Slagalica s brojevima od 1 do 9. Kako riješiti čarobne kvadrate? Koja su rješenja?

Postoje različite tehnike za konstruiranje kvadrata jednostrukog i dvostrukog pariteta.

Kako riješiti čarobne kvadrate?

Zagonetka poput Sudokua obično se naziva magični kvadrat. Ovo je kvadrat čije su ćelije ispunjene brojevima tako da je zbroj na kraju bilo kojeg retka, stupca i dijagonale isti. U zagonetkama s čarobnim kvadratima neki brojevi nedostaju i trebate ih posložiti na takav način da zadovolje gore opisani uvjet jednakog zbroja. Kako riješiti čarobne kvadrate?

Metode rješavanja magičnih kvadrata

Da bi rješenje magičnih kvadrata bilo točno, potrebno je znati koji magični zbroj treba dobiti zbrajanjem brojeva u recima, stupcima i dijagonalama. Nakon toga postavljanje brojeva koji nedostaju postaje puno lakše. Kako pronaći ovaj iznos?

Metoda 1

Najjednostavnija verzija čarobnog kvadrata je kada je jedan od redaka, jedan od stupaca ili jedna od dijagonala potpuno ispunjena brojevima. U ovom slučaju preostaje samo izračunati zbroj tih brojeva i odabrati rješenja.

Metoda 2

Zbroj brojeva na krajevima redaka, stupaca i dijagonala može se izračunati pomoću posebnih formula. U tom će se slučaju formula za kvadrate s parnim brojem ćelija u jednom retku razlikovati od kvadrata s neparnim brojem ćelija.

Dakle, za parne kvadrate prikladna je sljedeća formula:

• n + ((n+1) * n * (n-1) / 2) , gdje je n broj ćelija u jednom retku.

Za neparne kvadrate formula je:

• n * (n 2 +1) / 2, gdje je n također broj ćelija u jednom retku.

Primjer rješenja

Razmotrimo rješenja magičnog kvadrata od devet ćelija s brojevima od 1 do 9. Prvo izračunajmo zbroj koji treba dobiti na krajevima. Imamo 3 ćelije u jednom retku, odnosno n = 3. Zamijenite vrijednost u formulu:

• 3 * (3 2 +1) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15

Sada odabiremo brojeve tako da zbroj bude 15.

Dalje, algoritam će zahtijevati malo prostorne mašte. Stavite broj 1 u sredinu gornje linije. Svaki sljedeći broj postavljamo s desne strane dijagonalno prema gore. Pokušavamo staviti 2. Ali tamo nema ćelija, ako zamijenimo drugi identični zamišljeni kvadrat iznad našeg kvadrata, tada će se broj 2 pojaviti u donjem desnom kutu ovog
novi trg. Prebacujemo ga na naš kvadrat i postavljamo u donji desni kut. Također smo stavili broj 3 s desne strane dijagonalno prema gore - i opet tamo nema ćelije, pomoću zamišljenog kvadrata saznajemo da je njegovo mjesto u sredini lijevog stupca. Broj 4 stavljamo po istom principu, ali ovu ćeliju zauzima jedan - u ovom slučaju stavljamo ga direktno ispod broja 3. Broj 5 dijagonalno gore i desno od 4 je u samom središtu, a broj 6 je u gornjem desnom uglu. Broj 7 je uz pomoć mašte trebao završiti u donjem lijevom kutu. Ali tamo već postoji 4, pa ga stavljamo izravno ispod broja 6. Broj 8 pojavljuje se uz pomoć zamišljenog kvadrata u gornjem lijevom kutu, a broj 9 u preostaloj ćeliji u sredini desnog stupca . Opći algoritam je sljedeći: stavite sljedeći broj gore desno dijagonalno, ako nema mjesta, upotrijebite zamišljeni kvadrat, a ako je ćelija zauzeta, stavite broj neposredno ispod prethodnog.

Volim igre u kojima morate razmišljati. Stoga se naša serija članaka o "top 10" glatko ulijeva u zagonetke. Danas ću govoriti o deset zagonetki s brojevima. Kad sam požurio sastaviti ovu ocjenu, suočio sam se s problemom pronalaska deset dobrih igara, unatoč činjenici da u App Storeu postoji gomila digitalnih zagonetki! Loša stvar je što ima puno klonova, ponavljanja i nekvalitetnih craftova... Ali kada je sastavljen vrh, shvatio sam da će svatko pronaći nešto novo u njemu! Čak sam i ja upoznao tri sjajne igre. Ići!

Trojke!

Na igralištu su brojevi. Igrač može pomicati sve brojeve u bilo kojem od 4 smjera. Štoviše, ako je kretanje bilo kojeg retka ili stupca ometeno zidom i postoje:

a) identični brojevi veći ili jednaki 3
b) 1 i 2

zatim se zbrajaju i umjesto dva broja pojavljuje se treći – zbroj. Cilj je osvojiti što više bodova. Igra je beskonačna, ali je vrlo teško postići puno poena.

Nakon izlaska Trojke! App Store je bio preplavljen klonovima pod imenom “2048”.

Shikaku

Jednostavna i ne-pop zagonetka kreatora Sudokua. Cilj ove igre je podijeliti polje s brojevima na pravokutnike tako da površina pravokutnika bude jednaka broju unutar njega. Postoji samo jedna implementacija ove igre za iPad.

Numtris: Igra logike i brojeva

Ovo je originalna avanturistička igra. Tetris s brojevima. Brojevi padaju odozgo i trebate ih skupljati po principu trojki (1 i 2 daju 3) ili ih uklanjati skupljanjem nekoliko identičnih (na primjer, četiri identične četvorke). Numtris ima punu kampanju s mnogo misija. Misije su raznolike: od izdržanja 40 sekundi do ubijanja čudovišta... Možete se natjecati s prijateljima i online i na istom iPadu.

Igra je vrlo elegantna s lijepom grafikom. Preporučam da ga isprobate jer je besplatan.

Preuzmite Numtris besplatno (dostupne su kupnje putem aplikacije)

GREG — Matematička zagonetka

Zanimljiva igra za brzinu i mogućnost brzog zbrajanja brojeva. Brojevi su u polju 4x4. Potrebno je ukucati zbroj tih brojeva tako da dobijete broj u kružiću na vrhu. Čim se broj prikupi, on se mijenja i trebate ponovno odabrati brojeve. Što manje koristite neke brojeve na terenu, oni se više zagrijavaju... Nakon 5 takvih “grijanja” igra može završiti. Resetiranje se događa nakon svake razine. Na kraju vas igra nagrađuje nekom titulom. Možete li nokautirati "Math Genius"?

Postoji nezamislivo mnogo matematičkih zagonetki. Svaki od njih jedinstven je na svoj način, ali njihova je ljepota u tome što za njegovo rješavanje neizostavno treba doći do formula. Naravno, možete ih pokušati riješiti, kako kažu, ali to će biti vrlo dugo i praktički neuspješno.

Ovaj članak će govoriti o jednoj od tih zagonetki, točnije o čarobnom kvadratu. Detaljno ćemo pogledati kako riješiti čarobni kvadrat. 3. razred općeobrazovnog programa, naravno, to prolazi, ali možda nisu svi razumjeli ili se uopće ne sjećaju.

Kakva je to misterija?

Ili, kako se još naziva, magija, je tablica u kojoj je broj stupaca i redaka isti, a svi su ispunjeni različitim brojevima. Glavni zadatak je da se ti brojevi zbroje okomito, vodoravno i dijagonalno na istu vrijednost.

Osim magičnog kvadrata, postoji i polumagični kvadrat. To implicira da je zbroj brojeva isti samo okomito i vodoravno. Čarobni kvadrat je "normalan" samo ako je korišten za njegovo popunjavanje.

Postoji i nešto poput simetričnog magičnog kvadrata - to je kada je vrijednost zbroja dviju znamenki jednaka, dok se one nalaze simetrično u odnosu na središte.

Također je važno znati da kvadrati mogu biti bilo koje veličine osim 2 puta 2. Kvadrat 1 puta 1 također se smatra čarobnim, jer su ispunjeni svi uvjeti, iako se sastoji od jednog broja.

Dakle, upoznali smo se s definicijom, sada razgovarajmo o tome kako riješiti čarobni kvadrat. Školski plan i program za 3. razred vjerojatno neće sve objasniti tako detaljno kao ovaj članak.

Koja su rješenja?

Oni koji znaju riješiti čarobni kvadrat (3. razred zna sigurno) odmah će reći da postoje samo tri rješenja, a svako od njih je prikladno za različite kvadrate, ali ipak se ne može zanemariti četvrto rješenje, naime "nasumično ”. Uostalom, donekle postoji mogućnost da će neupućena osoba ipak uspjeti riješiti ovaj problem. Ali ovu ćemo metodu baciti u dugu kutiju i prijeći izravno na formule i metode.

Prvi način. Kad je kvadrat neparan

Ova je metoda prikladna samo za rješavanje kvadrata koji ima neparan broj ćelija, na primjer, 3 puta 3 ili 5 puta 5.

Dakle, u svakom slučaju, u početku je potrebno pronaći magičnu konstantu. To je broj koji se dobije zbrajanjem brojeva dijagonalno, okomito i vodoravno. Izračunava se pomoću formule:

U ovom primjeru razmotrit ćemo kvadrat tri puta tri, pa će formula izgledati ovako (n je broj stupaca):

Dakle, imamo kvadrat ispred sebe. Prvo što trebate učiniti je unijeti broj jedan u središte prvog retka od vrha. Svi sljedeći brojevi moraju biti postavljeni jedan kvadrat udesno dijagonalno.

Ali ovdje se odmah postavlja pitanje: kako riješiti čarobni kvadrat? Treći razred vjerojatno neće koristiti ovu metodu, a većina će imati problem, kako to učiniti na ovaj način ako ova ćelija ne postoji? Da biste sve učinili ispravno, trebate uključiti svoju maštu i nacrtati sličan čarobni kvadrat na vrhu i ispostavit će se da će broj 2 biti u njemu u donjoj desnoj ćeliji. To znači da u našem kvadratu upisujemo ta dva na isto mjesto. To znači da moramo unijeti brojeve tako da njihov zbroj bude 15.

Sljedeći brojevi se unose na potpuno isti način. Odnosno, 3 će biti u središtu prvog stupca. Ali neće biti moguće unijeti 4 koristeći ovaj princip, jer već postoji jedinica na svom mjestu. U ovom slučaju stavite broj 4 ispod 3 i nastavite. 5 je u središtu kvadrata, 6 je u gornjem desnom kutu, 7 je ispod 6, 8 je u gornjem lijevom kutu, a 9 je u sredini donje linije.

Sada znate kako riješiti čarobni kvadrat. Prošao sam Demidov 3. razred, ali ovaj autor je imao malo jednostavnije zadatke, međutim, poznavajući ovu metodu, moći ćete riješiti svaki sličan problem. Ali ovo je ako je broj stupaca neparan. Ali što da radimo ako, na primjer, imamo kvadrat 4x4? Više o tome dalje u tekstu.

Drugi način. Za dvostruki paritetni kvadrat

Kvadrat dvostrukog pariteta je onaj čiji se broj stupaca može podijeliti i s 2 i s 4. Sada ćemo razmotriti kvadrat 4 puta 4.

Dakle, kako riješiti čarobni kvadrat (3. razred, Demidov, Kozlov, Tonkikh - zadatak u udžbeniku matematike) kada je broj njegovih stupaca 4? Vrlo je jednostavno. Lakše od prethodnog primjera.

Prije svega, nalazimo magičnu konstantu pomoću iste formule koja je dana prošli put. U ovom primjeru broj je 34. Sada moramo rasporediti brojeve tako da zbroj okomito, vodoravno i dijagonalno bude isti.

Prije svega, morate obojiti neke ćelije, možete to učiniti olovkom ili u svojoj mašti. Obojimo sve kutove, odnosno gornju lijevu ćeliju i gornju desnu, donju lijevu i donju desnu. Ako bi kvadrat bio 8 puta 8, tada ne trebate bojati jedan kvadrat u kutu, već četiri, dimenzija 2 puta 2.

Sada trebate obojiti središte ovog kvadrata, tako da njegovi uglovi dodiruju uglove već zasjenjenih ćelija. U ovom primjeru dobit ćemo kvadrat 2 puta 2 u središtu.

Počnimo ga ispunjavati. Popunjavat ćemo s lijeva na desno, redoslijedom kojim se ćelije nalaze, samo ćemo vrijednost unijeti u osjenčane ćelije. Ispada da upisujemo 1 u gornji lijevi kut, 4 u desni kut, zatim popunjavamo središnji s 6, 7 i zatim 10, 11. Donji lijevi 13 i 16 u desnom punjenja je jasno.

Preostale ćelije ispunjavamo na isti način, samo silaznim redoslijedom. Odnosno, budući da je posljednji upisani broj bio 16, onda na vrhu kvadrata pišemo 15. Slijedi 14. Zatim 12, 9 i tako dalje, kao što je prikazano na slici.

Sada znate drugi način rješavanja čarobnog kvadrata. Učenici 3. razreda će se složiti da je dvostruki paritetni kvadrat puno lakše riješiti od ostalih. Pa, prelazimo na posljednju metodu.

Treći način. Za kvadrat jednostrukog pariteta

Kvadrat jednostruke parnosti je kvadrat čiji se broj stupaca može podijeliti s dva, ali ne i s četiri. U ovom slučaju to je kvadrat 6 puta 6.

Dakle, izračunajmo magičnu konstantu. Jednako je 111.

Sada trebamo vizualno podijeliti naš kvadrat na četiri različita kvadrata 3 puta 3. Dobit ćete četiri mala kvadrata dimenzija 3 puta 3 u jedan veliki 6 puta 6. Nazovimo gornji lijevi A, donji desni - B, gornji. desni - C i donji lijevi - D.

Sada trebate riješiti svaki mali kvadrat koristeći prvu metodu danu u ovom članku. Ispada da će u kvadratu A biti brojevi od 1 do 9, u B - od 10 do 18, u C - od 19 do 27 i D - od 28 do 36.

Nakon što ste riješili sva četiri kvadrata, kreće se s radom na A i D. U kvadratu A potrebno je vizualno ili olovkom istaknuti tri ćelije, i to: gornju lijevu, središnju i donju lijevu. Ispostavilo se da su označeni brojevi 8, 5 i 4. Na isti način trebate odabrati kvadratić D (35, 33, 31). Sve što preostaje je promijeniti odabrane brojeve iz polja D u polje A.

Sada znate posljednji način rješavanja čarobnog kvadrata. 3. razred najviše ne voli kvadrat jednostrukog pariteta. I to ne čudi, od svih predstavljenih je najsloženiji.

Zaključak

Nakon čitanja ovog članka, naučili ste kako riješiti čarobni kvadrat. Treći razred (Moro je autor udžbenika) nudi slične probleme sa samo nekoliko popunjenih polja. Nema smisla razmatrati njegove primjere, jer poznavajući sve tri metode, lako možete riješiti sve predložene probleme.

Malo je tko volio matematiku u djetinjstvu, ali matematičke zagonetke na internetu uvijek postaju hit, jer njihovo rješavanje najčešće ne zahtijeva dublje znanje, već domišljatost i inovativno razmišljanje. Pozivamo vas da se testirate na pet glavnih logičkih zagonetki ove godine.

Zadatak br. 1

Kumar Ankit pozvao je korisnike Facebooka da izbroje koliko je trokuta prikazano na njegovom crtežu. Gotovo nitko od korisnika nije se snašao u naizgled jednostavnom zadatku brojanja brojki. Mnogi su blizu točnog odgovora, ali većini nedostaje malo pažnje.

Odgovor:

Unutar velikog trokuta nalaze se 24 trokuta, nije teško izbrojati, ali većina korisnika nije obratila pozornost na još jedan trokut skriven u potpisu autora. Dakle, na slici je ukupno 25 trokuta.

Zadatak br. 2

Neobičan problem s dva rješenja ponudili su korisnicima interneta tvorci stranice gotumble.com. Prema njima, jedno rješenje zagonetke je jednostavnije, oko 10% ljudi ga može pronaći, ali samo jedna osoba od tisuću može doći do drugog rješenja. Pokušajte sami.

Odgovor:

Prvo rješenje sastoji se od dodavanja svakom sljedećem primjeru rezultata prethodnog. Dakle, dodavanjem 5 zbroju 2 i 5, dobivamo 12. Dodavanjem 12 zbroju 3 i 6, dobivamo 21. I tako dalje. U ovom slučaju točan odgovor na zagonetku bit će 40.

I ovdje drugo rješenje, koji razumije samo jedna osoba od tisuću, sastoji se od zbrajanja prve znamenke primjera s umnoškom dviju znamenki:

2 + 2*5 = 12, 3 + 3*6 = 21, 8 + 8*11 = 96.

Zadatak br. 3

Imamo trokut koji se sastoji od četiri dijela, ali ako presložimo dijelove, on se pojavljuje kao prazan kvadrat. Kako to može biti?

Odgovor:

Ovo uopće nije optička varka. Sve je u različitim kutovima nagiba hipotenuze crvenog i tirkiznog trokuta - otuda i različite veličine figura.

Zadatak br. 4

Kolumnist Guardiana Alex Bellos pozvao je čitatelje da riješe zadatak koji je u nekim zemljama dio završnog ispita iz matematike. Prema statistikama, samo jedna osoba od 10 to riješi.

Imamo cilindar oko kojeg je četiri puta simetrično omotana nit. Opseg valjka je 4 cm, a duljina mu je 12 cm. Treba pronaći duljinu niti.

Odgovor:

Zadatak se većini školaraca čini previše kompliciranim, ali zapravo samo trebate shvatiti da okretanjem cilindra na ravninu dobivamo običan pravokutnik sa stranicama 4 i 12 cm, koji se može podijeliti na četiri manja pravokutnika sa stranicama. 4 i 3 cm. U ovom slučaju, to će biti hipotenuza pravokutnog trokuta i njegova duljina u svakoj od četiri figure može se izračunati pomoću jednostavne školske formule, kao rezultat ukupna duljina konca je 20 centimetara.

Problem #5

I za kraj, najnovija matematička mozgalica koja je digla u zrak društvene mreže. Prema autoru posta, on prikazuje zagonetku koja se daje kao bonus pitanje studentima u Singapuru. Sastavljači zagonetke predlažu proučavanje niza brojeva i popunjavanje četiri prazna prozora brojevima koji nedostaju.

Odgovor:

Netizeni su dugo razmišljali o ovom problemu, ali čak ni ozbiljni matematičari nisu se mogli nositi s njim. A Ministarstvo obrazovanja Singapura odreklo se ovog zadatka, rekavši da nema nikakve veze s tim. Dakle, najvjerojatnije je zagonetka bila samo nečija okrutna šala.