Вероятност за събитие. Определяне на вероятността от събитие. Независимост на събитията. Теорема за умножение на вероятностите. Как да намерим вероятността за независими събития

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Теорема за събиране на вероятностите за противоположни събития

Отсрещаназовете две несъвместими събития, които образуват пълна група. Ако едно от две противоположни събития е обозначено с а,обикновено се обозначава нещо друго . Противоположно събитие се състои в ненастъпване на събитие А.

Теорема.Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица:

P(A)+P()= 1.

Пример 4.Кутията съдържа 11 части, от които 8 стандартни. Намерете вероятността сред 3 произволно извлечени части да има поне една дефектна.

Решение.Проблемът може да се реши по два начина.

1 начин. Събитията „сред извлечените части има поне една дефектна“ и „няма нито една дефектна част сред извлечените части“ са противоположни. Нека означим първото събитие с а,и вторият през :

P(A) =1 - P( ) .

Ще намерим R(). Общият брой начини, по които 3 части могат да бъдат извлечени от 11 части, е равен на броя на комбинациите
. Броят на стандартните части е 8 ; от този брой части е възможно
начини за извличане на 3 стандартни части. Следователно вероятността сред извлечените 3 части да няма нито една нестандартна част е равна на:

Съгласно теоремата за събиране на вероятностите за противоположни събития, желаната вероятност е равна на: P(A)=1 - P()=

Метод 2.Събитие А- „сред извлечените части има поне една дефектна“ - може да се осъзнае като появата на:

или събития IN- „Отстранени са 1 дефектна и 2 недефектни части“,

или събития СЪС- „Отстранени са 2 дефектни и 1 недефектна част“,

или събития д - „3 дефектни части бяха отстранени.“

Тогава А= б+ ° С+ д. От събитията б, ° С И д несъвместими, тогава можем да приложим теоремата за добавяне на вероятностите за несъвместими събития:

4. Теорема за умножение на вероятностите за независими събития

Продукт на две събитияА ИIN обадете се на събитието ° С=AB,състоящ се в съвместната поява (комбинация) на тези събития.

Продукт на няколко събитиянаричаме събитие, състоящо се от съвместната поява на всички тези събития. Например събитие ABCсе състои от комбиниране на събития А, БИ СЪС.

Извикват се две събития независима, ако вероятността за едно от тях не зависи от появата или неявяването на другото.

Теорема.Вероятността за съвместна поява на две независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

P(AB)=P(A) P(B).

Последица.Вероятността за съвместна поява на няколко събития, които са независими в съвкупността, е равна на произведението на вероятностите за тези събития :

P(A 1 А 2 ... А н ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A н ).

Пример 5.Намерете вероятността гербът да се появи заедно, когато се хвърлят две монети.

Решение. Нека обозначим събитията: А -появата на герба на първата монета, В -появата на герба на втората монета, СЪС- външен вид на герба на две монети C=AB.

Вероятност за появата на герба на първата монета :

P(A) =.

Вероятност за появата на герба на втората монета :

P(B) =.

От събитията АИ INнезависимо, тогава изискваната вероятност от теоремата за умножение е равна на:

P(C)=P(AB) = P(A) P(B) = =.

Пример 6.Има 3 кутии, съдържащи 10 части. Първата кутия съдържа 8, втората 7 и третата 9 стандартни части. От всяка кутия се изважда произволно по една част. Намерете вероятността и трите извадени части да са стандартни.

Решение. Вероятността стандартна част да бъде премахната от първата кутия (събитие А):

P(A) =

Вероятността стандартна част да бъде премахната от втората кутия (събитие IN):

Вероятността стандартна част да бъде премахната от третата кутия (събитие СЪС):

P(C)=

От събитията А, БИ СЪСнезависими в съвкупността, тогава желаната вероятност (по теоремата за умножение) е равна на:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Пример 7.Вероятности за настъпване на всяко от две независими събития А 1 И А 2 съответно равни Р 1 И Р 2. Намерете вероятността за възникване само на едно от тези събития.

Решение. Нека представим обозначенията на събитията:

IN 1 – само събитието се появи А 1 ; IN 2 – само събитието се появи А 2 .

Поява на събитие IN 1 е еквивалентно на настъпването на събитие А 1 2 (първото събитие се появи, а второто не се появи), т.е. IN 1 = А 1 2 .

Поява на събитие IN 2 е еквивалентно на настъпването на събитие 1 А 2 (първото събитие не се появи и се появи второто), т.е. IN 1 = 1 А 2 .

По този начин да се намери вероятността за настъпване само на едно от събитията А 1 или А 2 , достатъчно е да се намери вероятността за настъпване на едно, независимо кое от събитията IN 1 И IN 2 . събития IN 1 И IN 2 са непоследователни, следователно се прилага теоремата за добавяне на несъвместими събития:

P(B 1 +Б 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Теорема

Вероятността за настъпване на две събития е равна на произведението на вероятностите за едно от тях и условната вероятност за другото, изчислена при условие, че първото се е случило.

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

Извиква се събитие $A$ независимо от събитието$B$, ако вероятността за събитие $A$ не зависи от това дали събитие $B$ се е случило или не. Извиква се събитие $A$ зависим от събитието$B$, ако вероятността за събитие $A$ се променя в зависимост от това дали събитието $B$ се случва или не.

Нарича се вероятността за събитие $A$, изчислена като се има предвид, че се е случило друго събитие $B$ условна вероятност за събитие$A$ и се означава с $P(A | B)$.

Условието за независимост на събитие $A$ от събитие $B$ може да се запише като:

$$P(A | B)=P(A)$$

и условието на зависимост е във формата:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

Следствие 1.Ако събитие $A$ не зависи от събитие $B$, тогава събитие $B$ не зависи от събитие $A$.

Следствие 2.Вероятността за произведението на две независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

Теоремата за умножение на вероятността може да се обобщи за случай на произволен брой събития. Най-общо той се формулира по следния начин.

Вероятността за възникване на няколко събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития и вероятността за всяко следващо събитие в ред се изчислява при условие, че всички предишни са се случили:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2) | A_(1) \right) \cdot P\left(A_(3) | A_(1) A_(2)\right) \cdots \cdots P\left(A_(n) | A_(1) A_(2) \ldots A_( n-1)\right)$$

В случай на независими събития теоремата се опростява и приема формата:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right) \cdot P\left(A_(3)\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_(n)\right)$$

това означава, че вероятността за създаване на независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

$$P\left(\prod_(i=1)^(n) A_(i)\right)=\prod_(i=1)^(n) P\left(A_(i)\right)$$

Примери за решаване на проблеми

Пример

Упражнение.В урната има 2 бели и 3 черни топки. Две топки се изваждат от урната подред и не се връщат. Намерете вероятността и двете топки да са бели.

Решение.Нека събитие $A$ е появата на две бели топки. Това събитие е продукт на две събития:

$$A=A_(1) A_(2)$$

където събитие $A_1$ е появата на бяла топка по време на първото премахване, $A_2$ е появата на бяла топка по време на второто премахване. След това, по теоремата за умножение на вероятностите

$$P(A)=P\left(A_(1) A_(2)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2) | A_(1)\ дясно)=\frac(2)(5) \cdot \frac(1)(4)=\frac(1)(10)=0,1$$

Отговор. $0,1$

Пример

Упражнение.В урната има 2 бели и 3 черни топки. От урната се изтеглят последователно две топки. След първото теглене топката се връща в урната и топките в урната се смесват. Намерете вероятността и двете топки да са бели.

Решение.В този случай събитията $A_1$ и $A_2$ са независими, а след това и търсената вероятност

$$P(A)=P\left(A_(1) A_(2)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right)=\frac (2)(5) \cdot \frac(2)(5)=\frac(4)(25)=0,16$$

Класическа дефиниция на вероятността.

Вероятността за събитие е количествена мярка, която се въвежда за сравняване на събитията според степента на вероятност за тяхното възникване.

Събитие, което може да бъде представено като колекция (сума) от няколко елементарни събития, се нарича съставно.

Събитие, което не може да бъде разделено на по-прости, се нарича елементарно.

Едно събитие се нарича невъзможно, ако никога не се случва при условията на даден експеримент (тест).

Определени и невъзможни събития не са случайни.

Съвместни събития– няколко събития се наричат съвместни, ако в резултат на експеримента настъпването на едно от тях не изключва настъпването на други.

Несъвместими събития– няколко събития се наричат несъвместими в даден експеримент, ако настъпването на едно от тях изключва настъпването на други. Двете събития се наричат обратното,ако едно от тях се случи тогава и само ако другото не се случи.

Вероятността за събитие А е P(A) – се нарича числово отношение мелементарни събития (резултати), благоприятни за настъпването на събитието а,към номера нвсички елементарни събития при условията на даден вероятностен експеримент.

От определението следват следните свойства на вероятността:

1. Вероятността за случайно събитие е положително число между 0 и 1:

2. Вероятността за определено събитие е 1: (3)

3. Ако едно събитие е невъзможно, тогава неговата вероятност е равна на

4. Ако събитията са несъвместими, тогава

5. Ако събитията A и B са съвместни, тогава вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития без вероятността за тяхното съвместно възникване:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)(6)

6. Ако и са противоположни събития, тогава (7)

7. Сума от вероятностите за събития A 1, A 2, …, A n, образувайки пълна група, е равно на 1:

P(A 1) + P(A 2) + …+ P(A n) = 1.(8)

В икономическите изследвания стойностите и във формулата могат да се тълкуват по различен начин. При статистическа дефиницияВероятността за събитие е броят наблюдения на експерименталните резултати, при които събитието се е случило точно веднъж. В този случай релацията се нарича относителна честота (честота) на събитие

събития А, Бса наречени независима, ако вероятността за всяко от тях не зависи от това дали е настъпило друго събитие или не. Вероятностите за независими събития се наричат безусловен.

събития А, Бса наречени зависим, ако вероятността за всяко от тях зависи от това дали е настъпило друго събитие или не. Вероятността за събитие B, изчислена при предположението, че друго събитие A вече е настъпило, се нарича условна вероятност.

Ако две събития A и B са независими, тогава равенствата са верни:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) или P(B/A) – P(B) = 0(9)

Вероятността за произведението на две зависими събития A, B е равна на произведението на вероятността за едно от тях по условната вероятност за другото:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B)или P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

Вероятност за събитие B при настъпване на събитие A:

Вероятност за произведение от две независимасъбития A, B е равно на произведението на техните вероятности:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

Ако няколко събития са независими по двойки, тогава тяхната независимост в съвкупността не следва.

събития A 1, A 2, ..., A n (n>2)се наричат независими в съвкупност, ако вероятността за всяко от тях не зависи от това дали някое от другите събития се е случило или не.

Вероятността за съвместно възникване на няколко събития, които са независими в съвкупността, е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

Ако две събития A и B са независими, тогава равенствата са верни:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) или P(B/A) – P(B) = 0(9)

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B)или P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

Вероятност за събитие B при настъпване на събитие A:

Вероятност за произведение от две независимасъбития A, B е равно на произведението на техните вероятности:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

Ако няколко събития са независими по двойки, тогава тяхната независимост в съвкупността не следва.

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

Край на работата -

Тази тема принадлежи към раздела:

Лекции: основни понятия от теорията на вероятностите и статистиката, използвани в иконометрията

Казански държавен.. Финансово-икономически институт.. Катедра по статистика и иконометрия..

Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

Всички теми в този раздел:

Дискретна случайна променлива
Най-пълното, изчерпателно описание на дискретна променлива е нейният закон за разпределение на случайна променлива

Непрекъсната случайна променлива
За непрекъсната SV е невъзможно да се определи вероятността тя да приеме някаква специфична стойност (точкова вероятност). Тъй като всеки интервал съдържа безкраен брой стойности, вероятно е

Връзка между случайни величини
Много икономически показатели се определят от няколко числа, които са многомерни SV. Подреден набор от X = (X1, X2, ..., Xn) случаен вход

Селективно наблюдение
Генералната съвкупност е набор от всички възможни стойности или реализации на изследваната SV X при даден реален набор от условия. Вземане на проби

Изчисляване на характеристиките на пробата
За всяко CV X е желателно освен определянето на неговата функция на разпределение да се посочат числени характеристики, най-важните от които са: - математическо очакване; - дисперсия

Нормална дистрибуция
Нормалното разпределение (разпределение на Гаус) е екстремен случай на почти всички реални вероятностни разпределения. Следователно тя се използва в много голям брой реални приложения на теорията

Студентско разпределение
Нека SV U ~ N (0,1), SV V е величина, независима от U, разпределена по закона χ2 с n степени на свобода. След това стойността

Разпределение на Фишер
Нека V и W са независими SV, разпределени съгласно закона χ2 със степени на свобода съответно v1 = m и v2 = n. След това стойността

Точкови оценки и техните свойства
Нека оценим някой параметър на наблюдаваното SW

Богатство
Една оценка се нарича безпристрастна оценка на параметъра, ако нейната математика

Свойства на примерните оценки
В началния етап се взема примерна числена характеристика като оценка на една или друга числена характеристика (математическо очакване, дисперсия и др.). След това, разглеждайки тази оценка, се определя

Доверителен интервал за дисперсията на нормалното SV
Нека X ~ N (m, σ2) и и са неизвестни. Нека за оценка

Критерии за проверка. Критичен регион
Статистическата хипотеза се проверява на базата на извадкови данни. За целта се използва специално подбрана SV (статистика, критерий), чиято точна или приблизителна стойност е известна. д

Събития A, B, C... се извикват зависимедно от друго, ако вероятността за настъпване на поне едно от тях се променя в зависимост от настъпването или ненастъпването на други събития. Събитията се наричат независима, ако вероятностите за поява на всеки от тях не зависят от появата или непоявата на останалите.

Условна вероятност(PA (B) - условна вероятност за събитие B спрямо A) е вероятността за събитие B, изчислена при предположението, че събитие A вече се е случило. пример за условна вероятност Условната вероятност за събитие B, при условие че събитие A вече се е случило, по дефиниция е равна на PA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

Умножаване на вероятностите от зависими събития:вероятността за съвместна поява на две събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях от условната вероятност за другото, изчислена при допускането, че първото събитие вече се е случило:
P (AB) = P (A) PA (B)

Пример. Колекторът има 3 конични и 7 елипсовидни ролки. Берачът взе единия валяк, а след това и втория. Намерете вероятността първата от взетите ролки да е конична, а втората да е елипсовидна.

Решение:Вероятността първата ролка да се окаже конична (събитие A), P (A) = 3 / 10. Вероятността втората ролка да се окаже елипсовидна (събитие B), изчислена при предположението, че първата ролка е конична, т.е. условна вероятност RA (B) = 7/9.
Съгласно формулата за умножение, желаната вероятност е P (AB) = P (A) PA (B) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30. Обърнете внимание, че запазвайки нотацията, можем лесно намерете: P (B) = 7 / 10, РB (A) = 3/9, Р (В) РB (А) = 7 / 30

Условие за независимост на събитията. Умножаване на вероятностите за независими събития. Примери.

Събитие B не зависи от събитие A, ако

P(B/A) = P(B) т.е. Вероятността за събитие B не зависи от това дали събитие A се случва.

В този случай събитие A не зависи от събитие B, тоест свойството за независимост на събитията е взаимно.

Вероятността за произведението на две независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

P(AB) = P(A)P(B) .

Пример 1:Устройство, работещо за време t, се състои от три възела, всеки от които, независимо от другите, може да се повреди (повреди) по време на t. Повредата на поне един възел води до повреда на устройството като цяло. По време на време t надеждността (вероятността за безотказна работа) на първия възел е p 1 = 0,8; второ p 2 = 0,9 трето p 3 = 0,7. Намерете надеждността на устройството като цяло.

Решение.Означаващ:

A – безпроблемна работа на устройствата,

A 1 - безпроблемна работа на първия възел,

A 2 - безпроблемна работа на втория възел,

A 3 - безпроблемна работа на третия възел,

откъдето, чрез теоремата за умножение за независими събития

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Пример 2. Намерете вероятността едно число да се появи заедно, когато две монети се хвърлят в една.

Решение. Вероятност за появата на цифрата на първата монета (събитие A) P(A) = 1/2; вероятността за появата на цифрата на втората монета (събитие B) е P(B) = 1/2.

Събития A и B са независими, така че ще намерим търсената вероятност

по формулата:

P(AB) = P(A)P(B) = 1/2 *1/2 = 1/4

Съвместимост и несъвместимост на събития. Добавяне на вероятностите за две съвместни събития. Примери.

Двете събития се наричат става, ако появата на един от тях не засяга или изключва появата на другия. Съвместни събития могат да се случват едновременно, като например появата на число на един зар или

не влияе по никакъв начин на появата на числа на друг зар. Събитията са несъвместими, ако в едно явление или по време на едно изпитание те не могат да се реализират едновременно и появата на едно от тях изключва появата на другото (попадение в целта и пропуск са несъвместими).

Вероятността за възникване на поне едно от две съвместни събития A или B е равна на сумата от вероятностите на тези събития без вероятността за съвместното им възникване:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Пример. Вероятността за попадение в целта за първия спортист е 0,85, а за втория - 0,8. Спортисти независимо един от друг

произвели по един изстрел. Намерете вероятността поне един спортист да уцели целта?

Решение. Нека въведем следните обозначения: събития A - „удар от първия спортист“, B - „удар от втория спортист“, C - „удар от поне един от спортистите“. Очевидно A + B = C и събитията A и B са едновременни. В съответствие с формулата получаваме:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(C) = P(A)+ P(B)-P(A)P(B),

тъй като A и B са независими събития. Замествайки тези стойности P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 във формулата за P(C), намираме желаната вероятност

P(C) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97