Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét megdupláznak. Problémák a valószínűségelméletben. Kombinált felsorolási módszer

Feladat megfogalmazása: Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a fejek (farok) még egyszer sem esnek ki (pontosan / legalább 1, 2-szer esik ki).

A feladat a 11. évfolyam matematika alapszintű HASZNÁLATA 10. számában szerepel (A valószínűség klasszikus meghatározása).

Nézzük meg, hogyan oldják meg az ilyen problémákat példákkal.

1. feladat példa:

Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Keresse meg annak valószínűségét, hogy a fejek soha nem jönnek fel.

OO VAGY RO RR

Összesen 4 ilyen kombináció van.Minket csak azok érdekelnek, amelyekben egy sas sincs. Csak egy ilyen kombináció (PP) létezik.

P = 1/4 = 0,25

Válasz: 0,25

2. feladat példa:

Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy pontosan kétszer jön fel.

Vegye figyelembe az összes lehetséges kombinációt, amely kieshet, ha kétszer feldobja az érmét. A kényelem kedvéért a sast O betűvel, a farkokat pedig P betűvel jelöljük:

OO VAGY RO RR

Összesen 4 ilyen kombináció van, csak azok a kombinációk érdekelnek, amelyekben a fejek pontosan 2-szer jelennek meg. Csak egy ilyen kombináció létezik (OO).

P = 1/4 = 0,25

Válasz: 0,25

Példa a 3. feladatra:

Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy pontosan egyszer jön fel.

Vegye figyelembe az összes lehetséges kombinációt, amely kieshet, ha kétszer feldobja az érmét. A kényelem kedvéért a sast O betűvel, a farkokat pedig P betűvel jelöljük:

OO VAGY RO RR

Összesen 4 ilyen kombináció van.Minket csak azok érdekelnek, amelyekben pontosan 1 alkalommal esett ki a fej. Csak két ilyen kombináció létezik (OP és RO).

Válasz: 0,5

4. feladat példa:

Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a fejek legalább egyszer felbukkannak.

Vegye figyelembe az összes lehetséges kombinációt, amely kieshet, ha kétszer feldobja az érmét. A kényelem kedvéért a sast O betűvel, a farkokat pedig P betűvel jelöljük:

OO VAGY RO RR

Összesen 4 ilyen kombináció van.. Minket csak azok a kombinációk érdekelnek, amelyeknél legalább egyszer kiesik a fej. Csak három ilyen kombináció létezik (OO, OR és RO).

P = 3/4 = 0,75

Egy véletlenszerű kísérlet során egy szimmetrikus érmét dobnak fel...

Előszóként.
Mindenki tudja, hogy az éremnek két oldala van - feje és farka.
A numizmatikusok úgy vélik, hogy az érmének három oldala van: előlapja, hátlapja és éle.
És ezek közül, és többek között, kevesen tudják, mi az a szimmetrikus érme. De ők tudnak róla (jó, vagy tudniuk kellene :), akik vizsgázni készülnek.

Általánosságban ez a cikk erre összpontosít szokatlan érme, amelynek semmi köze a numizmatikához, ugyanakkor a legnépszerűbb érme az iskolások körében.

Így.
Szimmetrikus érme- ez egy képzeletbeli matematikailag ideális érme méret, súly, átmérő stb. nélkül. Ebből következően az ilyen érmének nincs éle is, vagyis tényleg csak két oldala van. A szimmetrikus érme fő tulajdonsága, hogy ilyen körülmények között a fej vagy a farok leesésének valószínűsége pontosan azonos. És kitaláltak egy szimmetrikus érmét a gondolatkísérletekhez.
A szimmetrikus érmével kapcsolatos legnépszerűbb probléma így hangzik: "Véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer (háromszor, négyszer stb.) dobnak fel. Meg kell határozni annak valószínűségét, hogy az egyik oldala kiesik. bizonyos számú alkalommal.

A feladat megoldása szimmetrikus érmével

Nyilvánvaló, hogy a feldobás következtében az érme vagy fejet, vagy farkát fog esni. Hányszor - attól függ, hány dobást kell végrehajtani. A fejek vagy farok megszerzésének valószínűségét úgy számítjuk ki, hogy a feltételt kielégítő eredmények számát elosztjuk a lehetséges kimenetelek számával.

Egy dobás

Itt minden egyszerű. Vagy fej vagy farok jön fel. Azok. két lehetséges kimenetelünk van, amelyek közül az egyik kielégít bennünket - 1/2=50%

Két dobás

Két dobásra eshet:
két sas
két farok
fejek, majd farok
farok, majd fejek
Azok. csak négy lehetőség lehetséges. Az egynél több dobással kapcsolatos problémákat a legkönnyebben úgy lehet megoldani, ha elkészíti a lehetséges opciókat tartalmazó táblázatot. Az egyszerűség kedvéért jelöljük a fejeket "0"-val, a farkat pedig "1-gyel". Ekkor a lehetséges eredmények táblázata így fog kinézni:
00
01
10
11
Ha például meg kell találnia annak valószínűségét, hogy egyszer fejek hullanak, akkor csak meg kell számolni a megfelelő lehetőségek számát a táblázatban - pl. azokat a sorokat, ahol a sas egyszer előfordul. Két ilyen sor van. Tehát annak a valószínűsége, hogy egy szimmetrikus érme két feldobásakor egy fej lesz, 2/4=50%
1/4=25% annak a valószínűsége, hogy két dobás alatt kétszer kapunk fejet

Három rózsa

Készítünk egy táblázatot a lehetőségekről:
000
001
010
011
100
101
110
111
Aki ismeri a bináris számítást, az érti, mire jutottunk. :) Igen, ezek bináris számok "0"-tól "7"-ig. Így könnyebb nem összezavarodni a lehetőségek között.
Oldjuk meg a feladatot az előző bekezdésből - kiszámoljuk annak a valószínűségét, hogy a sas egyszer kiesik. Három olyan sor van, ahol a „0” egyszer fordul elő. Tehát annak a valószínűsége, hogy egy szimmetrikus érme három feldobásakor egy fej lesz, 3/8=37,5%
Annak a valószínűsége, hogy három dobásban fejek kétszer esnek ki, 3/8=37,5%, azaz. teljesen ugyanaz.
Annak a valószínűsége, hogy a fej három dobásnál háromszor esik ki, 1/8 = 12,5%.

Négy dobás

Készítünk egy táblázatot a lehetőségekről:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Annak a valószínűsége, hogy egyszer feljön a fej. Csak három olyan sor van, ahol a „0” egyszer fordul elő, akárcsak három dobás esetén. De már tizenhat lehetőség van. Tehát annak a valószínűsége, hogy egy szimmetrikus érme négy feldobása során egy fej lesz, 3/16=18,75%
Annak a valószínűsége, hogy a sas három dobás alatt kétszer esik ki, 6/8=75%.
4/8=50% ​​annak a valószínűsége, hogy három dobás alatt háromszor jönnek fel a fejek.

Tehát a dobások számának növekedésével a probléma megoldásának elve egyáltalán nem változik - csak megfelelő előrehaladással nő a lehetőségek száma.

A valószínűségszámításban létezik egy olyan problémacsoport, amelynek megoldásához elegendő ismerni a valószínűség klasszikus definícióját és vizualizálni a javasolt helyzetet. Ezek a problémák a legtöbb érmefeldobási és kockafeldobási probléma. Emlékezzünk vissza a valószínűség klasszikus definíciójára.

Az A esemény valószínűsége (egy esemény bekövetkezésének objektív lehetősége számszerűen) egyenlő az esemény szempontjából kedvező kimenetelek számának az összes, egyformán lehetséges összeférhetetlen elemi kimenetelhez viszonyított arányával: P(A)=m/n, hol:

• m azon elemi teszteredmények száma, amelyek kedveznek az A esemény bekövetkezésének;
• n az összes lehetséges elemi teszteredmény száma.

Az összes lehetséges opció (kombináció) számbavételével és közvetlen számítással célszerű meghatározni a lehetséges elemi teszteredmények számát és a vizsgált problémákban a kedvező kimenetelek számát.

A táblázatból azt látjuk, hogy a lehetséges elemi eredmények száma n=4. Az A = esemény kedvező kimenetele (1 alkalommal kiesik a sas) megfelel a kísérlet 2. és 3. lehetőségének, két ilyen m=2 lehetőség van.
Határozza meg a Р(А)=m/n=2/4=0,5 esemény valószínűségét

2. feladat . Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Keresse meg annak valószínűségét, hogy a fejek soha nem fognak feljönni.

Döntés . Mivel az érmét kétszer dobjuk fel, így az 1. feladathoz hasonlóan a lehetséges elemi eredmények száma n=4. Az A = esemény kedvező kimenetele (a sas még egyszer sem esik ki) megfelel a kísérlet 4. változatának (lásd az 1. feladat táblázatát). Csak egy ilyen lehetőség van, tehát m=1.
Határozza meg a Р(А)=m/n=1/4=0,25 esemény valószínűségét

3. feladat . Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét háromszor dobnak fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy pontosan 2-szer jön fel.

Döntés . Lehetséges lehetőségek három érmefeldobás (a fej és a farok összes lehetséges kombinációja) táblázat formájában jelenik meg:

A táblázatból azt látjuk, hogy a lehetséges elemi eredmények száma n=8. Az A = esemény kedvező kimenetele (fejek 2-szer) megfelelnek a kísérlet 5., 6. és 7. lehetőségének. Három ilyen lehetőség van, tehát m=3.
Határozza meg annak az eseménynek a valószínűségét, hogy Р(А)=m/n=3/8=0,375

4. feladat . Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét négyszer dobnak fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy pontosan 3-szor jön fel.

Döntés . A négy érmefeldobás lehetséges változatait (a fej és a farok összes lehetséges kombinációja) táblázat formájában mutatjuk be:

A táblázatból azt látjuk, hogy a lehetséges elemi eredmények száma n=16. Az A = esemény (a sas 3-szor esik ki) kedvező kimenetele megfelel a kísérlet 12., 13., 14. és 15. opcióinak, ami m=4-et jelent.
Határozza meg annak az eseménynek a valószínűségét, hogy Р(А)=m/n=4/16=0,25

Valószínűség meghatározása kockafeladatokban

5. feladat . Határozza meg annak valószínűségét, hogy 3-nál több pont kiesik egy kocka (helyes kocka) dobásakor.

Döntés . Kocka (egy rendes kocka) dobásakor annak hat lapja bármelyike ​​kieshet, pl. bármely elemi esemény bekövetkezéséhez - veszteség 1-től 6 pontig (pont). Tehát a lehetséges elemi eredmények száma n=6.
Az A = esemény (több mint 3 pont esett ki) azt jelenti, hogy 4, 5 vagy 6 pont (pont) esett ki. Tehát a kedvező kimenetelek száma m=3.
Az esemény valószínűsége Р(А)=m/n=3/6=0,5

6. feladat . Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy kockadobáskor a pontok száma nem haladja meg a 4-et. Az eredményt kerekítse a legközelebbi ezredre!

Döntés . Kockadobáskor annak hat lapja bármelyike ​​kieshet, pl. bármely elemi esemény bekövetkezéséhez - veszteség 1-től 6 pontig (pont). Tehát a lehetséges elemi eredmények száma n=6.
Az A = esemény (legfeljebb 4 pont esett ki) azt jelenti, hogy 4, 3, 2 vagy 1 pont (pont) esett ki. Tehát a kedvező kimenetelek száma m=4.
Az esemény valószínűsége Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

7. feladat . Egy kockát kétszer dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét szám kisebb 4-nél.

Döntés . Mivel egy kockát (kockát) kétszer dobunk, a következőképpen vitatkozunk: ha az első kockán egy pont esett, akkor a másodikon 1, 2, 3, 4, 5, 6 eshet ki. Párokat kapunk (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) és így tovább mindegyik arccal. Minden esetet 6 soros és 6 oszlopos táblázat formájában mutatunk be:

Az A = esemény kedvező kimenetele (mindkétszer 4-nél kisebb szám esett ki) (félkövérrel vannak kiemelve) kiszámításra kerül, és m=9-et kapunk.
Határozza meg annak az eseménynek a valószínűségét, hogy Р(А)=m/n=9/36=0,25

8. feladat . Egy kockát kétszer dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a húzott két szám közül a legnagyobb az 5. Válaszát kerekítse a legközelebbi ezredre!

Döntés . Két kockadobás összes lehetséges kimenetele a táblázatban látható:

A táblázatból azt látjuk, hogy a lehetséges elemi eredmények száma n=6*6=36.
Az A = esemény (a kihúzott két szám közül a legnagyobb az 5) esemény kedvező kimeneteleit (félkövérrel kiemelve) kiszámítjuk, és m=8-at kapunk.
Határozza meg annak az eseménynek a valószínűségét, hogy Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

9. feladat . Egy kockát kétszer dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy 4-nél kisebb számot legalább egyszer dobnak.

Döntés . Két kockadobás összes lehetséges kimenetele a táblázatban látható:

A táblázatból azt látjuk, hogy a lehetséges elemi eredmények száma n=6*6=36.
A „legalább egyszer 4-nél kisebb szám kiesett” kifejezés azt jelenti, hogy 4-nél kisebb szám esett ki egyszer vagy kétszer, akkor az esemény kedvező kimeneteleinek száma A = (legalább egyszer 4-nél kisebb szám esett ki ) (félkövérrel vannak szedve) m=27.
Határozza meg annak az eseménynek a valószínűségét, hogy Р(А)=m/n=27/36=0,75

Az Egységes Államvizsga 4. számmal bemutatott valószínűségszámítási feladatokban ezen kívül érmefeldobással és kockadobással kapcsolatos feladatok is szerepelnek. Ma ezeket elemezzük.

Érmefeldobási problémák

1. feladat. Egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy pontosan egyszer jön fel.

Az ilyen problémáknál célszerű az összes lehetséges eredményt leírni, a P (farok) és O (fejek) betűkkel írva. Így az OR kimenetele azt jelenti, hogy az első dobás fejjel, a második pedig farokkal jött fel. A vizsgált problémában 4 kimenetel lehetséges: PP, RO, OR, OO. Előnyben részesítsd a "farok pontosan egyszer jön fel" eseményt, 2 kimenetel: RO és OR. A szükséges valószínűség .

Válasz: 0,5.

2. feladat. Egy szimmetrikus érmét háromszor dobunk fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a fej pontosan kétszer jön fel.

Összesen 8 kimenetel lehetséges: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Előnyben részesítsék a "fejek pontosan kétszer" eseményt 3 kimenetel: ROO, ORO, OOR. A szükséges valószínűség .

Válasz: 0,375.

3. feladat. A kezdet előtt labdarúgó mérkőzés A játékvezető egy érmét dob ​​fel, hogy eldöntse, melyik csapat kezdi a labdával a játékot. Az Smaragd csapat három mérkőzést játszik különböző csapatok. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezekben a játékokban "Smaragd" pontosan egyszer nyer.

Ez a feladat hasonló az előzőhöz. Legyen minden alkalommal, amikor a farok elvesztése azt jelenti, hogy "Smaragd" nyeri meg a tételt (egy ilyen feltételezés nem befolyásolja a valószínűségek kiszámítását). Ekkor 8 kimenetel lehetséges: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. A „farok pontosan egyszer jön fel” eseménynek 3 kimenetele kedvez: POO, ORO, OOP. A szükséges valószínűség .

Válasz: 0,375.

4. feladat. Egy szimmetrikus érmét háromszor kell feldobni. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a ROO kimenetele meg fog jönni (az első alkalommal, amikor feljön a farok, a második és a harmadik - fejek).

Az előző feladatokhoz hasonlóan itt is 8 eredmény van: PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO. A ROO kimenetelének valószínűsége egyenlő.

Válasz: 0,125.

Kockadobási problémák

5. feladat. Dobókocka kétszer dobták. Hány elemi tapasztalati eredmény kedvez a "pontok összege 8" eseménynek?

6. feladat. Két kockát dobnak egyszerre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összeg 4 lesz. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra.

Általánosságban elmondható, hogy ha kockát (kockát) dobnak, akkor ugyanolyan lehetséges kimenetelek vannak. Ugyanannyi eredmény érhető el, ha ugyanazt a kockát egyszer egymás után dobják.

A következő eredmények kedveznek az „összesen 4” eseménynek: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Számuk 3. A kívánt valószínűség .

A tört hozzávetőleges értékének kiszámításához célszerű a sarokkal való osztást használni. Így ez megközelítőleg egyenlő 0,083-mal ... századokra kerekítve, 0,08-at kapunk.

Válasz: 0,08

7. feladat. Három kockát dobnak egyszerre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy összesen 5 pontot kap. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra.

Az eredményt a számok hármasának tekintjük: az első, második és harmadik kockára esett pontokat. Összességében ugyanolyan lehetséges kimenetelek vannak. A következő eredmények kedveznek az „összesen 5” eseménynek: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Számuk 6. A kívánt valószínűség: . A tört hozzávetőleges értékének kiszámításához célszerű a sarokkal való osztást használni. Körülbelül 0,027 ... kapunk, századokra kerekítve, 0,03-at kapunk. Forrás „Felkészülés a vizsgára. Matematika. Valószínűségi elmélet". Szerkesztette: F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov