V náhodnom experimente sa symetrická minca zdvojnásobí. Problémy v teórii pravdepodobnosti. Metóda kombinovanej enumerácie

Formulácia úlohy: V náhodnom experimente sa dvakrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že hlavy (chvosty) nevypadnú ani raz (vypadnú presne / aspoň 1, 2 krát).

Úloha je zaradená do USE v matematike základnej úrovne pre ročník 11 na čísle 10 (Klasická definícia pravdepodobnosti).

Pozrime sa, ako sa takéto problémy riešia na príkladoch.

Príklad úlohy 1:

V náhodnom experimente sa dvakrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že hlavy nikdy neprídu.

OO ALEBO RO RR

Celkovo sú takéto kombinácie 4. Nás zaujímajú len tie, v ktorých nie je ani jeden orol. Takáto kombinácia je len jedna (PP).

P = 1/4 = 0,25

Odpoveď: 0,25

Príklad úlohy 2:

V náhodnom experimente sa dvakrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že sa to objaví presne dvakrát.

Zvážte všetky možné kombinácie, ktoré môžu vypadnúť, ak sa minca hodí dvakrát. Pre pohodlie označíme orla písmenom O a chvosty písmenom P:

OO ALEBO RO RR

Celkovo sú takéto kombinácie 4. Nás zaujímajú len tie kombinácie, v ktorých sa hlavičky vyskytujú práve 2-krát. Existuje len jedna takáto kombinácia (OO).

P = 1/4 = 0,25

Odpoveď: 0,25

Príklad úlohy 3:

V náhodnom experimente sa dvakrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že sa to objaví presne raz.

Zvážte všetky možné kombinácie, ktoré môžu vypadnúť, ak sa minca hodí dvakrát. Pre pohodlie označíme orla písmenom O a chvosty písmenom P:

OO ALEBO RO RR

Celkovo sú takéto kombinácie 4. Nás zaujímajú len tie, v ktorých hlavy vypadli presne 1-krát. Existujú len dve takéto kombinácie (OP a RO).

Odpoveď: 0,5

Príklad úlohy 4:

V náhodnom experimente sa dvakrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že sa hlavy objavia aspoň raz.

Zvážte všetky možné kombinácie, ktoré môžu vypadnúť, ak sa minca hodí dvakrát. Pre pohodlie označíme orla písmenom O a chvosty písmenom P:

OO ALEBO RO RR

Celkovo sú takéto kombinácie 4. Nás zaujímajú len tie kombinácie, v ktorých hlavy vypadnú aspoň raz. Existujú iba tri takéto kombinácie (OO, OR a RO).

P = 3/4 = 0,75

V náhodnom experimente sa hodí symetrická minca...

Ako predslov.
Každý vie, že minca má dve strany – hlavu a chvost.
Numizmatici veria, že minca má tri strany – lícnu, rubovú a hranu.
A medzi tými a medzi inými málokto vie, čo je to symetrická minca. Ale vedia o tom (dobre, alebo by mali vedieť :), tí, ktorí sa pripravujú na skúšku.

Vo všeobecnosti sa tento článok zameria na nezvyčajná minca, ktorá nemá nič spoločné s numizmatikou, no zároveň je medzi školákmi najobľúbenejšou mincou.

Takže.
Symetrická minca- ide o pomyselnú matematicky ideálnu mincu bez veľkosti, hmotnosti, priemeru atď. Výsledkom je, že takáto minca tiež nemá hranu, čiže má skutočne len dve strany. Hlavnou vlastnosťou symetrickej mince je, že za takýchto podmienok je pravdepodobnosť pádu hláv alebo chvostov úplne rovnaká. A na myšlienkové experimenty prišli so symetrickou mincou.
Najpopulárnejší problém so symetrickou mincou znie takto - "V náhodnom experimente sa symetrická minca hodí dvakrát (trikrát, štyrikrát atď.). Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že jedna zo strán vypadne. určitý počet krát.

Riešenie problému pomocou symetrickej mince

Je jasné, že v dôsledku hodu padne minca buď hlavami alebo chvostmi. Koľkokrát - závisí od toho, koľko hodov urobiť. Pravdepodobnosť získania hlavičky alebo chvosta sa vypočíta vydelením počtu výsledkov, ktoré spĺňajú podmienku, celkovým počtom možných výsledkov.

Jeden hod

Všetko je tu jednoduché. Zdvihnú sa hlavy alebo chvosty. Tie. máme dva možné výsledky, z ktorých jeden nás uspokojuje - 1/2 = 50 %

Dvojitý hod

Na dva hody môže padnúť:
dva orly
dva chvosty
hlavy, potom chvosty
chvosty, potom hlavy
Tie. možné sú len štyri možnosti. Problémy s viac ako jedným hodom je najjednoduchšie vyriešiť vytvorením tabuľky možných možností. Pre jednoduchosť označme hlavy ako „0“ a chvosty ako „1“. Potom bude tabuľka možných výsledkov vyzerať takto:
00
01
10
11
Ak napríklad potrebujete nájsť pravdepodobnosť, že raz padnú hlavy, stačí si spočítať počet vhodných možností v tabuľke – t.j. tie línie, kde sa orol vyskytuje raz. Existujú dve takéto línie. Takže pravdepodobnosť získania jednej hlavy dvoma hodmi symetrickej mince je 2/4 = 50 %
Pravdepodobnosť, že dostanete hlavy dvakrát v dvoch hodoch je 1/4 = 25 %

Tri ruže

Urobíme tabuľku možností:
000
001
010
011
100
101
110
111
Tí, ktorí poznajú binárny počet, chápu, k čomu sme dospeli. :) Áno, sú to binárne čísla od "0" do "7". Týmto spôsobom je jednoduchšie nezamieňať sa s možnosťami.
Vyriešme problém z predchádzajúceho odseku – vypočítame pravdepodobnosť, že orol raz vypadne. Existujú tri riadky, kde sa "0" vyskytuje raz. Takže pravdepodobnosť získania jednej hlavy tromi hodmi symetrickej mince je 3/8 = 37,5 %
Pravdepodobnosť, že hlavy v troch hodoch vypadnú dvakrát je 3/8=37,5%, t.j. úplne to isté.
Pravdepodobnosť, že hlava v troch hodoch vypadne trikrát, je 1/8 = 12,5%.

Štyri hody

Urobíme tabuľku možností:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Pravdepodobnosť, že sa hlavy objavia raz. Existujú iba tri riadky, kde sa "0" vyskytuje raz, rovnako ako v prípade troch hodov. Existuje však už šestnásť možností. Pravdepodobnosť získania jednej hlavy pri štyroch hodoch symetrickej mince je teda 3/16 = 18,75 %
Pravdepodobnosť, že orol vypadne dvakrát počas troch hodov je 6/8=75%,.
Pravdepodobnosť, že sa hlavy zdvihnú trikrát počas troch hodov je 4/8 = 50%.

Takže s nárastom počtu hodov sa princíp riešenia problému vôbec nemení - iba v primeranom postupe sa zvyšuje počet možností.

V teórii pravdepodobnosti existuje skupina problémov, na riešenie ktorých stačí poznať klasickú definíciu pravdepodobnosti a vizualizovať navrhovanú situáciu. Tieto problémy sú väčšinou problémy hádzania mincí a hádzania kockou. Spomeňte si na klasickú definíciu pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť udalosti A (objektívna možnosť výskytu udalosti v číselnom vyjadrení) sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nezlučiteľných základných výsledkov: P(A) = m/n, kde:

• m je počet základných výsledkov testu, ktoré podporujú výskyt udalosti A;
• n je celkový počet všetkých možných výsledkov elementárneho testu.

Je vhodné určiť počet možných výsledkov elementárnych testov a počet priaznivých výsledkov v uvažovaných úlohách vymenovaním všetkých možných možností (kombinácií) a priamym výpočtom.

Z tabuľky vidíme, že počet možných elementárnych výsledkov je n=4. Priaznivé výsledky deja A = (orol vypadne 1 krát) zodpovedajú možnosti č. 2 a č. 3 experimentu, sú dve takéto možnosti m=2.
Nájdite pravdepodobnosť udalosti Р(А)=m/n=2/4=0,5

Úloha 2 . V náhodnom experimente sa dvakrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že hlavy nikdy neprídu.

rozhodnutie . Keďže mincou sa hodí dvakrát, potom, ako v úlohe 1, počet možných elementárnych výsledkov je n=4. Priaznivé výsledky deja A = (orol nevypadne ani raz) zodpovedajú variantu č. 4 pokusu (pozri tabuľku v úlohe 1). Takáto možnosť je len jedna, takže m=1.
Nájdite pravdepodobnosť udalosti Р(А)=m/n=1/4=0,25

Úloha 3 . V náhodnom experimente sa trikrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že sa to objaví presne dvakrát.

rozhodnutie . Možné možnosti tri hody mincami (všetky možné kombinácie hláv a chvostov) sú prezentované vo forme tabuľky:

Z tabuľky vidíme, že počet možných elementárnych výsledkov je n=8. Priaznivé výsledky udalosti A = (hlavy 2 krát) zodpovedajú možnostiam č. 5, 6 a 7 experimentu. Existujú tri takéto možnosti, takže m=3.
Nájdite pravdepodobnosť udalosti Р(А)=m/n=3/8=0,375

Úloha 4 . V náhodnom experimente sa štyrikrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že sa to objaví presne 3-krát.

rozhodnutie . Možné varianty štyroch hodov mincami (všetky možné kombinácie hláv a chvostov) sú uvedené vo forme tabuľky:

Z tabuľky vidíme, že počet možných elementárnych výsledkov je n=16. Priaznivé výsledky deja A = (orol vypadne 3-krát) zodpovedajú možnostiam experimentu č. 12, 13, 14 a 15, čo znamená m=4.
Nájdite pravdepodobnosť udalosti Р(А)=m/n=4/16=0,25

Určenie pravdepodobnosti v problémoch s kockami

Úloha 5 . Určte pravdepodobnosť, že pri hode kockou (správnou kockou) vypadnú viac ako 3 body.

rozhodnutie . Pri hode kockou (bežnou kockou) môže vypadnúť ktorákoľvek z jej šiestich tvárí, t.j. nastať niektorá zo základných udalostí – strata od 1 do 6 bodov (bodov). Takže počet možných elementárnych výsledkov je n=6.
Udalosť A = (vypadlo viac ako 3 body) znamená, že vypadlo 4, 5 alebo 6 bodov (bodov). Takže počet priaznivých výsledkov m=3.
Pravdepodobnosť udalosti Р(А)=m/n=3/6=0,5

Úloha 6 . Určte pravdepodobnosť, že pri hode kockou počet bodov nepresiahne 4. Výsledok zaokrúhlite na najbližšiu tisícinu.

rozhodnutie . Pri hode kockou môže vypadnúť ktorákoľvek z jej šiestich tvárí, t.j. nastať niektorá zo základných udalostí – strata od 1 do 6 bodov (bodov). Takže počet možných elementárnych výsledkov je n=6.
Udalosť A = (nevypadli viac ako 4 body) znamená, že vypadli 4, 3, 2 alebo 1 body (bod). Takže počet priaznivých výsledkov m=4.
Pravdepodobnosť udalosti Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Úloha 7 . Kocka sa hodí dvakrát. Nájdite pravdepodobnosť, že obe čísla sú menšie ako 4.

rozhodnutie . Keďže kocka (kocka) sa hádže dvakrát, budeme argumentovať takto: ak na prvej kocke padol jeden bod, na druhej môže vypadnúť 1, 2, 3, 4, 5, 6. Získame dvojice (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) a tak ďalej s každou stranou. Všetky prípady uvádzame vo forme tabuľky so 6 riadkami a 6 stĺpcami:

Vypočítame priaznivé výsledky udalosti A = (v oboch prípadoch vypadlo číslo menšie ako 4) (sú zvýraznené tučným písmom) a dostaneme m=9.
Nájdite pravdepodobnosť udalosti Р(А)=m/n=9/36=0,25

Úloha 8 . Kocka sa hodí dvakrát. Nájdite pravdepodobnosť, že najväčšie z dvoch vyžrebovaných čísel je 5. Svoju odpoveď zaokrúhlite na najbližšiu tisícinu.

rozhodnutie . Všetky možné výsledky dvoch hodov kockou sú uvedené v tabuľke:

Z tabuľky vidíme, že počet možných elementárnych výsledkov je n=6*6=36.
Vypočítame priaznivé výsledky udalosti A = (najväčšie z dvoch vyžrebovaných čísel je 5) (sú zvýraznené tučným písmom) a dostaneme m=8.
Nájdite pravdepodobnosť udalosti Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Úloha 9 . Kocka sa hodí dvakrát. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň raz padne číslo menšie ako 4.

rozhodnutie . Všetky možné výsledky dvoch hodov kockou sú uvedené v tabuľke:

Z tabuľky vidíme, že počet možných elementárnych výsledkov je n=6*6=36.
Fráza „aspoň raz vypadlo číslo menšie ako 4“ znamená „číslo menšie ako 4 vypadlo raz alebo dvakrát“, potom počet priaznivých výsledkov udalosti A = (aspoň raz vypadlo číslo menšie ako 4 ) (sú tučne) m=27.
Nájdite pravdepodobnosť udalosti Р(А)=m/n=27/36=0,75

V úlohách z teórie pravdepodobnosti, ktoré sú v Jednotnej štátnej skúške uvedené pod číslom 4, sú okrem toho aj úlohy na hod mincou a na hod kockou. Dnes ich budeme analyzovať.

Problémy s hádzaním mincí

Úloha 1. Symetrická minca sa hodí dvakrát. Nájdite pravdepodobnosť, že to dopadne presne raz.

V takýchto úlohách je vhodné zapísať všetky možné výsledky a zapísať ich pomocou písmen P (chvosty) a O (hlavy). Výsledok OR teda znamená, že prvý hod prišiel hore a druhý prišiel nahor. V uvažovanom probléme sú možné 4 výstupy: PP, RO, OR, OO. Uprednostnite udalosť „chvosty sa objavia presne raz“ 2 výsledky: RO a OR. Požadovaná pravdepodobnosť je .

Odpoveď: 0,5.

Úloha 2. Trikrát sa hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že hlavy padnú presne dvakrát.

Celkovo je možných 8 výsledkov: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Uprednostnite udalosť „hlavy presne dvakrát“ 3 výsledky: ROO, ORO, OOR. Požadovaná pravdepodobnosť je .

Odpoveď: 0,375.

Úloha 3. Pred začiatkom futbalový zápas Rozhodca hodí mincou, aby určil, ktorý tím začne hru s loptou. Tím Emerald hrá tri zápasy s rôzne tímy. Nájdite pravdepodobnosť, že v týchto hrách "Emerald" vyhrá los presne raz.

Táto úloha je podobná predchádzajúcej. Nech každá strata chvosta znamená výhru lotu "Emerald" (takýto predpoklad neovplyvňuje výpočet pravdepodobnosti). Potom je možných 8 výsledkov: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Existujú 3 výsledky v prospech udalosti „chvosty sa objavia presne raz“: POO, ORO, OOP. Požadovaná pravdepodobnosť je .

Odpoveď: 0,375.

Úloha 4. Trikrát sa hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že výsledok ROO príde (prvýkrát príde na chvost, druhý a tretí - hlavy).

Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách, aj tu je 8 výstupov: PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO. Pravdepodobnosť výsledku ROO sa rovná .

Odpoveď: 0,125.

Problémy s hodom kockou

Úloha 5. Kocky dvakrát hodený. Koľko základných výsledkov skúseností uprednostňuje udalosť „súčet bodov je 8“?

Úloha 6. Súčasne sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 4. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.

Vo všeobecnosti, ak sa hádžu kocky (kocky), potom sú rovnako možné výsledky. Rovnaký počet výsledkov sa získa, ak sa raz za sebou hodí rovnaká kocka.

Nasledujúce výsledky uprednostňujú udalosť „spolu 4“: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Ich počet je 3. Požadovaná pravdepodobnosť je .

Na výpočet približnej hodnoty zlomku je vhodné použiť delenie podľa rohu. Je teda približne rovný 0,083 ..., zaokrúhlene na stotiny máme 0,08.

Odpoveď: 0,08

Úloha 7. Tri kocky sa hádžu súčasne. Nájdite pravdepodobnosť, že celkovo získate 5 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.

Výsledok budeme považovať za trojicu čísel: body, ktoré padli na prvej, druhej a tretej kocke. Celkovo sú výsledky rovnako možné. Nasledujúce výsledky uprednostňujú udalosť „celkom 5“: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Ich počet je 6. Požadovaná pravdepodobnosť je . Na výpočet približnej hodnoty zlomku je vhodné použiť delenie podľa rohu. Približne dostaneme 0,027 ... po zaokrúhlení na stotiny máme 0,03. Zdroj „Príprava na skúšku. Matematika. Teória pravdepodobnosti“. Spracoval F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov