Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը կրկնապատկվում է: Խնդիրներ հավանականության տեսության մեջ. Համակցված թվարկման մեթոդ

Առաջադրանքի ձևակերպում.Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները (պոչերը) չեն ընկնի նույնիսկ մեկ անգամ (այն կընկնի ճշգրիտ / առնվազն 1, 2 անգամ):

Առաջադրանքը ներառված է 11-րդ դասարանի 10-րդ դասարանի հիմնական մակարդակի մաթեմատիկայի USE-ում (Հավանականության դասական սահմանում):

Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները օրինակներով։

Առաջադրանք 1 օրինակ.

Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները երբեք չեն բարձրանում:

OO OR RO RR

Ընդհանուր առմամբ կա 4 նման համակցություն, որոնցից մեզ հետաքրքրում են միայն նրանք, որոնցում ոչ մի արծիվ չկա։ Կա միայն մեկ նման համադրություն (PP):

P = 1 / 4 = 0,25

Պատասխան՝ 0,25

Առաջադրանք 2 օրինակ.

Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ այն ուղիղ երկու անգամ բարձրանա:

Հաշվի առեք բոլոր հնարավոր համակցությունները, որոնք կարող են ընկնել, եթե մետաղադրամը երկու անգամ նետվի: Հարմարության համար արծիվը կնշանակենք O տառով, իսկ պոչերը՝ P տառով.

OO OR RO RR

Ընդհանուր առմամբ կա 4 նման կոմբինացիա, մեզ հետաքրքրում են միայն այն համակցությունները, որոնցում գլուխները հայտնվում են ուղիղ 2 անգամ։ Կա միայն մեկ նման համակցություն (OO):

P = 1 / 4 = 0,25

Պատասխան՝ 0,25

Առաջադրանք 3 օրինակ.

Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ այն ճիշտ մեկ անգամ բարձրանա:

Հաշվի առեք բոլոր հնարավոր համակցությունները, որոնք կարող են ընկնել, եթե մետաղադրամը երկու անգամ նետվի: Հարմարության համար արծիվը կնշանակենք O տառով, իսկ պոչերը՝ P տառով.

OO OR RO RR

Ընդհանուր առմամբ կա 4 նման համակցություն, որոնցից միայն նրանք են հետաքրքրվում, որոնցում գլուխները դուրս են ընկել ուղիղ 1 անգամ։ Կան ընդամենը երկու նման համակցություններ (OP և RO):

Պատասխան՝ 0,5

Առաջադրանք 4 օրինակ.

Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները գոնե մեկ անգամ կբարձրանան:

Հաշվի առեք բոլոր հնարավոր համակցությունները, որոնք կարող են ընկնել, եթե մետաղադրամը երկու անգամ նետվի: Հարմարության համար արծիվը կնշանակենք O տառով, իսկ պոչերը՝ P տառով.

OO OR RO RR

Ընդհանուր առմամբ նման 4 կոմբինացիա կա, մեզ հետաքրքրում են միայն այն կոմբինացիաները, որոնցում գլուխները գոնե մեկ անգամ դուրս են ընկնում։ Կան ընդամենը երեք նման համակցություններ (OO, OR և RO):

P = 3 / 4 = 0,75

Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամ են նետում...

Որպես նախաբան.
Բոլորը գիտեն, որ մետաղադրամն ունի երկու կողմ՝ գլուխ և պոչ:
Դրամագետները կարծում են, որ մետաղադրամն ունի երեք կողմ՝ դիմերես, դարձերես և ծայր։
Եվ նրանց մեջ, և ի թիվս այլոց, քչերը գիտեն, թե ինչ է սիմետրիկ մետաղադրամը: Բայց նրանք գիտեն այդ մասին (լավ, կամ պետք է իմանան :), նրանք, ովքեր պատրաստվում են քննությանը:

Ընդհանուր առմամբ, այս հոդվածը կկենտրոնանա անսովոր մետաղադրամ, որը ոչ մի կապ չունի դրամագիտության հետ, բայց, միևնույն ժամանակ, ամենահայտնի մետաղադրամն է դպրոցականների շրջանում։

Այսպիսով.
Սիմետրիկ մետաղադրամ- սա երևակայական մաթեմատիկորեն իդեալական մետաղադրամ է՝ առանց չափի, քաշի, տրամագծի և այլն։ Արդյունքում, այդպիսի մետաղադրամը նույնպես եզր չունի, այսինքն՝ այն իսկապես ունի միայն երկու կողմ։ Սիմետրիկ մետաղադրամի հիմնական հատկությունն այն է, որ նման պայմաններում գլուխների կամ պոչերի ընկնելու հավանականությունը միանգամայն նույնն է։ Եվ նրանք հայտնվեցին սիմետրիկ մետաղադրամ մտքի փորձերի համար:
Սիմետրիկ մետաղադրամի ամենահայտնի խնդիրը հնչում է այսպես. «Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է երկու անգամ (երեք անգամ, չորս անգամ և այլն): Պահանջվում է որոշել կողմերից մեկի ընկնելու հավանականությունը: որոշակի քանակությամբ անգամ:

Խնդրի լուծումը սիմետրիկ մետաղադրամով

Հասկանալի է, որ նետվելու արդյունքում մետաղադրամը կընկնի կամ գլխով, կամ պոչով։ Քանի անգամ - կախված է նրանից, թե քանի նետում պետք է կատարվի: Գլուխներ կամ պոչեր ստանալու հավանականությունը հաշվարկվում է պայմանը բավարարող արդյունքների թիվը հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թվի վրա բաժանելով։

Մեկ նետում

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Կամ գլուխներ են բարձրանալու, կամ պոչեր: Նրանք. ունենք երկու հնարավոր ելք, որոնցից մեկը մեզ բավարարում է՝ 1/2=50%

Երկու նետում

Երկու նետումների համար կարող է ընկնել.
երկու արծիվ
երկու պոչ
գլուխները, ապա պոչերը
պոչերը, ապա գլուխները
Նրանք. միայն չորս տարբերակ է հնարավոր. Մեկից ավելի նետումով խնդիրներն ամենահեշտն են լուծվում՝ կազմելով հնարավոր տարբերակների աղյուսակ: Պարզության համար եկեք գլուխները նշանակենք «0», իսկ պոչերը՝ «1»: Այնուհետև հնարավոր արդյունքների աղյուսակը կունենա հետևյալ տեսքը.
00
01
10
11
Եթե, օրինակ, պետք է գտնել այն հավանականությունը, որ գլուխները մեկ անգամ են ընկնելու, ապա պարզապես անհրաժեշտ է հաշվել աղյուսակում հարմար տարբերակների քանակը, այսինքն. այն տողերը, որտեղ արծիվը հայտնվում է մեկ անգամ: Նման երկու տող կա. Այսպիսով, սիմետրիկ մետաղադրամի երկու նետում մեկ գլուխ ստանալու հավանականությունը 2/4=50% է:
Երկու նետումով երկու անգամ գլուխ ստանալու հավանականությունը 1/4=25% է

Երեք վարդեր

Մենք պատրաստում ենք ընտրանքների աղյուսակ.
000
001
010
011
100
101
110
111
Նրանք, ովքեր ծանոթ են երկուական հաշվարկին, հասկանում են, թե ինչի ենք հասել: :) Այո, դրանք երկուական թվեր են «0»-ից մինչև «7»: Այս կերպ ավելի հեշտ է չշփոթել տարբերակների հետ։
Լուծենք խնդիրը նախորդ պարբերությունից՝ հաշվարկում ենք արծվի մեկ անգամ ընկնելու հավանականությունը։ Կան երեք տող, որտեղ «0»-ը հայտնվում է մեկ անգամ: Այսպիսով, սիմետրիկ մետաղադրամի երեք նետում մեկ գլուխ ստանալու հավանականությունը 3/8=37,5% է:
Հավանականությունը, որ երեք նետումով գլուխները երկու անգամ դուրս կգան, 3/8=37,5% է, այսինքն. բացարձակապես նույնը.
Հավանականությունը, որ երեք նետումով գլուխը երեք անգամ դուրս կգա, 1/8 = 12,5% է:

Չորս նետում

Մենք պատրաստում ենք ընտրանքների աղյուսակ.
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Գլուխների հավանականությունը մեկ անգամ է առաջանում: Միայն երեք տող կա, որտեղ «0»-ը լինում է մեկ անգամ, ինչպես երեք նետումների դեպքում: Բայց, արդեն տասնվեց տարբերակ կա։ Այսպիսով, սիմետրիկ մետաղադրամի չորս նետում մեկ գլուխ ստանալու հավանականությունը 3/16=18,75% է:
Երեք նետումներում արծվի երկու անգամ դուրս ընկնելու հավանականությունը 6/8=75% է։
Հավանականությունը, որ երեք ցատկումով գլուխները երեք անգամ բարձրանան, 4/8=50% ​​է։

Այսպիսով, նետումների քանակի ավելացմամբ, խնդրի լուծման սկզբունքը բոլորովին չի փոխվում, միայն, համապատասխան առաջընթացի դեպքում, ավելանում է տարբերակների քանակը:

Հավանականությունների տեսության մեջ կա խնդիրների մի խումբ, որոնց լուծման համար բավական է իմանալ հավանականության դասական սահմանումը և պատկերացնել առաջարկվող իրավիճակը։ Այս խնդիրները մետաղադրամ նետելու և զառ նետելու խնդիրներն են: Հիշեք հավանականության դասական սահմանումը:

Իրադարձության հավանականությունը Ա (թվային արտահայտությամբ տեղի ունեցող իրադարձության օբյեկտիվ հնարավորությունը) հավասար է այս իրադարձության համար նպաստավոր արդյունքների թվի հարաբերակցությանը բոլոր հավասարապես հնարավոր անհամատեղելի տարրական արդյունքների ընդհանուր թվին. P(A)=m/n, որտեղ:

• m-ը տարրական փորձարկման արդյունքների թիվն է, որոնք նպաստում են A դեպքի առաջացմանը.
• n-ը բոլոր հնարավոր տարրական թեստի արդյունքների ընդհանուր թիվն է:

Բոլոր հնարավոր տարբերակների (համակցությունների) թվարկումով և ուղղակի հաշվարկով հարմար է որոշել հնարավոր տարրական թեստի արդյունքների և քննարկվող խնդիրների մեջ բարենպաստ արդյունքների քանակը:

Աղյուսակից տեսնում ենք, որ հնարավոր տարրական արդյունքների թիվը n=4 է։ Իրադարձության բարենպաստ ելքերը A = (արծիվը 1 անգամ դուրս է ընկնում) համապատասխանում են փորձի 2-րդ և 3-րդ տարբերակներին, այդպիսի երկու տարբերակ կա m=2:
Գտե՛ք իրադարձության հավանականությունը Р(А)=m/n=2/4=0,5

Առաջադրանք 2 . Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները երբեք չեն բարձրանա:

Լուծում . Քանի որ մետաղադրամը նետվում է երկու անգամ, ուրեմն, ինչպես 1-ին խնդիրում, հնարավոր տարրական ելքերի թիվը n=4 է։ Իրադարձության բարենպաստ արդյունքները A = (արծիվը նույնիսկ մեկ անգամ չի ընկնի) համապատասխանում է փորձի թիվ 4 տարբերակին (տե՛ս աղյուսակը 1-ին առաջադրանքում): Նման տարբերակ կա միայն մեկ, ուրեմն m=1։
Գտե՛ք իրադարձության հավանականությունը Р(А)=m/n=1/4=0,25

Առաջադրանք 3 . Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ այն ուղիղ 2 անգամ բարձրանա:

Լուծում . Հնարավոր տարբերակներերեք մետաղադրամ նետում (գլուխների և պոչերի բոլոր հնարավոր համակցությունները) ներկայացված են աղյուսակի տեսքով.

Աղյուսակից տեսնում ենք, որ հնարավոր տարրական արդյունքների թիվը n=8 է։ Իրադարձության բարենպաստ արդյունքները A = (գլուխները 2 անգամ) համապատասխանում են փորձի 5, 6 և 7 տարբերակներին: Նման երեք տարբերակ կա, ուրեմն m=3։
Գտե՛ք իրադարձության հավանականությունը Р(А)=m/n=3/8=0,375

Առաջադրանք 4 . Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը չորս անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ այն ուղիղ 3 անգամ բարձրանա:

Լուծում . Չորս մետաղադրամ նետելու հնարավոր տարբերակները (գլուխների և պոչերի բոլոր հնարավոր համակցությունները) ներկայացված են աղյուսակի տեսքով.

Աղյուսակից տեսնում ենք, որ հնարավոր տարրական արդյունքների թիվը n=16 է։ Իրադարձության բարենպաստ ելքերը A = (արծիվը դուրս է ընկնում 3 անգամ) համապատասխանում են փորձի 12, 13, 14 և 15 տարբերակներին, ինչը նշանակում է m=4։
Գտե՛ք իրադարձության հավանականությունը Р(А)=m/n=4/16=0,25

Հավանականության որոշում զառախնդիրների մեջ

Առաջադրանք 5 . Որոշեք հավանականությունը, որ զառը (ճիշտ ձիթապտղի) նետելիս 3-ից ավելի միավոր կթափվի:

Լուծում . Զառ նետելիս (սովորական մեռնում) նրա վեց երեսներից որևէ մեկը կարող է դուրս ընկնել, այսինքն. տեղի ունենալ տարրական իրադարձություններից որևէ մեկը՝ կորուստ 1-ից մինչև 6 միավոր (միավոր): Այսպիսով, հնարավոր տարրական արդյունքների թիվը n=6 է:
Իրադարձություն A = (ավելի քան 3 միավոր ընկել է) նշանակում է, որ 4, 5 կամ 6 միավոր (միավոր) դուրս է ընկել: Այսպիսով, բարենպաստ արդյունքների թիվը m=3:
Իրադարձության հավանականությունը Р(А)=m/n=3/6=0.5

Առաջադրանք 6 . Որոշե՛ք հավանականությունը, որ երբ զառը նետվում է, միավորների թիվը չի գերազանցում 4-ը: Արդյունքը կլորացրեք մինչև հազարերորդականը:

Լուծում . Զառ նետելիս նրա վեց երեսներից որևէ մեկը կարող է դուրս ընկնել, այսինքն. տեղի ունենալ տարրական իրադարձություններից որևէ մեկը՝ կորուստ 1-ից մինչև 6 միավոր (միավոր): Այսպիսով, հնարավոր տարրական արդյունքների թիվը n=6 է:
Իրադարձություն A = (ոչ ավելի, քան 4 միավոր ընկավ) նշանակում է, որ 4, 3, 2 կամ 1 միավոր (միավոր) դուրս է ընկել: Այսպիսով, բարենպաստ արդյունքների թիվը m=4:
Իրադարձության հավանականությունը Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Առաջադրանք 7 . Մահը նետվում է երկու անգամ: Գտե՛ք հավանականությունը, որ երկու թվերն էլ 4-ից փոքր են:

Լուծում . Որովհետեւ զառախաղ(զառը) գցվում է երկու անգամ, այնուհետև մենք կվիճարկենք հետևյալ կերպ. եթե մեկ միավորը ընկավ առաջին ձողի վրա, ապա երկրորդի վրա կարող է ընկնել 1, 2, 3, 4, 5, 6: Մենք ստանում ենք զույգեր (1; 1) , (1; 2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) և այլն յուրաքանչյուր դեմքի հետ: Բոլոր դեպքերը ներկայացնում ենք 6 տողերի և 6 սյունակների աղյուսակի տեսքով.

Կհաշվարկվեն A = իրադարձության բարենպաստ արդյունքները (երկու անգամ էլ 4-ից փոքր թիվն ընկավ) (դրանք ընդգծված են թավերով) և կստանանք m=9:
Գտե՛ք իրադարձության հավանականությունը Р(А)=m/n=9/36=0,25

Առաջադրանք 8 . Մահը նետվում է երկու անգամ: Գտե՛ք հավանականությունը, որ գծված երկու թվերից ամենամեծը լինի 5։ Պատասխանը կլորացրեք մոտակա հազարերորդականին։

Լուծում . Զառի երկու նետման բոլոր հնարավոր արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում.

Աղյուսակից տեսնում ենք, որ հնարավոր տարրական արդյունքների թիվը n=6*6=36 է։
A = իրադարձության բարենպաստ արդյունքները (նկարված երկու թվերից ամենամեծը 5-ն է) (դրանք ընդգծված են թավ) հաշվարկվում են և ստանում ենք m=8։
Գտե՛ք իրադարձության հավանականությունը Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Առաջադրանք 9 . Մահը նետվում է երկու անգամ: Գտե՛ք հավանականությունը, որ 4-ից փոքր թիվ գլորվել է առնվազն մեկ անգամ:

Լուծում . Զառի երկու նետման բոլոր հնարավոր արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում.

Աղյուսակից տեսնում ենք, որ հնարավոր տարրական արդյունքների թիվը n=6*6=36 է։
«4-ից փոքր թիվը առնվազն մեկ անգամ դուրս է ընկել» արտահայտությունը նշանակում է «4-ից փոքր թիվ մեկ կամ երկու անգամ դուրս է ընկել», այնուհետև իրադարձության բարենպաստ արդյունքների թիվը A = (առնվազն մեկ անգամ դուրս է եկել 4-ից փոքր թիվը: ) (նրանք թավ են) m=27.
Գտե՛ք իրադարձության հավանականությունը Р(А)=m/n=27/36=0,75

Հավանականության տեսության առաջադրանքներում, որոնք ներկայացված են պետական ​​միասնական քննությունում թիվ 4 համարով, ի լրումն առաջադրանքներ կան մետաղադրամ նետելու և զառ գցելու վերաբերյալ։ Այսօր մենք կվերլուծենք դրանք։

Մետաղադրամների նետման խնդիրներ

Առաջադրանք 1.Սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է երկու անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ այն ուղիղ մեկ անգամ բարձրանա:

Նման խնդիրների դեպքում հարմար է գրել բոլոր հնարավոր արդյունքները՝ դրանք գրելով P (պոչ) և O (գլուխներ) տառերով։ Այսպիսով, OR-ի արդյունքը նշանակում է, որ առաջին նետումը բարձրացել է գլուխները, իսկ երկրորդը՝ պոչերը: Քննարկվող խնդրի դեպքում հնարավոր է 4 արդյունք՝ PP, RO, OR, OO: Հավանություն տվեք «պոչերը ճիշտ մեկ անգամ» իրադարձության 2 արդյունքի՝ RO և OR: Պահանջվող հավանականությունն է.

Պատասխան՝ 0,5:

Առաջադրանք 2.Սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները կբարձրանան ուղիղ երկու անգամ:

Ընդհանուր առմամբ, հնարավոր է 8 արդյունք՝ PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC: Հավանեք իրադարձությունը «ուղիղ երկու անգամ» 3 արդյունք՝ ROO, ORO, OOR: Պահանջվող հավանականությունն է.

Պատասխան՝ 0,375:

Առաջադրանք 3.Նախքան սկիզբը ֆուտբոլային հանդիպումըՄրցավարը մետաղադրամ է նետում՝ որոշելու, թե որ թիմը կսկսի խաղը գնդակով: Զմրուխտ թիմը երեք հանդիպում է անցկացնում տարբեր թիմեր. Գտեք հավանականությունը, որ այս խաղերում «Զմրուխտը» լոտը շահի հենց մեկ անգամ։

Այս առաջադրանքը նման է նախորդին: Թող ամեն անգամ պոչերի կորուստը նշանակի «Զմրուխտի» կողմից լոտի շահում (նման ենթադրությունը չի ազդում հավանականությունների հաշվարկի վրա)։ Այնուհետև հնարավոր է 8 արդյունք՝ PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC: Գոյություն ունի 3 արդյունք, որը նպաստում է իրադարձությանը «պոչերը գալիս են ուղիղ մեկ անգամ»՝ POO, ORO, OOP: Պահանջվող հավանականությունն է.

Պատասխան՝ 0,375:

Առաջադրանք 4. Սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ ROO-ի արդյունքը կգա (առաջին անգամ այն ​​բարձրանում է պոչերով, երկրորդ և երրորդ՝ գլուխներ):

Ինչպես նախորդ առաջադրանքներում, այստեղ էլ կան 8 արդյունք՝ PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO: ROO-ի արդյունքի հավանականությունը հավասար է.

Պատասխան՝ 0,125:

Dice Roll Խնդիրներ

Առաջադրանք 5.Զառը գցվում է երկու անգամ։ Փորձի քանի՞ տարրական արդյունք է նպաստում «միավորների գումարը 8» իրադարձությանը:

Առաջադրանք 6. Միաժամանակ նետվում են երկու զառախաղ: Գտեք հավանականությունը, որ ընդհանուրը կլինի 4: Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:

Ընդհանուր առմամբ, եթե զառեր (զառեր) են նետվում, ապա նույնքան հնարավոր ելքեր կան: Նույն թվով արդյունք է ստացվում, եթե անընդմեջ նույն ձողը նետվի:

Հետևյալ արդյունքները նպաստում են «ընդհանուր 4» իրադարձությանը. 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1: Նրանց թիվը 3 է: Ցանկալի հավանականությունը .

Կոտորակի մոտավոր արժեքը հաշվարկելու համար հարմար է օգտագործել բաժանումը անկյունով։ Այսպիսով, այն մոտավորապես հավասար է 0,083 ..., կլորացվում է հարյուրերորդական, մենք ունենք 0,08:

Պատասխան՝ 0.08

Առաջադրանք 7. Միաժամանակ նետվում են երեք զառեր: Գտեք ընդհանուր 5 միավոր ստանալու հավանականությունը։ Արդյունքը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը:

Արդյունքը կդիտարկենք որպես թվերի եռակի՝ առաջին, երկրորդ և երրորդ զառերի վրա ընկած միավորները: Ընդհանուր առմամբ, կան հավասարապես հնարավոր արդյունքներ: Հետևյալ արդյունքները նպաստում են «ընդհանուր 5»-ին. 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1: Նրանց թիվը 6 է: Ցանկալի հավանականությունը . Կոտորակի մոտավոր արժեքը հաշվարկելու համար հարմար է օգտագործել բաժանումը անկյունով։ Մոտավորապես մենք ստանում ենք 0,027 ..., կլորացվում է հարյուրերորդական, մենք ունենք 0,03: Աղբյուր «Քննության նախապատրաստում. Մաթեմատիկա. Հավանականությունների տեսություն»: Խմբագրվել է F.F. Լիսենկո, Ս.Յու. Կուլաբուխով