Az átlagok törvénye leegyszerűsítve. Átlagos értékek. A nagy számok gyenge törvénye

A nagy számokra vonatkozó szavak a tesztek számára utalnak - egy valószínűségi változó nagyszámú értékét vagy nagyszámú valószínűségi változó kumulatív hatását vesszük figyelembe. Ennek a törvénynek a lényege a következő: bár lehetetlen megjósolni, hogy egyetlen valószínűségi változó mekkora értéket vesz fel egyetlen kísérletben, azonban nagyszámú független valószínűségi változó hatásának összesített eredménye elveszti véletlenszerű jellegét, és szinte megbízhatóan (azaz nagy valószínűséggel) előre jelezhető. Például lehetetlen megjósolni, hogy az érme melyik oldalára esik. Ha azonban 2 tonna érmét dob fel, akkor nagy biztonsággal vitatható, hogy a címerrel felfelé hullott érmék súlya 1 tonna.

Mindenekelőtt az úgynevezett Csebisev-egyenlőtlenség a nagy számok törvényére utal, amely egy külön tesztben becsüli meg, hogy egy valószínűségi változó milyen valószínűséggel fogad el egy olyan értéket, amely legfeljebb egy adott értékkel tér el az átlagtól.

Csebisev egyenlőtlensége. Hadd x egy tetszőleges valószínűségi változó, a=M(X) , a D(x) a diszperziója. Akkor

Példa. A gépen megmunkált hüvely átmérőjének névleges (azaz szükséges) értéke a 5 mm, és a szórás nem több, mint 0.01 (ez a gép pontossági tűrése). Becsülje meg annak valószínűségét, hogy egy persely gyártása során az átmérőjének eltérése a névlegestől kisebb lesz, mint 0,5 mm .

Megoldás. Legyen r.v. x- a gyártott persely átmérője. Feltétel szerint a matematikai elvárása megegyezik a névleges átmérővel (ha nincs szisztematikus hiba a gép beállításában): a=M(X)=5 , és a szórás D(X)≤0,01. A Csebisev-egyenlőtlenség alkalmazása a ε = 0,5, kapunk:

Így egy ilyen eltérés valószínűsége meglehetősen nagy, ezért arra a következtetésre juthatunk, hogy egy alkatrész egyszeri gyártása esetén az átmérő eltérése a névlegestől szinte biztosan nem haladja meg a 0,5 mm .

Alapvetően a szórás σ jellemzi átlagos egy valószínűségi változó eltérése a középpontjától (vagyis a matematikai elvárásától). Azért, mert átlagos eltérés, akkor a tesztelés során nagy eltérések (kiemelés az o-ra) lehetségesek. Gyakorlatilag mekkora eltérések lehetségesek? A normál eloszlású valószínűségi változók tanulmányozásakor levezettük a „három szigma” szabályt: egy normális eloszlású valószínűségi változót. x egyetlen tesztben gyakorlatilag nem tér el tovább az átlagától, mint 3σ, ahol σ= σ(X) az r.v szórása. x. Egy ilyen szabályra következtettünk abból, hogy megkaptuk az egyenlőtlenséget

Most becsüljük meg ennek a valószínűségét tetszőleges valószínűségi változó x olyan értéket fogadjon el, amely az átlagtól legfeljebb a szórás háromszorosával tér el. A Csebisev-egyenlőtlenség alkalmazása a ε = 3σés tekintettel arra D(X)=σ 2 , kapunk:

Ily módon általában szám alapján megbecsülhetjük annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó legfeljebb három szórással tér el az átlagától. 0.89 , míg normál eloszlás esetén valószínûséggel garantálható 0.997 .

A Csebisev-egyenlőtlenség független, azonos eloszlású valószínűségi változók rendszerére általánosítható.

Általánosított Csebisev egyenlőtlensége. Ha független valószínűségi változók x 1 , X 2 , … , X n M(x én )= aés diszperziók D(x én )= D, akkor

Nál nél n=1 ez az egyenlőtlenség átmegy a fent megfogalmazott Csebisev-egyenlőtlenségbe.

A megfelelő problémák megoldásában önálló jelentőségű Csebisev-egyenlőtlenség az ún. Csebisev-tétel bizonyítására szolgál. Először leírjuk ennek a tételnek a lényegét, majd megadjuk a formális megfogalmazását.

Hadd x 1 , X 2 , … , X n– nagyszámú független valószínűségi változó matematikai elvárásokkal M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Bár a kísérlet eredményeként mindegyik felvehet az átlagától távol eső értéket (azaz a matematikai elvárást), azonban egy valószínűségi változó
, amelyek számtani átlagukkal megegyeznek, nagy valószínűséggel egy rögzített számhoz közeli értéket vesznek fel
(ez az összes matematikai elvárás átlaga). Ez a következőket jelenti. Legyen a teszt eredményeként független valószínűségi változók x 1 , X 2 , … , X n(sok van belőlük!) ennek megfelelően vették fel az értékeket x 1 , X 2 , … , X n illetőleg. Majd ha ezek az értékek maguk is távol esnek a megfelelő valószínűségi változók átlagértékeitől, akkor az átlagértékük
valószínűleg közel lesz
. Így nagyszámú valószínűségi változó számtani átlaga már elveszti véletlenszerűségét, és nagy pontossággal előre jelezhető. Ez azzal magyarázható, hogy az értékek véletlenszerű eltérései x én tól től a én különböző előjelűek lehetnek, ezért összességében ezek az eltérések nagy valószínűséggel kompenzálódnak.

Terema Csebiseva (nagy számok törvénye Csebisev formájában). Hadd x 1 , X 2 , … , X n … páronként független valószínűségi változók sorozata, amelyek varianciái ugyanarra a számra korlátozódnak. Ezután bármilyen kicsi ε számot veszünk, az egyenlőtlenség valószínűsége

önkényesen közel lesz az egységhez, ha a szám n valószínűségi változók ahhoz, hogy elég nagyok legyenek. Formálisan ez azt jelenti, hogy a tétel feltételei között

Az ilyen típusú konvergenciát valószínűségi konvergenciának nevezik, és a következőképpen jelöljük:

Így a Csebisev-tétel azt mondja, hogy ha kellően sok független valószínűségi változó van, akkor azok számtani átlaga egyetlen tesztben szinte biztosan a matematikai várakozásaik átlagához közeli értéket vesz fel.

Leggyakrabban a Csebisev-tételt olyan helyzetben alkalmazzák, amikor a valószínűségi változók x 1 , X 2 , … , X n … azonos eloszlásúak (azaz ugyanaz az eloszlási törvény vagy azonos valószínűségi sűrűség). Valójában ez ugyanannak a valószínűségi változónak csak nagy számú példánya.

Következmény(az általánosított Csebisev-egyenlőtlenségből). Ha független valószínűségi változók x 1 , X 2 , … , X n … azonos eloszlásúak a matematikai elvárásokkal M(x én )= aés diszperziók D(x én )= D, akkor

, azaz
.

A bizonyítás az általánosított Csebisev-egyenlőtlenségből következik az as határhoz való átlépéssel n→∞ .

Még egyszer megjegyezzük, hogy a fent írt egyenlőségek nem garantálják, hogy a mennyiség értéke
hajlamos a nál nél n→∞. Ez az érték továbbra is egy véletlen változó, és az egyedi értékei meglehetősen távol állnak tőle a. De ennek a valószínűsége (messze nem a) értékeket növekvő mértékben n 0-ra hajlik.

Megjegyzés. A következtetés következtetése nyilvánvalóan érvényes az általánosabb esetben is, amikor a független valószínűségi változók x 1 , X 2 , … , X n … eltérő eloszlásúak, de ugyanazok a matematikai elvárások (egyenlő a) és az összesített eltérések korlátozottak. Ez lehetővé teszi egy bizonyos mennyiség mérésének pontosságának előrejelzését, még akkor is, ha ezeket a méréseket különböző műszerekkel végzik.

Tekintsük részletesebben ennek a következménynek a mennyiségek mérésére való alkalmazását. Használjunk valamilyen eszközt n azonos mennyiség mérése, amelynek valódi értéke az aés nem tudjuk. Az ilyen mérések eredményei x 1 , X 2 , … , X n jelentősen eltérhetnek egymástól (és a valódi értéktől a) különböző véletlenszerű tényezők (nyomásesések, hőmérsékletek, véletlenszerű rezgések stb.) miatt. Tekintsük az r.v. x- műszer leolvasása egy mennyiség egyszeri mérésére, valamint egy sor r.v. x 1 , X 2 , … , X n- műszer leolvasása az első, második, ..., utolsó mérésnél. Így az egyes mennyiségek x 1 , X 2 , … , X n csak egy példánya van az r.v. x, és ezért mindegyiknek ugyanaz az eloszlása, mint az r.v. x. Mivel a mérési eredmények egymástól függetlenek, az r.v. x 1 , X 2 , … , X n függetlennek tekinthető. Ha a készülék nem ad szisztematikus hibát (pl. nulla nincs „leütve” a skálán, a rugó nincs megfeszítve stb.), akkor feltételezhetjük, hogy a matematikai elvárás M(X) = a, és ezért M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Így a fenti következmény feltételei teljesülnek, tehát a mennyiség közelítő értékeként a vehetjük egy valószínűségi változó "megvalósítását".
kísérletünkben (amely egy sorozatból áll n mérések), azaz.

Nagy számú méréssel gyakorlatilag megbízható jó pontosság számításokat ezzel a képlettel. Ez indokolja azt a gyakorlati elvet, hogy nagyszámú mérés mellett ezek számtani középértéke gyakorlatilag nem sokban tér el a mért mennyiség valódi értékétől.

A matematikai statisztikában széles körben használt „mintavételi” módszer a nagy számok törvényén alapul, amely lehetővé teszi objektív jellemzőinek elfogadható pontosságú meghatározását egy valószínűségi változó viszonylag kis értékéből. De erről a következő részben lesz szó.

Példa. Azon a mérőeszközön, amely nem okoz szisztematikus torzítást, egy bizonyos mennyiséget mérnek a egyszer (kapott értéket x 1 ), majd még 99 alkalommal (az értékek x 2 , … , X 100 ). A mérés valódi értékéhez a először vegye le az első mérés eredményét
, majd az összes mérés számtani középértéke
. A készülék mérési pontossága olyan, hogy a mérés szórása σ ne legyen nagyobb 1-nél (mivel a szórás D=σ 2 szintén nem haladja meg az 1-et). Mindegyik mérési módszernél becsülje meg annak valószínűségét, hogy a mérési hiba nem haladja meg a 2-t.

Megoldás. Legyen r.v. x- műszer leolvasása egyetlen méréshez. Aztán feltételek szerint M(X)=a. A feltett kérdések megválaszolásához az általánosított Csebisev-egyenlőtlenséget alkalmazzuk

ε számára =2 először azért n=1 majd azért n=100 . Az első esetben azt kapjuk
, és a másodikban. Így a második eset gyakorlatilag garantálja az adott mérési pontosságot, míg az első ilyen értelemben komoly kételyeket hagy maga után.

Alkalmazzuk a fenti állításokat a Bernoulli-sémában felmerülő valószínűségi változókra. Emlékezzünk vissza ennek a rendszernek a lényegére. Hagyd előállítani n független tesztek, amelyek mindegyikében valamilyen esemény DE azonos valószínűséggel jelenhetnek meg R, a q=1–r(értelemszerűen ez az ellenkező esemény valószínűsége - nem egy esemény bekövetkezése DE) . Töltsünk el egy kis számot n ilyen tesztek. Tekintsük a véletlen változókat: x 1 – az esemény előfordulásának száma DE ban ben 1 teszt,..., x n– az esemény előfordulásának száma DE ban ben n teszt. Minden bemutatott r.v. értékeket vehet fel 0 vagy 1 (esemény DE megjelenhet a tesztben vagy sem), és az érték 1 feltételesen elfogadják minden kísérletben valószínűséggel p(egy esemény bekövetkezésének valószínűsége DE minden tesztben), és az értéket 0 valószínűséggel q= 1 – p. Ezért ezeknek a mennyiségeknek ugyanazok az eloszlási törvényei:

x 1

x n

Ezért ezeknek a mennyiségeknek és diszperzióiknak az átlagértékei is megegyeznek: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= p ; D(x 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(x n )= p ∙ q . Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük az általánosított Csebisev-egyenlőtlenségbe, azt kapjuk

Nyilvánvaló, hogy az r.v. x=x 1 +…+X n az esemény előfordulásának száma DE mindenben n próbák (ahogy mondják - "a sikerek száma"). n tesztek). Engedd be a n teszt esemény DE megjelent k tőlük. Ekkor az előző egyenlőtlenség így írható fel

De a nagyságrend
, egyenlő az esemény előfordulásai számának arányával DE ban ben n független kísérletek, a korábban relatív eseményaránynak nevezett kísérletek teljes számához DE ban ben n tesztek. Ezért egyenlőtlenség van

Áthaladva most a határig: n→∞, azt kapjuk
, azaz
(valószínűség szerint). Ez a tartalma a nagy számok törvényének Bernoulli alakjában. Ebből az következik, hogy kellően nagy számú próbához n a relatív gyakoriság tetszőlegesen kis eltérései
az eseményeket annak valószínűségétől R szinte biztos események, és a nagy eltérések szinte lehetetlenek. Az ebből eredő következtetés a relatív frekvenciák ilyen stabilitásáról (amelyre korábban úgy hivatkoztunk). kísérleti tény) egy esemény valószínűségének korábban bevezetett statisztikai definícióját olyan számként indokolja, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik.

Figyelembe véve, hogy a kifejezés p∙ q= p∙(1− p)= p− p 2 nem haladja meg a váltási intervallumon
(ezt könnyű ellenőrizni, ha ezen a szegmensen megtaláljuk ennek a függvénynek a minimumát), a fenti egyenlőtlenségből
könnyű megszerezni

amelyet a megfelelő problémák megoldására használunk (az egyiket az alábbiakban közöljük).

Példa. Az érmét 1000-szer dobták fel. Becsüljük meg annak valószínűségét, hogy a címer megjelenésének relatív gyakoriságának a valószínűségétől való eltérése kisebb lesz 0,1-nél!

Megoldás. Az egyenlőtlenség alkalmazása
nál nél p= q=1/2 , n=1000 , ε=0,1, kapunk .

Példa. Becsülje meg annak valószínűségét, hogy az előző példa feltételei mellett a szám k az elejtett címerek közül a tartományba kerül 400 előtt 600 .

Megoldás. Állapot 400< k<600 azt jelenti, hogy 400/1000< k/ n<600/1000 , azaz 0.4< W n (A)<0.6 vagy
. Ahogy az előző példából láttuk, egy ilyen esemény valószínűsége legalábbis 0.975 .

Példa. Valamely esemény valószínűségének kiszámítása DE 1000 kísérletet végeztek, amelyben az esemény DE 300 alkalommal jelent meg. Becsülje meg annak valószínűségét, hogy a relatív gyakoriság (300/1000=0,3) eltér a valódi valószínűségtől R legfeljebb 0,1.

Megoldás. A fenti egyenlőtlenség alkalmazása
ha n=1000, ε=0.1 , azt kapjuk.

A nagy számok törvénye

A nagy számok törvénye a valószínűségszámításban azt állítja, hogy egy fix eloszlásból származó kellően nagy véges minta tapasztalati átlaga (számtani átlaga) közel van ennek az eloszlásnak az elméleti átlagához (várakozáshoz). A konvergencia típusától függően létezik a nagy számok gyenge törvénye, amikor a valószínűség konvergenciája megy végbe, és a nagy számok erős törvénye, amikor szinte mindenhol konvergencia megy végbe.

Mindig lesz annyi kísérlet, hogy bármilyen előre meghatározott valószínűség mellett valamely esemény relatív előfordulási gyakorisága tetszőlegesen keveset fog eltérni annak valószínűségétől.

A nagy számok törvényének általános jelentése az, hogy nagyszámú véletlenszerű tényező együttes hatása a véletlentől szinte független eredményre vezet.

A véges minta elemzésén alapuló valószínűségbecslési módszerek ezen a tulajdonságon alapulnak. Jó példa erre a választási eredmények előrejelzése választói mintán végzett felmérés alapján.

A nagy számok gyenge törvénye

Legyen egy végtelen sorozat (egymást követő felsorolás) azonos eloszlású és nem korrelált valószínűségi változókból, ugyanazon a valószínűségi téren definiálva. Vagyis a kovarianciájuk. Hadd . Jelöljük az első tagok mintaátlagát:

A nagy számok erős törvénye

Legyen független azonos eloszlású valószínűségi változók végtelen sorozata, ugyanazon a valószínűségi téren definiálva. Hadd . Jelöljük az első tagok mintaátlagát:

Akkor szinte biztosan.

Lásd még

Irodalom

Shiryaev A. N. Valószínűség, - M .: Tudomány. 1989.
Chistyakov V.P. Valószínűségszámítás tanfolyam, - M., 1982.

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Oroszország mozi
Gromeka, Mihail Sztyepanovics

Nézze meg, mi a "nagy számok törvénye" más szótárakban:

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- (nagy számok törvénye) Abban az esetben, ha a populáció egyes tagjainak viselkedése erősen megkülönböztető, a csoport viselkedése átlagosan kiszámíthatóbb, mint bármely tag viselkedése. Az a tendencia, amelyben a csoportok ...... Közgazdasági szótár

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- lásd NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE. Antinazi. Szociológiai Enciklopédia, 2009... Szociológiai Enciklopédia

A nagy számok törvénye- az az elv, amely szerint a tömeges társadalmi jelenségekben rejlő mennyiségi mintázatok kellően nagy számú megfigyeléssel mutatkoznak meg a legvilágosabban. Az egyedi jelenségek érzékenyebbek a véletlenszerű és ... ... Üzleti kifejezések szószedete

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- azt állítja, hogy egyhez közeli valószínűséggel nagyszámú, megközelítőleg azonos sorrendű valószínűségi változó számtani átlaga alig fog eltérni egy állandótól, amely megegyezik e változók matematikai elvárásainak számtani átlagával. Különbség…… Földtani Enciklopédia

nagy számok törvénye- [Ja.N. Luginszkij, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, Moszkva, 1999] Elektrotechnikai témák, alapfogalmak EN törvény a nagy számok átlagtörvénye ... Műszaki fordítói kézikönyv

nagy számok törvénye- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. nagy számok törvénye vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. nagy számok törvénye, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- egy általános elv, amelynek köszönhetően a véletlenszerű tényezők együttes hatása bizonyos nagyon általános feltételek mellett a véletlentől szinte független eredményhez vezet. Egy véletlenszerű esemény előfordulási gyakoriságának konvergenciája annak valószínűségével a szám növekedésével ... ... Orosz szociológiai enciklopédia

A nagy számok törvénye- az a törvény, amely kimondja, hogy nagyszámú véletlenszerű tényező együttes hatása bizonyos nagyon általános feltételek mellett a véletlentől szinte független eredményhez vezet... Szociológia: szótár

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- a minta és a teljes sokaság statisztikai mutatóinak (paramétereinek) kapcsolatát kifejező statisztikai törvény. Egy adott mintából nyert statisztikai mutatók tényleges értékei mindig eltérnek az ún. elméleti...... Szociológia: Enciklopédia

NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE- az az elv, hogy egy bizonyos típusú pénzügyi veszteség gyakorisága nagy pontossággal előre jelezhető, ha nagyszámú hasonló típusú veszteség van ... Enciklopédikus közgazdasági és jogi szótár

Könyvek

Egy sor asztal. Matematika. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. 6 táblázat + módszertan, . A táblázatok vastag, 680 x 980 mm méretű poligrafikus kartonra vannak nyomtatva. A készlet tartalmazza a tanárok számára készült módszertani ajánlásokat tartalmazó brosúrát. 6 lapos oktatóalbum. Véletlen…

Mi a sikeres eladók titka? Ha bármelyik cég legjobb értékesítőit figyeli, észre fogja venni, hogy van bennük egy közös dolog. Mindegyikük több emberrel találkozik és több előadást tart, mint a kevésbé sikeres értékesítők. Ezek az emberek megértik, hogy az értékesítés egy számjáték, és minél több embernek mesélnek termékeikről vagy szolgáltatásaikról, annál több üzletet kötnek, ez minden. Megértik, hogy ha nem csak azokkal a kevesekkel kommunikálnak, akik határozottan igent mondanak rájuk, hanem azokkal is, akiknek nem olyan nagy az érdeklődése az ajánlatuk iránt, akkor az átlagok törvénye a javukra válik.

Az Ön bevétele az eladások számától függ, ugyanakkor egyenesen arányos lesz az előadások számával. Amint megérted és elkezded a gyakorlatba ültetni az átlagok törvényét, az új vállalkozás elindításával vagy egy új területen való munkával kapcsolatos szorongás csökkenni fog. Ennek eredményeként nőni kezd a kontroll érzése és a kereseti képességükbe vetett bizalom. Ha csak prezentációkat tart, és közben fejleszti képességeit, akkor üzletek lesznek.

Ahelyett, hogy az ügyletek számára gondolna, gondoljon a prezentációk számára. Nincs értelme reggel felkelni, vagy este hazajönni és azon töprengeni, hogy ki fogja megvenni a termékét. Ehelyett a legjobb, ha minden nap megtervezi, hány hívást kell kezdeményeznie. És akkor, nem számít, mit hívjon! Ez a megközelítés megkönnyíti a munkáját – mert ez egy egyszerű és konkrét cél. Ha tudod, hogy egy nagyon konkrét és megvalósítható cél áll előtted, könnyebben megteheted a tervezett számú hívást. Ha a folyamat során többször is „igen”-t hall, annál jobb!

Ha pedig "nem", akkor este úgy érzed, hogy őszintén megtettél mindent, amit lehetett, és nem fognak azon gondolatok gyötörni, hogy mennyi pénzt kerestél, vagy hány partnert szereztél egy nap alatt.

Tegyük fel, hogy az Ön cégében vagy vállalkozásában az átlagos értékesítő négy prezentációnként egy üzletet köt. Most képzelje el, hogy kártyákat húz egy pakliból. Minden három színből álló kártya – ásó, gyémánt és ütő – egy prezentáció, ahol professzionálisan mutat be egy terméket, szolgáltatást vagy lehetőséget. A legjobb tudásod szerint csinálod, de mégsem kötöd meg az üzletet. És minden szívkártya egy olyan üzlet, amely lehetővé teszi, hogy pénzt szerezzen vagy új társat szerezzen.

Ilyen helyzetben nem szeretnél minél több lapot húzni a pakliból? Tegyük fel, hogy felajánlják, hogy annyi kártyát húzzon, amennyit csak akar, miközben fizet, vagy új társat javasol minden alkalommal, amikor szívkártyát húz. Lelkesen kezdesz kártyákat húzni, alig veszed észre, milyen színű kártyát húztak ki.

Tudod, hogy egy ötvenkét lapból álló pakliban tizenhárom szív található. És két pakliban - huszonhat szívkártya és így tovább. Csalódni fog, ha ásót, gyémántot vagy ütőt rajzol? Természetesen nem! Csak azt gondolnád, hogy minden ilyen „kisasszony” közelebb visz – mihez? A szívek kártyájára!

De tudod mit? Ezt az ajánlatot már megkaptad. Egyedülálló helyzetben vagy, hogy annyit keress, amennyit csak akarsz, és annyi szívkártyát húzhatsz, amennyit csak szeretnél. És ha csak lelkiismeretesen "húzol kártyákat", fejleszted a képességeidet és elviselsz egy kis ásót, gyémántot és ütőt, akkor kiváló eladó leszel és sikeres leszel.

Az egyik dolog, ami annyira szórakoztatóvá teszi az eladást, hogy minden alkalommal, amikor megkevered a paklit, a kártyák másképp keverednek. Néha az összes szív a pakli elejére kerül, és egy sikeres sorozat után (amikor már úgy tűnik számunkra, hogy soha nem fogunk veszíteni!) egy hosszú sor eltérő színû lapra várunk. Egy másik alkalommal pedig, hogy eljuss az első szívhez, végtelen számú ásón, ütőn és tamburán kell keresztülmenned. És néha a különböző színű kártyák szigorúan sorra esnek ki. De mindenesetre minden ötvenkét lapból álló pakliban, bizonyos sorrendben, mindig tizenhárom szív található. Csak húzza ki a kártyákat, amíg meg nem találja őket.

Feladó: Leylya,

A nagy számok törvénye a valószínűségszámításban azt állítja, hogy egy fix eloszlásból származó kellően nagy véges minta tapasztalati átlaga (számtani átlaga) közel van ennek az eloszlásnak az elméleti átlagához (várakozáshoz). A konvergencia típusától függően megkülönböztetjük a nagy számok gyenge törvényét, amikor a valószínűség konvergenciája van, és a nagy számok erős törvényét, amikor szinte mindenhol konvergencia van.

Mindig van véges számú kísérlet, amelyre adott valószínűséggel kisebb, mint 1 valamely esemény relatív előfordulási gyakorisága tetszőlegesen kevéssé fog eltérni annak valószínűségétől.

A nagy számok törvényének általános jelentése: nagyszámú azonos és független véletlentényező együttes hatása olyan eredményre vezet, amely határértékben nem a véletlentől függ.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ A nagy számok törvénye

✪ 07 – Valószínűségszámítás. A nagy számok törvénye

✪ 42 A nagy számok törvénye

✪ 1 – Csebisev nagy számok törvénye

✪ 11. évfolyam, 25. lecke, Gauss-görbe. A nagy számok törvénye

Feliratok

Vessünk egy pillantást a nagy számok törvényére, amely talán a legintuitívabb törvény a matematikában és a valószínűségszámításban. És mivel nagyon sok mindenre vonatkozik, néha használják és félreértik. Hadd adjam meg először a pontosság definícióját, aztán beszéljünk az intuícióról. Vegyünk egy valószínűségi változót, mondjuk X. Tegyük fel, hogy ismerjük a matematikai elvárásait vagy a populációs átlagát. A nagy számok törvénye egyszerűen azt mondja, hogy ha egy valószínűségi változó n-edik számú megfigyelésének példáját vesszük, és ezeknek a megfigyeléseknek a számát átlagoljuk... Vegyünk egy változót. Nevezzük X-nek n alsó indexszel és kötőjellel a tetején. Ez a valószínűségi változónk n-edik számú megfigyelésének számtani átlaga. Íme az első megfigyelésem. Egyszer megcsinálom a kísérletet, és megteszem ezt a megfigyelést, majd megismétlem, és megteszem ezt a megfigyelést, újra megcsinálom és ezt kapom. Ezt a kísérletet n-szer lefuttatom, majd elosztom a megfigyeléseim számával. Itt van a mintaátlagom. Itt van az általam végzett összes megfigyelés átlaga. A nagy számok törvénye azt mondja, hogy a minta átlaga megközelíti a valószínűségi változó átlagát. Vagy azt is leírhatom, hogy a mintaátlagom megközelíti a végtelenbe tartó n-edik szám populációs átlagát. Nem teszek egyértelmű különbséget a "közelítés" és a "konvergencia" között, de remélem, intuitívan megértitek, hogy ha itt elég nagy mintát veszek, akkor a populáció egészére nézve megkapom a várható értéket. Azt hiszem, a legtöbben intuitív módon megértik, hogy ha elég sok tesztet végzek el sok példával, akkor a tesztek végül azt az értékeket fogják megadni, amelyeket elvárok, figyelembe véve a matematikai elvárásokat, valószínűségeket és minden mást. De azt hiszem, gyakran nem világos, miért történik ez. És mielőtt elkezdeném magyarázni, miért van ez így, hadd mondjak egy konkrét példát. A nagy számok törvénye azt mondja, hogy... Tegyük fel, hogy van egy X valószínűségi változó. Ez egyenlő a fejek számával a helyes érme 100 feldobásakor. Először is ismerjük ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását. Ez az érmefeldobások vagy kihívások száma szorozva bármely kihívás sikerének esélyével. Tehát egyenlő 50-nel. Vagyis a nagy számok törvénye azt mondja, hogy ha mintát veszünk, vagy ha átlagolom ezeket a próbákat, akkor megkapom. .. Amikor először csinálok tesztet, feldobok egy érmét 100-szor, vagy veszek egy doboz száz érmét, megrázom, majd megszámolom, hány fejet kapok, és megkapom mondjuk az 55-ös számot. X1. Aztán újra megrázom a dobozt, és a 65-ös számot kapom. Aztán megint - és 45-öt kapok. És ezt n-szer megcsinálom, majd elosztom a próbálkozások számával. A nagy számok törvénye azt mondja nekünk, hogy ez az átlag (az összes megfigyelésem átlaga) 50-re, míg n a végtelenre hajlik. Most egy kicsit arról szeretnék beszélni, hogy miért történik ez. Sokan úgy gondolják, hogy ha 100 próba után átlagon felüli az eredményem, akkor a valószínűség törvényei szerint több-kevesebb fejnek kell lennie ahhoz, hogy úgymond kompenzáljam a különbséget. Nem pontosan ez fog történni. Ezt gyakran "szerencsejátékos tévedésnek" nevezik. Hadd mutassam meg a különbséget. A következő példát fogom használni. Hadd rajzoljak egy grafikont. Változtassuk meg a színt. Ez n, az én x tengelyem n. Ennyi tesztet fogok futtatni. És az én y tengelyem lesz a minta átlaga. Tudjuk, hogy ennek a tetszőleges változónak az átlaga 50. Hadd rajzoljam ezt le. Ez 50. Térjünk vissza példánkhoz. Ha n... Az első tesztem során 55-öt kaptam, ami az átlagom. Csak egy adatbeviteli pontom van. Aztán két próba után 65-öt kapok. Tehát az átlagom 65+55 osztva 2-vel. Ez 60. És az átlagom felment egy kicsit. Aztán 45-öt kaptam, ami megint csökkentette a számtani átlagomat. Nem fogok 45-öt ábrázolni a diagramon, most átlagolnom kell az egészet. Mit jelent 45+65? Hadd számítsam ki ezt az értéket a pont ábrázolásához. Ez 165 osztva 3-mal. Ez 53. Nem, 55. Tehát az átlag ismét 55-re csökken. Folytathatjuk ezeket a teszteket. Miután elvégeztünk három próbát, és ezt az átlagot kihoztuk, sokan azt gondolják, hogy a valószínűség istenei megcsinálják, hogy a jövőben kevesebb lesz a fejünk, hogy a következő néhány próba alacsonyabb lesz az átlag csökkentése érdekében. De ez nem mindig van így. A jövőben a valószínűség mindig ugyanaz marad. Annak a valószínűsége, hogy fejet fogok dobni, mindig 50%. Nem mintha eleinte bizonyos számú fejet kapok, többet, mint amire számítottam, aztán hirtelen kiesik a farok. Ez a "játékos tévedése". Ha aránytalanul sok fejet kap, az nem jelenti azt, hogy egy ponton aránytalanul sok farok fog hullani. Ez nem teljesen igaz. A nagy számok törvénye azt mondja, hogy ez nem számít. Mondjuk, bizonyos véges számú próbálkozás után az átlagod... Ennek elég kicsi a valószínűsége, de mégis... Tegyük fel, hogy az átlagod eléri ezt a 70-et. Azt gondolod: "Hűha, túlléptünk a várakozáson." De a nagy számok törvénye szerint nem mindegy, hány tesztet futtatunk le. Még mindig végtelen számú próba vár ránk. Ennek a végtelen számú próbának a matematikai elvárása, különösen egy ilyen helyzetben, a következő lesz. Ha olyan véges számhoz jutunk, amely valamilyen nagy értéket fejez ki, egy végtelen szám, amely konvergál vele, ismét a várt értékhez vezet. Ez persze nagyon laza értelmezés, de ezt mondja nekünk a nagy számok törvénye. Fontos. Azt nem mondja nekünk, hogy ha sok fejünk lesz, akkor valahogy megnő az esélye annak, hogy farkokat kapjunk, hogy ezt kompenzálja. Ez a törvény azt mondja nekünk, hogy mindegy, mi lesz az eredmény véges számú próbával, amíg még végtelen számú próba áll előtted. És ha eleget készítesz belőlük, ismét visszatérsz a várthoz. Ez egy fontos szempont. Gondolkozz el róla. De ezt a gyakorlatban nem használják naponta a lottóknál és kaszinóknál, pedig köztudott, hogy ha elég tesztelsz... Akár ki is számolhatjuk... mennyi a valószínűsége, hogy komolyan eltérünk a normától? De a kaszinók és a lottó minden nap azon az elven működnek, hogy ha elég embert viszel el, persze rövid időn belül, kis mintával, akkor páran megütik a főnyereményt. De hosszú távon a kaszinó mindig profitál azokból a játékok paramétereiből, amelyekre meghívják Önt. Ez egy fontos valószínűségi elv, amely intuitív. Bár néha, amikor ezt formálisan véletlenszerű változókkal magyarázzák el, mindez kissé zavarónak tűnik. Ez a törvény csak annyit mond, hogy minél több minta van, annál inkább konvergál ezeknek a mintáknak a számtani átlaga a valódi átlaghoz. És hogy pontosabbak legyünk, a minta számtani középértéke konvergál egy valószínűségi változó matematikai elvárásával. Ez minden. Találkozunk a következő videóban!

A nagy számok gyenge törvénye

A nagy számok gyenge törvényét Bernoulli tételének is nevezik Jacob Bernoulli után, aki 1713-ban bebizonyította.

Legyen egy végtelen sorozat (egymást követő felsorolás) azonos eloszlású és korrelálatlan valószínűségi változókból. Vagyis a kovarianciájuk c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\all i\not =j). Hadd . Jelölje az első mintaátlagával n (\displaystyle n) tagok:

Akkor X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Vagyis minden pozitívumra ε (\displaystyle \varepsilon )

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

A nagy számok erős törvénye

Legyen független azonos eloszlású valószínűségi változók végtelen sorozata ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) egy valószínűségi téren van meghatározva (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Hadd E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\all i\in \mathbb (N) ). Jelölje X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) az első mintaátlaga n (\displaystyle n) tagok:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Akkor X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) szinte mindig.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ jobb)=1.) .

Mint minden matematikai törvény, a nagy számok törvénye is csak ismert feltevések mellett alkalmazható a való világra, aminek csak bizonyos fokú pontossággal lehet megfelelni. Így például az egymást követő tesztek feltételei gyakran nem tarthatók fenn a végtelenségig és abszolút pontossággal. Ráadásul a nagy számok törvénye csak arról beszél valószínűtlenség az átlagérték szignifikáns eltérése a matematikai elvárástól.

Az átlagérték a legáltalánosabb mutató a statisztikákban. Ez annak köszönhető, hogy felhasználható a populáció jellemzésére egy mennyiségileg változó tulajdonság szerint. Például két vállalkozás dolgozóinak bérének összehasonlításához nem vehető két konkrét munkavállaló bére, mivel ez változó mutatóként működik. A vállalkozásoknál kifizetett bérek teljes összegét sem lehet figyelembe venni, mivel az a foglalkoztatottak számától függ. Ha az egyes vállalkozások teljes bérét elosztjuk az alkalmazottak számával, összehasonlíthatjuk őket, és megállapíthatjuk, hogy melyik vállalkozásnál magasabb az átlagbér.

Vagyis a vizsgált munkavállalói sokaság bére általánosított jellemzőt kap az átlagértékben. Kifejezi azt az általánost és jellemzőt, ami a vizsgált tulajdonsággal kapcsolatban a dolgozók összességére jellemző. Ebben az értékben ennek az attribútumnak az általános mértékét mutatja, amely a sokaság egységeire vonatkozóan eltérő értékű.

Az átlagérték meghatározása. A statisztikák átlagértéke hasonló jelenségek halmazának általánosított jellemzője valamilyen mennyiségileg változó tulajdonság szerint. Az átlagos érték ennek a tulajdonságnak a szintjét mutatja a népességegységhez viszonyítva. Az átlagérték segítségével különböző jellemzők (egy főre jutó jövedelem, terméshozam, termelési költségek a különböző vállalkozásoknál) szerint lehet különböző aggregátumokat egymással összehasonlítani.

Az átlagérték mindig általánosítja annak a tulajdonságnak a mennyiségi variációját, amellyel a vizsgált populációt jellemzjük, és amely a populáció minden egységében egyformán benne van. Ez azt jelenti, hogy bármely átlagérték mögött mindig ott van a sokaság egységeinek valamilyen változó tulajdonság szerinti eloszlási sorozata, pl. variációs sorozat. Ebben a tekintetben az átlagérték alapvetően eltér a relatív értékektől és különösen az intenzitásmutatóktól. Az intenzitásmutató két különböző aggregátum volumenének aránya (például az egy főre jutó GDP termelése), míg az átlagos az aggregátum elemeinek jellemzőit az egyik jellemző szerint általánosítja (például az átlag munkás bére).

Középérték és a nagy számok törvénye. Az átlagos mutatók változásában egy általános tendencia mutatkozik meg, melynek hatására a jelenségek egészének fejlődési folyamata kialakul, míg egyedi egyedi esetekben ez a tendencia nem nyilvánul meg egyértelműen. Fontos, hogy az átlagok a tények tömeges általánosításán alapuljanak. Csak ilyen feltételek mellett mutatják meg a folyamat egészének alapjául szolgáló általános tendenciát.

A nagy számok törvényének lényege és jelentősége az átlagok szempontjából a megfigyelések számának növekedésével egyre teljesebbé válik. Vagyis a nagy számok törvénye feltételeket teremt ahhoz, hogy egy változó tulajdonság tipikus szintje megjelenjen az átlagértékben meghatározott hely- és időviszonyok között. Ennek a szintnek az értékét ennek a jelenségnek a lényege határozza meg.

Átlagok típusai. A statisztikában használt átlagértékek a hatalmi átlagok osztályába tartoznak, amelynek általános képlete a következő:

ahol x a hatványátlag;

X - az attribútum értékeinek megváltoztatása (opciók)

- szám opció

Az átlag kitevője;

Összegzés jele.

Az átlag kitevőjének különböző értékeihez különböző típusú átlagokat kapunk:

Számtani átlaga;

Közepes négyzet;

Átlagos köbméter;

Átlagos harmonikus;

Geometriai átlag.

A különböző típusú átlagok eltérő jelentéssel bírnak, ha ugyanazt a forrásstatisztikát használjuk. Ugyanakkor minél nagyobb az átlag kitevője, annál nagyobb az értéke.

A statisztikában a sokaság helyes jellemzését minden egyes esetben csak egy teljesen határozott típusú átlagérték adja. Az ilyen típusú átlagérték meghatározásához egy olyan kritériumot használnak, amely meghatározza az átlag tulajdonságait: az átlagérték csak akkor lesz a sokaság valódi általánosító jellemzője a változó tulajdonság szerint, amikor az összes változatot az átlaggal helyettesítjük. érték, a változó attribútum teljes mennyisége változatlan marad. Vagyis az átlag helyes típusát az határozza meg, hogy hogyan alakul ki a változó jellemző össztérfogata. Így a számtani átlagot akkor használjuk, ha a változó jellemző térfogata az egyes opciók összegeként, a középnégyzet - ha a változó jellemző térfogata négyzetek összegeként, a harmonikus átlag - az egyes opciók összegeként alakul ki. az egyes opciók reciprok értékei, a geometriai átlag - mint az egyes opciók szorzata. A statisztikák átlagértékei mellett

Egy változó jellemző eloszlásának leíró jellemzőit (strukturális átlagok), módus (a leggyakoribb változat) és medián (középső változat) használjuk.