Vidurkių dėsnis paprastais žodžiais. Vidutinės reikšmės. Silpnas didelių skaičių dėsnis

Žodžiai apie didelius skaičius reiškia testų skaičių – atsižvelgiama į didelį atsitiktinio dydžio verčių skaičių arba daugelio atsitiktinių dydžių kaupiamąjį veiksmą. Šio dėsnio esmė yra tokia: nors neįmanoma nuspėti, kokią reikšmę įgis vienas atsitiktinis kintamasis viename eksperimente, tačiau bendras daugelio nepriklausomų atsitiktinių dydžių veikimo rezultatas praranda savo atsitiktinumą ir gali gali būti prognozuojamas beveik patikimai (t. y. su didele tikimybe). Pavyzdžiui, neįmanoma nuspėti, į kurią pusę nukris moneta. Tačiau jei išmetate 2 tonas monetų, tuomet galima drąsiai teigti, kad monetų, nukritusių su herbu į viršų, svoris yra 1 tona.

Visų pirma, vadinamoji Čebyševo nelygybė reiškia didelių skaičių dėsnį, kuris atskiru testu įvertina tikimybę, kad atsitiktinis dydis priims reikšmę, kuri nukrypsta nuo vidutinės reikšmės ne daugiau kaip duota reikšme.

Čebyševo nelygybė. Leisti X yra savavališkas atsitiktinis kintamasis, a=M(X) , a D(X) yra jo dispersija. Tada

Pavyzdys. Mašinoje apdirbtos movos skersmens vardinė (t. y. reikalinga) vertė yra 5 mm, o dispersija yra ne didesnė kaip 0.01 (tai yra mašinos tikslumo tolerancija). Įvertinkite tikimybę, kad gaminant vieną įvorę jos skersmens nuokrypis nuo vardinio bus mažesnis nei 0,5 mm .

Sprendimas. Tegul r.v. X- pagamintos įvorės skersmuo. Pagal sąlygą jo matematinė prognozė yra lygi vardiniam skersmeniui (jei nėra sistemingo gedimo nustatant mašiną): a=M(X)=5 , ir dispersija D(X)≤0,01. Taikant Čebyševo nelygybę ε = 0,5, mes gauname:

Taigi tokio nuokrypio tikimybė yra gana didelė, todėl galime daryti išvadą, kad gaminant detalę iš vieneto skersmens nuokrypis nuo vardinio beveik neabejotinai neviršys 0,5 mm .

Iš esmės standartinis nuokrypis σ charakterizuoja vidutinis atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo centro (t. y. nuo jo matematinio lūkesčio). Nes tai vidutinis nuokrypis, tada bandymo metu galimi dideli nuokrypiai (pabrėžiama o). Kokie dideli nukrypimai praktiškai galimi? Tirdami normaliai paskirstytus atsitiktinius kintamuosius, išvedėme „trijų sigmų“ taisyklę: normaliai paskirstytas atsitiktinis kintamasis. X per vieną testą praktiškai nenukrypsta nuo savo vidurkio toliau nei 3σ, kur σ = σ(X) yra r.v standartinis nuokrypis. X. Tokią taisyklę išvedėme iš to, kad gavome nelygybę

.

Dabar įvertinkime tikimybę savavališkas atsitiktinis kintamasis X priimti vertę, kuri skiriasi nuo vidurkio ne daugiau kaip tris kartus už standartinį nuokrypį. Taikant Čebyševo nelygybę ε = 3σ ir atsižvelgiant į tai D(X) = σ 2 , mes gauname:

.

Šiuo būdu, apskritai mes galime įvertinti tikimybę, kad atsitiktinis dydis nukryps nuo jo vidurkio ne daugiau kaip trimis standartiniais nuokrypiais pagal skaičių 0.89 , o normaliam pasiskirstymui tai gali būti garantuota su tikimybe 0.997 .

Čebyševo nelygybę galima apibendrinti į nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių sistemą.

Apibendrinta Čebyševo nelygybė. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a ir dispersijos D(X i )= D, tada

At n=1 ši nelygybė pereina į aukščiau suformuluotą Čebyševo nelygybę.

Čebyševo nelygybė, turinti savarankišką reikšmę atitinkamų uždavinių sprendimui, naudojama vadinamajai Čebyševo teoremai įrodyti. Pirmiausia aprašome šios teoremos esmę, o tada pateikiame jos formalią formuluotę.

Leisti X 1 , X 2 , … , X n– daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių su matematiniais lūkesčiais M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Nors kiekvienas iš jų dėl eksperimento gali įgyti reikšmę, toli nuo vidurkio (t. y. matematinio lūkesčio), tačiau atsitiktinis kintamasis
, lygus jų aritmetiniam vidurkiui, su didele tikimybe paims vertę, artimą fiksuotam skaičiui
(tai yra visų matematinių lūkesčių vidurkis). Tai reiškia, kad. Tegul, kaip testo rezultatas, nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n(jų yra daug!) atitinkamai paėmė vertybes X 1 , X 2 , … , X n atitinkamai. Tada, jei pačios šios reikšmės gali pasirodyti toli nuo atitinkamų atsitiktinių dydžių vidutinių verčių, jų vidutinė vertė
greičiausiai bus arti
. Taigi daugelio atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis jau praranda savo atsitiktinumą ir gali būti labai tiksliai nuspėjamas. Tai galima paaiškinti tuo, kad atsitiktiniai reikšmių nuokrypiai X i iš a i gali būti skirtingų ženklų, todėl iš viso šie nukrypimai kompensuojami su didele tikimybe.

Terema Čebyševa (didelių skaičių dėsnisČebyševo pavidalu). Leisti X 1 , X 2 , … , X n … yra porų nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių dispersijos ribojamos iki vienodo skaičiaus, seka. Tada, kad ir kokį mažą skaičių ε imtume, nelygybės tikimybė

bus savavališkai artimas vienetui, jei skaičius n atsitiktinius kintamuosius, kad jie būtų pakankamai dideli. Formaliai tai reiškia, kad teoremos sąlygomis

Šis konvergencijos tipas vadinamas konvergencija tikimybe ir žymimas taip:

Taigi, Čebyševo teorema sako, kad jei yra pakankamai daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių, tai jų aritmetinis vidurkis viename teste beveik neabejotinai įgis vertę, artimą jų matematinių lūkesčių vidurkiui.

Dažniausiai Čebyševo teorema taikoma situacijoje, kai atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n … turi tą patį skirstinį (t. y. tą patį pasiskirstymo dėsnį arba tą patį tikimybių tankį). Tiesą sakant, tai tik daug to paties atsitiktinio kintamojo atvejų.

Pasekmė(iš apibendrintos Čebyševo nelygybės). Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n … turi tą patį pasiskirstymą su matematiniais lūkesčiais M(X i )= a ir dispersijos D(X i )= D, tada

, t.y.
.

Įrodymas išplaukia iš apibendrintos Čebyševo nelygybės pereinant prie ribos as n→∞ .

Dar kartą pažymime, kad aukščiau parašytos lygybės negarantuoja, kad kiekio vertė
linkęs a adresu n→∞. Ši reikšmė vis dar yra atsitiktinis kintamasis, o atskiros jos reikšmės gali būti gana toli a. Tačiau tokių tikimybė (toli nuo a) reikšmės didėja n linkęs į 0.

komentuoti. Išvada akivaizdžiai galioja ir bendresniu atveju, kai nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n … turi skirtingą pasiskirstymą, bet tuos pačius matematinius lūkesčius (lygus a) ir apribotos suvestinės nuokrypos. Tai leidžia numatyti tam tikro dydžio matavimo tikslumą, net jei šie matavimai atliekami skirtingais prietaisais.

Išsamiau panagrinėkime šios pasekmės taikymą dydžių matavimui. Pasinaudokime kokiu nors įrenginiu n to paties dydžio matavimai, kurių tikroji vertė yra a ir mes nežinome. Tokių matavimų rezultatai X 1 , X 2 , … , X n gali labai skirtis viena nuo kitos (ir nuo tikrosios vertės a) dėl įvairių atsitiktinių veiksnių (slėgio kritimo, temperatūros, atsitiktinės vibracijos ir kt.). Apsvarstykite r.v. X- prietaiso rodmenys vienam kiekio matavimui, taip pat r.v rinkinys. X 1 , X 2 , … , X n- prietaiso rodmenys pirmojo, antrojo, ..., paskutinio matavimo metu. Taigi, kiekvienas kiekis X 1 , X 2 , … , X n yra tik vienas iš r.v. X, todėl jie visi turi tokį patį pasiskirstymą kaip ir r.v. X. Kadangi matavimo rezultatai nepriklauso vienas nuo kito, r.v. X 1 , X 2 , … , X n gali būti laikomas nepriklausomu. Jei prietaisas neduoda sisteminės klaidos (pavyzdžiui, svarstyklėje nėra „numuštas“ nulis, neįtempta spyruoklė ir pan.), tuomet galime manyti, kad matematinis lūkestis M(X) = a, ir todėl M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Taigi, pirmiau nurodytos pasekmės sąlygos yra įvykdytos, taigi, kaip apytikslė kiekio vertė a galime imti atsitiktinio dydžio „įgyvendinimą“.
mūsų eksperimente (susideda iš serijos n išmatavimai), t.y.

.

Atliekant daugybę matavimų, jis yra praktiškai patikimas geras tikslumas skaičiavimai naudojant šią formulę. Tai yra praktinio principo, kad atliekant daugybę matavimų, aritmetinis vidurkis praktiškai nesiskiria nuo tikrosios išmatuoto dydžio vertės, pagrindimas.

„Atrankos“ metodas, plačiai naudojamas matematinėje statistikoje, yra pagrįstas didelių skaičių dėsniu, leidžiančiu priimtinu tikslumu gauti objektyvias jo charakteristikas iš santykinai mažos atsitiktinio dydžio reikšmių imties. Bet tai bus aptarta kitame skyriuje.

Pavyzdys. Matavimo prietaise, kuris nedaro sistemingų iškraipymų, matuojamas tam tikras dydis a vieną kartą (gautą vertę X 1 ), o tada dar 99 kartus (reikšmės X 2 , … , X 100 ). Dėl tikrosios matavimo vertės a pirmiausia paimkite pirmojo matavimo rezultatą
, o tada visų matavimų aritmetinis vidurkis
. Prietaiso matavimo tikslumas yra toks, kad standartinis matavimo nuokrypis σ būtų ne didesnis kaip 1 (nes dispersija D=σ 2 taip pat neviršija 1). Kiekvienam matavimo metodui įvertinkite tikimybę, kad matavimo paklaida neviršys 2.

Sprendimas. Tegul r.v. X- prietaiso rodmenys vienam matavimui. Tada pagal sąlygas M(X)=a. Norėdami atsakyti į pateiktus klausimus, taikome apibendrintą Čebyševo nelygybę

už ε =2 pirmiausia už n=1 ir tada už n=100 . Pirmuoju atveju gauname
, o antrajame. Taigi antrasis atvejis praktiškai garantuoja pateiktą matavimo tikslumą, o pirmasis šiuo atveju kelia rimtų abejonių.

Aukščiau pateiktus teiginius pritaikykime atsitiktiniams dydžiams, atsirandantiems Bernulio schemoje. Prisiminkime šios schemos esmę. Tegul jis gaminamas n nepriklausomi testai, kurių kiekviename yra tam tikras įvykis BET gali pasirodyti su ta pačia tikimybe R, a q=1–r(pagal reikšmę tai yra priešingo įvykio, o ne įvykio, tikimybė BET) . Išleiskime šiek tiek skaičių n tokie testai. Apsvarstykite atsitiktinius kintamuosius: X 1 – įvykio atvejų skaičius BET in 1 bandymas,..., X n– įvykio atvejų skaičius BET in n testas. Visi pristatė r.v. gali imti vertybes 0 arba 1 (įvykis BET gali būti rodomas teste arba ne), ir reikšmę 1 sąlygiškai priimtas kiekviename bandyme su tikimybe p(įvykio tikimybė BET kiekviename bandyme) ir vertę 0 su tikimybe q= 1 – p. Todėl šie dydžiai turi tuos pačius pasiskirstymo dėsnius:

Todėl šių dydžių ir jų dispersijų vidutinės vertės taip pat yra vienodos: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p = p, …, M(X n )= p ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(X n )= p ∙ q . Pakeitę šias reikšmes į apibendrintą Čebyševo nelygybę, gauname

.

Akivaizdu, kad r.v. X=X 1 +…+X n yra įvykio atvejų skaičius BET iš viso n išbandymai (kaip sakoma - „sėkmių skaičius“. n testai). Įleisti į n bandomasis renginys BET pasirodė k jų. Tada ankstesnė nelygybė gali būti parašyta kaip

.

Bet dydis
, lygus įvykio atvejų skaičiaus santykiui BET in n nepriklausomų bandymų, iki bendro bandymų skaičiaus, anksčiau vadinamo santykiniu įvykių dažniu BET in n bandymai. Todėl yra nelygybė

.

Dabar pereinama prie ribos n→∞, gauname
, t.y.
(pagal tikimybę). Tai yra didelių skaičių dėsnio Bernulio pavidalu turinys. Iš to išplaukia, kad pakankamai dideliam bandymų skaičiui n savavališkai maži santykinio dažnio nuokrypiai
įvykius nuo jo tikimybės R yra beveik tam tikri įvykiai, o dideli nukrypimai beveik neįmanomi. Gauta išvada apie tokį santykinių dažnių stabilumą (kurį anksčiau vadinome eksperimentinis faktas) pateisina anksčiau pateiktą statistinį įvykio tikimybės apibrėžimą kaip skaičių, aplink kurį svyruoja santykinis įvykio dažnis.

Atsižvelgiant į tai, kad išraiška p∙ q= p∙(1− p)= p− p 2 neviršija keitimo intervalo
(tai nesunku patikrinti suradus šios funkcijos minimumą šiame segmente), iš aukščiau pateiktos nelygybės
lengva tai gauti

,

kuris naudojamas sprendžiant atitinkamas problemas (viena iš jų bus pateikta žemiau).

Pavyzdys. Moneta buvo išversta 1000 kartų. Įvertinkite tikimybę, kad herbo atsiradimo santykinio dažnio nuokrypis nuo jo tikimybės bus mažesnis nei 0,1.

Sprendimas. Taikant nelygybę
adresu p= q=1/2 , n=1000 , ε=0,1, mes gauname .

Pavyzdys. Įvertinkite tikimybę, kad pagal ankstesnio pavyzdžio sąlygas skaičius k numestų herbų bus diapazone 400 prieš 600 .

Sprendimas. Būklė 400< k<600 reiškia kad 400/1000< k/ n<600/1000 , t.y. 0.4< W n (A)<0.6 arba
. Kaip ką tik matėme iš ankstesnio pavyzdžio, tokio įvykio tikimybė yra bent jau 0.975 .

Pavyzdys. Apskaičiuoti kokio nors įvykio tikimybę BET Buvo atlikta 1000 eksperimentų, kuriuose įvykis BET pasirodė 300 kartų. Įvertinkite tikimybę, kad santykinis dažnis (lygus 300/1000=0,3) skiriasi nuo tikrosios tikimybės R ne daugiau kaip 0,1.

Sprendimas. Taikant minėtą nelygybę
jei n=1000, ε=0,1 , gauname .

Didžiųjų skaičių dėsnis

Didelių skaičių dėsnis tikimybių teorijoje teigia, kad pakankamai didelės baigtinės imties iš fiksuoto skirstinio empirinis vidurkis (aritmetinis vidurkis) yra artimas šio skirstinio teoriniam vidurkiui (laukimui). Priklausomai nuo konvergencijos tipo, išskiriamas silpnas didelių skaičių dėsnis, kai vyksta tikimybės konvergencija, ir sustiprintas didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija vyksta beveik visur.

Visada bus toks bandymų skaičius, kad, esant bet kokiai iš anksto nustatytai tikimybei, santykinis kurio nors įvykio dažnis savavališkai mažai skirsis nuo jo tikimybės.

Bendra didelių skaičių dėsnio prasmė ta, kad daugelio atsitiktinių veiksnių bendras veikimas veda prie rezultato, kuris beveik nepriklauso nuo atsitiktinumo.

Šia savybe pagrįsti baigtinės imties analize pagrįsti tikimybės įvertinimo metodai. Geras pavyzdys – rinkimų rezultatų numatymas remiantis rinkėjų imties apklausa.

Silpnas didelių skaičių dėsnis

Tegul yra begalinė identiškai paskirstytų ir nekoreliuotų atsitiktinių dydžių seka (nuoseklus išvardijimas), apibrėžta toje pačioje tikimybių erdvėje . Tai yra, jų kovariacija. Leisti . Pažymime pirmųjų terminų imties vidurkį:

Stiprus didelių skaičių dėsnis

Tegul yra begalinė nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių seka, apibrėžta toje pačioje tikimybių erdvėje. Leisti . Pažymime pirmųjų terminų imties vidurkį:

Tada beveik neabejotinai.

taip pat žr

Literatūra

• Širyajevas A. N. Tikimybė, - M .: Mokslas. 1989 m.
• Chistyakovas V.P. Tikimybių teorijos kursas, - M., 1982 m.

Wikimedia fondas. 2010 m.

• Rusijos kinas
• Gromeka, Michailas Stepanovičius

Pažiūrėkite, kas yra „Didžiųjų skaičių įstatymas“ kituose žodynuose:

DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- (didelių skaičių dėsnis) Tuo atveju, kai atskirų populiacijos narių elgesys yra labai savitas, grupės elgesys yra vidutiniškai labiau nuspėjamas nei bet kurio jos nario elgesys. Tendencija, kurios grupėse ...... Ekonomikos žodynas

DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- žr. DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ Įstatymą. Antinazis. Sociologijos enciklopedija, 2009 ... Sociologijos enciklopedija

Didžiųjų skaičių dėsnis- principas, pagal kurį masiniams socialiniams reiškiniams būdingi kiekybiniai modeliai aiškiausiai pasireiškia pakankamai dideliu stebėjimų skaičiumi. Pavieniai reiškiniai yra jautresni atsitiktinių ir ... ... Verslo terminų žodynėlis

DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- teigia, kad esant tikimybei, artimai vienetui, daugelio maždaug vienodos eilės atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis mažai skirsis nuo konstantos, lygios šių kintamųjų matematinių lūkesčių aritmetiniam vidurkiui. Skirtumas…… Geologijos enciklopedija

didelių skaičių dėsnis- - [Ja.N. Luginskis, M.S. Fezi Žilinskaja, Ju.S. Kabirovas. Anglų rusų elektros inžinerijos ir energetikos žodynas, Maskva, 1999] Elektros inžinerijos temos, pagrindinės sąvokos EN dėsnis vidurkio įstatymas didelių skaičių ... Techninis vertėjo vadovas

didelių skaičių dėsnis- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. didelių skaičių dėsnis vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. didelių skaičių dėsnis, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS– bendras principas, dėl kurio bendras atsitiktinių veiksnių veikimas tam tikromis labai bendromis sąlygomis veda prie rezultato, kuris beveik nepriklauso nuo atsitiktinumo. Atsitiktinio įvykio atsiradimo dažnio konvergencija su jo tikimybe, padidėjus skaičiui ... ... Rusijos sociologinė enciklopedija

Didžiųjų skaičių dėsnis- įstatymas, nurodantis, kad daugelio atsitiktinių veiksnių kumuliacinis veikimas tam tikromis labai bendromis sąlygomis lemia beveik nuo atsitiktinumo nepriklausantį rezultatą... Sociologija: žodynas

DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- statistinis dėsnis, išreiškiantis imties ir bendrosios visumos statistinių rodiklių (parametrų) ryšį. Faktinės statistinių rodiklių vertės, gautos iš tam tikros imties, visada skiriasi nuo vadinamųjų. teorinis...... Sociologija: enciklopedija

DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- principas, kad tam tikro tipo finansinių nuostolių dažnis gali būti labai tiksliai prognozuojamas, kai yra daug panašaus pobūdžio nuostolių ... Enciklopedinis ekonomikos ir teisės žodynas

Knygos

• Lentelių komplektas. Matematika. Tikimybių teorija ir matematinė statistika. 6 lentelės + metodika, . Lentelės atspausdintos ant storo poligrafinio kartono, kurio išmatavimai 680 x 980 mm. Į rinkinį įeina brošiūra su metodinėmis rekomendacijomis mokytojams. Mokomasis albumas iš 6 lapų. Atsitiktinis…

Kokia sėkmingų pardavėjų paslaptis? Jei stebėsite geriausius bet kurios įmonės pardavėjus, pastebėsite, kad jie turi vieną bendrą bruožą. Kiekvienas iš jų susitinka su daugiau žmonių ir rengia daugiau pristatymų nei mažiau sėkmingi pardavėjai. Šie žmonės supranta, kad pardavimas yra skaičių žaidimas, ir kuo daugiau žmonėms jie pasakoja apie savo produktus ar paslaugas, tuo daugiau sandorių sudaro – viskas. Jie supranta, kad jei bendraus ne tik su tais keliais, kurie jiems tikrai pasakys „taip“, bet ir su tais, kurių susidomėjimas jų pasiūlymu nėra toks didelis, tuomet jiems į naudą išeis vidurkių dėsnis.

Jūsų uždarbis priklausys nuo pardavimų skaičiaus, tačiau tuo pat metu jis bus tiesiogiai proporcingas jūsų pateiktų pristatymų skaičiui. Kai suprasite ir pradėsite taikyti vidurkių dėsnį, nerimas, susijęs su naujo verslo kūrimu ar darbu naujoje srityje, pradės mažėti. Ir dėl to pradės augti kontrolės jausmas ir pasitikėjimas savo galimybėmis užsidirbti. Jei tik rengsite pristatymus ir tobulinsite savo įgūdžius, bus pasiūlymai.

Užuot galvoję apie sandorių skaičių, galvokite apie pristatymų skaičių. Nėra prasmės pabusti ryte ar grįžti namo vakare ir pradėti domėtis, kas pirks jūsų prekę. Vietoj to, geriausia kiekvieną dieną planuoti, kiek skambučių reikės atlikti. Ir tada, nesvarbu, ką – skambinkite! Toks požiūris palengvins jūsų darbą – nes tai paprastas ir konkretus tikslas. Jei žinosite, kad jūsų laukia labai konkretus ir pasiekiamas tikslas, jums bus lengviau atlikti suplanuotą skambučių skaičių. Jei šio proceso metu kelis kartus išgirsite „taip“, tuo geriau!

O jei „ne“, tai vakare pajusite, kad sąžiningai padarėte viską, ką galėjote, ir jūsų nekankins mintys apie tai, kiek uždirbote pinigų, kiek partnerių įsigijote per dieną.

Tarkime, jūsų įmonėje ar versle vidutinis pardavėjas sudaro vieną sandorį kas keturis pristatymus. Dabar įsivaizduokite, kad traukiate kortas iš kaladės. Kiekviena trijų kostiumų korta – kastuvai, deimantai ir lazdos – tai pristatymas, kuriame profesionaliai pristatote produktą, paslaugą ar galimybę. Jūs tai darote geriausiai, bet vis tiek nesudarote sandorio. Ir kiekviena širdies korta yra sandoris, leidžiantis gauti pinigų arba įsigyti naują kompanioną.

Ar tokioje situacijoje nenorėtumėte iš kaladės ištraukti kuo daugiau kortų? Tarkime, jums pasiūloma ištraukti tiek kortelių, kiek norite, mokant jums arba pasiūlant naują kompanioną kiekvieną kartą, kai ištraukiate širdies kortelę. Pradėsite entuziastingai traukti kortas, vos nepastebėdami, kokio kostiumo korta ką tik buvo ištraukta.

Jūs žinote, kad penkiasdešimt dviejų kortų kaladėje yra trylika širdžių. O dviejose kaladėse – dvidešimt šešios širdies kortos ir t.t. Ar nusivilsite piešdami kastuvus, deimantus ar pagalius? Žinoma ne! Tik pamanysi, kad kiekviena tokia „mis“ jus suartina – prie ko? Į širdžių kortelę!

Bet žinai ką? Jūs jau gavote šį pasiūlymą. Esate unikalioje padėtyje uždirbti tiek, kiek norite, ir ištraukti tiek širdies kortelių, kiek norite ištraukti per savo gyvenimą. O jei tik sąžiningai „traukiate kortas“, tobulinate savo įgūdžius ir ištveriate šiek tiek kastuvą, deimantą ir lazdą, tuomet tapsite puikiu pardavėju ir pasiseks.

Vienas iš dalykų, dėl kurių pardavimas yra toks smagus, yra tai, kad kiekvieną kartą, kai maišote kaladę, kortos maišomos skirtingai. Kartais visos širdelės atsiduria kaladės pradžioje, o po sėkmingos serijos (kai mums jau atrodo, kad niekada nepralaimėsime!) laukiame ilgos eilės skirtingos spalvos kortų. Ir kitą kartą, norint patekti į pirmąją širdį, reikia pereiti be galo daug kastuvų, pagalių ir tamburinų. Ir kartais skirtingų kostiumų kortos iškrenta griežtai paeiliui. Bet bet kuriuo atveju kiekvienoje penkiasdešimt dviejų kortų kaladėje tam tikra tvarka visada yra trylika širdžių. Tiesiog ištraukite korteles, kol jas rasite.

Didelių skaičių dėsnis tikimybių teorijoje teigia, kad pakankamai didelės baigtinės imties iš fiksuoto skirstinio empirinis vidurkis (aritmetinis vidurkis) yra artimas šio skirstinio teoriniam vidurkiui (laukimui). Priklausomai nuo konvergencijos tipo, išskiriamas silpnasis didelių skaičių dėsnis, kai yra tikimybės konvergencija, ir stiprus didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija yra beveik visur.

Visada yra baigtinis skaičius bandymų, kurių, esant bet kokiai tikimybei, yra mažiau nei 1 santykinis kokio nors įvykio pasireiškimo dažnis savavališkai mažai skirsis nuo jo tikimybės.

Bendra didelių skaičių dėsnio prasmė: daugelio vienodų ir nepriklausomų atsitiktinių veiksnių bendras veikimas lemia rezultatą, kuris riboje nepriklauso nuo atsitiktinumo.

Šia savybe pagrįsti baigtinės imties analize pagrįsti tikimybės įvertinimo metodai. Geras pavyzdys – rinkimų rezultatų numatymas remiantis rinkėjų imties apklausa.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

✪ Didelių skaičių dėsnis

✪ 07 – tikimybių teorija. Didžiųjų skaičių dėsnis

✪ 42 Didžiųjų skaičių dėsnis

✪ 1 – Čebyševo didelių skaičių dėsnis

✪ 11 klasė, 25 pamoka, Gauso kreivė. Didžiųjų skaičių dėsnis

Subtitrai

Pažvelkime į didelių skaičių dėsnį, kuris tikriausiai yra pats intuityviausias matematikos ir tikimybių teorijos dėsnis. Ir kadangi jis taikomas daugeliui dalykų, jis kartais naudojamas ir nesuprantamas. Pirmiausia leiskite man pateikti tikslumo apibrėžimą, o tada kalbėsime apie intuiciją. Paimkime atsitiktinį kintamąjį, tarkime, X. Tarkime, kad žinome jo matematinį lūkestį arba populiacijos vidurkį. Didžiųjų skaičių dėsnis tiesiog sako, kad jeigu paimtume atsitiktinio dydžio n-ojo stebėjimų skaičiaus pavyzdį ir suvidurkintume visų tų stebėjimų skaičių... Paimkime kintamąjį. Pavadinkime jį X su apatiniu indeksu n ir brūkšniu viršuje. Tai yra n-ojo mūsų atsitiktinio dydžio stebėjimų skaičiaus aritmetinis vidurkis. Štai mano pirmasis pastebėjimas. Kartą atlieku eksperimentą ir atlieku šį stebėjimą, tada darau dar kartą ir atlieku šį stebėjimą, darau dar kartą ir gaunu tai. Šį eksperimentą atlieku n kartų ir padalinu iš savo stebėjimų skaičiaus. Štai mano pavyzdžio vidurkis. Čia yra visų mano atliktų pastebėjimų vidurkis. Didelių skaičių dėsnis mums sako, kad mano imties vidurkis priartės prie atsitiktinio dydžio vidurkio. Arba taip pat galiu parašyti, kad mano imties vidurkis priartės prie n-ojo skaičiaus, einančio į begalybę, populiacijos vidurkio. Nedarysiu aiškaus skirtumo tarp „aproksimacijos“ ir „konvergencijos“, bet tikiuosi, kad jūs intuityviai suprantate, kad jei čia paimsiu gana didelę imtį, gaunu laukiamą reikšmę visai populiacijai. Manau, kad dauguma iš jūsų intuityviai supranta, kad jei aš atliksiu pakankamai testų su dideliu pavyzdžių rinkiniu, galiausiai testai man duos vertes, kurių aš tikiuosi, atsižvelgiant į matematinį lūkestį, tikimybę ir visa tai. Tačiau manau, kad dažnai neaišku, kodėl taip nutinka. Ir prieš pradėdamas aiškinti, kodėl taip yra, leiskite pateikti jums konkretų pavyzdį. Didžiųjų skaičių dėsnis mums sako, kad... Tarkime, kad turime atsitiktinį kintamąjį X. Jis lygus galvų skaičiui išmetus 100 teisingos monetos. Visų pirma, mes žinome matematinius šio atsitiktinio dydžio lūkesčius. Tai yra monetų išmetimų arba bandymų skaičius, padaugintas iš bet kurio bandymo sėkmės tikimybės. Taigi jis lygus 50. Tai yra, didelių skaičių dėsnis sako, kad jei paimsime mėginį arba įvertinsiu šių bandymų vidurkį, gaunu. ... X1. Tada vėl pakratau dėžutę ir gaunu skaičių 65. Tada vėl - ir gaunu 45. Ir tai darau n kartų, o tada padalinu iš bandymų skaičiaus. Didelių skaičių dėsnis mums sako, kad šis vidurkis (visų mano stebėjimų vidurkis) bus linkęs į 50, o n linkęs į begalybę. Dabar norėčiau šiek tiek pakalbėti apie tai, kodėl taip nutinka. Daugelis mano, kad jei po 100 bandymų mano rezultatas viršija vidurkį, tai pagal tikimybės dėsnius turėčiau turėti daugiau ar mažiau galvos, kad galėčiau, taip sakant, kompensuoti skirtumą. Ne visai taip nutiks. Tai dažnai vadinama „lošėjo klaida“. Leiskite man parodyti jums skirtumą. Naudosiu tokį pavyzdį. Leiskite nupiešti grafiką. Pakeiskime spalvą. Tai n, mano x ašis yra n. Tiek testų atliksiu. Ir mano y ašis bus imties vidurkis. Žinome, kad šio savavališko kintamojo vidurkis yra 50. Leisk man tai nupiešti. Tai yra 50. Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Jei n yra... Per pirmąjį testą gavau 55, tai yra mano vidurkis. Turiu tik vieną duomenų įvesties tašką. Tada po dviejų bandymų gaunu 65. Taigi mano vidurkis būtų 65+55, padalintas iš 2. Tai yra 60. Ir mano vidurkis šiek tiek pakilo. Tada gavau 45, o tai vėl sumažino mano aritmetinį vidurkį. Aš nebraižysiu diagramoje 45. Dabar man reikia viską apskaičiuoti vidurkiu. Kam lygus 45+65? Leiskite man apskaičiuoti šią vertę, kad būtų parodytas taškas. Tai yra 165, padalintas iš 3. Tai yra 53. Ne, 55. Taigi vidurkis vėl sumažėja iki 55. Galime tęsti šiuos bandymus. Po to, kai atlikome tris bandymus ir sugalvojome šį vidurkį, daugelis galvoja, kad tikimybių dievai padarys taip, kad ateityje sulauksime mažiau galvų, kad kiti keli bandymai bus mažesni, kad būtų sumažintas vidurkis. Tačiau taip būna ne visada. Ateityje tikimybė visada išliks tokia pati. Tikimybė, kad aš nurimsiu galvą, visada bus 50%. Ne todėl, kad iš pradžių gaunu tam tikrą skaičių galvų, daugiau nei tikiuosi, o tada staiga turėtų iškristi uodegos. Tai yra „žaidėjo klaida“. Jei gausite neproporcingai daug galvų, tai nereiškia, kad kažkada jums pradės iškristi neproporcingai daug uodegų. Tai nėra visiškai tiesa. Didelių skaičių dėsnis mums sako, kad tai nesvarbu. Tarkime, po tam tikro baigtinio bandymų skaičiaus jūsų vidurkis... Tikimybė, kad tai bus gana maža, bet, vis dėlto... Tarkime, jūsų vidurkis pasiekia šią ribą – 70. Jūs galvojate: „Oho, mes viršijome lūkesčius“. Tačiau didelių skaičių dėsnis sako, kad nesvarbu, kiek testų atliekame. Mūsų dar laukia begalė išbandymų. Šio begalinio bandymų skaičiaus matematiniai lūkesčiai, ypač tokioje situacijoje, kaip ši, bus tokie. Kai priartėsite prie baigtinio skaičiaus, kuris išreiškia kokią nors didelę reikšmę, begalinis skaičius, kuris suartėja su juo, vėl atves į laukiamą reikšmę. Žinoma, tai labai laisva interpretacija, tačiau tai mums sako didelių skaičių dėsnis. Svarbu. Jis mums nesako, kad jei turėsime daug galvų, tai kažkaip padidės šansai gauti uodegas, kad tai kompensuotų. Šis dėsnis mums sako, kad nesvarbu, koks bus baigtinis bandymų skaičius, kol jūsų laukia begalinis bandymų skaičius. Ir jei jų pagaminsite pakankamai, vėl sugrįšite į lūkesčius. Tai svarbus momentas. Pagalvok apie tai. Bet tai kasdien praktikoje su loterijomis ir kazino nenaudojama, nors zinoma jei darysi pakankamai testu... Galime net paskaiciuoti...kokia tikimybe, kad rimtai nukrypsim nuo normos? Tačiau kazino ir loterijos kasdien dirba pagal principą, kad jei per trumpą laiką priimsite pakankamai žmonių, žinoma, su maža imtimi, tai keli žmonės pasieks aukso puodą. Tačiau ilgainiui kazino visada gaus naudos iš žaidimų, kuriuos kviečia žaisti, parametrai. Tai svarbus tikimybių principas, kuris yra intuityvus. Nors kartais, kai tai formaliai jums paaiškinama atsitiktiniais dydžiais, viskas atrodo šiek tiek painu. Šis dėsnis sako, kad kuo daugiau imčių, tuo labiau tų imčių aritmetinis vidurkis suartės į tikrąjį vidurkį. Tiksliau tariant, jūsų imties aritmetinis vidurkis susilygins su matematiniais atsitiktinio dydžio lūkesčiais. Tai viskas. Iki pasimatymo kitame vaizdo įraše!

Silpnas didelių skaičių dėsnis

Silpnas didelių skaičių dėsnis taip pat vadinamas Bernulio teorema Jokūbo-Bernulio vardu, kuris jį įrodė 1713 m.

Tegul yra begalinė identiškai paskirstytų ir nekoreliuotų atsitiktinių dydžių seka (nuoseklus išvardijimas). Tai yra, jų kovariacija c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\visiems i\not =j). Leisti . Pažymėkite pirmosios imties vidurkiu n (\displaystyle n) nariai:

.

Tada X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Tai yra, už kiekvieną teigiamą ε (\displaystyle \varepsilon )

Stiprus didelių skaičių dėsnis

Tegul yra begalinė nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių seka ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) apibrėžta vienoje tikimybių erdvėje (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Leisti E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Pažymėti X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) pirmosios imties vidurkis n (\displaystyle n) nariai:

Tada X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) beveik visada.

Kaip ir bet kuris matematinis dėsnis, didelių skaičių dėsnis realiame pasaulyje gali būti taikomas tik esant žinomoms prielaidoms, kurias galima įvykdyti tik su tam tikru tikslumu. Taigi, pavyzdžiui, nuoseklių bandymų sąlygos dažnai negali būti palaikomos neribotą laiką ir absoliučiu tikslumu. Be to, didelių skaičių dėsnis kalba tik apie netikimybė reikšmingas vidutinės reikšmės nuokrypis nuo matematinio lūkesčio.

Vidutinė reikšmė yra bendriausias statistikos rodiklis. Taip yra dėl to, kad jis gali būti naudojamas populiacijai apibūdinti pagal kiekybiškai kintantį požymį. Pavyzdžiui, norint palyginti dviejų įmonių darbuotojų atlyginimus, negalima imti dviejų konkrečių darbuotojų darbo užmokesčio, nes jis veikia kaip kintantis rodiklis. Taip pat negali būti imama bendra įmonėse mokamo darbo užmokesčio suma, nes ji priklauso nuo darbuotojų skaičiaus. Jei bendrą kiekvienos įmonės darbo užmokesčio sumą padalinsime iš darbuotojų skaičiaus, galime juos palyginti ir nustatyti, kurioje įmonėje vidutinis darbo užmokestis didesnis.

Kitaip tariant, tiriamos darbuotojų populiacijos darbo užmokestis gauna apibendrintą charakteristiką vidutine verte. Jis išreiškia bendrąjį ir tipinį, būdingą darbuotojų visumai tiriamo požymio atžvilgiu. Šioje reikšmėje rodomas bendras šio požymio matas, kurio reikšmė populiacijos vienetams skiriasi.

Vidutinės vertės nustatymas. Vidutinė reikšmė statistikoje yra apibendrinta panašių reiškinių visumos charakteristika pagal tam tikrą kiekybiškai kintantį požymį. Vidutinė reikšmė rodo šios savybės lygį, susijusį su gyventojų vienetu. Vidutinės vertės pagalba galima palyginti įvairius suvestinius duomenis tarpusavyje pagal įvairias charakteristikas (pajamas vienam gyventojui, pasėlių derlių, gamybos sąnaudas įvairiose įmonėse).

Vidutinė reikšmė visada apibendrina požymio, kuriuo apibūdiname tiriamą populiaciją, kiekybinį kitimą, kuris vienodai būdingas visiems populiacijos vienetams. Tai reiškia, kad už bet kokios vidutinės vertės visada slypi populiacijos vienetų pasiskirstymo eilė pagal kokį nors kintantį požymį, t.y. variacijų serija. Šiuo atžvilgiu vidutinė vertė iš esmės skiriasi nuo santykinių verčių ir ypač nuo intensyvumo rodiklių. Intensyvumo rodiklis yra dviejų skirtingų suvestinių rodiklių (pavyzdžiui, BVP, tenkančio vienam gyventojui) apimčių santykis, o vidutinis apibendrina visumos elementų charakteristikas pagal vieną iš charakteristikų (pvz. darbuotojo atlyginimas).

Vidutinė vertė ir didelių skaičių dėsnis. Vidutinių rodiklių kaitoje pasireiškia bendra tendencija, kurios įtakoje formuojasi reiškinių raidos procesas kaip visuma, o atskirais atskirais atvejais ši tendencija gali ir nepasireikšti. Svarbu, kad vidurkiai būtų pagrįsti didžiuliu faktų apibendrinimu. Tik tokiomis sąlygomis jie atskleis bendrą viso proceso tendenciją.

Didelių skaičių dėsnio esmė ir reikšmė vidurkiams, didėjant stebėjimų skaičiui, vis labiau panaikina atsitiktinių priežasčių sukeltus nukrypimus. Tai yra, didelių skaičių dėsnis sukuria sąlygas tipiniam kintamo požymio lygiui atsirasti vidutinėje vertėje konkrečiomis vietos ir laiko sąlygomis. Šio lygio vertę lemia šio reiškinio esmė.

Vidurkių tipai. Statistikoje naudojamos vidutinės vertės priklauso galios vidurkių klasei, kurios bendroji formulė yra tokia:

kur x yra galios vidurkis;

X - keičiasi atributo reikšmės (parinktys)

- skaičiaus parinktis

Vidurkio rodiklis;

Sumavimo ženklas.

Esant skirtingoms vidurkio eksponento vertėms, gaunami skirtingi vidurkio tipai:

Aritmetinis vidurkis;

Vidutinis kvadratas;

Vidutinis kubinis;

Vidutinė harmonika;

Geometrinis vidurkis.

Skirtingi vidurkio tipai turi skirtingas reikšmes, kai naudojami tie patys šaltinio statistiniai duomenys. Tuo pačiu metu, kuo didesnis vidurkio eksponentas, tuo didesnė jo vertė.

Statistikoje teisingą populiacijos apibūdinimą kiekvienu atskiru atveju suteikia tik visiškai apibrėžtas vidutinių verčių tipas. Šio tipo vidutinei vertei nustatyti naudojamas kriterijus, nustatantis vidurkio savybes: vidutinė reikšmė bus tik tikra populiacijos apibendrinanti charakteristika pagal kintamą požymį, kai visus variantus pakeičiant vidutine verte, bendras kintančio požymio tūris išlieka nepakitęs. Tai yra, teisingą vidurkio tipą lemia tai, kaip susidaro bendras kintamojo požymio tūris. Taigi aritmetinis vidurkis naudojamas, kai kintamojo požymio tūris sudaromas kaip atskirų variantų suma, vidutinis kvadratas - kai kintamojo požymio tūris sudaromas kaip kvadratų suma, harmoninis vidurkis - kaip kintamojo požymio suma. atskirų variantų abipusės vertės, geometrinis vidurkis - kaip atskirų pasirinkimų rezultatas. Be vidutinių statistikos verčių

Naudojamos kintamojo požymio (struktūrinių vidurkių), režimo (dažniausias variantas) ir medianos (vidurinis variantas) pasiskirstymo aprašomosios charakteristikos.