무작위 실험에서 대칭 동전은 두 배가 됩니다. 확률 이론의 문제. 조합 열거 방식

작업 공식화:무작위 실험에서 대칭 동전을 두 번 던졌습니다. 앞면(꼬리)이 한 번도 빠지지 않을 확률을 구하십시오(정확히/최소 1, 2번).

과제는 10학년 11학년의 기초 수학 수학 USE에 포함됩니다(확률의 고전적 정의).

이러한 문제를 예제를 통해 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.

작업 1 예:

무작위 실험에서 대칭 동전을 두 번 던졌습니다. 앞면이 나오지 않을 확률을 구하십시오.

OO 또는 RO RR

이러한 조합은 총 4가지이며, 그중 독수리가 한 마리도 없는 조합에만 관심이 있습니다. 이러한 조합(PP)은 하나만 있습니다.

P = 1 / 4 = 0.25

답: 0.25

작업 2 예:

무작위 실험에서 대칭 동전을 두 번 던졌습니다. 앞면이 정확히 두 번 나올 확률을 구하십시오.

동전을 두 번 던졌을 때 나올 수 있는 가능한 모든 조합을 고려하십시오. 편의상 독수리는 O로, 꼬리는 P로 표시하겠습니다.

OO 또는 RO RR

이러한 조합은 총 4가지가 있으며, 머리가 정확히 2번 나타나는 조합에만 관심이 있습니다. 그러한 조합(OO)은 하나뿐입니다.

P = 1 / 4 = 0.25

답: 0.25

작업 3 예:

무작위 실험에서 대칭 동전을 두 번 던졌습니다. 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 구하십시오.

동전을 두 번 던졌을 때 나올 수 있는 가능한 모든 조합을 고려하십시오. 편의상 독수리는 O로, 꼬리는 P로 표시하겠습니다.

OO 또는 RO RR

총 4개의 이러한 조합이 있으며 그 중 정확히 1번만 헤드가 빠진 조합에만 관심이 있습니다. 이러한 조합(OP 및 RO)은 두 가지뿐입니다.

답: 0.5

작업 4 예:

무작위 실험에서 대칭 동전을 두 번 던졌습니다. 앞면이 한 번 나올 확률을 구하십시오.

동전을 두 번 던졌을 때 나올 수 있는 가능한 모든 조합을 고려하십시오. 편의상 독수리는 O로, 꼬리는 P로 표시하겠습니다.

OO 또는 RO RR

이러한 조합은 총 4가지가 있으며, 헤드가 한 번 이상 빠지는 조합만 관심을 갖습니다. 이러한 조합은 세 가지뿐입니다(OO, OR 및 RO).

P = 3 / 4 = 0.75

무작위 실험에서 대칭 동전을 던졌습니다 ...

서문으로.
동전에는 앞면과 뒷면의 양면이 있다는 것은 누구나 알고 있습니다.
화폐 주의자들은 동전에 앞면, 뒷면 및 모서리의 세 가지면이 있다고 믿습니다.
그리고 그 중에서도 대칭 동전이 무엇인지 아는 사람은 거의 없습니다. 그러나 그들은 시험을 준비하는 사람들에 대해 알고 있습니다.

일반적으로 이 기사에서는 다음 항목에 중점을 둘 것입니다. 특이한 동전, 화폐와 관련이 없지만 동시에 학생들 사이에서 가장 인기있는 동전입니다.

그래서.
대칭 동전- 이것은 크기, 무게, 직경 등이 없는 가상의 수학적으로 이상적인 동전입니다. 결과적으로 그러한 동전에도 가장자리가 없습니다. 즉, 실제로 양면만 있습니다. 대칭 동전의 주요 속성은 이러한 조건에서 앞면 또는 뒷면이 떨어질 확률이 정확히 동일하다는 것입니다. 그리고 그들은 사고 실험을 위해 대칭 동전을 생각해 냈습니다.
대칭형 동전의 가장 인기 있는 문제는 다음과 같습니다. "무작위 실험에서 대칭형 동전을 두 번 던집니다(3번, 4번 등). 한쪽 면이 떨어질 확률을 결정해야 합니다. 일정 횟수.

대칭 동전으로 문제 해결

던지기의 결과로 동전이 앞면이나 뒷면으로 떨어질 것이 분명합니다. 몇 번 - 던질 던지기에 따라 다릅니다. 앞면 또는 뒷면이 나올 확률은 조건을 만족하는 결과의 수를 가능한 결과의 총수로 나누어 계산합니다.

한 던지기

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 머리나 꼬리가 나올 것입니다. 저것들. 두 가지 가능한 결과가 있으며 그 중 하나는 우리를 만족시킵니다 - 1/2=50%

투 던지기

두 번 던지면 떨어질 수 있습니다.
독수리 두 마리
두 개의 꼬리
머리 다음 꼬리
꼬리, 그 다음 머리
저것들. 네 가지 옵션만 가능합니다. 한 번 이상 던지는 문제는 가능한 옵션의 표를 만들어 해결하는 것이 가장 쉽습니다. 편의상 머리를 "0"으로, 꼬리를 "1"로 표시하겠습니다. 그러면 가능한 결과 테이블은 다음과 같습니다.
00
01
10
11
예를 들어 앞면이 한 번 떨어질 확률을 찾아야 하는 경우 테이블에서 적절한 옵션의 수를 계산하면 됩니다. 독수리가 한 번 발생하는 라인. 그런 선이 두 개 있습니다. 따라서 대칭 동전을 두 번 던질 때 앞면이 하나 나올 확률은 2/4=50%입니다.
두 번의 던지기에서 앞면이 두 번 나올 확률은 1/4=25%입니다.

장미 세 송이

우리는 옵션 테이블을 만듭니다.
000
001
010
011
100
101
110
111
이진 미적분학에 익숙한 사람들은 우리가 무엇을 했는지 이해합니다. :) 예, "0"에서 "7"까지의 이진수입니다. 이렇게 하면 옵션과 혼동하지 않는 것이 더 쉽습니다.
이전 단락의 문제를 해결합시다. 독수리가 한 번 떨어질 확률을 계산합니다. "0"이 한 번 나타나는 세 행이 있습니다. 따라서 대칭 동전을 세 번 던질 때 앞면이 하나 나올 확률은 3/8=37.5%입니다.
세 번 던지면 헤딩이 두 번 나올 확률은 3/8=37.5%입니다. 절대적으로 동일합니다.
세 번 던질 때 머리가 세 번 떨어질 확률은 1/8 = 12.5%입니다.

포 던지기

우리는 옵션 테이블을 만듭니다.
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
앞면이 한 번 나올 확률. 세 번 던진 경우와 마찬가지로 "0"이 한 번 발생하는 행은 세 개뿐입니다. 그러나 이미 16가지 옵션이 있습니다. 따라서 대칭 동전을 네 번 던질 때 앞면이 하나 나올 확률은 3/16=18.75%입니다.
독수리가 세 번 던지면 두 번 떨어질 확률은 6/8=75%입니다.
세 번의 던지기에서 앞면이 세 번 나올 확률은 4/8=50%입니다.

따라서 던지기 횟수가 증가함에 따라 문제 해결 원칙은 전혀 변경되지 않으며 적절한 진행에서만 옵션 수가 증가합니다.

확률 이론에는 확률의 고전적 정의를 알고 제안 된 상황을 시각화하는 것으로 충분한 솔루션에 대한 문제 그룹이 있습니다. 이러한 문제는 대부분의 동전 던지기 문제와 주사위 던지기 문제입니다. 확률의 고전적 정의를 상기하십시오.

사건 A의 확률 (수치적으로 발생하는 사건의 객관적 가능성)은 이 사건에 유리한 결과의 수와 동등하게 양립할 수 없는 모든 기본 결과의 총 수의 비율과 같습니다. P(A)=m/n, 어디:

• m은 사건 A의 발생을 선호하는 기본 테스트 결과의 수입니다.
• n은 가능한 모든 기본 테스트 결과의 총 수입니다.

가능한 모든 옵션(조합)을 열거하고 직접 계산하여 고려 중인 문제에서 가능한 기본 테스트 결과의 수와 유리한 결과의 수를 결정하는 것이 편리합니다.

표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=4임을 알 수 있습니다. 이벤트 A = (독수리 1회 낙상)의 유리한 결과는 실험의 2번과 3번 옵션에 해당하며, 이러한 옵션 m=2가 2개 있습니다.
사건의 확률 찾기 Р(А)=m/n=2/4=0.5

작업 2 . 무작위 실험에서 대칭 동전을 두 번 던졌습니다. 앞면이 나오지 않을 확률을 구하십시오.

해결책 . 동전을 두 번 던졌으므로 문제 1에서와 같이 가능한 기본 결과의 수는 n=4입니다. 이벤트 A = (독수리는 한 번도 떨어지지 않음)의 유리한 결과는 실험의 변형 번호 4에 해당합니다(작업 1의 표 참조). 이러한 옵션은 하나만 있으므로 m=1입니다.
사건의 확률 찾기 Р(А)=m/n=1/4=0.25

작업 3 . 무작위 실험에서 대칭 동전을 세 번 던졌습니다. 앞면이 정확히 2번 나올 확률을 구하십시오.

해결책 . 가능한 옵션세 개의 동전 던지기(모든 가능한 앞면과 뒷면 조합)가 표 형식으로 표시됩니다.

표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=8임을 알 수 있습니다. 이벤트 A = (헤드 2번)의 유리한 결과는 실험의 옵션 5, 6 및 7에 해당합니다. 세 가지 옵션이 있으므로 m=3입니다.
사건의 확률 구하기 Р(А)=m/n=3/8=0.375

작업 4 . 무작위 실험에서 대칭 동전을 네 번 던졌습니다. 앞면이 정확히 3번 나올 확률을 구하십시오.

해결책 . 네 가지 동전 던지기의 가능한 변형(모든 가능한 앞면과 뒷면 조합)이 표 형식으로 표시됩니다.

표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=16임을 알 수 있습니다. A=(독수리 3번 낙상) 사건의 유리한 결과는 m=4를 의미하는 실험의 12번, 13번, 14번, 15번 옵션에 해당한다.
사건의 확률을 구하십시오. Р(А)=m/n=4/16=0.25

주사위 문제의 확률 결정하기

작업 5 . 주사위(정확한 주사위)를 던졌을 때 3점 이상이 나올 확률을 구하십시오.

해결책 . 주사위(일반 주사위)를 던질 때 6개의 면 중 하나가 빠질 수 있습니다. 기본 이벤트 중 하나가 발생합니다 - 1에서 6 포인트 (포인트)의 손실. 따라서 가능한 기본 결과의 수는 n=6입니다.
이벤트 A = (3점 이상 탈락)은 4점, 5점 또는 6점(점)이 빠졌음을 의미합니다. 따라서 유리한 결과의 수는 m=3입니다.
사건의 확률 Р(А)=m/n=3/6=0.5

작업 6 . 주사위를 던졌을 때 점수가 4를 초과하지 않을 확률을 결정합니다. 결과를 가장 가까운 1000분의 1로 반올림합니다.

해결책 . 주사위를 던질 때 6개의 면 중 하나가 빠질 수 있습니다. 기본 이벤트 중 하나가 발생합니다 - 1에서 6 포인트 (포인트)의 손실. 따라서 가능한 기본 결과의 수는 n=6입니다.
이벤트 A = (4점 이하) 탈락은 4, 3, 2 또는 1점(점)이 빠졌음을 의미합니다. 따라서 유리한 결과의 수는 m=4입니다.
사건의 확률 Р(А)=m/n=4/6=0.6666… ≈0.667

작업 7 . 주사위는 두 번 던집니다. 두 숫자가 모두 4보다 작을 확률을 구하십시오.

해결책 . 왜냐하면 주사위(주사위)가 두 번 던져지면 우리는 다음과 같이 논쟁할 것입니다: 첫 번째 주사위에서 한 점이 떨어지면 두 번째 주사위에서 1, 2, 3, 4, 5, 6이 떨어질 수 있습니다. 우리는 쌍을 얻습니다 (1; 1) , (1; 2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) 등을 각 면에 적용합니다. 우리는 모든 경우를 6행 6열의 테이블 형태로 제시합니다.

이벤트 A = (두 번 모두 4보다 작은 숫자가 빠졌음)의 유리한 결과(볼드체로 강조 표시됨)가 계산되고 m=9가 됩니다.
사건의 확률을 구하십시오. Р(А)=m/n=9/36=0.25

작업 8 . 주사위는 두 번 던집니다. 그려진 두 숫자 중 가장 큰 숫자가 5일 확률을 구하십시오. 답을 가장 가까운 1000분의 1로 반올림하십시오.

해결책 . 주사위를 두 번 던질 때 가능한 모든 결과가 표에 나와 있습니다.

표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=6*6=36임을 알 수 있습니다.
이벤트 A = (두 개의 숫자 중 가장 큰 숫자는 5)(굵게 강조 표시됨)의 유리한 결과가 계산되고 m=8이 됩니다.
사건의 확률 찾기 Р(А)=m/n=8/36=0.2222… ≈0.222

작업 9 . 주사위는 두 번 던집니다. 4보다 작은 숫자가 한 번 이상 나올 확률을 구하십시오.

해결책 . 주사위를 두 번 던질 때 가능한 모든 결과가 표에 나와 있습니다.

표에서 가능한 기본 결과의 수는 n=6*6=36임을 알 수 있습니다.
"4보다 작은 숫자가 한 번 이상 빠졌다"라는 말은 "4보다 작은 숫자가 한두 번 빠졌다"는 뜻이고, 그 다음 이벤트 A의 유리한 결과의 수 = (4보다 작은 숫자가 적어도 한 번 빠짐 ) (굵게 표시됨) m=27.
사건의 확률 구하기 Р(А)=m/n=27/36=0.75

통합 국가 시험에서 4 번으로 제시되는 확률 이론에 관한 과제에는 동전 던지기 및 주사위 던지기에 대한 과제가 있습니다. 오늘 우리는 그것들을 분석할 것입니다.

동전 던지기 문제

작업 1.대칭형 동전을 두 번 던졌습니다. 꼬리가 정확히 한 번 나올 확률을 구하십시오.

이러한 문제에서는 가능한 모든 결과를 적어 P(꼬리) 및 O(머리) 문자를 사용하여 작성하는 것이 편리합니다. 따라서 OR의 결과는 첫 번째 던지기가 앞면으로 나왔고 두 번째 던지기가 뒷면으로 나왔다는 것을 의미합니다. 고려 중인 문제에서 PP, RO, OR, OO의 4가지 결과가 가능합니다. "꼬리가 정확히 한 번만 나오는" 이벤트를 선호하십시오. 두 가지 결과: RO 및 OR. 필요한 확률은 입니다.

답: 0.5.

작업 2.대칭형 동전을 세 번 던졌습니다. 앞면이 정확히 두 번 나올 확률을 구하십시오.

총 8개의 결과가 가능합니다: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. 이벤트 "정확히 두 번"을 선호합니다. 3가지 결과: ROO, ORO, OOR. 필요한 확률은 입니다.

답: 0.375.

작업 3.시작하기 전에 축구 경기주심은 어느 팀이 공을 가지고 게임을 시작할지 결정하기 위해 동전을 던집니다. Emerald 팀은 다른 팀. 이 게임에서 "에메랄드"가 정확히 한 번만 당첨될 확률을 찾으십시오.

이 작업은 이전 작업과 유사합니다. 꼬리의 손실이 "에메랄드"에 의한 추첨의 승리를 의미할 때마다(이러한 가정은 확률 계산에 영향을 미치지 않음). 그러면 PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC의 8가지 결과가 가능합니다. "꼬리가 정확히 한 번만 올라옴" 이벤트를 선호하는 3가지 결과가 있습니다: POO, ORO, OOP. 필요한 확률은 입니다.

답: 0.375.

작업 4. 대칭형 동전을 세 번 던졌습니다. ROO의 결과가 나올 확률을 찾으십시오(처음 나올 때는 꼬리, 두 번째와 세 번째는 앞면).

이전 작업과 마찬가지로 PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO의 8가지 결과가 있습니다. ROO의 결과 확률은 입니다.

답: 0.125.

주사위 굴림 문제

작업 5.주사위는 두 번 던집니다. "점의 합은 8"이라는 사건을 선호하는 경험의 기본 결과는 몇 개입니까?

작업 6. 두 개의 주사위가 동시에 던져집니다. 합계가 4가 될 확률을 구하십시오. 결과를 가장 가까운 100분의 1로 반올림합니다.

일반적으로 주사위(주사위)를 던지면 가능한 결과가 동일합니다. 같은 주사위를 한 번 연속으로 던지면 같은 수의 결과가 얻어집니다.

다음 결과는 "총 4" 이벤트에 유리합니다: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. 그 수는 3입니다. 원하는 확률은 입니다.

분수의 근사값을 계산하려면 모서리로 나누기를 사용하는 것이 편리합니다. 따라서 대략 0.083 ...과 같으며 100분의 1로 반올림하면 0.08이 됩니다.

답: 0.08

작업 7. 3개의 주사위를 동시에 던집니다. 총 5점을 얻을 확률을 구하세요. 결과를 가장 가까운 100분의 1로 반올림합니다.

우리는 결과를 숫자의 세 배로 간주할 것입니다: 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 주사위에서 떨어지는 점수. 전체적으로 동등하게 가능한 결과가 있습니다. 다음 결과는 "총 5개" 이벤트에 유리합니다: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. 그들의 수는 6입니다. 원하는 확률은 입니다. 분수의 근사값을 계산하려면 모서리로 나누기를 사용하는 것이 편리합니다. 대략 0.027 ...을 얻고 100분의 1로 반올림하면 0.03이 됩니다. 출처 “시험 준비. 수학. 확률 이론". 편집자: F.F. Lysenko, S.Yu. 쿨라부코프