Matematika i mi. Problemi sa vjerovatnoćom Problemi s bacanjem novčića

Problemi bacanja novčića smatraju se prilično teškim. A prije njihovog rješavanja potrebno je malo objašnjenje. Razmislite o tome, svaki problem u teoriji vjerovatnoće na kraju se svodi na standardnu ​​formulu:

gdje je p željena vjerovatnoća, k je broj događaja koji nam odgovaraju, n je ukupan broj mogućih događaja.

Većina B6 problema može se riješiti korištenjem ove formule doslovno u jednom redu - samo pročitajte uvjet. Ali u slučaju bacanja novčića, ova formula je beskorisna, jer iz teksta takvih problema uopće nije jasno čemu su jednaki brojevi k i n. Tu leži poteškoća.

Međutim, postoje barem dvije fundamentalno različite metode rješenja:

1. Metoda nabrajanja kombinacija je standardni algoritam. Sve kombinacije glava i repova se ispisuju, nakon čega se odabiru potrebne;
2. Posebna formula vjerovatnoće je standardna definicija vjerovatnoće, posebno prepisana tako da je zgodno raditi s novčićima.

Za rješavanje problema B6 potrebno je poznavati obje metode. Nažalost, u školama se uči samo prvi. Nemojmo ponavljati školske greške. Dakle, idemo!

Metoda kombinovanog pretraživanja

Ova metoda se još naziva i "rješenje naprijed". Sastoji se od tri koraka:

1. Zapisujemo sve moguće kombinacije glava i repa. Na primjer: OR, RO, OO, RR. Broj takvih kombinacija je n;
2. Među dobivenim kombinacijama ističemo one koje zahtijevaju uvjeti problema. Brojimo označene kombinacije - dobijamo broj k;
3. Ostaje da se pronađe vjerovatnoća: p = k: n.

Nažalost, ova metoda radi samo za mali broj bacanja. Jer sa svakim novim bacanjem broj kombinacija se udvostručuje. Na primjer, za 2 novčića morat ćete napisati samo 4 kombinacije. Za 3 novčića već ih ima 8, a za 4 - 16, a vjerovatnoća greške se približava 100%. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da dobijete isti broj glava i repova.

Dakle, novčić se baca dva puta. Zapišimo sve moguće kombinacije (O - glave, P - repovi):

Ukupno n = 4 opcije. Sada zapišimo opcije koje odgovaraju uslovima problema:

Bilo je k = 2 takvih opcija.

Zadatak. Novčić se baca četiri puta. Pronađite vjerovatnoću da nikada nećete dobiti glave.

Opet zapisujemo sve moguće kombinacije glava i repa:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Ukupno je bilo n = 16 opcija. Čini se da nisam ništa zaboravio. Od ovih opcija, samo smo zadovoljni kombinacijom “OOOO”, koja uopće ne sadrži repove. Dakle, k = 1. Ostaje pronaći vjerovatnoću:

Kao što vidite, u prošlom zadatku sam morao napisati 16 opcija. Jeste li sigurni da ih možete napisati bez ijedne greške? Lično, nisam siguran. Pa pogledajmo drugo rješenje.

Formula posebne vjerovatnoće

Dakle, problemi s novčićima imaju svoju formulu vjerovatnoće. Toliko je jednostavan i važan da sam odlučio da ga formulišem u obliku teoreme. pogledajte:

Teorema. Neka se novčić baci n puta. Tada se vjerovatnoća da će se glave pojaviti točno k puta može se naći pomoću formule:

Gdje je C n k broj kombinacija od n elemenata po k, koji se izračunava po formuli:

Dakle, da biste riješili problem novčića, potrebna su vam dva broja: broj bacanja i broj glava. Najčešće su ovi brojevi dati direktno u tekstu problema. Štaviše, nije važno šta tačno brojite: repove ili glave. Odgovor će biti isti.

Na prvi pogled, teorema izgleda previše glomazna. Ali kada malo vježbate, više se nećete željeti vraćati na standardni algoritam opisan gore.

Zadatak. Novčić se baca četiri puta. Nađite vjerovatnoću da dobijete glave tačno tri puta.

Prema uslovima zadatka, bilo je ukupno n = 4 bacanja: k = 3. Zameniti n i k u formulu:

Zadatak. Novčić se baca tri puta. Pronađite vjerovatnoću da nikada nećete dobiti glave.

Ponovo zapisujemo brojeve n i k. Pošto je novčić bačen 3 puta, n = 3. A pošto ne bi trebalo biti glave, k = 0. Ostaje da se brojevi n i k zamijene u formulu:

Dozvolite mi da vas podsjetim da je 0! = 1 po definiciji. Stoga je C 3 0 = 1.

Zadatak. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca 4 puta. Pronađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti više puta nego repovi.

Da bi bilo više glava nego repova, moraju se pojaviti ili 3 puta (onda će biti 1 rep) ili 4 puta (tada neće biti repova). Nađimo vjerovatnoću svakog od ovih događaja.

Neka je p 1 vjerovatnoća da će se glave pojaviti 3 puta. Tada je n = 4, k = 3. Imamo:

Sada pronađimo p 2 - vjerovatnoću da će se glave pojaviti sva 4 puta. U ovom slučaju n = 4, k = 4. Imamo:

Da biste dobili odgovor, ostaje samo da saberete verovatnoće p 1 i p 2 . Zapamtite: možete dodati vjerovatnoće samo za događaje koji se međusobno isključuju. imamo:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

U teoriji vjerovatnoće postoji grupa problema za koje je dovoljno poznavati klasičnu definiciju vjerovatnoće i vizualno predstaviti predloženu situaciju. Takvi problemi uključuju većinu problema sa bacanjem novčića i probleme s bacanjem kockica. Prisjetimo se klasične definicije vjerovatnoće.

Vjerovatnoća događaja A (objektivna mogućnost da se događaj dogodi u brojčanim terminima) jednaka je omjeru broja ishoda koji su povoljni za ovaj događaj i ukupnog broja svih jednako mogućih nespojivih elementarnih ishoda: P(A)=m/n, Gdje:

• m je broj elementarnih ishoda testa koji pogoduju nastanku događaja A;
• n je ukupan broj svih mogućih elementarnih ishoda testa.

Pogodno je odrediti broj mogućih elementarnih ishoda testa i broj povoljnih ishoda u problemima koji se razmatraju nabrajanjem svih mogućih opcija (kombinacija) i direktnim brojanjem.

Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (glave se pojavljuju 1 put) odgovaraju opciji br. 2 i br. 3 eksperimenta, postoje dvije takve opcije m = 2.
Naći vjerovatnoću događaja P(A)=m/n=2/4=0,5

Problem 2 . U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da nećete dobiti nikakve glave.

Rješenje . Pošto je novčić bačen dvaput, tada je, kao iu zadatku 1, broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (glave se neće pojaviti ni jednom) odgovaraju opciji br. 4 eksperimenta (vidi tabelu u zadatku 1). Postoji samo jedna takva opcija, što znači m=1.
Naći vjerovatnoću događaja P(A)=m/n=1/4=0,25

Problem 3 . U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca tri puta. Pronađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno 2 puta.

Rješenje . Predstavljamo moguće opcije za tri bacanja novčića (sve moguće kombinacije glave i repa) u obliku tabele:

Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=8. Povoljni ishodi događaja A = (glave se pojavljuju 2 puta) odgovaraju opcijama br. 5, 6 i 7 eksperimenta.
Postoje tri takve opcije, što znači m=3.

Naći vjerovatnoću događaja P(A)=m/n=3/8=0,375 Problem 4

Rješenje . U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca četiri puta. Pronađite vjerovatnoću da dobijete glave tačno 3 puta.

Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=16. Povoljni ishodi događaja A = (glave će se pojaviti 3 puta) odgovaraju opcijama br. 12, 13, 14 i 15 eksperimenta, što znači m = 4.
Naći vjerovatnoću događaja P(A)=m/n=4/16=0,25

Određivanje vjerovatnoće u problemima s kockicama

Problem 5 . Odredite vjerovatnoću da ćete pri bacanju kocke (fer kockice) dobiti više od 3 boda.

Rješenje . Prilikom bacanja kocke (obične kocke) može ispasti bilo koja od njenih šest lica, tj. desi se bilo koji elementarni događaj - gubitak od 1 do 6 tačaka (poena). To znači da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6.
Događaj A = (više od 3 bačena boda) znači da je bačeno 4, 5 ili 6 poena (poena). To znači da je broj povoljnih ishoda m=3.
Vjerovatnoća događaja P(A)=m/n=3/6=0,5

Problem 6 . Odredite vjerovatnoću da prilikom bacanja kocke dobijete broj bodova ne veći od 4. Zaokružite rezultat na najbližu hiljaditu.

Rješenje . Prilikom bacanja kockice može ispasti bilo koje od njegovih šest lica, tj. desi se bilo koji elementarni događaj - gubitak od 1 do 6 tačaka (poena). To znači da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6.
Događaj A = (ne više od 4 bačena boda) znači da je bačeno 4, 3, 2 ili 1 bod (poen).
To znači da je broj povoljnih ishoda m=4.

Vjerovatnoća događaja R(A)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667 Problem 7

Rješenje . Kockice se bacaju dva puta. Nađite vjerovatnoću da je bačeni broj manji od 4 oba puta.

. S obzirom da se kockice (kockice) bacaju dvaput, rezonujemo na sljedeći način: ako se na prvom kocku baci jedan bod, onda na drugom kocku može doći 1, 2, 3, 4, 5, 6 parovi (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) i tako dalje sa svakim licem. Sve slučajeve predstavljamo u obliku tabele od 6 redova i 6 kolona:
Računamo povoljne ishode događaja A = (oba puta je broj bio manji od 4) (podebljani su) i dobijamo m=9.

Naći vjerovatnoću događaja P(A)=m/n=9/36=0,25 Problem 8

Rješenje . Kockice se bacaju dva puta. Nađite vjerovatnoću da je veći od dva izvučena broja 5. Zaokružite odgovor na najbližu hiljadu.

. U tabeli predstavljamo sve moguće ishode dva bacanja kocke:
Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izračunavamo povoljne ishode događaja A = (najveći od dva izvučena broja je 5) (podebljani su) i dobijamo m=8.

Pronađite vjerovatnoću događaja P(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222 . Kockice se bacaju dva puta. Nađite vjerovatnoću da se broj manji od 4 baca barem jednom.

Rješenje . U tabeli predstavljamo sve moguće ishode dva bacanja kocke:

Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izraz "barem jednom se pojavio broj manji od 4" znači "broj manji od 4 se pojavio jednom ili dvaput", zatim broj povoljnih ishoda događaja A = (barem jednom se pojavio broj manji od 4 ) (istaknuti su podebljanim slovima) m=27.
Naći vjerovatnoću događaja P(A)=m/n=27/36=0,75

U slučajnom eksperimentu baca se simetričan novčić...

Kao predgovor.
Svi znaju da novčić ima dvije strane - glavu i rep.
Numizmatičari vjeruju da novčić ima tri strane - avers, revers i rub.
I među njima i među ostalima, malo ljudi zna šta je simetričan novčić. Ali oni koji se spremaju da polažu Jedinstveni državni ispit znaju za ovo (pa, ili bi trebali znati:).

Općenito, ovaj članak će govoriti o neobičnom novčiću, koji nema nikakve veze s numizmatikom, ali je istovremeno najpopularniji novčić među školarcima.

Dakle.
Simetričan novčić- ovo je zamišljeni matematički idealan novčić bez veličine, težine, promjera itd. Kao rezultat, takav novčić također nema rub, odnosno zapravo ima samo dvije strane. Glavno svojstvo simetričnog novčića je da je u takvim uvjetima vjerovatnoća pojave glave ili repa apsolutno ista. I smislili su simetrični novčić za provođenje misaonih eksperimenata.
Najpopularniji problem simetričnog novčića je: „U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput (tri puta, četiri puta, itd.) Problem je odrediti vjerovatnoću da će jedna strana sletjeti određeni broj puta.

Rješavanje problema sa simetričnim novčićem

Jasno je da će kao rezultat bacanja novčić pasti ili na glavu ili na rep. Koliko puta zavisi od toga koliko bacanja napraviti. Vjerovatnoća da se dobije glava ili rep izračunava se tako što se broj ishoda koji zadovoljavaju uvjet podijeli sa ukupnim brojem mogućih ishoda.

Jedno bacanje

Ovdje je sve jednostavno. To će biti ili glava ili rep. One. imamo dva moguća ishoda, od kojih nas jedan zadovoljava - 1/2=50%

Dva bacanja

U dva bacanja možete dobiti:
dva orla
dve glave
glava pa rep
repove, zatim glave
One. Postoje samo četiri moguće opcije. Problemi sa više od jedne rolne najlakše se rješavaju sastavljanjem tabele mogućih opcija. Radi jednostavnosti, označimo glave kao "0", a repove kao "1". Tada će tabela mogućih ishoda izgledati ovako:
00
01
10
11
Ako, na primjer, trebate pronaći vjerovatnoću da će se glave pojaviti jednom, jednostavno morate izbrojati broj odgovarajućih opcija u tabeli - tj. one linije u kojima se orao pojavljuje jednom. Postoje dvije takve linije. To znači da je vjerovatnoća da dobijete jednu glavu u dva bacanja simetričnog novčića 2/4 = 50%
Vjerovatnoća da će se glave pojaviti dva puta u dva bacanja je 1/4=25%

Tri roska

Kreirajmo tabelu opcija:
000
001
010
011
100
101
110
111
Oni koji su upoznati sa binarnim računom razumiju do čega smo došli. :) Da, ovo su binarne cifre od "0" do "7". Ovo olakšava da se ne zbunite s opcijama.
Rešimo problem iz prethodnog paragrafa - izračunajmo verovatnoću da će se glave jednom pojaviti. Postoje tri reda u kojima se "0" pojavljuje jednom. To znači da je vjerovatnoća da dobijete jednu glavu u tri bacanja simetričnog novčića 3/8 = 37,5%
Vjerovatnoća da će se glave pojaviti dva puta u tri bacanja je 3/8 = 37,5%, tj. apsolutno isto.
Vjerovatnoća da će se glave pojaviti tri puta u tri bacanja je 1/8 = 12,5%.

Četiri bacanja

Kreirajmo tabelu opcija:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Vjerovatnoća da će se glave pojaviti jednom. Postoje samo tri reda u kojima se "0" pojavljuje jednom, baš kao u slučaju tri bacanja. Ali već postoji šesnaest opcija. To znači da je vjerovatnoća da dobijete jednu glavu u četiri bacanja simetričnog novčića 3/16 = 18,75%
Vjerovatnoća da će se glave pojaviti dva puta u tri bacanja je 6/8 = 75%.
Vjerovatnoća da će se glave pojaviti tri puta u tri bacanja je 4/8 = 50%.

Dakle, s povećanjem broja bacanja, princip rješavanja problema se uopće ne mijenja - samo se, u odgovarajućoj progresiji, povećava broj opcija.

U zadacima iz teorije vjerovatnoće, koji su predstavljeni na Jedinstvenom državnom ispitu broj 4, osim toga, postoje i zadaci o bacanju novčića i bacanju kocke. Danas ćemo ih pogledati.

Problemi sa bacanjem novčića

Zadatak 1. Simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno jednom.

U ovakvim je zadacima zgodno zapisati sve moguće ishode, zapisati ih slovima P (repovi) i O (glave). Dakle, ishod OP-a znači da je pri prvom bacanju došlo do glave, a kod drugog bacanja do repa. U problemu koji se razmatra postoje 4 moguća ishoda: RR, RO, OR, OO. Događaju „repovi će se pojaviti tačno jednom“ favorizuju 2 ishoda: RO i OP. Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,5.

Zadatak 2. Simetrični novčić je bačen tri puta. Nađite vjerovatnoću da će pasti na glavu tačno dva puta.

Ukupno je 8 mogućih ishoda: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Događaju „glave će se pojaviti tačno dva puta“ favorizuju 3 ishoda: ROO, ORO, OOR. Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,375.

Zadatak 3. Prije početka fudbalske utakmice, sudija baca novčić kako bi odredio koja će ekipa početi s loptom. Tim Emerald igra tri utakmice sa različitim timovima. Pronađite vjerovatnoću da će u ovim igrama “Emerald” osvojiti lot točno jednom.

Ovaj zadatak je sličan prethodnom. Neka svaki put pada glava znači osvajanje lota sa “Smaragdom” (ova pretpostavka ne utiče na izračunavanje vjerovatnoće). Tada je moguće 8 ishoda: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Događaju „repovi će se pojaviti tačno jednom“ favorizuju 3 ishoda: ROO, ORO, OOR. Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,375.

Naći vjerovatnoću događaja P(A)=m/n=3/8=0,375. Simetrični novčić se baca tri puta. Nađite vjerovatnoću da će se ROO ishod desiti (prvi put kada se udari glavom, drugi i treći put udari glavom).

Kao iu prethodnim zadacima, ima 8 ishoda: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Vjerovatnoća nastanka ROO ishoda je jednaka .

Odgovor: 0,125.

Problemi sa bacanjem kockica

Zadatak 5. Kockice se bacaju dva puta. Koliko elementarnih ishoda eksperimenta daje prednost događaju „zbir bodova je 8“?

Problem 6. Dvije kockice se bacaju u isto vrijeme. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 4 boda. Zaokružite rezultat na stotinke.

Općenito, kada se bacaju kocke, jednako su mogući ishodi. Isti broj ishoda se dobija ako se ista kocka baci nekoliko puta za redom.

Događaju „ukupan broj je 4“ favorizuju sljedeći ishodi: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Njihov broj je 3. Tražena vjerovatnoća je .

Da biste izračunali približnu vrijednost razlomka, prikladno je koristiti podjelu ugla. Dakle, približno jednako 0,083..., zaokruženo na najbližu stotinu imamo 0,08.

Odgovor: 0.08

Vjerovatnoća događaja R(A)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667. Tri kockice se bacaju u isto vrijeme. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 5 bodova. Zaokružite rezultat na stotinke.

Ishodom će se smatrati tri broja: bodovi bačeni na prvu, drugu i treću kocku. Svi su podjednako mogući ishodi. Sljedeći ishodi su povoljni za događaj „ukupno 5“: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Njihov broj je 6. Tražena vjerovatnoća je . Da biste izračunali približnu vrijednost razlomka, prikladno je koristiti podjelu ugla. Približno dobijamo 0,027..., zaokružujući na stotinke, imamo 0,03. Izvor “Priprema za Jedinstveni državni ispit. Matematika. Teorija vjerovatnoće". Uredio F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Formulacija problema: U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da se glave (repovi) neće pojaviti ni jednom (pojaviće se tačno/najmanje 1, 2 puta).

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovnog nivoa za 11. razred pod brojem 10 (Klasična definicija vjerovatnoće).

Pogledajmo kako se takvi problemi rješavaju na primjerima.

Primjer zadatka 1:

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da se glave neće ni jednom pojaviti.

OO OR RO RR

Ukupno su 4 takve kombinacije Nas zanimaju samo one koje ne sadrže niti jednog orla. Postoji samo jedna takva kombinacija (PP).

P = 1 / 4 = 0,25

Odgovor: 0,25

Primjer zadatka 2:

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da dobijete glave tačno dva puta.

Razmotrimo sve moguće kombinacije koje se mogu pojaviti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, glave ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:

OO OR RO RR

Ukupno su 4 takve kombinacije Nas zanimaju samo one u kojima se glave pojavljuju tačno 2 puta. Postoji samo jedna takva kombinacija (OO).

P = 1 / 4 = 0,25

Odgovor: 0,25

Primjer zadatka 3:

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno jednom.

Razmotrimo sve moguće kombinacije koje se mogu pojaviti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, glave ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:

OO OR RO RR

Ukupno su 4 takve kombinacije Nas zanimaju samo one u kojima su se glave pojavile tačno 1 put. Postoje samo dvije takve kombinacije (OR i RO).

Odgovor: 0,5

Primjer zadatka 4:

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti barem jednom.

Razmotrimo sve moguće kombinacije koje se mogu pojaviti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, glave ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:

OO OR RO RR

Ukupno su 4 takve kombinacije Nas zanimaju samo one u kojima se glave pojavljuju barem jednom. Postoje samo tri takve kombinacije (OO, OP i RO).

P = 3 / 4 = 0,75