მატრიცული თამაშები: პრობლემის გადაჭრის მაგალითები. ანტაგონისტური თამაშები უწყვეტი სტრატეგიებით ბ) არა ყოველთვის

შესავალი

რეალური კონფლიქტური სიტუაციები იწვევს სხვადასხვა ტიპის თამაშებს. თამაშები განსხვავდება რამდენიმე გზით: მათში მონაწილე მოთამაშეების რაოდენობით, შესაძლო მოთამაშეების რაოდენობით, შესაძლო სტრატეგიების რაოდენობით, მოთამაშეებს შორის ურთიერთობის ბუნებით, მოგების ბუნებით, ტიპის მიხედვით. მოგების ფუნქციები, სვლების რაოდენობა, მოთამაშეთა ინფორმაციის მიწოდების ხასიათი და ა.შ. დ. მოდით განვიხილოთ თამაშების ტიპები მათი დაყოფის მიხედვით:

· სტრატეგიების რაოდენობის მიხედვით თამაშები იყოფა საბოლოო(თითოეულ მოთამაშეს აქვს შესაძლო სტრატეგიების სასრული რაოდენობა) და გაუთავებელი(სადაც ერთ-ერთ მოთამაშეს მაინც აქვს უსასრულო რაოდენობის შესაძლო სტრატეგია).

· მოგების ხასიათის მიხედვით, თამაშები ნულოვანი ჯამი(მოთამაშეთა ჯამური კაპიტალი არ იცვლება, მაგრამ გადანაწილდება მოთამაშეებს შორის მიღებული შედეგების მიხედვით) და თამაშები არანულოვანი ჯამი.

· ფუნქციების ტიპის მიხედვით, თამაშის მოგება იყოფა მატრიცა (არის სასრული ორმოთამაშიანი ნულოვანი ჯამის თამაში, რომელშიც მოცემულია მოთამაშის ანაზღაურება ამატრიცის სახით (მატრიცის მწკრივი შეესაბამება მოთამაშის გამოყენებული სტრატეგიის რაოდენობას IN, სვეტი – მოთამაშის გამოყენებული სტრატეგიის რაოდენობა IN; მატრიცის მწკრივისა და სვეტის კვეთაზე არის მოთამაშის ანაზღაურება აგამოყენებული სტრატეგიების შესაბამისი.

მატრიცული თამაშებისთვის დადასტურებულია, რომ რომელიმე მათგანს აქვს გამოსავალი და მისი ადვილად პოვნა შესაძლებელია თამაშის ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემამდე გადაყვანით). ბიმატრიცათამაში (ეს არის სასრული თამაში ორი მოთამაშისგან არანულოვანი ჯამით, რომელშიც თითოეული მოთამაშის ანაზღაურება მოცემულია მატრიცებით ცალკე შესაბამისი მოთამაშისთვის (თითოეულ მატრიცაში მწკრივი შეესაბამება მოთამაშის სტრატეგიას ა, სვეტი – მოთამაშის სტრატეგიები IN, პირველ მატრიცაში მწკრივისა და სვეტის კვეთაზე არის მოთამაშის ანაზღაურება ა, მეორე მატრიცაში – მოთამაშის მოგება IN.

მოთამაშის ოპტიმალური ქცევის თეორია ასევე შემუშავებულია ბიმატრიქსული თამაშებისთვის, მაგრამ ასეთი თამაშების ამოხსნა უფრო რთულია, ვიდრე ჩვეულებრივი მატრიცული თამაშები. უწყვეტითამაშები ( უწყვეტიითვლება თამაში, რომელშიც თითოეული მოთამაშის ანაზღაურების ფუნქცია უწყვეტია სტრატეგიებიდან გამომდინარე. დადასტურებულია, რომ ამ კლასის თამაშებს აქვთ გადაწყვეტილებები, მაგრამ მათი პოვნის პრაქტიკულად მისაღები მეთოდები არ არის შემუშავებული) და ა.შ.

ასევე შესაძლებელია სხვა მიდგომები გაყოფის თამაშებისადმი. ახლა პირდაპირ დავუბრუნდეთ კვლევის თემას, კერძოდ თამაშის თეორიას. პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ეს კონცეფცია.

Თამაშის თეორია - მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს კონფლიქტის პირობებში ოპტიმალური გადაწყვეტილებების მიღების ფორმალურ მოდელებს. ამ შემთხვევაში, კონფლიქტი გაგებულია, როგორც ფენომენი, რომელშიც მონაწილეობენ სხვადასხვა მხარეები, დაჯილდოვებულნი არიან სხვადასხვა ინტერესებითა და შესაძლებლობებით, აირჩიონ მათთვის ხელმისაწვდომი მოქმედებები ამ ინტერესების შესაბამისად, კონფლიქტის პირობებში, მტრის სურვილი, დამალოს თავისი მომავალი ქმედებები გაურკვევლობამდე აწევა. პირიქით, გადაწყვეტილების მიღებისას გაურკვევლობა (მაგალითად, არასაკმარისი მონაცემების საფუძველზე) შეიძლება განიმარტოს, როგორც კონფლიქტი გადაწყვეტილების მიმღებ სუბიექტსა და ბუნებას შორის. ამიტომ თამაშის თეორია ასევე განიხილება, როგორც გაურკვევლობის პირობებში ოპტიმალური გადაწყვეტილებების მიღების თეორია. ის საშუალებას გაძლევთ სისტემატიზაცია მოახდინოთ გადაწყვეტილების მიღების ზოგიერთი მნიშვნელოვანი ასპექტის ტექნოლოგიაში, სოფლის მეურნეობაში, მედიცინასა და სოციოლოგიაში და სხვა მეცნიერებებში. კონფლიქტში ჩართულ მხარეებს სამოქმედო კოალიციებს უწოდებენ; მათთვის ხელმისაწვდომი მოქმედებები - მათი სტრატეგიებით; კონფლიქტის შესაძლო შედეგები - სიტუაციები.

თეორიის მიზანია:

1) ოპტიმალური ქცევა თამაშში.

2) ოპტიმალური ქცევის თვისებების შესწავლა

3) პირობების დადგენა, რომლებშიც მისი გამოყენება აზრიანია (არსებობის, უნიკალურობის კითხვები და დინამიური თამაშებისთვის, ნომინალური თანმიმდევრულობის საკითხები).

4) ოპტიმალური ქცევის პოვნის რიცხვითი მეთოდების აგება.

თამაშების თეორია, რომელიც შექმნილია ეკონომიკური და სოციალური წარმოშობის პრობლემების მათემატიკური გადაწყვეტისთვის, ზოგადად არ შეიძლება დაიყვანოს კლასიკურ მათემატიკურ თეორიებზე, რომლებიც შექმნილია ფიზიკური და ტექნიკური პრობლემების გადასაჭრელად. თუმცა, კლასიკური მათემატიკური მეთოდების ფართო სპექტრი ფართოდ გამოიყენება თამაშების თეორიის სხვადასხვა სპეციფიკურ საკითხებში.

გარდა ამისა, თამაშის თეორია შინაგანად არის დაკავშირებული მთელ რიგ მათემატიკურ დისციპლინებთან. თამაშის თეორიაში, ალბათობის თეორიის ცნებები გამოიყენება სისტემატურად და არსებითად. თამაშის თეორიის ენაზე შეიძლება ჩამოყალიბდეს მათემატიკური სტატისტიკის პრობლემების უმეტესობა და რადგან თამაშის თეორია დაკავშირებულია გადაწყვეტილების მიღების თეორიასთან, იგი განიხილება როგორც ოპერაციების კვლევის მათემატიკური აპარატის არსებითი კომპონენტი.

თამაშის მათემატიკური კონცეფცია უჩვეულოდ ფართოა. იგი მოიცავს ე.წ. დეტალების შესწავლის გარეშე, თამაში შეიძლება ფართოდ განისაზღვროს, როგორც სიტუაცია, როდესაც ერთი ან მეტი ინდივიდი ("მოთამაშე") ერთობლივად აკონტროლებს რიგ ცვლადებს და თითოეულმა მოთამაშემ უნდა გაითვალისწინოს მთელი ჯგუფის ქმედებები გადაწყვეტილების მიღებისას. "გადახდა", რომელიც ეკისრება თითოეულ მოთამაშეს, განისაზღვრება არა მხოლოდ მისი ქმედებებით, არამედ ჯგუფის სხვა წევრების ქმედებებით. ზოგიერთი „სვლა“ (ინდივიდუალური მოქმედებები) თამაშის დროს შეიძლება იყოს შემთხვევითი. ნათელი ილუსტრაცია არის ცნობილი პოკერის თამაში: კარტების საწყისი გარიგება შემთხვევითი ნაბიჯია. ფსონების და კონტრფსონების თანმიმდევრობა, რომელიც წინ უძღვის ტრიუკების საბოლოო შედარებას, ყალიბდება თამაშში დარჩენილი სვლებით.

თამაშის მათემატიკური თეორია დაიწყო სპორტის, კარტის და სხვა თამაშების ანალიზით. ისინი ამბობენ, რომ თამაშის თეორიის აღმომჩენი, მე-20 საუკუნის გამოჩენილი ამერიკელი მათემატიკოსი. ჯონ ფონ ნეუმანს თავისი თეორიის იდეები პოკერის თამაშის ყურებისას გაუჩნდა. სწორედ აქედან მოდის სახელწოდება "თამაშის თეორია".

დავიწყოთ ამ თემის შესწავლა თამაშის თეორიის განვითარების რეტროსპექტული ანალიზი.განვიხილოთ თამაშების თეორიის საკითხის ისტორია და განვითარება. როგორც წესი, "ოჯახის ხე" წარმოდგენილია როგორც ხე გრაფიკის თეორიის გაგებით, რომელშიც განშტოება ხდება რომელიმე ერთი "ფესვიდან". თამაშის თეორიის მემკვიდრეობა არის ჯ. ფონ ნეუმანის და ო. მორგენშტერნის წიგნი. ამრიგად, თამაშების თეორიის, როგორც მათემატიკური დისციპლინის განვითარების ისტორიული კურსი ბუნებრივად იყოფა სამ ეტაპად:

პირველი ეტაპი- J. von Neumann-ისა და O. Morgenstern-ის მონოგრაფიის გამოცემამდე. მას შეიძლება ეწოდოს "პრემონოგრაფიული". ამ ეტაპზე თამაში კვლავ მოქმედებს როგორც კონკრეტული შეჯიბრი, რომელიც აღწერილია მისი წესებით შინაარსიანი ტერმინებით. მხოლოდ მის დასასრულს ავითარებს ჯ.ფონ ნოიმანი თამაშის იდეას, როგორც აბსტრაქტული კონფლიქტის ზოგად მოდელს. ამ ეტაპის შედეგი იყო არაერთი კონკრეტული მათემატიკური შედეგის და მომავლის თამაშის თეორიის ინდივიდუალური პრინციპების დაგროვება.

მეორე ფაზაარის თავად ჯ.ფონ ნეუმანის მონოგრაფია და

ო. მორგენშტერნი „თამაშის თეორია და ეკონომიკური ქცევა“ (1944), რომელიც აერთიანებდა ადრე მიღებული (თუმცა, თანამედროვე მათემატიკური სტანდარტებით, საკმაოდ ცოტა) შედეგების უმეტესობას. მან პირველმა წარმოადგინა თამაშების მათემატიკური მიდგომა (როგორც ამ სიტყვის კონკრეტული, ისე აბსტრაქტული გაგებით) სისტემატური თეორიის სახით.

ბოლოს და ბოლოს მესამე ეტაპითამაშის თეორია შესასწავლ ობიექტებთან მიდგომით ნაკლებად განსხვავდება მათემატიკის სხვა დარგებისგან და დიდწილად ვითარდება მათთვის საერთო კანონების მიხედვით. ამავდროულად, რა თქმა უნდა, მისი პრაქტიკული გამოყენების სპეციფიკა, როგორც რეალური, ასევე შესაძლო, მნიშვნელოვან გავლენას ახდენს თამაშის თეორიაში მიმართულებების ფორმირებაზე.

თუმცა, თამაშის მათემატიკური თეორიაც კი არ ძალუძს გარკვეული კონფლიქტების შედეგის სრულად პროგნოზირებას. როგორც ჩანს, შესაძლებელია თამაშის (კონფლიქტის) შედეგის გაურკვევლობის სამი ძირითადი მიზეზის დადგენა.

უპირველეს ყოვლისა, ეს არის თამაშები, რომლებშიც არის რეალური შესაძლებლობა შეისწავლოს სათამაშო ქცევის ყველა ან სულ მცირე უმეტესი ვარიანტი, რომელთაგან ერთ-ერთი ყველაზე ჭეშმარიტია, რაც მოგებამდე მიგვიყვანს. გაურკვევლობა გამოწვეულია ვარიანტების მნიშვნელოვანი რაოდენობით, ამიტომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი აბსოლუტურად ყველა ვარიანტის შესწავლა (მაგალითად, იაპონური თამაში GO, რუსული და საერთაშორისო ქვები, ბრიტანული რევერსი).

მეორეც, ფაქტორების შემთხვევითი გავლენა თამაშზე არაპროგნოზირებადია მოთამაშეების მიერ. ამ ფაქტორებს აქვთ გადამწყვეტი გავლენა თამაშის შედეგზე და მხოლოდ მცირე ზომით შეიძლება იყოს კონტროლირებადი და განსაზღვრული მოთამაშეების მიერ. თამაშის საბოლოო შედეგი განისაზღვრება მხოლოდ მცირე, უკიდურესად უმნიშვნელო ზომით, თავად მოთამაშეების ქმედებებით. თამაშებს, რომელთა შედეგიც გაურკვეველია შემთხვევითი მიზეზების გამო, აზარტული თამაშები ეწოდება. თამაშის შედეგი ყოველთვის სავარაუდოა ან ვარაუდი (რულეტკა, კამათელი, სროლა).

მესამე, გაურკვევლობა გამოწვეულია ინფორმაციის ნაკლებობით, თუ რა სტრატეგიას მისდევს მოწინააღმდეგე. მოწინააღმდეგის ქცევის მოთამაშეების იგნორირება ფუნდამენტურია და განისაზღვრება თავად თამაშის წესებით. ასეთ თამაშებს სტრატეგიულ თამაშებს უწოდებენ.

თამაშის თეორია არის "ოპერაციების კვლევის" ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი განყოფილება და წარმოადგენს მათემატიკური მოდელების თეორიულ საფუძვლებს ოპტიმალური გადაწყვეტილების მისაღებად საბაზრო ურთიერთობების კონფლიქტურ სიტუაციებში, რომლებიც კონკურენტული ხასიათისაა, როდესაც ერთი დაპირისპირებული მხარე იგებს მეორეს. სხვისი დანაკარგის ხარჯზე. ამ ვითარებასთან ერთად, ოპერაციების კვლევის მეცნიერების ფარგლებში, რომელიც იძლევა სხვადასხვა გადაწყვეტილების მიღების პრობლემის ფორმულირების მათემატიკურ აღწერას, განიხილება რისკისა და გაურკვევლობის სიტუაციები. გაურკვევლობის პირობებში პირობების ალბათობა უცნობია და მათ შესახებ დამატებითი სტატისტიკური ინფორმაციის მოპოვება არ არსებობს. პრობლემის გადაჭრის გარემომცველ გარემოს, რომელიც ვლინდება გარკვეულ პირობებში, ეწოდება „ბუნება“, ხოლო შესაბამის მათემატიკურ მოდელებს – „თამაშები ბუნებასთან“ ან „თამაშის სტატისტიკური თეორია“. თამაშის თეორიის მთავარი მიზანია რეკომენდაციების შემუშავება კონფლიქტში მოთამაშეთა დამაკმაყოფილებელი ქცევისთვის, ანუ თითოეული მათგანისთვის „ოპტიმალური სტრატეგიის“ იდენტიფიცირება.

თქვენი კარგი სამუშაოს გაგზავნა ცოდნის ბაზაში მარტივია. გამოიყენეთ ქვემოთ მოცემული ფორმა

სტუდენტები, კურსდამთავრებულები, ახალგაზრდა მეცნიერები, რომლებიც იყენებენ ცოდნის ბაზას სწავლასა და მუშაობაში, ძალიან მადლობლები იქნებიან თქვენი.

შესავალი

1. თეორიული ნაწილი

1.3 თამაშის შეკვეთა 2x2

1.4 ალგებრული მეთოდი

1.5 გრაფიკული მეთოდი

1.6 თამაშები 2xn ან mx2

1.7 თამაშების ამოხსნა მატრიცის მეთოდით

2. პრაქტიკული ნაწილი

2.2 თამაშები 2xn და mx2

2.3 მატრიცული მეთოდი

2.4 ყავისფერი მეთოდი

შედეგების ანალიზი

შესავალი

ნულოვანი ჯამის თამაში არის ნულოვანი ჯამის თამაში. ნულოვანი ჯამის თამაში არის არათანამშრომლობითი თამაში, რომელშიც მონაწილეობს ორი მოთამაშე, რომელთა ანაზღაურებაც საპირისპიროა.

ფორმალურად, ანტაგონისტური თამაში შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ტროიკის მიერ , სადაც X და Y არის პირველი და მეორე მოთამაშის სტრატეგიების კომპლექტები, შესაბამისად, F არის პირველი მოთამაშის ანაზღაურებადი ფუნქცია, ანიჭებს სტრატეგიების თითოეულ წყვილს (x,y), სადაც რეალური რიცხვი შეესაბამება სარგებლობას. პირველი მოთამაშე მოცემულ სიტუაციაში.

ვინაიდან მოთამაშეთა ინტერესები საპირისპიროა, ფუნქცია F ერთდროულად წარმოადგენს მეორე მოთამაშის დაკარგვას.

ისტორიულად, ნულოვანი ჯამის თამაშები არის თამაშების თეორიის მათემატიკური მოდელების პირველი კლასი, რომლითაც აღწერილი იყო აზარტული თამაშები. ითვლება, რომ ამ კვლევის საგანმა მიიღო სახელი თამაშის თეორიამ. დღესდღეობით, ანტაგონისტური თამაშები განიხილება არაკოოპერატიული თამაშების უფრო ფართო კლასის ნაწილად.

1. თეორიული ნაწილი

1.1 თამაშის ძირითადი განმარტებები და დებულებები

თამაშს ახასიათებს წესების სისტემა, რომელიც განსაზღვრავს თამაშში მონაწილეთა რაოდენობას, მათ შესაძლო მოქმედებებს და მოგების განაწილებას მათი ქცევისა და შედეგების მიხედვით. მოთამაშე ითვლება ერთ მონაწილედ ან თამაშის მონაწილეთა ჯგუფად, რომლებსაც აქვთ საერთო ინტერესები, რომლებიც არ ემთხვევა სხვა ჯგუფების ინტერესებს. ამიტომ, ყველა მონაწილე არ ითვლება მოთამაშედ.

თამაშის წესები ან პირობები განსაზღვრავს მოთამაშეთა შესაძლო ქცევებს, არჩევანს და მოძრაობებს თამაშის განვითარების ნებისმიერ ეტაპზე. მოთამაშისთვის არჩევანის გაკეთება ნიშნავს მისი ქცევის ერთ-ერთი ვარიანტის არჩევას. შემდეგ მოთამაშე აკეთებს ამ არჩევანს მოძრაობების გამოყენებით. ნაბიჯის გადადგმა ნიშნავს თამაშის გარკვეულ ეტაპზე არჩევანის ერთდროულად გაკეთებას მთლიანად ან ნაწილობრივ, თამაშის წესებით გათვალისწინებული შესაძლებლობებიდან გამომდინარე. თითოეული მოთამაშე თამაშის გარკვეულ ეტაპზე აკეთებს სვლას გაკეთებული არჩევანის მიხედვით. მეორე მოთამაშე, იცის ან არ იცის პირველი მოთამაშის არჩევანის შესახებ, ასევე აკეთებს ნაბიჯს. თითოეული მოთამაშე ცდილობს გაითვალისწინოს ინფორმაცია თამაშის წარსული განვითარების შესახებ, თუ ასეთი შესაძლებლობა დაშვებულია თამაშის წესებით.

წესების ერთობლიობას, რომელიც ნათლად მიუთითებს მოთამაშეს რა არჩევანი უნდა გააკეთოს თითოეულ სვლაზე, თამაშის შედეგად წარმოქმნილი სიტუაციიდან გამომდინარე, ეწოდება მოთამაშის სტრატეგია. თამაშის თეორიაში სტრატეგია ნიშნავს მოთამაშის მოქმედების გარკვეულ სრულ გეგმას, რომელიც აჩვენებს, თუ როგორ უნდა იმოქმედოს თამაშის განვითარების ყველა შესაძლო შემთხვევაში. სტრატეგია ნიშნავს ყველა ინსტრუქციის მთლიანობას ნებისმიერი მდგომარეობის შესახებ ინფორმაციის შესახებ, რომელიც ხელმისაწვდომია მოთამაშისთვის თამაშის განვითარების ნებისმიერ ეტაპზე. აქედან უკვე ნათელია, რომ სტრატეგიები შეიძლება იყოს კარგი და ცუდი, წარმატებული და წარუმატებელი და ა.შ.

ნულოვანი ჯამის თამაში იქნება, როდესაც მის თითოეულ თამაშში ყველა მოთამაშის მოგების ჯამი ნულის ტოლია, ანუ ნულოვანი ჯამის თამაშში ყველა მოთამაშის ჯამური კაპიტალი არ იცვლება, მაგრამ გადანაწილდება შორის. მოთამაშეები მიღებული შედეგების მიხედვით. ამრიგად, ბევრი ეკონომიკური და სამხედრო სიტუაცია შეიძლება განიხილებოდეს როგორც ნულოვანი ჯამის თამაშები.

კერძოდ, ნულოვანი ჯამის თამაშს ორ მოთამაშეს შორის ეწოდება ანტაგონისტური, რადგან მასში მოთამაშეთა მიზნები პირდაპირ საპირისპიროა: ერთი მოთამაშის მოგება ხდება მხოლოდ მეორის წაგების ხარჯზე.

1.1.1 მატრიცული თამაშების განმარტება, მაგალითები და ამონახსნები სუფთა სტრატეგიებში

ორმოთამაშიანი ნულოვანი ჯამის მატრიცული თამაში შეიძლება ჩაითვალოს შემდეგ აბსტრაქტულ ორმოთამაშიან თამაშად.

პირველ მოთამაშეს აქვს t სტრატეგია i =1, 2,…, t, მეორეს აქვს n სტრატეგია j = 1, 2,..., სტრატეგიების თითოეული წყვილი (i, j) ასოცირდება რიცხვთან a ij პირველი მოთამაშის ანაზღაურება მეორე მოთამაშის გამო, თუ პირველი მოთამაშე იყენებს თავის მე-ე სტრატეგიას, ხოლო მეორე მოთამაშე იყენებს თავის j-ე სტრატეგიას.

თითოეული მოთამაშე აკეთებს ერთ სვლას: პირველი მოთამაშე ირჩევს თავის მე-ე სტრატეგიას (i = 1, 2,..., m), მეორე ირჩევს თავის j-ე სტრატეგიას (j = 1, 2,..., n) , რის შემდეგაც პირველი მოთამაშე იღებს ij-ს მეორე მოთამაშის ხარჯზე (თუ ij< 0, то это значит, что первый игрок платит второму сумму a ij). На этом игра заканчивается.

მოთამაშის თითოეული სტრატეგია i = 1, 2,…, t; j = 1, 2,…, n ხშირად სუფთა სტრატეგიას უწოდებენ.

ორმოთამაშიან ნულოვანი ჯამის მატრიცის თამაშს ამიერიდან უბრალოდ მატრიცის თამაშს უწოდებენ. ცხადია, მატრიცის თამაში ეკუთვნის ანტაგონისტურ თამაშებს. მისი განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მატრიცული თამაშის განსაზღვრისთვის საკმარისია მიუთითოთ პირველი მოთამაშის ანაზღაურების რიგის A = (a ij) მატრიცა.

თუ გავითვალისწინებთ ანაზღაურების მატრიცას

შემდეგ მატრიცული თამაშის თითოეული თამაშის თამაში მატრიცით A მცირდება არჩევანზე I-ე რიგის პირველი მოთამაშის მიერ, ხოლო j-ე სვეტის მეორე მოთამაშის მიერ და პირველი მოთამაშის მიღებისას (მეორის ხარჯზე). ) A მატრიცაში მდებარე მოგება i-ე მწკრივისა და j-ე სვეტის კვეთაზე.

რეალური კონფლიქტური სიტუაციის მატრიცული თამაშის სახით ფორმალიზებისთვის აუცილებელია თითოეული მოთამაშის სუფთა სტრატეგიების იდენტიფიცირება და ხელახალი დანომრვა და ანაზღაურების მატრიცას შექმნა.

შემდეგი ეტაპი არის მოთამაშეთა ოპტიმალური სტრატეგიებისა და მოგების განსაზღვრა.

თამაშების შესწავლაში მთავარია მოთამაშეთა ოპტიმალური სტრატეგიის კონცეფცია. ამ კონცეფციას ინტუიციურად აქვს შემდეგი მნიშვნელობა: მოთამაშის სტრატეგია ოპტიმალურია, თუ ამ სტრატეგიის გამოყენება უზრუნველყოფს მას ყველაზე დიდ გარანტირებულ მოგებას სხვა მოთამაშის ყველა შესაძლო სტრატეგიისთვის. ამ პოზიციებიდან გამომდინარე, პირველი მოთამაშე იკვლევს თავისი ანაზღაურების A მატრიცას (1.1) შემდეგნაირად: i-ის თითოეული მნიშვნელობისთვის (i = 1, 2,..., t) მინიმალური ანაზღაურების ღირებულება განისაზღვრება მეორე მოთამაშის მიერ გამოყენებული სტრატეგიები

(i = 1, 2,..., მ) (1.2)

ე.ი., განისაზღვრება მინიმალური ანაზღაურება პირველი მოთამაშისთვის, იმ პირობით, რომ ის გამოიყენებს თავის მე-მე-ე სუფთა სტრატეგიას, შემდეგ ამ მინიმალური ანაზღაურებიდან მოიძებნება სტრატეგია i = i 0, რომლის დროსაც ეს მინიმალური ანაზღაურება იქნება მაქსიმალური, ე.ი. ნაპოვნია

განმარტება. რიცხვი b, რომელიც განსაზღვრულია ფორმულით (1.3), ეწოდება თამაშის ქვედა წმინდა ფასს და გვიჩვენებს, თუ რა მინიმალური მოგების გარანტია შეუძლია პირველ მოთამაშეს თავისთვის თავისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენებით მეორე მოთამაშის ყველა შესაძლო მოქმედებისთვის.

მეორე მოთამაშე თავისი ოპტიმალური ქცევით უნდა შეეცადოს, თუ ეს შესაძლებელია, თავისი სტრატეგიებით, მინიმუმამდე დაიყვანოს პირველი მოთამაშის მოგება. ამიტომ, მეორე მოთამაშისთვის ვპოულობთ

ანუ პირველი მოთამაშის მაქსიმალური ანაზღაურება განისაზღვრება იმ პირობით, რომ მეორე მოთამაშე გამოიყენებს თავის j-ე სუფთა სტრატეგიას, შემდეგ მეორე მოთამაშე იპოვის თავის j = j 1 სტრატეგიას, რომლის მიხედვითაც პირველი მოთამაშე მიიღებს მინიმალურ ანაზღაურებას, ე.ი.

განმარტება. რიცხვი b, რომელიც განსაზღვრულია ფორმულით (1.5), ეწოდება თამაშის წმინდა ზედა ფასს და აჩვენებს, თუ რა მაქსიმალური მოგების გარანტია შეუძლია პირველ მოთამაშეს საკუთარი სტრატეგიებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენებით, პირველ მოთამაშეს შეუძლია უზრუნველყოს არანაკლებ b-ის ანაზღაურება, ხოლო მეორე მოთამაშეს, თავისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენებით, შეუძლია თავიდან აიცილოს პირველ მოთამაშეს b-ზე მეტი მოგება.

განმარტება. თუ თამაშში A მატრიცით, თამაშის ქვედა და ზედა წმინდა ფასები ემთხვევა, ანუ b = c, მაშინ ამ თამაშს სტრატეგიებში უნაგირის წერტილი აქვს და თამაშის წმინდა ფასი:

n = b = v (1.6)

უნაგირის წერტილი არის პირველი და მეორე მოთამაშის სუფთა სტრატეგიების () წყვილი, რომლებშიც მიიღწევა თანასწორობა.

უნაგირის წერტილის ცნებას აქვს შემდეგი მნიშვნელობა: თუ ერთ-ერთი მოთამაშე იცავს უნაგირის წერტილის შესაბამის სტრატეგიას, მაშინ მეორე მოთამაშეს არ შეუძლია გააკეთოს უკეთესი, ვიდრე დაიცვას უნაგირების წერტილის შესაბამისი სტრატეგია. იმის გათვალისწინებით, რომ მოთამაშის საუკეთესო ქცევამ არ უნდა გამოიწვიოს მისი მოგების შემცირება, ხოლო ყველაზე ცუდმა ქცევამ შეიძლება გამოიწვიოს მისი მოგების შემცირება, ეს პირობები შეიძლება ჩაიწეროს მათემატიკურად შემდეგი მიმართებების სახით:

სადაც i, j არის პირველი და მეორე მოთამაშის ნებისმიერი სუფთა სტრატეგია, შესაბამისად; (i 0, j 0) არის სტრატეგიები, რომლებიც ქმნიან უნაგირის წერტილს. ქვემოთ ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ უნაგირის წერტილის განმარტება ექვივალენტურია პირობების (1.8).

ამგვარად, (1.8)-ზე დაყრდნობით, უნაგირის ელემენტი მინიმალურია i მე-0 მწკრივში და მაქსიმალური j 0-ე სვეტში A მატრიცაში. თითოეულ მწკრივს და შეამოწმეთ არის თუ არა ეს ელემენტი მაქსიმალური მის სვეტში. თუ ის ასეთია, მაშინ ეს არის უნაგირის ელემენტი და მის შესაბამისი სტრატეგიების წყვილი ქმნის უნაგირის წერტილს. პირველი და მეორე მოთამაშის სუფთა სტრატეგიების წყვილს (i 0, j 0), რომლებიც ქმნიან უნაგირის წერტილს და უნაგირის ელემენტს, ეწოდება თამაშის გამოსავალი.

სუფთა სტრატეგიებს i 0 და j 0, რომლებიც ქმნიან უნაგირის წერტილს, ეწოდება პირველი და მეორე მოთამაშის ოპტიმალურ სუფთა სტრატეგიებს, შესაბამისად.

თეორემა 1. მოდით f (x, y) იყოს x A და y B ორი ცვლადის რეალური ფუნქცია და არსებობს

შემდეგ b = c.

მტკიცებულება. მინიმალური და მაქსიმუმის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ

ვინაიდან (1.11)-ის მარცხენა მხარეს x არის თვითნებური, მაშინ

უტოლობის მარჯვენა მხარეს (1.12) y არის თვითნებური, შესაბამისად

ქ.ე.დ.

კერძოდ, მატრიცა () არის f (x, y) ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა, ანუ თუ დავსვამთ x = i, y = j, = f (x, y), მაშინ 1-ლი თეორემიდან მივიღებთ, რომ ქვედა ბადე ფასი არ აღემატება მატრიცულ თამაშში თამაშის ზედა წმინდა ფასს.

განმარტება. დავუშვათ f (x, y) ორი ცვლადის x A და y B რეალური ფუნქციაა. წერტილს (x 0, y 0) ეწოდება f (x, y) ფუნქციის უნაგირის წერტილი, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი უტოლობები.

f (x, y 0) f (x 0, y 0)f (x 0, y) (1.14)

ნებისმიერი x A და y B-სთვის.

1.2 ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები და მათი თვისებები

მატრიცული თამაშის შესწავლა იწყება წმინდა სტრატეგიებში მისი უნაგირობის წერტილის პოვნაში. თუ მატრიცულ თამაშს წმინდა სტრატეგიებში აქვს უნაგირის წერტილი, მაშინ თამაშის შესწავლა მთავრდება ამ წერტილის პოვნაში. თუ მატრიცულ თამაშში წმინდა სტრატეგიებში არ არის უნაგირის წერტილი, მაშინ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ თამაშის ქვედა და ზედა წმინდა ფასები, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ პირველ მოთამაშეს არ უნდა ჰქონდეს თამაშის ზედა ფასზე მეტი მოგების იმედი და შეუძლია. დარწმუნებული იყავით, რომ მოგებას მიიღებთ თამაშის არანაკლებ დაბალი ფასით. ასეთი რეკომენდაციები მატრიცულ თამაშში მოთამაშეების ქცევასთან დაკავშირებით წმინდა სტრატეგიებში ვერ დააკმაყოფილებს მკვლევარებსა და პრაქტიკოსებს. მატრიცული თამაშების გადაწყვეტილებების გაუმჯობესება უნდა ვეძიოთ სუფთა სტრატეგიების გამოყენების საიდუმლოების გამოყენებაში და თამაშების სახით თამაშების მრავალჯერ გამეორების შესაძლებლობებში. მაგალითად, ტარდება ჭადრაკის, ჩექმის და ფეხბურთის თამაშების სერია და ყოველ ჯერზე მოთამაშეები იყენებენ თავიანთ სტრატეგიებს ისე, რომ ოპონენტებს წარმოდგენა არ აქვთ მათი შინაარსის შესახებ და ამ გზით ისინი საშუალოდ მიაღწიეთ გარკვეულ მოგებას თამაშების მთელი სერიის თამაშით. ეს მოგება საშუალოდ აღემატება თამაშის დაბალ ფასს და ნაკლებია თამაშის ზედა ფასზე. რაც უფრო მაღალია ეს საშუალო მნიშვნელობა, მით უკეთეს სტრატეგიას იყენებს მოთამაშე. აქედან გამომდინარე, გაჩნდა იდეა, რომ სუფთა სტრატეგიები გამოვიყენოთ შემთხვევით, გარკვეული ალბათობით. ეს სრულად უზრუნველყოფს მათი გამოყენების საიდუმლოებას. თითოეულ მოთამაშეს შეუძლია შეცვალოს თავისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენების ალბათობა ისე, რომ მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი საშუალო ანაზღაურება და მიიღოს ოპტიმალური სტრატეგიები ამ გზაზე. ამ იდეამ გამოიწვია შერეული სტრატეგიის კონცეფცია.

განმარტება. მოთამაშის შერეული სტრატეგია არის მისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენების ალბათობების სრული ნაკრები.

ამრიგად, თუ პირველ მოთამაშეს აქვს m სუფთა სტრატეგიები 1, 2, … i, … m, მაშინ მისი შერეული სტრატეგია x არის რიცხვების სიმრავლე x = (x 1, x 2, ..., x i,…, x m ) დამაკმაყოფილებელი. ურთიერთობები

x i 0 (i = 1, 2, ... , t), = 1. (1.15)

ანალოგიურად, მეორე მოთამაშისთვის, რომელსაც აქვს n სუფთა სტრატეგია, შერეული სტრატეგია y არის რიცხვების ნაკრები y = (y 1,..., y j, ... y n), რომელიც აკმაყოფილებს ურთიერთობებს.

y j 0 (j = 1, 2, ... , n), = 1. (1.16)

ვინაიდან ყოველ ჯერზე, როდესაც მოთამაშე იყენებს ერთ სუფთა სტრატეგიას, გამორიცხავს მეორის გამოყენებას, სუფთა სტრატეგიები შეუთავსებელი მოვლენებია. უფრო მეტიც, ისინი ერთადერთი შესაძლო მოვლენებია.

ცხადია, სუფთა სტრატეგია შერეული სტრატეგიის განსაკუთრებული შემთხვევაა. მართლაც, თუ შერეულ სტრატეგიაში გამოყენებულია მე-ე სუფთა სტრატეგია ერთი ალბათობით, მაშინ ყველა სხვა სუფთა სტრატეგია არ გამოიყენება. და ეს მე-ე სუფთა სტრატეგია შერეული სტრატეგიის განსაკუთრებული შემთხვევაა. საიდუმლოების შესანარჩუნებლად, თითოეული მოთამაშე იყენებს საკუთარ სტრატეგიებს, მიუხედავად სხვა მოთამაშის არჩევანისა.

განმარტება. პირველი მოთამაშის საშუალო ანაზღაურება მატრიცულ თამაშში A მატრიცით გამოიხატება როგორც მისი ანაზღაურების მათემატიკური მოლოდინი.

E (A, x, y) = (1.20)

ცხადია, პირველი მოთამაშის საშუალო ანაზღაურება არის x და y ცვლადების ორი ნაკრების ფუნქცია. პირველი მოთამაშე თავისი შერეული სტრატეგიების x შეცვლით მიზნად ისახავს მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი საშუალო ანაზღაურება E (A, x, y), ხოლო მეორე მოთამაშე თავისი შერეული სტრატეგიების მეშვეობით ცდილობს E (A, x, y) მინიმალური გახდეს, ე.ი. თამაშის გადასაჭრელად საჭიროა იპოვოთ ისეთი x, y, რომლითაც მიიღწევა თამაშის ზედა ფასი.

1.3 შეკვეთის თამაში 22

22-ე რიგის მატრიცული თამაში მოცემულია შემდეგი ანაზღაურების მატრიცით პირველი მოთამაშისთვის:

ამ თამაშის გადაწყვეტა უნდა დაიწყოს სუფთა სტრატეგიებში უნაგირობის წერტილის მოძიებით. ამისათვის იპოვეთ მინიმალური ელემენტი პირველ რიგში და შეამოწმეთ არის თუ არა ის მაქსიმალური მის სვეტში. თუ ასეთი ელემენტი არ არის ნაპოვნი, მაშინ მეორე სტრიქონი მოწმდება იმავე გზით. თუ ასეთი ელემენტი ნაპოვნია მეორე სტრიქონში, მაშინ ეს არის უნაგირ.

უნაგირის ელემენტის პოვნა, თუ არსებობს, ამთავრებს მისი გადაწყვეტის პოვნის პროცესს, რადგან ამ შემთხვევაში მოიძებნა თამაშის ფასი - უნაგირის ელემენტი და უნაგირის წერტილი, ანუ სუფთა სტრატეგიის წყვილი პირველი და. მეორე მოთამაშე, რომელიც ქმნის ოპტიმალურ სუფთა სტრატეგიებს. თუ წმინდა სტრატეგიებში არ არის უნაგირის წერტილი, მაშინ შერეულ სტრატეგიებში უნდა ვიპოვოთ უნაგირის წერტილი, რომელიც აუცილებლად არსებობს მატრიცული თამაშების მთავარი თეორემის მიხედვით.

ავღნიშნოთ x = (x 1 , x 2), y = (y 1 , y 2) შესაბამისად პირველი და მეორე მოთამაშის შერეული სტრატეგიები. შეგახსენებთ, რომ x 1 ნიშნავს პირველი მოთამაშის ალბათობას, რომ გამოიყენოს თავისი პირველი სტრატეგია, ხოლო x 2 = 1 - x 1 არის ალბათობა იმისა, რომ მან გამოიყენოს თავისი მეორე სტრატეგია. ანალოგიურად მეორე მოთამაშისთვის: 1 არის ალბათობა იმისა, რომ მან გამოიყენოს პირველი სტრატეგია, 2 = 1 - 1 არის ალბათობა იმისა, რომ მან გამოიყენოს მეორე სტრატეგია.

თეორემის დასკვნის მიხედვით, რომ შერეული სტრატეგიები x და y იყოს ოპტიმალური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ არაუარყოფითი x 1, x 2, y 1, y 2 შემდეგი მიმართებები იყოს:

ახლა ვაჩვენოთ, რომ თუ მატრიცულ თამაშს წმინდა სტრატეგიებში არ აქვს უნაგირის წერტილი, მაშინ ეს უტოლობა უნდა გადაიზარდოს თანასწორებად:

Ნამდვილად. დაე, თამაშს არ ჰქონდეს უნაგირის წერტილი სუფთა სტრატეგიებში, მაშინ შერეული სტრატეგიების ოპტიმალური მნიშვნელობები დააკმაყოფილებს უთანასწორობებს.

0<<1, 0<< 1,

0< <1, 01. (1.25)

დავუშვათ, რომ ორივე უტოლობა (1.22) მკაცრია

მაშინ, თეორემის მიხედვით, y 1 = y 2 = 0, რომელიც ეწინააღმდეგება პირობებს (1.25).

ანალოგიურად დადასტურებულია, რომ ორივე უტოლობა (1.23) არ შეიძლება იყოს მკაცრი უტოლობა.

ახლა დავუშვათ, რომ ერთ-ერთი უტოლობა (1.22) შეიძლება იყოს მკაცრი, მაგალითად პირველი

ეს ნიშნავს, რომ თეორემის მიხედვით, y 1 = 0, y 2 = 1. შესაბამისად, (1.23)-დან ვიღებთ

თუ ორივე უტოლობა (1.24) მკაცრია, მაშინ, თეორემის მიხედვით, x 1 = x 2 = 0, რომელიც ეწინააღმდეგება (1.25). თუ 12 a 22, მაშინ უტოლობებიდან ერთი (1.27) მკაცრია, მეორე კი ტოლია. უფრო მეტიც, თანასწორობა გაგრძელდება 12-ისა და 22-ის უფრო დიდი ელემენტისთვის, ანუ ერთი უტოლობა (1.27) უნდა იყოს მკაცრი. მაგალითად 12< а 22 . Тогда справедливо а 12 < v, а это равносильно тому, что первое неравенство из (1.24) строгое. Тогда согласно теореме должно х 1 = 0, что противоречит условию (1.25). Если а 12 = а 22 , то оба неравенства (1.27) превращаются в равенства и тогда можно положить х 1 = 0, что противоречит (1.25). Итак, предположение о том, что первое неравенство из (1.22) может быть строгим, не справедливо. Аналогично можно показать, что второе неравенство из (1.22) также не может быть строгим.

ამრიგად, ნაჩვენებია, რომ თუ მატრიცულ თამაშს წმინდა სტრატეგიებში არ აქვს უნაგირის წერტილი, მაშინ პირველი მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგიებისთვის უტოლობები (1.22) გადაიქცევა თანასწორებად. მსგავსი მსჯელობა უტოლობებთან დაკავშირებით (1.23) გამოიწვევს იმ ფაქტს, რომ ამ შემთხვევაში უტოლობები (1.23) უნდა იყოს ტოლობები.

ასე რომ, თუ 22-ე რიგის მატრიცულ თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი, მაშინ მოთამაშეთა ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები და თამაშის ფასი შეიძლება განისაზღვროს განტოლებათა სისტემის ამოხსნით (1.24). ასევე დადგინდა, რომ თუ 2x2 წესრიგის მატრიცულ თამაშში ერთ-ერთ მოთამაშეს აქვს ოპტიმალური სუფთა სტრატეგია, მაშინ მეორე მოთამაშეს ასევე აქვს ოპტიმალური სუფთა სტრატეგია.

შესაბამისად, თუ მატრიცულ თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი წმინდა სტრატეგიებში, მაშინ მას უნდა ჰქონდეს ამონახსნი შერეულ სტრატეგიებში, რომლებიც განისაზღვრება განტოლებებიდან (1.24). სისტემის ამოხსნა (1.25)

1.4 ალგებრული მეთოდი

ალგებრული მეთოდის გამოყენებით ამოცანების გადაჭრის ორი შესაძლო შემთხვევაა:

1. მატრიცას აქვს უნაგირის წერტილი;

2. მატრიცას არ აქვს უნაგირის წერტილი.

პირველ შემთხვევაში, გამოსავალი არის სტრატეგიების წყვილი, რომლებიც ქმნიან თამაშის უნაგირს. განვიხილოთ მეორე შემთხვევა. აქ გადაწყვეტილებები უნდა ვეძებოთ შერეულ სტრატეგიებში:

მოდი ვიპოვოთ სტრატეგიები და... როდესაც პირველი მოთამაშე იყენებს თავის ოპტიმალურ სტრატეგიას, მეორე მოთამაშეს შეუძლია, მაგალითად, გამოიყენოს ორი ასეთი სუფთა სტრატეგია

უფრო მეტიც, თვისებიდან გამომდინარე, თუ ერთ-ერთი მოთამაშე იყენებს ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიას, ხოლო მეორე იყენებს ნებისმიერ სუფთა სტრატეგიას, რომელიც შედის მის ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიაში, ალბათობით, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ გამარჯვების მათემატიკური მოლოდინი ყოველთვის რჩება უცვლელი და თანაბარი. თამაშის ფასზე, ე.ი.

მოგება თითოეულ ამ შემთხვევაში უნდა იყოს V თამაშის ფასის ტოლი. ამ შემთხვევაში მოქმედებს შემდეგი ურთიერთობები:

მეორე მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგიისთვის შეიძლება აშენდეს (2.5), (2.6) მსგავსი განტოლებათა სისტემა:

ნორმალიზაციის მდგომარეობის გათვალისწინებით:

მოდით ამოხსნათ განტოლება (1.37) - (1.41) უცნობიებთან მიმართებაში, შეგიძლიათ ამოხსნათ არა ერთდროულად, არამედ სამი: ცალ-ცალკე (1.36), (1.38), (1.40) და (1.37), ( 1.39), (1.41). გადაწყვეტის შედეგად ვიღებთ:

1.5 გრაფიკული მეთოდი

თამაშის 22-ის სავარაუდო გადაწყვეტა შეგიძლიათ მიიღოთ საკმაოდ მარტივად გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით. მისი არსი შემდეგია:

სურათი 1.1 - ერთეული სიგრძის მონაკვეთის პოვნა

აირჩიეთ ერთეული სიგრძის მონაკვეთი x ღერძზე. მისი მარცხენა ბოლო გამოსახავს პირველი მოთამაშის პირველ სტრატეგიას, ხოლო მარჯვენა ბოლო იქნება მეორე. ყველა შუალედური წერტილი შეესაბამება პირველი მოთამაშის შერეულ სტრატეგიებს, ხოლო სეგმენტის სიგრძე წერტილიდან მარჯვნივ უდრის პირველი სტრატეგიის გამოყენების ალბათობას, ხოლო სეგმენტის სიგრძე მარცხნივ არის გამოყენების ალბათობა. მეორე სტრატეგია პირველი მოთამაშის მიერ.

დახაზულია ორი ღერძი I-I და II-II. მოგებას დავდებთ I-I-ზე, როდესაც პირველი მოთამაშე გამოიყენებს პირველ სტრატეგიას, II-II-ზე, როდესაც ის იყენებს მეორე სტრატეგიას. მოდით, მაგალითად, მეორე მოთამაშემ გამოიყენოს თავისი პირველი სტრატეგია, შემდეგ მნიშვნელობა უნდა იყოს გამოსახული I-I ღერძზე და მნიშვნელობა უნდა იყოს გამოსახული II-II ღერძზე.

პირველი მოთამაშის ნებისმიერი შერეული სტრატეგიისთვის, მისი ანაზღაურება განისაზღვრება სეგმენტის ღირებულებით. ხაზი I-I შეესაბამება მეორე მოთამაშის მიერ პირველი სტრატეგიის გამოყენებას. ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ ააწყოთ მეორე მოთამაშის მეორე სტრატეგია. შემდეგ, ზოგადად, თამაშის მატრიცის გრაფიკული ჩვენება მიიღებს შემდეგ ფორმას:

სურათი 1.2 - თამაშის ფასის პოვნა

თუმცა უნდა აღინიშნოს, რომ ეს კონსტრუქცია პირველი მოთამაშისთვის გაკეთდა. აქ სეგმენტის სიგრძე უდრის V თამაშის ფასს.

1N2 ხაზს უწოდებენ ქვედა მოგების ზღვარს. აქ ნათლად ხედავთ, რომ N წერტილი შეესაბამება პირველი მოთამაშის გარანტირებული მოგების მაქსიმალურ რაოდენობას.

ზოგადად, მეორე მოთამაშის სტრატეგიაც შეიძლება განისაზღვროს ამ ფიგურიდან, მაგალითად შემდეგი გზებით. I-I ღერძზე:

ან II-II ღერძზე

თუმცა, მეორე მოთამაშის სტრატეგია შეიძლება განისაზღვროს ისევე, როგორც ეს ხდება პირველი მოთამაშისთვის, ე.ი. შექმენით ასეთი გრაფიკი.

სურათი 1.3 - მეორე მოთამაშის სტრატეგიის განსაზღვრა

აქ ხაზი 1N2 არის დანაკარგის ზედა ზღვარი. წერტილი N შეესაბამება მეორე მოთამაშის მინიმალურ შესაძლო დაკარგვას და ის განსაზღვრავს სტრატეგიას.

მატრიცის კოეფიციენტების სპეციფიკური მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, გრაფიკებს შეიძლება ჰქონდეთ განსხვავებული ფორმა, მაგალითად, ეს:

სურათი 1.4 - განსაზღვრავს პირველი მოთამაშის ოპტიმალურ სტრატეგიას

ასეთ სიტუაციაში პირველი მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგია სუფთაა:

1.6 თამაშები 2n ან m2

2n რიგის თამაშებში პირველ მოთამაშეს აქვს 2 სუფთა სტრატეგია, ხოლო მეორე მოთამაშეს აქვს n სუფთა სტრატეგია, ე.ი. პირველი მოთამაშის ანაზღაურების მატრიცას აქვს ფორმა:

თუ ასეთ თამაშს აქვს უნაგირის წერტილი, მაშინ ადვილია მისი პოვნა და გამოსავლის მიღება.

დავუშვათ, რომ თამაშს აქვს უნაგირის ქულები. შემდეგ საჭიროა ისეთი შერეული სტრატეგიების მოძიება და, შესაბამისად, პირველი და მეორე მოთამაშე და თამაშის ფასი v, რომლებიც აკმაყოფილებენ ურთიერთობებს:

ვინაიდან თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი, უტოლობა (1.54) იცვლება უტოლობებით.

სისტემების გადასაჭრელად (1.56), (1.55), (1.53), მიზანშეწონილია გამოიყენოთ გრაფიკული მეთოდი. ამ მიზნით, ჩვენ შემოგთავაზებთ აღნიშვნას უტოლობის მარცხენა მხარისთვის (1.53)

მატრიცული თამაშის მათემატიკური მოდელი

ან (1.55)-დან დაყენებით და მარტივი გარდაქმნების განხორციელებით, მივიღებთ

სად არის პირველი მოთამაშის საშუალო ანაზღაურება იმ პირობით, რომ ის გამოიყენებს თავის შერეულ სტრატეგიას, ხოლო მეორე მოთამაშე თავის j-ე სუფთა სტრატეგიას.

გამოთქმის მიხედვით, თითოეული მნიშვნელობა j=1, 2, ..., n შეესაბამება სწორ ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

მეორე მოთამაშის მიზანია მინიმუმამდე დაიყვანოს პირველი მოთამაშის მოგება მისი სტრატეგიების არჩევით. ამიტომ ჩვენ ვიანგარიშებთ

სად არის შეზღუდვების ნაკრების ქვედა ზღვარი. 1.6 სურათზე ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სქელი ხაზით.

გამოქვეყნებულია http://www.allbest.ru/

სურათი 1.6 - ფუნქციის გრაფიკი

პირველი მოთამაშის მიზანია მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი მოგება არჩევანის საშუალებით, ე.ი. გამოთვალეთ

სურათზე 1.6, წერტილი ნიშნავს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, რომელიც მიიღება. თამაშის ფასი იმიტომ არის:

ამგვარად, გრაფიკულად განისაზღვრება პირველი მოთამაშის ოპტიმალური შერეული სტრატეგია და მეორე მოთამაშის სუფთა სტრატეგიების წყვილი, რომლებიც კვეთაზე ქმნიან წერტილს. ასეთი სტრატეგიებისთვის უტოლობები (1.53) იქცევა თანასწორებად. ნახაზზე 1.6 ეს არის სტრატეგიები j=2, j=3.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა

და ზუსტად განსაზღვრეთ და-ს მნიშვნელობები (გრაფიკულად ისინი განისაზღვრება დაახლოებით). შემდეგ, ყველა მნიშვნელობის დაყენება იმ j-სთვის, რომლებისთვისაც ისინი არ ქმნიან წერტილს, ვხსნით განტოლებათა სისტემას (1.56) 1.6-ზე ნაჩვენები მაგალითისთვის, ეს არის შემდეგი სისტემა:

და დანარჩენი ეს სისტემა შეიძლება ამოხსნას დახრილობით, თუ ზოგიერთისთვის j=j 0 მეორე მოთამაშის სტრატეგიები ქმნიან წერტილს M 0 და მაშინ შეზღუდვების სიმრავლის ქვედა საზღვრის მაქსიმალური მნიშვნელობა გამოსახულია სეგმენტის პარალელურად. ღერძი ამ შემთხვევაში, პირველ მოთამაშეს აქვს უსასრულოდ ბევრი ოპტიმალური მნიშვნელობა და თამაშის ფასი. აქვს სუფთა ოპტიმალური სტრატეგია j=j 0 .

მ2 შეკვეთის მატრიცული თამაშები ასევე შეიძლება გადაწყდეს გრაფიკული მეთოდით. პირველი მოთამაშის ანაზღაურების მატრიცას ამ შემთხვევაში აქვს ფორმა

პირველი და მეორე მოთამაშის შერეული სტრატეგიები, შესაბამისად, განსაზღვრულია ისევე, როგორც 2n რიგის თამაშების შემთხვევაში. დაე, მნიშვნელობა 0-დან 1-მდე იყოს გამოსახული ჰორიზონტალური ღერძის გასწვრივ და პირველი მოთამაშის საშუალო მოგების მნიშვნელობა ვერტიკალური ღერძის გასწვრივ, იმ პირობებში, როდესაც პირველი მოთამაშე იყენებს თავის სუფთა i-ე სტრატეგიას (i=1, 2, ..., მ), მეორე - მისი შერეული სტრატეგია (y 1, 1- y 1) =y. მაგალითად, როდესაც m=4 გრაფიკულად) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 1.7.

სურათი 1.7 - ფუნქციის გრაფიკი)

პირველი მოთამაშე ცდილობს მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი საშუალო ანაზღაურება, ამიტომ ცდილობს იპოვოს

ფუნქცია წარმოდგენილია სქელი ხაზით და წარმოადგენს შეზღუდვების სიმრავლის ზედა ზღვარს. მეორე მოთამაშე ცდილობს მინიმუმამდე დაიყვანოს თავისი სტრატეგიის არჩევით, ე.ი. ღირებულება შეესაბამება

ფიგურაში მნიშვნელობა მითითებულია წერტილით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველი მოთამაშის ორი სტრატეგია და მეორე მოთამაშის ალბათობა განისაზღვრება, რომლითაც მიიღწევა თანასწორობა.

ფიგურიდან ვხედავთ, რომ თამაშის ფასი არის წერტილის ორდინატი, ალბათობა არის წერტილის აბსცისა. დარჩენილი სუფთა სტრატეგიებისთვის პირველი მოთამაშის ოპტიმალური შერეული სტრატეგიისთვის უნდა ().

ამგვარად, სისტემის ამოხსნით (1.69), ვიღებთ მეორე მოთამაშის ოპტიმალურ სტრატეგიას და თამაშის ფასს. ჩვენ ვპოულობთ ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიას პირველი მოთამაშისთვის შემდეგი განტოლებების სისტემის ამოხსნით:

1.7 თამაშების ამოხსნის მატრიცული მეთოდი

აღნიშვნები:

შეკვეთის მატრიცის ნებისმიერი კვადრატული ქვემატრიცა

მატრიცა (1);

მატრიცა გადატანილია;

B-ის მიმდებარე მატრიცა;

- (1) X-დან მიღებული მატრიცა ელემენტების წაშლით, რომლებიც შეესაბამება მიღებისთანავე წაშლილ სტრიქონებს;

- (1) მატრიცა, რომელიც მიღებულია ელემენტების წაშლით, რომლებიც შეესაბამება მიღებისთანავე წაშლილ სტრიქონებს.

ალგორითმი:

1. აირჩიეთ რიგის () მატრიცის კვადრატული ქვემატრიცა და გამოთვალეთ

2. თუ ზოგიერთი არის ან, მაშინ ჩვენ გადავაგდებთ ნაპოვნი მატრიცას და ვცდილობთ სხვა მატრიცას.

3. თუ (), (), ვიანგარიშებთ და ვაშენებთ X-ს და და-დან, შესაბამის ადგილებში ნულების მიმატებით.

უთანასწორობების დაკმაყოფილების შემოწმება

ყველასთვის (1.75)

და უთანასწორობები

ყველასთვის (1.76)

თუ ერთ-ერთი ურთიერთობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ვცდილობთ მეორეს. თუ ყველა ურთიერთობა მოქმედებს, მაშინ X და საჭირო გადაწყვეტილებები.

1.8 თამაშის ფასის თანმიმდევრული დაახლოების მეთოდი

თამაშის სიტუაციების შესწავლისას, ხშირად შეიძლება მოხდეს, რომ არ იყოს საჭირო თამაშის ზუსტი გადაწყვეტის მოპოვება ან რაიმე მიზეზით, შეუძლებელია ან ძალიან რთულია თამაშის ფასის ზუსტი ღირებულების და ოპტიმალური შერეული სტრატეგიების პოვნა. შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ მატრიცული თამაშის ამოხსნის სავარაუდო მეთოდები.

მოდით აღვწეროთ ერთ-ერთი ასეთი მეთოდი - თამაშის ფასის თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდი. მეთოდის გამოყენებისას გამოთვლილი რიცხვი იზრდება დაახლოებით ანაზღაურების მატრიცის რიგებისა და სვეტების რაოდენობის პროპორციულად.

მეთოდის არსი ასეთია: თამაში გონებრივად ბევრჯერ ითამაშება, ე.ი. თანმიმდევრულად, თითოეულ თამაშში მოთამაშე ირჩევს სტრატეგიას, რომელიც აძლევს მას ყველაზე დიდ საერთო (სულ) მოგებას.

ზოგიერთი თამაშის ასეთი განხორციელების შემდეგ, გამოითვლება პირველი მოთამაშის მოგების საშუალო ღირებულება და მეორე მოთამაშის ზარალი, ხოლო მათი საშუალო არითმეტიკული აღებულია როგორც თამაშის ღირებულების მიახლოებითი მნიშვნელობა. მეთოდი შესაძლებელს ხდის ორივე მოთამაშის ოპტიმალური შერეული სტრატეგიის მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნას: აუცილებელია თითოეული სუფთა სტრატეგიის გამოყენების სიხშირის გამოთვლა და მისი მიახლოებითი მნიშვნელობა შესაბამისი მოთამაშის ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიაში.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ პროგრამული თამაშების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით, პირველი მოთამაშის საშუალო მოგება და მეორე მოთამაშის საშუალო ზარალი განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება თამაშის ფასს და შერეული სტრატეგიების სავარაუდო მნიშვნელობებს. შემთხვევა, როდესაც თამაშს აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, მიდრეკილია თითოეული მოთამაშის ოპტიმალური შერეული სტრატეგიებისკენ. ზოგადად რომ ვთქვათ, მითითებულ მნიშვნელობებზე მაღლა მიახლოებითი მნიშვნელობების ტენდენცია ნამდვილ მნიშვნელობებთან მიახლოებისკენ არის ნელი. თუმცა, ამ პროცესის მექანიზება ადვილია და ამით ეხმარება თამაშში გადაწყვეტის მიღებას საჭირო ხარისხის სიზუსტით, თუნდაც შედარებით დიდი შეკვეთის ანაზღაურების მატრიცებით.

2. პრაქტიკული ნაწილი

წყვილი წყვეტს სად წავიდეს სასეირნოდ და ორივესთვის სასარგებლო დრო გაატაროს.

გოგონა გადაწყვეტს პარკში გაისეირნოს სუფთა ჰაერზე, საღამოს კი ფილმის ყურება უახლოეს კინოთეატრში.

ბიჭი გვთავაზობს ტექნოლოგიურ პარკში წასვლას და შემდეგ ცენტრალურ სტადიონზე ადგილობრივი კლუბის ფეხბურთელების მატჩის ყურებას.

ამის შესაბამისად, თქვენ უნდა იპოვოთ რამდენი დრო დასჭირდება ერთ-ერთი მოთამაშის მიზნის მისაღწევად. გამარჯვებული მატრიცა ასე გამოიყურება:

ცხრილი 1. ანაზღაურების მატრიცა

მას შემდეგ, რაც 1 2, ცხადია, ამ თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი სუფთა სტრატეგიებში. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ ფორმულებს და ვიღებთ:

გამოქვეყნებულია http://www.allbest.ru/

2.2 თამაში 2xn და mx2

პრობლემა 1 (2xn)

ორი მარცვლეული კულტურა მოჰყავთ მშრალი და სველი კლიმატისთვის.

ხოლო ბუნების მდგომარეობა შეიძლება ჩაითვალოს: მშრალი, სველი, ზომიერი.

გამოქვეყნებულია http://www.allbest.ru/

M()-ის მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა M წერტილში, რომელიც წარმოიქმნება j=1, j"=2 შესაბამისი წრფეების გადაკვეთით. ამის მიხედვით ვივარაუდებთ:

პრობლემა 2 (mx2)

ბიჭი და გოგონა განიხილავენ ვარიანტებს, თუ სად წავიდეთ შაბათ-კვირას.

დასასვენებელი ადგილის არჩევანი შეიძლება ჩაითვალოს: პარკი, კინო, რესტორანი.

გამოქვეყნებულია http://www.allbest.ru/

M()-ის მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა E წერტილში, რომელიც წარმოიქმნება j=1, j"=2 შესაბამისი წრფეების გადაკვეთით. ამის მიხედვით ვივარაუდებთ:

v-ის მნიშვნელობის დასადგენად, შემდეგი განტოლებები უნდა გადაწყდეს:

2.5 მატრიცული მეთოდი

ორი რესტორანი (კვების დაწესებულება), რომლებიც ერთმანეთს ეჯიბრებიან, გთავაზობთ შემდეგი სერვისების კომპლექტს. პირველი რესტორანი მდებარეობს ცენტრში, ხოლო მეორე ქალაქის გარეუბანში.

ცენტრალური რესტორანი მოიცავს შემდეგ სერვისებს:

1) უფრო ძვირი და მაღალი ხარისხის მომხმარებელთა მომსახურება;

2) კერძები ორიენტირებულია ფრანგულ სამზარეულოზე;

მეორე რესტორანი გთავაზობთ:

1) იაფი და მაღალი ხარისხის მომსახურება;

2) მენიუ აერთიანებს მსოფლიოს სხვადასხვა ცნობილ სამზარეულოს;

3) ასევე მუდმივი აქციები და ფასდაკლებები;

4) აწვდის და იღებს შეკვეთებს სახლში მიტანისთვის.

დავალების შესაბამისად, ერთი დღის მოგება ორ რესტორანს შორის გადანაწილდება შემდეგნაირად:

ცხრილი 2. ანაზღაურების მატრიცა

ფორმის თამაშის ამოხსნა მატრიცის მეთოდით:

არის ექვსი ქვემატრიცა და:

განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 = ? 0, x 2 = ? 0

ვინაიდან x 2 =< 0, то мы отбрасываем.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 = ? 0, x 2 = ? 0

თამაშის ფასი.

ეს თანაფარდობა ეწინააღმდეგება მოთხოვნას და ამიტომ არ არის შესაფერისი.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 = , x 2 = ? 0,

y 1 =< 0, y 2 = ? 0.

ვინაიდან y 1 =< 0, то мы отбрасываем и.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 = , x 2 = 0, ვინაიდან x 2 = 0, მაშინ ჩვენ გადავაგდებთ და.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 = , x 2 = ? 0. ვინაიდან x 1 = 0, ჩვენ უგულებელყოფთ და.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 =, შემდეგ ვაგრძელებთ შემდეგს:

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 = ან

თამაშის ფასი.

ახლა ძირითადი ურთიერთობები შემოწმდება:

გამოქვეყნებულია http://www.allbest.ru/

პასუხი: x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 = , y 3 =0, y 4 =0,.

ყავისფერი მეთოდი

გარკვეული კომპანიის თანამშრომლების მოთხოვნით, პროფკავშირი აწარმოებს მოლაპარაკებებს მის ხელმძღვანელობასთან კომპანიის ხარჯზე ცხელი ლანჩების მოწყობაზე. მუშაკთა წარმომადგენლ გაერთიანებას სურს უზრუნველყოს, რომ სადილი იყოს რაც შეიძლება ხარისხიანი და, შესაბამისად, უფრო ძვირი. კომპანიის ხელმძღვანელობას საპირისპირო ინტერესები აქვს. საბოლოოდ მხარეები შეთანხმდნენ შემდეგზე. პროფკავშირი (მოთამაშე 1) ირჩევს ერთ-ერთ სამ კომპანიიდან (A 1, A 2, A 3), რომელიც ამარაგებს ცხელ კერძებს, ხოლო კომპანიის ხელმძღვანელობა (მოთამაშე 2) ირჩევს კერძების კომპლექტს სამი შესაძლო ვარიანტიდან (B 1, B 2). , B 3). ხელშეკრულების გაფორმების შემდეგ, კავშირი წარმოქმნის შემდეგ გადახდის მატრიცას, რომლის ელემენტები წარმოადგენს კერძების ნაკრების ღირებულებას:

დაე, თამაში განისაზღვროს შემდეგი ანაზღაურების მატრიცით:

დავუშვათ, რომ მეორე მოთამაშემ აირჩია თავისი მე-2 სტრატეგია, მაშინ პირველი მიიღებს:

2, თუ ის იყენებს პირველ სტრატეგიას,

3, თუ ის იყენებს მე-3 სტრატეგიას.

მიღებული მნიშვნელობები შეჯამებულია ცხრილში 1.

ცხრილი 3. მეორე მოთამაშის სტრატეგია

მე-3 ცხრილიდან ჩანს, რომ მეორე მოთამაშის მე-2 სტრატეგიით, პირველი მიიღებს ყველაზე დიდ ანაზღაურებას 3 თავისი მე-2 ან მე-3 სტრატეგიის გამოყენებით. ვინაიდან პირველ მოთამაშეს სურს მიიღოს მაქსიმალური მოგება, ის პასუხობს მეორე მოთამაშის მე-2 სტრატეგიას მე-2 სტრატეგიით. პირველი მოთამაშის მე-2 სტრატეგიით მეორე წააგებს:

1 თუ ის იყენებს პირველ სტრატეგიას,

3, თუ ის იყენებს თავის მე-2 სტრატეგიას,

4 თუ ის იყენებს თავის მე-3 სტრატეგიას.

ცხრილი 4. პირველი მოთამაშის სტრატეგია

მე-2 ცხრილიდან ჩანს, რომ პირველი მოთამაშის მე-2 სტრატეგიით, მეორე მოთამაშეს ექნება ყველაზე მცირე 1 წაგება, თუ ის გამოიყენებს თავის 1-ლ სტრატეგიას. ვინაიდან მეორე მოთამაშეს სურს ნაკლები წაგება, პირველი მოთამაშის მე-2 სტრატეგიის საპასუხოდ ის გამოიყენებს თავის პირველ სტრატეგიას. მიღებული შედეგები შეჯამებულია ცხრილში 5.

ცხრილი 5. პირველი და მეორე მოთამაშის სტრატეგიები, შესაბამისად

მაგიდაზე 5 მეორე სტრიქონში მეორე მოთამაშის სტრატეგიის სვეტში არის ნომერი 1, რაც მიუთითებს, რომ მეორე თამაშში მეორე მოთამაშისთვის სასარგებლოა გამოიყენოს თავისი 1-ლი სტრატეგია; სვეტში არის პირველი მოთამაშის ყველაზე დიდი საშუალო მოგება 3, რომელიც მან მიიღო პირველ თამაშში; სვეტი w შეიცავს მეორე მოთამაშის მიერ პირველ თამაშში მიღებულ უმცირეს საშუალო დანაკარგს 1-ს; სვეტი v შეიცავს საშუალო არითმეტიკას v = (u + w) - ანუ, თამაშის ფასის მიახლოებით მნიშვნელობას, რომელიც მიღებულია თამაშის ერთი თამაშის წაგების შედეგად. თუ მეორე მოთამაშე გამოიყენებს თავის პირველ სტრატეგიას, მაშინ პირველი მიიღებს 3, 1, 2, შესაბამისად, თავისი 1-ლი, მე-2, მე-3 სტრატეგიებით და პირველი მოთამაშის ჯამური მოგება ორივე თამაშში იქნება:

2 + 3=5 მისი პირველი სტრატეგიით,

3 + 1=4 მისი მე-2 სტრატეგიით,

3 + 2=5 მისი მე-3 სტრატეგიით.

ეს ჯამური მოგება ფიქსირდება ცხრილის მეორე რიგში. 3 და პირველი მოთამაშის სტრატეგიების შესაბამის სვეტებში: 1, 2, 3.

მთლიანი მოგებიდან ყველაზე დიდი არის 5. ის მიიღება პირველი მოთამაშის 1-ლი და მე-3 სტრატეგიით, შემდეგ მას შეუძლია აირჩიოს რომელიმე მათგანი; ვთქვათ, ასეთ შემთხვევებში, როდესაც არის ორი (ან რამდენიმე) იდენტური ჯამური მოგება, აირჩიეთ სტრატეგია ყველაზე მცირე რაოდენობით (ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ უნდა ავიღოთ 1-ლი სტრატეგია).

პირველი მოთამაშის 1-ლი სტრატეგიით, მეორე წააგებს შესაბამისად 3, 2, 3 თავის 1-ლ, მე-2, მე-3 სტრატეგიებთან და მეორე მოთამაშის საერთო წაგება ორივე თამაშში იქნება:

1 + 3=4 მისი პირველი სტრატეგიით,

3 + 2=5 მისი მე-2 სტრატეგიით,

4 + 3=7 მისი მე-3 სტრატეგიით.

ეს ჯამური დანაკარგები დაფიქსირებულია ცხრილის მეორე რიგში. 5 და მეორე მოთამაშის 1-ლი, მე-2, მე-3 სტრატეგიების შესაბამის სვეტებში.

მეორე მოთამაშის ყველა ჯამური ზარალიდან ყველაზე პატარა არის 4. ის მიიღება მისი 1-ლი სტრატეგიით, შესაბამისად, მესამე თამაშში მეორე მოთამაშემ უნდა გამოიყენოს თავისი 1-ლი სტრატეგია. პირველი მოთამაშის ყველაზე დიდი ჯამური მოგება ორ თამაშზე, გაყოფილი თამაშების რაოდენობაზე, მოთავსებულია სვეტში, ე.ი. სვეტი w შეიცავს მეორე მოთამაშის უმცირეს ჯამურ დანაკარგს ორ თამაშში, გაყოფილი თამაშების რაოდენობაზე, ე.ი. V სვეტში მითითებულია ამ მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული, ანუ = ეს რიცხვი აღებულია, როგორც თამაშის ფასის მიახლოებითი მნიშვნელობა ორი "თამაშიანი" თამაშით.

ამრიგად, მიიღება შემდეგი ცხრილი 4, ორი თამაშისთვის.

ცხრილი 6. მოთამაშეთა ჯამური მოგება და წაგება ორი თამაშის შემდეგ

მე-6 ცხრილის მესამე რიგში მეორე მოთამაშის სტრატეგიის სვეტში არის ნომერი 1, რომელიც მიუთითებს, რომ მესამე თამაშში მეორე მოთამაშემ უნდა გამოიყენოს თავისი 1-ლი სტრატეგია. ამ შემთხვევაში, პირველი მოთამაშე იგებს 3, 1, 2, შესაბამისად მისი 1, 2, 3 სტრატეგიების გამოყენებით და მისი ჯამური მოგება სამ თამაშზე იქნება:

3 + 5 = 8 მისი პირველი სტრატეგიით,

1 +4 = 5 მისი მე-2 სტრატეგიით,

2 + 5 = 7 მისი მე-3 სტრატეგიით.

პირველი მოთამაშის ეს ჯამური მოგება ფიქსირდება მე-6 ცხრილის მესამე რიგში და მისი 1, 2, 3 სტრატეგიების შესაბამისი სვეტები. ვინაიდან პირველი მოთამაშის ყველაზე დიდი ჯამური მოგება მიიღება 1-ლი სტრატეგიით, არჩეულია 1-ლი. შესაბამისად.

პირველი მოთამაშის 1-ლი სტრატეგიით, მეორე წააგებს შესაბამისად 3, 1, 2 თავის 1-ლ, მე-2, მე-3 სტრატეგიებთან და მეორე მოთამაშის საერთო წაგება ორივე თამაშში იქნება:

3 + 4=7 მისი პირველი სტრატეგიით,

2 + 5=7 მისი მე-2 სტრატეგიით,

3 + 7 = 10 მისი მე-3 სტრატეგიით.

ეს ჯამური დანაკარგები აღირიცხება ცხრილის მესამე სტრიქონში. 6 და მეორე მოთამაშის 1-ლი, მე-2, მე-3 სტრატეგიების შესაბამის სვეტებში. მისი მთლიანი დანაკარგებიდან 7 არის ყველაზე პატარა და მიიღება მისი 1-ლი და მე-2 სტრატეგიით, შემდეგ მეორე მოთამაშემ უნდა გამოიყენოს თავისი 1-ლი სტრატეგია.

მაგიდაზე 6 სვეტში მესამე სტრიქონში და აფიქსირებს პირველი მოთამაშის ყველაზე დიდ მოგებას სამ თამაშზე, გაყოფილი თამაშის რაოდენობაზე, ე.ი. სვეტში w მოთავსებულია მეორე მოთამაშის უმცირესი ჯამური წაგება სამ თამაშზე გაყოფილი თამაშების რაოდენობაზე, ე.ი. სვეტი v შეიცავს მათ საშუალო არითმეტიკას

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ მაგიდას. 7 სამი თამაშისთვის.

ცხრილი 7. მოთამაშეთა ჯამური მოგება და წაგება სამი თამაშის შემდეგ

ცხრილი 8. დასკვნითი ცხრილი ოცი თამაშის შემდეგ

მაგიდიდან 7 და 8 ჩანს, რომ 20 წაგებულ თამაშში პირველი მოთამაშისთვის 1, 2, 3 სტრატეგიები ხდება შესაბამისად 12, 3, 5-ჯერ, შესაბამისად მათი ფარდობითი სიხშირეები შესაბამისად ტოლია; სტრატეგიები 1, 2, 3 მეორე მოთამაშისთვის ხდება 7, 11,2-ჯერ შესაბამისად, შესაბამისად მათი ფარდობითი სიხშირეები შესაბამისად ტოლია; თამაშის სავარაუდო ფასი. ეს მიახლოება საკმაოდ კარგია.

დაბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ თუ თამაშს აქვს ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ თამაშის ღირებულების მიახლოებები კვლავ იქნება მიახლოებითი თამაშის ნამდვილ ღირებულებას განუსაზღვრელი ვადით, ხოლო მოთამაშეთა სტრატეგიების ფარდობითი სიხშირე აუცილებლად აღარ იქნება მოთამაშეების რეალური ოპტიმალური შერეული მიახლოებით. სტრატეგიები.

შედეგების ანალიზი

ამ საკურსო ნამუშევარში შევისწავლეთ ანტაგონისტური თამაშების გადაწყვეტილებების ძიების მასალა გრაფიკული, მატრიცული მეთოდით და თამაშის ფასის თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდით. აღმოჩნდა პირველი და მეორე მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგიები, ასევე თამაშებში თამაშის ღირებულება 2x2, 2xn და mx2, ასევე მატრიცის მეთოდით და ბრაუნის მეთოდით თამაშებში.

წყვილის მაგალითის გამოყენებით მოხდა 2x2 თამაშის სიმულაცია, რომელიც გადაწყდა ალგებრული და გრაფიკული მეთოდებით. თამაშის ალგებრულად გადაჭრით, გამოსავალი აჩვენებს, რომ მათი ოპტიმალური შერეული სტრატეგიების გამოყენებით, პირველი და მეორე მოთამაშე ერთად 4,6 საათს გაატარებენ. პრობლემის გრაფიკული გადაწყვეტა მიიღეს მცირე შეცდომით და შეადგინა 4,5 საათი.

ასევე ორი პრობლემა 2xn და mx2 იყო სიმულირებული. პრობლემა 2xn განიხილებოდა სასოფლო-სამეურნეო კულტურა და სტრატეგია აჩვენებს, რომ უმჯობესია მინდვრის დარგვა 50-დან 50-მდე, ხოლო თამაშის ფასი იყო 3,75 მილიონი რუბლი. და mx2 პრობლემაში განიხილებოდა წყვილი, რომელთა სტრატეგიამ აჩვენა, რომ პარკში და კინოში სიარული უფრო იაფი ჯდებოდა და ღირებულება იქნებოდა 4,3 რუბლი.

მატრიცული მეთოდისთვის მოდელირებული იყო პრობლემა, რომელშიც განიხილებოდა ორი რესტორანი, პრობლემის გადაწყვეტამ აჩვენა, რომ მისი ოპტიმალური შერეული სტრატეგიის გამოყენებისას პირველი რესტორნის მოგება იქნება 15,6 მილიონი რუბლი, ხოლო მისი ოპტიმალური შერეული სტრატეგიის გამოყენებისას. მეორე რესტორანი, ის არ დაუშვებს პირველს გამოიმუშავოს 15,6 მილიონ რუბლზე მეტი. გრაფიკულმა გადაწყვეტამ გამოიწვია შეცდომა და თამაშის ფასი იყო 14,9 მილიონი რუბლი.

ბრაუნის მეთოდისთვის შედგენილია დავალება, რომელშიც განიხილება პროფკავშირი და კომპანიის მენეჯმენტი, მათი ამოცანაა მუშებისთვის საკვების მიწოდება. თუ ორივე მოთამაშე გამოიყენებს თავის ოპტიმალურ სტრატეგიას, საკვები ერთ ადამიანზე იქნება 2,45 ათასი რუბლი.

გამოყენებული წყაროების სია

1) ვილისოვი V.Ya. ლექციის ჩანაწერები „თამაშის თეორია და სტატისტიკური გადაწყვეტილებები“, - ფილიალი - „ვოსხოდი“ MAI. 1979. 146 გვ.

2) კრუშევსკი ა.ვ. თამაშის თეორია, - კიევი: ვიშჩას სკოლა, 1977. - 216გვ.

3) Churchmen U., Akof R., Arnof L., Introduction to Operations Research. - მ.: მეცნიერება. 1967. - 488გვ.

4) http://www.math-pr.com/exampl_gt2.htm

5) http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D1% 82%D0%B0%D0 %B3%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%81 %D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0

გამოქვეყნებულია Allbest.ru-ზე

მსგავსი დოკუმენტები

გადაწყვეტილების მიღება, როგორც ადამიანის საქმიანობის განსაკუთრებული სახე. თამაშის მატრიცის რაციონალური წარმოდგენა. მატრიცული თამაშების მაგალითები სუფთა და შერეული სტრატეგიებით. ოპერაციების კვლევა: კავშირი ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანებსა და თამაშის თეორიულ მოდელს შორის.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 05/05/2010


არაერთხელ გამეორებული თამაშები, მათი გამორჩეული თვისებები და ეტაპები. შერეული სტრატეგიები, მათი პრაქტიკაში გამოყენების პირობები და შესაძლებლობები. 2 x 2 ტიპის თამაშის ამოხსნის ანალიტიკური მეთოდი. მართკუთხა თამაშების ძირითადი თეორემები. ალგებრული ამონახსნები.

პრეზენტაცია, დამატებულია 23/10/2013


ბიმატრიქსის თამაშების თეორიის ძირითადი განმარტებები. ბიმატრიქსის თამაშის მაგალითი "მოსწავლე-მასწავლებელი". შერეული სტრატეგიები ბიმატრიქს თამაშებში. მოძებნეთ „ბალანსირებული სიტუაცია“. 2x2 ბიმატრიქსის თამაშები და ფორმულები იმ შემთხვევისთვის, როდესაც თითოეულ მოთამაშეს აქვს ორი სტრატეგია.

რეზიუმე, დამატებულია 02/13/2011


შეიტყვეთ ზოგადი ინფორმაცია მატრიცული და ნულოვანი ჯამის თამაშების შესახებ. პოზიციური თამაშის კონცეფცია, ხე, საინფორმაციო ნაკრები. მაქსიმინის პრინციპისა და წონასწორობის პრინციპის გათვალისწინება. პარეტოს ოპტიმალურობა. პოზიციური არაანტაგონისტური თამაში, მისი თვისებები.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 17/10/2014


თამაშის თეორია არის მათემატიკის ფილიალი, რომლის საგანია კონფლიქტის პირობებში ოპტიმალური გადაწყვეტილებების მიღების მათემატიკური მოდელების შესწავლა. ბრაუნ-რობინსონის განმეორებითი მეთოდი. მონოტონური განმეორებითი ალგორითმი მატრიცული თამაშების გადასაჭრელად.

დისერტაცია, დამატებულია 08/08/2007


გადახდის მატრიცის შედგენა, თამაშის ქვედა და ზედა წმინდა ფასების ძიება, მოთამაშეთა მაქსიმალური და მინიმალური სტრატეგიები. გადახდის მატრიცის გამარტივება. მატრიცული თამაშის გადაჭრა ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის შემცირებით და დანამატით „გამოსავალის ძიება“.

ტესტი, დამატებულია 11/10/2014


თამაშის თეორია არის კონფლიქტური სიტუაციების მათემატიკური თეორია. ორკაციანი ნულოვანი ჯამის თამაშის მათემატიკური მოდელის შემუშავება, მისი განხორციელება პროგრამის კოდების სახით. პრობლემის გადაჭრის მეთოდი. შეყვანისა და გამომავალი მონაცემები. პროგრამა, მომხმარებლის სახელმძღვანელო.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 08/17/2013


ძირითადი ინფორმაცია სიმპლექსის მეთოდის შესახებ, მისი როლისა და მნიშვნელობის შეფასება ხაზოვან პროგრამირებაში. გეომეტრიული ინტერპრეტაცია და ალგებრული მნიშვნელობა. წრფივი ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმალურის პოვნა, განსაკუთრებული შემთხვევები. ამოცანის ამოხსნა მატრიცის სიმპლექსის მეთოდით.

ნაშრომი, დამატებულია 06/01/2015


კომპიუტერული სისტემების მათემატიკური მოდელების აგების ტექნიკა, რომელიც ასახავს მათი ფუნქციონირების სტრუქტურასა და პროცესებს. ფაილების წვდომის რაოდენობა საშუალო პრობლემის გადაჭრის პროცესში. გარე მეხსიერების დისკებში ფაილების განთავსების შესაძლებლობის განსაზღვრა.

ლაბორატორიული სამუშაო, დამატებულია 21.06.2013წ


მათემატიკური მოდელის დიზაინი. თამაშის აღწერა tic-tac-toe. ლოგიკური თამაშის მოდელი, რომელიც დაფუძნებულია ლოგიკური ალგებრაზე. ციფრული ელექტრონული მოწყობილობები და მათი მათემატიკური მოდელის შემუშავება. სათამაშო კონსოლი, თამაშის კონტროლერი, თამაშის ველის ხაზი.

განვიხილოთ სასრული ნულოვანი ჯამის წყვილების თამაში. მოდით აღვნიშნოთ ამოთამაშის მოგება ა, და მეშვეობით ბ- მოთამაშის მოგება ბ. იმიტომ რომ ა = –ბ, მაშინ ასეთი თამაშის გაანალიზებისას არ არის საჭირო ორივე ამ რიცხვის გათვალისწინება - საკმარისია გავითვალისწინოთ ერთ-ერთი მოთამაშის მოგება. დაე, მაგალითად, ა. შემდეგში, პრეზენტაციის მოხერხებულობისთვის, აჩვენ პირობითად დავუძახებთ " ჩვენ"და მხარე ბ – "მტერი".

მოდით გვქონდეს მშესაძლო სტრატეგიები ა 1 , ა 2 , …, Ვარდა მტერი ნშესაძლო სტრატეგიები ბ 1 , ბ 2 , …, ბნ(ასეთ თამაშს ეწოდება თამაში m×n). დავუშვათ, რომ თითოეულმა მხარემ აირჩია გარკვეული სტრატეგია: ჩვენ ავირჩიეთ A ი, მოწინააღმდეგე ბ ჯ. თუ თამაში შედგება მხოლოდ პირადი სვლებისგან, მაშინ სტრატეგიების არჩევანი A იდა ბ ჯცალსახად განსაზღვრავს თამაშის შედეგს - ჩვენს მოგებას (დადებითი თუ უარყოფითი). მოდით აღვნიშნოთ ეს მოგება იჯ(მოგება, როდესაც ვირჩევთ სტრატეგიას A ი, ხოლო მტერი – სტრატეგიები ბ ჯ).

თუ თამაში შეიცავს, გარდა პირადი, შემთხვევით სვლებს, მაშინ მოგება წყვილი სტრატეგიით A ი, ბ ჯარის შემთხვევითი მნიშვნელობა, რომელიც დამოკიდებულია ყველა შემთხვევითი სვლის შედეგებზე. ამ შემთხვევაში, მოსალოდნელი ანაზღაურების ბუნებრივი შეფასებაა შემთხვევითი გამარჯვების მათემატიკური მოლოდინი. მოხერხებულობისთვის ჩვენ აღვნიშნავთ იჯროგორც თავად მოგება (თამაშში შემთხვევითი სვლების გარეშე), ასევე მისი მათემატიკური მოლოდინი (შემთხვევითი სვლებით თამაშში).

დავუშვათ, რომ ჩვენ ვიცით ღირებულებები იჯთითოეული წყვილი სტრატეგიისთვის. ეს მნიშვნელობები შეიძლება დაიწეროს როგორც მატრიცა, რომლის რიგები შეესაბამება ჩვენს სტრატეგიებს ( A ი), ხოლო სვეტები - მტრის სტრატეგიები ( ბ ჯ):

ასეთ მატრიცას ე.წ თამაშის გადახდის მატრიცაან უბრალოდ თამაშის მატრიცა.

გაითვალისწინეთ, რომ ანაზღაურების მატრიცის აგება თამაშებისთვის სტრატეგიების დიდი რაოდენობით შეიძლება იყოს რთული ამოცანა. მაგალითად, ჭადრაკის თამაშისთვის, შესაძლო სტრატეგიების რაოდენობა იმდენად დიდია, რომ ანაზღაურების მატრიცის აგება პრაქტიკულად შეუძლებელია. თუმცა, პრინციპში, ნებისმიერი სასრული თამაში შეიძლება შემცირდეს მატრიცულ ფორმამდე.

განვიხილოთ მაგალითი 1ანტაგონისტური თამაში 4x5. ჩვენ გვაქვს ოთხი სტრატეგია, მტერს აქვს ხუთი სტრატეგია. თამაშის მატრიცა ასეთია:

რა სტრატეგია უნდა გვქონდეს (ე.ი. მოთამაშე ა) გამოყენება? როგორი სტრატეგიაც არ უნდა ავირჩიოთ, ინტელექტუალური ოპონენტი უპასუხებს სტრატეგიით, რომლის ანაზღაურებაც მინიმალური იქნება. მაგალითად, თუ ავირჩევთ სტრატეგიას ა 3 (10 მოგებით ცდუნება), მოწინააღმდეგე უპასუხებს სტრატეგიის არჩევით ბ 1, და ჩვენი ანაზღაურება იქნება მხოლოდ 1. ცხადია, სიფრთხილის პრინციპიდან გამომდინარე (და ეს არის თამაშის თეორიის ძირითადი პრინციპი), უნდა ავირჩიოთ სტრატეგია, რომელშიც ჩვენი მინიმალური მოგება მაქსიმალურია.

მოდით აღვნიშნოთ α iმინიმალური მოგების ღირებულება სტრატეგიისთვის A ი:

და დაამატეთ სვეტი, რომელიც შეიცავს ამ მნიშვნელობებს თამაშის მატრიცას:

სტრატეგიის არჩევისას უპირატესობა უნდა მივცეთ იმას, რისთვისაც ფასდება α iმაქსიმუმ. მოდით აღვნიშნოთ ეს მაქსიმალური მნიშვნელობა α :

მაგნიტუდა α დაურეკა თამაშის ყველაზე დაბალი ფასიან მაქსიმინი(მაქსიმალური მინიმალური მოგება). მოთამაშის სტრატეგია ამაქსიმინის შესაბამისი α , დაურეკა მაქსიმალური სტრატეგია.

ამ მაგალითში მაქსიმ α უდრის 3-ს (ცხრილის შესაბამისი უჯრა მონიშნულია ნაცრისფერში), ხოლო მაქსიმინის სტრატეგია არის ა 4 . ამ სტრატეგიის არჩევით შეგვიძლია დარწმუნებული ვიყოთ, რომ მტრის ნებისმიერი ქცევისთვის ჩვენ მოვიგებთ არანაკლებ 3-ს (და შესაძლოა მეტსაც, თუ მტრის ქცევა „არაგონივრული“ იქნება ეს მნიშვნელობა არის ჩვენი გარანტირებული მინიმუმი, რომელიც ჩვენ შეგვიძლია უზრუნველვყოთ საკუთარი თავისთვის). ყველაზე ფრთხილი („გადაზღვევის“) სტრატეგიის დაცვით.

ახლა განვახორციელოთ მტრის მსგავსი მსჯელობა ბ ბ ა ბ 2 - ჩვენ ვუპასუხებთ მას ა .

მოდით აღვნიშნოთ β ჯ ა ბ) სტრატეგიისთვის A ი:

β ჯ β :

7. რას ეძახიან TOP VALUE GAME ახლა მოდით განვახორციელოთ მსგავსი მსჯელობა მოწინააღმდეგისთვის ბ. მას აინტერესებს ჩვენი მოგება მინიმუმამდე დაიყვანოს, ანუ ნაკლები მოგვცეს, მაგრამ მისთვის ყველაზე ცუდი საქციელის იმედი უნდა ჰქონდეს. მაგალითად, თუ ის აირჩევს სტრატეგიას ბ 1, მაშინ მას სტრატეგიით ვუპასუხებთ ა 3 და მოგვცემს 10. თუ აირჩევს ბ 2 - ჩვენ ვუპასუხებთ მას ა 2, და ის მისცემს 8-ს და ა.შ. ცხადია, ფრთხილმა მოწინააღმდეგემ უნდა აირჩიოს სტრატეგია, რომელშიც ჩვენი მაქსიმალური მოგება იქნება მინიმალური.

მოდით აღვნიშნოთ β ჯმაქსიმალური მნიშვნელობები ანაზღაურების მატრიცის სვეტებში (მოთამაშის მაქსიმალური მოგება ა, ან, რაც იგივეა, მოთამაშის მაქსიმალური ზარალი ბ) სტრატეგიისთვის A ი:

და დაამატეთ მწკრივი, რომელიც შეიცავს ამ მნიშვნელობებს თამაშის მატრიცას:

სტრატეგიის არჩევისას, მტერი უპირატესობას ანიჭებს იმას, რისთვისაც ღირს β ჯმინიმალური. ავღნიშნოთ β :

მაგნიტუდა β დაურეკა თამაშის ყველაზე მაღალი ფასიან მინიმაქსი(მინიმალური მაქსიმალური მოგება). მინიმქსის შესაბამისი მტრის (მოთამაშის) სტრატეგია ბ), დაურეკა მინიმალური სტრატეგია.

მინიმაქსი არის მოგების ღირებულება, რომელსაც გონივრული მოწინააღმდეგე ნამდვილად არ მოგვცემს (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გონივრული მეტოქე წააგებს არაუმეტეს β ). ამ მაგალითში, მინიმალური β უდრის 5-ს (ცხრილის შესაბამისი უჯრა მონიშნულია ნაცრისფერში) და ეს მიიღწევა მტრის სტრატეგიის გამოყენებით ბ 3 .

ასე რომ, სიფრთხილის პრინციპიდან გამომდინარე („ყოველთვის იფიქრე ყველაზე უარესზე!“), ჩვენ უნდა ავირჩიოთ სტრატეგია. ა 4, ხოლო მტერი - სტრატეგია ბ 3. სიფრთხილის პრინციპი თამაშის თეორიაში ფუნდამენტურია და ე.წ მინიმაქსის პრინციპი.

განვიხილოთ მაგალითი 2. მიეცით მოთამაშეები ადა INერთდროულად და ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ჩაწერეთ სამი რიცხვიდან ერთი: ან "1", ან "2", ან "3". თუ დაწერილი რიცხვების ჯამი ლუწია, მაშინ მოთამაშე ბიხდის მოთამაშეს აამ თანხას. თუ თანხა კენტია, მაშინ მოთამაშე იხდის ამ თანხას ამოთამაშეს IN.

მოდით ჩამოვწეროთ თამაშის გადახდის მატრიცა და ვიპოვოთ თამაშის ქვედა და ზედა ფასები (სტრატეგიის ნომერი შეესაბამება დაწერილ რიცხვს):

მოთამაშე აუნდა დაიცვას მაქსიმალური სტრატეგია ა 1 მოგება არანაკლებ –3 (ანუ წაგება არაუმეტეს 3). Minimax მოთამაშის სტრატეგია ბ- ნებისმიერი სტრატეგია ბ 1 და ბ 2, გარანტიას, რომ ის მისცემს არაუმეტეს 4-ს.

იგივე შედეგს მივიღებთ, თუ ანაზღაურების მატრიცას დავწერთ მოთამაშის თვალსაზრისით IN. სინამდვილეში, ეს მატრიცა მიიღება მოთამაშის თვალთახედვით აგებული მატრიცის ტრანსპონირებით. ადა ელემენტების ნიშნების შეცვლა საპირისპიროდ (მოთამაშის მოგებიდან ა- ეს არის მოთამაშის წაგება IN):

ამ მატრიციდან გამომდინარე გამოდის, რომ მოთამაშე ბუნდა დაიცვას რომელიმე სტრატეგია ბ 1 და ბ 2 (და შემდეგ ის დაკარგავს არაუმეტეს 4-ს) და მოთამაშე ა- სტრატეგიები ა 1 (და შემდეგ ის დაკარგავს არაუმეტეს 3-ს). როგორც ხედავთ, შედეგი ზუსტად ემთხვევა ზემოთ მიღებულს, ამიტომ ანალიზის დროს არ აქვს მნიშვნელობა რომელი მოთამაშის თვალსაზრისით ვატარებთ მას.

8 რას ჰქვია ღირებულების თამაში.

9. რა არის MINIMAX პრინციპი. 2. თამაშის ქვედა და ზედა ფასი. მინიმაქსის პრინციპი

განვიხილოთ მატრიცული თამაში ანაზღაურების მატრიცით

თუ მოთამაშე ააირჩევს სტრატეგიას A ი, მაშინ მისი ყველა შესაძლო ანაზღაურება ელემენტები იქნება მემატრიცის მე-6 მწკრივი თან. უარეს შემთხვევაში მოთამაშისთვის აშემთხვევა, როდესაც მოთამაშე INმიმართავს შესაბამის სტრატეგიას მინიმალურიამ ხაზის ელემენტი, მოთამაშის მოგება არიცხვის ტოლი იქნება.

ამიტომ, ყველაზე დიდი მოგების მისაღებად მოთამაშე ათქვენ უნდა აირჩიოთ სტრატეგია, რომლისთვისაც ნომერი მაქსიმუმ.

ტესტები საბოლოო კონტროლისთვის

1. ანტაგონისტური თამაშის დაყენება შესაძლებელია:

ა) სტრატეგიების კომპლექტი ორივე მოთამაშისთვის და უნაგირის წერტილისთვის.

ბ) სტრატეგიების ნაკრები ორივე მოთამაშისთვის და პირველი მოთამაშის ანაზღაურების ფუნქციისთვის.

2. თამაშის ფასი ყოველთვის არსებობს შერეული სტრატეგიების მატრიცული თამაშებისთვის.

ა) დიახ.

3. თუ ანაზღაურების მატრიცის ყველა სვეტი ერთნაირია და აქვს ფორმა (4 5 0 1), მაშინ რომელი სტრატეგიაა ოპტიმალური პირველი მოთამაშისთვის?

ა) პირველი.

ბ) მეორე.

გ) ოთხიდან რომელიმე.

4. მატრიცულ თამაშში პირველი მოთამაშის ერთ-ერთ შერეულ სტრატეგიას ჰქონდეს ფორმა (0.3, 0.7), ხოლო მე-2 მოთამაშის ერთ-ერთ შერეულ სტრატეგიას ჰქონდეს ფორმა (0.4, 0, 0.6). რა არის ამ მატრიცის განზომილება?

ა) 2*3.

გ) სხვა განზომილება.

5. დომინანტობის პრინციპი საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ მატრიციდან ერთი ნაბიჯით:

ა) მთელი ხაზები.

ბ) ინდივიდუალური ნომრები.

6. 2*მ თამაშების ამოხსნის გრაფიკულ მეთოდში პირდაპირ გრაფიკიდან აღმოჩნდება:

ა) ორივე მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგიები.

ბ) თამაშის ფასი და მე-2 მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგიები.

გ) თამაშის ფასი და პირველი მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგიები.

7. 2*მ თამაშების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის ქვედა კონვერტის გრაფიკი ზოგად შემთხვევაშია:

ა) გატეხილი.

ბ) სწორი.

გ) პარაბოლა.

8. 2*2 მატრიცულ თამაშში მოთამაშის შერეული სტრატეგიის ორი კომპონენტია:

ა) განსაზღვრეთ ერთმანეთის ღირებულებები.

ბ) დამოუკიდებელი.

9. მატრიცულ თამაშში ელემენტი aij არის:

ა) 1-ლი მოთამაშის მოგება, როდესაც ის იყენებს მე-ე სტრატეგიას, ხოლო მე-2 - j-ე სტრატეგიას.

ბ) 1-ლი მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგია, როდესაც მოწინააღმდეგე იყენებს მე-ე ან j-ე სტრატეგიას.

გ) 1-ლი მოთამაშის წაგება, როდესაც ის იყენებს j-ე სტრატეგიას, ხოლო მე-2 - i-ის სტრატეგიას.

10.მატრიცის ელემენტი aij შეესაბამება უნაგირის წერტილს. შესაძლებელია შემდეგი სიტუაციები:

ა) ეს ელემენტი მკაცრად ყველაზე პატარაა ხაზში.

ბ) ეს ელემენტი რიგით მეორეა სტრიქონში.

11. ბრაუნ-რობინსონის მეთოდით ყოველი მოთამაშე მომდევნო ეტაპზე სტრატეგიის არჩევისას ხელმძღვანელობს:

ა) მტრის სტრატეგიები წინა ნაბიჯებზე.

ბ) თქვენი სტრატეგიები წინა ნაბიჯებში.

გ) სხვა რამ.

12. მათემატიკური მოლოდინის კრიტერიუმის მიხედვით, თითოეული მოთამაშე გამომდინარეობს იქიდან, რომ:

ა) მისთვის ყველაზე უარესი სიტუაცია მოხდება.

გ) ყველა ან ზოგიერთი სიტუაცია შესაძლებელია ზოგიერთი მოცემული ალბათობით.

13. მატრიცული თამაში იყოს მოცემული მატრიცით, რომელშიც ყველა ელემენტი უარყოფითია. თამაშის ფასი დადებითია:

ბ) არა.

გ) არ არსებობს მკაფიო პასუხი.

14. თამაშის ფასია:

რიცხვი.

ბ) ვექტორი.

გ) მატრიცა.

15. რა არის უნაგირის წერტილების მაქსიმალური რაოდენობა, რაც შეიძლება იყოს 5*5 განზომილების თამაშში (მატრიცა შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ რიცხვს):

16. 2*3 განზომილების მატრიცულ თამაშში 1-ლი მოთამაშის ერთ-ერთ შერეულ სტრატეგიას ჰქონდეს ფორმა (0.3, 0.7), ხოლო მე-2 მოთამაშის ერთ-ერთ შერეულ სტრატეგიას ჰქონდეს ფორმა (0.3, x, 0.5) . რა არის რიცხვი x?

გ) სხვა ნომერი.

17. თამაშის მატრიცის რა განზომილებისთვის გადაიქცევა უოლდის კრიტერიუმი ლაპლასის კრიტერიუმად?

გ) მხოლოდ სხვა შემთხვევაში.

18. თამაშის ზედა ფასი ყოველთვის ნაკლებია ვიდრე თამაშის დაბალი ფასი.

ბ) არა.

ბ) კითხვა არასწორია.

19. რა სტრატეგიები არსებობს მატრიცულ თამაშში:

ა) სუფთა.

ბ) შერეული.

გ) ორივე.

20. ზოგიერთ ანტაგონისტურ თამაშში შეიძლება ორივე მოთამაშის ანაზღაურებადი ფუნქციის მნიშვნელობები ცვლადის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის ტოლი იყოს 1?

ა) ყოველთვის.

ბ) ხანდახან.

გ) არასოდეს.

21. მატრიცულ თამაშში, პირველი მოთამაშის ერთ-ერთი შერეული სტრატეგია იყოს ფორმის (0.3, 0.7), ხოლო მეორე მოთამაშის ერთ-ერთი შერეული სტრატეგია ფორმის (0.4, 0.1,0.1,0.4) . რა არის ამ მატრიცის განზომილება?

გ) სხვა განზომილება.

22. დომინანტობის პრინციპი საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ მატრიციდან ერთი ნაბიჯით:

ა) მთელი სვეტები,

ბ) ინდივიდუალური ნომრები.

გ) უფრო მცირე ზომის ქვემატრიცები.

23. 3*3 მატრიცულ თამაშში მოთამაშის შერეული სტრატეგიის ორი კომპონენტია:

ა) განსაზღვრეთ მესამე.

ბ) არ განსაზღვრავს.

24. მატრიცულ თამაშში ელემენტი aij არის:

ა) მე-2 მოთამაშის წაგება, როდესაც ის იყენებს j-ე სტრატეგიას, ხოლო მე-2 - i-ის სტრატეგიას..

ბ) მე-2 მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგია, როდესაც მოწინააღმდეგე იყენებს მე-ე ან j-ე სტრატეგიას;

გ) 1-ლი მოთამაშის მოგება, როდესაც ის იყენებს j-ე სტრატეგიას, ხოლო მე-2 - i-ის სტრატეგიას,

25. მატრიცის ელემენტი aij შეესაბამება უნაგირის წერტილს. შესაძლებელია შემდეგი სიტუაციები:

ა) ეს ელემენტი ყველაზე დიდია სვეტში.

ბ) ეს ელემენტი მკაცრად ყველაზე დიდია ხაზში.

გ) სტრიქონი შეიცავს ელემენტებს როგორც ამ ელემენტზე უფრო დიდს, ასევე ნაკლებს.

26. უოლდის კრიტერიუმის მიხედვით, თითოეული მოთამაშე ვარაუდობს, რომ:

ა) მისთვის ყველაზე უარესი სიტუაცია მოხდება.

ბ) ყველა სიტუაცია თანაბრად შესაძლებელია.

გ) ყველა სიტუაცია შესაძლებელია გარკვეული მოცემული ალბათობით.

27. დაბალი ფასი ნაკლებია თამაშის ზედა ფასზე:

ბ) არა ყოველთვის.

გ) არასოდეს.

28. მატრიცული თამაშის შერეული სტრატეგიის კომპონენტების ჯამი ყოველთვის არის:

ა) უდრის 1-ს.

ბ) არაუარყოფითი.

გ) დადებითი.

დ) ყოველთვის არა.

29. 2*3 მატრიცულ თამაშში 1-ლი მოთამაშის ერთ-ერთი შერეული სტრატეგია იყოს ფორმის (0.3, 0.7), ხოლო მე-2 მოთამაშის ერთ-ერთი შერეული სტრატეგია იყოს ფორმის (0.2, x, x) . რა არის რიცხვი x?

მოსკოვის ენერგეტიკის ინსტიტუტი

(ტექნიკური უნივერსიტეტი)

ლაბორატორიის ანგარიში

თამაშის თეორიაში

"პროგრამა ოპტიმალური სტრატეგიების მოსაძებნად დაწყვილებული ნულოვანი ჯამის თამაშისთვის, რომელიც მოცემულია მატრიცის სახით"

დაასრულეს სტუდენტები

ჯგუფი A5-01

აშრაპოვ დალერი

აშრაპოვა ოლგა

თამაშის თეორიის ძირითადი ცნებები

თამაშის თეორია შექმნილია გადასაჭრელად კონფლიქტური სიტუაციები , ე.ი. სიტუაციები, როდესაც ეჯახება ორი ან მეტი მხარის ინტერესები, რომლებიც ატარებენ სხვადასხვა მიზნებს.

თუ მხარეთა მიზნები პირდაპირ საპირისპიროა, მაშინ ისინი საუბრობენ ანტაგონისტური კონფლიქტი .

თამაში კონფლიქტური სიტუაციის გამარტივებულ ფორმალიზებულ მოდელს უწოდებენ.

თამაშის ერთი თამაში თავიდან ბოლომდე ეწოდება წვეულება . თამაშის შედეგი არის გადახდა (ან მოგება ).

პარტია შედგება მოძრაობს , ე.ი. მოთამაშეთა არჩევანი შესაძლო ალტერნატივების გარკვეული ნაკრებიდან.

მოძრაობები შეიძლება იყოს პირადიდა შემთხვევითი.პირადი ნაბიჯი , განსხვავებით შემთხვევითი , გულისხმობს მოთამაშის შეგნებულ არჩევანს რაიმე ვარიანტის შესახებ.

თამაშები, რომლებშიც არის მინიმუმ ერთი პირადი ნაბიჯი, ეწოდება სტრატეგიული .

თამაშები, რომლებშიც ყველა მოძრაობა შემთხვევითია, ეწოდება აზარტული თამაშები .

პირადი ნაბიჯის გადადგმისას ისინი ასევე საუბრობენ სტრატეგიები მოთამაშე, ე.ი. წესების ან წესების ნაკრების შესახებ, რომელიც განსაზღვრავს მოთამაშის არჩევანს. ამასთან, სტრატეგია უნდა იყოს ყოვლისმომცველი, ე.ი. არჩევანი უნდა განისაზღვროს თამაშის დროს ნებისმიერი შესაძლო სიტუაციისთვის.

თამაშის თეორიის პრობლემა– მოთამაშეებისთვის ოპტიმალური სტრატეგიების მოძიება, ე.ი. სტრატეგიები, რომლებიც უზრუნველყოფენ მათ მაქსიმალურ მოგებას ან მინიმალურ ზარალს.

თამაშის თეორიული მოდელების კლასიფიკაცია

თამაში ნპირებს ჩვეულებრივ აღნიშნავენ, როგორც სად
- i-th მოთამაშის სტრატეგიების ნაკრები,
- გადახდა თამაშისთვის.

ამ აღნიშვნის შესაბამისად, შეიძლება შემოთავაზებული იყოს თამაშის თეორიული მოდელების შემდეგი კლასიფიკაცია:

დისკრეტული (მრავალჯერადი სტრატეგია დისკრეტული)

ფინალი

დაუსრულებელი

უწყვეტი (მრავალჯერადი სტრატეგია უწყვეტი)

დაუსრულებელი

ნპირები (
)

კოალიცია (კოოპერატივი)

არაკოალიციური (არაკოოპერატიული)

2 ადამიანი (წყვილი)

ანტაგონისტური (ნულოვანი ჯამის თამაშები)

(მხარეთა ინტერესები საპირისპიროა, ანუ ერთი მოთამაშის წაგება უდრის მეორის მოგებას)

არაანტაგონისტური

სრული ინფორმაციით (თუ მოთამაშემ, რომელიც პერსონალურ სვლას აკეთებს, იცის თამაშის მთელი ფონი, ანუ მოწინააღმდეგის ყველა სვლა)

არასრული ინფორმაციით

ნულოვანი თანხით (მთლიანი გადახდა უდრის ნულს)

არანულოვანი ჯამი

ერთჯერადი (ლატარიები)

მრავალ პასს

დაწყვილებული ნულოვანი ჯამის თამაშის მატრიცული წარმოდგენა

ამ გაკვეთილში ჩვენ განვიხილავთ ორი ადამიანის ანტაგონისტური თამაშები მატრიცის სახით მოცემული. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიცით პირველი მოთამაშის (მოთამაშის) მრავალი სტრატეგია ა){ ა მე }, მე = 1,…, მდა სხვადასხვა სტრატეგია მეორე მოთამაშისთვის (მოთამაშე ბ){ ბ ჯ }, ჯ = 1,..., ნდა ასევე მოცემულია მატრიცა ა = || ა იჯ || პირველი მოთამაშის მოგება. ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ ანტაგონისტურ თამაშზე, ვარაუდობენ, რომ პირველი მოთამაშის მოგება უდრის მეორის წაგებას. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მატრიცის ელემენტი ა იჯ- პირველი მოთამაშის მოგება, როდესაც ის ირჩევს სტრატეგიას ა მედა მეორე მოთამაშის პასუხი მასზე სტრატეგიით ბ ჯ. ჩვენ აღვნიშნავთ ისეთ თამაშს, როგორც
, სად მ - მოთამაშის სტრატეგიების რაოდენობა A,ნ - მოთამაშის სტრატეგიების რაოდენობა IN.ზოგადად, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ცხრილით:

მაგალითი 1

როგორც მარტივი მაგალითი, განვიხილოთ თამაში, რომელშიც თამაში შედგება ორი სვლისგან.

1-ლი ნაბიჯი: მოთამაშე აირჩევს ერთ-ერთ რიცხვს (1 ან 2) ოპონენტის არჩევანის შესახებ შეტყობინების გარეშე.

მე-2 ნაბიჯი: მოთამაშე INირჩევს ერთ-ერთ რიცხვს (3 ან 4).

ქვედა ხაზი: მოთამაშეთა არჩევანი ადა INჩამოყაროს. თუ ჯამი ლუწია, მაშინ INუხდის თავის ღირებულებას მოთამაშეს ათუ კენტი - პირიქით, ათანხას უხდის მოთამაშეს IN.

ეს თამაში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით
შემდეგი გზით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ეს თამაში ანტაგონისტურია, გარდა ამისა, არის არასრული ინფორმაციით, რადგან მოთამაშეს IN,პერსონალური ნაბიჯის გადადგმისას უცნობია რა არჩევანი გააკეთა მოთამაშემ ა.

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, თამაშის თეორიის ამოცანაა მოძებნოს მოთამაშეთა ოპტიმალური სტრატეგიები, ე.ი. სტრატეგიები, რომლებიც უზრუნველყოფენ მათ მაქსიმალურ მოგებას ან მინიმალურ ზარალს. ამ პროცესს ე.წ თამაშის გადაწყვეტა .

თამაშის მატრიცული ფორმით გადაჭრისას, თქვენ უნდა შეამოწმოთ თამაში არსებობისთვის უნაგირის წერტილი . ამისათვის შეყვანილია ორი მნიშვნელობა:

– თამაშის ფასის დაბალი შეფასება და

- თამაშის ფასის ზედა შეფასება.

პირველი მოთამაშე, დიდი ალბათობით, აირჩევს სტრატეგიას, რომელშიც მიიღებს მაქსიმალურ მოგებას მეორე მოთამაშის ყველა შესაძლო პასუხს შორის, ხოლო მეორე მოთამაშე, პირიქით, აირჩევს ისეთს, რომელიც მინიმუმამდე დააყენებს საკუთარ ზარალს, ე.ი. პირველის შესაძლო მოგება.

ამის დამტკიცება შეიძლება α ≤ ვ ≤ β , სად ვ–თამაშის ფასი , ანუ პირველი მოთამაშის სავარაუდო მოგება.

თუ ურთიერთობა გრძელდება α = β = ვ, მერე ამას ამბობენ თამაშს აქვს უნაგირის წერტილი
, და შეიძლება გადაწყდეს წმინდა სტრატეგიებით . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არსებობს რამდენიმე სტრატეგია
, აძლევს მოთამაშეს ავ.

მაგალითი 2

მოდით დავუბრუნდეთ თამაშს, რომელიც განვიხილეთ მაგალით 1-ში და შევამოწმოთ უნაგირის წერტილის არსებობა.

ამ თამაშისთვის
= -5,
= 4,
მაშასადამე, მას არ აქვს უნაგირის წერტილი.

კიდევ ერთხელ გავამახვილოთ ყურადღება იმაზე, რომ ეს თამაში არის თამაში არასრული ინფორმაციით. ამ შემთხვევაში მხოლოდ მოთამაშეს შეგვიძლია ვურჩიოთ ააირჩიე სტრატეგია , იმიტომ ამ შემთხვევაში, მას შეუძლია მიიღოს ყველაზე დიდი მოგება, თუმცა მოთამაშის არჩევანის მიხედვით INსტრატეგიები .

მაგალითი 3

მოდით შევიტანოთ გარკვეული ცვლილებები თამაშის წესებში მაგალითი 1-დან. ჩვენ მოთამაშეს მივცემთ INმოთამაშის შერჩევის ინფორმაცია ა.მაშინ აქვს INგამოჩნდება ორი დამატებითი სტრატეგია:

- სტრატეგია, რომელიც სასარგებლოა ა.თუ არჩევანი A - 1,რომ INირჩევს 3 თუ არჩევანი A - 2,რომ INირჩევს 4;

- სტრატეგია, რომელიც არ არის მომგებიანი ა.თუ არჩევანი A - 1,რომ INირჩევს 4 თუ არჩევანი A - 2,რომ INირჩევს 3.

ეს თამაში არის სრული ინფორმაციით.

Ამ შემთხვევაში
= -5,
= -5,
მაშასადამე, თამაშს აქვს უნაგირის წერტილი
. ეს უნაგირის წერტილი შეესაბამება ოპტიმალური სტრატეგიების ორ წყვილს:
და
. თამაშის ფასი ვ= -5. აშკარაა, რომ ამისთვის აასეთი თამაში წამგებიანია.

მაგალითები 2 და 3 არის შემდეგი თეორემის კარგი ილუსტრაცია, რომელიც დადასტურებულია თამაშის თეორიაში:

თეორემა 1

ყველა დაწყვილებული ანტაგონისტური თამაში სრული ინფორმაციით შეიძლება გადაწყდეს სუფთა სტრატეგიებით.

რომ. თეორემა 1 ამბობს, რომ ნებისმიერ ორმოთამაშიან თამაშს სრული ინფორმაციით აქვს უნაგირების წერტილი და არის წყვილი სუფთა სტრატეგია.
, აძლევს მოთამაშეს ამდგრადი მოგება, რომელიც ტოლია თამაშის ფასს ვ.

უნაგირის წერტილის არარსებობის შემთხვევაში ე.წ შერეული სტრატეგიები :, სად გვ მე დაქ ჯ– სტრატეგიების არჩევის ალბათობა ა მე და ბ ჯპირველ და მეორე მოთამაშეებს შესაბამისად. თამაშის გამოსავალი ამ შემთხვევაში არის შერეული სტრატეგიების წყვილი
, თამაშის ფასის მათემატიკური მოლოდინის მაქსიმიზაციას.

შემდეგი თეორემა აზოგადებს თეორემა 1-ს არასრული ინფორმაციის მქონე თამაშის შემთხვევაში:

თეორემა 2

ნებისმიერ დაწყვილებულ ანტაგონისტურ თამაშს აქვს მინიმუმ ერთი ოპტიმალური გადაწყვეტა, ანუ შერეული სტრატეგიების წყვილი ზოგად შემთხვევაში.
, აძლევს მოთამაშეს ამდგრადი მოგება, რომელიც ტოლია თამაშის ფასს ვ, და α ≤ ვ ≤ β .

განსაკუთრებულ შემთხვევაში, უნაგირის წერტილით თამაშისთვის, შერეული სტრატეგიების ამონახსნი ჰგავს ვექტორთა წყვილს, რომლებშიც ერთი ელემენტი უდრის ერთს, დანარჩენი კი ნულის ტოლია.