Головоломка с числами от 1 до 9. Как решать магические квадраты? Какие есть решения

Существуют различные методики для построения квадратов порядка одинарной четности и двойной четности.

  • Вычислите магическую константу. Это можно сделать при помощи простой математической формулы / 2, где n – количество строк или столбцов в квадрате. Например, в квадрате 6x6 n=6, а его магическая константа:

    • Магическая константа = / 2
    • Магическая константа = / 2
    • Магическая константа = (6 * 37) / 2
    • Магическая константа = 222/2
    • Магическая константа квадрата 6х6 равна 111.
    • Сумма чисел в любой строке, столбце и по диагонали должна быть равна магической константе.

  • Разделите магический квадрат на четыре квадранта одинакового размера. Обозначьте квадранты через А (сверху слева), C (сверху справа), D (снизу слева) и B (снизу справа). Чтобы выяснить размер каждого квадранта, разделите n на 2.

    • Таким образом, в квадрате 6х6 размер каждого квадранта равен 3x3.

  • В квадранте А напишите четвертую часть всех чисел; в квадранте В напишите следующую четвертую часть всех чисел; в квадранте С напишите следующую четвертую часть всех чисел; в квадранте D напишите заключительную четвертую часть всех чисел.

    • В нашем примере квадрата 6х6 в квадранте А напишите числа 1-9; в квадранте В - числа 10-18; в квадранте С - числа 19-27; в квадранте D - числа 28-36.

  • Числа в каждом квадранте записывайте так, как вы строили нечетный квадрат. В нашем примере квадрант А начните заполнять числами с 1, а квадранты С, B, D - с 10, 19, 28, соответственно.

    • Число, с которого вы начинаете заполнение каждого квадранта, всегда пишите в центральной ячейке верхней строки определенного квадранта.
    • Заполняйте каждый квадрант числами так, как будто это отдельный магический квадрат. Если при заполнении квадранта доступна пустая ячейка из другого квадранта, игнорируйте этот факт и пользуйтесь исключениями из правила заполнения нечетных квадратов.

  • Выделите определенные числа в квадрантах А и D. На данном этапе сумма чисел в столбцах, строках и по диагонали не будет равна магической константе. Поэтому вы должны поменять местами числа в определенных ячейках верхнего левого и нижнего левого квадрантов.

    • Начиная с первой ячейки верхней строки квадранта А, выделите количество ячеек, равное медиане количества ячеек во всей строке. Таким образом, в квадрате 6x6 выделите только первую ячейку верхней строки квадранта А (в этой ячейке написано число 8); в квадрате 10х10 вам нужно выделить первые две ячейки верхней строки квадранта А (в этих ячейках написаны числа 17 и 24).
    • Образуйте промежуточный квадрат из выделенных ячеек. Так как в квадрате 6х6 вы выделили только одну ячейку, то промежуточный квадрат будет состоять из одной ячейки. Назовем этот промежуточный квадрат как A-1.
    • В квадрате 10х10 вы выделили две ячейки верхней строки, поэтому необходимо выделить две первые ячейки второй строки, чтобы образовать промежуточный квадрат 2х2, состоящий из четырех ячеек.
    • В следующей строке пропустите число в первой ячейке, а затем выделите столько чисел, сколько вы выделили в промежуточном квадрате A-1. Полученный промежуточный квадрат назовем A-2.
    • Получение промежуточного квадрата А-3 аналогично получению промежуточного квадрата A-1.
    • Промежуточные квадраты А-1, А-2, А-3 образуют выделенную область А.
    • Повторите описанный процесс в квадранте D: создайте промежуточные квадраты, которые образуют выделенную область D.

    • Как решать магические квадраты?



    Магическим квадратом принято называть головоломку наподобие судоку. Это квадрат, клетки которого заполнены числами так, чтобы сумма в конце любой строки, столбца и диагонали была одинаковой. В магических квадратах-головоломках некоторые числа пропущены, и требуется их расставить так, чтобы соблюсти описанное выше условие равной суммы. Как же решать магические квадраты?

    Способы решения магических квадратов

    Для того чтобы решение магических квадратов было верным, необходимо знать ту самую волшебную сумму, которая должна получаться при сложении чисел в строках, столбцах и диагоналях. После этого расставить недостающие числа становится существенно проще. Как же эту сумму найти?

    Способ 1

    Наипростейший вариант магического квадрата - когда одна из строк, один из столбцов или одна из диагоналей полностью заполнена числами. В таком случае остается только подсчитать сумму этих чисел и подбирать решения.

    Способ 2

    Сумму чисел на концах строк, столбцов и диагоналей можно высчитать по специальным формулам. При этом формула для квадратов с четным количеством ячеек в одной строке будет отличаться от квадратов с нечетным количеством ячеек.

    Итак, для четных квадратов подходит формула:

    • n + ((n+1) * n * (n-1) / 2) , где n - количество ячеек в одной строке.

    Для нечетных квадратов подходит формула:

    • n * (n 2 +1) / 2 , где n - также количество ячеек в одной строке.

    Пример решения

    Рассмотрим решения магического квадрата из девяти ячеек с числами от 1 до 9. Сначала подсчитаем сумму, которая должна получаться на концах. В одной строке у нас 3 ячейки, то есть n = 3. Подставляем значение в формулу:

    • 3 * (3 2 +1) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15

    Теперь подбираем числа так, чтобы сумма равнялась 15.

    Далее алгоритм потребует немного пространственного воображения. Поставьте число 1 в середину верхней строки. Каждое следующее число мы ставим справа по диагонали вверх. Пробуем ставить 2. Но там нет ячеек, если мы подставим над нашим квадратом еще один такой же воображаемый, то число 2 окажется в правом нижнем углу этого
    нового квадрата. Переносим ее в наш квадрат и ставим в правом нижнем углу. Число 3 также ставим справа по диагонали вверх - и там опять нет ячейки, при помощи воображаемого квадрата узнаем, что его место в середине левого столбца. Число 4 ставим по такому же принципу, но эта ячейка занята единицей - в этом случае ставим ее прямо под цифрой 3. Число 5 по диагонали вверх и вправо от 4 оказывается в самом центре, а число 6 в верхнем правом углу. Число 7 при помощи воображения должно было оказаться в левом нижнем углу. Но там уже стоит 4, поэтому ставим ее прямо под числом 6. Число 8 оказывается при помощи воображаемого квадрата в левом верхнем углу, а число 9 в оставшейся ячейке в середине правого столбца. Общий алгоритм таков: ставим следующее число справа вверху по диагонали, если нет места - применяем воображаемый квадрат, а если ячейка занята, то ставим число прямо под предыдущим.

    Я люблю игры, где нужно подумать. Поэтому плавно наша серия статей «топ-10» перетекает в головоломки. Сегодня я расскажу о десяти головоломках с цифрами. Когда я кинулся составлять этот рейтинг, то столкнулся с проблемой поиска десяти хороших игр, несмотря на то, что цифровых головоломок в App Store — тьма! Плохо то, что очень много клонов, повторов и некачественных поделок… Но когда топ был составлен, я понял, что в нём что-то новое для себя найдёт каждый! Даже я познакомился с тремя отличными играми. Поехали!

    Threes!

    На игровом поле находятся цифры. Игрок может сдвинуть все цифры в любую из 4-х сторон. При этом, если движению какого-либо ряда или столбца мешает стенка и рядом стоят:

    а) одинаковые цифры больше или равные 3
    б) 1 и 2

    то они складываются и вместо двух цифр появляется третья - сумма. Цель — набрать как можно больше очков. Игра — бесконечная, но набрать много очков очень сложно.

    После выхода Threes! в App Store пошло засилье клонов под именем «2048».

    Шикаку

    Простенькая и не попсовая головоломка от создателей Судоку. Цель в данной игре — разбить поле с цифрами на прямоугольники, чтобы площадь прямоугольников равнялась цифре внутри него. Для iPad есть всего одна реализация этой игры.

    Numtris: Игра логики и цифр

    Это оригинальная игра-приключение. Тетрис с цифрами. Сверху падают цифры и нужно либо собирать их по принципу Threes (1 и 2 дадут 3), либо убирать путём сбора нескольких одинаковых (например, четыре одинаковых четверки). Numtris имеет полноценную кампанию с множеством миссий. Миссии разнообразные: от продержаться 40 секунд и до убить монстра… Можно соревноваться с друзьями как онлайн, так и на одном iPad.

    Игра очень стильная с симпатичной графикой. Рекомендую попробовать, благо она бесплатная.

    Скачать Numtris бесплатно (есть встроенные покупки)

    GREG — A mathematical puzzle game

    Интересная игра на скорость и умение быстро складывать числа. На поле 4 на 4 находятся цифры. Необходимо из этих цифр набирать сумму так, чтобы получалось число в кружке сверху. Как только число собрано, оно меняется и надо снова подбирать цифры. Чем меньше используешь какие-то цифры на поле, тем сильнее они нагреваются… После 5 таких «нагревов» игра может закончиться. Сброс происходит после каждого уровня. В конце игра награждает тебя каким-нибудь званием. Сможете выбить «Гений математики»?

    Математических загадок существует невообразимое количество. Каждые из них уникальны по-своему, но их прелесть заключается в том, что для решения неизбежно нужно приходить к формулам. Конечно же, можно попытаться решить их, как говорится, но это будет очень долго и практически безуспешно.

    В данной статье будет говориться об одной из таких загадок, а чтобы быть точнее — о магическом квадрате. Мы детально разберем, как решить магический квадрат. 3 класс общеобразовательной программы, конечно, это проходит, но возможно не каждый понял или вовсе не помнит.

    Что это за загадка?

    Или, как его еще называют, волшебный, — это таблица, в которой число столбцов и строк одинаково, и все они заполнены разными цифрами. Главная задача, чтобы эти цифры в сумме по вертикали, горизонтали и диагонали давали одинаковое значение.

    Помимо магического квадрата, есть еще и полумагический. Он подразумевает то, что сумма чисел одинакова лишь по вертикали и горизонтали. Магический квадрат «нормальный» только в том случае, если для заполнения использовались от единицы.

    Еще есть такое понятие, как симметричный магический квадрат — это когда значение суммы двух цифр равно, в то время, когда они располагаются симметрично по отношению к центру.

    Важно также знать, что квадраты могут быть любой величины помимо 2 на 2. Квадрат 1 на 1 также считается магическим, так как все условия выполняются, хотя и состоит он из одного-единственного числа.

    Итак, с определением мы ознакомились, теперь поговорим про то, как решить магический квадрат. 3 класс школьной программы вряд ли все так детально разъяснит, как эта статья.

    Какие есть решения

    Те люди, которые знают, как решить магический квадрат (3 класс точно знает), сразу же скажут, что решения только три, и каждое из них подходит для разных квадратов, но все же нельзя обойти стороной и четвертое решение, а именно «наугад». Ведь в какой-то мере есть вероятность того, что незнающий человек все же сможет решить данную задачку. Но данный способ мы отбросим в длинный ящик и перейдем непосредственно к формулам и методикам.

    Первый способ. Когда квадрат нечетный

    Данный способ подходит только для решения такого квадрата, у которого количество ячеек нечетное, например, 3 на 3 или 5 на 5.

    Итак, в любом случае изначально необходимо найти магическую константу. Это число, которое получится при сумме цифр по диагонали, вертикали и горизонтали. Вычисляется она с помощью формулы:

    В данном примере мы рассмотрим квадрат три на три, поэтому формула будет выглядеть так (n — число столбцов):

    Итак, перед нами квадрат. Первое, что надо сделать — это вписать цифру один в центре первой строки сверху. Все последующие цифры необходимо располагать на одну клетку правей по диагонали.

    Но тут сразу встает вопрос, как решить магический квадрат? 3 класс вряд ли использовал данный метод, да и у большинства появится проблема, как это сделать таким способом, если данной клетки нет? Чтобы сделать все правильно, необходимо включить воображение и дорисовать аналогичный магический квадрат сверху и получится так, что число 2 будет находиться в нем в нижней правой клетке. Значит, и в наш квадрат мы вписываем двойку в то же место. Это означает, что нам необходимо вписать цифры так, чтобы в сумме они давали значение 15.

    Последующие цифры вписываются точно так же. То есть 3 будет находиться в центре первого столбца. А вот 4 по такому принципу вписать не удастся, так как на ее месте уже стоит единица. В таком случае цифру 4 располагаем под 3, и продолжаем. Пятерка — в центре квадрата, 6 — в правом верхнем углу, 7 — под 6, 8 — в верхний левый и 9 — по центру нижней строки.

    Вы теперь знаете, как решить магический квадрат. 3 класс Демидова проходил, но у этого автора были чуть попроще задания, однако, зная данный способ, удастся разгадать любую подобную задачу. Но это, если число столбцов нечетное. А что же делать, если у нас, например, квадрат 4 на 4? Об этом дальше по тексту.

    Второй способ. Для квадрата двойной четности

    Квадратом двойной четности называют тот, у которого количество столбцов можно разделить и на 2, и на 4. Сейчас мы рассмотри квадрат 4 на 4.

    Итак, как решить магический квадрат (3 класс, Демидова, Козлова, Тонких - задание в учебнике математики), когда количество его столбцов равно 4? А очень просто. Проще, чем в примере до этого.

    В первую очередь находим магическую константу по той же формуле, что приводилась в прошлый раз. В данном примере число равно 34. Теперь надо выстроить цифры так, чтобы сумма по вертикали, горизонтали и диагонали была одинаковой.

    В первую очередь надо закрасить некоторые ячейки, сделать это вы можете карандашом или же в воображении. Закрашиваем все углы, то есть верхнюю левую клеточку и верхнюю правую, нижнюю левую и нижнюю правую. Если квадрат был бы 8 на 8, то закрашивать надо не одну клеточку в углу, а четыре, размером 2 на 2.

    Теперь необходимо закрасить центр этого квадрата, так, чтобы его углы касались углов уже закрашенных клеточек. В данном примере у нас получится квадрат по центру 2 на 2.

    Приступаем к заполнению. Заполнять будем слева направо, в том порядке, в котором расположены ячейки, только вписывать значение будем в закрашенные клетки. Получается, что в верхний левый угол вписываем 1, в правый — 4. Потом центральный заполняем 6, 7 и дальше 10, 11. Нижний левый 13 и правый — 16. Думаем, порядок заполнения понятен.

    Остальные ячейки заполняем точно так же, только в порядке убывания. То есть так как последняя вписанная цифра была 16, то вверху квадрата пишем 15. Далее 14. Потом 12, 9 и так далее, как показано на картинке.

    Теперь вы знаете второй способ, как решить магический квадрат. 3 класс согласится, что квадрат двойной четности намного легче решается, чем другие. Ну а мы переходим к последнему способу.

    Третий способ. Для квадрата одинарной четности

    Квадратом одинарной четности называется, тот квадрат, число столбцов которого можно разделить на два, но нельзя на четыре. В данном случае это квадрат 6 на 6.

    Итак, вычисляем магическую константу. Она равна 111.

    Теперь нужно наш квадрат визуально поделить на четыре разных квадрата 3 на 3. Получится четыре маленьких квадрата размером 3 на 3 в одном большом 6 на 6. Верхний левый назовем А, нижний правый — В, верхний правый — С и нижний левый — D.

    Теперь необходимо каждый маленький квадрат решить, используя самый первый способ, что приведен в этой статье. Получится так, что в квадрате А будут числа от 1 до 9, в В — от 10 до 18, в С — от 19 до 27 и D — от 28 до 36.

    Как только вы решили все четыре квадрата, работа начнется над А и D. Необходимо в квадрате А визуально или при помощи карандаша выделить три ячейки, а именно: верхнюю левую, центральную и нижнюю левую. Получится так, что выделенные цифры — это 8, 5 и 4. Точно так же надо выделить и квадрат D (35, 33, 31). Все, что остается сделать, это поменять местами выделенные цифры из квадрата D в А.

    Теперь вы знаете последний способ, как можно решить магический квадрат. 3 класс квадрат одинарной четности не любит больше всего. И это неудивительно, из всех представленных он самый сложный.

    Вывод

    Прочтя данную статью, вы узнали, как решить магический квадрат. 3 класс (Моро - автор учебника) предлагает подобные задачи только с несколькими заполненными ячейками. Рассматривать его примеры нет смысла, так как зная все три способа, вы с легкостью решите и все предлагаемые задачи.

    Мало кто в детстве любил математику, зато математические головоломки в интернете всегда становятся хитами, ведь для их решения обычно не требуется углубленных знаний, зато требуются смекалка и нестандартное мышление. Предлагаем вам проверить себя на пяти главных логических задачках этого года.

    Задача №1

    Кумар Анкит предложил пользователям Facebook посчитать, сколько треугольников изображено на его рисунке. С простым, казалось бы, заданием подсчитать фигуры не справился практически никто из пользователей. Близки к правильному ответу оказываются многие, но большинству не хватает чуть-чуть внимательности.

    Ответ:

    Внутри большого треугольника находится 24 треугольника, посчитать это несложно, но большинство пользователей не обратили внимание на еще один треугольник, скрытый в подписи автора. Таким образом, всего на картинке 25 треугольников.

    Задача №2

    Необычную задачку с двумя решениями предложили пользователям интернета создатели сайта gotumble.com. По их словам, одно решение головоломки более простое, его способны найти около 10% людей, а вот дойти до второго решения получается у одного человека из тысячи. Попробуйте сделать это сами.

    Ответ:

    Первое решение состоит в том, чтобы прибавлять к каждому следующему примеру результат предыдущего. Так, прибавив 5 к сумме 2 и 5, мы получим 12. Прибавив 12 к сумме 3 и 6, получим 21. И так далее. В таком случае правильным ответом головоломки будет 40.

    А вот второе решение , до которого доходит лишь один человек из тысячи, состоит в том, чтобы сложить первую цифру примера с произведением двух цифр:

    2 + 2*5 = 12, 3 + 3*6 = 21, 8 + 8*11 = 96.

    Задача №3

    У нас есть треугольник, состоящий из четырех частей, но если перегруппировать части, то в нем появляется пустой квадрат. Как такое может быть?

    Ответ:

    Это вовсе не оптический обман. Все дело в разных углах наклона гипотенузы красного и бирюзового треугольника - отсюда и разные размеры фигур.

    Задача №4

    Колумнист издания The Guardian Алекс Беллос предложил читателям решить задачку, которая является частью выпускного экзамена по математике в некоторых странах. По статистике ее решает всего один человек из 10.

    У нас есть цилиндр, вокруг которого симметрично четыре раза обмотана нить. Окружность цилиндра составляет 4 см, а его длина – 12 см. Нужно найти длину нити.

    Ответ:

    Задача кажется большинству школьников слишком сложной, на самом же деле надо лишь понять, что, развернув цилиндр на плоскость, мы получим обыкновенный прямоугольник со сторонами - 4 и 12 см, который можно разделить на четыре прямоугольника поменьше со сторонами - 4 и 3 см. Нить в этом случае будет гипотенузой прямоугольного треугольника и ее длину в каждой из четырех фигур можно вычислить по простой школьной формуле, она равняется 5 см. В результате общая длина нити равняется 20 сантиметрам.

    Задача №5

    И наконец, последняя математическая головоломка, взорвавшая соцсети. По словам автора поста, на ней изображена загадка, которую дают в качестве бонусного вопроса студентам в Сингапуре. Составители загадки предлагают изучить числовую последовательность и заполнить четыре свободных окошка недостающими числами.

    Ответ:

    Пользователи сети долго ломали голову над этой задачкой, но справиться с ней не смогли даже серьезные математики. А министерство образования Сингапура от этого задания открестилось, заявив, что никакого отношения к нему не имеет. Так что скорее всего головоломка была просто чьей-то злой шуткой.

    Похожие публикации