Matematika ir mes. Tikimybių problemos Monetų mėtymo problemos

Monetos metimo problemos laikomos gana sudėtingomis. Ir prieš juos sprendžiant, reikia šiek tiek paaiškinti. Pagalvokite apie tai, bet kokia tikimybių teorijos problema galiausiai kyla į standartinę formulę:

kur p yra norima tikimybė, k yra mums tinkamų įvykių skaičius, n yra bendras galimų įvykių skaičius.

Daugumą B6 problemų galima išspręsti naudojant šią formulę pažodžiui vienoje eilutėje – tereikia perskaityti sąlygą. Tačiau monetų metimo atveju ši formulė yra nenaudinga, nes iš tokių uždavinių teksto visiškai neaišku, kam lygūs skaičiai k ir n. Čia ir slypi sunkumai.

Tačiau yra bent du iš esmės skirtingi sprendimo būdai:

1. Derinių surašymo metodas yra standartinis algoritmas. Išrašomi visi galvų ir uodegų deriniai, po kurių parenkami reikalingi;
2. Speciali tikimybių formulė – tai standartinis tikimybės apibrėžimas, specialiai perrašytas taip, kad būtų patogu dirbti su monetomis.

Norėdami išspręsti problemą B6, turite žinoti abu būdus. Deja, mokyklose dėstoma tik pirmoji. Nekartokime mokyklinių klaidų. Taigi, eime!

Derinių paieškos metodas

Šis metodas taip pat vadinamas „sprendimu į priekį“. Susideda iš trijų žingsnių:

1. Surašome visus galimus galvų ir uodegų derinius. Pavyzdžiui: OR, RO, OO, RR. Tokių kombinacijų skaičius yra n;
2. Tarp gautų derinių pažymime tuos, kurių reikalauja problemos sąlygos. Suskaičiuojame pažymėtas kombinacijas – gauname skaičių k;
3. Belieka rasti tikimybę: p = k: n.

Deja, šis metodas tinka tik nedaugeliui metimų. Nes su kiekvienu nauju metimu kombinacijų skaičius padvigubėja. Pavyzdžiui, už 2 monetas turėsite išrašyti tik 4 derinius. 3 monetoms jų jau yra 8, o 4 - 16, o klaidos tikimybė artėja prie 100%. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:

Užduotis. Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama du kartus. Raskite tikimybę, kad gausite tiek pat galvų ir uodegų.

Taigi, moneta metama du kartus. Užsirašykime visas įmanomas kombinacijas (O – galvutės, P – uodegos):

Iš viso n = 4 parinktys. Dabar užrašykite parinktis, atitinkančias problemos sąlygas:

Tokių variantų buvo k = 2 Raskite tikimybę:

Užduotis. Moneta metama keturis kartus. Raskite tikimybę, kad niekada nesulauksite galvos.

Dar kartą užrašome visus galimus galvų ir uodegų derinius:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOP OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOP PPOP PPPO PPPP

Iš viso buvo n = 16 variantų. Atrodo, nieko nepamiršau. Iš šių variantų mus tenkina tik „OOOO“ derinys, kuriame visiškai nėra uodegų. Todėl k = 1. Belieka rasti tikimybę:

Kaip matote, paskutinėje užduotyje turėjau parašyti 16 variantų. Ar tikrai galite juos užrašyti nepadarę nė vienos klaidos? Asmeniškai aš nesu tikras. Taigi pažvelkime į antrąjį sprendimą.

Speciali tikimybių formulė

Taigi, monetų problemos turi savo tikimybių formulę. Tai taip paprasta ir svarbu, kad nusprendžiau jį suformuluoti teoremos forma. Pažiūrėkite:

Teorema. Tegul moneta bus išmesta n kartų. Tada tikimybę, kad galvutės pasirodys tiksliai k kartų, galima rasti naudojant formulę:

Čia C n k yra n elementų derinių skaičius k, kuris apskaičiuojamas pagal formulę:

Taigi, norint išspręsti monetos problemą, reikia dviejų skaičių: metimų skaičiaus ir galvų skaičiaus. Dažniausiai šie skaičiai pateikiami tiesiogiai problemos tekste. Be to, nesvarbu, ką tiksliai skaičiuojate: uodegas ar galvas. Atsakymas bus toks pat.

Iš pirmo žvilgsnio teorema atrodo pernelyg sudėtinga. Tačiau kai tik šiek tiek pasipraktikuosite, nebenorėsite grįžti prie anksčiau aprašyto standartinio algoritmo.

Užduotis. Moneta metama keturis kartus. Raskite tikimybę gauti galvas tiksliai tris kartus.

Pagal uždavinio sąlygas iš viso buvo n = 4 metimai Reikalingas galvų skaičius: k = 3. Į formulę pakeiskite n ir k:

Užduotis. Moneta metama tris kartus. Raskite tikimybę, kad niekada nesulauksite galvos.

Vėl užrašome skaičius n ir k. Kadangi moneta metama 3 kartus, n = 3. O kadangi galvučių neturėtų būti, k = 0. Belieka formulėje pakeisti skaičius n ir k:

Leiskite jums priminti, kad 0! = 1 pagal apibrėžimą. Todėl C 3 0 = 1.

Užduotis. Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama 4 kartus. Raskite tikimybę, kad galvos pasirodys dažniau nei uodegos.

Kad galvų būtų daugiau nei uodegų, jos turi pasirodyti arba 3 kartus (tada bus 1 uodega) arba 4 kartus (tuomet uodegų visai nebus). Raskime kiekvieno iš šių įvykių tikimybę.

Tegul p 1 yra tikimybė, kad galvutės pasirodys 3 kartus. Tada n = 4, k = 3. Turime:

Dabar suraskime p 2 – tikimybę, kad galvos pasirodys visus 4 kartus. Šiuo atveju n = 4, k = 4. Turime:

Norint gauti atsakymą, belieka pridėti tikimybes p 1 ir p 2 . Atminkite: galite pridėti tik vienas kitą paneigiančių įvykių tikimybes. Turime:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Tikimybių teorijoje yra problemų, kurioms spręsti pakanka žinoti klasikinį tikimybės apibrėžimą ir vizualiai pavaizduoti siūlomą situaciją, grupė. Tokios problemos apima daugumą monetų metimo ir kauliukų metimo problemų. Prisiminkime klasikinį tikimybės apibrėžimą.

Įvykio A tikimybė (objektyvi įvykio įvykimo galimybė skaitine išraiška) yra lygi šiam įvykiui palankių baigčių skaičiaus santykiui su visų vienodai galimų nesuderinamų elementarių baigčių skaičiumi: P(A)=m/n, Kur:

• m – elementarių testų rezultatų, palankių įvykiui A, skaičius;
• n yra bendras visų galimų elementarių testų rezultatų skaičius.

Galimų elementarių testų rezultatų skaičių ir palankių baigčių skaičių nagrinėjamose problemose patogu nustatyti išvardijant visus galimus variantus (derinius) ir tiesioginį skaičiavimą.

Iš lentelės matome, kad galimų elementarių baigčių skaičius yra n=4. Palankios įvykio baigtys A = (galvos pasirodo 1 kartą) atitinka eksperimento variantą Nr. 2 ir Nr. 3, yra du tokie variantai m = 2.
Raskite įvykio tikimybę P(A)=m/n=2/4=0,5

2 problema . Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama du kartus. Raskite tikimybę, kad neturėsite galvų.

Sprendimas . Kadangi moneta metama du kartus, tai, kaip ir 1 uždavinyje, galimų elementarių rezultatų skaičius yra n=4. Palankios įvykio A = baigtys (galvos neatsiras net vieną kartą) atitinka eksperimento variantą Nr. 4 (žr. lentelę 1 uždavinyje). Yra tik vienas toks variantas, reiškiantis m=1.
Raskite įvykio tikimybę P(A)=m/n=1/4=0,25

3 problema . Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama tris kartus. Raskite tikimybę, kad galvos pasirodys lygiai 2 kartus.

Sprendimas . Pateikiame galimus trijų monetų metimo variantus (visus galimus galvučių ir uodegų derinius) lentelės pavidalu:

Iš lentelės matome, kad galimų elementarių baigčių skaičius yra n=8. Palankios įvykio A = baigtys (galvos pasirodo 2 kartus) atitinka eksperimento variantus Nr. 5, 6 ir 7.
Yra trys tokie variantai, o tai reiškia, kad m=3.

Raskite įvykio tikimybę P(A)=m/n=3/8=0,375 4 problema

Sprendimas . Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama keturis kartus. Raskite tikimybę gauti galvas tiksliai 3 kartus.

Iš lentelės matome, kad galimų elementarių baigčių skaičius yra n=16. Palankios įvykio baigtys A = (galvos pasirodys 3 kartus) atitinka eksperimento variantus Nr. 12, 13, 14 ir 15, o tai reiškia, kad m = 4.
Raskite įvykio tikimybę P(A)=m/n=4/16=0,25

Tikimybės nustatymas kauliukų uždaviniuose

5 problema . Nustatykite tikimybę, kad mesdami kauliuką (sąžiningą kauliuką) gausite daugiau nei 3 taškus.

Sprendimas . Metant kauliuką (įprastą kauliuką), gali iškristi bet kuris iš šešių jo veidų, t.y. įvyksta bet kuris elementarus įvykis – prarandama nuo 1 iki 6 taškų (taškų). Tai reiškia, kad galimų elementarių rezultatų skaičius yra n=6.
Įvykis A = (išmesti daugiau nei 3 taškai) reiškia, kad išmeta 4, 5 arba 6 taškai (taškai). Tai reiškia, kad palankių rezultatų skaičius yra m = 3.
Įvykio tikimybė P(A)=m/n=3/6=0,5

6 problema . Nustatykite tikimybę, kad mesdami kauliuką gausite ne didesnį kaip 4 taškų skaičių. Rezultatą suapvalinkite iki tūkstantosios dalies.

Sprendimas . Metant kauliuką, gali iškristi bet kuris iš šešių jo veidų, t.y. įvyksta bet kuris elementarus įvykis – prarandama nuo 1 iki 6 taškų (taškų). Tai reiškia, kad galimų elementarių rezultatų skaičius yra n=6.
Įvykis A = (ne daugiau kaip 4 taškai) reiškia, kad įmesta 4, 3, 2 arba 1 taškas (taškas).
Tai reiškia, kad palankių rezultatų skaičius yra m = 4.

Įvykio tikimybė Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667 7 problema

Sprendimas . Kauliukai metami du kartus. Raskite tikimybę, kad skaičius abu kartus yra mažesnis nei 4.

. Kadangi kauliukas (kauliukas) metamas du kartus, samprotuosime taip: jei ant pirmojo kauliuko išmetama vienas taškas, tada ant antrojo kauliuko gali atsirasti 1, 2, 3, 4, 5, 6 poros (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) ir taip toliau su kiekvienu veidu. Visus atvejus pateikiame 6 eilučių ir 6 stulpelių lentelės pavidalu:
Apskaičiuojame palankias įvykio baigtis A = (abu kartus skaičius buvo mažesnis nei 4) (jos paryškintos paryškintu šriftu) ir gauname m=9.

Raskite įvykio tikimybę P(A)=m/n=9/36=0,25 8 problema

Sprendimas . Kauliukai metami du kartus. Raskite tikimybę, kad didesnis iš dviejų nubrėžtų skaičių yra 5. Atsakymą suapvalinkite iki tūkstančio.

. Lentelėje pateikiame visus galimus dviejų kauliukų metimo rezultatus:
Iš lentelės matome, kad galimų elementarių baigčių skaičius yra n=6*6=36.
Apskaičiuojame palankias įvykio baigtis A = (didžiausias iš dviejų nubrėžtų skaičių yra 5) (jie paryškinti pusjuodžiu šriftu) ir gauname m=8.

Raskite įvykio tikimybę P(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222 . Kauliukai metami du kartus. Raskite tikimybę, kad skaičius, mažesnis nei 4, bus išmestas bent kartą.

Sprendimas . Lentelėje pateikiame visus galimus dviejų kauliukų metimo rezultatus:

Iš lentelės matome, kad galimų elementarių baigčių skaičius yra n=6*6=36.
Frazė „bent kartą pasirodė mažesnis nei 4 skaičius“ reiškia „vieną ar du kartus pasirodė mažesnis nei 4 skaičius“, tada palankių įvykio baigčių skaičius A = (bent kartą pasirodė mažesnis nei 4 skaičius ) (jie paryškinti pusjuodžiu šriftu) m=27.
Raskite įvykio tikimybę P(A)=m/n=27/36=0,75

Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta...

Kaip pratarmė.
Visi žino, kad moneta turi dvi puses – galvą ir uodegą.
Numizmatikai mano, kad moneta turi tris puses – aversą, reversą ir kraštą.
Tiek tarp tų, tiek tarp kitų mažai kas žino, kas yra simetriška moneta. Bet tie, kurie ruošiasi laikyti vieningą valstybinį egzaminą, apie tai žino (na, arba turėtų žinoti:).

Apskritai, šiame straipsnyje bus kalbama apie neįprastą monetą, kuri neturi nieko bendra su numizmatika, tačiau tuo pat metu yra populiariausia moneta tarp moksleivių.

Taigi.
Simetrinė moneta- tai įsivaizduojama matematiškai ideali moneta be dydžio, svorio, skersmens ir t.t. Dėl to tokia moneta taip pat neturi briaunos, tai yra tikrai turi tik dvi puses. Pagrindinė simetriškos monetos savybė yra ta, kad tokiomis sąlygomis galvų ar uodegų atsiradimo tikimybė yra visiškai vienoda. Ir jie sugalvojo simetrišką monetą, kad galėtų atlikti minčių eksperimentus.
Populiariausia simetrinės monetos problema yra tokia: „Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama du kartus (tris kartus, keturis kartus ir t. t.) Uždavinys – nustatyti tikimybę, kad viena pusė nusileis tam tikrą skaičių kartų.

Problemos sprendimas naudojant simetrišką monetą

Akivaizdu, kad dėl metimo moneta nusileis arba ant galvų, arba ant uodegų. Kiek kartų priklauso nuo to, kiek metimų reikia atlikti. Tikimybė gauti galvų ar uodegų apskaičiuojama sąlygą tenkinančių rezultatų skaičių padalijus iš bendro galimų baigčių skaičiaus.

Vienas metimas

Čia viskas paprasta. Tai bus galvos arba uodegos. Tie. turime du galimus rezultatus, iš kurių vienas mus tenkina – 1/2=50%

Dviejų metimų

Dviem metimais galite gauti:
du ereliai
dvi galvos
galvos tada uodegos
uodegos, tada galvos
Tie. Galimi tik keturi variantai. Problemas su daugiau nei vienu ritiniu lengviausia išspręsti sudarant galimų variantų lentelę. Paprastumo dėlei galvutes pažymėkime „0“, o uodegas – „1“. Tada galimų rezultatų lentelė atrodys taip:
00
01
10
11
Jei, pavyzdžiui, reikia rasti tikimybę, kad vieną kartą atsiras galvutės, tiesiog reikia suskaičiuoti tinkamų variantų skaičių lentelėje – t.y. tos eilutės, kuriose vieną kartą pasirodo erelis. Yra dvi tokios eilutės. Tai reiškia, kad tikimybė gauti vieną galvą dviem simetriškos monetos metimais yra 2/4 = 50 %.
Tikimybė, kad galva pasirodys du kartus per du metimus, yra 1/4 = 25%

Trys roska

Sukurkime parinkčių lentelę:
000
001
010
011
100
101
110
111
Tie, kurie yra susipažinę su dvejetainiais skaičiavimais, supranta, prie ko priėjome. :) Taip, tai dvejetainiai skaitmenys nuo "0" iki "7". Taip lengviau nesusipainioti su galimybėmis.
Išspręskime užduotį iš ankstesnės pastraipos – apskaičiuokime tikimybę, kad galvutės pasirodys vieną kartą. Yra trys eilutės, kuriose „0“ pasirodo vieną kartą. Tai reiškia, kad tikimybė gauti vieną galvą per tris simetriškos monetos metimus yra 3/8 = 37,5 %.
Tikimybė, kad per tris metimus galvos pasirodys du kartus, yra 3/8 = 37,5%, t.y. visiškai tas pats.
Tikimybė, kad galva pasirodys tris kartus per tris metimus, yra 1/8 = 12,5%.

Keturi metimai

Sukurkime parinkčių lentelę:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Tikimybė, kad galvos pasirodys vieną kartą. Yra tik trys eilutės, kuriose „0“ pasitaiko vieną kartą, kaip ir trijų metimų atveju. Tačiau jau yra šešiolika variantų. Tai reiškia, kad tikimybė gauti vieną galvą keturiais simetriškos monetos metimais yra 3/16 = 18,75 %.
Tikimybė, kad galva pasirodys du kartus per tris metimus, yra 6/8 = 75%.
Tikimybė, kad galva pasirodys tris kartus per tris metimus, yra 4/8 = 50%.

Taigi, didėjant metimų skaičiui, problemos sprendimo principas visiškai nesikeičia – tik atitinkama progresija didėja variantų skaičius.

Tikimybių teorijos uždaviniuose, pateiktuose vieningo valstybinio egzamino numeriu 4, be to, yra problemų dėl monetos ir kauliuko metimo. Šiandien pažvelgsime į juos.

Monetų mėtymo problemos

1 užduotis. Simetriška moneta metama du kartus. Raskite tikimybę, kad galvos pasirodys tiksliai vieną kartą.

Tokiuose uždaviniuose patogu užrašyti visus galimus rezultatus, užrašant juos raidėmis P (uodegos) ir O (galvos). Taigi, OP rezultatas reiškia, kad per pirmąjį metimą jis pakilo galva, o antruoju metimu - uodega. Nagrinėjamoje problemoje yra 4 galimi rezultatai: RR, RO, OR, OO. Įvykį „uodegos pasirodys lygiai vieną kartą“ palankiai vertina 2 rezultatai: RO ir OP. Reikalinga tikimybė yra lygi .

Atsakymas: 0,5.

2 užduotis. Simetrinė moneta metama tris kartus. Raskite tikimybę, kad ji nukrenta ant galvų lygiai du kartus.

Iš viso yra 8 galimi rezultatai: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Renginį „galvos pasirodys lygiai du kartus“ palankiai vertina 3 rezultatai: ROO, ORO, OOR. Reikalinga tikimybė yra lygi .

Atsakymas: 0,375.

3 užduotis. Prieš futbolo rungtynių pradžią teisėjas meta monetą, kad nustatytų, kuri komanda pradės kamuolį. Emerald komanda žaidžia trejas rungtynes ​​su skirtingomis komandomis. Raskite tikimybę, kad šiuose žaidimuose „Smaragdas“ laimės lotą lygiai vieną kartą.

Ši užduotis yra panaši į ankstesnę. Tegul kiekvieną kartą nusileidus galvoms reikia laimėti lotą su „Smaragdu“ (ši prielaida neturi įtakos tikimybių skaičiavimui). Tada galimi 8 rezultatai: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Įvykį „uodegos pasirodys lygiai vieną kartą“ palankiai vertina 3 rezultatai: ROO, ORO, OOR. Reikalinga tikimybė yra lygi .

Atsakymas: 0,375.

Raskite įvykio tikimybę P(A)=m/n=3/8=0,375. Simetriška moneta metama tris kartus. Raskite tikimybę, kad įvyks ROO rezultatas (pirmą kartą nusileidžia, antrą ir trečią kartą nusileidžia).

Kaip ir ankstesnėse problemose, yra 8 rezultatai: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Tikimybė, kad įvyks ROO, yra lygi .

Atsakymas: 0,125.

Kauliuko metimo problemos

5 užduotis. Kauliukai metami du kartus. Kiek elementarių eksperimento rezultatų palankiai vertina įvykį „taškų suma yra 8“?

6 problema. Vienu metu metami du kauliukai. Raskite tikimybę, kad iš viso bus 4 taškai. Rezultatą suapvalinkite iki artimiausio šimtosios dalies.

Apskritai, jei metami kauliukai, yra vienodai galimi rezultatai. Toks pat rezultatų skaičius gaunamas, jei tas pats kauliukas metamas kelis kartus iš eilės.

Įvykį „bendras skaičius yra 4“ palankiai vertina šie rezultatai: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Jų skaičius yra 3. Reikalinga tikimybė yra .

Norint apskaičiuoti apytikslę trupmenos vertę, patogu naudoti kampų padalijimą. Taigi, apytiksliai lygus 0,083..., suapvalinus iki artimiausio šimtosios dalies, gauname 0,08.

Atsakymas: 0,08

Įvykio tikimybė Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667. Vienu metu metami trys kauliukai. Raskite tikimybę, kad iš viso bus 5 taškai. Rezultatą suapvalinkite iki artimiausio šimtosios dalies.

Rezultatas bus laikomas trimis skaičiais: taškai, išmesti ant pirmo, antro ir trečio kauliukų. Visi yra vienodai galimi rezultatai. „Iš viso 5“ įvykiui palankūs šie rezultatai: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Jų skaičius yra 6. Reikalinga tikimybė yra . Norint apskaičiuoti apytikslę trupmenos vertę, patogu naudoti kampų padalijimą. Apytiksliai gauname 0,027..., suapvalinant iki šimtųjų, turime 0,03. Šaltinis „Pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui. Matematika. Tikimybių teorija“. Redagavo F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Problemos formulavimas: Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama du kartus. Raskite tikimybę, kad galvos (uodegos) neatsiras net vieną kartą (pasirodys tiksliai/bent 1, 2 kartus).

Problema yra vieningo valstybinio pagrindinio lygio matematikos egzamino dalis, skirta 11 klasei pagal 10 numerį (klasikinis tikimybės apibrėžimas).

Pažiūrėkime, kaip tokios problemos sprendžiamos pasitelkus pavyzdžius.

1 užduoties pavyzdys:

Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama du kartus. Raskite tikimybę, kad galvos neatsiras net vieną kartą.

OO ARBA RO RR

Iš viso yra 4 tokie deriniai. Mus domina tik tie, kuriuose nėra nė vieno erelio. Yra tik vienas toks derinys (PP).

P = 1/4 = 0,25

Atsakymas: 0,25

2 užduoties pavyzdys:

Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama du kartus. Raskite tikimybę gauti galvas tiksliai du kartus.

Panagrinėkime visas galimas kombinacijas, kurios gali atsirasti, jei moneta bus išmesta du kartus. Kad būtų patogiau, galvas žymėsime raide O, o uodegas – raide P:

OO ARBA RO RR

Iš viso yra 4 tokie deriniai Mus domina tik tie, kuriuose galvos atsiranda lygiai 2 kartus. Yra tik vienas toks derinys (OO).

P = 1/4 = 0,25

Atsakymas: 0,25

3 užduoties pavyzdys:

Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama du kartus. Raskite tikimybę, kad galvutės pasirodys tiksliai vieną kartą.

Panagrinėkime visas galimas kombinacijas, kurios gali atsirasti, jei moneta bus išmesta du kartus. Kad būtų patogiau, galvas žymėsime raide O, o uodegas – raide P:

OO ARBA RO RR

Iš viso yra 4 tokie deriniai Mus domina tik tie, kurių galvos iškilo lygiai 1 kartą. Yra tik du tokie deriniai (OR ir RO).

Atsakymas: 0,5

4 užduoties pavyzdys:

Atsitiktinio eksperimento metu simetriška moneta metama du kartus. Raskite tikimybę, kad galvos atsiras bent kartą.

Panagrinėkime visas galimas kombinacijas, kurios gali atsirasti, jei moneta bus išmesta du kartus. Kad būtų patogiau, galvas žymėsime raide O, o uodegas – raide P:

OO ARBA RO RR

Iš viso yra 4 tokie deriniai. Mus domina tik tie, kuriuose galvos atsiranda bent kartą. Yra tik trys tokie deriniai (OO, OP ir RO).

P = 3/4 = 0,75