При произволен експеримент една симетрична монета се удвоява. Проблеми на теорията на вероятностите. Метод на комбинирано изброяване

Формулиране на задачата:При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите (опашките) да не паднат дори веднъж (ще паднат точно / поне 1, 2 пъти).

Задачата е включена в USE по математика на основно ниво за 11 клас под номер 10 (Класическа дефиниция на вероятността).

Нека да видим как се решават такива проблеми с примери.

Пример за задача 1:

При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите никога да не се появяват.

OO ИЛИ RO RR

Такива комбинации са общо 4. Интересуват ни само онези от тях, в които няма нито един орел. Има само една такава комбинация (PP).

P = 1/4 = 0,25

Отговор: 0,25

Пример за задача 2:

При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността да се появи глави точно два пъти.

Помислете за всички възможни комбинации, които могат да паднат, ако монетата бъде хвърлена два пъти. За удобство ще обозначим орела с буквата O, а опашките с буквата P:

OO ИЛИ RO RR

Такива комбинации са общо 4. Интересуват ни само онези комбинации, в които главите се появяват точно 2 пъти. Има само една такава комбинация (OO).

P = 1/4 = 0,25

Отговор: 0,25

Пример за задача 3:

При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността да се появи точно веднъж.

Помислете за всички възможни комбинации, които могат да паднат, ако монетата бъде хвърлена два пъти. За удобство ще обозначим орела с буквата O, а опашките с буквата P:

OO ИЛИ RO RR

Такива комбинации са общо 4. Интересуват ни само онези от тях, при които главите са паднали точно 1 път. Има само две такива комбинации (OP и RO).

Отговор: 0,5

Пример за задача 4:

При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят поне веднъж.

Помислете за всички възможни комбинации, които могат да паднат, ако монетата бъде хвърлена два пъти. За удобство ще обозначим орела с буквата O, а опашките с буквата P:

OO ИЛИ RO RR

Такива комбинации са общо 4. Интересуват ни само онези комбинации, при които главите падат поне веднъж. Има само три такива комбинации (OO, OR и RO).

P = 3/4 = 0,75

В случаен експеримент се хвърля симетрична монета...

Като предговор.
Всеки знае, че една монета има две страни - глави и опашки.
Нумизматите смятат, че монетата има три страни – аверс, реверс и ръб.
И сред тях, и сред другите, малко хора знаят какво е симетрична монета. Но те знаят за това (е, или трябва да знаят :), тези, които се готвят да положат изпита.

Като цяло тази статия ще се съсредоточи върху необичайна монета, която няма нищо общо с нумизматиката, но в същото време е най-популярната монета сред учениците.

Така.
Симетрична монета- това е въображаема математически идеална монета без размер, тегло, диаметър и т.н. В резултат на това такава монета също няма ръб, тоест тя наистина има само две страни. Основното свойство на симетричната монета е, че при такива условия вероятността от падане на глави или опашки е абсолютно еднаква. И те излязоха със симетрична монета за мисловни експерименти.
Най-популярният проблем със симетрична монета звучи така - „В случаен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти (три пъти, четири пъти и т.н.). Необходимо е да се определи вероятността една от страните да изпадне определен брой пъти.

Решаване на задачата със симетрична монета

Ясно е, че в резултат на хвърлянето монетата ще падне или с глави, или с опашки. Колко пъти - зависи колко хвърляния да направите. Вероятността за получаване на глави или опашки се изчислява, като се раздели броят на резултатите, които отговарят на условието, на общия брой възможни резултати.

Едно хвърляне

Тук всичко е просто. Ще излязат или глави, или опашки. Тези. имаме два възможни изхода, единият от които ни удовлетворява - 1/2=50%

Двухвърляне

За две хвърляния може да падне:
два орела
две опашки
глави, след това опашки
опашки, след това глави
Тези. възможни са само четири варианта. Проблемите с повече от едно хвърляне се решават най-лесно, като се направи таблица с възможните опции. За простота, нека обозначим главите като "0" и опашките като "1". Тогава таблицата с възможните резултати ще изглежда така:
00
01
10
11
Ако, например, трябва да намерите вероятността главите да паднат веднъж, просто трябва да преброите броя на подходящите опции в таблицата - т.е. онези редове, където орелът се среща веднъж. Има две такива линии. Така че вероятността да получите една глава при две хвърляния на симетрична монета е 2/4=50%
Вероятността да получите глави два пъти при две хвърляния е 1/4=25%

Три рози

Правим таблица с опции:
000
001
010
011
100
101
110
111
Тези, които са запознати с двоичното смятане, разбират до какво сме стигнали. :) Да, това са двоични числа от "0" до "7". По този начин е по-лесно да не се объркате с опциите.
Нека решим задачата от предходния параграф - изчисляваме вероятността орелът да падне веднъж. Има три реда, където "0" се среща веднъж. Така че вероятността да получите една глава при три хвърляния на симетрична монета е 3/8=37,5%
Вероятността главите при три хвърляния да паднат два пъти е 3/8=37,5%, т.е. абсолютно същото.
Вероятността главата при три хвърляния да падне три пъти е 1/8 = 12,5%.

Четири хвърляния

Правим таблица с опции:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Вероятността главите да се появят веднъж. Има само три реда, където "0" се среща веднъж, точно както в случая с три хвърляния. Но вече има шестнадесет опции. Така че вероятността да получите една глава при четири хвърляния на симетрична монета е 3/16=18,75%
Вероятността орелът да изпадне два пъти при три хвърляния е 6/8=75%.
Вероятността главите да се появят три пъти при три хвърляния е 4/8=50%.

Така че с увеличаване на броя на хвърлянията принципът на решаване на проблема изобщо не се променя - само в подходяща прогресия броят на опциите се увеличава.

В теорията на вероятностите има група проблеми, за решението на които е достатъчно да се знае класическата дефиниция на вероятността и да се визуализира предложената ситуация. Тези проблеми са повечето проблеми с хвърляне на монети и проблеми с хвърляне на зарове. Припомнете си класическата дефиниция на вероятността.

Вероятност за събитие А (обективната възможност за възникване на събитие в числено изражение) е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати: P(A)=m/n, където:

• m е броят на елементарните резултати от теста, които благоприятстват настъпването на събитие А;
• n е общият брой на всички възможни елементарни резултати от теста.

Удобно е да се определи броят на възможните резултати от елементарни тестове и броят на благоприятните резултати в разглежданите проблеми чрез изброяване на всички възможни варианти (комбинации) и директно изчисление.

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=4. Благоприятните резултати от събитието A = (орел пада 1 път) съответстват на вариант № 2 и № 3 от експеримента, има два такива варианта m=2.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=2/4=0,5

Задача 2 . При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите никога да не се появят.

Решение . Тъй като монетата се хвърля два пъти, тогава, както в задача 1, броят на възможните елементарни резултати е n=4. Благоприятните резултати от събитието А = (орел няма да изпадне нито веднъж) отговарят на вариант № 4 на експеримента (виж таблицата в задача 1). Има само една такава опция, така че m=1.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=1/4=0.25

Задача 3 . При произволен експеримент симетрична монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността да се появи глави точно 2 пъти.

Решение . Възможни опциитри хвърляния на монети (всички възможни комбинации от глави и опашки) са представени под формата на таблица:

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=8. Благоприятните резултати от събитието A = (глави 2 пъти) съответстват на варианти № 5, 6 и 7 от експеримента. Има три такива опции, така че m=3.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=3/8=0.375

Задача 4 . При произволен експеримент симетрична монета се хвърля четири пъти. Намерете вероятността да се появи глави точно 3 пъти.

Решение . Възможните варианти на четири хвърляния на монети (всички възможни комбинации от глави и опашки) са представени под формата на таблица:

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=16. Благоприятните резултати от събитието А = (орел пада 3 пъти) отговарят на варианти № 12, 13, 14 и 15 от експеримента, което означава m=4.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=4/16=0.25

Определяне на вероятността в задачи със зарове

Задача 5 . Определете вероятността повече от 3 точки да паднат, когато се хвърли зар (правилен зар).

Решение . При хвърляне на зар (обикновен зар) може да изпадне всяко от шестте му лица, т.е. да настъпи някое от елементарните събития - загуба от 1 до 6 точки (точки). Така че броят на възможните елементарни резултати е n=6.
Събитие A = (изпаднали са повече от 3 точки) означава, че са изпаднали 4, 5 или 6 точки (точки). Така че броят на благоприятните резултати m=3.
Вероятност на събитието Р(А)=m/n=3/6=0.5

Задача 6 . Определете вероятността, когато се хвърля зар, броят на точките да не надвишава 4. Закръглете резултата до най-близката хилядна.

Решение . При хвърляне на зар може да изпадне всяко от шестте му лица, т.е. да настъпи някое от елементарните събития - загуба от 1 до 6 точки (точки). Така че броят на възможните елементарни резултати е n=6.
Събитие A = (изпаднали са не повече от 4 точки) означава, че са изпаднали 4, 3, 2 или 1 точка (точка). Така че броят на благоприятните резултати m=4.
Вероятност на събитието Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667

Задача 7 . Зарът се хвърля два пъти. Намерете вероятността и двете числа да са по-малки от 4.

Решение . защото зарове(зарове) се хвърля два пъти, тогава ще спорим по следния начин: ако една точка е паднала на първия зар, тогава 1, 2, 3, 4, 5, 6 могат да паднат на втория. Получаваме двойки (1; 1) , (1; 2 ), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и така нататък с всяко лице. Представяме всички случаи под формата на таблица от 6 реда и 6 колони:

Ще бъдат изчислени благоприятните резултати от събитието A = (и двата пъти е паднало число по-малко от 4) (маркирани са с удебелен шрифт) и ще получим m=9.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=9/36=0.25

Задача 8 . Зарът се хвърля два пъти. Намерете вероятността най-голямото от двете изтеглени числа да е 5. Закръглете отговора си до най-близката хилядна.

Решение . Всички възможни резултати от две хвърляния на зарове са представени в таблицата:

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=6*6=36.
Изчисляват се благоприятните резултати от събитието A = (най-голямото от двете изтеглени числа е 5) (те са подчертани с удебелен шрифт) и получаваме m=8.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222

Задача 9 . Зарът се хвърля два пъти. Намерете вероятността число, по-малко от 4, да бъде хвърлено поне веднъж.

Решение . Всички възможни резултати от две хвърляния на зарове са представени в таблицата:

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=6*6=36.
Фразата „поне веднъж падна число, по-малко от 4“ означава „число, по-малко от 4, падна веднъж или два пъти“, тогава броят на благоприятните резултати от събитието A = (поне веднъж падна число, по-малко от 4 ) (те са в удебелен шрифт) m=27.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=27/36=0.75

В задачите по теория на вероятностите, които са представени в Единния държавен изпит под номер № 4, освен това има задачи за хвърляне на монета и за хвърляне на зарове. Днес ще ги анализираме.

Проблеми с хвърляне на монети

Задача 1.Симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността да се появи опашка точно веднъж.

При такива проблеми е удобно да запишете всички възможни резултати, като ги напишете с буквите P (опашки) и O (глави). По този начин изходът от ИЛИ означава, че първото хвърляне е с глави, а второто е с опашки. В разглежданата задача са възможни 4 изхода: PP, RO, OR, OO. Фаворизирайте събитието „опашки се появяват точно веднъж“ 2 резултата: RO и OR. Необходимата вероятност е .

Отговор: 0,5.

Задача 2.Симетрична монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно два пъти.

Възможни са общо 8 резултата: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Фаворизирайте събитието "глави точно два пъти" 3 резултата: ROO, ORO, OOR. Необходимата вероятност е .

Отговор: 0,375.

Задача 3.Преди началото футболен мачСъдията хвърля монета, за да определи кой отбор ще започне играта с топката. Отборът на Емералд играе три мача с различни отбори. Намерете вероятността в тези игри "Emerald" да спечели жребия точно веднъж.

Тази задача е подобна на предишната. Нека всеки път загубата на опашки означава спечелване на партидата от "Emerald" (такова предположение не влияе на изчисляването на вероятностите). Тогава са възможни 8 изхода: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Има 3 изхода, благоприятстващи събитието „опашки се появяват точно веднъж“: POO, ORO, OOP. Необходимата вероятност е .

Отговор: 0,375.

Задача 4. Симетрична монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността резултатът от ROO да дойде (първият път излиза опашки, вторият и третият - глави).

Както и в предишните задачи, тук има 8 резултата: PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO. Вероятността за изход от ROO е равна на .

Отговор: 0,125.

Проблеми с хвърляне на зарове

Задача 5.Зарът се хвърля два пъти. Колко елементарни изхода от опит благоприятстват събитието "сборът от точки е 8"?

Задача 6. Два зара се хвърлят едновременно. Намерете вероятността общата сума да бъде 4. Закръглете резултата до най-близката стотна.

Като цяло, ако се хвърлят зарове (зарове), тогава има еднакво възможни резултати. Същият брой резултати се получава, ако един и същи зар се хвърли веднъж подред.

Следните резултати благоприятстват събитието „общо 4“: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Техният брой е 3. Желаната вероятност е .

За да изчислите приблизителната стойност на дроб, е удобно да използвате разделяне на ъгъл. Така то е приблизително равно на 0,083 ..., закръглено до стотни, имаме 0,08.

Отговор: 0,08

Задача 7. Три зара се хвърлят едновременно. Намерете вероятността да получите общо 5 точки. Закръглете резултата до най-близката стотна.

Ще разглеждаме резултата като тройка от числа: точките, паднали на първия, втория и третия зар. Като цяло има еднакви възможни резултати. Следните резултати са в полза на събитието „Общо 5“: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Техният брой е 6. Желаната вероятност е . За да изчислите приблизителната стойност на дроб, е удобно да използвате разделяне на ъгъл. Приблизително получаваме 0,027 ..., закръглено до стотни, имаме 0,03. Източник “Подготовка за изпита. Математика. Теория на вероятностите”. Редактирано от F.F. Лисенко, С.Ю. Кулабухов