U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se udvostručuje. Problemi u teoriji vjerojatnosti. Metoda kombiniranog nabrajanja

Formulacija zadatka: U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerojatnost da glava (rep) neće ispasti niti jednom (ispast će točno / barem 1, 2 puta).

Zadatak je uključen u USE iz matematike osnovne razine za 11. razred pod brojem 10 (Klasična definicija vjerojatnosti).

Pogledajmo kako se takvi problemi rješavaju na primjerima.

Primjer 1. zadatka:

U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerojatnost da se glave nikada ne pojave.

OO ILI RO RR

Takvih kombinacija ima ukupno 4. Zanimaju nas samo one u kojima nema niti jednog orla. Postoji samo jedna takva kombinacija (PP).

P = 1/4 = 0,25

Odgovor: 0,25

Primjer 2. zadatka:

U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerojatnost da će se točno dvaput pojaviti.

Razmotrite sve moguće kombinacije koje mogu ispasti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, orla ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:

OO ILI RO RR

Takvih kombinacija ima ukupno 4. Zanimaju nas samo one kombinacije u kojima se glave pojavljuju točno 2 puta. Postoji samo jedna takva kombinacija (OO).

P = 1/4 = 0,25

Odgovor: 0,25

Primjer zadatka 3:

U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerojatnost da se pojavi točno jednom.

Razmotrite sve moguće kombinacije koje mogu ispasti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, orla ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:

OO ILI RO RR

Ukupno je takvih kombinacija 4. Zanimaju nas samo one u kojima su glave ispale točno 1 put. Postoje samo dvije takve kombinacije (OP i RO).

Odgovor: 0,5

Primjer 4. zadatka:

U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerojatnost da će se glave pojaviti barem jednom.

Razmotrite sve moguće kombinacije koje mogu ispasti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, orla ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:

OO ILI RO RR

Ukupno je takvih kombinacija 4. Zanimaju nas samo one kombinacije u kojima barem jednom ispadnu glave. Postoje samo tri takve kombinacije (OO, OR i RO).

P = 3/4 = 0,75

U nasumičnom eksperimentu baca se simetričan novčić...

Kao predgovor.
Svatko zna da novčić ima dvije strane - glavu i rep.
Numizmatičari vjeruju da novčić ima tri strane - avers, naličje i rub.
I među njima, i među ostalima, malo ljudi zna što je simetrična kovanica. Ali za to znaju (dobro, ili bi trebali znati :), oni koji se spremaju za polaganje ispita.

Općenito, ovaj će se članak usredotočiti na neobičan novčić, koja nema nikakve veze s numizmatikom, ali je, ujedno, najpopularnija kovanica među školarcima.

Tako.
Simetrični novčić- ovo je zamišljeni matematički idealan novčić bez veličine, težine, promjera itd. Kao rezultat toga, takav novčić također nema rub, odnosno stvarno ima samo dvije strane. Glavno svojstvo simetričnog novčića je da je pod takvim uvjetima vjerojatnost padanja glave ili repa potpuno ista. I smislili su simetričnu kovanicu za misaone eksperimente.
Najpopularniji problem sa simetričnim novčićem zvuči ovako - "U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dva puta (tri puta, četiri puta itd.). Potrebno je odrediti vjerojatnost da će jedna od strana ispasti određeni broj puta.

Rješavanje zadatka simetričnim novčićem

Jasno je da će kao rezultat bacanja novčić pasti ili s glavom ili s repkom. Koliko puta - ovisi o tome koliko bacanja napraviti. Vjerojatnost dobivanja glave ili repa izračunava se dijeljenjem broja ishoda koji zadovoljavaju uvjet s ukupnim brojem mogućih ishoda.

Jedno bacanje

Ovdje je sve jednostavno. Iskrsnut će ili glava ili rep. Oni. imamo dva moguća ishoda od kojih nas jedan zadovoljava - 1/2=50%

Dva bacanja

Za dva bacanja mogu pasti:
dva orla
dva repa
glave, pa repovi
repovi, zatim glave
Oni. moguće su samo četiri opcije. Probleme s više od jednog bacanja najlakše je riješiti izradom tablice mogućih opcija. Radi jednostavnosti, označimo glave kao "0", a repove kao "1". Tada će tablica mogućih ishoda izgledati ovako:
00
01
10
11
Ako, na primjer, trebate pronaći vjerojatnost da će glave jednom pasti, samo trebate prebrojati broj odgovarajućih opcija u tablici - tj. oni redovi gdje se orao pojavljuje jednom. Postoje dvije takve linije. Dakle, vjerojatnost da dobijete jednu glavu u dva bacanja simetričnog novčića je 2/4=50%
Vjerojatnost da dobijete glavu dva puta u dva bacanja je 1/4=25%

Tri ruže

Izrađujemo tablicu opcija:
000
001
010
011
100
101
110
111
Oni koji su upoznati s binarnim računom razumiju do čega smo došli. :) Da, to su binarni brojevi od "0" do "7". Na ovaj način lakše se ne zbuniti s opcijama.
Riješimo zadatak iz prethodnog odlomka – izračunamo vjerojatnost da će orao jednom ispasti. Postoje tri retka u kojima se "0" pojavljuje jednom. Dakle, vjerojatnost dobivanja jedne glave u tri bacanja simetričnog novčića je 3/8=37,5%
Vjerojatnost da će glave u tri bacanja ispasti dva puta je 3/8=37,5%, tj. apsolutno isto.
Vjerojatnost da će glava u tri bacanja ispasti tri puta je 1/8 = 12,5%.

Četiri bacanja

Izrađujemo tablicu opcija:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Vjerojatnost da se glave pojave jednom. Postoje samo tri retka gdje se "0" pojavljuje jednom, baš kao iu slučaju tri bacanja. No, već postoji šesnaest opcija. Dakle, vjerojatnost dobivanja jedne glave u četiri bacanja simetričnog novčića je 3/16=18,75%
Vjerojatnost da će orao ispasti dva puta u tri bacanja je 6/8=75%.
Vjerojatnost da će glave ispasti tri puta u tri bacanja je 4/8=50%.

Dakle, s povećanjem broja bacanja, princip rješavanja problema se uopće ne mijenja - samo se, u odgovarajućoj progresiji, povećava broj opcija.

U teoriji vjerojatnosti postoji skupina problema za čije je rješenje dovoljno poznavati klasičnu definiciju vjerojatnosti i vizualizirati predloženu situaciju. Ovi problemi su većina problema s bacanjem novčića i problema s bacanjem kocke. Prisjetimo se klasične definicije vjerojatnosti.

Vjerojatnost događaja A (objektivna mogućnost događanja događaja u numeričkom smislu) jednaka je omjeru broja ishoda koji su povoljni za taj događaj prema ukupnom broju svih jednako mogućih nekompatibilnih elementarnih ishoda: P(A)=m/n, gdje:

• m je broj elementarnih ishoda testa koji pogoduju pojavi događaja A;
• n je ukupan broj svih mogućih elementarnih rezultata testa.

Nabrajanjem svih mogućih opcija (kombinacija) i izravnim izračunom zgodno je odrediti broj mogućih ishoda elementarnih testova i broj povoljnih ishoda u problemima koji se razmatraju.

Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (orao ispada 1 put) odgovaraju opciji br. 2 i br. 3 eksperimenta, postoje dvije takve opcije m=2.
Odredite vjerojatnost događaja R(A)=m/n=2/4=0,5

Zadatak 2 . U nasumičnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerojatnost da se glave nikada neće pojaviti.

Odluka . Budući da se novčić baca dva puta, tada je, kao u problemu 1, broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (orao neće ni jednom ispasti) odgovaraju varijanti br. 4 eksperimenta (vidi tablicu u zadatku 1). Postoji samo jedna takva opcija, pa je m=1.
Odredite vjerojatnost događaja R(A)=m/n=1/4=0,25

Zadatak 3 . U nasumičnom eksperimentu, simetričan novčić se baca tri puta. Nađite vjerojatnost da se pojavi točno 2 puta.

Odluka . Moguće opcije tri bacanja novčića (sve moguće kombinacije glave i repa) prikazana su u obliku tablice:

Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=8. Povoljni ishodi događaja A = (glave 2 puta) odgovaraju opcijama br. 5, 6 i 7 eksperimenta. Postoje tri takve opcije, pa je m=3.
Odredite vjerojatnost događaja R(A)=m/n=3/8=0,375

Zadatak 4 . U nasumičnom eksperimentu, simetričan novčić bačen je četiri puta. Nađite vjerojatnost da se pojavi točno 3 puta.

Odluka . Moguće varijante četiri bacanja novčića (sve moguće kombinacije glava i repova) prikazane su u obliku tablice:

Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=16. Povoljni ishodi događaja A = (orao ispada 3 puta) odgovaraju opcijama br. 12, 13, 14 i 15 eksperimenta, što znači m=4.
Odredite vjerojatnost događaja R(A)=m/n=4/16=0,25

Određivanje vjerojatnosti u zadacima s kockicama

Zadatak 5 . Odredite vjerojatnost da će ispasti više od 3 boda kada se baci kocka (točna kocka).

Odluka . Prilikom bacanja kocke (obična kocka) može ispasti bilo koje od njenih šest lica, tj. dogoditi bilo koji od elementarnih događaja - gubitak od 1 do 6 bodova (bodova). Dakle, broj mogućih elementarnih ishoda je n=6.
Događaj A = (ispalo više od 3 boda) znači da je ispalo 4, 5 ili 6 bodova (bodova). Dakle, broj povoljnih ishoda je m=3.
Vjerojatnost događaja R(A)=m/n=3/6=0,5

Zadatak 6 . Odredite vjerojatnost da pri bacanju kocke broj bodova ne premaši 4. Zaokružite rezultat na najbližu tisućinku.

Odluka . Prilikom bacanja kocke može ispasti bilo koje od njenih šest lica, tj. dogoditi bilo koji od elementarnih događaja - gubitak od 1 do 6 bodova (bodova). Dakle, broj mogućih elementarnih ishoda je n=6.
Događaj A = (nije ispalo više od 4 boda) znači da su ispala 4, 3, 2 ili 1 bod (bod). Dakle, broj povoljnih ishoda je m=4.
Vjerojatnost događaja R(A)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Zadatak 7 . Kocka se baca dva puta. Odredite vjerojatnost da su oba broja manja od 4.

Odluka . Budući da se kocka (kocka) baca dva puta, raspravljat ćemo ovako: ako je na prvoj kockici pao jedan bod, onda na drugoj može ispasti 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dobivamo parove (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) i tako dalje sa svakim licem. Sve slučajeve prikazujemo u obliku tablice od 6 redaka i 6 stupaca:

Izračunat će se povoljni ishodi događaja A = (oba puta je ispao broj manji od 4) (podebljani su) i dobit ćemo m=9.
Odredite vjerojatnost događaja R(A)=m/n=9/36=0,25

Zadatak 8 . Kocka se baca dva puta. Odredite vjerojatnost da je najveći od dva izvučena broja 5. Zaokružite svoj odgovor na najbližu tisućinku.

Odluka . Svi mogući ishodi dvaju bacanja kocke prikazani su u tablici:

Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izračunavaju se povoljni ishodi događaja A = (najveći od dva izvučena broja je 5) (označeni su masnim slovima) i dobivamo m=8.
Odredite vjerojatnost događaja R(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Zadatak 9 . Kocka se baca dva puta. Odredite vjerojatnost da se broj manji od 4 baci barem jednom.

Odluka . Svi mogući ishodi dvaju bacanja kocke prikazani su u tablici:

Iz tablice vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izraz “barem jednom je ispao broj manji od 4” znači “broj manji od 4 je ispao jednom ili dvaput”, zatim broj povoljnih ishoda događaja A = (barem jednom je ispao broj manji od 4 ) (podebljani su) m=27.
Odredite vjerojatnost događaja R(A)=m/n=27/36=0,75

U zadacima iz teorije vjerojatnosti, koji su predstavljeni u Jedinstvenom državnom ispitu pod brojem 4, osim toga, postoje zadaci za bacanje novčića i bacanje kocke. Danas ćemo ih analizirati.

Problemi s bacanjem novčića

Zadatak 1. Simetrični novčić baca se dva puta. Nađite vjerojatnost da se točno jednom pojavi.

U takvim problemima zgodno je zapisati sve moguće ishode, pišući ih slovima P (repovi) i O (glave). Dakle, ishod OR znači da je prvo bacanje bilo glavom, a drugo repom. U problemu koji razmatramo moguća su 4 ishoda: PP, RO, ILI, OO. Favorizirajte događaj "repovi se pojavljuju točno jednom" 2 ishoda: RO i OR. Tražena vjerojatnost je .

Odgovor: 0,5.

Zadatak 2. Simetrični novčić bačen je tri puta. Nađite vjerojatnost da će glave ispasti točno dva puta.

Ukupno je moguće 8 ishoda: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Favorizirajte događaj "glave točno dva puta" 3 ishoda: ROO, ORO, OOR. Tražena vjerojatnost je .

Odgovor: 0,375.

Zadatak 3. Prije početka nogometna utakmica Sudac baca novčić kako bi odredio koja će momčad započeti igru ​​s loptom. Emerald tim igra tri utakmice sa različite ekipe. Nađite vjerojatnost da će u tim igrama "Emerald" dobiti na ždrijebu točno jednom.

Ovaj zadatak je sličan prethodnom. Neka svaki put gubitak repova znači pobjedu lota od strane "Emerald" (takva pretpostavka ne utječe na izračun vjerojatnosti). Tada je moguće 8 ishoda: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Postoje 3 ishoda koja pogoduju događaju "repovi se pojavljuju točno jednom": POO, ORO, OOP. Tražena vjerojatnost je .

Odgovor: 0,375.

Zadatak 4. Simetrični novčić se baca tri puta. Nađite vjerojatnost da će ishod ROO-a doći (prvi put dolazi do repova, drugi i treći - do glave).

Kao iu prethodnim zadacima, ovdje postoji 8 ishoda: PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO. Vjerojatnost ishoda ROO jednaka je .

Odgovor: 0,125.

Problemi s bacanjem kockica

Zadatak 5. Kocke bačen dva puta. Koliko elementarnih ishoda iskustva ide u prilog događaju "zbroj bodova je 8"?

Zadatak 6. Bacaju se dvije kocke u isto vrijeme. Odredite vjerojatnost da će zbroj biti 4. Zaokružite rezultat na najbližu stotinku.

Općenito, ako se kocka (kocka) baca, tada su jednako mogući ishodi. Isti broj ishoda dobiva se ako se ista kocka baci jednom zaredom.

Sljedeći ishodi favoriziraju događaj “ukupno 4”: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Njihov broj je 3. Željena vjerojatnost je .

Za izračunavanje približne vrijednosti razlomka prikladno je koristiti dijeljenje kutom. Dakle, približno je jednako 0,083 ..., zaokruženo na stotinke, imamo 0,08.

Odgovor: 0,08

Zadatak 7. Tri kocke se bacaju istovremeno. Odredite vjerojatnost da dobijete ukupno 5 bodova. Zaokružite rezultat na najbližu stotinku.

Ishod ćemo smatrati trojkom brojeva: bodova koji su pali na prvoj, drugoj i trećoj kockici. Ukupno su mogući podjednako mogući ishodi. Sljedeći ishodi favoriziraju događaj "ukupno 5": 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Njihov broj je 6. Željena vjerojatnost je . Za izračunavanje približne vrijednosti razlomka prikladno je koristiti dijeljenje kutom. Otprilike dobijemo 0,027 ..., zaokruženo na stotinke, imamo 0,03. Izvor “Pripreme za ispit. Matematika. Teorija vjerojatnosti”. Uredio F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhov