Zakon prosjeka jednostavnim riječima. Prosječne vrijednosti. Slab zakon velikih brojeva

Riječi o velikim brojevima odnose se na broj testova - razmatra se veliki broj vrijednosti slučajne varijable ili kumulativno djelovanje velikog broja slučajnih varijabli. Suština ovog zakona je sljedeća: iako je nemoguće predvidjeti koju će vrijednost pojedinačna slučajna varijabla imati u jednom eksperimentu, međutim, ukupni rezultat djelovanja velikog broja nezavisnih slučajnih varijabli gubi svoj slučajni karakter i može biti predvidjeti gotovo pouzdano (tj. sa velikom vjerovatnoćom). Na primjer, nemoguće je predvidjeti na koju će stranu novčić pasti. Međutim, ako bacite 2 tone novčića, onda se sa velikom sigurnošću može tvrditi da je težina novčića koji su pali s grbom gore 1 tona.

Prije svega, takozvana Čebiševljeva nejednakost odnosi se na zakon velikih brojeva, koji u posebnom testu procjenjuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla prihvatiti vrijednost koja odstupa od prosječne vrijednosti ne više od date vrijednosti.

Čebiševljeva nejednakost. Neka X je proizvoljna slučajna varijabla, a=M(X) , a D(X) je njegova disperzija. Onda

Primjer. Nominalna (tj. potrebna) vrijednost prečnika čahure obrađene na mašini je 5mm, a varijanse više nema 0.01 (ovo je tolerancija tačnosti mašine). Procijenite vjerovatnoću da će u proizvodnji jedne čaure odstupanje njenog prečnika od nominalnog biti manje od 0.5mm .

Rješenje. Neka r.v. X- prečnik proizvedene čahure. Po uslovu, njegovo matematičko očekivanje je jednako nominalnom prečniku (ako nema sistematskog kvara u postavljanju mašine): a=M(X)=5 , i varijansu D(X)≤0,01. Primjenom Čebiševe nejednakosti za ε = 0,5, dobijamo:

Dakle, vjerovatnoća ovakvog odstupanja je prilično velika, te stoga možemo zaključiti da je u slučaju pojedinačne proizvodnje dijela gotovo sigurno da odstupanje prečnika od nominalnog neće premašiti 0.5mm .

U osnovi, standardna devijacija σ karakteriše prosjek odstupanje slučajne varijable od njenog centra (tj. od njenog matematičkog očekivanja). Jer prosjek odstupanja, tada su moguća velika odstupanja (naglasak na o) tokom testiranja. Koliko su velika odstupanja praktično moguća? Kada smo proučavali normalno raspoređene slučajne varijable, izveli smo pravilo “tri sigma”: normalno raspoređena slučajna varijabla X u jednom testu praktično ne odstupa od svog prosjeka dalje od 3σ, gdje σ= σ(X) je standardna devijacija r.v. X. Takvo pravilo smo izveli iz činjenice da smo dobili nejednakost

.

Procijenimo sada vjerovatnoću za proizvoljno slučajna varijabla X prihvati vrijednost koja se razlikuje od srednje vrijednosti za najviše tri puta standardnu ​​devijaciju. Primjenom Čebiševe nejednakosti za ε = 3σ i s obzirom na to D(X)=σ 2 , dobijamo:

.

Na ovaj način, Uglavnom možemo procijeniti vjerovatnoću slučajne varijable koja odstupa od srednje vrijednosti za najviše tri standardne devijacije po broju 0.89 , dok se za normalnu distribuciju može garantovati sa vjerovatnoćom 0.997 .

Čebiševljeva nejednakost se može generalizirati na sistem nezavisnih identično distribuiranih slučajnih varijabli.

Generalizirana Čebiševljeva nejednakost. Ako su nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a i disperzije D(X i )= D, onda

At n=1 ova nejednakost prelazi u nejednakost Čebiševa formulisanu gore.

Čebiševljeva nejednakost, koja ima nezavisan značaj za rješavanje odgovarajućih problema, koristi se za dokazivanje takozvane Čebiševe teoreme. Prvo ćemo opisati suštinu ove teoreme, a zatim dati njenu formalnu formulaciju.

Neka X 1 , X 2 , … , X n– veliki broj nezavisnih slučajnih varijabli sa matematičkim očekivanjima M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Iako svaki od njih, kao rezultat eksperimenta, može uzeti vrijednost daleko od svog prosjeka (tj. matematičkog očekivanja), međutim, slučajna varijabla
, jednak njihovoj aritmetičkoj sredini, sa velikom vjerovatnoćom će poprimiti vrijednost blizu fiksnog broja
(ovo je prosjek svih matematičkih očekivanja). To znači sljedeće. Neka, kao rezultat testa, nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n(ima ih puno!) uzeli su vrijednosti u skladu s tim X 1 , X 2 , … , X n respektivno. Zatim, ako se te vrijednosti mogu pokazati da su daleko od prosječnih vrijednosti odgovarajućih slučajnih varijabli, njihova prosječna vrijednost
vjerovatno će biti blizu
. Dakle, aritmetička sredina velikog broja slučajnih varijabli već gubi svoj slučajni karakter i može se predvidjeti s velikom preciznošću. Ovo se može objasniti činjenicom da su slučajna odstupanja vrijednosti X i od a i mogu biti različitih predznaka, pa se stoga ova odstupanja u zbiru nadoknađuju sa velikom vjerovatnoćom.

Terema Chebysheva (zakon velikih brojeva u obliku Čebiševa). Neka X 1 , X 2 , … , X n … je niz poparno nezavisnih slučajnih varijabli čije su varijanse ograničene na isti broj. Tada, bez obzira koliko mali broj ε uzmemo, vjerovatnoća nejednakosti

će biti proizvoljno blizu jedinice ako je broj n slučajne varijable da se uzimaju dovoljno velike. Formalno, to znači da pod uslovima teoreme

Ova vrsta konvergencije naziva se konvergencija u vjerovatnoći i označava se sa:

Dakle, Čebiševljev teorem kaže da ako postoji dovoljno veliki broj nezavisnih slučajnih varijabli, onda će njihova aritmetička sredina u jednom testu gotovo sigurno poprimiti vrijednost blisku srednjoj vrijednosti njihovih matematičkih očekivanja.

Najčešće se Čebiševljeva teorema primjenjuje u situaciji kada su slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n … imaju istu distribuciju (tj. isti zakon raspodjele ili istu gustinu vjerovatnoće). Zapravo, ovo je samo veliki broj instanci iste slučajne varijable.

Posljedica(o generalizovanoj Čebiševljevoj nejednakosti). Ako su nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n … imaju istu distribuciju sa matematičkim očekivanjima M(X i )= a i disperzije D(X i )= D, onda

, tj.
.

Dokaz slijedi iz generalizirane Čebiševe nejednakosti prelaskom na granicu kao n→∞ .

Još jednom napominjemo da gore napisane jednakosti ne garantuju vrijednost količine
teži da a at n→∞. Ova vrijednost je još uvijek slučajna varijabla, a njene pojedinačne vrijednosti mogu biti prilično udaljene a. Ali vjerovatnoća takvog (daleko od toga a) vrijednosti sa povećanjem n teži 0.

Komentar. Zaključak korolarije očito vrijedi i u opštijem slučaju kada su nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n … imaju drugačiju distribuciju, ali ista matematička očekivanja (jednako a) i varijanse ograničene u zbiru. Ovo omogućava da se predvidi tačnost merenja određene veličine, čak i ako se ta merenja vrše različitim instrumentima.

Razmotrimo detaljnije primenu ove posledice na merenje veličina. Hajde da koristimo neki uređaj n mjerenja iste količine, čija je prava vrijednost a a mi ne znamo. Rezultati takvih mjerenja X 1 , X 2 , … , X n mogu se značajno razlikovati jedni od drugih (i od prave vrijednosti a) zbog različitih nasumičnih faktora (pad tlaka, temperature, nasumične vibracije, itd.). Uzmite u obzir r.v. X- očitavanje instrumenta za jedno mjerenje veličine, kao i skup r.v. X 1 , X 2 , … , X n- očitavanje instrumenta pri prvom, drugom, ..., posljednjem mjerenju. Dakle, svaka od veličina X 1 , X 2 , … , X n postoji samo jedan od primjera r.v. X, te stoga svi imaju istu distribuciju kao r.v. X. Budući da su rezultati mjerenja nezavisni jedan od drugog, r.v. X 1 , X 2 , … , X n može se smatrati nezavisnim. Ako uređaj ne daje sistematsku grešku (na primjer, nula nije "srušena" na skali, opruga nije rastegnuta itd.), onda možemo pretpostaviti da je matematičko očekivanje M(X) = a, i zbog toga M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Dakle, ispunjeni su uslovi gornjeg korolarca, te stoga, kao približna vrijednost količine a možemo uzeti "implementaciju" slučajne varijable
u našem eksperimentu (koji se sastoji od serije n mjerenja), tj.

.

Uz veliki broj mjerenja, praktično je pouzdan dobra tačnost izračunavanja koristeći ovu formulu. Ovo je obrazloženje praktičnog principa da se kod velikog broja merenja njihova aritmetička sredina praktično ne razlikuje mnogo od prave vrednosti merene veličine.

„Selektivna“ metoda, koja se široko koristi u matematičkoj statistici, temelji se na zakonu velikih brojeva, što omogućava dobivanje njegovih objektivnih karakteristika s prihvatljivom točnošću iz relativno malog uzorka vrijednosti slučajne varijable. Ali o tome će biti riječi u sljedećem odjeljku.

Primjer. Na mjernom uređaju koji ne pravi sistematska izobličenja mjeri se određena količina a jednom (primljena vrijednost X 1 ), a zatim još 99 puta (dobivene vrijednosti X 2 , … , X 100 ). Za pravu vrijednost mjerenja a prvo uzmite rezultat prvog mjerenja
, a zatim aritmetičku sredinu svih mjerenja
. Tačnost mjerenja uređaja je takva da standardna devijacija mjerenja σ nije veća od 1 (jer disperzija D=σ 2 takođe ne prelazi 1). Za svaku od metoda mjerenja procijenite vjerovatnoću da greška mjerenja ne prelazi 2.

Rješenje. Neka r.v. X- očitavanje instrumenta za jedno mjerenje. Onda po uslovu M(X)=a. Da bismo odgovorili na postavljena pitanja, primjenjujemo generaliziranu Čebiševljevu nejednakost

za ε =2 prvo za n=1 a zatim za n=100 . U prvom slučaju dobijamo
, au drugom. Dakle, drugi slučaj praktično garantuje zadatu tačnost merenja, dok prvi ostavlja ozbiljne sumnje u tom smislu.

Primijenimo gornje izjave na slučajne varijable koje nastaju u Bernoullijevoj shemi. Prisjetimo se suštine ove sheme. Neka se proizvede n nezavisni testovi, u svakom od kojih neki događaj ALI mogu se pojaviti sa istom vjerovatnoćom R, a q=1–r(po značenju, ovo je vjerovatnoća suprotnog događaja - a ne pojava događaja ALI) . Hajde da potrošimo neki broj n takvi testovi. Uzmite u obzir slučajne varijable: X 1 – broj pojavljivanja događaja ALI in 1 th test, ..., X n– broj pojavljivanja događaja ALI in n th test. Svi uvedeni r.v. može poprimiti vrijednosti 0 ili 1 (događaj ALI može se pojaviti u testu ili ne) i vrijednost 1 uslovno prihvaćeno u svakom ispitivanju sa verovatnoćom str(vjerovatnoća nastanka događaja ALI u svakom testu) i vrijednost 0 sa vjerovatnoćom q= 1 – str. Dakle, ove veličine imaju iste zakone raspodjele:

Stoga su prosječne vrijednosti ovih količina i njihove disperzije također iste: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= str ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ str)− str 2 = str∙(1− str)= str ∙ q, … , D(X n )= str ∙ q . Zamjenom ovih vrijednosti u generaliziranu Čebiševljevu nejednakost, dobivamo

.

Jasno je da je r.v. X=X 1 +…+X n je broj pojavljivanja događaja ALI u svemu n suđenja (kako kažu - "broj uspjeha" u n testovi). Pustite u n test događaj ALI pojavio se u k Od njih. Tada se prethodna nejednakost može zapisati kao

.

Ali veličina
, jednak omjeru broja pojavljivanja događaja ALI in n nezavisnih ispitivanja, na ukupan broj pokušaja, ranije nazvan relativna stopa događaja ALI in n testovi. Dakle, postoji nejednakost

.

Prolaz sada do granice u n→∞, dobijamo
, tj.
(prema vjerovatnoći). Ovo je sadržaj zakona velikih brojeva u obliku Bernoullija. Iz ovoga slijedi da za dovoljno veliki broj ispitivanja n proizvoljno mala odstupanja relativne frekvencije
događaje iz njegove vjerovatnoće R su gotovo sigurni događaji, a velika odstupanja su gotovo nemoguća. Iz toga proizlazi zaključak o takvoj stabilnosti relativnih frekvencija (koju smo ranije nazvali eksperimentalničinjenica) opravdava prethodno uvedenu statističku definiciju vjerovatnoće događaja kao broja oko kojeg relativna učestalost događaja fluktuira.

S obzirom da je izraz str∙ q= str∙(1− str)= str− str 2 ne prelazi interval izmene
(ovo je lako provjeriti pronalaženjem minimuma ove funkcije na ovom segmentu), iz gornje nejednakosti
lako to dobiti

,

koji se koristi za rješavanje odgovarajućih problema (jedan od njih će biti dat u nastavku).

Primjer. Novčić je bačen 1000 puta. Procijenite vjerovatnoću da će odstupanje relativne učestalosti pojavljivanja grba od njegove vjerovatnoće biti manje od 0,1.

Rješenje. Primjena nejednakosti
at str= q=1/2 , n=1000 , ε=0,1, dobijamo .

Primjer. Procijenite vjerovatnoću da, pod uslovima iz prethodnog primjera, broj k ispuštenih grbova bit će u rasponu od 400 prije 600 .

Rješenje. Stanje 400< k<600 znači da 400/1000< k/ n<600/1000 , tj. 0.4< W n (A)<0.6 ili
. Kao što smo upravo vidjeli iz prethodnog primjera, vjerovatnoća takvog događaja je najmanje 0.975 .

Primjer. Za izračunavanje vjerovatnoće nekog događaja ALI Izvršeno je 1000 eksperimenata, u kojima je događaj ALI pojavio 300 puta. Procijenite vjerovatnoću da se relativna frekvencija (jednaka 300/1000=0,3) razlikuje od prave vjerovatnoće R ne više od 0,1.

Rješenje. Primjenjujući gornju nejednakost
za n=1000, ε=0.1, dobijamo .

Zakon velikih brojeva

Zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće navodi da je empirijska sredina (aritmetička sredina) dovoljno velikog konačnog uzorka iz fiksne distribucije blizu teorijske sredine (očekivanja) ove distribucije. U zavisnosti od vrste konvergencije, postoji slab zakon velikih brojeva, kada se dešava konvergencija u verovatnoći, i jak zakon velikih brojeva, kada se konvergencija odvija skoro svuda.

Uvijek će postojati toliki broj pokušaja da će se, sa bilo kojom unaprijed određenom vjerovatnoćom, relativna učestalost pojave nekog događaja proizvoljno malo razlikovati od njegove vjerovatnoće.

Opšte značenje zakona velikih brojeva je da zajedničko djelovanje velikog broja slučajnih faktora dovodi do rezultata koji je gotovo nezavisan od slučajnosti.

Metode za procjenu vjerovatnoće zasnovane na analizi konačnog uzorka zasnivaju se na ovoj osobini. Dobar primjer je predviđanje izbornih rezultata na osnovu ankete uzorka birača.

Slab zakon velikih brojeva

Neka postoji beskonačan niz (uzastopno nabrajanje) identično raspoređenih i nekoreliranih slučajnih varijabli , definisanih na istom prostoru vjerovatnoće . To jest, njihova kovarijansa. Neka . Označimo uzorak srednje vrijednosti prvih pojmova:

Jaki zakon velikih brojeva

Neka postoji beskonačan niz nezavisnih identično raspoređenih slučajnih varijabli, definisanih na istom prostoru vjerovatnoće. Neka . Označimo uzorak srednje vrijednosti prvih pojmova:

Onda gotovo sigurno.

vidi takođe

Književnost

• Shiryaev A. N. Vjerovatnoća, - M.: Nauka. 1989.
• Čistjakov V.P. Teorija vjerovatnoće, - M., 1982.

Wikimedia fondacija. 2010 .

• Kino Rusije
• Gromeka, Mihail Stepanovič

Pogledajte šta je "Zakon velikih brojeva" u drugim rječnicima:

ZAKON VELIKIH BROJEVA- (zakon velikih brojeva) U slučaju kada je ponašanje pojedinih članova populacije izrazito distinktivno, ponašanje grupe je u prosjeku predvidljivije od ponašanja bilo kojeg njenog člana. Trend u kojem grupe ... ... Ekonomski rječnik

ZAKON VELIKIH BROJEVA- vidi ZAKON O VELIKIM BROJEVIMA. Antinazi. Enciklopedija sociologije, 2009 ... Enciklopedija sociologije

Zakon velikih brojeva- princip prema kojem se kvantitativni obrasci svojstveni masovnim društvenim pojavama najjasnije manifestuju uz dovoljno veliki broj zapažanja. Pojedinačne pojave su podložnije učincima nasumičnih i ... ... Pojmovnik poslovnih pojmova

ZAKON VELIKIH BROJEVA- tvrdi da će se sa vjerovatnoćom bliskom jedinici, aritmetička sredina velikog broja slučajnih varijabli približno istog reda malo razlikovati od konstante jednake aritmetičkoj sredini matematičkih očekivanja ovih varijabli. Razlika… … Geološka enciklopedija

zakon velikih brojeva- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Engleski ruski rečnik elektrotehnike i elektroprivrede, Moskva, 1999] Teme iz elektrotehnike, osnovni pojmovi EN zakon prosječne vrijednosti velikih brojeva... Priručnik tehničkog prevodioca

zakon velikih brojeva- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. zakon velikih brojeva vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. zakon velikih brojeva, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

ZAKON VELIKIH BROJEVA- opšti princip, zbog kojeg kombinovano delovanje slučajnih faktora dovodi, pod određenim vrlo opštim uslovima, do rezultata koji je skoro nezavisan od slučajnosti. Konvergencija učestalosti pojave slučajnog događaja sa njegovom vjerovatnoćom s povećanjem broja ... ... Ruska sociološka enciklopedija

Zakon velikih brojeva- zakon koji kaže da kumulativno djelovanje velikog broja slučajnih faktora dovodi, pod određenim vrlo općim uslovima, do rezultata gotovo neovisnog o slučaju... Sociologija: rječnik

ZAKON VELIKIH BROJEVA- statistički zakon koji izražava odnos statističkih pokazatelja (parametara) uzorka i opšte populacije. Stvarne vrijednosti statističkih pokazatelja dobijenih iz određenog uzorka uvijek se razlikuju od tzv. teoretski ...... Sociologija: Enciklopedija

ZAKON VELIKIH BROJEVA- princip da se učestalost finansijskih gubitaka određene vrste može predvidjeti sa velikom preciznošću kada postoji veliki broj gubitaka sličnih vrsta... Enciklopedijski rečnik ekonomije i prava

Knjige

• Set stolova. Matematika. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. 6 tabela + metodologija, . Tabele su štampane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Komplet sadrži brošuru sa metodološkim preporukama za nastavnike. Edukativni album od 6 listova. Slučajno…

Koja je tajna uspješnih prodavača? Ako posmatrate najbolje prodavače bilo koje kompanije, primijetit ćete da imaju jednu zajedničku stvar. Svaki od njih se susreće s više ljudi i pravi više prezentacija od manje uspješnih prodavača. Ovi ljudi razumiju da je prodaja igra brojeva, i što više ljudi pričaju o svojim proizvodima ili uslugama, više poslova sklapaju, to je sve. Oni razumiju da ako komuniciraju ne samo s onim nekolicinom koji će im sigurno reći da, već i sa onima čiji interes za njihov prijedlog nije toliko veliki, onda će im zakon prosjeka ići u prilog.

Vaša zarada će ovisiti o broju prodaja, ali će u isto vrijeme biti direktno proporcionalna broju prezentacija koje napravite. Jednom kada shvatite i počnete primjenjivati ​​zakon prosjeka, anksioznost povezana s pokretanjem novog posla ili radom u novoj oblasti će početi da se smanjuje. I kao rezultat toga, osjećaj kontrole i povjerenja u njihovu sposobnost da zarade će početi rasti. Ako samo pravite prezentacije i usavršavate svoje vještine u procesu, doći će do dogovora.

Umjesto da razmišljate o broju ponuda, razmislite o broju prezentacija. Nema smisla probuditi se ujutro ili doći kući navečer i početi se pitati ko će kupiti vaš proizvod. Umjesto toga, najbolje je planirati svaki dan koliko poziva trebate obaviti. I onda, bez obzira na sve - obavite sve te pozive! Ovaj pristup će vam olakšati posao – jer je to jednostavan i specifičan cilj. Ako znate da je pred vama vrlo konkretan i ostvariv cilj, lakše ćete obaviti planirani broj poziva. Ako čujete "da" nekoliko puta tokom ovog procesa, tim bolje!

A ako "ne", onda ćete uveče osetiti da ste pošteno uradili sve što ste mogli, i neće vas mučiti misli o tome koliko ste novca zaradili, ili koliko ste partnera stekli u danu.

Recimo u vašoj kompaniji ili vašem poslovanju, prosječan prodavač zaključi jedan posao na svake četiri prezentacije. Sada zamislite da izvlačite karte iz špila. Svaka karta od tri boje - pik, karo i tref - predstavlja prezentaciju u kojoj profesionalno predstavljate proizvod, uslugu ili priliku. Radite to najbolje što možete, ali i dalje ne zaključujete posao. A svaka kartica srca je dogovor koji vam omogućava da dobijete novac ili steknete novog pratioca.

U takvoj situaciji, zar ne biste željeli da izvučete što više karata iz špila? Pretpostavimo da vam se nudi da izvučete onoliko karata koliko želite, dok vam plaćate ili predlažete novog pratioca svaki put kada izvučete kartu srca. Počet ćete entuzijastično izvlačiti karte, jedva primjećujući koja boja je karta upravo izvučena.

Znate da postoji trinaest srca u špilu od pedeset i dve karte. I u dva špila - dvadeset šest karata srca, i tako dalje. Hoćete li biti razočarani izvlačenjem pika, dijamanata ili trepavica? Naravno da ne! Samo ćete pomisliti da vas svaki takav "promašaj" približava - čemu? Na kartu srca!

Ali znaš šta? Već ste dobili ovu ponudu. Vi ste u jedinstvenoj poziciji da zaradite koliko želite i izvučete onoliko karata srca koliko želite da izvučete u svom životu. A ako samo savjesno "izvučete karte", poboljšate svoje vještine i izdržite malo pika, romba i trepavice, onda ćete postati odličan prodavač i uspjeti.

Jedna od stvari koje prodaju čine toliko zabavnom je to što se svaki put kada promiješate špil, karte miješaju drugačije. Ponekad sva srca završe na početku špila, a nakon uspješnog niza (kada nam se već čini da nikada nećemo izgubiti!) čeka nas dugačak red karata druge boje. A drugi put, da biste došli do prvog srca, morate proći kroz beskonačan broj pikova, trefova i tambura. A ponekad karte različitih boja ispadaju strogo redom. Ali u svakom slučaju, u svakom špilu od pedeset i dve karte, nekim redom, uvek se nalazi trinaest srca. Samo vadite karte dok ih ne pronađete.

Zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće navodi da je empirijska sredina (aritmetička sredina) dovoljno velikog konačnog uzorka iz fiksne distribucije blizu teorijske sredine (očekivanja) ove distribucije. U zavisnosti od vrste konvergencije, razlikuje se slab zakon velikih brojeva, kada se konvergencija po verovatnoći dešava, i jak zakon velikih brojeva, kada se konvergencija skoro svuda dešava.

Uvijek postoji konačan broj pokušaja za koje je, sa bilo kojom datom vjerovatnoćom, manji od 1 relativna učestalost pojave nekog događaja će se proizvoljno malo razlikovati od njegove vjerovatnoće.

Opšte značenje zakona velikih brojeva: zajedničko djelovanje velikog broja identičnih i neovisnih slučajnih faktora dovodi do rezultata koji, u krajnjoj liniji, ne ovisi o slučaju.

Metode za procjenu vjerovatnoće zasnovane na analizi konačnog uzorka zasnivaju se na ovoj osobini. Dobar primjer je predviđanje izbornih rezultata na osnovu ankete uzorka birača.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ Zakon velikih brojeva

✪ 07 - Teorija vjerovatnoće. Zakon velikih brojeva

✪ 42 Zakon velikih brojeva

✪ 1 - Čebiševljev zakon velikih brojeva

✪ 11. razred, lekcija 25, Gausova kriva. Zakon velikih brojeva

Titlovi

Pogledajmo zakon velikih brojeva, koji je možda najintuitivniji zakon u matematici i teoriji vjerovatnoće. A pošto se odnosi na toliko stvari, ponekad se koristi i pogrešno shvata. Dozvolite mi da mu prvo dam definiciju za tačnost, a onda ćemo razgovarati o intuiciji. Uzmimo slučajnu varijablu, recimo X. Recimo da znamo njeno matematičko očekivanje ili srednju vrijednost populacije. Zakon velikih brojeva jednostavno kaže da ako uzmemo za primjer n-ti broj zapažanja slučajne varijable i usredsredimo broj svih tih opservacija... Uzmimo varijablu. Nazovimo ga X sa indeksom n i crticom na vrhu. Ovo je aritmetička sredina n-tog broja posmatranja naše slučajne varijable. Evo mog prvog zapažanja. Uradim eksperiment jednom i napravim ovo zapažanje, zatim uradim to ponovo i napravim ovo zapažanje, uradim to ponovo i dobijem ovo. Izvršim ovaj eksperiment n puta i onda podijelim s brojem svojih zapažanja. Evo srednje vrijednosti mog uzorka. Evo prosjeka svih zapažanja koje sam napravio. Zakon velikih brojeva nam govori da će se moja srednja vrijednost uzorka približiti srednjoj vrijednosti slučajne varijable. Ili također mogu napisati da će se moja srednja vrijednost uzorka približiti srednjoj vrijednosti populacije za n-ti broj koji ide u beskonačnost. Neću praviti jasnu razliku između "aproksimacije" i "konvergencije", ali se nadam da intuitivno razumete da ako ovde uzmem prilično veliki uzorak, onda dobijam očekivanu vrednost za populaciju u celini. Mislim da većina vas intuitivno razumije da ako uradim dovoljno testova sa velikim uzorkom primjera, na kraju će mi testovi dati vrijednosti koje očekujem, uzimajući u obzir matematička očekivanja, vjerovatnoću i sve to. Ali mislim da je često nejasno zašto se to dešava. I prije nego što počnem da objašnjavam zašto je to tako, daću vam konkretan primjer. Zakon velikih brojeva nam govori da... Recimo da imamo slučajnu varijablu X. Ona je jednaka broju glava u 100 bacanja ispravnog novčića. Prije svega, znamo matematičko očekivanje ove slučajne varijable. Ovo je broj bacanja novčića ili pokušaja pomnožen sa izgledima da bilo koji pokušaj uspije. Dakle, jednako je 50. To jest, zakon velikih brojeva kaže da ako uzmemo uzorak, ili ako uprosim ove testove, dobijam. .. Prvi put kada radim test, bacim novčić 100 puta, ili uzmem kutiju sa sto novčića, protresem je, pa izbrojim koliko glava dobijem i dobijem, recimo, broj 55. Ovo će biti X1. Onda ponovo protresem kutiju i dobijem broj 65. Zatim ponovo - i dobijem 45. I uradim ovo n puta, i onda to podelim sa brojem pokušaja. Zakon velikih brojeva nam govori da će ovaj prosjek (prosjek svih mojih zapažanja) težiti 50 dok će n težiti beskonačnosti. Sada bih želeo da pričam malo o tome zašto se to dešava. Mnogi smatraju da ako je moj rezultat nakon 100 pokušaja iznad prosjeka, onda bi prema zakonima vjerovatnoće trebao imati više ili manje glave kako bih, da tako kažem, nadoknadio razliku. To nije tačno ono što će se dogoditi. Ovo se često naziva "kockarska zabluda". Dozvolite mi da vam pokažem razliku. Koristit ću sljedeći primjer. Da nacrtam grafik. Hajde da promenimo boju. Ovo je n, moja x-osa je n. Ovo je broj testova koje ću izvršiti. I moja y-osa će biti srednja vrijednost uzorka. Znamo da je srednja vrijednost ove proizvoljne varijable 50. Daj da nacrtam ovo. Ovo je 50. Vratimo se na naš primjer. Ako je n... Tokom mog prvog testa, dobio sam 55, što je moj prosjek. Imam samo jednu tačku za unos podataka. Onda nakon dva pokušaja, dobijem 65. Dakle, moj prosjek bi bio 65+55 podijeljen sa 2. To je 60. I moj prosjek je malo porastao. Onda sam dobio 45, što je opet snizilo moju aritmetičku sredinu. Neću ucrtati na grafikonu 45. Sada moram sve izmjeriti u prosjeku. Čemu je jednako 45+65? Dozvolite mi da izračunam ovu vrijednost da predstavim tačku. To je 165 podeljeno sa 3. To je 53. Ne, 55. Dakle, prosek se ponovo spušta na 55. Možemo nastaviti sa ovim testovima. Nakon što smo uradili tri pokusa i došli do ovog prosjeka, mnogi misle da će bogovi vjerovatnoće učiniti tako da u budućnosti dobijemo manje glava, da će sljedećih nekoliko pokušaja biti niži kako bi smanjili prosjek. Ali nije uvijek tako. U budućnosti, vjerovatnoća uvijek ostaje ista. Vjerovatnoća da ću se vrtjeti uvijek će biti 50%. Nije da u početku dobijem određeni broj glava, više nego što očekujem, a onda bi odjednom trebalo da ispadnu repovi. Ovo je "igračeva zabluda". Ako dobijete nesrazmjeran broj glava, to ne znači da ćete u nekom trenutku početi padati neproporcionalno veliki broj repova. Ovo nije sasvim tačno. Zakon velikih brojeva nam govori da to nije bitno. Recimo, nakon određenog konačnog broja pokušaja, vaš prosek... Verovatnoća za to je prilično mala, ali, ipak... Recimo da vaš prosek dostiže ovu oznaku - 70. Razmišljate: "Vau, otišli smo daleko iznad očekivanja." Ali zakon velikih brojeva kaže da nije važno koliko testova izvodimo. Pred nama je još beskonačan broj iskušenja. Matematičko očekivanje ovog beskonačnog broja pokušaja, posebno u ovakvoj situaciji, bit će sljedeće. Kada dođete do konačnog broja koji izražava neku veliku vrijednost, beskonačan broj koji se s njim konvergira opet će dovesti do očekivane vrijednosti. Ovo je, naravno, vrlo labavo tumačenje, ali to nam govori zakon velikih brojeva. Važno je. On nam ne kaže da ako dobijemo mnogo glava, onda će se nekako povećati šanse da dobijemo repove da bismo to nadoknadili. Ovaj zakon nam govori da nije važno kakav je rezultat sa konačnim brojem pokušaja sve dok još uvijek imate beskonačan broj pokušaja pred sobom. A ako ih napravite dovoljno, ponovo ćete se vratiti očekivanjima. Ovo je važna tačka. Razmisli o tome. Ali to se ne koristi svakodnevno u praksi sa lutrijama i kockarnicama, iako je poznato da ako uradite dovoljno testova... Možemo i izračunati... kolika je vjerovatnoća da ćemo ozbiljno odstupiti od norme? Ali kockarnice i lutrije rade svaki dan po principu da ako uzmete dovoljno ljudi, naravno, za kratko vrijeme, sa malim uzorkom, onda će nekoliko ljudi osvojiti džekpot. Ali dugoročno, kazino će uvijek imati koristi od parametara igara u koje vas pozivaju da igrate. Ovo je važan princip vjerovatnoće koji je intuitivan. Iako ponekad, kada vam se to formalno objasni sa slučajnim varijablama, sve to izgleda pomalo zbunjujuće. Sve što ovaj zakon kaže je da što više uzoraka ima, to će se aritmetička sredina tih uzoraka više približavati pravoj sredini. I da budemo precizniji, aritmetička sredina vašeg uzorka će konvergirati s matematičkim očekivanjem slučajne varijable. To je sve. Vidimo se u sljedećem videu!

Slab zakon velikih brojeva

Slab zakon velikih brojeva naziva se i Bernoullijevom teoremom, po Jacobu Bernoulliju, koji ga je dokazao 1713. godine.

Neka postoji beskonačan niz (uzastopno nabrajanje) identično raspoređenih i nekoreliranih slučajnih varijabli. To jest, njihova kovarijansa c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). Neka . Označiti uzorkom srednje vrijednosti prvog n (\displaystyle n)članovi:

.

Onda X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Odnosno za svaku pozitivu ε (\displaystyle \varepsilon )

Jaki zakon velikih brojeva

Neka postoji beskonačan niz nezavisnih identično raspoređenih slučajnih varijabli ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) definisano na jednom verovatnosnom prostoru (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Neka E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Označiti sa X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) uzorak srednje vrijednosti prvog n (\displaystyle n)članovi:

Onda X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) skoro uvijek.

Kao i svaki matematički zakon, zakon velikih brojeva može se primijeniti na stvarni svijet samo pod poznatim pretpostavkama, koje se mogu ispuniti samo sa određenim stepenom tačnosti. Tako, na primjer, uslovi uzastopnih testova često se ne mogu održavati neograničeno i sa apsolutnom tačnošću. Osim toga, zakon velikih brojeva samo govori o tome nevjerovatnost značajno odstupanje srednje vrijednosti od matematičkog očekivanja.

Prosječna vrijednost je najopštiji pokazatelj u statistici. To je zbog činjenice da se može koristiti za karakterizaciju populacije prema kvantitativno promjenjivom atributu. Na primjer, za poređenje plata radnika dva preduzeća ne može se uzeti plate dva konkretna radnika, jer djeluje kao indikator koji varira. Takođe, ne može se uzeti ukupan iznos isplaćenih zarada u preduzećima, jer zavisi od broja zaposlenih. Ako ukupan iznos zarada svakog preduzeća podijelimo sa brojem zaposlenih, možemo ih uporediti i odrediti koje preduzeće ima višu prosječnu zaradu.

Drugim rečima, plate proučavane populacije radnika dobijaju generalizovanu karakteristiku u prosečnoj vrednosti. Izražava ono opšte i tipično što je karakteristično za ukupnost radnika u odnosu na osobinu koja se proučava. U ovoj vrijednosti prikazuje opću mjeru ovog atributa, koji ima drugačiju vrijednost za jedinice populacije.

Određivanje prosječne vrijednosti. Prosječna vrijednost u statistici je generalizirana karakteristika skupa sličnih pojava prema nekom kvantitativno promjenjivom atributu. Prosječna vrijednost pokazuje nivo ove karakteristike u odnosu na jedinicu stanovništva. Uz pomoć prosječne vrijednosti moguće je međusobno upoređivati ​​različite agregate prema različitim karakteristikama (prihodi po glavi stanovnika, prinosi usjeva, troškovi proizvodnje u različitim preduzećima).

Prosječna vrijednost uvijek generalizira kvantitativnu varijaciju osobine kojom karakterišemo populaciju koja se proučava, a koja je podjednako svojstvena svim jedinicama populacije. To znači da iza bilo koje prosječne vrijednosti uvijek stoji niz distribucije jedinica stanovništva prema nekom promjenjivom atributu, tj. varijantne serije. U tom pogledu, prosječna vrijednost se bitno razlikuje od relativnih vrijednosti i, posebno, od indikatora intenziteta. Indikator intenziteta je omjer obima dva različita agregata (na primjer, proizvodnja BDP-a po glavi stanovnika), dok prosječni generalizira karakteristike elemenata agregata prema jednoj od karakteristika (npr. prosjek plata radnika).

Srednja vrijednost i zakon velikih brojeva. U promjeni prosječnih pokazatelja ispoljava se opći trend pod čijim se uticajem formira proces razvoja pojava u cjelini, dok se u pojedinačnim pojedinačnim slučajevima ovaj trend ne može jasno ispoljiti. Važno je da se proseci zasnivaju na masovnoj generalizaciji činjenica. Samo pod ovim uslovom oni će otkriti opšti trend koji leži u osnovi procesa u celini.

Suština zakona velikih brojeva i njegov značaj za prosjeke, kako se broj opservacija povećava, sve više i više u potpunosti poništava odstupanja proizašla iz slučajnih uzroka. To jest, zakon velikih brojeva stvara uslove da se tipičan nivo promenljivog atributa pojavi u prosečnoj vrednosti pod određenim uslovima mesta i vremena. Vrijednost ovog nivoa određena je suštinom ovog fenomena.

Vrste prosjeka. Srednje vrijednosti koje se koriste u statistici pripadaju klasi sredstava moći, čija je opća formula sljedeća:

gdje je x srednja snaga;

X - promjena vrijednosti atributa (opcije)

- opcija broja

Eksponent srednje vrijednosti;

Znak sumiranja.

Za različite vrijednosti eksponenta srednje vrijednosti dobijaju se različite vrste srednje vrijednosti:

Aritmetička sredina;

Srednji kvadrat;

Average cubic;

Average harmonic;

Geometrijska sredina.

Različite vrste srednje vrijednosti imaju različita značenja kada se koriste iste izvorne statistike. Istovremeno, što je veći eksponent prosjeka, to je veća njegova vrijednost.

U statistici, ispravnu karakterizaciju populacije u svakom pojedinačnom slučaju daje samo potpuno određena vrsta prosječnih vrijednosti. Za određivanje ove vrste prosječne vrijednosti koristi se kriterij koji određuje svojstva prosjeka: prosječna vrijednost će tek tada biti prava generalizirajuća karakteristika populacije prema promjenjivom atributu, kada, kada se sve varijante zamijene prosjekom vrijednost, ukupni volumen varijabilnog atributa ostaje nepromijenjen. Odnosno, ispravan tip prosjeka je određen načinom na koji se formira ukupan volumen varijabilne karakteristike. Dakle, aritmetička sredina se koristi kada se zapremina promenljivog obeležja formira kao zbir pojedinačnih opcija, srednji kvadrat - kada se zapremina promenljive karakteristike formira kao zbir kvadrata, harmonijska sredina - kao zbir recipročne vrijednosti pojedinačnih opcija, geometrijska sredina - kao proizvod pojedinačnih opcija. Pored prosječnih vrijednosti u statistici

Koriste se deskriptivne karakteristike distribucije varijabilnog obilježja (strukturni prosjeci), moda (najčešća varijanta) i medijana (srednja varijanta).