I ett slumpmässigt experiment fördubblas ett symmetriskt mynt. Problem i sannolikhetsteorin. Kombinationsuppräkningsmetod

Uppgiftsformulering: I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden (svansar) inte kommer att falla ut ens en gång (det kommer att falla ut exakt / minst 1, 2 gånger).

Uppgiften ingår i ANVÄNDNING i matematik på grundnivå för årskurs 11 på nummer 10 (Klassisk definition av sannolikhet).

Låt oss se hur sådana problem löses med exempel.

Exempel på uppgift 1:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden aldrig kommer upp.

OO ELLER RO RR

Det finns totalt 4 sådana kombinationer. Vi är bara intresserade av de av dem där det inte finns en enda örn. Det finns bara en sådan kombination (PP).

P = 1/4 = 0,25

Svar: 0,25

Exempel på uppgift 2:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att det kommer upp huvudena exakt två gånger.

Tänk på alla möjliga kombinationer som kan falla ut om myntet kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna örnen med bokstaven O och svansar med bokstaven P:

OO ELLER RO RR

Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de kombinationer där huvuden visas exakt 2 gånger. Det finns bara en sådan kombination (OO).

P = 1/4 = 0,25

Svar: 0,25

Exempel på uppgift 3:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att det kommer upp i huvudet exakt en gång.

Tänk på alla möjliga kombinationer som kan falla ut om myntet kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna örnen med bokstaven O och svansar med bokstaven P:

OO ELLER RO RR

Totalt finns det 4 sådana kombinationer. Vi är bara intresserade av de av dem där huvuden föll ut exakt 1 gång. Det finns bara två sådana kombinationer (OP och RO).

Svar: 0,5

Exempel på uppgift 4:

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp minst en gång.

Tänk på alla möjliga kombinationer som kan falla ut om myntet kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna örnen med bokstaven O och svansar med bokstaven P:

OO ELLER RO RR

Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de kombinationer där huvuden faller ut minst en gång. Det finns bara tre sådana kombinationer (OO, OR och RO).

P = 3/4 = 0,75

I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt...

Som ett förord.
Alla vet att ett mynt har två sidor - huvud och svans.
Numismatiker tror att myntet har tre sidor - framsida, baksida och kant.
Och bland dem, och bland andra, är det få som vet vad ett symmetriskt mynt är. Men de vet om det (nåja, eller borde veta :), de som förbereder sig för att ta provet.

I allmänhet kommer den här artikeln att fokusera på ovanligt mynt, som inte har något med numismatik att göra, men samtidigt är det mest populära myntet bland skolbarn.

Så.
Symmetriskt mynt- detta är ett imaginärt matematiskt idealiskt mynt utan storlek, vikt, diameter etc. Som ett resultat har ett sådant mynt heller ingen kant, det vill säga att det egentligen bara har två sidor. Den huvudsakliga egenskapen hos ett symmetriskt mynt är att under sådana förhållanden är sannolikheten för fallande huvuden eller svansar exakt densamma. Och de kom på ett symmetriskt mynt för tankeexperiment.
Det mest populära problemet med ett symmetriskt mynt låter så här - "I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger (tre gånger, fyra gånger, etc.). Det krävs för att bestämma sannolikheten för att en av sidorna kommer att falla ut. ett visst antal gånger.

Lös problemet med ett symmetriskt mynt

Det är uppenbart att som ett resultat av slängningen kommer myntet att falla antingen med huvudet eller svansen. Hur många gånger - beror på hur många kast som ska göras. Sannolikheten att få huvud eller svans beräknas genom att dividera antalet utfall som uppfyller villkoret med det totala antalet möjliga utfall.

Ett kast

Allt är enkelt här. Antingen huvuden eller svansar kommer upp. De där. vi har två möjliga resultat, varav ett tillfredsställer oss - 1/2=50 %

Tvåkast

För två kast kan falla:
två örnar
två svansar
huvuden, sedan svansar
svansar, sedan huvuden
De där. endast fyra alternativ är möjliga. Problem med mer än ett kast är lättast att lösa genom att göra en tabell över möjliga alternativ. För enkelhetens skull, låt oss beteckna huvuden som "0" och svansar som "1". Sedan ser tabellen över möjliga utfall ut så här:
00
01
10
11
Om du till exempel behöver hitta sannolikheten att huvuden faller en gång behöver du bara räkna antalet lämpliga alternativ i tabellen - d.v.s. de linjerna där örnen förekommer en gång. Det finns två sådana rader. Så sannolikheten att få ett huvud i två kast av ett symmetriskt mynt är 2/4=50 %
Sannolikheten att få huvuden två gånger i två kast är 1/4=25 %

Tre rosor

Vi gör en tabell med alternativ:
000
001
010
011
100
101
110
111
De som är bekanta med binär kalkyl förstår vad vi har kommit fram till. :) Ja, de är binära tal från "0" till "7". På så sätt är det lättare att inte bli förvirrad med alternativen.
Låt oss lösa problemet från föregående stycke - vi beräknar sannolikheten för att örnen kommer att falla ut en gång. Det finns tre rader där "0" förekommer en gång. Så sannolikheten att få ett huvud på tre kast av ett symmetriskt mynt är 3/8=37,5 %
Sannolikheten att huvuden i tre kast faller ut två gånger är 3/8=37,5 %, d.v.s. absolut samma.
Sannolikheten att huvudet i tre kast faller ut tre gånger är 1/8 = 12,5 %.

Fyra kast

Vi gör en tabell med alternativ:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Sannolikheten att huvuden kommer upp en gång. Det finns bara tre rader där "0" förekommer en gång, precis som i fallet med tre kast. Men det finns redan sexton alternativ. Så sannolikheten att få ett huvud på fyra kast av ett symmetriskt mynt är 3/16=18,75 %
Sannolikheten att örnen faller ut två gånger i tre kast är 6/8=75 %,.
Sannolikheten att huvuden kommer upp tre gånger i tre kast är 4/8=50%.

Så med en ökning av antalet kast förändras principen för att lösa problemet inte alls - bara, i en lämplig progression, ökar antalet alternativ.

I sannolikhetsteorin finns det en grupp problem, för vars lösning det räcker att känna till den klassiska definitionen av sannolikhet och visualisera den föreslagna situationen. Dessa problem är de flesta myntkastningsproblem och tärningskastningsproblem. Kom ihåg den klassiska definitionen av sannolikhet.

Sannolikhet för händelse A (den objektiva möjligheten att en händelse inträffar i numeriska termer) är lika med förhållandet mellan antalet utfall som är gynnsamma för denna händelse och det totala antalet av alla lika möjliga inkompatibla elementära utfall: P(A)=m/n, var:

• m är antalet elementära testresultat som gynnar förekomsten av händelse A;
• n är det totala antalet av alla möjliga elementära testresultat.

Det är bekvämt att bestämma antalet möjliga elementära testresultat och antalet gynnsamma utfall i de aktuella problemen genom uppräkning av alla möjliga alternativ (kombinationer) och direkt beräkning.

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=4. Gynnsamma utfall av händelsen A = (örn faller ut 1 gång) motsvarar alternativ nr 2 och nr 3 i experimentet, det finns två sådana alternativ m=2.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=2/4=0,5

Uppgift 2 . I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden aldrig kommer upp.

Beslut . Eftersom myntet kastas två gånger är antalet möjliga elementära utfall, som i uppgift 1, n=4. Gynnsamma utfall av händelsen A = (örnen faller inte ut en gång) motsvarar variant nr 4 av experimentet (se tabellen i uppgift 1). Det finns bara ett sådant alternativ, så m=1.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=1/4=0,25

Uppgift 3 . I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt tre gånger. Hitta sannolikheten att det kommer upp huvuden exakt 2 gånger.

Beslut . Möjliga alternativ tre myntkast (alla möjliga kombinationer av huvuden och svansar) presenteras i form av en tabell:

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=8. Gynnsamma utfall av händelsen A = (huvuden 2 gånger) motsvarar alternativen nr 5, 6 och 7 i experimentet. Det finns tre sådana alternativ, så m=3.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=3/8=0,375

Uppgift 4 . I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt fyra gånger. Hitta sannolikheten att det kommer upp huvuden exakt 3 gånger.

Beslut . Möjliga varianter av fyra myntkast (alla möjliga kombinationer av huvuden och svansar) presenteras i form av en tabell:

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=16. Gynnsamma utfall av händelsen A = (örnen faller ut 3 gånger) motsvarar alternativ nr 12, 13, 14 och 15 i experimentet, vilket betyder m=4.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=4/16=0,25

Att bestämma sannolikhet i tärningsproblem

Uppgift 5 . Bestäm sannolikheten att mer än 3 poäng faller ut när en tärning (rätt tärning) kastas.

Beslut . När du kastar en tärning (en vanlig tärning), kan vilken som helst av dess sex ansikten falla ut, d.v.s. att inträffa någon av de elementära händelserna - förlust från 1 till 6 poäng (poäng). Så antalet möjliga elementära utfall är n=6.
Händelse A = (mer än 3 poäng föll) betyder att 4, 5 eller 6 poäng (poäng) föll. Så antalet gynnsamma utfall m=3.
Sannolikhet för händelsen Р(А)=m/n=3/6=0,5

Uppgift 6 . Bestäm sannolikheten för att antalet poäng inte överstiger 4 när en tärning kastas. Avrunda resultatet till närmaste tusendel.

Beslut . När du kastar en tärning kan vilken som helst av dess sex ansikten falla ut, d.v.s. att inträffa någon av de elementära händelserna - förlust från 1 till 6 poäng (poäng). Så antalet möjliga elementära utfall är n=6.
Händelse A = (högst 4 poäng föll) betyder att 4, 3, 2 eller 1 poäng (poäng) föll ut. Så antalet gynnsamma utfall m=4.
Sannolikhet för händelsen Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Uppgift 7 . En tärning kastas två gånger. Hitta sannolikheten att båda talen är mindre än 4.

Beslut . Eftersom en tärning (tärning) kastas två gånger, kommer vi att argumentera enligt följande: om en poäng föll på den första tärningen, då kan 1, 2, 3, 4, 5, 6 falla ut på den andra. Vi får par (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) och så vidare med varje ansikte. Vi presenterar alla fall i form av en tabell med 6 rader och 6 kolumner:

Gynnsamma utfall av händelsen A = (båda gångerna föll ett antal mindre än 4 ut) (de är markerade i fet stil) kommer att beräknas och vi får m=9.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=9/36=0,25

Uppgift 8 . En tärning kastas två gånger. Hitta sannolikheten att det största av de två dragna siffrorna är 5. Avrunda ditt svar till närmaste tusendel.

Beslut . Alla möjliga utfall av två kast med en tärning presenteras i tabellen:

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=6*6=36.
Gynnsamma utfall av händelsen A = (det största av de två dragna siffrorna är 5) (de är markerade i fet stil) beräknas och vi får m=8.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Uppgift 9 . En tärning kastas två gånger. Hitta sannolikheten att ett tal mindre än 4 kastas minst en gång.

Beslut . Alla möjliga utfall av två kast med en tärning presenteras i tabellen:

Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=6*6=36.
Frasen "minst en gång ett nummer mindre än 4 föll ut" betyder "ett nummer mindre än 4 föll ut en eller två gånger", då antalet gynnsamma utfall av händelsen A = (minst en gång ett nummer mindre än 4 föll ut ) (de är i fetstil) m=27.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=27/36=0,75

I uppgifterna om sannolikhetsteorin, som presenteras i Unified State Examinationen med nummer nr 4, finns det förutom uppgifter för att kasta ett mynt och om att kasta en tärning. Idag kommer vi att analysera dem.

Myntkastningsproblem

Uppgift 1. Ett symmetriskt mynt kastas två gånger. Hitta sannolikheten att det kommer upp svansar exakt en gång.

I sådana problem är det bekvämt att skriva ner alla möjliga resultat, skriva dem med bokstäverna P (svansar) och O (huvuden). Således betyder resultatet av OR att det första kastet kom upp i huvuden och det andra kom upp i svansar. I det aktuella problemet är fyra möjliga resultat: PP, RO, OR, OO. Föredrar händelsen "svansar kommer upp exakt en gång" 2 utfall: RO och OR. Den nödvändiga sannolikheten är .

Svar: 0,5.

Uppgift 2. Ett symmetriskt mynt kastas tre gånger, Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp exakt två gånger.

Totalt är 8 utfall möjliga: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Föredrag händelsen "avleder exakt två gånger" 3 utfall: ROO, ORO, OOR. Den nödvändiga sannolikheten är .

Svar: 0,375.

Uppgift 3. Innan början fotbollsmatch Domaren kastar ett mynt för att avgöra vilket lag som ska starta spelet med bollen. Emerald-laget spelar tre matcher med olika lag. Hitta sannolikheten att "Emerald" i dessa spel kommer att vinna lotten exakt en gång.

Denna uppgift liknar den föregående. Låt varje gång förlusten av svansar innebär vinst av partiet av "Emerald" (ett sådant antagande påverkar inte beräkningen av sannolikheter). Då är 8 utfall möjliga: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Det finns 3 resultat som gynnar händelsen "svansar kommer upp exakt en gång": POO, ORO, OOP. Den nödvändiga sannolikheten är .

Svar: 0,375.

Uppgift 4. Ett symmetriskt mynt kastas tre gånger. Hitta sannolikheten att resultatet av ROO kommer (första gången det kommer upp svansar, andra och tredje - huvuden).

Som i de tidigare uppgifterna finns det 8 utfall här: PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO. Sannolikheten för utfallet av ROO är lika med .

Svar: 0,125.

Problem med tärningskast

Uppgift 5. Tärningar kastas två gånger. Hur många elementära resultat av erfarenhet gynnar händelsen "summan av poäng är 8"?

Uppgift 6. Två tärningar kastas samtidigt. Hitta sannolikheten att summan blir 4. Avrunda resultatet till närmaste hundradel.

I allmänhet, om tärningar (tärningar) kastas, så finns det lika möjliga utfall. Samma antal utfall erhålls om samma tärning kastas en gång i rad.

Följande resultat gynnar händelsen "4 totalt": 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Deras antal är 3. Den önskade sannolikheten är .

För att beräkna det ungefärliga värdet av ett bråk är det bekvämt att använda division med ett hörn. Det är alltså ungefär lika med 0,083 ..., avrundat till hundradelar har vi 0,08.

Svar: 0,08

Uppgift 7. Tre tärningar kastas samtidigt. Hitta sannolikheten att få 5 poäng totalt. Avrunda resultatet till närmaste hundradel.

Vi kommer att betrakta resultatet som en trippel av siffror: poängen som föll på den första, andra och tredje tärningen. Totalt finns det lika möjliga utfall. Följande resultat gynnar händelsen "5 totalt": 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Deras antal är 6. Den önskade sannolikheten är . För att beräkna det ungefärliga värdet av ett bråk är det bekvämt att använda division med ett hörn. Ungefär får vi 0,027 ..., avrundat till hundradelar har vi 0,03. Källa ”Förberedelser inför tentamen. Matte. Sannolikhetsteori”. Redigerad av F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov