호환되지 않고 독립적인 이벤트. 확률 곱셈 정리. 사건의 총 확률

우리는 또한 독립적인 이벤트로 표준 문제를 해결하는 방법을 배웠으며 이제 훨씬 더 흥미로운 계속이 이어질 것입니다. 이를 통해 새로운 자료를 익힐 수 있을 뿐만 아니라 실용적인 일상적인 도움도 제공할 수 있습니다.

사건의 독립성이 무엇인지 간단히 반복해 보겠습니다. 사건 중 하나라도 발생할 확률이 있으면 사건은 독립입니다. 의존하지 않는다다른 사건의 발생 또는 발생하지 않음으로부터. 가장 간단한 예는 동전 두 개를 던지는 것입니다. 한 동전의 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 다른 동전을 던지는 결과에 전혀 의존하지 않습니다.

이벤트의 의존성이라는 개념도 여러분에게 친숙하므로 이제 이를 자세히 살펴볼 시간입니다.

먼저 두 가지 이벤트로 구성된 전통적인 세트를 고려하십시오. 매달린 , 무작위 요인 외에도 확률이 사건의 발생 여부에 따라 달라지는 경우. 사건이 일어날 것이라는 가정 하에 계산된 사건의 확률 이미 일어난 일이야, 라고 불리는 조건부 확률 이벤트의 발생을 로 표시합니다. 이 경우 이벤트가 호출됩니다. 종속 이벤트 (엄밀히 말하면 둘 중 하나만 종속되어 있음).

손에 들고 있는 카드:

문제 1

36장의 카드 덱에서 2장의 카드를 순차적으로 뽑습니다. 다음과 같은 경우 두 번째 카드가 하트일 확률을 구하세요.

a) 벌레가 추출되었습니다.
b) 다른 모양의 카드가 뽑혔습니다.

해결책: 이벤트를 고려하십시오. – 두 번째 카드는 하트가 될 것입니다. 이 사건의 확률은 웜이 더 일찍 그려졌는지 여부에 따라 달라집니다.

a) 하트가 먼저 뽑힌 경우(이벤트), 덱에 35장의 카드가 남아 있으며, 그 중 이제 8장의 하트 슈트 카드가 있습니다. 에 의해 고전적 정의:
~을 고려하면, 그 전에 웜도 추출되었습니다.

b) 다른 모양의 카드가 먼저 뽑힌 경우(이벤트), 9개의 하트가 모두 덱에 남아 있습니다. 에 의해 고전적 정의:
– 두 번째 카드가 하트일 확률 ~을 고려하면이전에 다른 모양의 카드가 뽑혔던 것입니다.

모든 것이 논리적입니다. 전체 덱에서 하트를 뽑을 확률이 , 다음 카드를 뽑으면 비슷한 확률이 변경됩니다. 첫 번째 경우에는 감소합니다. (하트 수가 적기 때문에) 두 번째에는 증가합니다. (모든 하트가 덱에 남아 있었기 때문에).

답변:

물론 더 많은 종속 이벤트가 있을 수 있습니다. 문제는 아직 해결되지 않았지만 한 가지를 더 추가해 보겠습니다. – 세 번째 카드에는 하트가 그려집니다. 이벤트가 발생한 다음 이벤트가 발생했다고 가정합니다. 그러면 덱에는 하트 7개를 포함해 34장의 카드가 남습니다. 에 의해 고전적 정의:
– 사건이 발생할 확률 ~을 고려하면이전에 두 개의 하트가 그려져 있었다는 것입니다.

독립적인 교육의 경우:

문제 2

봉투에는 당첨된 복권 3장을 포함해 복권 10장이 들어 있습니다. 티켓은 봉투에서 순차적으로 제거됩니다. 다음과 같은 확률을 구하세요.

a) 첫 번째 티켓이 당첨된 경우 두 번째 추첨 티켓이 당첨됩니다.
b) 이전 두 장의 티켓이 당첨된 경우 세 번째 티켓이 당첨됩니다.
c) 이전 티켓이 당첨된 경우 4번째 티켓이 당첨됩니다.

강의 마지막 부분에 설명이 포함된 짧은 솔루션입니다.

이제 근본적으로 중요한 한 가지 점에 주목해 보겠습니다. 고려한 예에서는 조건부 확률만 찾는 것이 필요했지만 이전 사건은 확실하게 발생한 것으로 간주되었습니다.. 그러나 실제로는 무작위이기도 합니다! 따라서 "열정" 작업에서 전체 덱에서 하트를 그리는 것은 무작위 이벤트이며 확률은 .

실제로는 확률을 찾는 것이 훨씬 더 자주 필요합니다. 동시 발생종속 이벤트. 예를 들어, 전체 덱으로 구성된 이벤트의 확률을 찾는 방법 ~ 할 것이다벌레 추출 그리고그럼 또 다른 마음? 이 질문에 대한 답은 다음과 같습니다.

종속 사건의 확률을 곱하는 정리: 두 종속 사건의 공동 발생 확률은 첫 번째 사건이 이미 발생했다는 가정하에 계산된 두 종속 사건 중 하나의 확률과 다른 사건의 조건부 확률을 곱한 것과 같습니다.

우리의 경우:
– 전체 덱에서 하트 2개가 연속으로 뽑힐 확률.

비슷하게:
– 다른 무늬의 카드가 먼저 뽑힐 확률 그리고그럼 심장.

사건의 확률은 일반적으로 어떤 계산 없이도 명백했던 사건의 확률보다 눈에 띄게 더 큰 것으로 나타났습니다.

그리고 물론 복권 10장이 들어있는 봉투에 특별한 희망을 가질 필요는 없습니다. (작업 2)연속으로 3장의 당첨 티켓을 추첨하게 됩니다.
그러나 이것은 여전히 ​​​​관대한 기회입니다.

예, 맞습니다. 종속 사건의 확률을 곱하는 정리는 자연스럽게 더 많은 수로 확장됩니다.

몇 가지 일반적인 예를 통해 자료를 통합해 보겠습니다.

문제 3

항아리 안에 흰색 공 4개, 검은색 공 7개가 있습니다. 공 2개를 교체하지 않고 항아리에서 무작위로 하나씩 꺼냅니다. 다음과 같은 확률을 구하세요.

a) 두 공은 모두 흰색이다.
b) 두 공 모두 검은색이다.
c) 먼저 흰색 공을 뽑은 다음 검은색 공을 뽑습니다.

"다시 가져오지 않고"라는 한정어에 주목하세요. 이 의견은 이벤트가 종속적이라는 사실을 더욱 강조합니다. 과연 추출된 공이 다시 반환된다면 어떨까요? 리턴 샘플링의 경우 검은 공과 흰색 공을 뽑을 확률은 변하지 않으며 이러한 문제에 대해서는 이미 안내를 받아야 합니다. INDEPENDENT 사건의 확률 곱셈 정리.

해결책: 항아리의 총합: 4 + 7 = 11개의 공. 가다:

a) 사건을 고려하십시오. 첫 번째 공은 흰색입니다. - 두 번째 공은 흰색입니다. 그리고 첫 번째 공이 흰색일 확률을 구하십시오. 그리고 2번째 흰색.

확률의 고전적 정의에 따르면: . 흰색 공을 제거하면 항아리 안에 흰색 공 3개를 포함해 10개의 공이 남게 된다고 가정합니다. 따라서 다음과 같습니다.
– 이전에 흰색 공을 뽑았다면 두 번째 시도에서 흰색 공을 뽑을 확률입니다.

– 두 공이 모두 흰색일 확률.

b) 첫 번째 공이 검은색일 확률을 구하십시오. 그리고 2번째 검정색

고전적인 정의에 따르면: – 첫 번째 시도에서 검은 공이 뽑힐 확률. 검은색 공을 뽑으면 항아리 안에 검은색 공 6개를 포함해 10개의 공이 남게 됩니다. 따라서 다음과 같습니다. – 이전에 검정색 공이 추첨된 경우 두 번째 시도에서 검정색 공이 추첨될 확률입니다.

종속 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:
– 두 공이 모두 검은색일 확률.

c) 사건의 확률을 구합니다(흰색 공이 먼저 추첨됩니다). 그리고다음은 검정색)

흰색 공을 제거한 후(확률 ) 항아리에는 흰색 3개와 검정색 7개를 포함하여 10개의 공이 남게 됩니다. 따라서: – 흰색 공을 뽑았다면 두 번째 시도에서 검은 공이 뽑힐 확률은 다음과 같습니다. 전에.

종속 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:
– 원하는 확률.

답변:

이 문제는 다음을 사용하여 쉽게 확인할 수 있습니다. 완전한 그룹을 형성하는 사건의 확률을 추가하는 정리. 이를 위해 네 번째 누락 사건의 확률을 구합니다. - 검은색 공이 먼저 뽑혀질 것입니다. 그리고그럼 흰색.

이벤트 완전한 그룹을 형성하므로 확률의 합은 1과 같아야 합니다.
, 확인이 필요한 내용이었습니다.

그리고 제시된 자료를 얼마나 잘 마스터했는지 즉시 확인하는 것이 좋습니다.

문제 4

36장의 카드 덱에서 두 개의 에이스가 연속으로 뽑힐 확률은 얼마입니까?

문제 5

항아리 안에는 검정색 공 6개, 빨간색 공 5개, 흰색 공 4개가 있습니다. 세 개의 공이 순차적으로 그려집니다. 확률을 구해 보세요.

a) 이전에 검은색 공과 빨간색 공이 추첨된 경우 세 번째 공은 흰색으로 판명됩니다.
b) 첫 번째 공은 검정색, 두 번째 공은 빨간색, 세 번째 공은 흰색입니다.

수업이 끝나면 솔루션과 답변이 제공됩니다.

고려중인 많은 문제는 다른 방법으로 해결할 수 있다고 말해야하지만 혼란을 피하기 위해 아마도 그것에 대해 완전히 침묵하겠습니다.

아마도 모든 사람들은 특정 일련의 작업이 수행되는 경우 종속 이벤트가 발생한다는 것을 알아차렸을 것입니다. 그러나 일련의 작업 자체가 이벤트의 종속성을 보장하지는 않습니다. 예를 들어, 학생이 일부 시험의 질문에 무작위로 대답한다고 가정해 보겠습니다. 이러한 이벤트는 차례로 발생하지만 한 질문에 대한 대답에 대한 무지는 다른 답변에 대한 무지에 전혀 의존하지 않습니다 =) 물론, 여기에 패턴이 있습니다 =) 그리고 반복적으로 동전을 던지는 완전히 간단한 예입니다. 이 매혹적인 과정은 심지어 다음과 같이 불립니다. 반복된 독립적 테스트.

나는 이 순간을 지연시키고 다양한 예를 선택하려고 최선을 다했지만 문제가 있는 경우 독립 사건에 대한 곱셈 정리범인이 담당하고 여기에 공이있는 항아리의 실제 침입이 있습니다 =) 따라서 탈출구가 없습니다. 다시 항아리입니다.

문제 6

흰색 공 6개와 검은색 공 4개가 들어 있는 항아리에서 공 3개를 무작위로 하나씩 꺼냅니다. 다음과 같은 확률을 구하세요.

a) 세 개의 공은 모두 검은색이다.
b) 최소한 두 개의 검은색 공이 있을 것입니다.

해결책:합계: 6 + 4 = 항아리에 공 10개.

이 작업에는 많은 이벤트가 있으므로 주요 이벤트만 대문자로 표시하는 혼합 디자인 스타일을 사용하는 것이 더 좋습니다. 조건부 확률을 계산하는 원리를 이미 이해하셨기를 바랍니다.

a) 다음과 같은 사건을 생각해 보십시오: – 세 개의 공이 모두 검은색입니다.

종속 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:

b) 두 번째 점은 더 흥미롭습니다. 이벤트를 고려하십시오. – 최소한 두 개의 검은 공이 있을 것입니다. 이 이벤트는 2개의 호환되지 않는 결과로 구성됩니다. 모든 공이 검은색(이벤트)이거나 2개의 공이 검은색이고 1개의 흰색이 됩니다. 마지막 이벤트를 문자로 표시하겠습니다.

이벤트에는 호환되지 않는 3가지 결과가 포함됩니다.

1차 테스트에서는 흰색이 추출되었습니다. 그리고 2번째에 그리고 3차 테스트 - 검은 공
또는
그리고 2번째 – 학사 그리고 3번째 – ChS
또는
1차 테스트에서는 BS가 추출되었습니다. 그리고 2번째 – ChS 그리고 3번째 – 학사.

관심 있는 사람들은 다음의 더 어려운 예에 익숙해질 수 있습니다. Chudesenko의 컬렉션, 여러 개의 공이 전송됩니다. 특별한 팬을 위해 저는 첫 번째에서 두 번째 항아리로, 두 번째에서 세 번째로 공을 두 번 연속 이동하고 마지막 항아리에서 공을 최종 추출하는 등 조합 복잡성이 증가된 작업을 제공합니다. 파일 확률 덧셈과 곱셈 정리에 관한 추가 문제. 그건 그렇고, 거기에는 다른 흥미로운 작업이 많이 있습니다.

그리고 이 기사의 마지막 부분에서는 제가 첫 번째 강의에서 여러분을 유혹했던 가장 흥미로운 문제를 분석할 것입니다. =) 우리는 그것을 분석하지도 않고 작은 실용적인 연구를 수행할 것입니다. 일반적으로 계산은 너무 번거로우므로 구체적인 예를 살펴보겠습니다.

Petya는 확률론 시험을 치르며 20장의 티켓을 잘 알고 10장의 티켓을 잘 알지 못합니다. 예를 들어 그룹의 첫날에 영웅을 포함해 16명이 시험을 본다고 가정해 보겠습니다. 일반적으로 상황은 매우 익숙합니다. 학생들이 차례로 교실에 들어가 티켓을 뽑습니다.

티켓의 순차적 검색은 일련의 종속 이벤트와 긴급한 이벤트를 나타내는 것이 분명합니다. 질문: Petya가 "맨 앞줄"로 갈 경우, "가운데"로 갈 경우, 아니면 마지막으로 티켓을 뽑을 경우 어떤 경우에 "좋은" 티켓을 얻을 가능성이 더 높습니까? 언제 오는 것이 가장 좋은가요?

먼저, Petya가 자신의 기회를 일정하게 유지하는 "실험적으로 순수한" 상황을 고려해 보겠습니다. Petya는 반 친구들이 이미 받은 질문에 대한 정보를 받지 못하고, 복도에서 아무것도 배우지 않고, 자신의 차례를 기다리는 등의 작업을 수행합니다.

이벤트를 고려해 봅시다. - Petya가 가장 먼저 청중에게 입장하여 "좋은" 티켓을 뽑을 것입니다. 확률의 고전적 정의에 따르면: .

우수한 학생 Nastya가 앞서 합격할 경우 성공적인 티켓을 얻을 확률은 어떻게 변합니까? 이 경우 두 가지 모순된 가설이 가능합니다.

– Nastya는 "좋은"(Petya용) 티켓을 추첨합니다.
– Nastya는 "나쁜" 티켓을 뽑습니다. Petya의 기회가 높아질 것입니다.

이벤트(Petya가 2위를 하고 "좋은" 티켓을 얻음)는 다음과 같습니다. 매달린.

1) Nastya가 확률을 가지고 있다고 가정합니다. Petya로부터 행운의 티켓 한 장을 "훔쳤습니다". 그러면 테이블에는 29장의 티켓이 남게 되며 그 중 19장은 "좋음"입니다. 확률의 고전적 정의에 따르면:

2) 이제 Nastya가 확률을 가지고 있다고 가정합니다. 첫 번째 "불량" 티켓에서 Petya를 "구출"했습니다. 그러면 테이블에는 29장의 티켓이 남게 되며 그 중 여전히 "좋은" 티켓이 20장 남아 있습니다. 고전적인 정의에 따르면:

호환되지 않는 이벤트의 확률을 더하고 종속 이벤트의 확률을 곱하는 정리를 사용하여 Petya가 "좋은" 티켓을 뽑아 2위가 될 확률을 계산합니다.

확률은... 똑같습니다! 자, 이벤트를 생각해 봅시다. - Petya가 3위를 하고 Nastya와 Lena가 앞서게 하고 "좋은" 티켓을 꺼냅니다.

여기에는 더 많은 가설이 있습니다. 여성은 신사에게 성공한 티켓 2장을 "강탈"할 수 있고, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 실패한 티켓 2장에서 신사를 구하거나 "좋은" 티켓 1장과 "나쁜" 티켓 1장을 추출할 수 있습니다. 비슷한 추론을 수행하고 동일한 정리를 사용하면... 동일한 확률 값을 얻게 됩니다!

따라서 순전히 수학적 관점에서 볼 때 언제 진행되더라도 초기 확률은 변경되지 않습니다. 하지만. 이는 평균적인 이론적 추정일 뿐이므로, 예를 들어 Petya가 마지막에 간다고 해서 그가 초기 기회에 따라 선택할 수 있는 "좋은" 티켓 10개와 "나쁜" 티켓 5개를 갖게 된다는 의미는 아닙니다. 이 비율은 좋거나 나쁘게 변할 수 있지만 티켓 중에 "공짜 1개"가 있거나 그 반대인 "순전한 공포"가 있을 가능성은 여전히 ​​낮습니다. '특이한' 사례도 배제되지는 않지만, 대박 확률이 거의 0에 가까운 복권은 아직 300만 장도 아니다. 그러므로 '믿을 수 없는 행운'이나 '악운'이라는 표현은 너무 과장된 표현이 될 것이다. Petya가 티켓 30장 중 단 3장만 알고 있다고 해도 그의 확률은 10%로, 이는 0보다 눈에 띄게 높습니다. 그리고 개인적인 경험을 통해 반대의 경우를 말씀 드리겠습니다. 시험 중 분석 기하학나는 28개의 질문 중 24개의 질문을 잘 알고 있었기 때문에 티켓에서 두 개의 "나쁜" 질문을 발견했습니다. 이 이벤트가 발생할 확률을 직접 계산해 보세요 :)

수학과 "순수한 실험"은 좋지만 어떤 전략과 전술을 따르는 것이 여전히 더 수익성이 높습니까? 실제 상황에서? 물론 주관적인 요인도 고려해야합니다. 예를 들어 "용감한"에 대한 교사의 "할인"이나 시험이 끝날 때의 피로감 등이 있습니다. 종종 이러한 요소가 결정적일 수도 있지만 최종 논의에서는 추가적인 확률적 측면을 무시하지 않으려고 노력할 것입니다.

시험 준비가 잘 되어 있다면 "최전선"으로 가는 것이 더 나을 것입니다. 전체 티켓 세트가 있는 동안 가정은 " 일어날 것 같지 않은 사건은 일어나지 않는다"당신에게 훨씬 더 큰 효과가 있습니다. “티켓 15장에 불량 2장 포함” 비율보다 “티켓 30장, 불량 2장” 비율을 갖는 것이 훨씬 더 즐겁다는 데 동의합니다. 그리고 두 장의 티켓이 실패했다는 사실 별도의 시험으로 (평균 이론적 추정에 따른 것이 아닙니다!) 그들은 테이블 위에 남아있을 것입니다. 그것은 가능합니다.

이제 "Petya 상황"을 고려해 보겠습니다. 학생이 시험 준비를 아주 잘했지만 반면에 그는 "수영"도 잘하는 경우입니다. 즉, "그는 자신이 모르는 것보다 더 많은 것을 알고 있습니다." 이런 경우에는 5~6명이 먼저 나가서 관객석 밖에서 적절한 순간을 기다리게 하는 것이 바람직하다. 상황에 따라 행동하십시오. 곧 반 친구들이 어떤 종류의 티켓을 뽑았는지에 대한 정보가 들어오기 시작할 것입니다. (종속 이벤트가 다시 발생합니다!) , 그리고 "재생된" 질문에 더 이상 에너지를 낭비할 필요가 없습니다. 다른 티켓을 배우고 반복하여 초기 성공 확률을 높입니다. 수험생의 "첫 번째 배치"가 3-4개의 어려운 티켓(개인적으로)에서 한 번에 "구해냈다"면 가능한 한 빨리 시험에 응시하는 것이 더 유리합니다. 지금은 기회가 크게 늘어났습니다. 그 순간을 놓치지 않도록 노력하세요. 소수의 사람들만 앞서 나가면 이점이 사라질 가능성이 높습니다. 반대로 "불량" 티켓이 거의 없다면 기다리십시오. 몇 사람이 지나면이 "이상 현상"이 다시 발생하며, 사라지지 않으면 더 나은 방향으로 원활해질 것입니다. "일반적인" 가장 일반적인 경우에는 이점도 있습니다. 즉, "24개 티켓/8개 불량" 비율이 "30개 티켓/10개 불량" 비율보다 더 좋습니다. 왜? 더 이상 어려운 티켓이 10개가 아니라 8개입니다! 배가된 에너지로 소재를 연구하고 있어요!

준비가 잘 되어 있지 않다면 당연히 "마지막 줄"로 가는 것이 좋습니다. (특히 잃을 것이 없는 경우 독창적인 솔루션도 가능하지만). 상대적으로 간단한 질문 + 추가 벼락치기 + 총을 쏜 동료 학생들이 제공할 박차가 남을 가능성은 작지만 여전히 0이 아닌 확률이 있습니다. =) 그리고 그렇습니다. 매우 중요한 상황에서는 여전히 다음 날, 그룹의 두 번째 부분이 시험을 볼 때;-)

종속사건과 독립사건이 있습니다. 두 사건 중 하나의 발생이 다른 사건의 발생 확률을 변경하지 않는 경우 두 사건을 독립이라고 합니다. 예를 들어, 작업장에서 생산 조건으로 인해 상호 연결되지 않은 두 개의 자동 라인이 작동하는 경우 이러한 라인의 정지는 독립적인 이벤트입니다.

여러 이벤트가 호출됩니다. 집합적으로 독립하다, 그 중 하나라도 다른 이벤트 및 다른 이벤트의 조합에 의존하지 않는 경우.

이벤트가 호출됩니다. 매달린, 둘 중 하나가 다른 하나의 확률에 영향을 미치는 경우. 예를 들어, 두 개의 생산 공장이 단일 기술 주기로 연결되어 있습니다. 그러면 그 중 하나의 실패 확률은 다른 하나의 상태에 따라 달라집니다. 다른 사건 A의 발생을 가정하여 계산된 한 사건 B의 확률을 다음과 같이 부릅니다. 조건부 확률사건 B는 P(A|B)로 표시됩니다.

사건 A로부터 사건 B의 독립 조건은 P(B|A)=P(B)로 표현되고, 사건 B의 종속 조건은 P(B|A)≠P(B)로 표현됩니다.

베르누이 검정에서 사건의 확률. 포아송의 공식.

반복된 독립적인 테스트, 베르누이 테스트 또는 베르누이 회로이러한 테스트는 각 테스트에 대해 이벤트 A의 발생 또는 이러한 이벤트의 확률이 모든 테스트에서 변경되지 않고 두 가지 결과만 있는 경우 호출됩니다. 이 간단한 무작위 테스트 설계는 확률 이론에서 매우 중요합니다.

베르누이 테스트의 가장 유명한 예는 공정한(대칭적이고 균일한) 동전을 순차적으로 던지는 실험입니다. 여기서 이벤트 A는 예를 들어 "문장"("꼬리")의 손실입니다.

어떤 실험에서 사건 A의 확률이 다음과 같다고 하자. P(A)=p, 그 다음 , 여기서 p+q=1입니다. 개별 시행이 독립적이라고 가정하고 실험을 n 번 수행해 보겠습니다. 즉, 그 중 어느 하나의 결과가 이전(또는 후속) 시행의 결과와 관련이 없음을 의미합니다. 사건 A가 정확히 k번 발생할 확률을 찾아봅시다. 예를 들어 처음 k번의 시행에서만 말이죠. n번의 시행에서 사건 A가 첫 번째 시행에서 정확히 k번 나타나는 사건을 가정해 보겠습니다. 이벤트는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

실험이 독립적이라고 가정했기 때문에

41)[페이지2] n번의 시행에서 사건 A가 k번 발생하는 것에 대해 무작위 순서로 질문하면 사건은 다음과 같은 형식으로 표현될 수 있습니다.

이 등식의 우변에 있는 서로 다른 항의 수는 n에서 k까지의 시행 횟수와 같습니다. 따라서 우리가 표시할 사건의 확률은 다음과 같습니다.

일련의 사건은 독립적인 사건의 완전한 그룹을 형성합니다. . 실제로, 우리가 얻는 사건의 독립성으로부터

다소 무작위적인 사건을 계산하는 것이 가능한지 여부에 대해 많은 사람들이 생각하는 것 같지 않습니다. 간단히 말해서, 큐브의 어느 면이 다음에 나올지 아는 것이 가능합니까? 사건의 확률이 상당히 광범위하게 연구되는 확률 이론과 같은 과학의 기초를 놓은 두 명의 위대한 과학자가 스스로에게 질문한 것은 바로 이 질문이었습니다.

기원

확률 이론과 같은 개념을 정의하려고 하면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다. 이것은 무작위 사건의 불변성을 연구하는 수학 분야 중 하나입니다. 물론 이 개념이 본질 전체를 드러내는 것은 아니므로 좀 더 자세히 고찰할 필요가 있다.

나는 이론의 창시자들로부터 시작하고 싶습니다. 위에서 언급했듯이 두 가지가 있었고 공식과 수학적 계산을 사용하여 이것 또는 그 이벤트의 결과를 계산하려고 시도한 최초의 사람 중 하나였습니다. 일반적으로 이 과학의 시작은 중세 시대에 나타났습니다. 당시 다양한 사상가와 과학자들이 룰렛, 크랩스 등 도박 게임을 분석하여 특정 숫자가 빠지는 패턴과 비율을 확립하려고 노력했습니다. 위에서 언급한 과학자들은 17세기에 기초를 놓았습니다.

처음에는 그들의 작업이 이 분야에서 큰 성취로 간주될 수 없었습니다. 왜냐하면 그들이 한 것은 단지 경험적 사실에 불과했고, 공식을 사용하지 않고 시각적으로 실험을 수행했기 때문입니다. 시간이 지나면서 주사위를 던지는 모습을 관찰한 결과 큰 결과를 얻을 수 있었습니다. 최초의 이해하기 쉬운 공식을 도출하는 데 도움이 된 것은 바로 이 도구였습니다.

같은 생각을 가진 사람들

"확률 이론"이라는 주제를 연구하는 과정에서 Christiaan Huygens와 같은 사람을 언급하지 않는 것은 불가능합니다(사건의 확률은 이 과학에서 정확하게 다룹니다). 이 사람은 매우 흥미롭습니다. 위에 제시된 과학자들처럼 그는 수학 공식의 형태로 무작위 사건의 패턴을 도출하려고 노력했습니다. 그가 Pascal 및 Fermat와 함께 이것을하지 않았다는 점은 주목할 만합니다. 즉, 그의 모든 작품은 이러한 마음과 교차하지 않았습니다. 호이겐스 추론

흥미로운 사실은 그의 연구가 발견자들의 연구 결과보다 오래, 아니 오히려 20년 전에 나왔다는 것입니다. 확인된 개념 중 가장 유명한 것은 다음과 같습니다.

• 우연의 가치로서의 확률의 개념;
• 이산 사례에 대한 수학적 기대;
• 곱셈과 확률의 덧셈의 정리.

문제 연구에 누가 크게 기여했는지 기억하지 못하는 것도 불가능합니다. 그는 누구와도 독립적으로 자신의 테스트를 수행하여 대수의 법칙에 대한 증거를 제시할 수 있었습니다. 그 결과, 19세기 초에 활동했던 과학자 푸아송(Poisson)과 라플라스(Laplace)는 원래의 정리를 증명할 수 있었습니다. 관측의 오류를 분석하기 위해 확률 이론이 사용되기 시작한 것은 바로 이 순간부터였습니다. 러시아 과학자, 오히려 Markov, Chebyshev 및 Dyapunov는이 과학을 무시할 수 없었습니다. 위대한 천재들의 업적을 바탕으로 그들은 이 과목을 수학의 한 분야로 확립했습니다. 이 수치는 이미 19세기 말에 적용되었으며, 이들의 기여 덕분에 다음 현상이 입증되었습니다.

• 대수의 법칙;
• 마르코프 연쇄 이론;
• 중심 극한 정리.

따라서 과학 탄생의 역사와 그것에 영향을 준 주요 사람들을 통해 모든 것이 다소 명확합니다. 이제 모든 사실을 명확히 할 때가 왔습니다.

기본 개념

법칙과 정리를 다루기 전에 확률 이론의 기본 개념을 공부하는 것이 좋습니다. 이 행사는 그 안에서 주도적인 역할을 합니다. 이 주제는 상당히 방대하지만 그것 없이는 다른 모든 것을 이해할 수 없습니다.

확률 이론의 사건은 실험 결과의 집합입니다. 이 현상에는 몇 가지 개념이 있습니다. 따라서 이 분야에서 일하는 과학자 Lotman은 이 경우에 우리는 "일어나지 않았을지라도 일어난 일"에 대해 이야기하고 있다고 말했습니다.

무작위 사건(확률 이론은 이에 특별한 주의를 기울임)은 발생할 가능성이 있는 모든 현상을 절대적으로 암시하는 개념입니다. 또는 반대로 많은 조건이 충족되면 이 시나리오가 발생하지 않을 수도 있습니다. 발생한 현상의 전체량을 포착하는 것이 무작위 사건이라는 것도 아는 것이 가치가 있습니다. 확률 이론은 모든 조건이 지속적으로 반복될 수 있음을 나타냅니다. '경험' 또는 '시험'이라고 불리는 것은 그들의 행위이다.

신뢰할 수 있는 이벤트는 주어진 테스트에서 발생할 가능성이 100%인 현상입니다. 따라서 불가능한 사건은 일어나지 않을 사건이다.

한 쌍의 동작(조건부로 Case A와 Case B)이 결합되는 현상은 동시에 발생하는 현상입니다. AB로 지정됩니다.

사건 A와 B의 쌍의 합은 C입니다. 즉, 사건 중 적어도 하나(A 또는 B)가 발생하면 C를 얻습니다. 설명된 현상에 대한 공식은 다음과 같습니다. C = A + 비.

확률 이론의 부조화 사건은 두 가지 경우가 상호 배타적이라는 것을 의미합니다. 어떤 경우에도 동시에 일어날 수는 없습니다. 확률 이론의 공동 사건은 대척점입니다. 여기서 의미하는 바는 A가 발생하면 어떤 식으로든 B를 방해하지 않는다는 것입니다.

반대 사건(확률 이론에서는 이를 매우 자세하게 고려함)은 이해하기 쉽습니다. 그것들을 이해하는 가장 좋은 방법은 비교하는 것입니다. 이는 확률 이론의 양립할 수 없는 사건과 거의 동일합니다. 그러나 그들의 차이점은 어떤 경우에도 많은 현상 중 하나가 발생해야 한다는 사실에 있습니다.

똑같이 가능한 사건은 반복이 동일한 행동입니다. 더 명확하게 설명하자면, 동전을 던지는 것을 상상해 보세요. 동전의 한 면을 잃으면 다른 면에서도 떨어질 가능성이 동일합니다.

예를 들어 상서로운 사건을 고려하는 것이 더 쉽습니다. 에피소드 B와 에피소드 A가 있다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째는 홀수가 나오는 주사위 굴림이고, 두 번째는 주사위에 숫자 5가 나타나는 것입니다. 그러면 A가 B를 좋아한다는 사실이 밝혀집니다.

확률 이론에서 독립적인 사건은 두 개 이상의 경우에만 투영되며 다른 사건으로부터 모든 행동의 독립성을 의미합니다. 예를 들어 A는 동전을 던질 때 머리가 빠지는 경우이고 B는 덱에서 잭을 뽑는 경우입니다. 확률 이론에서는 독립적인 사건입니다. 이 시점에서 더 명확해졌습니다.

확률 이론의 종속 사건도 일련의 사건에 대해서만 허용됩니다. 즉, 현상 B는 A가 이미 발생했거나 반대로 발생하지 않은 경우에만 발생할 수 있으며 이것이 B의 주요 조건일 때 발생할 수 있습니다.

하나의 구성 요소로 구성된 무작위 실험의 결과는 기본 이벤트입니다. 확률 이론은 이것이 단 한 번만 일어난 현상이라고 설명합니다.

기본 공식

따라서 위에서는 "사건"과 "확률 이론"의 개념을 논의했으며 이 과학의 기본 용어에 대한 정의도 제공했습니다. 이제 중요한 공식을 직접 알아볼 차례입니다. 이러한 표현은 확률 이론과 같은 복잡한 주제의 모든 주요 개념을 수학적으로 확인합니다. 여기서도 사건의 확률이 큰 역할을 합니다.

기본적인 것부터 시작하는 것이 더 좋으며, 시작하기 전에 그것이 무엇인지 고려해 볼 가치가 있습니다.

조합론은 주로 수학의 한 분야로, 수많은 정수뿐만 아니라 숫자 자체와 해당 요소의 다양한 순열, 다양한 데이터 등을 연구하여 다양한 조합이 나타나는 것을 다루고 있습니다. 확률 이론 외에도 이 분야는 통계, 컴퓨터 과학 및 암호화에도 중요합니다.

이제 공식 자체와 정의를 제시하는 단계로 넘어갈 수 있습니다.

그 중 첫 번째는 순열 수에 대한 표현식이며 다음과 같습니다.

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

방정식은 요소의 배열 순서만 다른 경우에만 적용됩니다.

이제 배치 공식을 고려하면 다음과 같습니다.

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n-m)!

이 표현은 요소 배치 순서뿐만 아니라 요소 구성에도 적용됩니다.

조합론의 세 번째 방정식이자 마지막 방정식을 조합 수에 대한 공식이라고 합니다.

C_n^m = n! : ((n - m))! :중!

조합은 순서가 지정되지 않은 선택 항목을 의미하므로 이 규칙이 적용됩니다.

조합 공식을 이해하는 것은 쉬웠습니다. 이제 확률의 고전적 정의로 넘어갈 수 있습니다. 이 표현식은 다음과 같습니다.

이 공식에서 m은 사건 A에 유리한 조건의 수이고, n은 절대적으로 동일하게 가능한 기본 결과의 수입니다.

많은 표현이 있으므로 기사에서 모든 표현을 다루지는 않지만 가장 중요한 표현(예: 사건 합계의 확률)을 다룰 것입니다.

P(A + B) = P(A) + P(B) - 이 정리는 호환되지 않는 이벤트만 추가하기 위한 것입니다.

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - 이는 호환되는 것만 추가하기 위한 것입니다.

사건 발생 확률:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - 이 정리는 독립 사건에 대한 것입니다.

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - 이는 종속 항목에 대한 것입니다.

이벤트 목록은 이벤트 공식에 따라 완성됩니다. 확률 이론은 다음과 같은 베이즈 정리에 대해 알려줍니다.

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N

이 공식에서 H 1, H 2, ..., H n 은 완전한 가설군입니다.

예

수학의 어떤 부분이라도 주의 깊게 연구한다면 연습문제와 샘플 솔루션이 없으면 완성되지 않습니다. 확률 이론도 마찬가지입니다. 여기서 일어나는 사건과 사례는 과학적 계산을 확인하는 필수 구성 요소입니다.

순열 수에 대한 공식

카드 한 벌에 30장의 카드가 있고 값이 1부터 시작한다고 가정해 보겠습니다. 다음 질문. 1과 2의 가치를 지닌 카드가 서로 옆에 있지 않도록 덱을 쌓는 방법은 몇 가지입니까?

작업이 설정되었으므로 이제 문제 해결을 진행하겠습니다. 먼저 30개 요소의 순열 수를 결정해야 합니다. 이를 위해 위에 제시된 공식을 사용하면 P_30 = 30!이 됩니다.

이 규칙에 따라 우리는 덱을 다양한 방법으로 접는 데 몇 가지 옵션이 있는지 알아내지만 첫 번째 카드와 두 번째 카드가 나란히 있는 옵션을 빼야 합니다. 이를 위해 첫 번째가 두 번째보다 높을 때 옵션부터 시작하겠습니다. 첫 번째 카드는 첫 번째부터 29번째까지 29자리를 차지할 수 있고, 두 번째 카드는 두 번째부터 30번째까지, 한 쌍의 카드에 대해 총 29자리를 차지할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 나머지는 순서에 상관없이 28자리를 수용할 수 있습니다. 즉, 28장의 카드를 재배열하려면 28개의 옵션이 있습니다. P_28 = 28!

결과적으로, 첫 번째 카드가 두 번째 카드 위에 있을 때 솔루션을 고려하면 29 ⋅ 28개의 추가 가능성이 있는 것으로 나타났습니다! = 29!

동일한 방법을 사용하여 첫 번째 카드가 두 번째 카드 아래에 있는 경우에 대한 중복 옵션 수를 계산해야 합니다. 또한 29 ⋅ 28로 밝혀졌습니다! = 29!

이에 따라 2 ⋅ 29개의 추가 옵션이 있고, 데크를 조립하는 데 필요한 방법은 30개입니다! - 2 ⋅ 29!. 남은 것은 계산하는 것뿐입니다.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

이제 1부터 29까지의 모든 숫자를 곱하고 마지막으로 모든 숫자에 28을 곱해야 합니다. 답은 2.4757335 ⋅〖10〗^32입니다.

예제 솔루션. 배치 번호 공식

이 문제에서는 총 30권이 있는 경우 한 선반에 15권을 놓을 수 있는 방법이 몇 가지인지 알아내야 합니다.

이 문제에 대한 해결책은 이전 문제보다 조금 더 간단합니다. 이미 알려진 공식을 사용하여 30권 15권의 총 편곡 수를 계산해야 합니다.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202,843,204,931,727,360,000

따라서 답은 202,843,204,931,727,360,000이 됩니다.

이제 조금 더 어려운 작업을 수행해 보겠습니다. 한 책장에 15권만 담을 수 있는데, 두 책장에 30권의 책을 배열하려면 몇 가지 방법이 있는지 알아내야 합니다.

솔루션을 시작하기 전에 일부 문제는 여러 가지 방법으로 해결할 수 있다는 점을 분명히 하고 싶습니다. 이 방법에는 두 가지 방법이 있지만 둘 다 동일한 공식을 사용합니다.

이 문제에서는 이전 문제에서 답을 얻을 수 있습니다. 왜냐하면 우리는 다양한 방법으로 15권의 책으로 선반을 채울 수 있는 횟수를 계산했기 때문입니다. A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16으로 나타났습니다.

두 번째 선반은 순열 공식을 사용하여 계산할 것입니다. 그 안에는 15권의 책을 넣을 수 있고 15권만 남아 있기 때문입니다. 우리는 공식 P_15 = 15!를 사용합니다.

총계는 A_30^15 ⋅ P_15 방식이 될 것으로 밝혀졌지만, 이 외에도 30에서 16까지의 모든 숫자의 곱에 1에서 15까지의 숫자의 곱을 곱해야 합니다. 1부터 30까지의 모든 숫자의 곱을 구하게 됩니다. 즉, 답은 30입니다!

하지만 이 문제는 다른 방법으로 더 쉽게 해결할 수 있습니다. 이렇게 하려면 30권의 책을 담을 수 있는 선반이 하나 있다고 상상해 보세요. 모두 이 평면에 배치되어 있지만 조건상 선반이 두 개 있어야 하므로 긴 것을 반으로 나누어서 15개 중 2개를 얻습니다. 이것으로부터 P_30 = 30개의 배열 옵션이 있을 수 있다는 것이 밝혀졌습니다!.

예제 솔루션. 조합 수의 공식

이제 우리는 조합론의 세 번째 문제 버전을 고려해 보겠습니다. 30권의 완전히 동일한 책 중에서 선택해야 한다면 15권의 책을 배열하는 방법의 수를 알아내는 것이 필요합니다.

물론 이를 해결하기 위해서는 조합 수에 대한 공식이 적용됩니다. 조건을 보면 동일한 15권의 책의 순서는 중요하지 않다는 것이 분명해집니다. 그러므로 처음에는 15권으로 이루어진 30권의 총 조합 수를 알아내야 합니다.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155117520

그게 다야. 이 공식을 사용하여 우리는 가능한 가장 짧은 시간에 이 문제를 해결할 수 있었으며, 그에 따른 답은 155,117,520입니다.

예제 솔루션. 확률의 고전적 정의

위의 공식을 사용하면 간단한 문제에 대한 답을 찾을 수 있습니다. 그러나 이는 작업 진행 상황을 명확하게 확인하고 추적하는 데 도움이 됩니다.

문제는 항아리 안에 완전히 똑같은 공이 10개 있다는 것입니다. 그 중 4개는 노란색이고 6개는 파란색입니다. 항아리에서 공 하나를 가져옵니다. 파란색이 나올 확률을 알아내야 합니다.

문제를 해결하려면 파란 공을 얻는 것을 사건 A로 지정해야 합니다. 이 실험은 10가지 결과를 가질 수 있으며 이는 기본적이고 동일하게 가능합니다. 동시에 10개 중 6개가 사건 A에 유리합니다. 다음 공식을 사용하여 해결합니다.

P(A) = 6: 10 = 0.6

이 공식을 적용하면 파란색 공이 나올 확률은 0.6이라는 것을 알 수 있습니다.

예제 솔루션. 사건의 합계 확률

이제 사건 합계 확률 공식을 사용하여 해결되는 옵션이 제시됩니다. 따라서 두 개의 상자가 있다는 조건이 주어집니다. 첫 번째 상자에는 회색 공 1개와 흰색 공 5개가 들어 있고, 두 번째 상자에는 회색 공 8개와 흰색 공 4개가 들어 있습니다. 그 결과 그들은 첫 번째와 두 번째 상자에서 그 중 하나를 가져갔습니다. 당신이 얻은 공이 회색과 흰색일 확률이 얼마나 되는지 알아내야 합니다.

이 문제를 해결하려면 이벤트를 식별해야 합니다.

• 따라서 A는 첫 번째 상자에서 회색 공을 가져왔습니다. P(A) = 1/6입니다.
• A' - 첫 번째 상자에서도 흰색 공을 가져옵니다. P(A") = 5/6.
• B - 두 번째 상자에서 회색 공이 제거되었습니다. P(B) = 2/3.
• B' - 두 번째 상자에서 회색 공을 가져옵니다. P(B") = 1/3.

문제의 조건에 따라 AB' 또는 A'B라는 현상 중 하나가 발생해야 합니다. 공식을 사용하면 P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18을 얻습니다.

이제 확률을 곱하는 공식이 사용되었습니다. 다음으로 답을 찾으려면 추가 방정식을 적용해야 합니다.

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

이것이 공식을 사용하여 유사한 문제를 해결하는 방법입니다.

결론

이 기사에서는 사건의 확률이 중요한 역할을 하는 "확률 이론"이라는 주제에 대한 정보를 제공했습니다. 물론 모든 것이 고려된 것은 아니지만 제시된 텍스트를 기반으로 이론적으로 이 수학 섹션에 익숙해질 수 있습니다. 문제의 과학은 전문적인 문제뿐만 아니라 일상생활에서도 유용할 수 있습니다. 그것의 도움으로 모든 사건의 가능성을 계산할 수 있습니다.

이 텍스트는 또한 과학으로서의 확률 이론 형성의 역사에서 중요한 날짜와 이에 투자한 사람들의 이름을 다루었습니다. 이것이 인간의 호기심이 사람들이 무작위 사건까지 계산하는 법을 배웠다는 사실로 이어진 방법입니다. 옛날 옛적에 그들은 단순히 이것에 관심이 있었지만 오늘날에는 모두가 이미 그것에 대해 알고 있습니다. 그리고 미래에 우리를 기다리는 것이 무엇인지, 고려중인 이론과 관련된 다른 훌륭한 발견이 이루어질 것이라고 아무도 말하지 않을 것입니다. 그러나 한 가지 확실한 점은 연구가 멈추지 않는다는 것입니다!

확률의 정의

고전적인 정의

확률의 고전적인 "정의"는 다음 개념에서 비롯됩니다. 평등한 기회연구되는 현상의 객관적인 속성으로. 평등한 가능성은 정의되지 않은 개념이며 연구 중인 현상의 대칭성에 대한 일반적인 고려 사항을 통해 확립됩니다. 예를 들어, 동전을 던질 때 동전의 대칭성, 재료의 균질성 및 던지기의 무작위성(공평성)으로 인해 "앞면"보다 "뒷면"을 선호할 이유가 없다고 가정합니다. 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 즉, 이러한 측면의 발생은 동등하게 가능하다고 간주될 수 있습니다.

일반적인 경우의 평등한 가능성 개념과 함께, 고전적 정의는 연구 A의 사건에 유리한지 여부에 관계없이 기본 사건(결과)의 개념도 요구합니다. 다른 결과가 발생할 가능성은 배제됩니다. 이는 호환되지 않는 기본 이벤트입니다. 예를 들어, 주사위를 던질 때 특정 숫자를 맞추면 다른 숫자가 나타나지 않습니다.

확률의 고전적인 정의는 다음과 같이 공식화될 수 있습니다.

무작위 사건의 확률ㅏ 수비라고 한다 N 사건을 구성하는 양립할 수 없는 동일 확률의 기본 사건ㅏ , 가능한 모든 기본 사건의 수 N :

예를 들어 주사위 두 개를 던졌다고 해보자. 동등하게 가능한 결과(기본 이벤트)의 총 수는 분명히 36입니다(각 주사위에 6개의 가능성). 7점을 얻을 확률을 추정해 봅시다. 7점을 얻는 방법은 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1입니다. 즉, 사건 A를 선호하는 균등하게 가능한 결과는 6개뿐입니다. 즉, 7점을 얻습니다. 따라서 확률은 6/36=1/6이 됩니다. 비교하자면 12점이나 2점을 얻을 확률은 1/36~6배에 불과합니다.

기하학적 정의

고전적 정의가 직관적이고 실천에서 파생된다는 사실에도 불구하고, 적어도 동등하게 가능한 결과의 수가 무한한 경우에는 직접 적용할 수 없습니다. 무한한 수의 가능한 결과에 대한 놀라운 예는 예를 들어 면적 S가 있는 평면에서 제한된 기하학적 영역 G입니다. 동일한 확률로 무작위로 "던져진" "점"은 이 영역의 어느 지점에서든 끝날 수 있습니다. 문제는 점이 면적 s를 갖는 특정 하위 영역 g에 포함될 확률을 결정하는 것입니다. 이 경우 고전적 정의를 일반화하면 하위 도메인에 들어갈 확률에 대한 기하학적 정의에 도달할 수 있습니다.

등가성으로 인해 이 확률은 영역 g의 모양에 의존하지 않고 면적에만 의존합니다. 이 정의는 면적 대신 '부피'라는 개념을 사용할 수 있는 모든 차원의 공간으로 자연스럽게 일반화될 수 있습니다. 더욱이, 확률에 대한 현대적인 공리적 정의로 이어지는 것은 바로 이 정의입니다. 볼륨의 개념은 기하학적 해석에서 "볼륨"과 동일한 요구 사항이 적용되는 일부 추상 집합의 "측정값" 개념으로 일반화됩니다. 우선 이는 비음성과 가산성입니다.

빈도(통계) 정의

복잡한 문제를 고려할 때 고전적 정의는 극복할 수 없는 어려움에 직면합니다. 특히 어떤 경우에는 동일한 가능성의 사례를 식별하는 것이 불가능할 수도 있습니다. 우리가 알고 있듯이 동전의 경우에도 이론적 고려 사항으로는 평가할 수 없는 "가장자리"가 빠질 가능성이 분명히 동등하지 않습니다. 현실적인). 따라서 확률론이 형성되기 초창기에도 확률에 대한 대안적인 “빈도” 정의가 제안되었습니다. 즉, 공식적으로 확률은 관측값의 동질성(즉, 모든 관측 조건의 동일성)과 서로 독립성을 가정하여 사건 A의 관측 빈도에 대한 한계로 정의할 수 있습니다.

여기서 는 관측치 수이고 는 사건 발생 횟수입니다.

이 정의는 오히려 다수의 동질적이고 독립적인 관찰을 통해 알려지지 않은 확률을 추정하는 방법을 나타냄에도 불구하고 이 정의는 확률 개념의 내용을 반영합니다. 즉, 특정 확률이 가능성에 대한 객관적인 척도로 사건에 할당되면 이는 고정된 조건과 반복 반복 하에서 해당 사건의 발생 빈도를 거의 얻어야 함을 의미합니다(관찰이 더 가까울수록). 사실 이것이 확률 개념의 원래 의미이다. 이는 자연 현상에 대한 객관주의적 관점에 기초하고 있습니다. 아래에서는 확률의 빈도 추정을 포함하여 이론적 기초(아래에 설명된 현대 공리적 접근 방식의 틀 내에서)를 제공하는 소위 대수의 법칙을 고려할 것입니다.

공리적 정의

현대 수학적 접근 방식에서는 확률이 주어집니다. 콜모고로프의 공리학. 일부는 초등행사 공간. 이 공간의 하위 집합은 다음과 같이 해석됩니다. 무작위 이벤트. 일부 하위 집합(사건)의 합집합(합)은 발생으로 구성된 사건으로 해석됩니다. 적어도 하나이러한 이벤트에서. 하위 집합(사건)의 교집합(곱)은 발생으로 구성된 사건으로 해석됩니다. 모든 사람이러한 이벤트. 서로소 집합은 다음과 같이 해석됩니다. 호환되지 않는이벤트 (합동 공격은 불가능합니다). 따라서 빈 집합은 다음을 의미합니다. 불가능한이벤트.

확률( 확률 측정) 라고 한다 측정하다(수치 함수)는 일련의 이벤트에 정의되며 다음과 같은 속성을 갖습니다.

초등행사X의 공간이라면 틀림없이, 임의의 두 개의 호환되지 않는 이벤트에 대해 지정된 가산성 조건으로 충분하며, 이로부터 모든 가산성이 따릅니다. 결정적인호환되지 않는 이벤트의 수. 그러나 기본 사건의 무한(가산 또는 불가산) 공간의 경우 이 조건은 충분하지 않습니다. 소위 가산 또는 시그마 가산성즉, 임의의 가산성 속성을 충족하는 것입니다. 셀 수 없을 정도로쌍으로 호환되지 않는 이벤트 패밀리. 이는 확률 측정의 "연속성"을 보장하는 데 필요합니다.

확률 측정은 집합의 모든 하위 집합에 대해 정의되지 않을 수 있습니다. 어느 정도 정의된 것으로 추정된다. 시그마 대수학하위 집합 . 이러한 하위 집합을 호출합니다. 측정 가능주어진 확률 척도에 따르면 이는 정확히 무작위 사건입니다. 세트(즉, 기본 이벤트 세트, 해당 하위 세트의 시그마 대수 및 확률 측정)를 호출합니다. 확률 공간.

연속확률변수.임의의 간격을 완전히 채우지 않는 유한 또는 무한의 숫자 시퀀스를 형성하는 가능한 값인 이산 확률 변수 외에도 가능한 값이 특정 간격을 형성하는 확률 변수가 종종 있습니다. 이러한 무작위 변수의 예는 적절하게 조정된 기술 프로세스를 통해 특정 크기의 부품 공칭 값과의 편차입니다. 이런 종류의 확률변수는 확률분포의 법칙을 사용하여 특정할 수 없습니다. 피(x). 그러나 확률 분포 함수를 사용하여 지정할 수 있습니다. 에프엑스(F(x)). 이 함수는 이산 확률 변수의 경우와 정확히 동일한 방식으로 정의됩니다.

따라서 여기에도 함수가 있습니다. 에프엑스(F(x))전체 수직선에 정의되어 있으며 해당 지점의 값 엑스확률 변수가 다음보다 작은 값을 가질 확률과 같습니다. 엑스. 공식 (19)와 속성 1° 및 2°는 임의 변수의 분포 함수에 유효합니다. 증명은 이산량의 경우와 유사하게 수행됩니다. 확률변수가 호출됩니다. 마디 없는, 모든 값을 만족하는 음이 아닌 조각별 연속 함수*가 있는 경우 엑스평등

면적으로서의 적분의 기하학적 의미를 바탕으로 부등식을 충족할 확률은 밑변이 있는 곡선 사다리꼴의 면적과 같다고 말할 수 있습니다. , 곡선으로 경계가 지정됩니다 (그림 6).

이후 , 및 공식 (22)에 기초

연속 확률 변수의 경우 분포 함수는 다음과 같습니다. 에프엑스(F(x))어느 지점에서나 계속 엑스, 여기서 함수는 연속적입니다. 이는 다음과 같은 사실에서 비롯됩니다. 에프엑스(F(x))이 점에서 구별이 가능합니다. 공식 (23)에 기초하여, 엑스 1 =x, , 우리는

기능의 연속성으로 인해 에프엑스(F(x))우리는 그것을 얻습니다

따라서

따라서, 연속 확률 변수가 임의의 단일 값 x를 취할 수 있는 확률은 0입니다.. 각 불평등의 성취로 구성된 사건은 다음과 같습니다.

그들은 동일한 확률을 가지고 있습니다.

실제로 예를 들면,

왜냐하면 논평.아시다시피, 어떤 사건이 불가능하다면 그 사건이 일어날 확률은 0입니다. 확률에 대한 고전적인 정의를 사용하면 테스트 결과의 수가 유한할 때 반대 명제도 성립합니다. 즉, 사건의 확률이 0이면 사건은 불가능합니다. 이 경우 어떤 테스트 결과도 이를 선호하지 않기 때문입니다. 연속 확률 변수의 경우 가능한 값의 수는 무한합니다. 이 양이 특정 값을 가질 확률 엑스 1 우리가 본 것처럼 는 0과 같습니다. 그러나 테스트의 결과로 랜덤 변수가 특히 다음 값을 취할 수 있기 때문에 이 사건이 불가능하다는 결론은 나오지 않습니다. 엑스 1 . 따라서 연속 확률 변수의 경우 확률 변수가 특정 값을 취할 확률이 아니라 간격에 포함될 확률에 대해 이야기하는 것이 합리적입니다. 예를 들어 롤러를 만들 때 롤러의 직경이 공칭 값과 같을 확률에는 관심이 없습니다. 우리에게 중요한 것은 롤러의 직경이 공차 범위 내에 있을 확률입니다. 예.연속확률변수의 분포밀도는 다음과 같이 주어진다.

함수 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 7. 확률변수가 부등식을 만족하는 값을 가질 확률을 구하고, 주어진 확률변수의 분포함수를 구합니다. ( 해결책)

다음 두 단락에서는 실제로 자주 접하는 연속 확률 변수의 분포, 즉 균일 분포와 정규 분포에 대해 다룹니다.

* 어떤 선분에서 연속이거나 유한한 수의 제1종 불연속점을 갖는 함수를 전체 수직선에서 조각 연속이라고 합니다. ** 유한 하한의 경우에 도출된 가변 상한을 갖는 적분을 미분하는 규칙은 무한 하한을 갖는 적분에 대해 유효합니다. 물론,

적분 이후

일정한 값이 있습니다.

종속 및 독립 이벤트. 조건부 확률

종속사건과 독립사건이 있습니다. 두 사건 중 하나의 발생이 다른 사건의 발생 확률을 변경하지 않는 경우 두 사건을 독립이라고 합니다. 예를 들어, 작업장에서 생산 조건으로 인해 상호 연결되지 않은 두 개의 자동 라인이 작동하는 경우 이러한 라인의 정지는 독립적인 이벤트입니다.

예시 3.동전은 두 번 던져집니다. 첫 번째 시행(이벤트 )에서 “문장”이 나타날 확률은 두 번째 시행(이벤트 )에서 “문장”이 출현하는지 여부에 의존하지 않습니다. 결과적으로 두 번째 테스트에서 '문장'이 나타날 확률은 첫 번째 테스트 결과에 의존하지 않습니다. 따라서 사건은 둘 다 독립적입니다.

여러 이벤트가 호출됩니다. 집합적으로 독립하다 , 그 중 하나라도 다른 이벤트 및 다른 이벤트의 조합에 의존하지 않는 경우.

이벤트가 호출됩니다. 매달린 , 둘 중 하나가 다른 하나의 확률에 영향을 미치는 경우. 예를 들어, 두 개의 생산 공장이 단일 기술 주기로 연결되어 있습니다. 그러면 그 중 하나의 실패 확률은 다른 하나의 상태에 따라 달라집니다. 다른 사건의 발생을 가정하여 계산된 한 사건의 확률을 호출합니다. 조건부 확률 이벤트이며 로 표시됩니다.

이벤트로부터 이벤트의 독립 조건은 형식으로 작성되고 종속 조건은 형식으로 작성됩니다. 사건의 조건부 확률을 계산하는 예를 고려해 보겠습니다.

예시 4.상자에는 5개의 절단기가 들어 있습니다. 2개는 마모되었고 3개는 새 것입니다. 절치의 두 가지 순차적 추출이 수행됩니다. 처음에 제거한 칼날이 상자에 다시 들어가지 않는다는 전제 하에 두 번째 추출 중에 마모된 칼날이 나타날 조건부 확률을 구합니다.

해결책. 첫 번째 경우에는 낡은 커터를 추출하고 새 커터를 추출하는 것을 나타냅니다. 그 다음에 . 제거된 절단기는 상자로 반환되지 않으므로 마모된 절단기와 새 절단기의 수량 비율이 변경됩니다. 결과적으로 두 번째 경우에 마모된 커터를 제거할 확률은 이전에 어떤 이벤트가 발생했는지에 따라 달라집니다.

두 번째 경우에 마모된 커터를 제거하는 이벤트를 표시해 보겠습니다. 이 사건의 확률은 다음과 같습니다:

따라서 사건의 확률은 사건이 발생했는지 여부에 따라 달라집니다.

확률밀도- 유클리드 공간에서 확률 측정을 지정하는 방법 중 하나입니다. 확률 측정이 무작위 변수의 분포인 경우에 우리는 다음과 같이 말합니다. 밀도무작위 변수.

확률 밀도 를 확률 측정이라고 하자. 즉, 확률 공간이 정의되고, 여기서 는 Borel σ-대수를 나타냅니다. 르베그 측정값을 표시해 보겠습니다.

정의 1. Lebesgue 측정값 0의 Borel 집합에도 확률 0이 있는 경우 확률은 (Lebesgue 측정값과 관련하여) 절대적으로 연속적이라고 합니다.

확률이 절대적으로 연속적이면 Radon-Nikodym 정리에 따르면 다음과 같은 음이 아닌 Borel 함수가 있습니다.

,

일반적인 약어가 사용되는 경우 , 그리고 적분은 르베그 의미로 이해됩니다.

정의 2.보다 일반적인 형태로 임의의 측정 가능한 공간을 만들고 이 공간에 대한 두 가지 측정값을 지정합니다. 측정값을 다음 형식으로 표현할 수 있는 음수가 아닌 값이 있는 경우

그런 다음 그러한 함수가 호출됩니다 밀도 측정 ~처럼 , 또는 라돈-니코딤 유도체측정값에 대한 측정값 , 및 표시