ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ การกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความเป็นอิสระของเหตุการณ์ ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น วิธีค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

พี(ก)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. ทฤษฎีบทสำหรับการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม

ตรงข้ามตั้งชื่อเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ที่รวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ หากเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจากสองเหตุการณ์ที่ขัดแย้งกันถูกระบุโดย เอ,อย่างอื่นมักจะแสดงแทน . เหตุการณ์ตรงกันข้าม ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่ไม่เกิดขึ้น ก.

ทฤษฎีบท.ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามมีค่าเท่ากับ 1:

ป(ก)+พี()= 1.

ตัวอย่างที่ 4กล่องประกอบด้วย 11 ส่วน โดย 8 ส่วนเป็นมาตรฐาน จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่สุ่มเลือกออกมา 3 ชิ้น มีชิ้นส่วนที่ชำรุดอย่างน้อย 1 ชิ้น

สารละลาย.ปัญหาสามารถแก้ไขได้สองวิธี

1 วิธี- เหตุการณ์ “ในบรรดาส่วนที่แยกออกมานั้นมีข้อบกพร่องอย่างน้อยหนึ่งชิ้น” และ “ไม่มีชิ้นส่วนที่ชำรุดแม้แต่ชิ้นเดียวในบรรดาส่วนที่แยกออก” นั้นตรงกันข้าม ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์แรกโดย เอ,และครั้งที่สองผ่าน :

ป(ก) =1 - ป( ) .

เราจะพบ ร(). จำนวนวิธีทั้งหมดที่สามารถแยก 3 ส่วนออกจาก 11 ส่วนได้จะเท่ากับจำนวนชุดค่าผสม
- จำนวนชิ้นส่วนมาตรฐานคือ 8 ; จากจำนวนส่วนนี้ก็เป็นไปได้
วิธีแยก 3 ส่วนมาตรฐาน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ใน 3 ส่วนที่แยกออกมาจะไม่มีชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานเพียงชิ้นเดียวจะเท่ากับ:

ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ: ป(ก)=1 - ป()=

วิธีที่ 2เหตุการณ์ ก- “ในบรรดาชิ้นส่วนที่แยกออกมานั้นมีข้อบกพร่องอย่างน้อยหนึ่งชิ้น” - สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นรูปลักษณ์ของ:

หรือเหตุการณ์ต่างๆ ใน- “ชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่อง 1 ชิ้นและชิ้นส่วนที่ไม่ชำรุด 2 ชิ้นถูกถอดออก”,

หรือเหตุการณ์ต่างๆ กับ- “ชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่อง 2 ชิ้นและชิ้นส่วนที่ไม่ชำรุด 1 ชิ้นถูกถอดออก”,

หรือเหตุการณ์ต่างๆ ดี - “ชิ้นส่วนที่ชำรุด 3 ชิ้นถูกถอดออก”

แล้ว ก= บี+ ค+ ดี- ตั้งแต่เหตุการณ์ บี, ค และ ดี ไม่สอดคล้องกัน เราก็สามารถนำทฤษฎีบทมาเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ได้:

4. ทฤษฎีบทสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ผลผลิตของสองเหตุการณ์ก และใน เรียกเหตุการณ์ ค=เอบีประกอบด้วยลักษณะร่วม (รวมกัน) ของเหตุการณ์เหล่านี้

ผลงานจากหลายงานเรียกเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์ทั้งหมดนี้ เช่น เหตุการณ์ เอบีซีประกอบด้วยเหตุการณ์ที่ผสมผสานกัน เอ, บีและ กับ.

มีสองเหตุการณ์ที่เรียกว่า เป็นอิสระถ้าความน่าจะเป็นของอันใดอันหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปลักษณ์หรือการไม่ปรากฏของอีกอัน

ทฤษฎีบท.ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ป(เอบี)=พี(ก) พี(บี)

ผลที่ตามมาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ต่างๆ จะเกิดขึ้นร่วมกันซึ่งเป็นอิสระจากผลรวม เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ :

พี(เอ 1 ก 2 ...ก n ) = P(ก 1 ) พี(เอ 2 )...พี(ก n ).

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตราอาร์มจะปรากฎพร้อมกันเมื่อโยนเหรียญสองเหรียญ

สารละลาย- เรามาแสดงถึงเหตุการณ์: เอ -ลักษณะตราอาร์มบนเหรียญรุ่นแรก ใน -ลักษณะของตราอาร์มบนเหรียญที่สอง กับ- ลักษณะตราอาร์มบนเหรียญสองเหรียญ ค=เอบี.

ความน่าจะเป็นที่จะปรากฏตราแผ่นดินของเหรียญแรก :

ป(ก) =.

ความน่าจะเป็นที่จะปรากฏตราแผ่นดินของเหรียญที่สอง :

ป(ข) =.

ตั้งแต่เหตุการณ์ กและ ในเป็นอิสระจากกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการตามทฤษฎีบทการคูณจะเท่ากับ:

พี(ค)=พี(เอบี) = พี(ก) ป(ข) = =.

ตัวอย่างที่ 6มี 3 กล่อง กล่องละ 10 ชิ้น กล่องแรกประกอบด้วย 8 ส่วน 7 ส่วนที่สองและส่วนที่สาม 9 ส่วน ส่วนหนึ่งจะถูกสุ่มหยิบออกมาจากแต่ละกล่อง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนทั้งสามที่นำออกมาจะเป็นค่ามาตรฐาน

สารละลาย- ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องแรก (เหตุการณ์ ก):

ป(ก) =

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องที่สอง (event ใน):

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกลบออกจากกล่องที่สาม (เหตุการณ์ กับ):

ป(ค)=

ตั้งแต่เหตุการณ์ เอ, บีและ กับเป็นอิสระจากผลรวม ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ (ตามทฤษฎีบทการคูณ) จะเท่ากับ:

ป(เอบีซี)=พี(ก) พี(บี) ป(ค)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

ตัวอย่างที่ 7ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ ก 1 และ ก 2 เท่ากันตามลำดับ ร 1 และ ร 2. ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเพียงเหตุการณ์เดียวเท่านั้น

สารละลาย- เรามาแนะนำการกำหนดกิจกรรม:

ใน 1 – มีเพียงเหตุการณ์ที่ปรากฏเท่านั้น ก 1 - ใน 2 – มีเพียงเหตุการณ์ที่ปรากฏเท่านั้น ก 2 .

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ใน 1 เท่ากับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ ก 1 2 (เหตุการณ์แรกเกิดขึ้นและเหตุการณ์ที่สองไม่เกิดขึ้น) กล่าวคือ ใน 1 = ก 1 2 .

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ใน 2 เท่ากับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ 1 ก 2 (เหตุการณ์แรกไม่ปรากฏและเหตุการณ์ที่สองเกิดขึ้น) กล่าวคือ ใน 1 = 1 ก 2 .

ดังนั้น เพื่อหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเพียงเหตุการณ์เดียวเท่านั้น ก 1 หรือ ก 2 ก็เพียงพอแล้วที่จะหาความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งไม่ว่าเหตุการณ์ใดจะเกิดขึ้นก็ตาม ใน 1 และ ใน 2 - กิจกรรม ใน 1 และ ใน 2 ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทของการบวกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:

พี(บี 1 +บี 2 ) = พี(บี 1 ) + P(บี 2 ) .

ทฤษฎีบท

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่เหตุการณ์แรกเกิดขึ้น

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

มีการเรียกเหตุการณ์ $A$ เหตุการณ์ที่เป็นอิสระ$B$ ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ $B$ เกิดขึ้นหรือไม่ มีการเรียกเหตุการณ์ $A$ ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์$B$ ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ เปลี่ยนแปลง ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ $B$ เกิดขึ้นหรือไม่

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ ซึ่งคำนวณจากเหตุการณ์อื่นที่ $B$ เกิดขึ้น เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์$A$ และเขียนแทนด้วย $P(A | B)$

เงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของเหตุการณ์ $A$ จากเหตุการณ์ $B$ สามารถเขียนได้เป็น:

$$P(ก | ข)=P(ก)$$

และเงื่อนไขการพึ่งพาอยู่ในรูปแบบ:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

ข้อพิสูจน์ 1.หากเหตุการณ์ $A$ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ $B$ ดังนั้นเหตุการณ์ $B$ จะไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ $A$

ข้อพิสูจน์ 2.ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสามารถสรุปได้ในกรณีของเหตุการณ์จำนวนเท่าใดก็ได้ โดยทั่วไปจะมีการกำหนดไว้ดังนี้

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ตามมาแต่ละเหตุการณ์ตามลำดับจะถูกคำนวณ โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ก่อนหน้าทั้งหมดเกิดขึ้น:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2) | A_(1) \right) \cdot P\left(A_(3) | A_(1) A_(2)\right) \cdots \cdots P\left(A_(n) | A_(1) A_(2) \ldots A_( n-1)\right)$$

ในกรณีของเหตุการณ์อิสระ ทฤษฎีบทจะลดความซับซ้อนและใช้รูปแบบ:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right) \cdot P\left(A_(3)\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_(n)\right)$$

นั่นคือ ความน่าจะเป็นในการสร้างเหตุการณ์อิสระจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

$$P\left(\prod_(i=1)^(n) A_(i)\right)=\prod_(i=1)^(n) P\left(A_(i)\right)$$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ในโกศมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูก ลูกบอลสองลูกถูกนำออกจากโกศติดต่อกันและไม่ได้คืน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีขาว

สารละลาย.ให้เหตุการณ์ $A$ เป็นรูปลูกบอลสีขาว 2 ลูก กิจกรรมนี้เป็นผลงานของสองกิจกรรม:

$$A=A_(1) A_(2)$$

โดยที่เหตุการณ์ $A_1$ คือลักษณะของลูกบอลสีขาวในระหว่างการถอดออกครั้งแรก $A_2$ คือลักษณะของลูกบอลสีขาวในระหว่างการถอดครั้งที่สอง จากนั้นด้วยทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น

$$P(A)=P\left(A_(1) A_(2)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2) | A_(1)\ ขวา)=\frac(2)(5) \cdot \frac(1)(4)=\frac(1)(10)=0.1$$

คำตอบ. $0,1$

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ในโกศมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูก ลูกบอลสองลูกถูกดึงออกมาจากโกศติดต่อกัน หลังจากการจั่วครั้งแรก ลูกบอลจะถูกส่งกลับไปยังโกศ และลูกบอลในโกศจะถูกผสมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีขาว

สารละลาย.ในกรณีนี้ เหตุการณ์ $A_1$ และ $A_2$ มีความเป็นอิสระ ตามด้วยความน่าจะเป็นที่ต้องการ

$$P(A)=P\left(A_(1) A_(2)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right)=\frac (2)(5) \cdot \frac(2)(5)=\frac(4)(25)=0.16$$

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือการวัดเชิงปริมาณที่ถูกนำมาใช้เพื่อเปรียบเทียบเหตุการณ์ตามระดับความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้น

เหตุการณ์ที่สามารถแสดงเป็นชุด (ผลรวม) ของเหตุการณ์เบื้องต้นหลายเหตุการณ์เรียกว่าคอมโพสิต

เหตุการณ์ที่ไม่สามารถแยกย่อยเป็นเหตุการณ์ที่เรียบง่ายได้เรียกว่าระดับประถมศึกษา

เหตุการณ์จะเรียกว่าเป็นไปไม่ได้หากไม่เคยเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขของการทดลองที่กำหนด (การทดสอบ)

เหตุการณ์บางอย่างและเป็นไปไม่ได้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ

กิจกรรมร่วมกัน– หลายเหตุการณ์เรียกว่าเหตุการณ์ร่วมหากจากการทดลอง การเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่ได้ยกเว้นการเกิดขึ้นของเหตุการณ์อื่น

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้– เหตุการณ์หลายอย่างเรียกว่าเข้ากันไม่ได้ในการทดลองที่กำหนด หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งไม่รวมการเกิดขึ้นของเหตุการณ์อื่นๆ ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า ตรงข้าม,หากสิ่งหนึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่ออีกสิ่งหนึ่งไม่เกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือ พี(เอ) – เรียกว่าอัตราส่วนจำนวน มเหตุการณ์เบื้องต้น (ผลลัพธ์) ที่เป็นประโยชน์ต่อการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ เอ,ไปที่หมายเลข nเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดภายใต้เงื่อนไขของการทดลองความน่าจะเป็นที่กำหนด

คุณสมบัติของความน่าจะเป็นต่อไปนี้เป็นไปตามคำจำกัดความ:

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเป็นจำนวนบวกระหว่าง 0 ถึง 1:

2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างคือ 1: (3)

3. หากเหตุการณ์หนึ่งเป็นไปไม่ได้ ความน่าจะเป็นก็จะเท่ากับ

4. หากเหตุการณ์เข้ากันไม่ได้แล้ว

5. ถ้าเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นร่วมกัน ความน่าจะเป็นของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกัน:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)(6)

6. ถ้า และ เป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม แล้ว (7)

7. ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก 1, 2, …, นรวมกันเป็นกลุ่มสมบูรณ์จะเท่ากับ 1:

P(A 1) + P(A 2) + …+ P(A n) = 1(8)

ในการศึกษาเศรษฐศาสตร์ค่านิยมและสูตรอาจมีการตีความต่างกัน ที่ คำจำกัดความทางสถิติความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือจำนวนการสังเกตผลการทดลองซึ่งมีเหตุการณ์เกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว ในกรณีนี้เรียกว่าความสัมพันธ์ ความถี่สัมพัทธ์ (ความถี่) ของเหตุการณ์

กิจกรรม เอ, บีถูกเรียกว่า เป็นอิสระถ้าความน่าจะเป็นของแต่ละรายการไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระเรียกว่า ไม่มีเงื่อนไข.

กิจกรรม เอ, บีถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับถ้าความน่าจะเป็นของแต่ละรายการขึ้นอยู่กับว่ามีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ซึ่งคำนวณภายใต้สมมติฐานว่ามีเหตุการณ์ A เกิดขึ้นแล้วอีกเหตุการณ์หนึ่งเรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข.

หากเหตุการณ์ A และ B สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) หรือ P(B/A) – P(B) = 0(9)

ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับสองเหตุการณ์ A, B เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B)หรือ P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เมื่อพิจารณาถึงการเกิดเหตุการณ์ A:

ความน่าจะเป็นของผลคูณของทั้งสอง เป็นอิสระเหตุการณ์ A, B เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

ถ้าหลายเหตุการณ์เป็นอิสระจากกันเป็นคู่ ความเป็นอิสระของเหตุการณ์โดยรวมจะไม่เป็นไปตามนั้น

กิจกรรม ก 1, 2, ..., ญ (n>2)เรียกว่าเป็นอิสระโดยรวม หากความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่นใดเกิดขึ้นหรือไม่

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ต่างๆ จะเกิดขึ้นร่วมกันซึ่งเป็นอิสระจากผลรวมจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n) (13)

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) หรือ P(B/A) – P(B) = 0(9)

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B)หรือ P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เมื่อพิจารณาถึงการเกิดเหตุการณ์ A:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n) (13)

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

บันทึกการบรรยาย: แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติที่ใช้ในเศรษฐมิติ

รัฐคาซาน.. สถาบันการเงินและเศรษฐกิจ.. ภาควิชาสถิติและเศรษฐมิติ..

หากคุณต้องการเนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหา เราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
คำอธิบายที่สมบูรณ์และครบถ้วนที่สุดของตัวแปรแยกคือกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มคือความสัมพันธ์ใดๆ ที่เกิดขึ้น

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
สำหรับ SV แบบต่อเนื่อง เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุความน่าจะเป็นที่ค่าดังกล่าวจะใช้กับค่าเฉพาะบางค่า (ความน่าจะเป็นแบบจุด) เนื่องจากช่วงเวลาใดๆ มีค่าเป็นจำนวนอนันต์ จึงเป็นไปได้

ความสัมพันธ์ของตัวแปรสุ่ม
ตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจจำนวนมากถูกกำหนดโดยตัวเลขหลายตัว ซึ่งก็คือ SV หลายมิติ ชุดลำดับของ X = (X1, X2, ..., Xn) สุ่มเข้า

การสังเกตแบบเลือกสรร
ประชากรทั่วไปคือชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดหรือการรับรู้ของ SV X ที่ศึกษาภายใต้เงื่อนไขจริงที่กำหนด การสุ่มตัวอย่าง

การคำนวณลักษณะตัวอย่าง
สำหรับ SV X ใด ๆ นอกเหนือจากการกำหนดฟังก์ชันการแจกแจงแล้วยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะระบุคุณลักษณะเชิงตัวเลขซึ่งสิ่งที่สำคัญที่สุดคือ: - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์; - การกระจายตัว

การกระจายแบบปกติ
การแจกแจงแบบปกติ (การแจกแจงแบบเกาส์เซียน) เป็นกรณีที่รุนแรงของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แท้จริงเกือบทั้งหมด ดังนั้นจึงถูกนำมาใช้ในการประยุกต์ทฤษฎีจริงจำนวนมาก

การกระจายตัวของนักเรียน
กำหนดให้ SV U ~ N (0,1) SV V เป็นปริมาณที่ไม่ขึ้นอยู่กับ U โดยแจกแจงตามกฎ χ2 โดยมีดีกรีอิสระ n แล้วค่า

การกระจายตัวของฟิชเชอร์
ให้ V และ W เป็น SV ที่เป็นอิสระต่อกันโดยแจกแจงตามกฎ χ2 โดยมีดีกรีอิสระ v1 = m และ v2 = n ตามลำดับ แล้วค่า

การประมาณค่าจุดและคุณสมบัติ
ให้เราประมาณค่าพารามิเตอร์บางตัวของ SW ที่สังเกตได้

ความมั่งคั่ง
การประมาณค่าเรียกว่าการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่เป็นกลางหากเป็นค่าทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของค่าประมาณตัวอย่าง
ในระยะเริ่มแรก ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวอย่างจะถูกนำไปใช้เป็นการประมาณลักษณะเชิงตัวเลขอย่างใดอย่างหนึ่ง (ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว ฯลฯ) จากนั้นจึงพิจารณาการประเมินนี้

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแปรปรวนของ SV ปกติ
ให้ X ~ N (m, σ2) และ และ ไม่เป็นที่รู้จัก ปล่อยให้การประเมินผล

เกณฑ์การตรวจสอบ ภูมิภาควิกฤติ
มีการตรวจสอบสมมติฐานทางสถิติบนพื้นฐานของข้อมูลตัวอย่าง เพื่อจุดประสงค์นี้ จะใช้ SV ที่เลือกมาเป็นพิเศษ (สถิติ เกณฑ์) ซึ่งเป็นค่าที่แน่นอนหรือค่าโดยประมาณที่ทราบ อี

เหตุการณ์ A, B, C... ถูกเรียก ขึ้นอยู่กับจากกันหากความน่าจะเป็นของการเกิดอย่างน้อยหนึ่งรายการเปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์อื่น เหตุการณ์ที่เรียกว่า เป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของการปรากฏของแต่ละคนไม่ได้ขึ้นอยู่กับการปรากฏหรือไม่ปรากฏของผู้อื่น

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข(PA (B) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B สัมพันธ์กับ A) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ซึ่งคำนวณภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์ A ได้เกิดขึ้นแล้ว ตัวอย่างความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้นแล้ว ตามนิยาม จะเท่ากับ PA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0)

การคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา:ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกันของสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง คำนวณภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้นแล้ว:
พี (AB) = พี (เอ) พีเอ (B)

ตัวอย่าง- ตัวสะสมมีลูกกลิ้งทรงกรวย 3 อันและลูกกลิ้งรูปไข่ 7 อัน ตัวเลือกหยิบลูกกลิ้งหนึ่งอันแล้วอันที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกกลิ้งอันแรกที่ได้รับจะเป็นทรงกรวย และอันที่สองคือทรงรี

สารละลาย:ความน่าจะเป็นที่ลูกกลิ้งอันแรกกลายเป็นทรงกรวย (เหตุการณ์ A), P (A) = 3/10 ความน่าจะเป็นที่ลูกกลิ้งอันแรกกลายเป็นทรงรี (เหตุการณ์ B) คำนวณภายใต้สมมติฐานว่าลูกกลิ้งอันแรกคือ รูปกรวยเช่น ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข RA (B) = 7/9
ตามสูตรคูณความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ P (AB) = P (A) PA (B) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30 สังเกตว่าการเก็บสัญกรณ์ไว้เราจะทำได้ง่ายๆ ค้นหา: P (B) = 7 / 10, РB (A) = 3/9, Р (В) РB (А) = 7 / 30

เงื่อนไขความเป็นอิสระของเหตุการณ์ การคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ตัวอย่าง.

เหตุการณ์ B ไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ A ถ้า

P(B/A) = P(B) เช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นหรือไม่

ในกรณีนี้ เหตุการณ์ A ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ B กล่าวคือ คุณสมบัติของความเป็นอิสระของเหตุการณ์นั้นเป็นของกันและกัน

ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น:

พี(เอบี) = พี(เอ)พี(B) .

ตัวอย่างที่ 1:อุปกรณ์ที่ทำงานตามเวลา t ประกอบด้วยสามโหนด ซึ่งแต่ละโหนดสามารถล้มเหลว (ล้มเหลว) ในระหว่างเวลา t โดยไม่ขึ้นอยู่กับโหนดอื่นๆ ความล้มเหลวของโหนดอย่างน้อยหนึ่งโหนดนำไปสู่ความล้มเหลวของอุปกรณ์โดยรวม ในช่วงเวลา t ความน่าเชื่อถือ (ความน่าจะเป็นของการดำเนินการที่ปราศจากความล้มเหลว) ของโหนดแรกคือ p 1 = 0.8; วินาที p 2 = 0.9 วินาทีที่สาม p 3 = 0.7 ค้นหาความน่าเชื่อถือของอุปกรณ์โดยรวม

สารละลาย.แสดงถึง:

A – การทำงานของอุปกรณ์โดยปราศจากปัญหา

A 1 - การทำงานที่ไร้ปัญหาของโหนดแรก

A 2 - การทำงานที่ปราศจากปัญหาของโหนดที่สอง

A 3 - การทำงานที่ไร้ปัญหาของโหนดที่สาม

ดังนั้นตามทฤษฎีบทการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0.504

ตัวอย่างที่ 2- ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขจะปรากฏพร้อมกันเมื่อโยนเหรียญสองเหรียญเป็นเหรียญเดียว

สารละลาย- ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหลักแรก (เหตุการณ์ A) P(A) = 1/2; ความน่าจะเป็นที่เหรียญที่สองจะออกหลัก (เหตุการณ์ B) คือ P(B) = 1/2

เหตุการณ์ A และ B มีความเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น เราจะหาความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตามสูตร:

P(AB) = P(A)P(B) = 1/2 *1/2 = 1/4

ความเข้ากันได้และความไม่ลงรอยกันของเหตุการณ์ การบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมสองเหตุการณ์ ตัวอย่าง.

ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า ข้อต่อหากการปรากฏตัวของสิ่งหนึ่งไม่ส่งผลกระทบหรือยกเว้นรูปลักษณ์ของอีกสิ่งหนึ่ง เหตุการณ์ร่วมสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ เช่น การปรากฏตัวของตัวเลขบนลูกเต๋าหนึ่งลูกหรือ

ไม่ส่งผลต่อรูปลักษณ์ของตัวเลขบนลูกเต๋าอื่นแต่อย่างใด เหตุการณ์เข้ากันไม่ได้หากในปรากฏการณ์หนึ่งหรือในระหว่างการทดสอบครั้งหนึ่ง ไม่สามารถรับรู้พร้อมกันได้ และการปรากฏตัวของหนึ่งในนั้นไม่รวมถึงการปรากฏตัวของอีกปรากฏการณ์หนึ่ง (การชนเป้าหมายแล้วพลาดนั้นเข้ากันไม่ได้)

ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ร่วมอย่างน้อยหนึ่งในสองเหตุการณ์ A หรือ B เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกัน:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)

ตัวอย่าง- ความน่าจะเป็นที่จะเข้าเป้าสำหรับนักกีฬาคนแรกคือ 0.85 และสำหรับนักกีฬาคนที่สอง - 0.8 นักกีฬาเป็นอิสระจากกัน

ยิงทีละนัด ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักกีฬาอย่างน้อยหนึ่งคนจะเข้าเป้า?

สารละลาย- ให้เราแนะนำสัญลักษณ์ต่อไปนี้: เหตุการณ์ A - "นักกีฬาคนแรกโดน", B - "นักกีฬาคนที่สองโดน", C - "โดนนักกีฬาอย่างน้อยหนึ่งคน" แน่นอนว่า A + B = C และเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นพร้อมกัน ตามสูตรที่เราได้รับ:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(C) = P(A)+ P(B)-P(A)P(B),

เนื่องจาก A และ B เป็นเหตุการณ์อิสระ แทนค่าเหล่านี้ P(A) = 0.85, P(B) = 0.8 ลงในสูตรสำหรับ P(C) เราจะพบความน่าจะเป็นที่ต้องการ

พี(ค) = (0.85 + 0.8) - 0.85·0.8 = 0.97