rtachangiz shu belgiga yetdi - 70. “Voy, biz kutganimizdan ham ancha oshib ketdik”, deb o‘ylaysiz. Lekin katta sonlar qonuni shuni aytadiki, biz qancha test o'tkazishimiz muhim emas. Oldinda bizni hali cheksiz sinovlar kutib turibdi. Ushbu cheksiz miqdordagi sinovlarning matematik kutilishi, ayniqsa, bunday vaziyatda, quyidagicha bo'ladi. Qandaydir katta qiymatni ifodalovchi chekli son bilan kelganingizda, u bilan yaqinlashadigan cheksiz son yana kutilgan qiymatga olib keladi. Bu, albatta, juda erkin talqin, lekin katta sonlar qonuni shuni aytadi. Bu muhim. U bizga aytmaydiki, agar biz ko'p kalla olsak, qandaydir tarzda o'rnini qoplash uchun dumlar olish ehtimoli ortadi. Bu qonun bizga cheksiz miqdordagi sinovlar bilan natija qanday bo'lishi muhim emasligini aytadi, agar sizda hali cheksiz miqdordagi sinovlar bor. Va agar siz ulardan yetarlicha foydalansangiz, yana kutganingizga qaytasiz. Bu muhim nuqta. O'ylab ko'r. Lekin bu lotereyalar va kazinolar bilan amalda har kuni qo'llanilmaydi, garchi ma'lumki, agar siz yetarlicha test o'tkazsangiz... Biz hatto hisoblab ham olamiz... me'yordan jiddiy chetga chiqish ehtimoli qanday? Lekin kazinolar va lotereyalar har kuni shunday tamoyil asosida ishlaydiki, agar siz yetarlicha odamni, albatta, qisqa vaqt ichida, kichik namuna bilan qabul qilsangiz, u holda jekpotni bir necha kishi uradi. Ammo uzoq muddat davomida kazino sizni o'ynashga taklif qilgan o'yinlarning parametrlaridan doimo foyda ko'radi. Bu intuitiv bo'lgan muhim ehtimollik printsipi. Garchi ba'zida bu tasodifiy o'zgaruvchilar bilan sizga rasman tushuntirilganda, barchasi biroz chalkash ko'rinadi. Bu qonunning barchasi shuni ko'rsatadiki, namunalar qancha ko'p bo'lsa, bu namunalarning arifmetik o'rtacha qiymati haqiqiy o'rtachaga yaqinlashadi. Va aniqroq bo'lish uchun, sizning namunangizning arifmetik o'rtacha qiymati tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi bilan birlashadi. Ana xolos. Keyingi videoda ko'rishguncha!

Katta sonlarning kuchsiz qonuni

Katta sonlarning kuchsiz qonuni uni 1713 yilda isbotlagan Yakob-Bernulli sharafiga Bernulli teoremasi deb ham ataladi.

Bir xil taqsimlangan va o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilarning cheksiz ketma-ketligi (ketma-ket sanab) bo'lsin. Ya'ni, ularning kovariatsiyasi c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Mayli. Birinchisining o'rtacha namunasi bilan belgilang n (\displaystyle n) a'zolar:

Keyin X ¯ n → P m (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Ya'ni, har bir ijobiy uchun e (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n - m |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Katta sonlarning kuchli qonuni

Mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlarning cheksiz ketma-ketligi bo'lsin ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) bitta ehtimollik maydonida aniqlanadi (Ō , F , P) (\ displaystyle (\ Omega , (\ mathcal (F)), \ mathbb (P))). Mayli E X i = m , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). tomonidan belgilang X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) birinchisining o'rtacha namunasi n (\displaystyle n) a'zolar:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i=) 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Keyin X ¯ n → m (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) deyarli har doim.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = m) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ o'ng) = 1.) .

Har qanday matematik qonun kabi, katta sonlar qonuni faqat ma'lum taxminlar ostida haqiqiy dunyoga qo'llanilishi mumkin, bu faqat ma'lum bir aniqlik darajasida bajarilishi mumkin. Shunday qilib, masalan, ketma-ket sinovlar shartlarini ko'pincha cheksiz va mutlaq aniqlik bilan saqlab bo'lmaydi. Bundan tashqari, katta sonlar qonuni faqat gapiradi ehtimolsizlik o'rtacha qiymatning matematik kutishdan sezilarli og'ishi.

O'rtacha qiymat statistikada eng umumiy ko'rsatkichdir. Buning sababi shundaki, u populyatsiyani miqdoriy jihatdan o'zgaruvchan xususiyatga ko'ra tavsiflash uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, ikkita korxona ishchilarining ish haqini solishtirish uchun ikkita aniq ishchining ish haqini olish mumkin emas, chunki u o'zgaruvchan ko'rsatkich sifatida ishlaydi. Shuningdek, korxonalarda to'lanadigan ish haqining umumiy miqdorini olish mumkin emas, chunki bu xodimlar soniga bog'liq. Agar har bir korxonaning ish haqining umumiy miqdorini ishchilar soniga ajratsak, ularni solishtirib, qaysi korxonada o‘rtacha ish haqi yuqori ekanligini aniqlashimiz mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, o'rganilayotgan ishchilar sonining ish haqi o'rtacha qiymatda umumlashtirilgan xarakteristikani oladi. U o'rganilayotgan xususiyatga nisbatan ishchilar yig'indisiga xos bo'lgan umumiy va tipikni ifodalaydi. Ushbu qiymatda u aholi birliklari uchun boshqa qiymatga ega bo'lgan ushbu atributning umumiy o'lchovini ko'rsatadi.

O'rtacha qiymatni aniqlash. Statistikada o'rtacha qiymat - bu qandaydir miqdoriy jihatdan o'zgaruvchan atributga ko'ra o'xshash hodisalar to'plamining umumlashtirilgan xarakteristikasi. O'rtacha qiymat aholi birligi bilan bog'liq bo'lgan ushbu xususiyat darajasini ko'rsatadi. O'rtacha qiymat yordamida turli agregatlarni har xil belgilarga ko'ra bir-biri bilan solishtirish mumkin (aholi jon boshiga daromad, hosildorlik, turli korxonalarda ishlab chiqarish xarajatlari).

O'rtacha qiymat har doim biz o'rganilayotgan populyatsiyani tavsiflaydigan va populyatsiyaning barcha birliklariga teng ravishda xos bo'lgan xususiyatning miqdoriy o'zgarishini umumlashtiradi. Bu shuni anglatadiki, har qanday o'rtacha qiymatning orqasida har doim aholi birliklarini qandaydir o'zgaruvchan atributga ko'ra taqsimlash seriyasi mavjud, ya'ni. variatsion qator. Shu nuqtai nazardan, o'rtacha qiymat nisbiy qiymatlardan va xususan, intensivlik ko'rsatkichlaridan tubdan farq qiladi. Intensivlik ko'rsatkichi - bu ikki xil agregatlar hajmining nisbati (masalan, aholi jon boshiga yalpi ichki mahsulot ishlab chiqarish), o'rtacha esa agregat elementlarining xususiyatlarini xususiyatlardan biriga ko'ra umumlashtiradi (masalan, o'rtacha. ishchining ish haqi).

O'rtacha qiymat va katta sonlar qonuni. O'rtacha ko'rsatkichlarning o'zgarishida umumiy tendentsiya namoyon bo'ladi, uning ta'siri ostida hodisalarning butun rivojlanishi jarayoni shakllanadi, alohida individual holatlarda esa bu tendentsiya aniq namoyon bo'lmasligi mumkin. O'rtacha ko'rsatkichlar faktlarni ommaviy umumlashtirishga asoslangan bo'lishi muhimdir. Faqatgina ushbu shartda ular butun jarayonning asosiy tendentsiyasini ochib beradi.

Katta sonlar qonunining mohiyati va uning o'rtacha qiymatlar uchun ahamiyati, kuzatuvlar soni ortib borishi bilan tasodifiy sabablar ta'sirida yuzaga keladigan og'ishlarni tobora butunlay bekor qiladi. Ya'ni, katta sonlar qonuni ma'lum joy va vaqtning o'ziga xos sharoitlarida o'zgaruvchan atributning tipik darajasi o'rtacha qiymatda paydo bo'lishi uchun sharoit yaratadi. Ushbu darajaning qiymati ushbu hodisaning mohiyati bilan belgilanadi.

O'rtacha ko'rsatkichlar turlari. Statistikada qo'llaniladigan o'rtacha qiymatlar kuch vositalari sinfiga tegishli bo'lib, ularning umumiy formulasi quyidagicha:

Bu erda x - o'rtacha quvvat;

X - atributning qiymatlarini o'zgartirish (variantlar)

- raqam varianti

O'rtacha ko'rsatkich;

Xulosa belgisi.

O'rtacha ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun o'rtachaning har xil turlari olinadi:

O'rtacha arifmetik;

O'rtacha kvadrat;

O'rtacha kub;

O'rtacha harmonik;

Geometrik o'rtacha.

Har xil turdagi o'rtacha bir xil manba statistikasidan foydalanganda turli xil ma'nolarga ega. Shu bilan birga, o'rtacha ko'rsatkich qanchalik katta bo'lsa, uning qiymati shunchalik yuqori bo'ladi.

Statistikada har bir alohida holatda populyatsiyaning to'g'ri tavsifi faqat o'rtacha qiymatlarning to'liq aniq turi bilan beriladi. Ushbu turdagi o'rtacha qiymatni aniqlash uchun o'rtacha qiymatni belgilaydigan mezon qo'llaniladi: o'rtacha qiymat faqat o'zgaruvchan atributga ko'ra populyatsiyaning haqiqiy umumlashtiruvchi xarakteristikasi bo'ladi, qachonki barcha variantlar o'rtacha qiymatga almashtirilganda. qiymati bo'lsa, o'zgaruvchan atributning umumiy hajmi o'zgarishsiz qoladi. Ya'ni, o'rtachaning to'g'ri turi o'zgaruvchan xususiyatning umumiy hajmi qanday shakllanganligi bilan belgilanadi. Demak, o‘zgaruvchan xususiyat hajmi alohida variantlar yig‘indisi sifatida shakllanganda o‘rtacha arifmetik, o‘zgaruvchan xususiyatning hajmi kvadratlar yig‘indisi sifatida shakllanganda o‘rtacha kvadrat, individual variantlarning o'zaro qiymatlari, geometrik o'rtacha - individual variantlarning mahsuloti sifatida. Statistikada o'rtacha qiymatlarga qo'shimcha ravishda

O'zgaruvchan xususiyat taqsimotining tavsiflovchi xususiyatlari (o'rtacha strukturaviy ko'rsatkichlar), rejim (eng keng tarqalgan variant) va median (o'rta variant) qo'llaniladi.