Пъзел с числа от 1 до 9. Как се решават магически квадрати? Какви са решенията?

Има различни техники за конструиране на квадрати с единична четност и двойна четност.

Как се решават магически квадрати?

Пъзел като судоку обикновено се нарича магически квадрат. Това е квадрат, чиито клетки са запълнени с числа, така че сумата в края на всеки ред, колона и диагонал да е една и съща. В пъзелите с магически квадрати някои числа липсват и трябва да ги подредите по такъв начин, че да отговарят на условието за равен сбор, описано по-горе. Как се решават магически квадрати?

Методи за решаване на магически квадрати

За да бъде решението на магическите квадрати правилно, трябва да знаете самата магическа сума, която трябва да се получи при събиране на числа в редове, колони и диагонали. След това поставянето на липсващите числа става много по-лесно. Как да намерите тази сума?

Метод 1

Най-простият вариант на магически квадрат е, когато един от редовете, една от колоните или един от диагоналите е изцяло запълнен с числа. В този случай всичко, което остава, е да се изчисли сумата от тези числа и да се изберат решения.

Метод 2

Сумата от числата в краищата на редове, колони и диагонали може да се изчисли с помощта на специални формули. В този случай формулата за квадрати с четен брой клетки в един ред ще се различава от квадратите с нечетен брой клетки.

Така че за четни квадрати е подходяща следната формула:

• n + ((n+1) * n * (n-1) / 2) , където n е броят на клетките в един ред.

За нечетни квадрати формулата е:

• n * (n 2 +1) / 2, където n също е броят на клетките в един ред.

Примерно решение

Нека да разгледаме решенията на магически квадрат от девет клетки с числа от 1 до 9. Първо, нека изчислим сумата, която трябва да се получи в краищата. Имаме 3 клетки в един ред, тоест n = 3. Заместете стойността във формулата:

• 3 * (3 2 +1) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15

Сега избираме числата така, че сумата да е 15.

След това алгоритъмът ще изисква малко пространствено въображение. Поставете числото 1 в средата на горния ред. Поставяме всяко следващо число отдясно диагонално нагоре. Опитваме се да поставим 2. Но там няма клетки, ако заменим друг идентичен въображаем квадрат над нашия квадрат, тогава числото 2 ще се появи в долния десен ъгъл на това
нов квадрат. Прехвърляме го на нашия квадрат и го поставяме в долния десен ъгъл. Поставяме и числото 3 вдясно по диагонал нагоре - и там отново няма клетка, използвайки въображаем квадрат откриваме, че мястото му е в средата на лявата колона. Поставяме числото 4 по същия принцип, но тази клетка е заета от единица - в този случай я поставяме директно под числото 3. Цифрата 5 по диагонал нагоре и вдясно от 4 е в самия център, а номер 6 е в горния десен ъгъл. Числото 7, с помощта на въображението, трябваше да се окаже в долния ляв ъгъл. Но там вече има 4, така че го поставяме директно под числото 6. Числото 8 се появява с помощта на въображаем квадрат в горния ляв ъгъл, а числото 9 в оставащата клетка в средата на дясната колона . Общият алгоритъм е следният: поставете следващото число горе вдясно по диагонал, ако няма място, използвайте въображаем квадрат, а ако клетката е заета, поставете числото точно под предишното.

Обичам игри, в които трябва да мислиш. Следователно нашата поредица от статии „топ 10“ плавно преминава в пъзели. Днес ще говоря за десет пъзела с числа. Когато се втурнах да съставя този рейтинг, се сблъсках с проблема да намеря десет добри игри, въпреки факта, че в App Store има тонове цифрови пъзели! Лошото е, че има много клонинги, повторения и некачествени занаяти... Но когато съставих върха, разбрах, че всеки ще намери нещо ново в него! Дори аз се запознах с три страхотни игри. Отивам!

тройки!

На игралното поле има числа. Играчът може да мести всички числа във всяка от 4-те посоки. Освен това, ако движението на някой ред или колона е възпрепятствано от стена и има:

а) еднакви числа, по-големи или равни на 3
б) 1 и 2

след което се събират и вместо две числа се появява трето - сумата. Целта е да спечелите възможно най-много точки. Играта е безкрайна, но е много трудно да спечелите много точки.

След излизането на Threes! App Store беше наводнен с клонинги под името „2048“.

Шикаку

Прост и непоп пъзел от създателите на судоку. Целта в тази игра е да разделите полето с числа на правоъгълници, така че площта на правоъгълниците да е равна на числото вътре в него. Има само една реализация на тази игра за iPad.

Numtris: Игра на логика и числа

Това е оригинална приключенска игра. Тетрис с числа. Числата падат отгоре и трябва или да ги съберете според принципа на тройките (1 и 2 ще дадат 3), или да ги премахнете, като съберете няколко еднакви (например четири еднакви четворки). Numtris има пълна кампания с много мисии. Мисиите са разнообразни: от задържане за 40 секунди до убиване на чудовище... Можете да се състезавате с приятели както онлайн, така и на същия iPad.

Играта е много стилна с хубава графика. Препоръчвам да опитате, тъй като е безплатно.

Изтеглете Numtris безплатно (налични са покупки в приложението)

GREG — Игра с математически пъзел

Интересна игра за скорост и възможност за бързо добавяне на числа. В поле 4 на 4 има числа. Необходимо е да напишете сумата от тези числа, така че да получите числото в кръгчето отгоре. Веднага след като номерът бъде събран, той се променя и трябва да изберете номерата отново. Колкото по-малко използвате някои числа на полето, толкова повече те се нагряват... След 5 такива „нагрявания“ играта може да приключи. Нулирането се извършва след всяко ниво. В края играта ви награждава с някаква титла. Можете ли да нокаутирате „Math Genius“?

Има невъобразимо количество математически загадки. Всеки от тях е уникален по свой собствен начин, но красотата им се крие в това, че за да го разрешите, неизбежно трябва да стигнете до формули. Разбира се, можете да се опитате да ги разрешите, както се казва, но ще бъде много дълго и практически неуспешно.

Тази статия ще говори за една от тези гатанки и по-точно за магическия квадрат. Ще разгледаме подробно как да решим магическия квадрат. 3-ти клас от общообразователната програма, разбира се, това минава, но може би не всички са разбрали или изобщо не си спомнят.

Каква е тази мистерия?

Или, както още се нарича магия, е таблица, в която броят на колоните и редовете е еднакъв и всички те са изпълнени с различни числа. Основната задача е тези числа да се съберат вертикално, хоризонтално и диагонално до една и съща стойност.

В допълнение към магическия квадрат има и полумагически квадрат. Това означава, че сумата от числа е еднаква само вертикално и хоризонтално. Магическият квадрат е „нормален“ само ако е бил използван за запълването му.

Има и такова нещо като симетричен магически квадрат - това е, когато стойността на сумата от две цифри е равна, докато те са разположени симетрично по отношение на центъра.

Също така е важно да знаете, че квадратите могат да бъдат с всякакъв размер, различен от 2 на 2. Квадрат 1 на 1 също се счита за магически, тъй като са изпълнени всички условия, въпреки че се състои от едно единствено число.

И така, ние се запознахме с определението, сега нека поговорим за това как да решим магически квадрат. Учебната програма за 3 клас едва ли ще обясни всичко толкова подробно, колкото тази статия.

Какви са решенията?

Тези хора, които знаят как да решат магически квадрат (клас 3 знае със сигурност), веднага ще кажат, че има само три решения и всяко от тях е подходящо за различни квадрати, но все пак не може да се пренебрегне четвъртото решение, а именно „на случаен принцип ”. В края на краищата, до известна степен има вероятност един невеж човек все още да може да реши този проблем. Но ние ще хвърлим този метод в дългата кутия и ще преминем директно към формулите и методите.

Първи начин. Когато квадратът е нечетен

Този метод е подходящ само за решаване на квадрат, който има нечетен брой клетки, например 3 на 3 или 5 на 5.

Така че във всеки случай първоначално е необходимо да се намери магическата константа. Това е числото, което се получава чрез сумиране на числата по диагонал, вертикал и хоризонтал. Изчислява се по формулата:

В този пример ще разгледаме квадрат три на три, така че формулата ще изглежда така (n е броят на колоните):

И така, имаме квадрат пред нас. Първото нещо, което трябва да направите, е да въведете числото едно в центъра на първия ред отгоре. Всички следващи числа трябва да бъдат поставени един квадрат вдясно по диагонал.

Но тук веднага възниква въпросът: как да решим магическия квадрат? 3-ти клас едва ли ще използва този метод и повечето ще имат проблем, как да го направя по този начин, ако тази клетка не съществува? За да направите всичко правилно, трябва да включите въображението си и да нарисувате подобен магически квадрат отгоре и ще се окаже, че числото 2 ще бъде в него в долната дясна клетка. Това означава, че в нашия квадрат въвеждаме двете на едно и също място. Това означава, че трябва да въведем числата, така че сборът им да е 15.

Следващите числа се въвеждат по абсолютно същия начин. Тоест 3 ще бъде в центъра на първата колона. Но няма да е възможно да въведете 4, като използвате този принцип, тъй като вече има единица на негово място. В този случай поставете числото 4 под 3 и продължете. 5 е в центъра на квадрата, 6 е в горния десен ъгъл, 7 е под 6, 8 е в горния ляв ъгъл, а 9 е в центъра на долния ред.

Вече знаете как да решите магическия квадрат. Преминах 3-ти клас на Демидов, но този автор имаше малко по-прости задачи, но знаейки този метод, ще можете да решите всяка подобна задача. Но това е, ако броят на колоните е нечетен. Но какво да правим, ако например имаме квадрат 4 на 4? Повече за това по-нататък в текста.

Втори начин. За двоен паритетен квадрат

Квадрат с двоен паритет е този, чийто брой колони може да бъде разделен както на 2, така и на 4. Сега ще разгледаме квадрат 4 на 4.

И така, как да решим магически квадрат (3 клас, Демидов, Козлов, Тонких - задача в учебник по математика), когато броят на колоните му е 4? И това е много просто. По-лесно от предишния пример.

Първо, намираме магическата константа, използвайки същата формула, която беше дадена миналия път. В този пример числото е 34. Сега трябва да подредим числата така, че сборът вертикално, хоризонтално и диагонално да е еднакъв.

Първо, трябва да нарисувате няколко клетки, можете да направите това с молив или във въображението си. Боядисваме всички ъгли, тоест горната лява клетка и горната дясна, долната лява и долната дясна. Ако квадратът беше 8 на 8, тогава трябва да нарисувате не един квадрат в ъгъла, а четири, с размери 2 на 2.

Сега трябва да нарисувате центъра на този квадрат, така че ъглите му да докосват ъглите на вече защрихованите клетки. В този пример ще получим квадрат 2 на 2 в центъра.

Нека започнем да го попълваме. Ще попълваме от ляво на дясно, в реда, в който са разположени клетките, само че ще въведем стойността в защрихованите клетки. Оказва се, че въвеждаме 1 в горния ляв ъгъл, 4 в десния ъгъл, след което попълваме централния с 6, 7 и след това 10, 11. Мислим, че долният ляв 13 е в десния на пълнене е ясно.

Попълваме останалите клетки по същия начин, само в низходящ ред. Тоест, тъй като последното въведено число беше 16, тогава в горната част на квадрата пишем 15. Следва 14. След това 12, 9 и така нататък, както е показано на снимката.

Сега знаете втория начин за решаване на магическия квадрат. Годишник 3 ще се съгласи, че квадратът с двоен паритет е много по-лесен за решаване от останалите. Е, преминаваме към последния метод.

Трети начин. За квадрат с единичен паритет

Квадрат с единичен паритет е квадрат, чийто брой колони може да бъде разделен на две, но не и на четири. В този случай това е квадрат 6 на 6.

И така, нека изчислим магическата константа. Равно е на 111.

Сега трябва визуално да разделим нашия квадрат на четири различни квадрата 3 на 3. Ще получите четири малки квадрата с размери 3 на 3 в един голям 6 на 6. Нека наречем горния ляв A, долния десен - B, горния. дясната - C и долната лява - D.

Сега трябва да решите всеки малък квадрат, като използвате първия метод, даден в тази статия. Оказва се, че в квадрат A ще има числа от 1 до 9, в B - от 10 до 18, в C - от 19 до 27 и D - от 28 до 36.

След като решите и четирите квадрата, ще започне работа върху A и D. Необходимо е да маркирате три клетки в квадрат A визуално или с молив, а именно: горната лява, централната и долната лява. Оказва се, че маркираните числа са 8, 5 и 4. По същия начин трябва да изберете квадрат D (35, 33, 31). Всичко, което остава да направите, е да размените избраните числа от квадрат D в квадрат A.

Сега знаете последния начин за решаване на магическия квадрат. Степен 3 не харесва квадрата на единичния паритет най-много. И това не е изненадващо, от всички представени е най-сложният.

Заключение

След като прочетете тази статия, вие научихте как да решавате магически квадрат. 3 клас (Моро е автор на учебника) предлага подобни задачи само с няколко попълнени клетки. Няма смисъл да разглеждате неговите примери, тъй като познавайки и трите метода, можете лесно да разрешите всички предложени проблеми.

Малко хора са обичали математиката в детството, но математическите пъзели в интернет винаги стават хитове, защото решаването им обикновено не изисква задълбочени познания, а изисква изобретателност и иновативно мислене. Каним ви да се изпробвате с петте основни логически пъзела за тази година.

Задача No1

Кумар Анкит покани потребителите на Facebook да преброят колко триъгълника са показани на неговата рисунка. Почти никой от потребителите не се справи с привидно простата задача да преброи фигурите. Много са близо до правилния отговор, но на повечето им липсва малко внимание.

Отговор:

В големия триъгълник има 24 триъгълника, не е трудно да се преброят, но повечето потребители не обърнаха внимание на друг триъгълник, скрит в подписа на автора. Така в картината има общо 25 триъгълника.

Задача No2

Необичаен проблем с две решения предложиха на интернет потребителите създателите на сайта gotumble.com. Според тях едно решение на пъзела е по-просто, около 10% от хората успяват да го намерят, но само един човек на хиляда може да стигне до второто решение. Опитайте сами.

Отговор:

Първо решениесе състои от добавяне към всеки следващ пример на резултата от предишния. И така, добавяйки 5 към сбора от 2 и 5, получаваме 12. Добавяйки 12 към сбора от 3 и 6, получаваме 21. И така нататък. В този случай верният отговор на пъзела ще бъде 40.

И тук второ решение, което само един човек на хиляда разбира, се състои от добавяне на първата цифра от примера с произведението на две цифри:

2 + 2*5 = 12, 3 + 3*6 = 21, 8 + 8*11 = 96.

Задача No3

Имаме триъгълник, състоящ се от четири части, но ако пренаредим частите, той изглежда като празен квадрат. Как е възможно това?

Отговор:

Това изобщо не е оптична илюзия. Всичко е свързано с различни ъгли на наклон на хипотенузата на червения и тюркоазения триъгълник - оттук и различните размери на фигурите.

Задача No4

Колумнистът на Guardian Алекс Белос покани читателите да решат задача, която е част от финалния изпит по математика в някои страни. Според статистиката само един човек от 10 го решава.

Имаме цилиндър, около който четири пъти симетрично е намотан конец. Обиколката на цилиндъра е 4 см, а дължината му е 12 см. Трябва да намерите дължината на конеца.

Отговор:

Задачата изглежда твърде сложна за повечето ученици, но всъщност просто трябва да разберете, че като завъртите цилиндъра върху равнина, получаваме обикновен правоъгълник със страни 4 и 12 см, който може да бъде разделен на четири по-малки правоъгълника със страни от 4 и 3 см. Нишката в този случай ще бъде хипотенузата на правоъгълен триъгълник и нейната дължина във всяка от четирите фигури може да се изчисли с помощта на проста училищна формула, като резултатът е равна на 5 см общата дължина на нишката е 20 сантиметра.

Проблем №5

И накрая най-новият математически пъзел, който взриви социалните мрежи. Според автора на публикацията тя изобразява гатанка, която се дава като бонус въпрос на студентите в Сингапур. Компилаторите на загадката предлагат изучаване на числовата последователност и попълване на четирите празни прозореца с липсващите числа.

Отговор:

Нетизените дълго време озадачаваха този проблем, но дори сериозните математици не можаха да се справят с него. А Министерството на образованието на Сингапур се отказа от тази задача, заявявайки, че няма нищо общо с нея. Така че най-вероятно пъзелът е просто нечия жестока шега.