U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se udvostručuje. Problemi u teoriji vjerovatnoće. Kombinovana metoda nabrajanja

Formulacija zadatka: U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da glave (repovi) neće ispasti ni jednom (ispasti će tačno / najmanje 1, 2 puta).

Zadatak je uvršten u ESU iz matematike osnovnog nivoa za 11. razred pod brojem 10 (Klasična definicija vjerovatnoće).

Pogledajmo kako se takvi problemi rješavaju na primjerima.

Primjer zadatka 1:

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da se glave nikada ne pojave.

OO OR RO RR

Takve kombinacije ima ukupno 4. Nas zanimaju samo one u kojima nema niti jednog orla. Postoji samo jedna takva kombinacija (PP).

P = 1 / 4 = 0,25

Odgovor: 0,25

Primjer zadatka 2:

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da se pojavi tačno dva puta.

Razmotrite sve moguće kombinacije koje mogu ispasti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, orla ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:

OO OR RO RR

Takve kombinacije su ukupno 4. Nas zanimaju samo one kombinacije u kojima se glave pojavljuju tačno 2 puta. Postoji samo jedna takva kombinacija (OO).

P = 1 / 4 = 0,25

Odgovor: 0,25

Primjer zadatka 3:

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da se pojavi tačno jednom.

Razmotrite sve moguće kombinacije koje mogu ispasti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, orla ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:

OO OR RO RR

Ukupno ima 4 takve kombinacije. Zanimaju nas samo one u kojima su glave ispale tačno 1 put. Postoje samo dvije takve kombinacije (OP i RO).

Odgovor: 0,5

Primjer zadatka 4:

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti barem jednom.

Razmotrite sve moguće kombinacije koje mogu ispasti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, orla ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:

OO OR RO RR

Takve kombinacije su ukupno 4. Nas zanimaju samo one kombinacije kod kojih barem jednom ispadnu glave. Postoje samo tri takve kombinacije (OO, OR i RO).

P = 3 / 4 = 0,75

U slučajnom eksperimentu baca se simetričan novčić...

Kao predgovor.
Svi znaju da novčić ima dvije strane - glavu i rep.
Numizmatičari vjeruju da novčić ima tri strane - avers, revers i rub.
I među njima, i među ostalima, malo ljudi zna šta je simetrični novčić. Ali znaju za to (pa, ili bi trebali znati :), oni koji se spremaju za polaganje.

Općenito, ovaj članak će se fokusirati na neobičan novčić, koji nema nikakve veze sa numizmatikom, ali je, ujedno, najpopularniji novčić među školarcima.

Dakle.
Simetričan novčić- ovo je zamišljeni matematički idealan novčić bez veličine, težine, promjera itd. Kao rezultat, takav novčić također nema rub, odnosno ima samo dvije strane. Glavno svojstvo simetričnog novčića je da je u takvim uvjetima vjerovatnoća pada glave ili repa potpuno ista. I smislili su simetrični novčić za misaone eksperimente.
Najpopularniji problem sa simetričnim novčićem zvuči ovako - "U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dva puta (tri puta, četiri puta, itd.). Potrebno je odrediti vjerovatnoću da će jedna od strana ispasti određeni broj puta.

Rješavanje problema sa simetričnim novčićem

Jasno je da će kao rezultat bacanja novčić pasti ili glavom ili repom. Koliko puta - zavisi od toga koliko bacanja napraviti. Vjerovatnoća da se dobije glava ili rep izračunava se tako što se broj ishoda koji zadovoljavaju uvjet podijeli sa ukupnim brojem mogućih ishoda.

Jedno bacanje

Ovdje je sve jednostavno. Iskrsnuće ili glave ili repovi. One. imamo dva moguća ishoda, od kojih nas jedan zadovoljava - 1/2=50%

Dva bacanja

Za dva bacanja mogu pasti:
dva orla
dva repa
glave, pa repove
repove, zatim glave
One. moguće su samo četiri opcije. Probleme sa više bacanja najlakše je riješiti tako što ćete napraviti tabelu mogućih opcija. Radi jednostavnosti, označimo glave kao "0", a repove kao "1". Tada će tabela mogućih ishoda izgledati ovako:
00
01
10
11
Ako, na primjer, trebate pronaći vjerovatnoću da će glave jednom pasti, trebate samo izbrojati broj odgovarajućih opcija u tabeli - tj. one linije u kojima se orao pojavljuje jednom. Postoje dvije takve linije. Dakle, vjerovatnoća da dobijete jednu glavu u dva bacanja simetričnog novčića je 2/4=50%
Verovatnoća da dobijete dva puta glavom u dva bacanja je 1/4=25%

Tri ruže

Pravimo tabelu opcija:
000
001
010
011
100
101
110
111
Oni koji su upoznati sa binarnim računom razumiju do čega smo došli. :) Da, to su binarni brojevi od "0" do "7". Na ovaj način je lakše da se ne zbunite s opcijama.
Rešimo problem iz prethodnog pasusa - izračunavamo verovatnoću da će orao jednom ispasti. Postoje tri reda u kojima se "0" pojavljuje jednom. Dakle, vjerovatnoća da dobijete jednu glavu u tri bacanja simetričnog novčića je 3/8=37,5%
Verovatnoća da će glave u tri bacanja dva puta ispasti je 3/8=37,5%, tj. apsolutno isto.
Vjerovatnoća da će glava u tri bacanja tri puta ispasti je 1/8 = 12,5%.

Četiri bacanja

Pravimo tabelu opcija:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Vjerovatnoća da će se glave pojaviti jednom. Postoje samo tri reda u kojima se "0" pojavljuje jednom, baš kao i u slučaju tri bacanja. Ali, već postoji šesnaest opcija. Dakle, vjerovatnoća da dobijete jednu glavu u četiri bacanja simetričnog novčića je 3/16=18,75%
Verovatnoća da će orao ispasti dva puta u tri bacanja je 6/8=75%.
Vjerovatnoća da će se glave iskrsnuti tri puta u tri bacanja je 4/8=50%.

Dakle, sa povećanjem broja bacanja, princip rješavanja problema se uopće ne mijenja - samo se, u odgovarajućoj progresiji, povećava broj opcija.

U teoriji vjerovatnoće postoji grupa problema za čije je rješenje dovoljno poznavati klasičnu definiciju vjerovatnoće i vizualizirati predloženu situaciju. Ovi problemi su većina problema sa bacanjem novčića i problemima sa bacanjem kocke. Prisjetimo se klasične definicije vjerovatnoće.

Vjerovatnoća događaja A (objektivna mogućnost da se događaj dogodi u brojčanom smislu) jednaka je omjeru broja ishoda koji su povoljni za ovaj događaj prema ukupnom broju svih jednako mogućih nespojivih elementarnih ishoda: P(A)=m/n, gdje:

• m je broj elementarnih ishoda testa koji favorizuju pojavu događaja A;
• n je ukupan broj svih mogućih elementarnih ishoda testa.

Pogodno je odrediti broj mogućih elementarnih ishoda testa i broj povoljnih ishoda u problemima koji se razmatraju nabrajanjem svih mogućih opcija (kombinacija) i direktnim proračunom.

Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (orao ispadne 1 put) odgovaraju opciji br. 2 i br. 3 eksperimenta, postoje dvije takve opcije m=2.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=2/4=0,5

Zadatak 2 . U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da se glave nikada neće pojaviti.

Odluka . Pošto se novčić baci dva puta, onda je, kao iu zadatku 1, broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (orao neće ispasti ni jednom) odgovaraju varijanti br. 4 eksperimenta (vidi tabelu u zadatku 1). Postoji samo jedna takva opcija, tako da je m=1.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=1/4=0,25

Zadatak 3 . U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca tri puta. Nađite vjerovatnoću da se pojavi tačno 2 puta.

Odluka . Moguće opcije tri bacanja novčića (sve moguće kombinacije glava i repa) predstavljena su u obliku tabele:

Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=8. Povoljni ishodi događaja A = (glave 2 puta) odgovaraju opcijama br. 5, 6 i 7 eksperimenta. Postoje tri takve opcije, tako da je m=3.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=3/8=0,375

Zadatak 4 . U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca četiri puta. Nađite vjerovatnoću da se pojavi tačno 3 puta.

Odluka . Moguće varijante četiri bacanja novčića (sve moguće kombinacije glave i repa) prikazane su u obliku tabele:

Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=16. Povoljni ishodi događaja A = (orao ispada 3 puta) odgovaraju opcijama br. 12, 13, 14 i 15 eksperimenta, što znači m=4.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=4/16=0,25

Određivanje vjerovatnoće u problemima s kockicama

Zadatak 5 . Odredite vjerovatnoću da će više od 3 boda ispasti kada se baci kocka (tačna kocka).

Odluka . Prilikom bacanja kocke (obične kockice) može ispasti bilo koje od njenih šest lica, tj. da se desi bilo koji od elementarnih događaja - gubitak od 1 do 6 poena (poena). Dakle, broj mogućih elementarnih ishoda je n=6.
Događaj A = (ispalo više od 3 boda) znači da je ispalo 4, 5 ili 6 bodova (boda). Dakle, broj povoljnih ishoda m=3.
Vjerovatnoća događaja R(A)=m/n=3/6=0,5

Zadatak 6 . Odredite vjerovatnoću da kada se baci kocka, broj bodova ne prelazi 4. Zaokružite rezultat na najbližu hiljaditu.

Odluka . Prilikom bacanja kocke može ispasti bilo koje od njenih šest lica, tj. da se desi bilo koji od elementarnih događaja - gubitak od 1 do 6 poena (poena). Dakle, broj mogućih elementarnih ishoda je n=6.
Događaj A = (ne ispalo više od 4 boda) znači da je ispalo 4, 3, 2 ili 1 bod (bod). Dakle, broj povoljnih ishoda m=4.
Vjerovatnoća događaja R(A)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Zadatak 7 . Kocka se baca dva puta. Pronađite vjerovatnoću da su oba broja manja od 4.

Odluka . Pošto se kocka (kocka) baca dva puta, argumentovano ćemo ovako: ako je jedan bod pao na prvu kockicu, onda na drugoj može ispasti 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dobijamo parove (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) i tako dalje sa svakim licem. Sve slučajeve predstavljamo u obliku tabele od 6 redova i 6 kolona:

Izračunat će se povoljni ishodi događaja A = (oba puta je ispao broj manji od 4) (podebljani su) i dobićemo m=9.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=9/36=0,25

Zadatak 8 . Kocka se baca dva puta. Nađite vjerovatnoću da je najveći od dva izvučena broja 5. Zaokružite svoj odgovor na najbližu hiljaditu.

Odluka . Svi mogući ishodi dva bacanja kocke prikazani su u tabeli:

Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izračunavaju se povoljni ishodi događaja A = (najveći od dva izvučena broja je 5) (podebljani su) i dobijamo m=8.
Pronađite vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Zadatak 9 . Kocka se baca dva puta. Nađite vjerovatnoću da se broj manji od 4 baca barem jednom.

Odluka . Svi mogući ishodi dva bacanja kocke prikazani su u tabeli:

Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izraz “barem jednom ispao je broj manji od 4” znači “jedan ili dvaput je ispao broj manji od 4”, zatim broj povoljnih ishoda događaja A = (barem jednom ispao je broj manji od 4 ) (podebljani su) m=27.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=27/36=0,75

U zadacima iz teorije vjerovatnoće, koji su predstavljeni na Jedinstvenom državnom ispitu pod brojem 4, pored toga, nalaze se i zadaci za bacanje novčića i za bacanje kocke. Danas ćemo ih analizirati.

Problemi bacanja novčića

Zadatak 1. Simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da će se pojaviti tačno jednom.

U ovakvim je zadacima zgodno zapisati sve moguće ishode, zapisati ih slovima P (repovi) i O (glave). Dakle, ishod ILI znači da je prvo bacanje došlo glavom, a drugo repom. U problemu koji se razmatra moguća su 4 ishoda: PP, RO, OR, OO. Favorizirajte događaj "repovi se pojavljuju tačno jednom" 2 ishoda: RO i OR. Tražena vjerovatnoća je .

Odgovor: 0,5.

Zadatak 2. Simetrični novčić se baci tri puta, Nađite vjerovatnoću da će se glave iskrsnuti tačno dva puta.

Ukupno je moguće 8 ishoda: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Favorizirajte događaj "glava tačno dva puta" 3 ishoda: ROO, ORO, OOR. Tražena vjerovatnoća je .

Odgovor: 0,375.

Zadatak 3. Prije početka fudbalski meč Sudija baca novčić kako bi odredio koja će ekipa početi igru ​​s loptom. Tim Emerald igra tri utakmice sa različite ekipe. Pronađite vjerovatnoću da će u ovim igrama "Emerald" osvojiti lot točno jednom.

Ovaj zadatak je sličan prethodnom. Neka svaki put gubitak repova znači osvajanje lota od strane "Emerald" (takva pretpostavka ne utiče na izračunavanje verovatnoće). Tada je moguće 8 ishoda: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Postoje 3 ishoda koji favorizuju događaj „repovi se pojavljuju tačno jednom“: POO, ORO, OOP. Tražena vjerovatnoća je .

Odgovor: 0,375.

Zadatak 4. Simetrični novčić se baca tri puta. Naći vjerovatnoću da će ishod ROO-a doći (prvi put se pojavi rep, drugi i treći - glava).

Kao iu prethodnim zadacima, ovdje je 8 ishoda: PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO. Vjerovatnoća ishoda ROO je jednaka .

Odgovor: 0,125.

Problemi sa bacanjem kockica

Zadatak 5. Dice bačen dvaput. Koliko elementarnih ishoda iskustva favorizuje događaj "zbir bodova je 8"?

Zadatak 6. Dvije kockice se bacaju u isto vrijeme. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan broj biti 4. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Općenito, ako se baci kockica (kocka), onda su jednako mogući ishodi. Isti broj ishoda se dobija ako se ista kocka baci jednom uzastopno.

Sledeći ishodi favorizuju događaj „ukupno 4”: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Njihov broj je 3. Željena verovatnoća je .

Da biste izračunali približnu vrijednost razlomka, zgodno je koristiti dijeljenje uglom. Dakle, približno je jednako 0,083 ..., zaokruženo na stotinke, imamo 0,08.

Odgovor: 0.08

Zadatak 7. Tri kockice se bacaju u isto vrijeme. Pronađite vjerovatnoću da dobijete ukupno 5 bodova. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Ishod ćemo smatrati trostrukim brojevima: bodovi koji su pali na prvu, drugu i treću kocku. Ukupno ima podjednako mogućih ishoda. Sljedeći ishodi favoriziraju događaj „ukupno 5“: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Njihov broj je 6. Željena vjerovatnoća je . Da biste izračunali približnu vrijednost razlomka, zgodno je koristiti dijeljenje uglom. Približno dobijamo 0,027 ..., zaokruženo na stotinke, imamo 0,03. Izvor “Priprema za ispit. Matematika. Teorija vjerovatnoće”. Uredio F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov