Միջինների օրենքը պարզ բառերով. Միջին արժեքներ. Մեծ թվերի թույլ օրենքը

Մեծ թվերի մասին բառերը վերաբերում են թեստերի քանակին. դիտարկվում են պատահական փոփոխականի մեծ թվով արժեքներ կամ մեծ թվով պատահական փոփոխականների կուտակային գործողություն: Այս օրենքի էությունը հետևյալն է. թեև անհնար է կանխատեսել, թե ինչ արժեք կընդունի մեկ պատահական փոփոխականը մեկ փորձի ժամանակ, այնուամենայնիվ, մեծ թվով անկախ պատահական փոփոխականների գործողության ընդհանուր արդյունքը կորցնում է իր պատահական բնույթը և կարող է. կարելի է կանխատեսել գրեթե հուսալի (այսինքն՝ մեծ հավանականությամբ): Օրինակ՝ անհնար է գուշակել, թե որ կողմին է ընկնելու մետաղադրամը։ Այնուամենայնիվ, եթե նետում եք 2 տոննա մետաղադրամ, ապա մեծ վստահությամբ կարելի է պնդել, որ զինանշանը վեր ընկած մետաղադրամների քաշը 1 տոննա է։

Առաջին հերթին, այսպես կոչված, Չեբիշևյան անհավասարությունը վերաբերում է մեծ թվերի օրենքին, որը առանձին թեստով գնահատում է պատահական փոփոխականի հավանականությունը, որն ընդունում է միջին արժեքից ոչ ավելի, քան տվյալ արժեքով արժեք:

Չեբիշևի անհավասարությունը. Թող Xկամայական պատահական փոփոխական է, a=M(X) , ա Դ(X) դրա ցրվածությունն է: Հետո

Օրինակ. Մեքենայի վրա մշակված թևի տրամագծի անվանական (այսինքն՝ պահանջվող) արժեքն է 5 մմ, և շեղումն այլևս չկա 0.01 (սա մեքենայի ճշգրտության հանդուրժողականությունն է): Գնահատեք հավանականությունը, որ մեկ թփի արտադրության ժամանակ դրա տրամագծի շեղումը անվանականից պակաս կլինի, քան 0,5 մմ .

Լուծում. Թող ռ.վ. X- արտադրված թփի տրամագիծը. Ըստ պայմանի, դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է անվանական տրամագծին (եթե մեքենայի տեղադրման ժամանակ համակարգված ձախողում չկա). a=M(X)=5 , և շեղումը Դ(X)≤0.01. Չեբիշևյան անհավասարության կիրառում ε = 0,5, ստանում ենք.

Այսպիսով, նման շեղման հավանականությունը բավականին մեծ է, և, հետևաբար, կարելի է եզրակացնել, որ մասի մեկանգամյա արտադրության դեպքում գրեթե վստահ է, որ տրամագծի շեղումը անվանականից չի գերազանցի. 0,5 մմ .

Հիմնականում ստանդարտ շեղումը σ բնութագրում է միջինպատահական փոփոխականի շեղում իր կենտրոնից (այսինքն՝ նրա մաթեմատիկական ակնկալիքից): Քանի որ դա միջինշեղում, ապա թեստավորման ժամանակ հնարավոր են մեծ շեղումներ (շեշտը o-ի վրա): Որքա՞ն մեծ շեղումներ են գործնականում հնարավոր: Սովորաբար բաշխված պատահական փոփոխականները ուսումնասիրելիս մենք ստացանք «երեք սիգմա» կանոնը. նորմալ բաշխված պատահական փոփոխական: X մեկ թեստումգործնականում չի շեղվում իր միջինից ավելի քան 3ս, որտեղ σ= σ(X) r.v-ի ստանդարտ շեղումն է: X. Նման կանոնը մենք հանգել ենք այն փաստից, որ մենք ստացել ենք անհավասարությունը

.

Այժմ գնահատենք դրա հավանականությունը կամայականպատահական փոփոխական Xընդունել արժեք, որը միջինից տարբերվում է ստանդարտ շեղումից ոչ ավելի, քան երեք անգամ: Չեբիշևյան անհավասարության կիրառում ε = 3սև հաշվի առնելով դա Դ(X)=ս 2 , ստանում ենք.

.

Այս կերպ, ընդհանրապեսմենք կարող ենք գնահատել պատահական փոփոխականի՝ իր միջինից շեղվելու հավանականությունը թվով ոչ ավելի, քան երեք ստանդարտ շեղումներով 0.89 , մինչդեռ նորմալ բաշխման համար այն կարելի է երաշխավորել հավանականությամբ 0.997 .

Չեբիշևի անհավասարությունը կարող է ընդհանրացվել անկախ նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների համակարգին:

Ընդհանրացված Չեբիշևի անհավասարությունը. Եթե ​​անկախ պատահական փոփոխականներ X 1 , X 2 , …, X n Մ(X ես )= աև դիսպերսիաներ Դ(X ես )= Դ, ապա

ժամը n=1 այս անհավասարությունը անցնում է վերևում ձևակերպված Չեբիշևյան անհավասարության մեջ:

Չեբիշևյան անհավասարությունը, ունենալով ինքնուրույն նշանակություն համապատասխան խնդիրների լուծման համար, օգտագործվում է այսպես կոչված Չեբիշևի թեորեմն ապացուցելու համար։ Մենք նախ նկարագրում ենք այս թեորեմի էությունը, այնուհետև տալիս ենք դրա պաշտոնական ձևակերպումը:

Թող X 1 , X 2 , …, X n– մեծ թվով անկախ պատահական փոփոխականներ՝ մաթեմատիկական ակնկալիքներով M (X 1 )=ա 1 , … , M (X n )=ա n. Թեև դրանցից յուրաքանչյուրը փորձի արդյունքում կարող է մեծ արժեք վերցնել իր միջինից (այսինքն՝ մաթեմատիկական ակնկալիքից), այնուամենայնիվ, պատահական փոփոխական.
, հավասար է նրանց թվաբանական միջինին, մեծ հավանականությամբ կվերցնի ֆիքսված թվին մոտ արժեք
(սա բոլոր մաթեմատիկական ակնկալիքների միջինն է): Սա նշանակում է հետեւյալը. Թող թեստի արդյունքում անկախ պատահական փոփոխականներ X 1 , X 2 , …, X n(դրանք շատ են!) համապատասխանաբար վերցրել են արժեքները X 1 , X 2 , …, X nհամապատասխանաբար. Այնուհետև, եթե այդ արժեքներն իրենք կարող են պարզվել, որ հեռու են համապատասխան պատահական փոփոխականների միջին արժեքներից, ապա դրանց միջին արժեքը.
հավանական է մոտ լինի
. Այսպիսով, մեծ թվով պատահական փոփոխականների թվաբանական միջինն արդեն կորցնում է իր պատահական բնույթը և կարող է կանխատեսվել մեծ ճշգրտությամբ։ Դա կարելի է բացատրել արժեքների պատահական շեղումներով X ես-ից ա եսկարող են լինել տարբեր նշանների, ուստի ընդհանուր առմամբ այդ շեղումները փոխհատուցվում են մեծ հավանականությամբ։

Թերեմա Չեբիշևա (մեծ թվերի օրենքըՉեբիշևի տեսքով): Թող X 1 , X 2 , …, X n … Զույգ անկախ պատահական փոփոխականների հաջորդականություն է, որոնց շեղումները սահմանափակված են նույն թվով: Այնուհետև, որքան էլ փոքր լինի ε թիվը, անհավասարության հավանականությունը

կամայականորեն մոտ կլինի միասնությանը, եթե թիվը nպատահական փոփոխականներ՝ բավականաչափ մեծ վերցնելու համար: Ֆորմալ առումով սա նշանակում է, որ թեորեմի պայմաններում

Կոնվերգենցիայի այս տեսակը կոչվում է հավանականության կոնվերգենցիա և նշվում է հետևյալով.

Այսպիսով, Չեբիշևի թեորեմն ասում է, որ եթե կան բավականաչափ մեծ թվով անկախ պատահական փոփոխականներ, ապա դրանց միջին թվաբանականը մեկ թեստում գրեթե անկասկած կունենա իրենց մաթեմատիկական ակնկալիքների միջինին մոտ արժեք:

Ամենից հաճախ Չեբիշևի թեորեմը կիրառվում է մի իրավիճակում, որտեղ պատահական փոփոխականներ են X 1 , X 2 , …, X n … ունեն նույն բաշխումը (այսինքն՝ բաշխման նույն օրենքը կամ հավանականության նույն խտությունը): Փաստորեն, սա նույն պատահական փոփոխականի միայն մեծ թվով դեպքեր է:

Հետևանք(ընդհանրացված Չեբիշևյան անհավասարությունից): Եթե ​​անկախ պատահական փոփոխականներ X 1 , X 2 , …, X n … ունեն նույն բաշխումը մաթեմատիկական ակնկալիքներով Մ(X ես )= աև դիսպերսիաներ Դ(X ես )= Դ, ապա

, այսինքն.
.

Ապացույցը բխում է ընդհանրացված Չեբիշևյան անհավասարությունից՝ անցնելով սահմանին որպես n→∞ .

Եվս մեկ անգամ նշում ենք, որ վերը գրված հավասարությունները չեն երաշխավորում քանակի արժեքը
հակված է աժամը n→∞. Այս արժեքը դեռևս պատահական փոփոխական է, և դրա անհատական ​​արժեքները կարող են բավականին հեռու լինել ա. Բայց այդպիսի հավանականությունը (հեռու ա) արժեքները՝ աճող nձգտում է 0-ի:

Մեկնաբանություն. Եզրակացության եզրակացությունն ակնհայտորեն վավեր է նաև ավելի ընդհանուր դեպքում, երբ անկախ պատահական փոփոխականները X 1 , X 2 , …, X n … ունեն տարբեր բաշխում, բայց նույն մաթեմատիկական ակնկալիքները (հավասար ա) և ագրեգատում սահմանափակված շեղումները: Սա հնարավորություն է տալիս կանխատեսել որոշակի մեծության չափման ճշգրտությունը, նույնիսկ եթե այդ չափումները կատարվում են տարբեր գործիքների միջոցով:

Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք այս հետևանքի կիրառումը մեծությունների չափման մեջ: Եկեք օգտագործենք ինչ-որ սարք nնույն մեծության չափումները, որոնց իրական արժեքը աիսկ մենք չգիտենք. Նման չափումների արդյունքները X 1 , X 2 , …, X nկարող են զգալիորեն տարբերվել միմյանցից (և իրական արժեքից ա) տարբեր պատահական գործոնների պատճառով (ճնշման անկում, ջերմաստիճան, պատահական թրթռում և այլն): Դիտարկենք r.v. X- գործիքի ընթերցում մեծության մեկ չափման համար, ինչպես նաև ռ.վ. X 1 , X 2 , …, X n- գործիքի ընթերցում առաջին, երկրորդ, ..., վերջին չափման ժամանակ: Այսպիսով, քանակներից յուրաքանչյուրը X 1 , X 2 , …, X n կա ընդամենը մեկ դեպք r.v. X, և հետևաբար նրանք բոլորն ունեն նույն բաշխումը, ինչ r.v. X. Քանի որ չափումների արդյունքները միմյանցից անկախ են, ռ.վ. X 1 , X 2 , …, X nկարելի է անկախ համարել։ Եթե ​​սարքը համակարգային սխալ չի տալիս (օրինակ՝ զրոն չի «տապալվում» սանդղակի վրա, զսպանակը չի ձգվում և այլն), ապա կարելի է ենթադրել, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը. M(X) = a, եւ, հետեւաբար M (X 1 ) = ... = M (X n ) = ա. Այսպիսով, վերը նշված հետևանքի պայմանները բավարարված են և հետևաբար, որպես քանակի մոտավոր արժեք. ամենք կարող ենք վերցնել պատահական փոփոխականի «իրականացումը»:
մեր փորձի մեջ (բաղկացած է մի շարքից nչափումներ), այսինքն.

.

Մեծ քանակությամբ չափումների դեպքում այն ​​գործնականում հուսալի է լավ ճշգրտությունհաշվարկներ այս բանաձևով. Սա այն գործնական սկզբունքի հիմնավորումն է, որ մեծ թվով չափումների դեպքում դրանց միջին թվաբանականը գործնականում շատ չի տարբերվում չափված մեծության իրական արժեքից:

«Ընտրովի» մեթոդը, որը լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ, հիմնված է մեծ թվերի օրենքի վրա, որը թույլ է տալիս ընդունելի ճշգրտությամբ ստանալ դրա օբյեկտիվ բնութագրերը պատահական փոփոխականի արժեքների համեմատաբար փոքր նմուշից: Բայց սա կքննարկվի հաջորդ բաժնում:

Օրինակ. Չափիչ սարքի վրա, որը համակարգված աղավաղումներ չի անում, չափվում է որոշակի մեծություն ամեկ անգամ (ստացված արժեքը X 1 ), իսկ հետո ևս 99 անգամ (ստացված արժեքներ X 2 , …, X 100 ) Չափման իրական արժեքի համար անախ վերցրեք առաջին չափման արդյունքը
, իսկ հետո բոլոր չափումների միջին թվաբանականը
. Սարքի չափման ճշգրտությունն այնպիսին է, որ չափման σ ստանդարտ շեղումը 1-ից ոչ ավելի է (քանի որ ցրվածությունը Դ=σ 2 նույնպես չի գերազանցում 1-ը): Չափման մեթոդներից յուրաքանչյուրի համար գնահատեք հավանականությունը, որ չափման սխալը չի ​​գերազանցում 2-ը:

Լուծում. Թող ռ.վ. X- գործիքի ընթերցում մեկ չափման համար: Հետո պայմանով M(X)=a. Առաջադրված հարցերին պատասխանելու համար մենք կիրառում ենք ընդհանրացված Չեբիշևի անհավասարությունը

համար ε =2 առաջին համար n=1 իսկ հետո համար n=100 . Առաջին դեպքում մենք ստանում ենք
, իսկ երկրորդում. Այսպիսով, երկրորդ դեպքը գործնականում երաշխավորում է տվյալ չափման ճշգրտությունը, մինչդեռ առաջինն այս առումով լուրջ կասկածներ է թողնում։

Եկեք կիրառենք վերը նշված պնդումները պատահական փոփոխականների նկատմամբ, որոնք առաջանում են Բեռնուլիի սխեմայով: Հիշենք այս սխեմայի էությունը. Թող արտադրվի n անկախ թեստեր, որոնցից յուրաքանչյուրում որոշակի իրադարձություն ԲԱՅՑկարող է հայտնվել նույն հավանականությամբ Ռ, ա ք=1–r(ըստ իմաստի՝ սա հակառակ իրադարձության հավանականությունն է, ոչ թե իրադարձության առաջացումը ԲԱՅՑ) . Եկեք մի քանի թիվ ծախսենք nնման թեստեր. Դիտարկենք պատահական փոփոխականները. X 1 - իրադարձության դեպքերի քանակը ԲԱՅՑմեջ 1 թեստ, ..., X n- իրադարձության դեպքերի քանակը ԲԱՅՑմեջ nրդ թեստ. Բոլորը ներկայացված r.v. կարող է արժեքներ ընդունել 0 կամ 1 (միջոցառում ԲԱՅՑկարող է հայտնվել թեստում, թե ոչ), իսկ արժեքը 1 պայմանականորեն ընդունված յուրաքանչյուր դատավարության մեջ հավանականությամբ էջ(իրադարձության առաջացման հավանականությունը ԲԱՅՑյուրաքանչյուր թեստում) և արժեքը 0 հավանականությամբ ք= 1 – էջ. Հետևաբար, այս քանակներն ունեն բաշխման նույն օրենքները.

X 1

X n

Հետևաբար, այս քանակությունների միջին արժեքները և դրանց ցրվածությունը նույնպես նույնն են. M (X 1 )=0 ∙ ք+1 ∙ p= p, …, M (X n )= պ ; Դ(X 1 )=(0 2 ∙ ք+1 2 ∙ էջ)− էջ 2 = էջ∙(1− էջ)= էջ ∙ ք,…, Դ(X n )= էջ ∙ ք . Փոխարինելով այս արժեքները ընդհանրացված Չեբիշևի անհավասարության մեջ՝ մենք ստանում ենք

.

Հասկանալի է, որ ռ.վ. X=X 1 +…+X nիրադարձության դեպքերի թիվն է ԲԱՅՑբոլորի մեջ nփորձարկումներ (ինչպես ասում են՝ «հաջողությունների թիվը». nթեստեր): Ներս թողեք nթեստային միջոցառում ԲԱՅՑհայտնվեց կ նրանցից. Այնուհետև նախորդ անհավասարությունը կարելի է գրել այսպես

.

Բայց մեծությունը
, հավասար է իրադարձության դեպքերի քանակի հարաբերակցությանը ԲԱՅՑմեջ nանկախ փորձարկումներ, փորձարկումների ընդհանուր թվին, որոնք նախկինում կոչվում էին իրադարձությունների հարաբերական ցուցանիշ ԲԱՅՑմեջ nթեստեր. Հետևաբար, կա անհավասարություն

.

Անցնելով այժմ սահմանին ժամը n→∞, մենք ստանում ենք
, այսինքն.
(ըստ հավանականության): Սա Բեռնուլիի տեսքով մեծ թվերի օրենքի բովանդակությունն է։ Այստեղից հետևում է, որ բավականաչափ մեծ թվով փորձարկումների համար nհարաբերական հաճախականության կամայական փոքր շեղումներ
իրադարձությունները նրա հավանականությունից Ռգրեթե որոշակի իրադարձություններ են, իսկ մեծ շեղումները գրեթե անհնարին են։ Ստացված եզրակացությունը հարաբերական հաճախականությունների նման կայունության մասին (որը մենք նախկինում անվանել ենք փորձարարականփաստ) հիմնավորում է իրադարձության հավանականության նախկինում ներկայացված վիճակագրական սահմանումը որպես մի թիվ, որի շուրջ տատանվում է իրադարձության հարաբերական հաճախականությունը:

Նկատի ունենալով, որ արտահայտությունը էջ∙ ք= էջ∙(1− էջ)= էջ− էջ 2 չի գերազանցում փոփոխության միջակայքը
(դա հեշտ է ստուգել՝ գտնելով այս հատվածի այս ֆունկցիայի նվազագույնը), վերը նշված անհավասարությունից
հեշտ է դա ստանալ

,

որն օգտագործվում է համապատասխան խնդիրների լուծման ժամանակ (դրանցից մեկը կներկայացվի ստորև):

Օրինակ. Մետաղադրամը շրջվել է 1000 անգամ։ Գնահատեք այն հավանականությունը, որ զինանշանի տեսքի հարաբերական հաճախականության շեղումը դրա հավանականությունից պակաս կլինի 0,1-ից։

Լուծում. Անհավասարության կիրառում
ժամը էջ= ք=1/2 , n=1000 , ε=0.1, ստանում ենք.

Օրինակ. Գնահատեք հավանականությունը, որ նախորդ օրինակի պայմաններում թիվը կիջած զինանշանների միջակայքում կլինի 400 նախքան 600 .

Լուծում. Վիճակ 400< կ<600 նշանակում է, որ 400/1000< կ/ n<600/1000 , այսինքն. 0.4< Վ n (Ա)<0.6 կամ
. Ինչպես հենց նոր տեսանք նախորդ օրինակից, նման իրադարձության հավանականությունը առնվազն մեծ է 0.975 .

Օրինակ. Որոշ իրադարձության հավանականությունը հաշվարկելու համար ԲԱՅՑԻրականացվել է 1000 փորձ, որոնցում միջոցառումը ԲԱՅՑհայտնվել է 300 անգամ։ Գնահատեք հավանականությունը, որ հարաբերական հաճախականությունը (հավասար է 300/1000=0.3) տարբերվում է իրական հավանականությունից. Ռոչ ավելի, քան 0,1:

Լուծում. Կիրառելով վերը նշված անհավասարությունը
n=1000, ε=0.1-ի համար ստանում ենք .

Մեծ թվերի օրենքը

Մեծ թվերի օրենքըՀավանականությունների տեսության մեջ ասվում է, որ ֆիքսված բաշխումից բավական մեծ վերջավոր նմուշի էմպիրիկ միջինը (թվաբանական միջինը) մոտ է այս բաշխման տեսական միջինին (ակնկալիքներին): Կախված կոնվերգենցիայի տեսակից, կա մեծ թվերի թույլ օրենք, երբ տեղի է ունենում հավանականության կոնվերգենցիա, և մեծ թվերի ուժեղ օրենք, երբ գրեթե ամենուր կոնվերգենցիա է տեղի ունենում։

Միշտ կլինի այնպիսի փորձարկումներ, որ ցանկացած կանխորոշված ​​հավանականության դեպքում ինչ-որ իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը կամայականորեն քիչ կտարբերվի դրա հավանականությունից:

Մեծ թվերի օրենքի ընդհանուր իմաստն այն է, որ մեծ թվով պատահական գործոնների համատեղ գործողությունը հանգեցնում է մի արդյունքի, որը գրեթե անկախ է պատահականությունից:

Վերջավոր նմուշի վերլուծության վրա հիմնված հավանականության գնահատման մեթոդները հիմնված են այս հատկության վրա: Լավ օրինակ է ընտրողների ընտրանքային հարցման հիման վրա ընտրությունների արդյունքների կանխատեսումը:

Մեծ թվերի թույլ օրենքը

Թող լինի նույնական բաշխված և անկապ պատահական փոփոխականների անվերջ հաջորդականություն (անընդմեջ թվարկում), որը սահմանված է նույն հավանականության տարածության վրա: Այսինքն՝ նրանց կովարիանսը։ Թող . Նշանակենք առաջին տերմինների միջին միջինը.

Մեծ թվերի ուժեղ օրենքը

Թող լինի անկախ նույնական բաշխված պատահական փոփոխականների անսահման հաջորդականություն, որը սահմանված է հավանականության նույն տարածության վրա: Թող . Նշանակենք առաջին տերմինների միջին միջինը.

.

Հետո գրեթե անկասկած:

տես նաեւ

գրականություն

  • Շիրյաև Ա.Ն.Հավանականություն, - Մ .: Գիտություն: 1989 թ.
  • Չիստյակով Վ.Պ.Հավանականությունների տեսության դասընթաց, - Մ., 1982:

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ .

  • Ռուսաստանի կինո
  • Գրոմեկա, Միխայիլ Ստեպանովիչ

Տեսեք, թե ինչ է «Մեծ թվերի օրենքը» այլ բառարաններում.

    ՄԵԾ ԹՎԵՐԻ ՕՐԵՆՔ- (մեծ թվերի օրենք) Այն դեպքում, երբ բնակչության առանձին անդամների վարքագիծը խիստ տարբերվող է, խմբի վարքագիծը միջինում ավելի կանխատեսելի է, քան նրա որևէ անդամի պահվածքը: Միտումը, որում խմբերը ... ... Տնտեսական բառարան

    ՄԵԾ ԹՎԵՐԻ ՕՐԵՆՔ- տես ՄԵԾ ԹՎԵՐԻ ՕՐԵՆՔ: Անտինազի. Սոցիոլոգիայի հանրագիտարան, 2009 ... Սոցիոլոգիայի հանրագիտարան

    Մեծ թվերի օրենքը- այն սկզբունքը, որի համաձայն զանգվածային սոցիալական երևույթներին բնորոշ քանակական օրինաչափությունները առավել հստակ դրսևորվում են բավականաչափ մեծ թվով դիտարկումներով: Միայնակ երևույթները ավելի ենթակա են պատահական և ... ... Բիզնեսի տերմինների բառարան

    ՄԵԾ ԹՎԵՐԻ ՕՐԵՆՔ- պնդում է, որ մեկին մոտ հավանականության դեպքում մոտավորապես նույն կարգի պատահական մեծ թվով փոփոխականների միջին թվաբանականը քիչ կտարբերվի այս փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքների միջին թվաբանականին հավասար հաստատունից: Տարբերություն…… Երկրաբանական հանրագիտարան

    մեծ թվերի օրենքը- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Էլեկտրատեխնիկայի և էներգետիկայի անգլերեն ռուսերեն բառարան, Մոսկվա, 1999] Էլեկտրատեխնիկական թեմաներ, հիմնական հասկացություններ EN օրենքը մեծ թվերի միջին օրենք ... Տեխնիկական թարգմանչի ձեռնարկ

    մեծ թվերի օրենքը- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys՝ անգլ. մեծ թվերի օրենքը vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. մեծ թվերի օրենք, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos Terminų žodynas

    ՄԵԾ ԹՎԵՐԻ ՕՐԵՆՔ- ընդհանուր սկզբունք, որի շնորհիվ պատահական գործոնների համակցված գործողությունը որոշակի շատ ընդհանուր պայմաններում հանգեցնում է մի արդյունքի, որը գրեթե անկախ է պատահականությունից: Պատահական իրադարձության առաջացման հաճախականության կոնվերգենցիան դրա հավանականության հետ թվի աճի հետ ... ... Ռուսական սոցիոլոգիական հանրագիտարան

    Մեծ թվերի օրենքը- Օրենքը, որը սահմանում է, որ մեծ թվով պատահական գործոնների կուտակային գործողությունը հանգեցնում է որոշակի շատ ընդհանուր պայմաններում, պատահականությունից գրեթե անկախ արդյունքի… Սոցիոլոգիա. բառարան

    ՄԵԾ ԹՎԵՐԻ ՕՐԵՆՔ- վիճակագրական օրենք, որն արտահայտում է ընտրանքի և ընդհանուր բնակչության վիճակագրական ցուցանիշների (պարամետրերի) հարաբերությունները. Որոշակի նմուշից ստացված վիճակագրական ցուցանիշների փաստացի արժեքները միշտ տարբերվում են այսպես կոչվածից: տեսական ...... Սոցիոլոգիա. Հանրագիտարան

    ՄԵԾ ԹՎԵՐԻ ՕՐԵՆՔ- այն սկզբունքը, որ որոշակի տեսակի ֆինանսական կորուստների հաճախականությունը կարելի է կանխատեսել բարձր ճշգրտությամբ, երբ կան նմանատիպ տեսակի մեծ թվով կորուստներ ... Տնտեսագիտության և իրավունքի հանրագիտարանային բառարան

Գրքեր

  • Սեղանների հավաքածու. Մաթեմատիկա. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն. 6 աղյուսակ + մեթոդիկա, . Սեղանները տպված են հաստ պոլիգրաֆիկ ստվարաթղթի վրա՝ 680 x 980 մմ չափսերով։ Հավաքածուն ներառում է բրոշյուր՝ ուսուցիչների համար մեթոդական առաջարկություններով: Ուսումնական ալբոմ 6 թերթից. Պատահական…


Ո՞րն է հաջողակ վաճառողների գաղտնիքը: Եթե ​​դիտեք ցանկացած ընկերության լավագույն վաճառողներին, ապա կնկատեք, որ նրանք մեկ ընդհանուր բան ունեն. Նրանցից յուրաքանչյուրը հանդիպում է ավելի շատ մարդկանց հետ և ավելի շատ շնորհանդեսներ է անում, քան պակաս հաջողակ վաճառողները: Այս մարդիկ հասկանում են, որ վաճառքը թվերի խաղ է, և որքան շատ մարդիկ պատմեն իրենց ապրանքների կամ ծառայությունների մասին, այնքան ավելի շատ գործարքներ են կնքում, այսքանը: Նրանք հասկանում են, որ եթե շփվեն ոչ միայն այն քչերի հետ, ովքեր իրենց հաստատ այո կասեն, այլ նաև նրանց հետ, ում հետաքրքրությունն իրենց առաջարկով այնքան էլ մեծ չէ, ապա միջինների օրենքը կգործի իրենց օգտին։


Ձեր եկամուտը կախված կլինի վաճառքների քանակից, բայց միևնույն ժամանակ դրանք ուղիղ համեմատական ​​կլինեն ձեր ներկայացումների քանակին: Հենց որ հասկանաք և սկսեք կիրառել միջին ցուցանիշների օրենքը, նոր բիզնես սկսելու կամ նոր ոլորտում աշխատելու հետ կապված անհանգստությունը կսկսի նվազել: Եվ արդյունքում կսկսի աճել վերահսկողության զգացումը և վստահությունը նրանց վաստակելու կարողության նկատմամբ: Եթե ​​դուք պարզապես շնորհանդեսներ անեք և այդ գործընթացում կատարելագործեք ձեր հմտությունները, գործարքներ կլինեն:

Գործարքների քանակի մասին մտածելու փոխարեն մտածեք շնորհանդեսների քանակի մասին: Անիմաստ է առավոտյան արթնանալ կամ երեկոյան տուն գալ և սկսել մտածել, թե ով կգնի ձեր ապրանքը: Փոխարենը, ավելի լավ է ամեն օր պլանավորել, թե քանի զանգ պետք է կատարեք: Եվ հետո, անկախ ամեն ինչից, կատարեք այդ բոլոր զանգերը: Այս մոտեցումը կհեշտացնի ձեր աշխատանքը, քանի որ դա պարզ և կոնկրետ նպատակ է: Եթե ​​գիտեք, որ ձեր առջեւ շատ կոնկրետ ու հասանելի նպատակ է դրված, ապա ձեզ համար ավելի հեշտ կլինի կատարել նախատեսված զանգերի քանակը։ Եթե ​​այս գործընթացի ընթացքում մի քանի անգամ լսեք «այո», այնքան լավ:

Իսկ եթե «ոչ», ապա երեկոյան կզգաք, որ ազնվորեն արել եք այն ամենը, ինչ կարող էիք, և ձեզ չեն տանջի մտքերն այն մասին, թե որքան գումար եք վաստակել, կամ քանի զուգընկեր եք ձեռք բերել մեկ օրում։

Ենթադրենք, ձեր ընկերությունում կամ ձեր բիզնեսում միջին վաճառողն ամեն չորս շնորհանդեսը մեկ գործարք է կնքում: Հիմա պատկերացրեք, որ դուք քարտեր եք նկարում տախտակամածից: Երեք կոստյումներից բաղկացած յուրաքանչյուր բացիկ՝ բահեր, ադամանդներ և մահակներ, ներկայացում է, որտեղ դուք մասնագիտորեն ներկայացնում եք ապրանքը, ծառայությունը կամ հնարավորությունը: Դուք դա անում եք լավագույնը, ինչ կարող եք, բայց դեռ չեք փակում գործարքը: Եվ յուրաքանչյուր սրտի քարտ գործարք է, որը թույլ է տալիս գումար ստանալ կամ ձեռք բերել նոր ուղեկից:

Նման իրավիճակում չէի՞ք ցանկանա տախտակամածից որքան հնարավոր է շատ խաղաթղթեր հանել: Ենթադրենք, ձեզ առաջարկվում է նկարել այնքան քարտ, որքան ցանկանում եք՝ միաժամանակ վճարելով ձեզ կամ առաջարկելով նոր ուղեկից ամեն անգամ, երբ դուք սրտի քարտ եք քաշում: Դուք կսկսեք խանդավառությամբ խաղաթղթեր նկարել՝ հազիվ նկատելով, թե ինչ հագուստ է հենց նոր հանել քարտը:

Դուք գիտեք, որ հիսուներկու քարտերից բաղկացած տախտակամածում կա տասներեք սիրտ: Եվ երկու տախտակամածներում `քսան վեց սրտի քարտ և այլն: Դուք կհիասթափվե՞ք բահեր, ադամանդներ կամ մահակներ նկարելուց: Իհարկե ոչ! Դուք միայն կմտածեք, որ յուրաքանչյուր նման «միսս» ձեզ ավելի է մոտեցնում՝ ինչի՞ն։ Սրտերի քարտին:

Բայց գիտե՞ք ինչ. Ձեզ արդեն տրվել է այս առաջարկը։ Դուք եզակի վիճակում եք վաստակելու այնքան, որքան ցանկանում եք և նկարեք այնքան սրտի քարտեր, որքան ցանկանում եք նկարել ձեր կյանքում: Իսկ եթե դուք պարզապես բարեխղճորեն «քարտեր եք նկարում», կատարելագործում եք ձեր հմտությունները և համբերում եք մի փոքր բահի, ադամանդի և մահակի, ապա դուք կդառնաք հիանալի վաճառող և հաջողության կհասնեք։

Այն բաներից մեկը, որն այդքան զվարճացնում է վաճառքը, այն է, որ ամեն անգամ, երբ դուք խառնում եք տախտակամածը, քարտերը խառնվում են այլ կերպ: Երբեմն բոլոր սրտերը հայտնվում են տախտակամածի սկզբում, և հաջող շղթայից հետո (երբ մեզ արդեն թվում է, որ մենք երբեք չենք պարտվի) մենք սպասում ենք տարբեր կոստյումի քարտերի երկար շարքին: Եվ մեկ այլ անգամ առաջին սրտին հասնելու համար պետք է անցնել անսահման թվով բահերի, մահակների ու դափերի միջով։ Եվ երբեմն տարբեր կոստյումների քարտերը հերթով ընկնում են: Բայց ամեն դեպքում, հիսուներկու քարտերից բաղկացած յուրաքանչյուր տախտակամածում, ինչ-որ հերթականությամբ, միշտ տասներեք սիրտ կա։ Պարզապես հանեք քարտերը, մինչև գտնեք դրանք:



From՝ Leylya,  

Մեծ թվերի օրենքըՀավանականությունների տեսության մեջ ասվում է, որ ֆիքսված բաշխումից բավական մեծ վերջավոր նմուշի էմպիրիկ միջինը (թվաբանական միջինը) մոտ է այս բաշխման տեսական միջինին (ակնկալիքներին): Կախված կոնվերգենցիայի տեսակից՝ առանձնանում են մեծ թվերի թույլ օրենքը, երբ տեղի է ունենում հավանականության կոնվերգենցիա և մեծ թվերի ուժեղ օրենքը, երբ կոնվերգենցիան տեղի է ունենում գրեթե ամենուր։

Միշտ կա վերջավոր թվով փորձարկումներ, որոնց դեպքում, ցանկացած տվյալ հավանականությամբ, ավելի քիչ է, քան 1 ինչ-որ իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը կամայականորեն քիչ է տարբերվելու դրա հավանականությունից:

Մեծ թվերի օրենքի ընդհանուր իմաստը. մեծ թվով միանման և անկախ պատահական գործոնների համատեղ գործողությունը հանգեցնում է մի արդյունքի, որը, ըստ սահմանի, կախված չէ պատահականությունից:

Վերջավոր նմուշի վերլուծության վրա հիմնված հավանականության գնահատման մեթոդները հիմնված են այս հատկության վրա: Լավ օրինակ է ընտրողների ընտրանքային հարցման հիման վրա ընտրությունների արդյունքների կանխատեսումը:

Հանրագիտարան YouTube

    1 / 5

    ✪ Մեծ թվերի օրենքը

    ✪ 07 - Հավանականության տեսություն: Մեծ թվերի օրենքը

    ✪ 42 Մեծ թվերի օրենքը

    ✪ 1 - Չեբիշևի օրենքը մեծ թվերի մասին

    ✪ 11 դասարան, դաս 25, Գաուսի կոր: Մեծ թվերի օրենքը

    սուբտիտրեր

    Եկեք նայենք մեծ թվերի օրենքին, որը թերևս ամենաինտուիտիվ օրենքն է մաթեմատիկայի և հավանականությունների տեսության մեջ: Եվ քանի որ այն վերաբերում է շատ բաների, երբեմն այն օգտագործվում և սխալ է հասկացվում: Թույլ տվեք նախ սահմանել այն ճշգրտության համար, իսկ հետո կխոսենք ինտուիցիայի մասին: Վերցնենք պատահական փոփոխական, ասենք X: Ենթադրենք, մենք գիտենք դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը կամ բնակչության միջինը: Մեծ թվերի օրենքը պարզապես ասում է, որ եթե վերցնենք պատահական փոփոխականի n-րդ թվի դիտարկումների օրինակը և միջինացնենք այդ բոլոր դիտարկումների թիվը... Վերցնենք փոփոխական։ Եկեք այն անվանենք X՝ n-ով և վերևում գծիկով: Սա մեր պատահական փոփոխականի n-րդ թվի դիտարկումների միջին թվաբանականն է: Ահա իմ առաջին դիտարկումը. Ես կատարում եմ փորձը մեկ անգամ և անում եմ այս դիտարկումը, հետո նորից եմ անում և անում եմ այս դիտարկումը, նորից եմ անում և ստանում եմ սա: Ես այս փորձը կատարում եմ n անգամ և այնուհետև բաժանում եմ իմ դիտարկումների քանակի վրա: Ահա իմ միջին նմուշը: Ահա իմ կատարած բոլոր դիտարկումների միջինը։ Մեծ թվերի օրենքը մեզ ասում է, որ իմ ընտրանքի միջինը կմոտենա պատահական փոփոխականի միջինին: Կամ ես կարող եմ նաև գրել, որ իմ ընտրանքային միջինը կմոտենա բնակչության միջինին n-րդ թվի համար, որն անցնում է անվերջությանը: Ես հստակ տարբերություն չեմ անի «մոտավորության» և «կոնվերգենցիայի» միջև, բայց հուսով եմ, որ դուք ինտուիտիվորեն հասկանում եք, որ եթե ես այստեղ բավականին մեծ նմուշ վերցնեմ, ապա ես կստանամ ակնկալվող արժեքը ընդհանուր բնակչության համար: Կարծում եմ՝ ձեզնից շատերը ինտուիտիվ հասկանում են, որ եթե ես բավականաչափ թեստեր անեմ օրինակների մեծ նմուշով, ի վերջո թեստերն ինձ կտան իմ ակնկալած արժեքները՝ հաշվի առնելով մաթեմատիկական ակնկալիքը, հավանականությունը և այդ ամենը։ Բայց ես կարծում եմ, որ հաճախ անհասկանալի է, թե ինչու է դա տեղի ունենում: Եվ մինչ կսկսեմ բացատրել, թե ինչու է այդպես, թույլ տվեք ձեզ կոնկրետ օրինակ բերել։ Մեծ թվերի օրենքը մեզ ասում է, որ... Ենթադրենք, մենք ունենք X պատահական փոփոխական: Այն հավասար է ճիշտ մետաղադրամի 100 նետումի գլուխների թվին: Առաջին հերթին մենք գիտենք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը: Սա մետաղադրամների նետումների կամ փորձարկումների քանակն է՝ բազմապատկված ցանկացած փորձության հաջողության հավանականությամբ: Այսպիսով, այն հավասար է 50-ի: Այսինքն՝ մեծ թվերի օրենքն ասում է, որ եթե նմուշ վերցնենք, կամ եթե ես միջինացնեմ այս փորձարկումները, ես ստանում եմ։ .. Առաջին անգամ, երբ ես փորձարկում եմ անում, 100 անգամ մետաղադրամ եմ նետում, կամ վերցնում եմ հարյուր մետաղադրամով տուփ, թափահարում եմ այն ​​և հետո հաշվում, թե քանի գլուխ եմ ստանում, և ստանում եմ, ասենք, 55 թիվը: Սա կլինի. X1. Այնուհետև ես նորից թափահարում եմ տուփը և ստանում եմ 65 թիվը: Հետո նորից - և ես ստանում եմ 45: Եվ ես դա անում եմ n անգամ, այնուհետև այն բաժանում եմ փորձությունների թվի վրա: Մեծ թվերի օրենքը մեզ ասում է, որ այս միջինը (իմ բոլոր դիտարկումների միջինը) կձգվի 50-ի, մինչդեռ n-ը կձգվի դեպի անսահմանություն: Հիմա ես կցանկանայի մի փոքր խոսել այն մասին, թե ինչու է դա տեղի ունենում: Շատերը կարծում են, որ եթե 100 փորձարկումից հետո արդյունքս միջինից բարձր է, ապա հավանականության օրենքներով ես պետք է քիչ թե շատ գլուխներ ունենայի, որպեսզի, այսպես ասած, փոխհատուցեմ տարբերությունը։ Դա հենց այն չէ, ինչ տեղի կունենա: Սա հաճախ կոչվում է «խաղամոլների մոլորություն»: Թույլ տվեք ցույց տալ ձեզ տարբերությունը: Ես կօգտագործեմ հետևյալ օրինակը. Թույլ տվեք նկարել գրաֆիկ: Եկեք փոխենք գույնը: Սա n է, իմ x առանցքը n է: Սա այն թեստերի քանակն է, որոնք ես կանցկացնեմ: Եվ իմ y-առանցքը կլինի նմուշի միջինը: Մենք գիտենք, որ այս կամայական փոփոխականի միջինը 50 է: Թույլ տվեք նկարել սա. Սա 50 է։ Վերադառնանք մեր օրինակին։ Եթե ​​n-ն է... Իմ առաջին թեստի ժամանակ ես ստացել եմ 55, որը իմ միջինն է: Ես ունեմ միայն մեկ տվյալների մուտքագրման կետ. Այնուհետև երկու փորձարկումից հետո ես ստանում եմ 65: Այսպիսով, իմ միջինը կլինի 65+55 բաժանված 2-ի: Դա 60 է: Եվ իմ միջինը մի փոքր բարձրացավ: Հետո ստացա 45, որը նորից իջեցրեց իմ թվաբանական միջինը։ Ես 45-ը չեմ գծի գծապատկերում: Այժմ ես պետք է միջինը գնահատեմ այդ ամենը: Ինչի՞ է հավասար 45+65. Թույլ տվեք հաշվարկել այս արժեքը՝ կետը ներկայացնելու համար: Դա 165-ը բաժանվում է 3-ի: Դա 53 է: Ոչ, 55: Այսպիսով, միջինը նորից իջնում ​​է մինչև 55: Մենք կարող ենք շարունակել այս թեստերը: Երեք փորձարկումներ անելուց և այս միջինը բերելուց հետո շատերը կարծում են, որ հավանականության աստվածները այնպես կանեն, որ մենք ապագայում ավելի քիչ գլուխներ ունենանք, որ հաջորդ մի քանի փորձարկումները ավելի ցածր կլինեն՝ միջինը նվազեցնելու համար: Բայց միշտ չէ, որ այդպես է։ Հետագայում հավանականությունը միշտ նույնն է մնում։ Գլուխներ գլորելու հավանականությունը միշտ կլինի 50%: Ոչ թե ես սկզբում ստանում եմ որոշակի քանակությամբ գլուխներ, ավելին, քան ես ակնկալում եմ, և հետո հանկարծ պոչերը պետք է թափվեն: Սա «խաղացողի մոլորությունն» է։ Եթե ​​դուք ստանում եք անհամաչափ քանակությամբ գլուխներ, դա չի նշանակում, որ ինչ-որ պահի դուք կսկսեք անհամաչափ թվով պոչեր ընկնել։ Սա լիովին ճիշտ չէ: Մեծ թվերի օրենքը մեզ ասում է, որ դա նշանակություն չունի։ Ասենք՝ որոշակի վերջավոր թվով փորձարկումներից հետո ձեր միջինը... Սրա հավանականությունը բավականին փոքր է, բայց, այնուամենայնիվ... Ասենք ձեր միջինը հասնում է այս նշագծին՝ 70։ Մտածում ես՝ «Վա՜յ, մենք սպասվածից շատ ենք անցել»: Բայց մեծ թվերի օրենքն ասում է, որ կարևոր չէ, թե քանի թեստ ենք մենք անցնում: Մեզ դեռ անսահման թվով փորձություններ են սպասվում։ Այս անսահման թվով փորձությունների մաթեմատիկական ակնկալիքը, հատկապես նման իրավիճակում, կլինի հետևյալը. Երբ դուք գալիս եք մի վերջավոր թվի, որն արտահայտում է ինչ-որ մեծ արժեք, անսահման թիվը, որը համընկնում է դրա հետ, նորից կհանգեցնի ակնկալվող արժեքին: Սա, իհարկե, շատ ազատ մեկնաբանություն է, բայց ահա թե ինչ է մեզ ասում մեծ թվերի օրենքը: Դա կարեւոր է. Նա մեզ չի ասում, որ եթե մենք շատ գլուխներ ստանանք, ապա ինչ-որ կերպ պոչեր ստանալու հավանականությունը կմեծանա՝ փոխհատուցելու համար: Այս օրենքը մեզ ասում է, որ կարևոր չէ, թե ինչ արդյունք կունենան վերջավոր թվով փորձարկումներ, քանի դեռ ձեզ դեռ անսահման թվով փորձեր են սպասվում: Եվ եթե դրանք բավականաչափ աշխատեք, նորից կվերադառնաք սպասելիքներին: Սա կարևոր կետ է։ Մտածիր այդ մասին. Բայց սա վիճակախաղերի և կազինոների հետ գործնականում ամեն օր չի օգտագործվում, թեև հայտնի է, որ եթե բավականաչափ թեստեր անեք... Կարող ենք նույնիսկ հաշվարկել... որքանո՞վ է հավանականությունը, որ լրջորեն շեղվենք նորմայից։ Բայց կազինոներն ու վիճակախաղերն ամեն օր աշխատում են այն սկզբունքով, որ եթե բավականաչափ մարդ վերցնես, իհարկե, կարճ ժամանակում, փոքր նմուշով, ապա մի քանի հոգի կխփեն ջեքփոթը։ Բայց երկարաժամկետ հեռանկարում խաղատունը միշտ կշահի այն խաղերի պարամետրերից, որոնք հրավիրում են ձեզ խաղալ: Սա հավանականության կարևոր սկզբունք է, որը ինտուիտիվ է: Թեև երբեմն, երբ դա ձեզ պաշտոնապես բացատրվում է պատահական փոփոխականներով, ամեն ինչ մի փոքր շփոթեցնող է թվում: Այս օրենքն ասում է միայն, որ որքան շատ լինեն նմուշները, այնքան այդ նմուշների միջին թվաբանականը կմոտենա իրական միջինին: Իսկ ավելի կոնկրետ լինելու համար, ձեր ընտրանքի միջին թվաբանականը կհամընկնի պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ: Այսքանը: Կհանդիպենք հաջորդ տեսանյութում:

Մեծ թվերի թույլ օրենքը

Մեծ թվերի թույլ օրենքը կոչվում է նաև Բեռնուլիի թեորեմ՝ ի պատիվ Յակոբ Բեռնուլիի, որն ապացուցել է այն 1713 թ.

Թող լինի նույնական բաշխված և չկապված պատահական փոփոխականների անվերջ հաջորդականություն (հաջորդական թվարկում): Այսինքն՝ նրանց կովարիանսը c o v (X i, X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\բոլոր i\not =j). Թող . Նշեք առաջինի միջին նմուշով n (\displaystyle n)անդամներ:

.

Հետո X ¯ n → P μ (\ցուցադրման ոճ (\ բար (X))_(n)\ դեպի ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu).

Այսինքն՝ ամեն դրականի համար ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Մեծ թվերի ուժեղ օրենքը

Թող լինի անկախ նույնականորեն բաշխված պատահական փոփոխականների անսահման հաջորդականություն (X i) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty))սահմանված մեկ հավանականության տարածության վրա (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Թող E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu,\;\բոլոր i\in \mathbb (N)). Նշել ըստ X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n))առաջինի միջին նմուշը n (\displaystyle n)անդամներ:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \սահմանները _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N)).

Հետո X ¯ n → μ (\ցուցադրման ոճ (\բար (X))_(n)\մինչև \mu)գրեթե միշտ.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty)(\bar (X))_(n)=\mu \ ճիշտ) = 1.) .

Ինչպես ցանկացած մաթեմատիկական օրենքը, այնպես էլ մեծ թվերի օրենքը կարող է կիրառվել իրական աշխարհի վրա միայն հայտնի ենթադրությունների ներքո, որոնք կարող են բավարարվել միայն որոշակի աստիճանի ճշգրտությամբ: Այսպիսով, օրինակ, հաջորդական թեստերի պայմանները հաճախ չեն կարող պահպանվել անորոշ ժամանակով և բացարձակ ճշգրտությամբ։ Բացի այդ, մեծ թվերի օրենքը միայն խոսում է անհավանականությունմիջին արժեքի զգալի շեղում մաթեմատիկական ակնկալիքից:

Միջին արժեքը վիճակագրության մեջ ամենաընդհանուր ցուցանիշն է։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ այն կարող է օգտագործվել բնակչությանը բնութագրելու համար՝ ըստ քանակապես փոփոխվող հատկանիշի: Օրինակ, երկու ձեռնարկությունների աշխատողների աշխատավարձերը համեմատելու համար չի կարելի ընդունել երկու կոնկրետ աշխատողների աշխատավարձը, քանի որ այն գործում է որպես փոփոխական ցուցանիշ: Նաև ձեռնարկություններում վճարվող աշխատավարձի ընդհանուր գումարը չի կարող վերցվել, քանի որ դա կախված է աշխատողների թվից: Եթե ​​յուրաքանչյուր ձեռնարկության աշխատավարձի ընդհանուր գումարը բաժանենք աշխատողների թվի վրա, ապա կարող ենք համեմատել դրանք և որոշել, թե որ ձեռնարկությունն ունի ավելի բարձր միջին աշխատավարձ:

Այլ կերպ ասած, աշխատողների ուսումնասիրված բնակչության աշխատավարձը միջին արժեքում ստանում է ընդհանրացված բնութագիր: Այն արտահայտում է ուսումնասիրվող հատկանիշի առնչությամբ աշխատողների ամբողջությանը բնորոշ ընդհանուրն ու բնորոշը։ Այս արժեքում այն ​​ցույց է տալիս այս հատկանիշի ընդհանուր չափը, որն ունի այլ արժեք բնակչության միավորների համար։

Միջին արժեքի որոշում. Միջին արժեքը վիճակագրության մեջ համանման երևույթների մի շարքի ընդհանրացված բնութագիր է՝ ըստ քանակապես տարբեր հատկանիշի: Միջին արժեքը ցույց է տալիս այս հատկանիշի մակարդակը՝ կապված բնակչության միավորի հետ։ Միջին արժեքի օգնությամբ կարելի է համեմատել տարբեր ագրեգատներ միմյանց հետ՝ ըստ տարբեր բնութագրերի (մեկ շնչի հաշվով եկամուտ, բերքատվություն, տարբեր ձեռնարկություններում արտադրության ծախսեր):

Միջին արժեքը միշտ ընդհանրացնում է հատկանիշի քանակական փոփոխությունը, որով մենք բնութագրում ենք ուսումնասիրվող բնակչությանը, և որը հավասարապես բնորոշ է բնակչության բոլոր միավորներին։ Սա նշանակում է, որ ցանկացած միջին արժեքի հետևում միշտ առկա է բնակչության միավորների բաշխման մի շարք՝ ըստ որևէ տարբեր հատկանիշի, այսինքն. տատանումների շարք. Այս առումով միջին արժեքը սկզբունքորեն տարբերվում է հարաբերական արժեքներից և, մասնավորապես, ինտենսիվության ցուցանիշներից: Ինտենսիվության ցուցանիշը երկու տարբեր ագրեգատների ծավալների հարաբերակցությունն է (օրինակ՝ մեկ շնչի հաշվով ՀՆԱ-ի արտադրությունը), մինչդեռ միջինը ընդհանրացնում է ագրեգատի տարրերի բնութագրերը՝ ըստ բնութագրերից մեկի (օրինակ՝ միջին. աշխատողի աշխատավարձը):

Միջին արժեքը և մեծ թվերի օրենքը:Միջին ցուցանիշների փոփոխության մեջ դրսևորվում է ընդհանուր միտում, որի ազդեցության տակ ձևավորվում է երևույթների զարգացման գործընթացը որպես ամբողջություն, մինչդեռ առանձին առանձին դեպքերում այդ միտումը կարող է հստակ չդրսևորվել։ Կարևոր է, որ միջին ցուցանիշները հիմնված լինեն փաստերի զանգվածային ընդհանրացման վրա: Միայն այս պայմանով նրանք կբացահայտեն գործընթացի հիմքում ընկած ընդհանուր միտումը որպես ամբողջություն:


Մեծ թվերի օրենքի էությունը և դրա նշանակությունը միջինների համար, քանի որ դիտումների քանակն ավելանում է, ավելի ու ավելի ամբողջությամբ վերացնում է պատահական պատճառներով առաջացած շեղումները: Այսինքն՝ մեծ թվերի օրենքը պայմաններ է ստեղծում, որպեսզի տարբեր հատկանիշի տիպիկ մակարդակը հայտնվի միջին արժեքում՝ տեղի և ժամանակի հատուկ պայմաններում: Այս մակարդակի արժեքը որոշվում է այս երեւույթի էությամբ:

Միջինների տեսակները.Վիճակագրության մեջ օգտագործվող միջին արժեքները պատկանում են ուժային միջոցների դասին, որի ընդհանուր բանաձևը հետևյալն է.

Որտեղ x-ը հզորության միջինն է.

X - հատկանիշի արժեքների փոփոխություն (տարբերակներ)

- համարի տարբերակ

Միջին ցուցանիշը;

Գումարի նշան.

Միջին ցուցանիշի տարբեր արժեքների համար ստացվում են միջինի տարբեր տեսակներ.

Թվաբանական միջին;

Միջին քառակուսի;

Միջին խորանարդ;

Միջին ներդաշնակություն;

Երկրաչափական միջին.

Միևնույն աղբյուրի վիճակագրությունն օգտագործելիս միջինի տարբեր տեսակներ ունեն տարբեր նշանակություն: Միևնույն ժամանակ, որքան մեծ է միջինի ցուցիչը, այնքան մեծ է դրա արժեքը:

Վիճակագրության մեջ յուրաքանչյուր առանձին դեպքում բնակչության ճիշտ բնութագրումը տրվում է միայն լրիվ որոշակի տեսակի միջին արժեքներով։ Միջին արժեքի այս տեսակը որոշելու համար օգտագործվում է չափանիշ, որը որոշում է միջինի հատկությունները. միջին արժեքը միայն այն ժամանակ կլինի բնակչության իրական ընդհանրացնող բնութագիրը՝ ըստ տարբեր հատկանիշի, երբ բոլոր տարբերակները փոխարինվեն միջինով։ արժեքը, տարբեր հատկանիշի ընդհանուր ծավալը մնում է անփոփոխ: Այսինքն՝ միջինի ճիշտ տեսակը որոշվում է նրանով, թե ինչպես է ձևավորվում փոփոխական հատկանիշի ընդհանուր ծավալը։ Այսպիսով, միջին թվաբանականը օգտագործվում է, երբ փոփոխական հատկանիշի ծավալը ձևավորվում է որպես առանձին տարբերակների գումար, միջին քառակուսին, երբ փոփոխական հատկանիշի ծավալը ձևավորվում է որպես քառակուսիների գումար, ներդաշնակ միջինը՝ որպես գումարի գումար: առանձին տարբերակների փոխադարձ արժեքները, երկրաչափական միջինը՝ որպես առանձին տարբերակների արտադրյալ։ Ի հավելումն վիճակագրության միջին արժեքների

Օգտագործվում են փոփոխական հատկանիշի (կառուցվածքային միջիններ), ռեժիմի (ամենատարածված տարբերակ) և մեդիանայի (միջին տարբերակ) բաշխման նկարագրական բնութագրերը։

Նմանատիպ գրառումներ