Ligji i mesatareve në terma të thjeshtë. Vlerat mesatare. Ligji i dobët i numrave të mëdhenj

Fjalët për numra të mëdhenj i referohen numrit të testeve - merren parasysh një numër i madh vlerash të një ndryshoreje të rastësishme ose veprimi kumulativ i një numri të madh variablash të rastësishëm. Thelbi i këtij ligji është si vijon: megjithëse është e pamundur të parashikohet se çfarë vlere do të marrë një ndryshore e vetme e rastësishme në një eksperiment të vetëm, megjithatë, rezultati i përgjithshëm i veprimit të një numri të madh variablash të rastësishëm të pavarur humbet karakterin e tij të rastësishëm dhe mund të të parashikohen pothuajse në mënyrë të besueshme (d.m.th. me probabilitet të lartë). Për shembull, është e pamundur të parashikohet se në cilën anë do të bjerë një monedhë. Sidoqoftë, nëse hidhni 2 ton monedha, atëherë me siguri të madhe mund të argumentohet se pesha e monedhave që ranë me stemën lart është 1 ton.

Para së gjithash, e ashtuquajtura pabarazi Chebyshev i referohet ligjit të numrave të mëdhenj, i cili vlerëson në një test të veçantë probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të pranojë një vlerë që devijon nga vlera mesatare jo më shumë se një vlerë e caktuar.

Pabarazia e Chebyshev. Le Xështë një ndryshore arbitrare e rastësishme, a=M(X) , a D(X) është shpërndarja e saj. Pastaj

Shembull. Vlera nominale (d.m.th. e kërkuar) e diametrit të mëngës së përpunuar në makinë është 5 mm, dhe varianca nuk është më 0.01 (kjo është toleranca e saktësisë së makinës). Vlerësoni probabilitetin që në prodhimin e një tufe, devijimi i diametrit të tij nga nominali do të jetë më i vogël se 0.5 mm .

Zgjidhje. Le të r.v. X- diametri i tufave të prodhuara. Sipas kushtit, pritshmëria e tij matematikore është e barabartë me diametrin nominal (nëse nuk ka dështim sistematik në vendosjen e makinës): a=M(X)=5 , dhe variancën D(X)≤0.01. Zbatimi i pabarazisë Chebyshev për ε = 0,5, marrim:

Kështu, probabiliteti i një devijimi të tillë është mjaft i lartë, prandaj mund të konkludojmë se në rastin e një prodhimi të vetëm të një pjese, është pothuajse e sigurt që devijimi i diametrit nga nominali nuk do të kalojë 0.5 mm .

Në thelb, devijimi standard σ karakterizon mesatare devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga qendra e saj (d.m.th. nga pritshmëria e saj matematikore). Sepse ajo mesatare devijimi, atëherë gjatë testimit janë të mundshme devijime të mëdha (theksi në o). Sa devijime të mëdha janë praktikisht të mundshme? Kur studiojmë variabla të rastësishme të shpërndara normalisht, kemi nxjerrë rregullin "tre sigma": një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht X në një test të vetëm praktikisht nuk devijon nga mesatarja e tij më shumë se 3σ, ku σ= σ(X)është devijimi standard i r.v. X. Një rregull të tillë e kemi nxjerrë nga fakti që kemi marrë pabarazinë

.

Le të vlerësojmë tani probabilitetin për arbitrare ndryshore e rastësishme X pranoni një vlerë që ndryshon nga mesatarja jo më shumë se trefishi i devijimit standard. Zbatimi i pabarazisë Chebyshev për ε = 3σ dhe duke pasur parasysh se D(X)=σ 2 , marrim:

.

Në këtë mënyrë, në përgjithësi ne mund të vlerësojmë probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të devijojë nga mesatarja e saj me jo më shumë se tre devijime standarde sipas numrit 0.89 , ndërsa për një shpërndarje normale mund të garantohet me probabilitet 0.997 .

Pabarazia e Chebyshev mund të përgjithësohet në një sistem variablash të rastësishëm të pavarur të shpërndarë në mënyrë identike.

Pabarazia e përgjithësuar e Chebyshev. Nëse variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n M(X i )= a dhe dispersionet D(X i )= D, pastaj

Në n=1 kjo pabarazi kalon në pabarazinë Chebyshev të formuluar më sipër.

Pabarazia Chebyshev, e cila ka një rëndësi të pavarur për zgjidhjen e problemeve përkatëse, përdoret për të vërtetuar të ashtuquajturën teoremë Chebyshev. Fillimisht përshkruajmë thelbin e kësaj teoreme dhe më pas japim formulimin e saj formal.

Le X 1 , X 2 , …, X n– një numër i madh variablash të rastësishëm të pavarur me pritshmëri matematikore M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Edhe pse secila prej tyre, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një vlerë larg mesatares së saj (d.m.th., pritshmëria matematikore), megjithatë, një ndryshore e rastësishme
, e barabartë me mesataren e tyre aritmetike, me një probabilitet të lartë do të marrë një vlerë afër një numri fiks
(kjo është mesatarja e të gjitha pritjeve matematikore). Kjo do të thotë në vijim. Lërini, si rezultat i testit, variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n(ka shumë prej tyre!) i kanë marrë vlerat në përputhje me rrethanat X 1 , X 2 , …, X n përkatësisht. Atëherë nëse vetë këto vlera mund të rezultojnë të jenë larg vlerave mesatare të variablave të rastit përkatës, vlera mesatare e tyre
ka gjasa të jetë afër
. Kështu, mesatarja aritmetike e një numri të madh të ndryshoreve të rastit tashmë e humb karakterin e saj të rastësishëm dhe mund të parashikohet me saktësi të madhe. Kjo mund të shpjegohet me faktin se devijimet e rastësishme të vlerave X i nga a i mund të jenë të shenjave të ndryshme, prandaj në total këto devijime kompensohen me një probabilitet të lartë.

Terema Chebysheva (ligji i numrave të mëdhenj në formën e Chebyshev). Le X 1 , X 2 , …, X n … është një sekuencë e variablave të rastësishme të pavarura në çift, variancat e të cilave janë të kufizuara në të njëjtin numër. Atëherë, sado i vogël të marrim numrin ε, probabiliteti i pabarazisë

do të jetë arbitrarisht afër unitetit nëse numri n variablat e rastësishëm për të marrë mjaft të mëdha. Formalisht, kjo do të thotë se në kushtet e teoremës

Ky lloj konvergjence quhet konvergjencë në probabilitet dhe shënohet me:

Kështu, teorema e Chebyshev thotë se nëse ka një numër mjaftueshëm të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura, atëherë mesatarja e tyre aritmetike në një test të vetëm me siguri do të marrë një vlerë afër mesatares së pritjeve të tyre matematikore.

Më shpesh, teorema Chebyshev zbatohet në një situatë ku ndryshoret e rastësishme X 1 , X 2 , …, X n … kanë të njëjtën shpërndarje (d.m.th. të njëjtin ligj të shpërndarjes ose të njëjtën densitet probabiliteti). Në fakt, ky është vetëm një numër i madh i rasteve të së njëjtës ndryshore të rastësishme.

Pasoja(i pabarazisë së përgjithësuar të Chebyshev). Nëse variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n … kanë të njëjtën shpërndarje me pritshmëritë matematikore M(X i )= a dhe dispersionet D(X i )= D, pastaj

, d.m.th.
.

Prova rrjedh nga pabarazia e përgjithësuar e Chebyshev duke kaluar në kufirin si n→∞ .

Vëmë re edhe një herë se barazitë e shkruara më sipër nuk garantojnë vlerën e sasisë
tenton të a në n→∞. Kjo vlerë është ende një ndryshore e rastësishme, dhe vlerat e saj individuale mund të jenë mjaft larg a. Por probabiliteti i një të tillë (larg nga a) vlerat me rritje n tenton në 0.

Koment. Përfundimi i konkluzionit është padyshim i vlefshëm edhe në rastin më të përgjithshëm kur variablat e pavarur të rastit X 1 , X 2 , …, X n … kanë një shpërndarje të ndryshme, por të njëjtat pritshmëri matematikore (të barabarta a) dhe variancat e kufizuara në agregat. Kjo bën të mundur parashikimin e saktësisë së matjes së një sasie të caktuar, edhe nëse këto matje bëhen nga instrumente të ndryshme.

Le të shqyrtojmë më në detaje zbatimin e kësaj konkluzion në matjen e sasive. Le të përdorim një pajisje n matje të së njëjtës sasi, vlera e vërtetë e së cilës është a dhe ne nuk e dimë. Rezultatet e matjeve të tilla X 1 , X 2 , …, X n mund të ndryshojnë ndjeshëm nga njëri-tjetri (dhe nga vlera e vërtetë a) për shkak të faktorëve të ndryshëm të rastësishëm (rënie të presionit, temperatura, dridhje të rastësishme, etj.). Merrni parasysh r.v. X- lexim instrumenti për një matje të vetme të një sasie, si dhe një grup r.v. X 1 , X 2 , …, X n- leximi i instrumentit në matjen e parë, të dytë, ..., të fundit. Kështu, secila nga sasitë X 1 , X 2 , …, X n ekziston vetëm një nga rastet e r.v. X, dhe për këtë arsye të gjithë kanë të njëjtën shpërndarje si r.v. X. Meqenëse rezultatet e matjes janë të pavarura nga njëra-tjetra, r.v. X 1 , X 2 , …, X n mund të konsiderohet i pavarur. Nëse pajisja nuk jep një gabim sistematik (për shembull, zeroja nuk "rrëzohet" në shkallë, susta nuk shtrihet, etj.), atëherë mund të supozojmë se pritshmëria matematikore M(X) = a, dhe për këtë arsye M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Kështu, kushtet e konkluzionit të mësipërm plotësohen, dhe për rrjedhojë, si një vlerë e përafërt e sasisë a mund të marrim “zbatimin” e një ndryshoreje të rastësishme
në eksperimentin tonë (i përbërë nga një seri prej n matjet), d.m.th.

.

Me një numër të madh matjesh, është praktikisht i besueshëm saktësi e mirë llogaritjet duke përdorur këtë formulë. Kjo është arsyeja për parimin praktik që, me një numër të madh matjesh, mesatarja aritmetike e tyre praktikisht nuk ndryshon shumë nga vlera e vërtetë e sasisë së matur.

Metoda "selektive", e cila përdoret gjerësisht në statistikat matematikore, bazohet në ligjin e numrave të mëdhenj, i cili lejon marrjen e karakteristikave të tij objektive me saktësi të pranueshme nga një mostër relativisht e vogël e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme. Por kjo do të diskutohet në pjesën tjetër.

Shembull. Në një pajisje matëse që nuk bën shtrembërime sistematike, matet një sasi e caktuar a një herë (vlera e marrë X 1 ), dhe pastaj 99 herë të tjera (vlerat e marra X 2 , …, X 100 ). Për vlerën e vërtetë të matjes a së pari merrni rezultatin e matjes së parë
, dhe pastaj mesatarja aritmetike e të gjitha matjeve
. Saktësia e matjes së pajisjes është e tillë që devijimi standard i matjes σ nuk është më shumë se 1 (sepse dispersioni D=σ 2 gjithashtu nuk kalon 1). Për secilën nga metodat e matjes, vlerësoni probabilitetin që gabimi i matjes të mos kalojë 2.

Zgjidhje. Le të r.v. X- leximi i instrumentit për një matje të vetme. Pastaj me kusht M(X)=a. Për t'iu përgjigjur pyetjeve të parashtruara, ne zbatojmë pabarazinë e përgjithësuar Chebyshev

për ε =2 së pari për n=1 dhe më pas për n=100 . Në rastin e parë, marrim
, dhe në të dytën. Kështu, rasti i dytë praktikisht garanton saktësinë e dhënë të matjes, ndërsa i pari lë dyshime serioze në këtë kuptim.

Le të zbatojmë pohimet e mësipërme për ndryshoret e rastësishme që dalin në skemën Bernoulli. Le të kujtojmë thelbin e kësaj skeme. Le të prodhohet n teste të pavarura, në secilën prej të cilave disa ngjarje POR mund të shfaqet me të njëjtën probabilitet R, a q=1–r(në kuptimin, kjo është probabiliteti i ngjarjes së kundërt - jo ndodhja e një ngjarjeje POR) . Le të shpenzojmë një numër n teste të tilla. Merrni parasysh variablat e rastësishëm: X 1 – numri i dukurive të ngjarjes POR në 1 testi, ..., X n– numri i dukurive të ngjarjes POR në n th testi. Të gjitha të prezantuara r.v. mund të marrë vlera 0 ose 1 (ngjarje POR mund të shfaqet në test ose jo), dhe vlera 1 pranohet me kusht në çdo gjykim me një probabilitet fq(probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje POR në çdo test) dhe vlerën 0 me probabilitet q= 1 – fq. Prandaj, këto sasi kanë të njëjtat ligje të shpërndarjes:

X 1

X n

Prandaj, vlerat mesatare të këtyre sasive dhe shpërndarjet e tyre janë gjithashtu të njëjta: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= fq ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ fq)− fq 2 = fq∙(1− fq)= fq ∙ q,…, D(X n )= fq ∙ q . Duke i zëvendësuar këto vlera në pabarazinë e përgjithësuar Chebyshev, marrim

.

Është e qartë se r.v. X=X 1 +…+X nështë numri i dukurive të ngjarjes POR ne te gjithe n provat (siç thonë ata - "numri i sukseseve" në n teste). Lëreni në n ngjarje testuese POR u shfaq në k prej tyre. Atëherë pabarazia e mëparshme mund të shkruhet si

.

Por madhësia
, e barabartë me raportin e numrit të dukurive të ngjarjes POR në n prova të pavarura, në numrin total të provave, të quajtura më parë norma relative e ngjarjeve POR në n testet. Prandaj, ekziston një pabarazi

.

Duke kaluar tani në kufirin në n→∞, marrim
, d.m.th.
(sipas probabilitetit). Kjo është përmbajtja e ligjit të numrave të mëdhenj në formën e Bernulit. Nga kjo rezulton se për një numër mjaft të madh provash n devijime të vogla arbitrare të frekuencës relative
ngjarje nga probabiliteti i saj R janë pothuajse ngjarje të sigurta, dhe devijimet e mëdha janë pothuajse të pamundura. Konkluzioni që rezulton në lidhje me një stabilitet të tillë të frekuencave relative (të cilin e kemi përmendur më parë si eksperimentale fakt) justifikon përkufizimin statistikor të paraqitur më parë të probabilitetit të një ngjarjeje si një numër rreth të cilit luhatet frekuenca relative e një ngjarjeje.

Duke pasur parasysh se shprehja fq∙ q= fq∙(1− fq)= fq− fq 2 nuk kalon në intervalin e ndryshimit
(është e lehtë ta verifikosh këtë duke gjetur minimumin e këtij funksioni në këtë segment), nga pabarazia e mësipërme
lehtë për ta marrë atë

,

që përdoret në zgjidhjen e problemeve përkatëse (njëra prej tyre do të jepet më poshtë).

Shembull. Monedha u rrotullua 1000 herë. Vlerësoni probabilitetin që devijimi i frekuencës relative të paraqitjes së stemës nga probabiliteti i saj të jetë më i vogël se 0.1.

Zgjidhje. Zbatimi i pabarazisë
në fq= q=1/2 , n=1000 , ε=0.1, marrim .

Shembull. Vlerësoni probabilitetin që, në kushtet e shembullit të mëparshëm, numri k e stemave të rrëzuara do të jetë në rangun e 400 përpara 600 .

Zgjidhje. gjendja 400< k<600 do të thotë se 400/1000< k/ n<600/1000 , d.m.th. 0.4< W n (A)<0.6 ose
. Siç e kemi parë vetëm nga shembulli i mëparshëm, probabiliteti i një ngjarjeje të tillë është të paktën 0.975 .

Shembull. Për të llogaritur probabilitetin e ndonjë ngjarjeje POR Janë kryer 1000 eksperimente, në të cilat ngjarja POR u shfaq 300 herë. Vlerësoni probabilitetin që frekuenca relative (e barabartë me 300/1000=0.3) është e ndryshme nga probabiliteti i vërtetë R jo më larg se 0.1.

Zgjidhje. Zbatimi i pabarazisë së mësipërme
për n=1000, ε=0.1 , marrim .

Ligji i numrave të mëdhenj

Ligji i numrave të mëdhenj në teorinë e probabilitetit thotë se mesatarja empirike (mesatarja aritmetike) e një kampioni të fundëm mjaftueshëm të madh nga një shpërndarje fikse është afër mesatares teorike (pritjes) të kësaj shpërndarjeje. Në varësi të llojit të konvergjencës, ekziston një ligj i dobët i numrave të mëdhenj, kur ndodh konvergjenca në probabilitet, dhe një ligj i fortë i numrave të mëdhenj, kur konvergjenca ndodh pothuajse kudo.

Gjithmonë do të ketë një numër të tillë provash që, me çdo probabilitet të paracaktuar, frekuenca relative e ndodhjes së një ngjarjeje do të ndryshojë në mënyrë arbitrare pak nga probabiliteti i saj.

Kuptimi i përgjithshëm i ligjit të numrave të mëdhenj është se veprimi i përbashkët i një numri të madh faktorësh të rastësishëm çon në një rezultat që është pothuajse i pavarur nga rastësia.

Metodat për vlerësimin e probabilitetit bazuar në analizën e një kampioni të fundëm bazohen në këtë veti. Një shembull i mirë është parashikimi i rezultateve të zgjedhjeve bazuar në një anketë të një kampioni votuesish.

Ligji i dobët i numrave të mëdhenj

Le të ketë një sekuencë të pafundme (numërim të njëpasnjëshëm) të ndryshoreve të rastësishme të shpërndara identike dhe të pakorreluara, të përcaktuara në të njëjtën hapësirë ​​probabiliteti. Kjo është, kovarianca e tyre. Le . Le të shënojmë mesataren e mostrës së termave të parë:

Ligji i fortë i numrave të mëdhenj

Le të ketë një sekuencë të pafundme variablash të rastësishme të pavarura të shpërndara identike, të përcaktuara në të njëjtën hapësirë ​​probabiliteti. Le . Le të shënojmë mesataren e mostrës së termave të parë:

.

Atëherë pothuajse me siguri.

Shiko gjithashtu

Letërsia

  • Shiryaev A. N. Probabiliteti, - M .: Shkencë. 1989.
  • Chistyakov V.P. Kursi i teorisë së probabilitetit, - M., 1982.

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

  • Kinemaja e Rusisë
  • Gromeka, Mikhail Stepanovich

Shihni se çfarë është "Ligji i numrave të mëdhenj" në fjalorë të tjerë:

    LIGJI I NUMRAVE TË MADHË- (ligji i numrave të mëdhenj) Në rastin kur sjellja e anëtarëve individualë të popullatës është shumë e dallueshme, sjellja e grupit është mesatarisht më e parashikueshme se sjellja e ndonjë prej anëtarëve të tij. Trendi në të cilin grupet ...... Fjalori ekonomik

    LIGJI I NUMRAVE TË MADHË- shih LIGJIN E NUMRAVE TË MADHË. Antinazi. Enciklopedia e Sociologjisë, 2009 ... Enciklopedia e Sociologjisë

    Ligji i numrave të mëdhenj- parimi sipas të cilit modelet sasiore të natyrshme në fenomenet masive shoqërore manifestohen më qartë me një numër mjaft të madh vëzhgimesh. Dukuritë e vetme janë më të ndjeshme ndaj efekteve të rastësishme dhe ... ... Fjalor i termave të biznesit

    LIGJI I NUMRAVE TË MADHË- pohon se me një probabilitet afër një, mesatarja aritmetike e një numri të madh ndryshoresh të rastësishme me përafërsisht të njëjtin rend do të ndryshojë pak nga një konstante e barabartë me mesataren aritmetike të pritshmërive matematikore të këtyre variablave. Diferenca…… Enciklopedia Gjeologjike

    ligji i numrave të mëdhenj- - [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Fjalor Anglisht Rusisht i Inxhinierisë Elektrike dhe Industrisë së Energjisë, Moskë, 1999] Temat e inxhinierisë elektrike, konceptet themelore EN ligji i ligjit mesatar të numrave të mëdhenj ... Manuali i Përkthyesit Teknik

    ligji i numrave të mëdhenj- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. ligji i numrave të mëdhenj vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. ligj i numrave të mëdhenj, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

    LIGJI I NUMRAVE TË MADHË- një parim i përgjithshëm, për shkak të të cilit veprimi i kombinuar i faktorëve të rastësishëm çon, në kushte të caktuara shumë të përgjithshme, në një rezultat pothuajse të pavarur nga rastësia. Konvergjenca e shpeshtësisë së shfaqjes së një ngjarjeje të rastësishme me probabilitetin e saj me një rritje të numrit ... ... Enciklopedia sociologjike ruse

    Ligji i numrave të mëdhenj- ligji që thotë se veprimi kumulativ i një numri të madh faktorësh të rastësishëm çon, në disa kushte shumë të përgjithshme, në një rezultat pothuajse të pavarur nga rastësia ... Sociologjia: një fjalor

    LIGJI I NUMRAVE TË MADHË- ligji statistikor që shpreh lidhjen e treguesve (parametrave) statistikorë të kampionit dhe popullatës së përgjithshme. Vlerat aktuale të treguesve statistikorë të marrë nga një mostër e caktuar ndryshojnë gjithmonë nga të ashtuquajturat. teorike...... Sociologji: Enciklopedi

    LIGJI I NUMRAVE TË MADHË- parimi që shpeshtësia e humbjeve financiare të një lloji të caktuar mund të parashikohet me saktësi të lartë kur ka një numër të madh humbjesh të llojeve të ngjashme ... Fjalor Enciklopedik i Ekonomisë dhe së Drejtës

libra

  • Një grup tavolinash. Matematika. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore. 6 tabela + metodologji, . Tabelat janë të printuara në karton të trashë poligrafik me përmasa 680 x 980 mm. Kompleti përfshin një broshurë me rekomandime metodologjike për mësuesit. Album edukativ me 6 fletë. E rastësishme…


Cili është sekreti i shitësve të suksesshëm? Nëse shikoni shitësit më të mirë të çdo kompanie, do të vini re se ata kanë një gjë të përbashkët. Secili prej tyre takohet me më shumë njerëz dhe bën më shumë prezantime sesa shitësit më pak të suksesshëm. Këta njerëz e kuptojnë se shitjet janë një lojë me numra dhe sa më shumë njerëz që tregojnë për produktet ose shërbimet e tyre, aq më shumë oferta mbyllin, kjo është e gjitha. Ata e kuptojnë se nëse komunikojnë jo vetëm me ata pak që do t'i thonë patjetër po, por edhe me ata që interesi për propozimin e tyre nuk është aq i madh, atëherë ligji i mesatareve do të funksionojë në favor të tyre.


Fitimet tuaja do të varen nga numri i shitjeve, por në të njëjtën kohë, ato do të jenë drejtpërdrejt proporcionale me numrin e prezantimeve që bëni. Sapo të kuptoni dhe filloni të zbatoni ligjin e mesatareve, ankthi që lidhet me fillimin e një biznesi të ri ose punën në një fushë të re do të fillojë të ulet. Dhe si rezultat, një ndjenjë kontrolli dhe besimi në aftësinë e tyre për të fituar do të fillojë të rritet. Nëse thjesht bëni prezantime dhe përmirësoni aftësitë tuaja në këtë proces, do të ketë marrëveshje.

Në vend që të mendoni për numrin e marrëveshjeve, mendoni për numrin e prezantimeve. Nuk ka kuptim të zgjoheni në mëngjes ose të ktheheni në shtëpi në mbrëmje dhe të filloni të pyesni veten se kush do ta blejë produktin tuaj. Në vend të kësaj, është më mirë të planifikoni çdo ditë se sa telefonata duhet të bëni. Dhe pastaj, pa marrë parasysh se çfarë - bëni të gjitha ato thirrje! Kjo qasje do ta bëjë punën tuaj më të lehtë - sepse është një qëllim i thjeshtë dhe specifik. Nëse e dini se keni një qëllim shumë specifik dhe të arritshëm përpara, do ta keni më të lehtë të kryeni numrin e planifikuar të telefonatave. Nëse dëgjoni "po" disa herë gjatë këtij procesi, aq më mirë!

Dhe nëse "jo", atëherë në mbrëmje do të ndjeni se keni bërë me ndershmëri gjithçka që mundeni dhe nuk do të mundoheni nga mendimet se sa para keni fituar, ose sa partnerë keni fituar në një ditë.

Le të themi në kompaninë ose biznesin tuaj, shitësi mesatar mbyll një marrëveshje çdo katër prezantime. Tani imagjinoni se po vizatoni letra nga një kuvertë. Çdo kartë me tre kostume - lopata, diamante dhe shkopinj - është një prezantim ku ju prezantoni në mënyrë profesionale një produkt, shërbim ose mundësi. Ju e bëni atë më të mirën që mundeni, por ende nuk e mbyllni marrëveshjen. Dhe çdo kartë zemre është një marrëveshje që ju lejon të merrni para ose të blini një shok të ri.

Në një situatë të tillë, a nuk do të dëshironit të tërhiqnit sa më shumë letra nga kuverta? Supozoni se ju ofrohet të vizatoni sa më shumë letra që dëshironi, ndërkohë që ju paguani ose sugjeroni një shoqërues të ri sa herë që vizatoni një kartë zemre. Ju do të filloni të vizatoni letra me entuziazëm, duke vënë re mezi se çfarë kostumi është nxjerrë karta.

Ju e dini se ka trembëdhjetë zemra në një kuvertë me pesëdhjetë e dy letra. Dhe në dy kuverta - njëzet e gjashtë letra zemre, e kështu me radhë. A do të zhgënjeheni duke vizatuar lopata, diamante apo shkopinj? Sigurisht që jo! Do të mendoni vetëm se çdo "miss" i tillë ju afron - me çfarë? Në kartën e zemrave!

Por e dini çfarë? Tashmë ju është dhënë kjo ofertë. Ju jeni në një pozicion unik për të fituar aq sa dëshironi dhe për të tërhequr sa më shumë letra zemre që dëshironi të vizatoni në jetën tuaj. Dhe nëse thjesht "tërheqni letra" me ndërgjegje, përmirësoni aftësitë tuaja dhe duroni pak lopatë, diamant dhe shkop, atëherë do të bëheni një shitës i shkëlqyer dhe do të keni sukses.

Një nga gjërat që e bën shitjen kaq argëtuese është se sa herë që përzieni kuvertën, letrat përzihen ndryshe. Ndonjëherë të gjitha zemrat përfundojnë në fillim të kuvertës, dhe pas një brezi të suksesshëm (kur tashmë na duket se nuk do të humbasim kurrë!) Ne jemi duke pritur për një rresht të gjatë letrash të një kostum tjetër. Dhe një herë tjetër, për të arritur në zemrën e parë, duhet të kaloni një numër të pafund lopatash, shkopinjsh dhe dajresh. Dhe ndonjëherë kartat e kostumeve të ndryshme bien në mënyrë rigoroze nga ana tjetër. Por në çdo rast, në çdo kuvertë prej pesëdhjetë e dy letrash, në një rend të caktuar, ka gjithmonë trembëdhjetë zemra. Thjesht tërhiqni kartat derisa t'i gjeni.



Nga: Leylya,  

Ligji i numrave të mëdhenj në teorinë e probabilitetit thotë se mesatarja empirike (mesatarja aritmetike) e një kampioni të fundëm mjaftueshëm të madh nga një shpërndarje fikse është afër mesatares teorike (pritjes) të kësaj shpërndarjeje. Në varësi të llojit të konvergjencës, dallohet ligji i dobët i numrave të mëdhenj, kur ndodh konvergjenca në probabilitet dhe ligji i fortë i numrave të mëdhenj, kur konvergjenca ndodh pothuajse kudo.

Gjithmonë ekziston një numër i kufizuar provash për të cilat, me çdo probabilitet të caktuar, më pak se 1 frekuenca relative e ndodhjes së ndonjë ngjarjeje do të ndryshojë në mënyrë arbitrare pak nga probabiliteti i saj.

Kuptimi i përgjithshëm i ligjit të numrave të mëdhenj: veprimi i përbashkët i një numri të madh faktorësh të rastësishëm identikë dhe të pavarur çon në një rezultat që, në kufi, nuk varet nga rastësia.

Metodat për vlerësimin e probabilitetit bazuar në analizën e një kampioni të fundëm bazohen në këtë veti. Një shembull i mirë është parashikimi i rezultateve të zgjedhjeve bazuar në një anketë të një kampioni votuesish.

YouTube Enciklopedike

    1 / 5

    ✪ Ligji i numrave të mëdhenj

    ✪ 07 - Teoria e probabilitetit. Ligji i numrave të mëdhenj

    ✪ 42 Ligji i numrave të mëdhenj

    ✪ 1 - Ligji i Chebyshev për numrat e mëdhenj

    ✪ Klasa 11, mësimi 25, kurba Gaussian. Ligji i numrave të mëdhenj

    Titra

    Le të hedhim një vështrim në ligjin e numrave të mëdhenj, i cili është ndoshta ligji më intuitiv në matematikë dhe teorinë e probabilitetit. Dhe për shkak se vlen për shumë gjëra, ndonjëherë përdoret dhe keqkuptohet. Më lejoni së pari t'i jap një përkufizim për saktësinë, dhe më pas do të flasim për intuitën. Le të marrim një ndryshore të rastësishme, të themi X. Le të themi se e dimë pritshmërinë e saj matematikore ose mesataren e popullsisë. Ligji i numrave të mëdhenj thjesht thotë se nëse marrim shembullin e numrit të n-të të vëzhgimeve të një ndryshoreje të rastësishme dhe mesatarisht numrin e të gjitha atyre vëzhgimeve... Le të marrim një ndryshore. Le ta quajmë X me një nënshkrim n dhe një vizë në krye. Kjo është mesatarja aritmetike e numrit të n-të të vëzhgimeve të ndryshores sonë të rastësishme. Këtu është vëzhgimi im i parë. Unë e bëj eksperimentin një herë dhe e bëj këtë vëzhgim, pastaj e bëj përsëri dhe e bëj këtë vëzhgim, e bëj përsëri dhe e marr këtë. Unë e kryej këtë eksperiment n herë dhe më pas e pjesëtoj me numrin e vëzhgimeve të mia. Këtu është mesatarja ime e mostrës. Këtu është mesatarja e të gjitha vëzhgimeve që bëra. Ligji i numrave të mëdhenj na thotë se mesatarja e mostrës time do t'i afrohet mesatares së ndryshores së rastit. Ose mund të shkruaj gjithashtu se mesatarja ime e mostrës do t'i afrohet mesatares së popullsisë për numrin e n-të që shkon në pafundësi. Unë nuk do të bëj një dallim të qartë midis "përafrimit" dhe "konvergjencës", por shpresoj që ju të kuptoni intuitivisht se nëse marr një mostër mjaft të madhe këtu, atëherë do të marr vlerën e pritur për popullsinë në tërësi. Unë mendoj se shumica prej jush e kuptoni intuitivisht se nëse bëj teste të mjaftueshme me një mostër të madhe shembujsh, përfundimisht testet do të më japin vlerat që pres, duke marrë parasysh pritshmërinë matematikore, probabilitetin dhe të gjitha këto. Por unë mendoj se shpesh është e paqartë pse ndodh kjo. Dhe para se të filloj të shpjegoj pse është kështu, më lejoni t'ju jap një shembull konkret. Ligji i numrave të mëdhenj na thotë se... Le të themi se kemi një ndryshore të rastësishme X. Është e barabartë me numrin e kokave në 100 hedhje të monedhës së saktë. Para së gjithash, ne e dimë pritshmërinë matematikore të kësaj ndryshoreje të rastësishme. Ky është numri i hedhjeve ose provave të monedhës shumëzuar me shanset që çdo provë të ketë sukses. Pra është e barabartë me 50. Domethënë, ligji i numrave të mëdhenj thotë se nëse marrim një mostër, ose nëse i vlerësoj këto prova, marr. .. Herën e parë që bëj një provë, hedh një monedhë 100 herë, ose marr një kuti me njëqind monedha, e tund dhe më pas numëroj sa koka marr, dhe marr, le të themi, numrin 55. Kjo do të jetë X1. Pastaj e tund përsëri kutinë dhe marr numrin 65. Pastaj përsëri - dhe marr 45. Dhe e bëj këtë n herë, dhe pastaj e ndaj me numrin e provave. Ligji i numrave të mëdhenj na thotë se kjo mesatare (mesatarja e të gjitha vëzhgimeve të mia) do të priret në 50 ndërsa n do të priret në pafundësi. Tani do të doja të flisja pak se pse ndodh kjo. Shumë besojnë se nëse, pas 100 provash, rezultati im është mbi mesataren, atëherë sipas ligjeve të probabilitetit, unë duhet të kem pak a shumë koka në mënyrë që, si të thuash, të kompensoj ndryshimin. Kjo nuk është saktësisht ajo që do të ndodhë. Kjo shpesh përmendet si "gabimi i kumarxhinjve". Më lejoni t'ju tregoj ndryshimin. Unë do të përdor shembullin e mëposhtëm. Më lejoni të vizatoj një grafik. Le të ndryshojmë ngjyrën. Ky është n, boshti im x është n. Ky është numri i testeve që do të bëj. Dhe boshti im y do të jetë mesatarja e mostrës. Ne e dimë se mesatarja e kësaj ndryshoreje arbitrare është 50. Më lejoni ta vizatoj këtë. Kjo është 50. Le të kthehemi te shembulli ynë. Nëse n është... Gjatë testit tim të parë, kam marrë 55, që është mesatarja ime. Unë kam vetëm një pikë futje të të dhënave. Pastaj pas dy provash, unë marr 65. Pra mesatarja ime do të ishte 65+55 pjesëtuar me 2. Kjo është 60. Dhe mesatarja ime u rrit pak. Pastaj mora 45, që uli përsëri mesataren time aritmetike. Nuk do të përshkruaj 45 në grafik. Tani më duhet të vlerësoj të gjitha mesataret. Me çfarë është 45+65? Më lejoni të llogaris këtë vlerë për të përfaqësuar pikën. Kjo është 165 pjesëtuar me 3. Kjo është 53. Jo, 55. Pra mesatarja zbret përsëri në 55. Ne mund të vazhdojmë këto teste. Pasi kemi bërë tre prova dhe kemi dalë me këtë mesatare, shumë njerëz mendojnë se perënditë e probabilitetit do ta bëjnë atë që të marrim më pak koka në të ardhmen, se provat e ardhshme do të jenë më të ulëta për të ulur mesataren. Por nuk është gjithmonë kështu. Në të ardhmen, probabiliteti mbetet gjithmonë i njëjtë. Probabiliteti që unë të rrotulloj kokat do të jetë gjithmonë 50%. Jo se unë fillimisht marr një numër të caktuar kokash, më shumë se sa prisja, dhe pastaj befas duhet të bien bishtat. Ky është "gabimi i lojtarit". Nëse merrni një numër joproporcional kokash, kjo nuk do të thotë që në një moment do të filloni të bini një numër joproporcional bishtash. Kjo nuk është plotësisht e vërtetë. Ligji i numrave të mëdhenj na thotë se nuk ka rëndësi. Le të themi, pas një numri të caktuar të caktuar provash, mesatarja juaj... Probabiliteti për këtë është mjaft i vogël, por, megjithatë... Le të themi se mesatarja juaj arrin këtë pikë - 70. Ju jeni duke menduar, "Uau, ne kemi shkuar përtej pritjes." Por ligji i numrave të mëdhenj thotë se nuk i intereson sa teste bëjmë. Ne kemi ende një numër të pafund sprovash përpara nesh. Pritshmëria matematikore e këtij numri të pafund provash, veçanërisht në një situatë si kjo, do të jetë si më poshtë. Kur del me një numër të fundëm që shpreh një vlerë të madhe, një numër i pafundëm që konvergon me të do të çojë përsëri në vlerën e pritur. Ky është, natyrisht, një interpretim shumë i lirë, por këtë na thotë ligji i numrave të mëdhenj. Është e rëndësishme. Ai nuk na thotë se nëse marrim shumë koka, atëherë në një farë mënyre gjasat për të marrë bishta do të rriten për të kompensuar. Ky ligj na thotë se nuk ka rëndësi se cili është rezultati me një numër të kufizuar provash për sa kohë që ju keni ende një numër të pafund provash përpara. Dhe nëse bëni mjaftueshëm prej tyre, do të ktheheni përsëri në pritjet. Kjo është një pikë e rëndësishme. Mendoni për këtë. Por kjo nuk përdoret çdo ditë në praktikë me llotaritë dhe kazinotë, edhe pse dihet që nëse bëni teste të mjaftueshme... Mund ta llogarisim edhe... sa është probabiliteti që të devijojmë seriozisht nga norma? Por kazinotë dhe llotaritë punojnë çdo ditë mbi parimin që nëse merrni mjaft njerëz, natyrisht, në një kohë të shkurtër, me një mostër të vogël, atëherë disa njerëz do të arrijnë çmimin e parë. Por në planin afatgjatë, kazinoja do të përfitojë gjithmonë nga parametrat e lojërave që ju ftojnë të luani. Ky është një parim i rëndësishëm probabiliteti që është intuitiv. Edhe pse ndonjëherë, kur ju shpjegohet zyrtarisht me variabla të rastësishme, gjithçka duket pak konfuze. Gjithçka që thotë ky ligj është se sa më shumë mostra të ketë, aq më shumë mesatarja aritmetike e atyre mostrave do të konvergojë drejt mesatares së vërtetë. Dhe për të qenë më specifik, mesatarja aritmetike e kampionit tuaj do të konvergojë me pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme. Kjo eshte e gjitha. Shihemi në videon e radhës!

Ligji i dobët i numrave të mëdhenj

Ligji i dobët i numrave të mëdhenj quhet gjithashtu teorema e Bernulit, sipas Jacob Bernoulli, i cili e vërtetoi atë në 1713.

Le të ketë një sekuencë të pafundme (numërim të njëpasnjëshëm) të ndryshoreve të rastësishme të shpërndara identike dhe të pakorreluara. Kjo është, kovarianca e tyre c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\për të gjitha i\jo =j). Le . Shënoni me mesataren e mostrës së të parës n (\displaystyle n) anëtarët:

.

Pastaj X ¯ n → P μ (\shfaqje stili (\bar (X))_(n)\në ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Kjo është, për çdo pozitiv ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Ligji i fortë i numrave të mëdhenj

Le të ketë një sekuencë të pafundme variablash të rastësishme të pavarura të shpërndara identike ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) të përcaktuara në një hapësirë ​​probabiliteti (Ω , F , P) (\style ekrani (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Le E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Shënoni me X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) mostra mesatare e të parës n (\displaystyle n) anëtarët:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \ limitet _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\në \mathbb (N)).

Pastaj X ¯ n → μ (\stili i shfaqjes (\bar (X))_(n)\në \mu) pothuajse gjithmonë.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ djathtas) = ​​1.) .

Ashtu si çdo ligj matematikor, ligji i numrave të mëdhenj mund të zbatohet vetëm në botën reale nën supozime të njohura, të cilat mund të përmbushen vetëm me një shkallë saktësie. Kështu, për shembull, kushtet e testeve të njëpasnjëshme shpesh nuk mund të mbahen pafundësisht dhe me saktësi absolute. Përveç kësaj, ligji i numrave të mëdhenj flet vetëm për pamundësi devijimi i konsiderueshëm i vlerës mesatare nga pritshmëria matematikore.

Vlera mesatare është treguesi më i përgjithshëm në statistika. Kjo për faktin se mund të përdoret për të karakterizuar popullsinë sipas një atributi sasior të ndryshëm. Për shembull, për të krahasuar pagat e punëtorëve të dy ndërmarrjeve, pagat e dy punëtorëve specifikë nuk mund të merren, pasi ajo vepron si një tregues i ndryshueshëm. Gjithashtu, shuma totale e pagave të paguara në ndërmarrje nuk mund të merret, pasi varet nga numri i të punësuarve. Nëse shumën totale të pagave të secilës ndërmarrje e pjesëtojmë me numrin e të punësuarve, mund t'i krahasojmë ato dhe të përcaktojmë se cila ndërmarrje ka pagë mesatare më të lartë.

Me fjalë të tjera, pagat e popullsisë së studiuar të punëtorëve marrin një karakteristikë të përgjithësuar në vlerën mesatare. Ai shpreh të përgjithshmen dhe tipiken që është karakteristikë e tërësisë së punëtorëve në lidhje me tiparin në studim. Në këtë vlerë, tregon masën e përgjithshme të këtij atributi, i cili ka një vlerë të ndryshme për njësitë e popullsisë.

Përcaktimi i vlerës mesatare. Vlera mesatare në statistikë është një karakteristikë e përgjithësuar e një grupi fenomenesh të ngjashme sipas disa atributeve sasiore të ndryshme. Vlera mesatare tregon nivelin e kësaj veçorie, në lidhje me njësinë e popullsisë. Me ndihmën e vlerës mesatare, është e mundur të krahasohen agregatët e ndryshëm me njëri-tjetrin sipas karakteristikave të ndryshme (të ardhurat për frymë, rendimentet e të korrave, kostot e prodhimit në ndërmarrje të ndryshme).

Vlera mesatare përgjithëson gjithmonë variacionin sasior të veçorisë me të cilën ne karakterizojmë popullsinë në studim dhe që është njësoj e natyrshme në të gjitha njësitë e popullsisë. Kjo do të thotë se pas çdo vlere mesatare qëndron gjithmonë një seri e shpërndarjes së njësive të popullsisë sipas ndonjë atributi të ndryshëm, d.m.th. seri variacionesh. Në këtë drejtim, vlera mesatare është thelbësisht e ndryshme nga vlerat relative dhe, në veçanti, nga treguesit e intensitetit. Treguesi i intensitetit është raporti i vëllimeve të dy agregatëve të ndryshëm (për shembull, prodhimi i PBB-së për frymë), ndërsa ai mesatar përgjithëson karakteristikat e elementeve të agregatit sipas një prej karakteristikave (për shembull, mesatarja paga e një punëtori).

Vlera mesatare dhe ligji i numrave të mëdhenj. Në ndryshimin e treguesve mesatarë, shfaqet një prirje e përgjithshme, nën ndikimin e së cilës formohet procesi i zhvillimit të fenomeneve në tërësi, ndërsa në raste individuale kjo prirje mund të mos shfaqet qartë. Është e rëndësishme që mesataret të bazohen në një përgjithësim masiv të fakteve. Vetëm nën këtë kusht ata do të zbulojnë prirjen e përgjithshme që qëndron në themel të procesit në tërësi.


Thelbi i ligjit të numrave të mëdhenj dhe rëndësia e tij për mesataret, me rritjen e numrit të vëzhgimeve, anulon gjithnjë e më shumë devijimet e krijuara nga shkaqe të rastësishme. Kjo do të thotë, ligji i numrave të mëdhenj krijon kushte që një nivel tipik i një atributi të ndryshëm të shfaqet në vlerën mesatare në kushte specifike të vendit dhe kohës. Vlera e këtij niveli përcaktohet nga thelbi i këtij fenomeni.

Llojet e mesatareve. Vlerat mesatare të përdorura në statistika i përkasin klasës së mjeteve të fuqisë, formula e përgjithshme e së cilës është si më poshtë:

Ku x është vlera mesatare;

X - ndryshimi i vlerave të atributit (opsionet)

- opsioni i numrit

Eksponenti i mesatares;

Shenjë përmbledhëse.

Për vlera të ndryshme të eksponentit të mesatares, fitohen lloje të ndryshme të mesatares:

Mesatarja aritmetike;

katrori mesatar;

Kub mesatar;

Harmonike mesatare;

Mesatarja gjeometrike.

Llojet e ndryshme të mesatareve kanë kuptime të ndryshme kur përdorin të njëjtat statistika burimore. Në të njëjtën kohë, sa më i madh të jetë eksponenti i mesatares, aq më e lartë është vlera e saj.

Në statistikë, karakterizimi i saktë i popullatës në secilin rast individual jepet vetëm nga një lloj plotësisht i përcaktuar vlerash mesatare. Për të përcaktuar këtë lloj vlere mesatare, përdoret një kriter që përcakton vetitë e mesatares: vlera mesatare do të jetë vetëm atëherë një karakteristikë e vërtetë përgjithësuese e popullatës sipas atributit të ndryshëm, kur të gjitha variantet zëvendësohen me mesataren. vlera, vëllimi i përgjithshëm i atributit të ndryshëm mbetet i pandryshuar. Kjo do të thotë, lloji i saktë i mesatares përcaktohet nga mënyra se si formohet vëllimi i përgjithshëm i veçorisë së ndryshueshme. Pra, mesatarja aritmetike përdoret kur vëllimi i veçorisë së ndryshueshme formohet si shuma e opsioneve individuale, katrori mesatar - kur vëllimi i veçorisë së ndryshueshme formohet si shuma e katrorëve, mesatarja harmonike - si shuma e vlerat reciproke të opsioneve individuale, mesatarja gjeometrike - si produkt i opsioneve individuale. Përveç vlerave mesatare në statistika

Përdoren karakteristikat përshkruese të shpërndarjes së një veçorie të ndryshueshme (mesatarja strukturore), mënyra (varianti më i zakonshëm) dhe mediana (varianti i mesëm).

Postime të ngjashme