ریاضیات و ما مشکلات احتمالی مشکلات پرتاب سکه

مشکلات پرتاب سکه بسیار دشوار در نظر گرفته می شود. و قبل از حل آنها کمی توضیح لازم است. در مورد آن فکر کنید، هر مشکلی در نظریه احتمال در نهایت به فرمول استاندارد می رسد:

که در آن p احتمال مورد نظر است، k تعداد رویدادهایی است که مناسب ما هستند، n تعداد کل رویدادهای ممکن است.

اکثر مشکلات B6 را می توان با استفاده از این فرمول به معنای واقعی کلمه در یک خط حل کرد - فقط شرط را بخوانید. اما در مورد پرتاب سکه ، این فرمول بی فایده است ، زیرا از متن چنین مسائلی اصلاً مشخص نیست که اعداد k و n برابر هستند. این همان جایی است که دشواری در آن نهفته است.

با این حال، حداقل دو روش راه حل اساساً متفاوت وجود دارد:

روش شمارش ترکیبات یک الگوریتم استاندارد است. تمام ترکیبات سر و دم نوشته شده است و پس از آن موارد لازم انتخاب می شوند.
فرمول احتمال خاص یک تعریف استاندارد از احتمال است که به طور خاص بازنویسی شده است تا کار با سکه ها راحت باشد.

برای حل مشکل B6 باید هر دو روش را بدانید. متأسفانه فقط اولی در مدارس تدریس می شود. اشتباهات مدرسه را تکرار نکنیم. پس بیا بریم!

روش جستجوی ترکیبی

این روش "راه حل پیش رو" نیز نامیده می شود. شامل سه مرحله است:

ما تمام ترکیبات ممکن از سر و دم را یادداشت می کنیم. به عنوان مثال: OR، RO، OO، RR. تعداد چنین ترکیباتی n است.
در میان ترکیبات به دست آمده، مواردی را که در شرایط مشکل مورد نیاز است، یادداشت می کنیم. ما ترکیب های علامت گذاری شده را می شماریم - عدد k را بدست می آوریم.
باقی مانده است که احتمال را پیدا کنیم: p = k: n.

متأسفانه این روش فقط برای تعداد کمی پرتاب کار می کند. زیرا با هر پرتاب جدید تعداد ترکیب ها دو برابر می شود. به عنوان مثال، برای 2 سکه شما باید فقط 4 ترکیب را بنویسید. برای 3 سکه در حال حاضر 8 مورد وجود دارد، و برای 4 - 16، و احتمال خطا به 100٪ نزدیک می شود. به مثال ها نگاه کنید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:

وظیفه در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه تعداد سر و دم یکسانی بدست آورید را پیدا کنید.

بنابراین، سکه دو بار پرتاب می شود. بیایید تمام ترکیبات ممکن را بنویسیم (O - heads، P - tails):

مجموع n = 4 گزینه. حالا بیایید گزینه هایی را که با شرایط مشکل مطابقت دارند، بنویسیم:

k = 2 گزینه وجود دارد که احتمال را بیابید:

وظیفه سکه چهار بار پرتاب می شود. این احتمال را بیابید که هرگز سر نخواهید داشت.

دوباره تمام ترکیبات ممکن سر و دم را می نویسیم:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

در کل n = 16 گزینه وجود داشت. انگار چیزی را فراموش نکرده ام. از بین این گزینه ها، ما فقط به ترکیب "OOOO" بسنده می کنیم که اصلاً حاوی دم نیست. بنابراین، k = 1. باقی مانده است که احتمال را پیدا کنیم:

همانطور که می بینید، در آخرین مشکل مجبور شدم 16 گزینه را بنویسم. آیا مطمئن هستید که می توانید آنها را بدون انجام یک اشتباه بنویسید؟ شخصاً مطمئن نیستم. پس بیایید راه حل دوم را بررسی کنیم.

فرمول احتمال ویژه

بنابراین، مسائل سکه فرمول احتمال خود را دارند. آنقدر ساده و مهم است که تصمیم گرفتم آن را در قالب یک قضیه فرموله کنم. نگاهی بیندازید:

قضیه. بگذارید سکه n بار پرتاب شود. سپس احتمال اینکه هدها دقیقا k بار ظاهر شوند را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

که در آن C n k تعداد ترکیبات n عنصر با k است که با فرمول محاسبه می شود:

بنابراین، برای حل مشکل سکه، به دو عدد نیاز دارید: تعداد پرتاب ها و تعداد سرها. اغلب، این اعداد مستقیماً در متن مسئله آورده می شوند. علاوه بر این، مهم نیست دقیقاً چه چیزی را می شمارید: دم یا سر. پاسخ همان خواهد بود.

در نگاه اول، این قضیه بیش از حد دست و پا گیر به نظر می رسد. اما زمانی که کمی تمرین کنید، دیگر نمی خواهید به الگوریتم استانداردی که در بالا توضیح داده شد بازگردید.

وظیفه سکه چهار بار پرتاب می شود. احتمال به دست آوردن سر را دقیقاً سه برابر پیدا کنید.

با توجه به شرایط مسئله، n = 4 پرتاب کل وجود داشت: k = 3. n و k را جایگزین فرمول کنید.

وظیفه سکه سه بار پرتاب می شود. این احتمال را بیابید که هرگز سر نخواهید داشت.

دوباره اعداد n و k را یادداشت می کنیم. از آنجایی که سکه 3 بار پرتاب می شود، n = 3. و از آنجایی که نباید سر وجود داشته باشد، k = 0. باقی می ماند که اعداد n و k را در فرمول جایگزین کنیم:

بگذارید به شما یادآوری کنم که 0! = 1 طبق تعریف بنابراین C 3 0 = 1.

وظیفه در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن 4 بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که سرها بیشتر از دم ظاهر شوند.

برای اینکه تعداد سرها بیشتر از دم باشد، باید یا 3 بار ظاهر شوند (پس 1 دم وجود خواهد داشت) یا 4 بار (پس اصلاً دم وجود نخواهد داشت). بیایید احتمال هر یک از این رویدادها را پیدا کنیم.

فرض کنید p 1 احتمال ظاهر شدن هدها 3 بار باشد. سپس n = 4، k = 3. داریم:

حالا بیایید p 2 را پیدا کنیم - احتمال اینکه سرها هر 4 بار ظاهر شوند. در این مورد n = 4، k = 4. داریم:

برای دریافت پاسخ، تنها چیزی که باقی می ماند این است که احتمالات p 1 و p 2 را اضافه کنید. به یاد داشته باشید: شما فقط می توانید احتمالات را برای رویدادهای متقابل انحصاری اضافه کنید. ما داریم:

p = p 1 + p 2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125

در نظریه احتمال، گروهی از مسائل وجود دارد که برای آنها کافی است تعریف کلاسیک احتمال را بدانیم و وضعیت پیشنهادی را به صورت بصری نمایش دهیم. چنین مشکلاتی شامل اکثر مشکلات پرتاب سکه و مشکلات پرتاب تاس است. بیایید تعریف کلاسیک احتمال را به یاد بیاوریم.

احتمال رویداد A (امکان عینی وقوع یک رویداد به صورت عددی) برابر است با نسبت تعداد نتایج مطلوب برای این رویداد به تعداد کل همه پیامدهای ابتدایی ناسازگار به همان اندازه ممکن: P(A)=m/n، کجا:

m تعداد نتایج آزمون ابتدایی مطلوب برای وقوع رویداد A است.
n تعداد کل تمام نتایج آزمون ابتدایی ممکن است.

تعیین تعداد نتایج احتمالی آزمون ابتدایی و تعداد نتایج مطلوب در مسائل مورد بررسی با برشمردن همه گزینه های ممکن (ترکیب ها) و شمارش مستقیم راحت است.

از جدول می بینیم که تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=4 است. نتایج مطلوب رویداد A = (سرها 1 بار ظاهر می شوند) با گزینه شماره 2 و شماره 3 آزمایش مطابقت دارد، دو گزینه m = 2 وجود دارد.
احتمال رویداد P(A)=m/n=2/4=0.5 را بیابید

مشکل 2 . در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که به هیچ وجه سر نزنید.

راه حل . از آنجایی که سکه دو بار پرتاب می شود، مانند مسئله 1، تعداد نتایج اولیه ممکن n=4 است. نتایج مطلوب رویداد A = (سرها حتی یک بار ظاهر نمی شوند) با گزینه شماره 4 آزمایش مطابقت دارد (جدول مسئله 1 را ببینید). فقط یک گزینه وجود دارد، یعنی m=1.
احتمال رویداد P(A)=m/n=1/4=0.25 را بیابید

مشکل 3 . در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن سه بار پرتاب می شود. احتمال اینکه سرها دقیقاً 2 بار ظاهر شوند را پیدا کنید.

راه حل . ما گزینه های ممکن برای سه پرتاب سکه (همه ترکیبات ممکن از سر و دم) را در قالب یک جدول ارائه می دهیم:

از جدول می بینیم که تعداد پیامدهای ابتدایی ممکن n=8 است. نتایج مطلوب رویداد A = (سرها 2 بار ظاهر می شوند) با گزینه های شماره 5، 6 و 7 آزمایش مطابقت دارد.
سه گزینه وجود دارد که به معنی m=3 است.

احتمال رویداد P(A)=m/n=3/8=0.375 را بیابید مشکل 4

راه حل . در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن چهار بار پرتاب می شود. احتمال گرفتن سر را دقیقاً 3 برابر پیدا کنید.

. ما گزینه های ممکن برای چهار پرتاب سکه (همه ترکیبات ممکن از سر و دم) را در قالب یک جدول ارائه می دهیم:	گزینه شماره	پرتاب 1	پرتاب 2	پرتاب 3	. ما گزینه های ممکن برای چهار پرتاب سکه (همه ترکیبات ممکن از سر و دم) را در قالب یک جدول ارائه می دهیم:	گزینه شماره	پرتاب 1	پرتاب 2	پرتاب 3
1	پرتاب 4	پرتاب 4	پرتاب 4	پرتاب 4	9	عقاب	پرتاب 4	عقاب	پرتاب 4
2	پرتاب 4	عقاب	عقاب	عقاب	10	پرتاب 4	عقاب	پرتاب 4	عقاب
3	عقاب	پرتاب 4	عقاب	عقاب	11	پرتاب 4	عقاب	عقاب	پرتاب 4
4	عقاب	عقاب	پرتاب 4	عقاب	12	پرتاب 4	پرتاب 4	پرتاب 4	عقاب
5	عقاب	عقاب	عقاب	پرتاب 4	13	عقاب	پرتاب 4	پرتاب 4	پرتاب 4
6	پرتاب 4	پرتاب 4	عقاب	عقاب	14	پرتاب 4	عقاب	پرتاب 4	پرتاب 4
7	عقاب	پرتاب 4	پرتاب 4	عقاب	15	پرتاب 4	پرتاب 4	عقاب	پرتاب 4
8	عقاب	عقاب	پرتاب 4	پرتاب 4	16	عقاب	عقاب	عقاب	عقاب

از جدول می بینیم که تعداد نتایج اولیه ممکن n=16 است. نتایج مطلوب رویداد A = (سرها 3 بار ظاهر می شوند) با گزینه های شماره 12، 13، 14 و 15 آزمایش مطابقت دارد که به معنی m = 4 است.
احتمال رویداد P(A)=m/n=4/16=0.25 را بیابید

تعیین احتمال در مسائل تاس

مشکل 5 . این احتمال را تعیین کنید که هنگام پرتاب یک تاس (یک تاس منصفانه) بیش از 3 امتیاز کسب کنید.

راه حل . هنگام پرتاب تاس (یک تاس معمولی)، هر یک از شش وجه آن ممکن است بیفتد، یعنی. هر یک از رویدادهای ابتدایی رخ می دهد - از دست دادن 1 تا 6 نقطه (امتیاز). این بدان معناست که تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=6 است.
رویداد A = (بیش از 3 نقطه نورد) به این معنی است که 4، 5 یا 6 نقطه (نقطه) نورد شده است. این بدان معناست که تعداد پیامدهای مطلوب m=3 است.
احتمال رویداد P(A)=m/n=3/6=0.5

مشکل 6 . این احتمال را تعیین کنید که هنگام پرتاب تاس، تعداد امتیازهایتان بیشتر از 4 نباشد. نتیجه را به نزدیکترین هزارم گرد کنید.

راه حل . هنگام پرتاب قالب، هر یک از شش صورت آن ممکن است بیفتد، یعنی. هر یک از رویدادهای ابتدایی رخ می دهد - از دست دادن 1 تا 6 نقطه (امتیاز). این بدان معناست که تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=6 است.
رویداد A = (بیش از 4 نقطه نورد) به این معنی است که 4، 3، 2 یا 1 نقطه (نقطه) نورد شده است.
این بدان معناست که تعداد پیامدهای مطلوب m=4 است.

احتمال رویداد Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667 مسئله 7

راه حل . تاس ها دو بار پرتاب می شوند. احتمال اینکه عدد چرخانده شده هر دو بار کمتر از 4 باشد را پیدا کنید.

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

. از آنجایی که تاس (تاس) دو بار پرتاب می شود، به این صورت استدلال می کنیم: اگر قالب اول یک امتیاز را نشان دهد، تاس دوم می تواند 1، 2، 3، 4، 5، 6 باشد. جفت ها را می گیریم (1;1). )، (1;2)، (1;3)، (1;4)، (1;5)، (1;6) و غیره با هر صورت. بیایید همه موارد را در قالب یک جدول 6 ردیفی و 6 ستونی ارائه دهیم:
نتایج مطلوب رویداد A = (هر دو بار عدد کمتر از 4 بود) را محاسبه می‌کنیم (با پررنگ برجسته می‌شوند) و m=9 به دست می‌آید.

احتمال رویداد P(A)=m/n=9/36=0.25 را بیابید مشکل 8

راه حل . تاس ها دو بار پرتاب می شوند. احتمال اینکه بزرگتر از دو عدد ترسیم شده 5 باشد را بیابید. پاسخ خود را به نزدیکترین هزار گرد کنید.

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

. ما تمام نتایج ممکن پرتاب دو تاس را در جدول ارائه می دهیم:
از جدول می بینیم که تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=6*6=36 است.
نتایج مطلوب رویداد A = (بزرگترین عدد از دو عدد ترسیم شده 5 است) را محاسبه می کنیم (با پررنگ مشخص شده اند) و m=8 را بدست می آوریم.

احتمال رخداد را پیدا کنید P(A)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222 . تاس ها دو بار پرتاب می شوند. احتمال اینکه عددی کمتر از 4 حداقل یک بار رول شود را پیدا کنید.

راه حل . ما تمام نتایج ممکن پرتاب دو تاس را در جدول ارائه می دهیم:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

از جدول می بینیم که تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=6*6=36 است.
عبارت "حداقل یک بار یک عدد کمتر از 4 آمده است" به معنای "عددی کمتر از 4 یک یا دو بار آمده است"، سپس تعداد نتایج مطلوب رویداد A = (حداقل یک بار عدد کمتر از 4 آمده است. ) (با پررنگ مشخص شده اند) m=27.
احتمال رویداد P(A)=m/n=27/36=0.75 را بیابید

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن پرتاب می شود...

به عنوان پیشگفتار.
همه می دانند که یک سکه دو روی دارد - سر و دم.
سکه شناسان بر این باورند که سکه دارای سه روی است - روی، عقب و لبه.
هم در میان آن ها و هم در میان دیگران، افراد کمی می دانند که سکه متقارن چیست. اما کسانی که برای شرکت در آزمون یکپارچه دولتی آماده می شوند این را می دانند (خوب، یا باید بدانند:).

به طور کلی، این مقاله در مورد یک سکه غیر معمول صحبت خواهد کرد که هیچ ارتباطی با سکه شناسی ندارد، اما در عین حال محبوب ترین سکه در بین دانش آموزان مدرسه است.

بنابراین.
سکه متقارن- این یک سکه خیالی از نظر ریاضی ایده آل بدون اندازه، وزن، قطر و غیره است. در نتیجه، چنین سکه ای لبه ندارد، یعنی واقعاً فقط دو روی دارد. خاصیت اصلی یک سکه متقارن این است که در چنین شرایطی احتمال ظاهر شدن سر یا دم کاملاً یکسان است. و آنها یک سکه متقارن برای انجام آزمایش های فکری ابداع کردند.
رایج ترین مسئله ی متقارن این است: «در یک آزمایش تصادفی، یک سکه ی متقارن دو بار پرتاب می شود (سه بار، چهار بار، و غیره).

حل مسئله با یک سکه متقارن

واضح است که در نتیجه پرتاب، سکه روی سر و یا دم فرو خواهد رفت. چند بار بستگی به تعداد پرتاب دارد. احتمال به دست آوردن سر یا دم با تقسیم تعداد نتایجی که شرایط را برآورده می کند بر تعداد کل نتایج ممکن محاسبه می شود.

یک پرتاب

اینجا همه چیز ساده است. یا سر خواهد بود یا دم. آن ها ما دو نتیجه ممکن داریم، یکی از آنها ما را راضی می کند - 1/2 = 50٪

دو پرتاب

در دو پرتاب می توانید بدست آورید:
دو عقاب
دو سر
سر و سپس دم
دم، سپس سر
آن ها تنها چهار گزینه ممکن وجود دارد. مشکلات بیش از یک رول با تهیه جدولی از گزینه های ممکن به راحتی حل می شود. برای سادگی، اجازه دهید سرها را با "0" و دم ها را با "1" نشان دهیم. سپس جدول نتایج ممکن به صورت زیر خواهد بود:
00
01
10
11
برای مثال، اگر نیاز دارید که احتمال یک بار ظاهر شدن سرها را پیدا کنید، فقط باید تعداد گزینه های مناسب در جدول را بشمارید - یعنی. آن خطوطی که عقاب یک بار ظاهر می شود. این دو خط وجود دارد. این بدان معنی است که احتمال بدست آوردن یک سر در دو پرتاب یک سکه متقارن 2/4 = 50٪ است.
احتمال اینکه سرها دو بار در دو پرتاب ظاهر شوند 1/4=25% است.

سه رُسکا

بیایید یک جدول از گزینه ها ایجاد کنیم:
000
001
010
011
100
101
110
111
کسانی که با حساب دیفرانسیل و انتگرال آشنا هستند می دانند که ما به چه چیزی رسیده ایم. :) بله، این ارقام باینری از "0" تا "7" هستند. این باعث می شود که راحت تر با گزینه ها اشتباه نگیرید.
بیایید مشکل پاراگراف قبلی را حل کنیم - احتمال یک بار ظاهر شدن سرها را محاسبه کنید. سه خط وجود دارد که "0" یک بار ظاهر می شود. این بدان معنی است که احتمال بدست آوردن یک سر در سه پرتاب یک سکه متقارن 3/8 = 37.5٪ است.
احتمال اینکه سرها دو بار در سه پرتاب ظاهر شوند 3/8 = 37.5٪ است. کاملا همینطور
احتمال اینکه سرها سه بار در سه پرتاب ظاهر شوند، 1/8 = 12.5٪ است.

چهار پرتاب

بیایید یک جدول از گزینه ها ایجاد کنیم:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
احتمال اینکه سرها یک بار ظاهر شوند. فقط سه خط وجود دارد که "0" یک بار ظاهر می شود، درست مانند مورد سه پرتاب. اما در حال حاضر شانزده گزینه وجود دارد. این بدان معنی است که احتمال بدست آوردن یک سر در چهار پرتاب یک سکه متقارن 16/3 = 18.75٪ است.
احتمال اینکه سرها دو بار در سه پرتاب ظاهر شوند 6/8 = 75٪ است.
احتمال اینکه سرها سه بار در سه پرتاب ظاهر شوند 4/8 = 50٪ است.

بنابراین، با افزایش تعداد پرتاب ها، اصل حل مشکل به هیچ وجه تغییر نمی کند - فقط، در یک پیشرفت متناظر، تعداد گزینه ها افزایش می یابد.

در مسائل مربوط به تئوری احتمالات که در آزمون یکپارچه دولتی شماره 4 ارائه شده است، علاوه بر این، در پرتاب سکه و پرتاب تاس نیز مشکلاتی وجود دارد. ما امروز به آنها نگاه خواهیم کرد.

مشکلات پرتاب سکه

وظیفه 1.یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه سرها دقیقاً یک بار ظاهر شوند را پیدا کنید.

در چنین مسائلی، نوشتن تمام نتایج ممکن، نوشتن آنها با استفاده از حروف P (دم) و O (سر) راحت است. بنابراین، نتیجه OP به این معنی است که در پرتاب اول سرها بالا آمد و در پرتاب دوم از دم بالا آمد. در مسئله مورد بررسی، 4 نتیجه ممکن وجود دارد: RR، RO، OR، OO. رویداد "دم دقیقا یک بار ظاهر می شود" توسط 2 نتیجه مورد علاقه است: RO و OP. احتمال مورد نیاز برابر است با .

پاسخ: 0.5.

وظیفه 2.یک سکه متقارن سه بار پرتاب می شود.

در مجموع 8 نتیجه ممکن وجود دارد: RRR، RRO، ROR، ROO، ORR، ORO، OOR، OOO. رویداد "سرها دقیقاً دو بار ظاهر می شوند" توسط 3 نتیجه مورد علاقه است: ROO، ORO، OOR. احتمال مورد نیاز برابر است با .

پاسخ: 0.375.

وظیفه 3.قبل از شروع مسابقه فوتبال، داور یک سکه می زند تا مشخص کند کدام تیم با توپ شروع می کند. تیم زمرد سه مسابقه با تیم های مختلف انجام می دهد. این احتمال را پیدا کنید که در این بازی ها "زمرد" دقیقاً یک بار برنده شود.

این کار مشابه کار قبلی است. اجازه دهید هر بار سر فرود به معنای برنده شدن در لات با "زمرد" باشد (این فرض بر محاسبه احتمالات تأثیر نمی گذارد). سپس 8 نتیجه ممکن است: RRR، RRO، ROR، ROO، ORR، ORO، OOR، OOO. رویداد "دم دقیقا یک بار ظاهر می شود" توسط 3 نتیجه مورد علاقه است: ROO، ORO، OOR. احتمال مورد نیاز برابر است با .

پاسخ: 0.375.

احتمال رویداد P(A)=m/n=3/8=0.375 را بیابید. یک سکه متقارن سه بار پرتاب می شود. احتمال رخ دادن نتیجه ROO را بیابید (اولین بار که سرها را فرود می‌آورد، بار دوم و سوم که سرها فرود می‌آید).

مانند وظایف قبلی، 8 نتیجه وجود دارد: RRR، RRO، ROR، ROO، ORR، ORO، OOR، OOO. احتمال وقوع نتیجه ROO برابر است با .

پاسخ: 0.125.

مشکلات پرتاب تاس

وظیفه 5.تاس ها دو بار پرتاب می شوند. چه تعداد از نتایج ابتدایی آزمایش به نفع رویداد "مجموع امتیازها 8 است" است؟

مشکل 6. دو تاس به طور همزمان پرتاب می شود. احتمال اینکه مجموع 4 امتیاز باشد را پیدا کنید. نتیجه را به نزدیکترین صدم گرد کنید.

به طور کلی، اگر تاس پرتاب شود، نتایج به همان اندازه ممکن است. اگر همان قالب چندین بار پشت سر هم بغلتد، همان تعداد نتیجه حاصل می شود.

رویداد "تعداد کل 4 است" با پیامدهای زیر مورد علاقه است: 1 - 3، 2 - 2، 3 - 1. تعداد آنها 3 است. احتمال مورد نیاز است.

برای محاسبه مقدار تقریبی یک کسری، استفاده از تقسیم زاویه راحت است. بنابراین، تقریباً برابر با 0.083...، گرد شده به نزدیکترین صدم، 0.08 داریم.

پاسخ: 0.08

احتمال رویداد Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667. سه تاس به طور همزمان پرتاب می شود. احتمال اینکه مجموع 5 امتیاز باشد را پیدا کنید. نتیجه را به نزدیکترین صدم گرد کنید.

نتیجه سه عدد در نظر گرفته می شود: امتیازهایی که روی تاس اول، دوم و سوم ریخته می شوند. همه نتایج به یک اندازه ممکن وجود دارد. نتایج زیر برای رویداد "مجموع 5" مطلوب است: 1–1–3، 1–3–1، 3–1–1، 1–2–2، 2–1–2، 2–2–1. تعداد آنها 6 است. احتمال مورد نیاز . برای محاسبه مقدار تقریبی یک کسری، استفاده از تقسیم زاویه راحت است. تقریباً 0.027 ... می گیریم، با گرد کردن به صدم، 0.03 داریم. منبع "آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی. ریاضیات. نظریه احتمال». ویرایش شده توسط F.F. لیسنکو، اس.یو. کولابوخوا

فرمول مسئله:در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که سرها (دم ها) حتی یک بار ظاهر نمی شوند (دقیقا / حداقل 1، 2 بار ظاهر می شوند).

مشکل بخشی از آزمون دولتی واحد در ریاضیات سطح پایه برای کلاس 11 زیر شماره 10 (تعریف کلاسیک احتمال) است.

بیایید ببینیم که چگونه چنین مشکلاتی با استفاده از مثال ها حل می شوند.

کار مثال 1:

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که سرها حتی یک بار هم بالا نخواهند آمد.

OO یا RO RR

در مجموع 4 ترکیب از این دست وجود دارد. تنها یک چنین ترکیبی (PP) وجود دارد.

P = 1/4 = 0.25

پاسخ: 0.25

کار مثال 2:

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. احتمال به دست آوردن سر را دقیقاً دو بار پیدا کنید.

بیایید تمام ترکیبات احتمالی را که ممکن است در صورت دوبار پرتاب کردن یک سکه رخ دهد، در نظر بگیریم. برای راحتی، سرها را با حرف O و دم ها را با حرف P نشان می دهیم:

OO یا RO RR

در کل 4 چنین ترکیبی وجود دارد که ما فقط به مواردی علاقه مند هستیم که در آنها سرها دقیقاً 2 بار ظاهر می شوند. تنها یک چنین ترکیبی (OO) وجود دارد.

P = 1/4 = 0.25

پاسخ: 0.25

کار مثال 3:

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه سرها دقیقاً یک بار بالا بیایند را پیدا کنید.

OO یا RO RR

در مجموع 4 ترکیب از این دست وجود دارد. تنها دو چنین ترکیبی وجود دارد (OR و RO).

پاسخ: 0.5

کار مثال 4:

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه سرها حداقل یک بار ظاهر شوند را پیدا کنید.

OO یا RO RR

در مجموع 4 ترکیب وجود دارد که ما فقط به آنهایی علاقه مند هستیم که حداقل یک بار در آنها ظاهر می شود. تنها سه ترکیب از این قبیل (OO، OP و RO) وجود دارد.

P = 3/4 = 0.75