Puzzle s číslami od 1 do 9. Ako vyriešiť magické štvorce? Aké sú riešenia?

Existujú rôzne techniky na vytváranie štvorcov s jednou paritou a dvojitou paritou.

Ako vyriešiť magické štvorce?

Hádanka ako sudoku sa bežne nazýva magický štvorec. Ide o štvorec, ktorého bunky sú vyplnené číslami, takže súčet na konci každého riadku, stĺpca a uhlopriečky je rovnaký. V hádankách s magickými štvorcami niektoré čísla chýbajú a musíte ich usporiadať tak, aby ste splnili podmienku rovnakého súčtu opísanú vyššie. Ako vyriešiť magické štvorce?

Metódy riešenia magických štvorcov

Aby bolo riešenie magických štvorcov správne, musíte poznať samotný magický súčet, ktorý by ste mali získať pri sčítaní čísel v riadkoch, stĺpcoch a uhlopriečkach. Potom bude umiestnenie chýbajúcich čísel oveľa jednoduchšie. Ako zistiť túto sumu?

Metóda 1

Najjednoduchšia verzia magického štvorca je, keď je jeden z riadkov, jeden zo stĺpcov alebo jedna z uhlopriečok úplne vyplnený číslami. V tomto prípade zostáva len vypočítať súčet týchto čísel a vybrať riešenia.

Metóda 2

Súčet čísel na koncoch riadkov, stĺpcov a uhlopriečok možno vypočítať pomocou špeciálnych vzorcov. V tomto prípade sa vzorec pre štvorce s párnym počtom buniek v jednom riadku bude líšiť od štvorcov s nepárnym počtom buniek.

Takže pre párne štvorce je vhodný nasledujúci vzorec:

• n + ((n+1) * n * (n-1) / 2) , kde n je počet buniek v jednom riadku.

Pre nepárne štvorce je vzorec:

• n * (n 2 +1) / 2, kde n je tiež počet buniek v jednom riadku.

Príklad riešenia

Uvažujme riešenia magického štvorca deviatich buniek s číslami od 1 do 9. Najprv vypočítajme súčet, ktorý by mal byť získaný na koncoch. V jednom riadku máme 3 bunky, teda n = 3. Dosaďte hodnotu do vzorca:

• 3 * (3 2 +1) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15

Teraz vyberieme čísla tak, aby súčet bol 15.

Ďalej bude algoritmus vyžadovať trochu priestorovej predstavivosti. Umiestnite číslo 1 do stredu horného riadku. Každé ďalšie číslo umiestnime vpravo diagonálne nahor. Snažíme sa dať 2. Ale tam nie sú žiadne bunky, ak nahradíme iný rovnaký imaginárny štvorec nad naším štvorcom, potom číslo 2 bude v pravom dolnom rohu tohto
nové námestie. Prenesieme ho na náš štvorec a umiestnime do pravého dolného rohu. Číslo 3 dáme tiež vpravo šikmo nahor - a opäť tam nie je žiadna bunka, pomocou pomyselného štvorca zistíme, že jej miesto je v strede ľavého stĺpca. Číslo 4 umiestnime podľa rovnakého princípu, ale táto bunka je obsadená jednotkou - v tomto prípade ju umiestnime priamo pod číslo 3. Číslo 5 diagonálne hore a napravo od 4 je v samom strede a číslo 6 je v pravom hornom rohu. Číslo 7 malo s pomocou fantázie skončiť v ľavom dolnom rohu. Ale tam už je 4, tak sme ju dali priamo pod číslo 6. Číslo 8 sa zobrazí pomocou pomyselného štvorca v ľavom hornom rohu a číslo 9 v zostávajúcej bunke v strede pravého stĺpca. . Všeobecný algoritmus je nasledujúci: ďalšie číslo umiestnite vpravo hore diagonálne, ak nie je miesto, použite imaginárny štvorec a ak je bunka obsadená, umiestnite číslo priamo pod predchádzajúce.

Milujem hry, pri ktorých musíte premýšľať. Preto naša séria „top 10“ článkov plynulo prechádza do hádaniek. Dnes budem hovoriť o hádankách s desiatimi číslami. Keď som sa ponáhľal so zostavovaním tohto hodnotenia, stál som pred problémom nájsť desať dobrých hier, napriek tomu, že v App Store sú tony digitálnych hádaniek! Zlé je, že je tam veľa klonov, opakovaní a nekvalitných remesiel... Ale keď bol top zostavený, uvedomil som si, že každý si v ňom nájde niečo nové! Dokonca som spoznal tri skvelé hry. Choď!

Trojky!

Na hracom poli sú čísla. Hráč môže pohybovať všetkými číslami v ktoromkoľvek zo 4 smerov. Okrem toho, ak pohybu ktoréhokoľvek riadku alebo stĺpca bráni stena a existujú:

a) rovnaké čísla väčšie alebo rovné 3
b) 1 a 2

potom sa sčítajú a namiesto dvoch čísel sa objaví tretie - súčet. Cieľom je získať čo najviac bodov. Hra je nekonečná, ale je veľmi ťažké získať veľa bodov.

Po vydaní Threes! App Store bol zaplavený klonmi pod názvom „2048“.

Shikaku

Jednoduché a nepopové puzzle od tvorcov Sudoku. Cieľom tejto hry je rozdeliť pole s číslami na obdĺžniky tak, aby sa plocha obdĺžnikov rovnala číslu v ňom. Existuje len jedna implementácia tejto hry pre iPad.

Numtris: Hra logiky a čísel

Toto je originálna adventúra. Tetris s číslami. Čísla padajú zhora a musíte ich buď zbierať podľa princípu Trojky (1 a 2 dajú 3), alebo ich odstrániť nazbieraním niekoľkých rovnakých (napríklad štyri rovnaké štvorky). Numtris má plnú kampaň s mnohými misiami. Misie sú rozmanité: od vydržania na 40 sekúnd až po zabitie monštra... Súťažiť s priateľmi môžete online aj na tom istom iPade.

Hra je veľmi štýlová s peknou grafikou. Odporúčam vyskúšať, keďže je zadarmo.

Stiahnite si Numtris zadarmo (dostupné nákupy v aplikácii)

GREG — Matematická logická hra

Zaujímavá hra na rýchlosť a schopnosť rýchlo sčítať čísla. V poli 4 x 4 sú čísla. Je potrebné napísať súčet z týchto čísel, aby ste dostali číslo v krúžku navrchu. Hneď ako sa číslo nazbiera, zmení sa a musíte čísla znova vybrať. Čím menej používate niektoré čísla na ihrisku, tým viac sa zahrievajú... Po 5 takýchto „ohrevoch“ môže hra skončiť. Reset nastane po každej úrovni. Na konci vás hra odmení nejakým titulom. Dokážete vyradiť "Math Genius"?

Existuje nepredstaviteľné množstvo matematických hádaniek. Každá z nich je svojím spôsobom jedinečná, no ich krása spočíva v tom, že na jej vyriešenie nevyhnutne potrebujete prísť na vzorce. Samozrejme, môžete sa ich pokúsiť vyriešiť, ako sa hovorí, ale bude to veľmi dlhé a prakticky neúspešné.

Tento článok bude hovoriť o jednej z týchto hádaniek a presnejšie o magickom štvorci. Pozrime sa podrobne na to, ako vyriešiť magický štvorec. 3. ročník všeobecného vzdelávacieho programu to samozrejme prechádza, ale možno nie každý pochopil alebo si to vôbec nepamätá.

Čo je to za záhadu?

Alebo, ako sa to tiež nazýva, mágia, je tabuľka, v ktorej je počet stĺpcov a riadkov rovnaký a všetky sú vyplnené rôznymi číslami. Hlavnou úlohou je, aby sa tieto čísla sčítali vertikálne, horizontálne a diagonálne na rovnakú hodnotu.

Okrem magického štvorca existuje aj polomagický štvorec. Znamená to, že súčet čísel je rovnaký iba vertikálne a horizontálne. Magický štvorec je „normálny“ iba vtedy, ak bol na jeho vyplnenie jeden použitý.

Existuje aj niečo ako symetrický magický štvorec - vtedy je hodnota súčtu dvoch číslic rovnaká, pričom sú umiestnené symetricky vzhľadom na stred.

Je tiež dôležité vedieť, že štvorce môžu mať akúkoľvek inú veľkosť ako 2 x 2. Štvorec 1 x 1 sa tiež považuje za magický, pretože sú splnené všetky podmienky, hoci pozostáva z jedného jediného čísla.

Takže sme sa oboznámili s definíciou, teraz sa porozprávajme o tom, ako vyriešiť magický štvorec. Školské osnovy 3. ročníka pravdepodobne nevysvetlia všetko tak podrobne ako tento článok.

Aké sú riešenia?

Tí ľudia, ktorí vedia vyriešiť magický štvorec (trieda 3 určite vie), okamžite povedia, že existujú len tri riešenia a každé z nich je vhodné pre iné štvorce, ale napriek tomu nemožno ignorovať štvrté riešenie, a to „náhodne“. “. Koniec koncov, do určitej miery existuje možnosť, že neznalý človek bude stále schopný vyriešiť tento problém. Ale hodíme túto metódu do dlhého poľa a prejdeme priamo k vzorcom a metódam.

Prvý spôsob. Keď je štvorec nepárny

Táto metóda je vhodná len na riešenie štvorca, ktorý má nepárny počet buniek, napríklad 3 x 3 alebo 5 x 5.

Takže v každom prípade je spočiatku potrebné nájsť magickú konštantu. Toto je číslo, ktoré sa získa sčítaním čísel diagonálne, vertikálne a horizontálne. Vypočíta sa pomocou vzorca:

V tomto príklade budeme uvažovať štvorec tri krát tri, takže vzorec bude vyzerať takto (n je počet stĺpcov):

Takže máme pred sebou námestie. Prvá vec, ktorú musíte urobiť, je zadať číslo jeden do stredu prvého riadku zhora. Všetky nasledujúce čísla musia byť umiestnené diagonálne o jedno políčko vpravo.

Tu však okamžite vyvstáva otázka: ako vyriešiť magický štvorec? 3. ročník túto metódu pravdepodobne nepoužije a väčšina bude mať problém, ako to takto urobiť, ak táto bunka neexistuje? Aby ste urobili všetko správne, musíte použiť svoju predstavivosť a nakresliť podobný magický štvorec na vrchu a ukáže sa, že v pravej dolnej bunke bude číslo 2. To znamená, že v našom štvorci zadáme dve na rovnakom mieste. To znamená, že musíme zadať čísla tak, aby ich súčet bol 15.

Nasledujúce čísla sa zadávajú presne rovnakým spôsobom. To znamená, že 3 bude v strede prvého stĺpca. Pomocou tohto princípu však nebude možné zadať 4, pretože na jej mieste už existuje jednotka. V tomto prípade umiestnite číslo 4 pod 3 a pokračujte. 5 je v strede štvorca, 6 je v pravom hornom rohu, 7 je pod 6, 8 je vľavo hore a 9 je v strede spodného riadku.

Teraz viete, ako vyriešiť magický štvorec. Zvládol som Demidovovu 3. triedu, ale tento autor mal trochu jednoduchšie úlohy, ale s vedomím tejto metódy budete môcť vyriešiť akýkoľvek podobný problém. Ale to je, ak je počet stĺpcov nepárny. Čo by sme však mali robiť, ak máme napríklad štvorec 4 x 4? Viac o tom neskôr v texte.

Druhý spôsob. Pre štvorec dvojitej parity

Dvojitý paritný štvorec je taký, ktorého počet stĺpcov možno vydeliť 2 aj 4. Teraz budeme uvažovať o štvorci 4 x 4.

Ako teda vyriešiť magický štvorec (3. ročník, Demidov, Kozlov, Tonkikh - úloha v učebnici matematiky), keď počet jeho stĺpcov je 4? Je to veľmi jednoduché. Jednoduchšie ako v predchádzajúcom príklade.

Najprv nájdeme magickú konštantu pomocou rovnakého vzorca, ktorý bol zadaný minule. V tomto príklade je číslo 34. Teraz musíte čísla usporiadať tak, aby súčet vertikálne, horizontálne a diagonálne bol rovnaký.

Najprv musíte premaľovať niektoré bunky, môžete to urobiť ceruzkou alebo vo svojej fantázii. Maľujeme cez všetky rohy, teda ľavú hornú bunku a pravú hornú, ľavú dolnú a pravú dolnú časť. Ak bol štvorec 8 x 8, potom musíte maľovať nie jeden štvorec v rohu, ale štyri, s rozmermi 2 x 2.

Teraz musíte namaľovať stred tohto štvorca tak, aby sa jeho rohy dotýkali rohov už zatienených buniek. V tomto príklade dostaneme v strede štvorec 2 x 2.

Začnime ho vypĺňať. Vypĺňať budeme zľava doprava, v poradí, v akom sa bunky nachádzajú, len hodnotu zadáme do vytieňovaných buniek. Ukazuje sa, že zadáme 1 do ľavého horného rohu, 4 do pravého rohu Potom vyplníme centrálny 6, 7 a potom 10, 11. V ľavom dolnom rohu myslíme poradie náplň je jasná.

Zvyšné bunky vyplníme rovnakým spôsobom, iba v zostupnom poradí. To znamená, že keďže posledné zadané číslo bolo 16, tak v hornej časti štvorca napíšeme 15. Ďalej je 14. Potom 12, 9 a tak ďalej, ako je znázornené na obrázku.

Teraz poznáte druhý spôsob, ako vyriešiť magický štvorec. Tretí ročník bude súhlasiť s tým, že štvorec dvojitej parity je oveľa jednoduchšie vyriešiť ako ostatné. No, prejdeme k poslednej metóde.

Tretia cesta. Pre druhú mocninu jednej parity

Štvorec s jednou paritou je štvorec, ktorého počet stĺpcov možno deliť dvoma, ale nie štyrmi. V tomto prípade ide o štvorec 6 x 6.

Poďme teda vypočítať magickú konštantu. Rovná sa 111.

Teraz musíme náš štvorec vizuálne rozdeliť na štyri rôzne štvorce 3 x 3. Dostanete štyri malé štvorce s rozmermi 3 x 3 v jednom veľkom 6 x 6. Nazvime ľavý horný A, pravý dolný - B, horný. pravá - C a ľavá dolná - D.

Teraz musíte vyriešiť každý malý štvorec pomocou úplne prvej metódy uvedenej v tomto článku. Ukazuje sa, že v štvorci A budú čísla od 1 do 9, v B - od 10 do 18, v C - od 19 do 27 a D - od 28 do 36.

Po vyriešení všetkých štyroch štvorcov sa začne pracovať na A a D. Je potrebné vizuálne alebo ceruzkou zvýrazniť tri bunky v štvorci A, a to: ľavý horný, stredný a dolný ľavý. Ukazuje sa, že zvýraznené čísla sú 8, 5 a 4. Rovnakým spôsobom musíte vybrať štvorec D (35, 33, 31). Zostáva len zameniť vybrané čísla zo štvorca D na A.

Teraz poznáte posledný spôsob, ako vyriešiť magický štvorec. Stupeň 3 nemá rád druhú mocninu jednej parity. A to nie je prekvapujúce, zo všetkých prezentovaných je to najkomplexnejšie.

Záver

Po prečítaní tohto článku ste sa naučili, ako vyriešiť magický štvorec. 3. ročník (Moro je autorom učebnice) ponúka podobné problémy len s niekoľkými vyplnenými bunkami. Nemá zmysel uvažovať o jeho príkladoch, pretože ak poznáte všetky tri metódy, môžete ľahko vyriešiť všetky navrhované problémy.

Matematiku v detstve miloval len málokto, no matematické hádanky na internete sa vždy stanú hitmi, pretože ich riešenie si väčšinou nevyžaduje hlboké znalosti, ale vyžaduje si vynaliezavosť a inovatívne myslenie. Pozývame vás otestovať sa v piatich hlavných logických hádankách tohto ročníka.

Úloha č.1

Kumar Ankit vyzval používateľov Facebooku, aby spočítali, koľko trojuholníkov je zobrazených na jeho kresbe. Takmer nikto z používateľov nezvládol zdanlivo jednoduchú úlohu počítania čísel. Mnohé sú blízko k správnej odpovedi, no väčšine chýba trochu starostlivosti.

odpoveď:

Vo vnútri veľkého trojuholníka je 24 trojuholníkov, nie je ťažké to spočítať, ale väčšina používateľov nevenovala pozornosť ďalšiemu trojuholníku skrytému v podpise autora. Celkovo je teda na obrázku 25 trojuholníkov.

Úloha č.2

Nezvyčajný problém s dvomi riešeniami ponúkli používateľom internetu tvorcovia stránky gotumble.com. Jedno riešenie hádanky je podľa nich jednoduchšie, dokáže ho nájsť asi 10 % ľudí, no k druhému riešeniu dospeje len jeden človek z tisícky. Skúste to sami.

odpoveď:

Prvé riešenie pozostáva z pridania výsledku predchádzajúceho príkladu ku každému nasledujúcemu príkladu. Takže pripočítaním 5 k súčtu 2 a 5 dostaneme 12. Pripočítaním 12 k súčtu 3 a 6 dostaneme 21. A tak ďalej. V tomto prípade bude správna odpoveď na hádanku 40.

A tu druhé riešenie, ktorému rozumie len jeden človek z tisíca, pozostáva zo sčítania prvej číslice príkladu súčinom dvoch číslic:

2 + 2*5 = 12, 3 + 3*6 = 21, 8 + 8*11 = 96.

Úloha č.3

Máme trojuholník pozostávajúci zo štyroch častí, ale ak tieto časti preusporiadame, zobrazí sa ako prázdny štvorec. Ako to môže byť?

odpoveď:

Toto vôbec nie je optický klam. Všetko je to o rôznych uhloch sklonu prepony červeného a tyrkysového trojuholníka – preto rôzne veľkosti figúrok.

Úloha č.4

Novinár denníka Guardian Alex Bellos vyzval čitateľov, aby vyriešili problém, ktorý je v niektorých krajinách súčasťou záverečnej skúšky z matematiky. Podľa štatistík to rieši len jeden človek z 10.

Máme valec, okolo ktorého je štyrikrát symetricky navinutá niť. Obvod valca je 4 cm a jeho dĺžka je 12 cm Dĺžku nite si treba nájsť.

odpoveď:

Úloha sa väčšine školákov zdá príliš komplikovaná, ale v skutočnosti stačí pochopiť, že otočením valca do roviny dostaneme obyčajný obdĺžnik so stranami 4 a 12 cm, ktorý možno rozdeliť na štyri menšie obdĺžniky so stranami. 4 a 3 cm, v tomto prípade to bude prepona pravouhlého trojuholníka a jeho dĺžka v každom zo štyroch čísel sa dá vypočítať pomocou jednoduchého školského vzorca, v dôsledku toho sa rovná 5 cm celková dĺžka vlákna je 20 cm.

Problém #5

A na záver najnovší matematický hlavolam, ktorý vyhodil do vzduchu sociálne siete. Podľa autora príspevku zobrazuje hádanku, ktorá sa dáva ako bonusová otázka študentom v Singapure. Zostavovatelia hádanky navrhujú preštudovať si číselnú postupnosť a vyplniť štyri prázdne okienka chýbajúcimi číslami.

odpoveď:

Netizens si nad týmto problémom dlho lámal hlavu, no ani seriózni matematici si s ním nevedeli poradiť. A ministerstvo školstva Singapuru túto úlohu poprelo s tým, že s tým nemá nič spoločné. Takže hlavolam bol s najväčšou pravdepodobnosťou len niečí krutý vtip.