Тасралтгүй стратеги бүхий антагонист тоглоомууд. Матрицын антагонист тоглоомуудыг шийдвэрлэх Антагонист тоглоомуудыг онлайнаар шийдвэрлэх

Тэг нийлбэртэй хоёр хүний ​​тоглоомыг нэрлэдэг бөгөөд тус бүр нь хязгаарлагдмал стратегитай байдаг. Матрицын тоглоомын дүрмийг өгөөжийн матрицаар тодорхойлдог бөгөөд тэдгээрийн элементүүд нь эхний тоглогчийн ашиг, мөн хоёр дахь тоглогчийн алдагдал юм.

Матриц тоглоом антагонист тоглоом юм. Эхний тоглогч нь тоглоомын үнэтэй тэнцэх хамгийн их баталгаатай (хоёр дахь тоглогчийн зан төлөвөөс хамаарахгүй) өгөөжийг авдаг бөгөөд үүнтэй адил хоёр дахь тоглогч хамгийн бага баталгаатай алдагдалд хүрдэг.

Доод стратеги Энэ нь одоогийн нөхцөл байдлаас шалтгаалан тоглогчийн хувийн нүүдэл бүрийн үйлдлийн хувилбарыг сонгох дүрэм (зарчмууд) гэж ойлгогддог.

Одоо бүх зүйлийн талаар дарааллаар нь, нарийвчлан.

Төлбөрийн матриц, цэвэр стратеги, тоглоомын үнэ

AT матриц тоглоом түүний дүрмийг тодорхойлсон төлбөрийн матриц .

Эхний тоглогч, хоёр дахь тоглогч гэсэн хоёр оролцогчтой тоглоомыг авч үзье. Эхний тоглогчид өгөөрэй мцэвэр стратеги, хоёр дахь тоглогчийн мэдэлд байна - nцэвэр стратегиуд. Тоглолтыг авч үзэж байгаа учраас энэ тоглолтонд хожих, хожигдох нь зүйн хэрэг.

AT төлбөрийн матриц элементүүд нь тоглогчдын олз, алдагдлыг илэрхийлдэг тоонууд юм. Хожил, алдагдлыг оноо, мөнгө эсвэл бусад нэгжээр илэрхийлж болно.

Төлбөрийн матрицыг үүсгэцгээе:

Хэрэв эхний тоглогч сонговол би-th цэвэр стратеги, болон хоёр дахь тоглогч j--р цэвэр стратеги, дараа нь эхний тоглогчийн ашиг юм аijнэгж, мөн хоёр дахь тоглогчийн алдагдал бас байна аijнэгж.

Учир нь аij + (- а ij ) = 0, тэгвэл тайлбарласан тоглоом нь тэг нийлбэртэй матриц тоглоом юм.

Матриц тоглоомын хамгийн энгийн жишээ бол зоос шидэх явдал юм. Тоглоомын дүрэм дараах байдалтай байна. Эхний болон хоёр дахь тоглогчид зоос шидэж, үр дүн нь толгой эсвэл сүүл юм. Хэрэв толгой, толгой эсвэл сүүл, сүүлийг нэгэн зэрэг өнхрүүлбэл эхний тоглогч нэг нэгж хожих ба бусад тохиолдолд нэг нэгж хожих болно (хоёр дахь тоглогч нэг нэгж хожих болно). Ижил хоёр стратеги нь хоёр дахь тоглогчийн мэдэлд байна. Тохирох төлбөрийн матриц нь:

Тоглоомын онолын үүрэг бол эхний тоглогчийн стратегийн сонголтыг тодорхойлох бөгөөд энэ нь түүнд хамгийн их дундаж ашиг, мөн хоёр дахь тоглогчийн стратегийг сонгох бөгөөд энэ нь түүнд хамгийн их дундаж алдагдлыг баталгаажуулах болно.

Матриц тоглоомд стратегийг хэрхэн сонгодог вэ?

Төлбөрийн матрицыг дахин харцгаая:

Нэгдүгээрт, хэрэв тэр ашигладаг бол бид эхний тоглогчийн ашиг орлогыг тодорхойлно бицэвэр стратеги. Хэрэв эхний тоглогч ашигладаг бол би-Цэвэр стратеги бол хоёр дахь тоглогч ийм цэвэр стратеги ашиглах бөгөөд үүний улмаас эхний тоглогчийн ашиг хамгийн бага байх болно гэж үзэх нь логик юм. Хариуд нь эхний тоглогч түүнд хамгийн их ашиг өгөх ийм цэвэр стратегийг ашиглах болно. Эдгээр нөхцөл дээр үндэслэн бидний тэмдэглэсэн анхны тоглогчийн ашиг v1 , гэж нэрлэдэг хамгийн их ялна эсвэл тоглоомын үнэ бага .

At Эдгээр утгын хувьд эхний тоглогч дараах байдлаар ажиллах ёстой. Мөр бүрээс хамгийн бага элементийн утгыг бичиж, тэдгээрээс хамгийн ихийг сонгоно. Тиймээс эхний тоглогчийн ашиг хамгийн бага байх болно. Тиймээс нэр нь - maximin win. Энэ элементийн мөрийн дугаар нь эхний тоглогчийн сонгосон цэвэр стратегийн дугаар байх болно.

Одоо хоёр дахь тоглогч ашигласан тохиолдолд алдагдлыг тодорхойлъё j-р стратеги. Энэ тохиолдолд эхний тоглогч өөрийн цэвэр стратегийг ашигладаг бөгөөд хоёр дахь тоглогчийн алдагдал хамгийн их байх болно. Хоёрдахь тоглогч алдагдал нь хамгийн бага байх тийм цэвэр стратегийг сонгох ёстой. Бидний тэмдэглэдэг хоёр дахь тоглогчийн алдагдал v2 , гэж нэрлэдэг хамгийн бага алдагдал эсвэл тоглоомын дээд үнэ .

At тоглоомын үнийн асуудлыг шийдвэрлэх, стратегийг тодорхойлох Хоёрдахь тоглогчийн хувьд эдгээр утгыг тодорхойлохын тулд дараах байдлаар ажиллана уу. Багана бүрээс хамгийн их элементийн утгыг бичиж, тэдгээрээс хамгийн бага хэмжээг сонгоно. Тиймээс хоёр дахь тоглогчийн алдагдал нь хамгийн багадаа байх болно. Тиймээс нэр нь - minimax ашиг. Энэ элементийн баганын дугаар нь хоёр дахь тоглогчийн сонгосон цэвэр стратегийн тоо байх болно. Хэрэв хоёр дахь тоглогч "minimax" ашигладаг бол эхний тоглогч стратеги сонгохоос үл хамааран тэр хамгийн ихдээ алдах болно. v2 нэгж.

Жишээ 1

.

Мөрүүдийн хамгийн жижиг элементүүдийн хамгийн том нь 2, энэ нь тоглоомын доод үнэ бөгөөд эхний эгнээ нь үүнтэй тохирч байгаа тул эхний тоглогчийн хамгийн их стратеги нь эхнийх нь юм. Баганын хамгийн том элементүүдийн хамгийн бага нь 5, энэ нь тоглоомын дээд үнэ бөгөөд хоёр дахь багана нь үүнтэй тохирч байгаа тул хоёр дахь тоглогчийн хамгийн бага стратеги нь хоёрдугаарт байна.

Одоо бид тоглоомын доод ба дээд үнэ болох максимин ба минимакс стратегийг хэрхэн олохыг сурсан тул эдгээр ойлголтыг албан ёсоор хэрхэн тодорхойлохыг сурах цаг болжээ.

Тиймээс эхний тоглогчийн баталгаатай ашиг нь:

Эхний тоглогч түүнд хамгийн бага ашиг авчрах цэвэр стратегийг сонгох ёстой. Энэ олзыг (максимин) дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

.

Эхний тоглогч цэвэр стратегиа ашигладаг бөгөөд ингэснээр хоёр дахь тоглогчийн алдагдал хамгийн их байх болно. Энэ алдагдлыг дараах байдлаар тодорхойлно.

Хоёрдахь тоглогч өөрийн цэвэр стратегийг сонгох ёстой бөгөөд ингэснээр түүний алдагдал хамгийн бага байх болно. Энэ алдагдлыг (минимакс) дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

.

Ижил цувралын өөр нэг жишээ.

Жишээ 2Төлбөрийн матрицтай матрицын тоглоом өгөгдсөн

.

Эхний тоглогчийн максимин стратеги, хоёр дахь тоглогчийн минимакс стратеги, тоглоомын доод ба дээд үнийг тодорхойл.

Шийдэл. Төлбөрийн матрицын баруун талд бид түүний эгнээнд хамгийн жижиг элементүүдийг бичиж, тэдгээрийн хамгийн ихийг, матрицын доод хэсгээс баганын хамгийн том элементүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийн хамгийн бага хэсгийг сонгоно.

Мөрүүдийн хамгийн жижиг элементүүдийн хамгийн том нь 3, энэ нь тоглоомын доод үнэ, хоёр дахь эгнээ нь үүнтэй тохирч байгаа тул эхний тоглогчийн хамгийн их стратеги нь хоёр дахь нь юм. Баганын хамгийн том элементүүдийн хамгийн бага нь 5, энэ нь тоглоомын дээд үнэ бөгөөд эхний багана нь үүнтэй тохирч байгаа тул хоёр дахь тоглогчийн хамгийн бага стратеги нь эхнийх юм.

Матрицын тоглоомуудын эмээл цэг

Тоглоомын дээд доод үнэ ижил байвал матриц тоглоомыг эмээлийн цэгтэй гэж үзнэ. Мөн эсрэгээр нь: хэрэв матрицын тоглоом эмээлийн цэгтэй бол матриц тоглоомын дээд ба доод үнэ ижил байна. Харгалзах элемент нь эгнээний хамгийн бага ба баганын хамгийн том нь бөгөөд тоглоомын үнэтэй тэнцүү байна.

Тиймээс хэрэв , дараа нь эхний тоглогчийн оновчтой цэвэр стратеги бөгөөд хоёр дахь тоглогчийн оновчтой цэвэр стратеги юм. Өөрөөр хэлбэл, ижил хос стратеги дээр тоглоомын доод ба дээд үнэ тэнцүү байна.

Энэ тохиолдолд матриц тоглоом нь цэвэр стратегийн шийдэлтэй .

Жишээ 3Төлбөрийн матрицтай матрицын тоглоом өгөгдсөн

.

Шийдэл. Төлбөрийн матрицын баруун талд бид түүний эгнээнд хамгийн жижиг элементүүдийг бичиж, тэдгээрийн хамгийн ихийг, матрицын доод хэсгээс баганын хамгийн том элементүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийн хамгийн бага хэсгийг сонгоно.

Тоглоомын доод үнэ нь тоглоомын дээд үнэтэй ижил байна. Ийнхүү тоглоомын үнэ 5. Энэ нь . Тоглоомын үнэ нь эмээлийн цэгийн үнэтэй тэнцүү байна. Эхний тоглогчийн максимин стратеги нь хоёр дахь цэвэр стратеги, хоёр дахь тоглогчийн минимакс стратеги нь гурав дахь цэвэр стратеги юм. Энэхүү матриц тоглоом нь цэвэр стратегийн шийдэлтэй.

Матрицын тоглоомын асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 4Төлбөрийн матрицтай матрицын тоглоом өгөгдсөн

.

Тоглоомын доод ба дээд үнийг олоорой. Энэ матриц тоглоом эмээлийн цэгтэй юу?

Хамгийн оновчтой холимог стратеги бүхий матриц тоглоомууд

Ихэнх тохиолдолд матриц тоглоом нь эмээлийн цэггүй байдаг тул харгалзах матрицын тоглоомд цэвэр стратеги шийдэл байдаггүй.

Гэхдээ энэ нь оновчтой холимог стратегийн шийдэлтэй. Тэднийг олохын тулд тоглоом хангалттай олон удаа давтагдсан гэж үзэх ёстой бөгөөд туршлага дээр үндэслэн аль стратеги нь илүү дээр болохыг тааж чадна. Тиймээс шийдвэр нь магадлал ба дундаж (хүлээлт) гэсэн ойлголттой холбоотой юм. Эцсийн шийдэлд эмээлийн цэгийн аналог (өөрөөр хэлбэл тоглоомын доод ба дээд үнийн тэгш байдал), тэдгээрт тохирох стратегийн аналог хоёулаа байдаг.

Тиймээс эхний тоглогч хамгийн их дундаж ашиг авч, хоёр дахь тоглогчийн дундаж алдагдал хамгийн бага байхын тулд тодорхой магадлал бүхий цэвэр стратеги ашиглах ёстой.

Хэрэв эхний тоглогч магадлал бүхий цэвэр стратеги ашигладаг бол , дараа нь вектор Эхний тоглогчийн холимог стратеги гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь цэвэр стратегийн "холимог" юм. Эдгээр магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна:

.

Хэрэв хоёр дахь тоглогч магадлал бүхий цэвэр стратеги ашигладаг бол , дараа нь вектор хоёр дахь тоглогчийн холимог стратеги гэж нэрлэдэг. Эдгээр магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна:

.

Хэрэв эхний тоглогч холимог стратеги ашигладаг бол х, хоёр дахь тоглогч - холимог стратеги q, тэгвэл утга учиртай болно хүлээгдэж буй үнэ цэнэ эхний тоглогч ялна (хоёр дахь тоглогч ялагдана). Үүнийг олохын тулд та эхний тоглогчийн холимог стратегийн векторыг (энэ нь нэг эгнээний матриц байх болно), өгөөжийн матриц, хоёр дахь тоглогчийн холимог стратегийн векторыг (энэ нь нэг баганатай матриц байх болно) үржүүлэх хэрэгтэй.

.

Жишээ 5Төлбөрийн матрицтай матрицын тоглоом өгөгдсөн

.

Хэрэв эхний тоглогчийн холимог стратеги нь , хоёр дахь тоглогчийн холимог стратеги нь , бол эхний тоглогчийн ашиг (хоёр дахь тоглогчийн алдагдал) гэсэн математикийн хүлээлтийг тодорхойл.

Шийдэл. Эхний тоглогчийн ашиг олох (хоёр дахь тоглогчийн алдагдал) математикийн хүлээлтийн томъёоны дагуу энэ нь эхний тоглогчийн холимог стратеги вектор, үр ашгийн матриц, хоёр дахь тоглогчийн холимог стратеги векторын үржвэртэй тэнцүү байна.

Эхний тоглогчийг ийм холимог стратеги гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв тоглоом хангалттай олон удаа давтагдсан бол түүнд хамгийн их дундаж өгөөжийг өгөх болно.

Хамгийн оновчтой холимог стратеги Хоёрдахь тоглогчийг ийм холимог стратеги гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв тоглоом хангалттай олон удаа давтагдсан бол түүнд хамгийн бага дундаж алдагдлыг өгдөг.

Цэвэр стратегийн хувьд максимин ба минимаксын тэмдэглэгээтэй зүйрлэвэл оновчтой холимог стратегиудыг дараах байдлаар тэмдэглэв (мөн математикийн хүлээлт, өөрөөр хэлбэл эхний тоглогчийн ашиг, хоёр дахь тоглогчийн алдагдлын дундажтай холбоотой):

,

.

Энэ тохиолдолд функцийн хувьд Э эмээлийн цэг байдаг , энэ нь тэгш байдлыг илэрхийлдэг.

Хамгийн оновчтой холимог стратеги ба эмээлийн цэгийг олохын тулд, i.e. матриц тоглоомыг холимог стратегиар шийдэх , та матрицын тоглоомыг шугаман програмчлалын бодлого, өөрөөр хэлбэл оновчлолын бодлого болгон бууруулж, холбогдох шугаман програмчлалын бодлогыг шийдэх хэрэгтэй.

Матрицын тоглоомыг шугаман програмчлалын бодлого болгон бууруулах

Холимог стратегиар матрицын тоглоомыг шийдэхийн тулд шулуун шугам зохиох хэрэгтэй шугаман програмчлалын асуудалболон түүний давхар даалгавар. Хос бодлогод хязгаарлалтын систем дэх хувьсагчдын коэффициент, тогтмол гишүүн, зорилгын функц дэх хувьсагчийн коэффициентүүдийг хадгалдаг нэмэгдүүлсэн матрицыг шилжүүлдэг. Энэ тохиолдолд анхны бодлогын зорилтын функцын хамгийн бага нь хос бодлого дахь хамгийн ихтэй холбоотой байдаг.

Шууд шугаман програмчлалын бодлогын зорилгын функц:

.

Шугаман програмчлалын шууд асуудлын хязгаарлалтын систем:

Хос бодлого дахь зорилгын функц:

.

Хос бодлогын хязгаарлалтын систем:

Шууд шугаман програмчлалын бодлогын оновчтой төлөвлөгөөг тэмдэглэ

,

хос бодлогын оновчтой төлөвлөгөөг тэмдэглэнэ

Харгалзах оновчтой загваруудын шугаман хэлбэрийг ба -аар тэмдэглэнэ.

мөн та тэдгээрийг оновчтой төлөвлөгөөний харгалзах координатын нийлбэр болгон олох хэрэгтэй.

Өмнөх хэсгийн тодорхойлолт, оновчтой төлөвлөгөөний координатын дагуу эхний болон хоёрдугаар тоглогчдын дараах холимог стратеги хүчинтэй байна.

.

Үүнийг математикчид нотолсон тоглоомын үнэ оновчтой төлөвлөгөөний шугаман хэлбэрээр дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

,

өөрөөр хэлбэл, энэ нь оновчтой төлөвлөгөөний координатын нийлбэрүүдийн харилцан хамаарал юм.

Бид, дадлагажигчид, зөвхөн энэ томъёог ашиглан матрицын тоглоомуудыг холимог стратегиар шийдвэрлэх боломжтой. Дуртай оновчтой холимог стратегийг олох томьёо Эхний болон хоёрдугаар тоглогчид:

хоёр дахь хүчин зүйлүүд нь векторууд юм. Бид өмнөх догол мөрөнд тодорхойлсон шиг оновчтой холимог стратеги нь мөн векторууд юм. Тиймээс тоог (тоглоомын үнэ) вектороор (оновчтой төлөвлөгөөний координатаар) үржүүлснээр бид мөн векторыг авна.

Жишээ 6Төлбөрийн матрицтай матрицын тоглоом өгөгдсөн

.

Тоглоомын үнийг олоорой Вба оновчтой холимог стратеги ба .

Шийдэл. Бид энэ матрицын тоглоомд тохирох шугаман програмчлалын бодлогыг боловсруулдаг.

Бид шууд асуудлын шийдлийг олж авдаг:

.

Бид оновчтой төлөвлөгөөний шугаман хэлбэрийг олсон координатын нийлбэрээр олдог.

Мэдлэгийн санд сайн ажлаа илгээх нь энгийн зүйл юм. Доорх маягтыг ашиглана уу

Мэдлэгийн баазыг суралцаж, ажилдаа ашигладаг оюутнууд, аспирантууд, залуу эрдэмтэд танд маш их талархах болно.

Оршил

1. Онолын хэсэг

1.3 Тоглоомын захиалга 2v2

1.4 Алгебрийн арга

1.5 График арга

1.6 Тоглоом 2xn эсвэл mx2

1.7 Тоглоомыг матрицын аргаар шийдвэрлэх

2. Практик хэсэг

2.2 2xn болон mx2 тоглоомууд

2.3 Матрицын арга

2.4 Браун арга

Үр дүнгийн шинжилгээ

Оршил

Антагонист тоглоом бол тэг нийлбэртэй тоглоом юм. Антагонист тоглоом гэдэг нь хоёр тоглогч оролцдог, ашиг нь эсрэгээрээ байдаг хамтын ажиллагаагүй тоглоом юм.

Албан ёсоор антагонист тоглоомыг гурвалсан тоглоомоор төлөөлж болно , энд X ба Y нь эхний болон хоёр дахь тоглогчдын стратегийн багц, F нь стратеги (x, y) бүрийг холбосон эхний тоглогчийн үр өгөөжийн функц, энд ашиг тустай тохирох бодит тоо байна. Энэ байдлыг ухаарсан анхны тоглогч.

Тоглогчдын ашиг сонирхол эсрэгээрээ байдаг тул F функц нь хоёр дахь тоглогчийн алдагдлыг нэгэн зэрэг илэрхийлдэг.

Түүхийн хувьд антагонист тоглоомууд нь тоглоомын онолын математик загваруудын эхний анги бөгөөд эдгээрийг тайлбарлахад ашигласан. мөрийтэй тоглоом. Энэхүү судалгааны сэдвийн ачаар тоглоомын онол нэрээ авсан гэж үздэг. Одоогийн байдлаар антагонист тоглоомууд нь хамтын ажиллагааны бус тоглоомуудын өргөн хүрээний нэг хэсэг гэж тооцогддог.

1. Онолын хэсэг

1.1 Тоглоомын үндсэн тодорхойлолт, заалтууд

Тоглоом нь тоглоомд оролцогчдын тоо, тэдгээрийн тоог тодорхойлдог дүрмийн системээр тодорхойлогддог боломжит үйлдлүүдмөн тэдний зан байдал, үр дүнгээс хамааран хожлын хуваарилалт. Тоглогч нь бусад бүлгийн ашиг сонирхолд нийцэхгүй байгаа зарим нэг нийтлэг ашиг сонирхол бүхий тоглоомын нэг оролцогч эсвэл хэсэг бүлэг оролцогчид гэж тооцогддог. Тиймээс оролцогч бүрийг тоглогч гэж тооцдоггүй.

Тоглоомын дүрэм эсвэл нөхцөл нь тоглоомын хөгжлийн аль ч үе шатанд тоглогчдын боломжит зан байдал, сонголт, хөдөлгөөнийг тодорхойлдог. Тоглогчийн хувьд сонголт хийх нь түүний зан үйлийн аль нэг боломж дээр зогсохыг хэлнэ. Дараа нь тоглогч нүүдлээр сонголтоо хийнэ. Хөдөлгөөн хийх гэдэг нь тоглоомын дүрэмд заасан боломжуудаас хамааран тоглоомын тодорхой үе шатанд бүгдийг эсвэл хэсэгчлэн сонгохыг хэлнэ. Тоглоомын тодорхой үе шатанд тоглогч бүр хийсэн сонголтын дагуу нүүдэл хийдэг. Нөгөө тоглогч эхний тоглогчийн сонголтыг мэддэг ч юм уу, мэдэхгүй ч бас нүүдэл хийдэг. Тоглогч бүр тоглоомын дүрмээр ийм боломжийг олгосон бол тоглоомын өмнөх хөгжлийн талаархи мэдээллийг анхаарч үзэхийг хичээдэг.

Тоглоомын үр дүнд бий болсон нөхцөл байдлаас шалтгаалан тоглогч ямар сонголт хийх ёстойг хоёрдмол утгагүйгээр зааж өгдөг багц дүрмийг тоглогчийн стратеги гэж нэрлэдэг. Тоглоомын онол дахь стратеги гэдэг нь тоглоомыг хөгжүүлэх бүх тохиолдолд хэрхэн ажиллах ёстойг харуулсан тоглогчийн үйл ажиллагааны тодорхой төлөвлөгөө гэсэн үг юм. Стратеги гэдэг нь тоглоомын хөгжлийн аль ч үе шатанд тоглогчдод байгаа аливаа мэдээллийн төлөв байдлын бүх шинж тэмдгүүдийн нийлбэрийг хэлнэ. Энэ нь стратеги нь сайн ба муу, амжилттай ба амжилтгүй гэх мэт байж болохыг харуулж байна.

Тоглолт бүрийн бүх тоглогчдын өгөөжийн нийлбэр тэг байх үед тэг нийлбэртэй тоглоом явагдана, өөрөөр хэлбэл тэг нийлбэртэй тоглоомонд бүх тоглогчдын нийт хөрөнгө өөрчлөгдөхгүй, харин тоглогчдын дунд дахин хуваарилагдана. гарсан үр дүнгийн талаар. Тиймээс эдийн засаг, цэргийн олон нөхцөл байдлыг тэг нийлбэртэй тоглоом гэж үзэж болно.

Ялангуяа хоёр тоглогчийн тэг нийлбэртэй тоглоомыг антагонист гэж нэрлэдэг, учир нь тоглогчдын зорилго нь шууд эсрэгээрээ байдаг: нэг тоглогчийн ашиг нь зөвхөн нөгөө тоглогчийн хожигдлын зардлаар л гардаг.

1.1.1 Цэвэр стратеги дэх матриц тоглоомуудын тодорхойлолт, жишээ, шийдэл

Хоёр тоглогчтой тэг нийлбэртэй матриц тоглоомыг дараах хийсвэр хоёр тоглогчтой тоглоом гэж үзэж болно.

Эхний тоглогч m стратегитай i =1, 2,…, m, хоёр дахь тоглогч n стратеги j = 1, 2,…, n. Хос стратеги (i, j) бүрд a ij гэсэн дугаар өгөгддөг. Эхний тоглогч өөрийнхийг ашиглавал хоёр дахь тоглогчийн төлөх эхний тоглогчийн ашиг i-р стратеги, хоёр дахь нь - түүний j-р стратеги.

Тоглогч бүр нэг нүүдэл хийдэг: эхний тоглогч өөрийн i-р стратегийг сонгоно (i = 1, 2, ..., m), хоёр дахь нь --таны j-thстратеги (j = 1, 2,…, n), үүний дараа эхний тоглогч хоёр дахь тоглогчийн зардлаар ij өгөөж авна (хэрэв a ij бол).< 0, то это значит, что первый игрок платит второму сумму a ij). На этом игра заканчивается.

Тоглогчийн стратеги бүр i = 1, 2,…, t; j = 1, 2,…, n-ийг ихэвчлэн цэвэр стратеги гэж нэрлэдэг.

Хоёр тоглогчийн тэг нийлбэртэй матриц тоглоомыг зүгээр л матриц тоглоом гэж нэрлэнэ. Мэдээжийн хэрэг, матриц тоглоом нь антагонист тоглоомд хамаардаг. Түүний тодорхойлолтоос харахад матрицын тоглоомыг тодорхойлохын тулд эхний тоглогчийн өгөөжийн m дарааллын A = (a ij) матрицыг зааж өгөхөд хангалттай.

Төлбөрийн матрицыг авч үзвэл

Дараа нь А матрицтай матрицын тоглоомын тоглоом бүрийн гүйцэтгэлийг эхний тоглогчийн сонголт болгон бууруулна. i-р мөр, мөн j-р баганын хоёр дахь тоглогч ба эхний тоглогч (хоёр дахь тоглогчийн зардлаар) i-р эгнээ ба j-р баганын огтлолцол дээр А матрицад байрлах өгөөжийг хүлээн авна.

Бодит зөрчилдөөний нөхцөл байдлыг матрицын тоглоом хэлбэрээр албан ёсны болгохын тулд тоглогч бүрийн цэвэр стратегийг тодорхойлж, дахин дугаарлаж, үр өгөөжийн матрицыг эмхэтгэх шаардлагатай.

Дараагийн алхам бол тоглогчдын оновчтой стратеги, үр ашгийг тодорхойлох явдал юм.

Тоглоомыг судлах гол зүйл бол тоглогчдын оновчтой стратегийн тухай ойлголт юм. Энэхүү үзэл баримтлал нь зөн совингийн хувьд дараах утгатай: тоглогчийн стратеги нь энэ стратегийг ашиглах нь түүнд нөгөө тоглогчийн боломжит бүх стратегийн хамгийн их баталгаатай үр өгөөжийг өгөх тохиолдолд оновчтой болно. Эдгээр байрлалд үндэслэн эхний тоглогч өөрийн ашиг орлогын матриц А-г (1.1) томъёоны дагуу дараах байдлаар шалгана: i (i = 1, 2, ..., m) утга тус бүрийн хувьд хамгийн бага төлбөрийн утгыг дараах байдлаар тодорхойлно. хоёр дахь тоглогчийн ашигладаг стратеги

(i = 1, 2,..., m) (1.2)

өөрөөр хэлбэл, эхний тоглогчийн хамгийн бага ашиг нь i - р цэвэр стратегийг хэрэглэсэн тохиолдолд тодорхойлогдвол эдгээр хамгийн бага үр өгөөжөөс i=i 0 стратеги олдох бөгөөд энэ нь хамгийн бага ашиг нь хамгийн их байх болно.

Тодорхойлолт. Томъёогоор (1.3) тодорхойлсон b тоог тоглоомын хамгийн бага цэвэр зардал гэж нэрлэдэг бөгөөд эхний тоглогч хоёр дахь тоглогчийн бүх боломжит үйлдлүүдэд өөрийн цэвэр стратегийг хэрэглэснээр өөртөө ямар хамгийн бага үр өгөөж өгч болохыг харуулдаг.

Хоёрдахь тоглогч нь оновчтой зан авираараа, боломжтой бол эхний тоглогчийн үр ашгийг стратегийн зардлаар багасгахыг хичээх ёстой. Тиймээс, хоёр дахь тоглогчийн хувьд бид олдог

өөрөөр хэлбэл, эхний тоглогчийн хамгийн их ашиг нь тодорхойлогддог, хэрэв хоёр дахь тоглогч өөрийнхийг хэрэглэвэл j-р цэвэрстратеги, дараа нь хоёр дахь тоглогч өөрийн j = j 1 стратегийг олох бөгөөд үүний төлөө эхний тоглогч хамгийн бага ашиг авч, өөрөөр хэлбэл, олдог.

Тодорхойлолт. Томъёогоор (1.5) тодорхойлсон β тоог тоглоомын цэвэр дээд зардал гэж нэрлэдэг бөгөөд эхний тоглогч өөрийн стратегийн ачаар өөртөө ямар их ашиг олж болохыг харуулж байна. Өөрөөр хэлбэл, цэвэр стратегиа хэрэглэснээр эхний тоглогч хамгийн багадаа b-ийн ашиг авч, хоёр дахь тоглогч цэвэр стратегиа ашигласнаар эхний тоглогч c-ээс илүү хожихоос сэргийлж чадна.

Тодорхойлолт. Хэрэв А матрицтай тоглоомонд тоглоомын доод ба дээд цэвэр үнэ давхцаж байвал, жишээлбэл, b = c байвал энэ тоглоомыг цэвэр стратеги болон тоглоомын цэвэр үнээр эмээллийн цэг гэж үзнэ.

n = b = c (1.6)

Эмээлийн цэг нь тэгш байдлыг хангасан эхний болон хоёр дахь тоглогчдын хос цэвэр стратеги () юм.

Эмээлийн цэгийн тухай ойлголт нь дараах утгатай: хэрэв тоглогчдын аль нэг нь эмээлийн цэгт тохирсон стратегийг баримталдаг бол нөгөө тоглогч нь эмээлийн цэгт тохирсон стратегийг баримтлахаас илүү сайн зүйл хийж чадахгүй. Тоглогчийн хамгийн сайн зан авир нь түүний ашиг орлого буурахад хүргэх ёсгүй бөгөөд хамгийн муу зан авир нь түүний ашиг орлого буурахад хүргэж болзошгүйг харгалзан эдгээр нөхцлүүдийг математикийн хувьд дараахь харьцаа хэлбэрээр бичиж болно.

Энд i, j нь эхний болон хоёр дахь тоглогчдын цэвэр стратеги; (i 0 , j 0) -- эмээлийн цэгийг бүрдүүлэх стратегиуд. Доор бид эмээлийн цэгийн тодорхойлолт нь (1.8) нөхцөлтэй тэнцэж байгааг харуулах болно.

Тиймээс (1.8) дээр үндэслэн эмээлийн элемент нь А матрицын i 0 -р эгнээнд хамгийн бага, j 0 -р баганад хамгийн их байна. А матрицын эмээлийн цэгийг олоход хялбар байдаг: матрицад A мөр бүрт дараалан хамгийн бага элементийг олж, энэ элемент нь түүний баганад хамгийн их байгаа эсэхийг шалгана уу. Хэрэв энэ нь тийм бол энэ нь эмээлийн элемент бөгөөд түүнд тохирсон хос стратеги нь эмээлийн цэгийг бүрдүүлдэг. Эмээлийн цэг ба эмээлийн элементийг бүрдүүлдэг эхний болон хоёр дахь тоглогчдын хос цэвэр стратеги (i 0, j 0) нь тоглоомын шийдэл гэж нэрлэгддэг.

Эмээлийн цэгийг бүрдүүлдэг цэвэр стратеги i 0 ба j 0 нь эхний болон хоёр дахь тоглогчдын оновчтой цэвэр стратеги гэж нэрлэгддэг.

Теорем 1. f (x, y) нь x A ба y B хоёр хувьсагчийн бодит функц байх ба оршин байг.

дараа нь b = c.

Баталгаа. Хамгийн бага ба хамгийн их гэсэн тодорхойлолтоос харахад ийм байна

(1.11) -ийн зүүн талд x нь дур зоргоороо байдаг тул

Тэгш бус байдлын баруун талд (1.12) y нь дур зоргоороо, тэгэхээр

Q.E.D.

Ялангуяа матриц () нь f (x, y) функцийн онцгой тохиолдол бөгөөд өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид x = i, y = j, = f (x, y) -ийг тавьбал 1-р теоремоос бид хамгийн бага байх болно. цэвэр үнэ нь матрицын тоглоомын дээд цэвэр үнэ цэнээс хэтрэхгүй байна.

Тодорхойлолт. f (x, y) нь x A ба y B гэсэн хоёр хувьсагчийн бодит функц байг. Дараах тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд (x 0, y 0) цэгийг f (x, y) функцийн эмээлийн цэг гэнэ.

f (x, y 0) f (x 0, y 0) f (x 0, y) (1.14)

дурын x A ба y B-ийн хувьд.

1.2 Хамгийн оновчтой холимог стратеги, тэдгээрийн шинж чанарууд

Матриц тоглоомыг судлах нь түүний эмээлийн цэгийг цэвэр стратегиас олохоос эхэлдэг. Хэрэв матриц тоглоом нь цэвэр стратегийн эмээл цэгтэй бол энэ цэгийг олох нь тоглоомын судалгааг дуусгана. Хэрэв матрицын тоглоомд цэвэр стратеги дээр эмээлийн цэг байхгүй бол бид энэ тоглоомын доод ба дээд цэвэр үнийг олох боломжтой бөгөөд энэ нь эхний тоглогч тоглоомын дээд үнээс илүү хожно гэж найдах ёсгүй гэдгийг харуулж байна. тоглоомын доод үнээс багагүй ашиг авах эсэхээ шалгаарай. Цэвэр стратегийн эмээлгүй матриц тоглоомын тоглогчдын зан байдлын талаархи ийм зөвлөмж нь судлаачид, дадлагажигчдыг хангаж чадахгүй. Матриц тоглоомын шийдлийг сайжруулахын тулд цэвэр стратегийн хэрэглээний нууцлалыг ашиглах, тоглоомыг үдэшлэг хэлбэрээр давтан давтах боломжийг эрэлхийлэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, шатар, даам, хөл бөмбөгийн цуврал тоглоомууд тоглогддог бөгөөд тоглогчид стратегиа хэрэгжүүлэх болгондоо өрсөлдөгчид нь агуулгыг нь мэддэггүй бөгөөд замдаа дунджаар тодорхой үр дүнд хүрдэг. бүхэл бүтэн цуврал тоглоом тоглож байна. Эдгээр өгөөж нь дунджаар тоглоомын доод үнээс их, тоглоомын дээд үнээс бага байдаг. Энэ дундаж утга их байх тусам илүү сайн стратегитоглогч ашигласан. Тиймээс тодорхой магадлалтайгаар санамсаргүй байдлаар цэвэр стратеги хэрэглэх санаа төрсөн. Энэ нь тэдний ашиглалтын нууцыг бүрэн хангадаг. Тоглогч бүр өөрийн цэвэр стратеги хэрэглэх магадлалыг өөрчилж, дундаж ашгаа нэмэгдүүлэх, замдаа оновчтой стратегийг олж авах боломжтой. Энэхүү санаа нь холимог стратегийн үзэл баримтлалыг бий болгосон.

Тодорхойлолт. Тоглогчийн холимог стратеги нь түүний цэвэр стратегийг хэрэгжүүлэх магадлалын бүрэн багц юм.

Тиймээс, хэрэв эхний тоглогч m цэвэр стратеги 1, 2, … i, … m байвал түүний холимог стратеги x нь x = (x 1 , x 2 , ..., x i ,…, x t ) хангадаг тооны багц юм. харилцаа

x i 0 (i = 1, 2, ... , m), = 1. (1.15)

Үүний нэгэн адил, n цэвэр стратегитай хоёр дахь тоглогчийн хувьд холимог стратеги y нь харилцааг хангадаг y = (y 1 ,…, y j , … y n) тоонуудын багц юм.

y j 0 (j = 1, 2, ... , n), = 1. (1.16)

Тоглогч нэг цэвэр стратегийг ашиглах бүрт нөгөөг ашиглахаас сэргийлдэг тул цэвэр стратеги нь үл нийцэх үйл явдал юм. Үүнээс гадна эдгээр нь цорын ганц боломжтой үйл явдал юм.

Цэвэр стратеги бол холимог стратегийн онцгой тохиолдол болох нь тодорхой. Үнэхээр, хэрэв холимог стратегид байгаа бол i-р сүлжээстратегийг нэг магадлалаар хэрэглэвэл бусад бүх цэвэр стратеги хэрэглэхгүй. Мөн энэ 1-р цэвэр стратеги нь холимог стратегийн онцгой тохиолдол юм. Нууцлалыг хадгалахын тулд тоглогч бүр өөр тоглогчийн сонголтоос үл хамааран өөрийн стратегийг хэрэгжүүлдэг.

Тодорхойлолт. А матрицтай тоглоомын эхний тоглогчийн дундаж өгөөжийг түүний ашиг олох математик хүлээлтээр илэрхийлнэ.

E (A, x, y) = (1.20)

Мэдээжийн хэрэг, эхний тоглогчийн дундаж ашиг нь x ба y хувьсагчийн хоёр багцын функц юм. Эхний тоглогч өөрийн холимог стратеги x-ийг өөрчилснөөр E (A, x, y) дундаж үр өгөөжөө нэмэгдүүлэхийг зорьдог бол хоёр дахь тоглогч холимог стратегиудаараа E (A, x, y) хамгийн бага болгохыг эрмэлздэг. тоглоомыг шийдэхийн тулд тоглоомын дээд үнэд хүрсэн ийм x, y-г олох шаардлагатай.

1.3 Захиалга 22 тоглоом

22-р эрэмбийн матрицын тоглоомыг эхний тоглогчийн хувьд дараах өгөөжийн матрицаар өгнө.

Энэ тоглоомын шийдэл нь цэвэр стратеги дээр эмээлийн цэг олохоос эхлэх ёстой. Үүний тулд эхний эгнээний хамгийн бага элементийг олж, баганад хамгийн их байгаа эсэхийг шалгана уу. Хэрэв ийм элемент олдохгүй бол хоёр дахь мөрийг ижил аргаар шалгана. Хэрэв ийм элемент хоёр дахь мөрөнд олдвол энэ нь эмээлийн элемент юм.

Эмээлийн элементийг олсноор хэрэв байгаа бол түүний шийдлийг олох үйл явц дуусна, учир нь энэ тохиолдолд тоглоомын үнэ олддог - эмээлийн элемент ба эмээлийн цэг, өөрөөр хэлбэл эхний ба эмээлийн хос цэвэр стратеги. хоёр дахь тоглогчид, оновчтой цэвэр стратеги бүрдүүлдэг. Хэрэв цэвэр стратегид эмээлийн цэг байхгүй бол матрицын тоглоомын үндсэн теоремын дагуу заавал байх холимог стратеги дахь эмээлийн цэгийг олох шаардлагатай.

Эхний болон хоёрдугаар тоглогчдын холимог стратегийг x=(x 1 ,x 2), y=(y 1 ,y 2) гэж тэмдэглэ. Сануулахад, x 1 гэдэг нь эхний тоглогчийн анхны стратегийг ашиглах магадлал, x 2 \u003d 1 - x 1 нь түүний хоёр дахь стратегийг ашиглах магадлал юм. Үүнтэй адилаар хоёр дахь тоглогчийн хувьд: 1 - эхний стратегийг ашиглах магадлал, y 2 = 1 - 1 - хоёр дахь стратегийг ашиглах магадлал.

Теоремын үр дүнд x ба y холимог стратеги оновчтой байхын тулд сөрөг бус x 1 , x 2 , y 1 , y 2-ын хувьд дараах харилцааг хангасан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Хэрэв матриц тоглоом нь цэвэр стратегийн хувьд эмээллийн цэггүй бол эдгээр тэгш бус байдал нь тэгш байдал болж хувирах ёстойг бид одоо харуулж байна.

Үнэхээр. Тоглоомыг цэвэр стратегид эмээллийн цэггүй болго, тэгвэл холимог стратегийн оновчтой утгууд нь тэгш бус байдлыг хангана.

0<<1, 0<< 1,

0< <1, 01. (1.25)

(1.22)-ын тэгш бус байдал хоёулаа хатуу байна гэж бодъё

тэгвэл теоремийн дагуу y 1 = y 2 = 0 бөгөөд энэ нь (1.25) нөхцөлтэй зөрчилддөг.

Үүнтэй адилаар (1.23) дээрх тэгш бус байдал хоёулаа хатуу тэгш бус байж болохгүй гэдгийг баталж болно.

Тэгш бус байдлын аль нэг нь (1.22) хатуу байж болно гэж бодъё, жишээлбэл, эхнийх нь

Энэ нь теоремийн дагуу y 1 = 0, y 2 =1 гэсэн үг юм. Тиймээс (1.23) -аас бид олж авна

Хэрэв (1.24) тэгш бус байдал хоёулаа хатуу байвал (1.25) -тай зөрчилддөг x1 = x2 = 0 теоремоор. Харин 12 a 22 бол тэгш бус байдлын нэг нь (1.27) хатуу, нөгөө нь тэгш байна. Түүгээр ч зогсохгүй 12 ба 22-ын том элементийн хувьд тэгш байдал биелнэ, өөрөөр хэлбэл (1.27)-ийн нэг тэгш бус байдал хатуу байх ёстой. Жишээ нь 12< а 22 . Тогда справедливо а 12 < v, а это равносильно тому, что первое неравенство из (1.24) строгое. Тогда согласно теореме должно х 1 = 0, что противоречит условию (1.25). Если а 12 = а 22 , то оба неравенства (1.27) превращаются в равенства и тогда можно положить х 1 = 0, что противоречит (1.25). Итак, предположение о том, что первое неравенство из (1.22) может быть строгим, не справедливо. Аналогично можно показать, что второе неравенство из (1.22) также не может быть строгим.

Тиймээс, хэрэв матриц тоглоом нь цэвэр стратегиудад эмээлийн цэггүй бол эхний тоглогчийн оновчтой стратегийн хувьд тэгш бус байдал (1.22) тэнцүү болж хувирдаг болохыг харуулж байна. Тэгш бус байдлын талаархи ижил төстэй аргументууд (1.23) нь энэ тохиолдолд тэгш бус байдал (1.23) нь тэгш байх ёстой.

Хэрэв 22-р эрэмбийн матрицын тоглоом эмээлийн цэггүй бол тоглогчдын оновчтой холимог стратеги ба тоглоомын үнийг тэгшитгэлийн системийг (1.24) шийдвэрлэх замаар тодорхойлж болно. Мөн 2х2 матрицын тоглоомд тоглогчдын аль нэг нь оновчтой цэвэр стратегитай бол нөгөө тоглогч нь оновчтой цэвэр стратегитай байдаг нь тогтоогдсон.

Тиймээс, хэрэв матриц тоглоом нь цэвэр стратегид эмээлийн цэггүй бол (1.24) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог холимог стратегиудад шийдэлтэй байх ёстой. Системийн шийдэл (1.25)

1.4 Алгебрийн арга

Алгебрийн аргаар асуудлыг шийдэх хоёр тохиолдол байдаг.

1. матриц нь эмээлийн цэгтэй;

2. матрицад эмээлийн цэг байхгүй.

Эхний тохиолдолд шийдэл нь тоглоомын эмээлийн цэгийг бүрдүүлдэг хос стратеги юм. Хоёр дахь тохиолдлыг авч үзье. Энд байгаа шийдлүүдийг холимог стратегиас хайх хэрэгтэй:

Стратеги олох ба Эхний тоглогч оновчтой стратегиа ашиглах үед хоёр дахь тоглогч жишээлбэл, ийм хоёр цэвэр стратегийг хэрэглэж болно.

Түүгээр ч зогсохгүй өмчийн ачаар хэрэв тоглогчдын аль нэг нь оновчтой холимог стратегийг ашигладаг бол нөгөө нь 0 биш магадлал бүхий оновчтой холимог стратегид багтсан бол ашиг олох математикийн хүлээлт үргэлж өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. тоглоомын үнэтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Эдгээр тохиолдлуудын бүрд өгөөж нь V тоглоомын дүнтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ тохиолдолд дараах харилцаа хүчинтэй байна.

Хоёрдахь тоглогчийн оновчтой стратегийн хувьд (2.5), (2.6)-тай төстэй тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлж болно.

Хэвийн нөхцөлийг харгалзан үзвэл:

(1.37) - (1.41) тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх зүйлийн талаар хамтад нь шийдье, бүгдийг нэг дор биш, харин гурвыг нь тус тусад нь (1.36), (1.38), (1.40) ба (1.37), (1.39) -аар шийдье. , (1.41). Шийдлийн үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.

1.5 График арга

22-р тоглоомын ойролцоо шийдлийг график аргыг ашиглан хялбархан олж авах боломжтой. Үүний мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

Зураг 1.1 - нэгж урттай хэсгийг олох

Абсцисса тэнхлэгт нэгж урттай хэсгийг сонгоно. Үүний зүүн төгсгөл нь эхний тоглогчийн эхний стратегийг, хоёр дахь тоглогчийн баруун төгсгөлийг дүрсэлсэн болно. Бүх завсрын цэгүүд нь эхний тоглогчийн холимог стратегитай тохирч байгаа бөгөөд цэгийн баруун талд байгаа сегментийн урт нь эхний стратегийг ашиглах магадлалтай тэнцүү бөгөөд зүүн талд байгаа сегментийн урт нь ашиглах магадлалтай тэнцүү байна. Эхний тоглогчийн хоёр дахь стратеги.

I-I, II-II гэсэн хоёр тэнхлэгийг гүйцэтгэдэг. I-I-д бид эхний тоглогч эхний стратегийг ашиглах үед, II-II-д хоёр дахь стратегийг ашиглах үед бид үр дүнг хойшлуулах болно. Жишээлбэл, хоёр дахь тоглогч эхний стратегиа хэрэгжүүлээд дараа нь утгыг I-I тэнхлэгт, утгыг II-II тэнхлэгт зурна.

Эхний тоглогчийн холимог стратегийн хувьд түүний ашиг нь сегментийн хэмжээгээр тодорхойлогдоно. I-I мөр нь хоёр дахь тоглогчийн эхний стратегийг хэрэглэхтэй тохирч байгаа тул бид үүнийг хоёр дахь тоглогчийн эхний стратеги гэж нэрлэх болно. Хоёрдахь тоглогчийн хоёрдахь стратегийг ижил төстэй байдлаар хийж болно. Дараа нь ерөнхийдөө тоглоомын матрицын график дэлгэц дараах хэлбэрийг авна.

Зураг 1.2 - тоглоомын үнийг олох

Гэсэн хэдий ч энэхүү бүтээн байгуулалтыг анхны тоглогчдод зориулж хийсэн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энд сегментийн урт нь V тоглоомын утгатай тэнцүү байна.

1N2 шугамыг доод төлбөрийн шугам гэж нэрлэдэг. Эндээс N цэг нь эхний тоглогчийн баталгаатай өгөөжийн хамгийн их утгатай тохирч байгаа нь тодорхой харагдаж байна.

Ерөнхийдөө хоёр дахь тоглогчийн стратегийг энэ зургаас, жишээлбэл, иймэрхүү байдлаар тодорхойлж болно. I-I тэнхлэг дээр:

эсвэл II-II тэнхлэгт

Гэсэн хэдий ч, хоёр дахь тоглогчийн стратеги нь эхний тоглогчийн хувьд хийгдсэнтэй ижил аргаар тодорхойлж болно, i.e. ийм график бүтээх.

Зураг 1.3 - хоёр дахь тоглогчийн стратегийн тодорхойлолт

Энд 1N2 шугам нь алдагдлын дээд хязгаар юм. N цэг нь хоёр дахь тоглогчийн хамгийн бага алдагдалтай тохирч, стратегийг тодорхойлдог.

Коэффициентуудын тодорхой утгуудаас хамааран график матрицууд нь өөр хэлбэртэй байж болно, жишээлбэл:

Зураг 1.4 - эхний тоглогчийн оновчтой стратегийг тодорхойлдог

Ийм нөхцөлд эхний тоглогчийн оновчтой стратеги нь цэвэр юм.

1.6 Тоглоом 2н эсвэл м2

2n дарааллын тоглоомуудад эхний тоглогч 2 цэвэр стратеги, хоёр дахь тоглогч n цэвэр стратегитай, өөрөөр хэлбэл. Эхний тоглогчийн өгөөжийн матриц нь:

Хэрэв ийм тоглоом эмээлийн цэгтэй бол түүнийг олж, шийдлийг олоход хялбар байдаг.

Тоглоом эмээлийн оноотой гэж бодъё. Дараа нь ийм холимог стратеги, тус тусад нь эхний болон хоёр дахь тоглогчид, тоглоомын v үнэ ханшийг олох шаардлагатай байна.

Тоглоом эмээлийн цэггүй тул тэгш бус байдлыг (1.54) тэгш бус байдлаар сольсон.

(1.56), (1.55), (1.53) системийг шийдвэрлэхийн тулд график аргыг ашиглах нь зүйтэй. Үүний тулд бид тэгш бус байдлын зүүн талын тэмдэглэгээг танилцуулж байна (1.53)

матриц тоглоомын математик загвар

эсвэл (1.55)-аас тохируулж, энгийн хувиргалтуудыг хийснээр бид олж авна

Эхний тоглогчийн холимог стратеги, хоёр дахь нь түүний j-р цэвэр стратегийг ашигласан тохиолдолд дундаж ашиг хаана байна.

Илэрхийллийн дагуу j=1, 2, …, n утга тус бүр нь тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамтай тохирч байна.

Хоёрдахь тоглогчийн зорилго бол стратегийг сонгох замаар эхний тоглогчийн ашиг орлогыг багасгах явдал юм. Тиймээс бид тооцоолж байна

хязгаарлалтын багцын доод хязгаар хаана байна. Зураг 1.6-д функцийн графикийг бүдүүн шугамаар үзүүлэв.

http://www.allbest.ru/ сайтад байршуулсан.

Зураг 1.6 - функциональ график

Эхний тоглогчийн зорилго бол сонголтоор дамжуулан ашиг орлогоо нэмэгдүүлэх явдал юм. тооцоолох

Зураг 1.6-д цэг нь хамгийн их утгыг илэрхийлнэ. Тоглоомын үнэ, учир нь:

Ийнхүү эхний тоглогчийн оновчтой холимог стратеги, хоёр дахь тоглогчийн хос цэвэр стратеги графикаар тодорхойлогддог бөгөөд тэдгээр нь уулзвар дээр цэг үүсгэдэг.Зураг 1.6-д хоёр дахь тоглогчийн 2, 3-р стратегийг харуулав. Ийм стратегийн хувьд тэгш бус байдал (1.53) тэнцүү болж хувирдаг. Зураг 1.6-д эдгээр нь j=2, j=3 стратеги юм.

Одоо бид тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадна

ба утгыг нарийн тодорхойлох (графикаар тэдгээрийг ойролцоогоор тодорхойлно). Дараа нь бүх утгыг цэг үүсгэдэггүй j дээр тавиад тэгшитгэлийн системийг шийднэ (1.56) Зураг 1.6-д үзүүлсэн жишээнд энэ нь дараах систем юм.

болон бусад нь Энэ системийг налуу замаар шийдэж болно. Хэрэв зарим j=j 0-ийн хувьд хоёр дахь тоглогчийн стратеги нь M 0 цэгийг бүрдүүлж, хязгаарлалтын багцын доод хязгаарын хамгийн их утгыг параллель сегментээр илэрхийлнэ. тэнхлэг Энэ тохиолдолд эхний тоглогч хязгааргүй олон оновчтой утгууд болон тоглоомын үнэтэй байна. Зураг 1.7-д үзүүлсэн тохиолдолд MN сегмент нь дээд хязгаарыг илэрхийлдэг бол оновчтой утгууд нь хязгаар дотор байна. Хоёрдахь тоглогч цэвэр оновчтой стратеги j=j 0 байна.

М2 эрэмбийн матрицын тоглоомуудыг мөн график аргыг ашиглан шийддэг. Энэ тохиолдолд эхний тоглогчийн төлбөрийн матриц нь хэлбэртэй байна

Эхний болон хоёр дахь тоглогчдын холимог стратеги нь 2n дарааллын тоглоомтой адил тодорхойлогддог. 0-ээс 1 хүртэлх утгыг эхний тоглогч өөрийн цэвэр i-р стратегийг (i=1, 2) хэрэгжүүлэх нөхцөлд эхний тоглогчийн хэвтээ тэнхлэгийн дагуу босоо тэнхлэгийн дагуу - дундаж ашгийн утга) зурна. , ..., м), хоёр дахь нь - түүний холимог стратеги (y 1 , 1- y 1) =y. Жишээлбэл, графикаар m=4 байх үед) Зураг 1.7-д үзүүлснээр дүрсэлж болно.

Зураг 1.7 - функцийн график)

Эхний тоглогч дундаж орлогоо нэмэгдүүлэхийг хичээдэг тул олохыг хичээдэг

Функцийг зузаан шугамаар харуулсан бөгөөд хязгаарлалтын дээд хязгаарыг илэрхийлнэ. Хоёр дахь тоглогч өөрийн стратегийг сонгох замаар багасгахыг оролддог, i.e. утга тохирч байна

Зураг дээр утгыг цэгээр зааж өгсөн болно. Өөрөөр хэлбэл, эхний тоглогчийн ийм хоёр стратеги ба хоёр дахь тоглогчийн магадлалыг тодорхойлсон бөгөөд үүний төлөө тэгш байдал бий болно.

Зургаас харахад тоглоомын үнэ нь цэгийн ординат, магадлал нь цэгийн абсцисса юм. Хамгийн оновчтой холимог стратегийн эхний тоглогчийн цэвэр стратегийн үлдсэн хэсэг нь ().

Тиймээс (1.69) системийг шийдэж, бид хоёр дахь тоглогчийн оновчтой стратеги, тоглоомын үнэ цэнийг олж авдаг. Дараахь тэгшитгэлийн системийг шийдэж эхний тоглогчийн оновчтой холимог стратегийг олно.

1.7 Тоглоомыг шийдвэрлэх матрицын арга

Тэмдэглэл:

Захиалгын матрицын дурын квадрат дэд матриц

Матриц (1);

Матрицыг шилжүүлсэн;

Б-д хавсаргасан матриц;

- (1) хүлээн авахдаа устгасан мөрүүдэд тохирох элементүүдийг устгаснаар X-ээс олж авсан матриц;

- (1) хүлээн авахдаа устгасан мөртэй тохирох элементүүдийг устгаснаар олж авсан матриц.

Алгоритм:

1. Захиалгын матрицын квадрат дэд матрицыг сонгоод тооцоол

2. Хэрэв зарим эсвэл, дараа нь олсон матрицыг хаяж, өөр матрицыг туршиж үзээрэй.

3. Хэрэв (), () бол бид тооцоолж, X болон -аас, тохирох газруудад тэгийг нэмж байгуулна.

Тэгш бус байдал хангагдсан эсэхийг шалгаж байна

тус бүр (1.75)

ба тэгш бус байдал

тус бүрийн хувьд (1.76)

Хэрэв харьцааны аль нэг нь хангагдаагүй бол бид өөрийг оролдоно. Хэрэв бүх хамаарал хүчинтэй бол X ба хүссэн шийдлүүд.

1.8 Тоглоомын үнийг дараалан ойртуулах арга

Тоглоомын нөхцөл байдлыг судлахдаа тоглоомын яг тодорхой шийдлийг олж авах шаардлагагүй эсвэл ямар нэг шалтгааны улмаас тоглоомын өртөг, оновчтой холимог стратегийн яг тодорхой утгыг олох боломжгүй эсвэл маш хэцүү байдаг. Дараа нь та матрицын тоглоомыг шийдэх ойролцоо аргыг ашиглаж болно.

Эдгээр аргуудын нэг болох тоглоомын үнийг дараалан ойртуулах аргыг тайлбарлая. Уг аргыг ашиглан тооцоолсон төлбөрийн тоо нь төлбөрийн матрицын мөр, баганын тоотой пропорциональ хэмжээгээр нэмэгддэг.

Аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: сэтгэцийн хувьд тоглоомыг олон удаа тоглодог, i.e. Тоглолтын тоглоом бүрт тоглогч түүнд хамгийн их (нийт) ашиг өгөх стратегийг сонгодог.

Зарим тоглоомыг ийм байдлаар хэрэгжүүлсний дараа эхний тоглогчийн ашиг, хоёр дахь тоглогчийн алдагдлын дундаж утгыг тооцож, тэдгээрийн арифметик дундажийг тоглоомын үнийн ойролцоо утга болгон авдаг. Энэ арга нь хоёр тоглогчийн оновчтой холимог стратегийн ойролцоо утгыг олох боломжийг олгодог: цэвэр стратеги бүрийн хэрэглээний давтамжийг тооцоолж, тохирох тоглогчийн оновчтой холимог стратегийн ойролцоо утга болгон авах шаардлагатай.

Хөтөлбөрийн тоглоомын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлснээр эхний тоглогчийн дундаж ашиг, хоёр дахь тоглогчийн дундаж алдагдал нь тоглоомын үнэ, холимог стратегийн ойролцоо утгыг хязгааргүй ойртуулах болно гэдгийг баталж болно. Тоглоомын шийдэл нь өвөрмөц байх тохиолдолд тоглогч бүрийн оновчтой холимог стратеги руу чиглэнэ. Ерөнхийдөө заасан утгуудаас дээш утгыг жинхэнэ утгад ойртуулах нь удаан байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ процессыг хялбархан механикжуулж болох бөгөөд ингэснээр харьцангуй том захиалгын төлбөрийн матрицтай ч гэсэн шаардлагатай нарийвчлалтайгаар тоглоомын шийдлийг олж авахад тусална.

2. Практик хэсэг

Хосууд хаашаа зугаалж, хоёр хүний ​​сайн сайхны төлөө цагийг өнгөрөөхөө шийддэг.

Охин цэвэр агаар авахын тулд цэцэрлэгт хүрээлэнгээр зугаалж, орой нь хамгийн ойрын кино театрт кино үзэхээр шийдэв.

Тэр залуу төв цэнгэлдэх хүрээлэнд орон нутгийн клубын хөлбөмбөгчдийн тоглолтыг үзээд технопарк руу явахыг санал болгож байна.

Үүний дагуу та аль нэг тоглогчийн зорилго хэр удаан биелэхийг олох хэрэгтэй. Төлбөрийн матриц дараах байдлаар харагдах болно.

Хүснэгт 1. Төлбөрийн матриц

1 2-оос хойш энэ тоглоомонд цэвэр стратеги дээр эмээлийн цэг байхгүй нь ойлгомжтой. Тиймээс бид дараах томьёог ашигладаг бөгөөд бид дараахь зүйлийг олж авна.

http://www.allbest.ru/ сайтад байршуулсан.

2.2 2xn болон mx2 тоглох

Асуудал 1(2xn)

Хуурай, чийглэг уур амьсгалд зориулж хоёр үр тариа тарьдаг.

Мөн байгалийн байдлыг: хуурай, нойтон, дунд зэрэг гэж үзэж болно.

http://www.allbest.ru/ сайтад байршуулсан.

j=1, j"=2-д харгалзах шулуунуудын огтлолцол үүссэн M цэг дээр M()-ийн хамгийн их утгад хүрнэ. Иймд бид: ,

Асуудал 2(mx2)

Залуу охин хоёр амралтын өдрөөр хаашаа явахаа бодож байна.

Амралтын газрыг сонгохдоо цэцэрлэгт хүрээлэн, кино театр, ресторан гэх мэтээр илэрхийлж болно.

http://www.allbest.ru/ сайтад байршуулсан.

j=1, j"=2-д харгалзах шулуунуудын огтлолцол үүссэн E цэг дээр M()-ийн хамгийн их утгад хүрнэ. Иймд бид: ,

V утгыг тодорхойлохын тулд та дараах тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

2.5 Матрицын арга

Өрсөлдөгч хоёр ресторан (хоолны нийтийн хоолны газар) дараах багц үйлчилгээг үзүүлдэг. Эхний ресторан нь төвд, нөгөө нь хотын захад байрладаг.

Төв ресторан нь дараахь үйлчилгээг агуулдаг.

1) илүү үнэтэй, илүү сайн харилцагчийн үйлчилгээ;

2) аяга таваг нь Францын хоолонд төвлөрдөг;

Хоёр дахь ресторан нь дараахь зүйлийг хангадаг.

1) үнэтэй биш, өндөр чанартай үйлчилгээ;

2) цэс нь дэлхийн янз бүрийн алдартай хоолыг хослуулсан;

3) тогтмол урамшуулал, хөнгөлөлт;

4) хүргэлт хийж, гэртээ хүргэх захиалга хүлээн авдаг.

Даалгаврын дагуу хоёр рестораны нэг өдрийн ашгийг дараах байдлаар хуваарилна.

Хүснэгт 2. Төлбөрийн матриц

Матриц хэлбэрээр тоглоомыг шийдвэрлэх:

Зургаан дэд матриц байдаг ба:

Матрицыг авч үзье:

x 1 =? 0,x2=? 0

x 2 = учраас< 0, то мы отбрасываем.

Одоо матрицыг авч үзье:

x 1 =? 0,x2=? 0

Тоглоомын үнэ.

Энэ харьцаа нь шаардлагад зөрчилдөж байгаа тул тохиромжгүй.

Одоо матрицыг авч үзье:

x 1 =, x 2 =? 0,

y 1 =< 0, y 2 = ? 0.

y 1 = учраас< 0, то мы отбрасываем и.

Одоо матрицыг авч үзье:

x 1 \u003d, x 2 \u003d 0, учир нь x 2 \u003d 0, дараа нь бид хаяна.

Одоо матрицыг авч үзье:

x 1 =, x 2 =? 0. x 1 \u003d 0 тул бид хаях ба.

Одоо матрицыг авч үзье:

x 1 =, x 2 =, y 1 =, y 2 =, дараа нь бид цааш үргэлжлүүлнэ:

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 = эсвэл

Тоглоомын үнэ.

Одоо үндсэн харилцааг шалгаж байна:

http://www.allbest.ru/ сайтад байршуулсан.

Хариулт: x 1 =, x 2 =, y 1 =, y 2 =, y 3 =0, y 4 =0,.

Бор арга

Тодорхой компанийн ажилчдын хүсэлтээр үйлдвэрчний эвлэл нь компанийн зардлаар халуун хоол зохион байгуулах талаар удирдлагатайгаа тохиролцдог. Ажилчдын эрх ашгийг төлөөлдөг үйлдвэрчний эвлэл нь хоолыг хамгийн чанартай, тиймээс илүү үнэтэй байлгахыг баталгаажуулдаг. Компанийн удирдлага ашиг сонирхлын зөрчилтэй. Эцэст нь талууд дараахь зүйлийг тохиролцов. Үйлдвэрчний эвлэл (1-р тоглогч) халуун хоолоор хангадаг гурван пүүсийн аль нэгийг (A 1, A 2, A 3), компанийн удирдлага (2-р тоглогч) гурван боломжит хувилбараас (B 1, B 2, B 3) . Гэрээнд гарын үсэг зурсны дараа үйлдвэрчний эвлэл дараахь төлбөрийн матрицыг бүрдүүлдэг бөгөөд тэдгээрийн элементүүд нь аяга тавагны өртөгийг илэрхийлдэг.

Тоглоомыг дараах үр дүнгийн матрицаар өгье.

Хоёр дахь тоглогч 2 дахь стратегиа сонгосон гэж бодъё, дараа нь эхнийх нь дараахь зүйлийг авна.

2 хэрэв тэр 1-р стратегиа ашиглавал,

Хэрэв тэр 3 дахь стратегиа ашиглавал 3.

Хүлээн авсан утгыг 1-р хүснэгтэд нэгтгэн харуулав.

Хүснэгт 3. Хоёр дахь тоглогчийн стратеги

Хүснэгт 3-аас харахад хоёр дахь тоглогчийн 2-р стратегийн тусламжтайгаар эхний тоглогч 2 эсвэл 3-р стратегиа ашиглан хамгийн их ашиг 3-ыг авах болно. Эхний тоглогч хамгийн их ашиг авахыг хүсч байгаа тул хоёр дахь тоглогчийн 2-р стратегид 2-р стратегиар хариулдаг. Эхний тоглогчийн 2-р стратегитай бол хоёр дахь нь хожигдох болно:

1 хэрэв тэр 1 дэх стратегиа хэрэгжүүлбэл,

3 хэрэв тэр хоёр дахь стратегиа ашиглавал,

4 хэрэв тэр өөрийн 3 дахь стратегийг ашиглавал.

Хүснэгт 4. Эхний тоглогчийн стратеги

Хүснэгт 2-оос харахад эхний тоглогчийн 2-р стратегитай бол 2-р тоглогч 1-р стратегиа хэрэглэвэл хамгийн бага алдагдал 1 байна. Хоёрдахь тоглогч бага алдахыг хүсч байгаа тул эхний тоглогчийн 2-р стратегийн хариуд тэрээр 1-р стратегиа ашиглана. Хүлээн авсан үр дүнг 5-р хүснэгтэд нэгтгэн харуулав.

Хүснэгт 5. Эхний болон хоёр дахь тоглогчдын стратеги

Хүснэгтэнд. Хоёрдахь мөрөнд байгаа хоёр дахь тоглогчийн стратегийн баганад 5 нь 1-ийн тоо байгаа бөгөөд энэ нь хоёр дахь тоглоомонд хоёр дахь тоглогч 1-р стратегиа ашиглах нь ашигтай болохыг харуулж байна; баганад байгаа бөгөөд эхний тоглолтонд түүний хүлээн авсан эхний тоглогчийн хамгийн том дундаж өгөөж 3; w баганад эхний тоглолтонд хоёр дахь тоглогчийн хүлээн авсан хамгийн бага дундаж алдагдлыг 1 агуулна; v баганад арифметик дундаж v = (u + w) -- энэ нь тоглоомын нэг тоглоом тоглосны үр дүнд олж авсан тоглоомын үнийн ойролцоо утгыг агуулна. Хэрэв хоёр дахь тоглогч 1-р стратегиа ашиглавал эхний тоглогч 1, 2, 3-р стратегиудаар 3, 1, 2-ыг авах бөгөөд эхний тоглогчийн хоёр тоглолтын нийт ашиг нь:

2 + 3=5 нь түүний 1-р стратеги,

3 + 1 = 4 түүний 2 дахь стратеги,

Түүний 3 дахь стратегиар 3 + 2 = 5.

Эдгээр нийт ялалтыг хүснэгтийн хоёр дахь мөрөнд тэмдэглэв. 3 ба эхний тоглогчийн стратегид тохирсон баганад: 1, 2, 3.

Бүх нийт өгөөжийн хамгийн том нь 5. Энэ нь эхний тоглогчийн 1, 3-р стратегиар олж авсан бөгөөд дараа нь тэр аль нэгийг нь сонгох боломжтой; Ийм тохиолдолд хоёр (эсвэл хэд хэдэн) ижил нийт өгөөж байгаа тохиолдолд хамгийн бага тоотой стратегийг сонгоно (бидний хувьд бид 1-р стратегийг авах шаардлагатай).

Эхний тоглогчийн 1-р стратегитай бол хоёр дахь тоглогч 1, 2, 3-р стратегидаа тус бүр 3, 2, 3-ыг алдах ба хоёр дахь тоглогчийн хоёр тоглолтын нийт алдагдал нь:

1 + 3=4 1-р стратеги,

3 + 2=5 түүний 2 дахь стратеги,

4 + 3=7 түүний 3 дахь стратеги.

Эдгээр нийт алдагдлыг хүснэгтийн хоёр дахь мөрөнд тэмдэглэв. 5 ба хоёр дахь тоглогчийн 1, 2, 3-р стратегид тохирсон баганад.

Хоёрдахь тоглогчийн нийт алдагдлаас хамгийн бага нь 4. Энэ нь түүний 1-р стратегитай байдаг тул гурав дахь тоглолтонд хоёр дахь тоглогч 1-р стратегиа ашиглах ёстой. Багананд хоёр тоглолтын эхний тоглогчийн хамгийн том нийт өгөөжийг тоглоомын тоонд хуваана, өөрөөр хэлбэл; w баганад хоёр тоглолтын хоёр дахь тоглогчийн хамгийн бага нийт алдагдлыг тоглолтын тоонд хуваасан, өөрөөр хэлбэл; Эдгээр утгуудын арифметик дундажийг v баганад оруулсан болно, өөрөөр хэлбэл = Энэ тоог хоёр "тоглосон" тоглоомтой тоглоомын үнийн ойролцоо утга болгон авна.

Ийнхүү тоглоомын хоёр багцын хувьд дараах хүснэгт 4-ийг олж авлаа.

Хүснэгт 6. Тоглосон хоёр тоглолтын тоглогчдын нийт ашиг, алдагдал

6-р хүснэгтийн гурав дахь эгнээнд, хоёр дахь тоглогчийн стратегийн баганад 1-ийн тоо байгаа бөгөөд энэ нь гурав дахь тоглоомонд хоёр дахь тоглогч 1-р стратегиа хэрэгжүүлэх ёстойг харуулж байна. Энэ тохиолдолд эхний тоглогч 1, 2, 3-р стратегиа ашиглан 3, 1, 2-ыг хожсон бөгөөд гурван тоглолтын нийт ашиг нь:

Эхний стратеги дээр 3 + 5 = 8,

1 +4 = 5 түүний 2 дахь стратеги,

Түүний 3 дахь стратегийн хувьд 2 + 5 = 7.

Эхний тоглогчийн эдгээр нийт өгөөжийг 6-р хүснэгтийн 3-р эгнээ болон түүний 1, 2, 3-р стратегитай харгалзах баганад бичнэ. Эхний тоглогчийн хамгийн том нийт ашиг 8-ыг 1-р стратеги ашиглан авдаг тул тэр зохих ёсоор 1-ийг сонгоно. .

Эхний тоглогчийн 1-р стратегитай бол хоёр дахь тоглогч 1, 2, 3-р стратегидаа тус тус 3, 1, 2-ыг алдах бөгөөд хоёр дахь тоглогчийн хоёр тоглолтын нийт алдагдал нь:

3 + 4=7 түүний 1-р стратеги,

2 + 5 = 7 түүний 2 дахь стратеги,

Түүний 3 дахь стратегиар 3 + 7 = 10.

Эдгээр нийт алдагдлыг хүснэгтийн гурав дахь мөрөнд тэмдэглэв. 6 ба хоёр дахь тоглогчийн 1, 2, 3-р стратегид тохирсон баганад. Түүний нийт алдагдлаас 7 нь хамгийн бага нь бөгөөд 1 ба 2-р стратегиар олсон бол хоёр дахь тоглогч 1-р стратегиа ашиглах ёстой.

Хүснэгтэнд. Баганын гурав дахь эгнээнд 6, гурван тоглолтын эхний тоглогчийн хамгийн том нийт хожлыг тоглоомын тоонд хуваана, өөрөөр хэлбэл; w баганад гурван тоглолтын хоёр дахь тоглогчийн хамгийн бага нийт алдагдлыг тоглолтын тоонд хуваасан, өөрөөр хэлбэл; v баганад тэдгээрийн арифметик дундажийг тавина

Тиймээс бид хүснэгтийг олж авдаг. Гурван намын хувьд 7.

Хүснэгт 7. Тоглосон гурван тоглолтын нийт ашиг, алдагдал

Хүснэгт 8. Хорин тоглолттой эцсийн ширээ

Хүснэгтээс. 7 ба 8-аас харахад 20 хожигдсон тоглолтонд эхний тоглогчийн 1, 2, 3-р стратеги 12, 3, 5 удаа давтагддаг тул тэдгээрийн харьцангуй давтамж тус тус тэнцүү байна; Хоёрдахь тоглогчийн хувьд 1, 2, 3 стратеги нь 7, 11.2 удаа давтагддаг тул тэдгээрийн харьцангуй давтамж тус тус тэнцүү байна; тоглоомын үнийн ойролцоо утга. Энэ ойролцоо нь хангалттай сайн байна.

Эцэст нь хэлэхэд, хэрэв тоглоом нь нэгээс олон шийдэлтэй бол тоглоомын өртгийн ойролцоо утгууд нь тоглоомын бодит өртөгт тодорхойгүй хугацаагаар ойртож, стратегийн харагдах байдлын харьцангуй давтамжтай байх болно гэдгийг бид тэмдэглэж байна. тоглогчид тоглогчдын жинхэнэ оновчтой холимог стратегид хандах шаардлагагүй болно.

Үр дүнгийн шинжилгээ

Энэхүү курсын ажилд антагонист тоглоомын шийдлийг олох материалыг график, матрицын аргаар, тоглоомын үнийг дараалан ойртуулах аргыг судалж байна. Эхний болон хоёрдугаар тоглогчдын оновчтой стратеги, мөн 2x2, 2xn, mx2 тоглоомууд, түүнчлэн матрицын арга, Брауны аргыг ашигладаг тоглоомуудын үнэ зэргийг олж болно.

Хосуудын жишээн дээр 2х2 тоглоомыг загварчилсан бөгөөд үүнийг алгебр болон график аргаар шийдсэн. Тоглоомыг алгебрийн аргаар шийдэж, шийдэл нь тэдний оновчтой холимог стратегийг хэрэглэснээр эхний болон хоёрдугаар тоглогчид 4.6 цагийг хамтдаа өнгөрөөх болно. Асуудлын график шийдэл нь жижиг алдаа гаргаж, 4.5 цаг болсон.

Мөн 2xn ба mx2 гэсэн хоёр даалгаврыг загварчилсан. 2xn асуудалд хөдөө аж ахуйн соёлыг авч үзсэн бөгөөд стратеги нь талбайг 50-аас 50-аар тарих нь илүү дээр гэдгийг харуулж байгаа бөгөөд тоглоомын үнэ 3.75 сая рубль байв. Мөн mx2 асуудалд хосыг авч үзсэн бөгөөд стратеги нь цэцэрлэгт хүрээлэн, кино театрт явах нь хямд бөгөөд үнэ, өртөг нь 4.3 рубль байх болно.

Хоёр рестораныг авч үзсэн матрицын аргын хувьд асуудлыг загварчилсан бөгөөд асуудлын шийдэл нь түүний оновчтой холимог стратегийг ашиглах үед анхны рестораны ашиг 15.6 сая рубль, харин оновчтой холимог стратегийг ашиглах үед 15.6 сая рубль байх болно. Хоёр дахь ресторан нь эхнийх нь 15.6 сая рубльээс илүү орлого олохыг зөвшөөрөхгүй. График аргаар хийсэн шийдэл нь алдаа гаргаж, тоглоомын үнэ 14.9 сая рубль байв.

Браун аргын хувьд үйлдвэрчний эвлэл, компанийн удирдлагуудыг харгалзан үзсэний үндсэн дээр ажилчдыг хоол хүнсээр хангах үүрэг даалгавар гаргасан. Хоёр тоглогч хоёулаа оновчтой стратегиа ашиглахад нэг хүнд ногдох хоол 2.45 мянган рубль болно.

Ашигласан эх сурвалжуудын жагсаалт

1) Вилисов В.Я. Лекцийн тэмдэглэл "Тоглоомын онол ба статистикийн шийдэл", - Салбар - "Восход" МАИ. 1979. 146 х.

2) Крушевский A.V. Тоглоомын онол, - Киев: Вишча сургууль, 1977. - 216 х.

3) Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л., Үйл ажиллагааны судалгааны танилцуулга. - М .: Шинжлэх ухаан. 1967. - 488 х.

4) http://www.math-pr.com/exampl_gt2.htm

5) http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D1% 82%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%81 %D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0

Allbest.ru дээр байршуулсан

Үүнтэй төстэй баримт бичиг

Шийдвэр гаргах нь хүний ​​үйл ажиллагааны онцгой хэлбэр юм. Тоглоомын матрицын оновчтой дүрслэл. Цэвэр ба холимог стратеги дахь матриц тоглоомуудын жишээ. Үйл ажиллагааны судалгаа: шугаман програмчлалын асуудлуудын тоглоомын онолын загвартай хамаарал.

2010 оны 05-р сарын 5-ны өдөр нэмэгдсэн курсын ажил


Олон удаа давтагдсан тоглоомууд, тэдгээрийн өвөрмөц шинж чанар, үе шатууд. Холимог стратеги, тэдгээрийг практикт ашиглах нөхцөл, боломжууд. 2 х 2 тоглоомыг шийдвэрлэх аналитик арга.Тэгш өнцөгт тоглоомын үндсэн теоремууд. Алгебрийн шийдлүүд.

танилцуулга, 2013 оны 10/23-нд нэмэгдсэн


Биматрикс тоглоомын онолын үндсэн тодорхойлолтууд. "Оюутан-багш" биматриц тоглоомын жишээ. Биматрикс тоглоомуудын холимог стратеги. "Тэнцвэрт байдал"-ыг хайх. Тоглогч бүр хоёр стратегитай байх тохиолдолд 2х2 биматриц тоглоом, томъёо.

хураангуй, 02/13/2011 нэмсэн


Матриц ба антагонист тоглоомуудын талаархи ерөнхий мэдээллийг судлах. Байршлын тоглоомын тухай ойлголт, мод, мэдээллийн багц. Максимийн зарчим ба тэнцвэрийн зарчмыг авч үзэх. Паретогийн оновчтой байдал. Антагонист бус байрлалын тоглоом, түүний шинж чанарууд.

2014 оны 10-р сарын 17-нд нэмэгдсэн курсын ажил


Тоглоомын онол бол математикийн нэг салбар бөгөөд түүний сэдэв нь зөрчилдөөнтэй үед оновчтой шийдвэр гаргах математик загварыг судлах явдал юм. Браун-Робинсоны давталтын арга. Матрицын тоглоомуудыг шийдвэрлэх монотон давталтын алгоритм.

2007 оны 08-р сарын 8-нд нэмэгдсэн дипломын ажил


Төлбөрийн матрицын эмхэтгэл, тоглоомын доод ба дээд цэвэр үнэ, тоглогчдын максимин ба минимакс стратегийг хайх. Төлбөрийн матрицыг хялбарчлах. Шугаман програмчлалын бодлого болон "Шийдэл хайх" нэмэлтийг ашиглан матрицын тоглоомыг шийдвэрлэх.

тест, 2014 оны 11-р сарын 10-нд нэмэгдсэн


Тоглоомын онол бол зөрчилдөөний нөхцөл байдлын математик онол юм. Хоёр хүний ​​тэг нийлбэртэй тоглоомын математик загварыг боловсруулах, түүнийг програмын код хэлбэрээр хэрэгжүүлэх. Асуудлыг шийдвэрлэх арга. Оролт, гаралтын өгөгдөл. Програм, хэрэглэгчийн гарын авлага.

2013 оны 08-р сарын 17-нд нэмэгдсэн курсын ажил


Симплекс аргын талаархи үндсэн мэдээлэл, шугаман програмчлалд гүйцэтгэх үүрэг, ач холбогдлын үнэлгээ. Геометрийн тайлбар ба алгебрийн утга. Шугаман функцийн хамгийн их ба минимумыг олох, онцгой тохиолдлууд. Асуудлыг матриц симплекс аргаар шийдвэрлэх.

дипломын ажил, 2015 оны 06-р сарын 01-нд нэмэгдсэн


Тэдний үйл ажиллагааны бүтэц, үйл явцыг тусгасан тооцоолох системийн математик загварыг бий болгох арга техник. Дундаж ажлын явцад хандсан файлын тоо. Файлуудыг гадаад санах ойн хөтчүүдэд байрлуулах боломжийг тодорхойлох.

лабораторийн ажил, 2013-06-21 нэмэгдсэн


Математик загвар зохион бүтээх. Tik-tac-toe тоглоомын тодорхойлолт. Булийн алгебр дээр суурилсан логик тоглоомын загвар. Дижитал электрон төхөөрөмжүүд ба тэдгээрийн математик загварыг боловсруулах. Тоглоомын консол, тоглоомын хянагч, тоглоомын самбарын утас.

Тоглоомын онол нь зөрчилдөөн эсвэл тодорхойгүй байдлын нөхцөлд шийдвэр гаргах математик загваруудын онол юм. Тоглоом дахь талуудын үйлдэл нь тодорхой стратеги - үйлдлийн дүрмийн багцаар тодорхойлогддог гэж үздэг. Хэрэв нэг талын ашиг нь нөгөө талдаа ялагдал хүлээхэд хүргэдэг бол тэд антагонист тоглоомын тухай ярьдаг. Хэрэв стратегийн багц хязгаарлагдмал бол тоглоомыг матриц тоглоом гэж нэрлэдэг бөгөөд шийдлийг маш энгийнээр олж авах боломжтой. Тоглоомын онолын тусламжтайгаар олж авсан шийдлүүд нь өрсөлдөгчдийн эсэргүүцэл эсвэл гадаад орчны тодорхойгүй байдлын үед төлөвлөгөө боловсруулахад тустай.

Хэрэв биматрицын тоглоом нь антагонист байвал 2-р тоглогчийн өгөөжийн матриц нь 1-р тоглогчийн үр өгөөжийн матрицаар бүрэн тодорхойлогддог (эдгээр хоёр матрицын харгалзах элементүүд нь зөвхөн тэмдгээр ялгаатай). Иймд биматрицын антагонист тоглоомыг нэг матрицаар (1-р тоглогчийн өгөөжийн матриц) бүрэн дүрсэлсэн бөгөөд үүний дагуу матрицын тоглоом гэж нэрлэдэг.

Энэ тоглоом нь антагонист юм. Үүнд j \u003d x2 - O, P, ба R (O, O] \u003d H (P, P) \u003d -I ба R (O, P) \u003d R (P, O) \u003d 1, эсвэл матриц хэлбэрээр o p

Зарим төрлийн тоглоом Г "толин тусгал хаалттай" байг, өөрөөр хэлбэл. Тоглоом тус бүр нь толин тусгал изоморф тоглоомыг агуулдаг (өгөгдсөн тоглоомд толин тусгал изоморф байдаг бүх тоглоомууд бие биендээ изоморф байдаг тул бид саяхан хэлсэн зүйлийн дагуу нэг толин тусгал изоморф тоглоомын тухай ярьж болно). Ийм анги нь жишээлбэл, бүх антагонист тоглоомуудын ангилал эсвэл бүх матриц тоглоомуудын ангилал юм.

Антагонист тоглоом дахь хүлээн зөвшөөрөгдөх нөхцөл байдлын тодорхойлолтыг эргэн санавал, матрицын тоглоомын холимог өргөтгөл дэх нөхцөл байдал (X, Y) нь 1-р тоглогчийн хувьд ямар ч x G x тэгш бус байдлын хувьд л зөвшөөрөгдөх боломжтой гэдгийг бид олж мэдэв.

Тоглоомыг тэгш хэмтэй болгон хувиргах үйл явцыг тэгш хэмжилт гэж нэрлэдэг. Энд бид тэгш хэмийн нэг аргыг тайлбарлав. Симметрийн өөр өөр хувилбарыг 26.7-д өгнө. Эдгээр тэгш хэмжилтийн хоёр хувилбар нь үнэн хэрэгтээ дурын антагонист тоглоомуудад хамаарах боловч зөвхөн матрицын тоглоомуудад зориулагдсан бөгөөд нотлогдох болно.

Тиймээс ерөнхий антагонист тоглоомын онолын анхны нэр томъёо, тэмдэглэгээ нь матриц тоглоомын онолын холбогдох нэр томъёо, тэмдэглэгээтэй давхцаж байна.

Хязгаарлагдмал антагонист (матриц) тоглоомуудын хувьд эдгээр экстремумууд байгааг бид 10-р бүлэгт нотолсон. 1, бүх гол зорилго нь тэдний тэгш байдлыг тогтоох, эсвэл ядаж тэдний тэгш бус байдлыг даван туулах арга замыг олох явдал байв.

Матрицын тоглоомуудыг аль хэдийн авч үзэх нь тоглогчдын анх өгөгдсөн стратегиудад тэнцвэрийн нөхцөлгүй (мөн хангалттай жижиг e > 0 үед ч гэсэн цахим тэнцвэрт байдал байхгүй) антагонист тоглоомууд байгааг харуулж байна.

Гэхдээ төгсгөлтэй (матриц) тоглоом бүрийг хязгааргүй тоглоом болгон өргөжүүлж болно, жишээлбэл, тоглогч бүрд хэдэн ч давамгайлсан стратеги өгөх замаар (22 Бүлэг 1-ийг үзнэ үү). Мэдээжийн хэрэг, тоглогчийн стратегийн багцыг ингэж өргөжүүлэх нь түүний боломжуудыг өргөжүүлэх гэсэн үг биш бөгөөд өргөтгөсөн тоглоом дахь түүний бодит зан байдал нь анхны тоглоомын зан төлөвөөс ялгаатай байх ёсгүй. Тиймээс бид нэн даруй эмээлийн цэггүй, хязгааргүй антагонист тоглоомуудын хангалттай тооны жишээг олж авсан. Энэ төрлийн жишээнүүд бас бий.

Ийнхүү хязгааргүй антагонист тоглоомд максимин зарчмыг хэрэгжүүлэхийн тулд төгсгөлтэй (матриц) тоглоомын нэгэн адил тоглогчдын стратегийн чадавхийг тодорхой хэмжээгээр өргөжүүлэх шаардлагатай байна. 96-д зориулагдсан

Матриц тоглоомуудын нэгэн адил (17, 17-р бүлгийг үзнэ үү) ерөнхий антагонист тоглоомуудын хувьд холимог стратегийн спектрийн тухай ойлголт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд энд илүү ерөнхий тодорхойлолтыг өгөх ёстой.

Эцэст нь дурын антагонист тоглоомын 1-р тоглогчийн бүх холимог стратегиудын багц нь матриц дээрхтэй адил болохыг анхаарна уу.

Антагонист тоглоомуудыг авч үзсэн ч гэсэн ийм олон тооны тоглоомууд, түүний дотор хязгаарлагдмал тоглоомууд нь анхны, цэвэр стратегиудад бус, зөвхөн ерөнхий, холимог стратегиудад тэнцвэртэй нөхцөл байдгийг харуулж байна. Тиймээс ерөнхий, антагонист бус, хамтын ажиллагаагүй тоглоомуудын хувьд тэнцвэрийн нөхцөл байдлыг холимог стратегиас хайх нь зүйн хэрэг юм.

Тиймээс, жишээ нь (Зураг 3.1-ийг үз), "Гүйцэтгэгч" нь зан үйлийн тодорхойгүй байдлыг бараг хэзээ ч шийдвэрлэх шаардлагагүй гэдгийг бид аль хэдийн тэмдэглэсэн. Гэхдээ бид "Администратор" төрлийн үзэл баримтлалын түвшинг авч үзвэл бүх зүйл эсрэгээрээ байна. Дүрмээр бол ийм "манай шийдвэр гаргагчид" тулгардаг тодорхойгүй байдлын гол төрөл бол "Зөрчилдөөн" юм. Энэ нь ихэвчлэн хатуу бус өрсөлдөөн гэдгийг одоо бид тодруулж болно. "Администратор" нь "байгалийн тодорхойгүй байдлын" нөхцөлд шийдвэр гаргах нь бага зэрэг тохиолддог бөгөөд тэр ч байтугай хатуу, антагонист зөрчилдөөнтэй тулгардаг. Нэмж дурдахад, "Администратор" шийдвэр гаргахдаа ашиг сонирхлын зөрчилдөөн үүсдэг, өөрөөр хэлбэл "нэг удаа", өөрөөр хэлбэл бидний ангилалд тэрээр зөвхөн нэг (заримдаа маш цөөн тооны) тоглоом тоглодог. Үр дагаврыг үнэлэх хэмжүүр нь тоон үзүүлэлтээс илүү чанарын шинж чанартай байдаг. "Администратор" -ын стратегийн бие даасан байдал нэлээд хязгаарлагдмал. Дээр дурдсан зүйлийг харгалзан үзвэл ийм хэмжээний асуудлын нөхцөл байдлыг ихэвчлэн хамтын бус антагонист бус хоёр матрицын тоглоом, түүнчлэн цэвэр стратеги ашиглан шинжлэх шаардлагатай гэж үзэж болно.

Матрицын антагонист тоглоомуудыг шийдвэрлэх зарчим

Үүний үр дүнд дээр дурдсан тоглоомонд өрсөлдөгчид сонгосон стратегиа баримтална гэж хүлээх нь үндэслэлтэй юм. Макс мин тав = мин макс Aiy> гэсэн матрицын антагонист тоглоом

Гэсэн хэдий ч бүх матрицын антагонист тоглоомууд нь маш тодорхой биш бөгөөд ерөнхий тохиолдолд

Иймд ерөнхий тохиолдолд хэмжээст /uxl матрицын антагонист тоглоомыг шийдэхийн тулд хос шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай бөгөөд үр дүнд нь оновчтой стратеги, / болон тоглоомын өртөг v.

Хоёр хүний ​​матрицын антагонист тоглоомыг хэрхэн тодорхойлсон бэ?

Матрицын антагонист тоглоомуудыг хялбарчлах, шийдвэрлэх ямар аргууд байдаг вэ?

Хоёр хүний ​​​​тоглоомын хувьд тэдний ашиг сонирхлыг шууд эсрэг гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм - тоглоом нь антагонист юм. Тиймээс нэг тоглогчийн өгөөж нь нөгөө тоглогчийн алдагдалтай тэнцүү байна (хоёр тоглогчийн өгөөжийн нийлбэр нь тэг тул тэг нийлбэртэй тоглоом гэж нэрлэсэн). Тоглогч бүр хязгаарлагдмал тооны хувилбартай тоглоомуудыг бид авч үзэх болно. Ийм тэг нийлбэртэй хоёр хүний ​​тоглоомын төлбөрийн функцийг матриц хэлбэрээр (өгөөжийн матриц хэлбэрээр) өгч болно.

Өмнө дурьдсанчлан эцсийн антагонист тоглоомыг матриц гэж нэрлэдэг.

MATRIX GAMES - хоёр тоглогч оролцдог антагонист тоглоомуудын ангилал бөгөөд тоглогч бүр хязгаарлагдмал тооны стратегитай байдаг. Хэрэв нэг тоглогч m стратеги, нөгөө тоглогч n стратегитай бол бид txn хэмжээст тоглоомын матрицыг байгуулж болно. М.и. эмээлийн цэгтэй ч байж болно, үгүй ​​ч байж болно. Сүүлчийн тохиолдолд

Хязгаарлагдмал тэг нийлбэртэй хос тоглоомыг авч үзье. -ээр тэмдэглээрэй атоглогчийн ашиг А, мөн дамжуулан б- тоглогч ялна Б. Учир нь а = –б, дараа нь ийм тоглоомд дүн шинжилгээ хийхдээ эдгээр тоонуудыг хоёуланг нь авч үзэх шаардлагагүй - тоглогчдын аль нэгнийх нь үр ашгийг харгалзан үзэх нь хангалттай юм. Жишээлбэл, ийм байг. А. Дараах зүйлд танилцуулахад тохиромжтой байх үүднээс тал АБид нөхцөлтэйгээр нэрлэх болно" бид"ба тал Б – "дайсан".

Байгаа мболомжит стратегиуд А 1 , А 2 , …, А м, мөн дайсан nболомжит стратегиуд Б 1 , Б 2 , …, Б н(ийм тоглоомыг тоглоом гэж нэрлэдэг m×n). Тал бүр тодорхой стратеги сонгосон гэж бодъё: бид сонгосон Ай, дайсан Б ж. Хэрэв тоглоом нь зөвхөн хувийн хөдөлгөөнөөс бүрддэг бол стратеги сонгох хэрэгтэй Айболон Б жТоглоомын үр дүнг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог - бидний ашиг (эерэг эсвэл сөрөг). Энэ олзыг гэж тэмдэглэе айж(Бид стратеги сонгох үед ялах Ай, мөн дайсан - стратеги Б ж).

Хэрэв тоглоом нь хувийн санамсаргүй нүүдлээс гадна хос стратегийн ашиг тусыг агуулна Ай, Б жбүх санамсаргүй нүүдлийн үр дүнгээс хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Энэ тохиолдолд хүлээгдэж буй үр өгөөжийн байгалийн тооцоолол санамсаргүй ялалтын математикийн хүлээлт. Тохиромжтой болгох үүднээс бид үүнийг тэмдэглэнэ айжөгөөж нь өөрөө (санамсаргүй нүүдэлгүй тоглоомд) болон түүний математикийн хүлээлт (санамсаргүй нүүдэлтэй тоглоомд).

Бид үнэ цэнийг мэддэг гэж бодъё айжстратегийн хос бүрийн хувьд. Эдгээр утгыг мөр нь бидний стратегид нийцсэн матриц хэлбэрээр бичиж болно ( Ай), баганууд нь өрсөлдөгчийн стратегийг харуулдаг ( Б ж):

Ийм матрицыг нэрлэдэг тоглоомын үр ашгийн матрицэсвэл зүгээр л тоглоомын матриц.

Олон тооны стратеги бүхий тоглоомуудын үр ашгийн матрицыг бий болгох нь хэцүү ажил байж болохыг анхаарна уу. Жишээлбэл, шатрын тоглоомын хувьд боломжит стратегиудын тоо маш их байдаг тул үр ашгийн матрицыг бүтээх нь бараг боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч зарчмын хувьд аливаа хязгаарлагдмал тоглоомыг матриц хэлбэрт оруулж болно.

Санаж үз жишээ 1 4×5 антагонист тоглоом. Бидний мэдэлд дөрвөн стратеги байгаа, дайсан таван стратегитай. Тоглоомын матриц нь дараах байдалтай байна.

Бид ямар стратеги (жишээ нь, тоглогч А) хэрэглэх? Бидний сонгосон стратеги хамаагүй, боломжийн дайсан түүнд хариу өгөх стратеги нь бидний ашиг хамгийн бага байх болно. Жишээлбэл, хэрэв бид стратеги сонгох юм бол А 3 (10-ын ялалтад уруу татагдсан), өрсөлдөгч нь хариу арга хэмжээ авах стратеги сонгох болно Б 1 , бидний ашиг зөвхөн 1 байх болно. Мэдээжийн хэрэг, болгоомжтой байх зарчим (мөн энэ нь тоглоомын онолын гол зарчим) дээр үндэслэн бид стратегийг сонгох ёстой. бидний хамгийн бага ашиг хамгийн их байна.

-ээр тэмдэглээрэй a iстратегийн хамгийн бага өгөөжийн үнэ цэнэ Ай:

тоглоомын матрицад эдгээр утгыг агуулсан баганыг нэмнэ үү:

Стратегийг сонгохдоо бид үнэ цэнэтэй стратегийг сонгох ёстой a iдээд тал нь. Энэ хамгийн их утгыг -ээр тэмдэглэе α :

Үнэ цэнэ α дуудсан тоглоомын үнэ багаэсвэл максимин(хамгийн их хамгийн бага ялалт). Тоглогчийн стратеги Амаксиминтай тохирч байна α , гэж нэрлэдэг максимин стратеги.

Энэ жишээнд максимин α нь 3-тай тэнцүү (хүснэгтийн харгалзах нүдийг саарал өнгөөр ​​тодруулсан) ба максимин стратеги нь Адөрөв. Энэхүү стратегийг сонгосноор бид дайсны ямар ч зан авирыг 3-аас доошгүй ялна гэдэгт итгэлтэй байж болно (магадгүй дайсны "үндэслэлгүй" зан авираас ч илүү). Энэ үнэ цэнэ нь бидний баталгаатай хамгийн бага хэмжээ юм. өөрсдийнхөө хувьд хамгийн болгоомжтой ("давхар даатгал") стратегийг баримталж байна.

Одоо бид дайсантай ижил төстэй үндэслэлийг хийх болно Б Б А Б 2 - бид түүнд хариулах болно А .

-ээр тэмдэглээрэй βj А Б) стратегийн хувьд Ай:

βj β :

7. ДЭЭД ҮНЭТЭЙ ТОГЛОЛТ ЮУ ВЭ? Б. Тэр бидний ашгийг багасгах, өөрөөр хэлбэл бидэнд бага өгөх сонирхолтой боловч бидний зан авирыг найдах ёстой бөгөөд энэ нь түүний хувьд хамгийн муу зүйл юм. Жишээлбэл, хэрэв тэр стратегийг сонгосон бол Б 1 , дараа нь бид түүнд стратегиар хариулах болно А 3 , тэгээд тэр бидэнд өгөх болно 10. Тэр сонгосон бол Б 2 - бид түүнд хариулах болно А 2 , тэр 8 гэх мэтийг өгөх болно.Мэдээж болгоомжтой өрсөлдөгч нь ямар стратегийг сонгох ёстой. бидний хамгийн их ашиг хамгийн бага байх болно.

-ээр тэмдэглээрэй βjөгөөжийн матрицын баганууд дахь хамгийн их утгууд (тоглогчийн хамгийн их ашиг А, эсвэл, аль нь адилхан, тоглогчийн хамгийн их алдагдал Б) стратегийн хувьд Ай:

тоглоомын матрицад эдгээр утгыг агуулсан мөрийг нэмнэ үү:

Стратегийг сонгохдоо дайсан нь үнэ цэнэтэй стратегийг илүүд үзэх болно βjхамгийн бага. -ээр тэмдэглэе β :

Үнэ цэнэ β дуудсан тоглоомын дээд үнээсвэл хамгийн бага(хамгийн бага ялалт). Өрсөлдөгчийн (тоглогчийн) стратеги нь минимакстай тохирч байна Б), гэж нэрлэдэг минимакс стратеги.

Минимакс гэдэг нь боломжийн өрсөлдөгч бидэнд өгөхгүй байх ашгийн үнэ цэнэ юм (өөрөөр хэлбэл боломжийн өрсөлдөгч үүнээс илүүг алдахгүй. β ). Энэ жишээнд minimax β нь 5-тай тэнцүү (хүснэгтийн харгалзах нүдийг саарал өнгөөр ​​тодруулсан) бөгөөд үүнийг өрсөлдөгчийн стратеги ашиглан гүйцэтгэдэг. Б 3 .

Тиймээс болгоомжтой байх зарчимд тулгуурлан ("үргэлж хамгийн мууг хүлээж бай!") стратеги сонгох ёстой А 4, дайсан бол стратеги юм Б 3 . Анхааралтай байх зарчим нь тоглоомын онолын үндэс суурь бөгөөд үүнийг нэрлэдэг хамгийн бага зарчим.

Санаж үз жишээ 2. Тоглогчдыг зөвшөөр Аболон ATгурван тооны аль нэгийг нь нэгэн зэрэг, бие биенээсээ хамааралгүйгээр бичдэг: "1", "2", эсвэл "3". Хэрэв бичигдсэн тоонуудын нийлбэр тэгш бол тоглогч Бтоглогчид мөнгө төлдөг Аэнэ хэмжээ. Хэрэв дүн нь сондгой байвал тоглогч энэ дүнг төлнө Атоглогч AT.

Тоглоомын өгөөжийн матрицыг бичиж, тоглоомын доод ба дээд үнийг олцгооё (стратегийн дугаар нь бичсэн тоотой тохирч байна):

Тоглогч Амаксимин стратегийг дагаж мөрдөх ёстой А 1-ээс доошгүй ялах -3 (өөрөөр хэлбэл хамгийн ихдээ 3 хожих). Minimax тоглогчийн стратеги Баль нэг стратеги Б 1 ба Б 2 , энэ нь тэр 4-өөс илүүгүй өгөх болно гэдгийг баталгаажуулдаг.

Тоглогчийн байр сууринаас өгөөжийн матрицыг бичвэл бид ижил үр дүнд хүрнэ AT. Үнэн хэрэгтээ энэ матрицыг тоглогчийн байр сууринаас барьсан матрицыг шилжүүлснээр олж авдаг. А, мөн элементүүдийн тэмдгүүдийг эсрэгээр нь өөрчлөх (тоглогчийн ашиг орсноос хойш Атоглогчийн алдагдал юм AT):

Энэ матриц дээр үндэслэн тоглогч дараах болно Бстратегийн аль нэгийг дагаж мөрдөх ёстой Б 1 ба Б 2 (дараа нь тэр 4-өөс илүүгүй алдах болно), мөн тоглогч А- стратеги А 1 (дараа нь тэр 3-аас илүүгүй алдах болно). Таны харж байгаагаар үр дүн нь дээр дурдсантай яг ижил байгаа тул дүн шинжилгээ хийх нь бидний аль тоглогчийн үүднээс авч үзэх нь хамаагүй.

8 ҮНЭТЭЙ ТОГЛООМ ГЭЖ ЮУ ВЭ.

9. МИНИМАКС ЗАРЧИМ ЮУ ЗҮЙЛЭЭС БҮРДЭДЭГ ВЭ. 2. Тоглоомын доод ба дээд үнэ. Минимакс зарчим

Төлбөрийн матрицтай төрлийн матриц тоглоомыг авч үзье

Хэрэв тоглогч бол ГЭХДЭЭстратеги сонгох болно А и, тэгвэл түүний бүх боломжит ашиг нь элементүүд байх болно би- матрицын р эгнээ FROM. Тоглогчийн хувьд хамгийн муу ГЭХДЭЭтоглогч байх үед ATтохирох стратегийг хэрэгжүүлдэг хамгийн багаЭнэ шугамын элемент, тоглогчийн ашиг ГЭХДЭЭтоотой тэнцүү байх болно.

Тиймээс, хамгийн их ашиг авахын тулд тоглогч ГЭХДЭЭТа дугаарыг сонгох стратегийн аль нэгийг сонгох хэрэгтэй дээд тал нь.

Тоглоомын онолд нарийвчлан боловсруулсан хамгийн энгийн тохиолдол бол тэг нийлбэртэй төгсгөлтэй хос тоглоом (хоёр хүн эсвэл хоёр эвслийн эсрэг тэсрэг тоглоом) юм. А, В хоёр тоглогч оролцож, ашиг сонирхол нь эсрэгээрээ байдаг G тоглоомыг авч үзье: нэгнийх нь ашиг нөгөөгийнх нь алдагдалтай тэнцүү байна. А тоглогчийн өгөөж нь эсрэг тэмдэгтэй В тоглогчийн өгөөжтэй тэнцүү тул бид зөвхөн а тоглогчийн ашиг сонирхлыг сонирхож болно. Мэдээжийн хэрэг, А нь хамгийн их байлгахыг, Б нь аыг багасгахыг хүсдэг.

Энгийн байхын тулд өөрсдийгөө тоглогчдын аль нэгтэй нь (энэ нь А байх болтугай) оюун ухаанаараа тодорхойлж, түүнийг "бид", харин В тоглогчийг "өрсөлдөгч" гэж нэрлэе (Мэдээжийн хэрэг, А-д бодит давуу тал байхгүй). Боломжит стратеги, өрсөлдөгчдөө - боломжит стратеги (ийм тоглоомыг тоглоом гэж нэрлэдэг) байцгаая. Хэрэв бид стратеги, өрсөлдөгч нь стратегийг ашиглавал үр ашгаа илэрхийлье

Хүснэгт 26.1

Хос стратеги бүрийн ашиг (эсвэл дундаж ашиг) нь бидэнд мэдэгдэж байна гэж бодъё. Дараа нь зарчмын хувьд тоглогчдын стратеги болон харгалзах өгөөжийг жагсаасан тэгш өнцөгт хүснэгтийг (матриц) эмхэтгэх боломжтой (хүснэгт 26.1-ийг үзнэ үү).

Хэрэв ийм хүснэгтийг эмхэтгэсэн бол G тоглоомыг матриц хэлбэрт оруулсан гэж хэлдэг (өөрөөр хэлбэл тоглоомыг ийм хэлбэрт оруулах нь маш олон тооны стратегийн улмаас хэцүү ажил, заримдаа бараг боломжгүй юм. ). Хэрэв тоглоомыг матриц хэлбэрт оруулбал олон хөдөлгөөнт тоглоом нь нэг нүүдлийн тоглоом болж буурна гэдгийг анхаарна уу - тоглогч зөвхөн нэг нүүдэл хийх шаардлагатай: стратеги сонгох. Бид тоглоомын матрицыг товчхон тэмдэглэх болно

G (4X5) тоглоомын жишээг матриц хэлбэрээр авч үзье. Бидний мэдэлд (сонгохын тулд) дөрвөн стратеги, дайсан таван стратегитай. Тоглоомын матрицыг 26.2-р хүснэгтэд үзүүлэв

Бид (А тоглогч) ямар стратеги ашигладаг талаар бодоцгооё? Матриц 26.2 нь "10" гэсэн сэтгэл татам үр өгөөжтэй; Бид энэ "цэвэрлэгээ" авах стратеги сонгоход татагдан орсон.

Хүлээгээрэй, дайсан ч бас тэнэг биш! Хэрэв бид стратеги сонговол тэр биднийг үл тоомсорлон стратегийг сонгох бөгөөд бид "1"-ийн өрөвдөлтэй үр өгөөжийг авах болно. Үгүй ээ, та стратеги сонгох боломжгүй! Яаж байх вэ? Мэдээжийн хэрэг, болгоомжтой байх зарчмаас (мөн энэ нь тоглоомын онолын гол зарчим) бид хамгийн бага ашиг олох стратегийг сонгох ёстой.

Хүснэгт 26.2

Энэ бол "мини-макс зарчим" гэж нэрлэгддэг зүйл юм: өрсөлдөгчийнхөө хамгийн муу зан авираар та хамгийн их ашиг хүртэх байдлаар ажилла.

Хүснэгт 26.2-ыг дахин бичээд баруун талын нэмэлт баганад мөр тус бүрийн ашгийн хамгийн бага утгыг (хамгийн багадаа мөр) бичнэ; a эгнээнд тэмдэглэе (хүснэгт 26.3-ыг үз).

Хүснэгт 26.3

Бүх утгуудаас (баруун багана) хамгийн том (3) нь сонгогдоно. Энэ нь стратегид нийцдэг. Энэ стратегийг сонгосны дараа бид ямар ч тохиолдолд (дайсны аливаа зан үйлийн хувьд) 3-аас багагүй ашиг хүртэх болно гэдэгт итгэлтэй байж болно. Энэ үнэ цэнэ нь бидний баталгаатай ашиг юм; болгоомжтой хандвал бид үүнээс дутуу авч чадахгүй, илүү ихийг авч болно).

Энэ өгөөжийг тоглоомын доод үнэ гэж нэрлэдэг (эсвэл "максимин" - хамгийн бага өгөөжийн дээд хэмжээ). Бид үүнийг a гэж тэмдэглэх болно. Манай тохиолдолд

Одоо дайсны үзэл бодлыг авч, түүний төлөө мэтгэлцье. Тэр ямар нэгэн ломбард биш, бас боломжийн! Стратеги сонгохдоо тэр бага өгөхийг хүсч байгаа ч бидний зан авирыг найдах ёстой бөгөөд энэ нь түүний хувьд хамгийн муу зүйл юм. Хэрэв тэр стратеги сонговол бид түүнд хариулах бөгөөд тэр 10 өгөх болно; Хэрэв тэр сонгосон бол бид түүнд хариулах болно, тэр үүнийг буцааж өгнө гэх мэт. Бид 26.3-р хүснэгтэд нэмэлт доод мөр нэмж, баганын дээд хэмжээг бичнэ. Мэдээжийн хэрэг болгоомжтой дайсан нь энэ утгыг илэрхийлэх стратегийг сонгох ёстой. хамгийн бага (харгалзах утгыг 5-ыг Хүснэгт 26.3-т онцолсон болно) . Энэ P утга нь олзны үнэ цэнэ бөгөөд үүнээс илүү боломжийн өрсөлдөгч бидэнд өгөхгүй нь гарцаагүй. Үүнийг тоглоомын дээд үнэ гэж нэрлэдэг (эсвэл "mi-nimax" - хамгийн их хожлын доод хэмжээ). Бидний жишээн дээр өрсөлдөгчийн стратегийн тусламжтайгаар үүнийг хийдэг

Тиймээс болгоомжлолын зарчимд тулгуурлан (“хамгийн мууг үргэлж тооц!” давхар даатгалын дүрэм) бид А стратеги, дайсан стратегийг сонгох ёстой.Ийм стратегийг “minimax” гэж нэрлэдэг (minimax зарчмаар). Бидний жишээн дээрх хоёр тал минимакс стратегиа баримталж байгаа цагт үр дүн нь гарах болно

Одоо бид дайсан стратеги дагаж байгааг мэдсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Алив, бид түүнийг үүний төлөө шийтгэж, стратеги сонгоход бид 5-ыг авдаг бөгөөд энэ нь тийм ч муу биш юм. Гэвч эцсийн эцэст, дайсан нь бас мисс биш юм; түүнд бидний стратеги бол , тэр бас сонгох гэж яарч, бидний үр ашгийг 2 болгон бууруулна гэх мэтээр мэдэгдээрэй (түншүүд "стратегийн талаар яаран"). Товчхондоо, бидний жишээн дэх минимакс стратеги нь нөгөө талын зан үйлийн талаархи мэдээллийн хувьд тогтворгүй байдаг; Эдгээр стратеги нь тэнцвэрийн шинж чанартай байдаггүй.

Дандаа ийм байдаг юм уу? Үгүй ээ, үргэлж биш. Хүснэгт 26.4-т өгсөн матрицтай жишээг авч үзье.

Энэ жишээнд тоглоомын доод үнэ нь дээд үнэтэй тэнцүү байна: . Үүнээс юу гарах вэ? А ба В тоглогчдын минимакс стратеги тогтвортой байх болно. Хоёр тоглогч хоёулаа тэднийг дагаж мөрдвөл өгөөж нь 6 байна. Хэрэв бид (A) өрсөлдөгч (B) В стратегийг баримталж байгааг мэдвэл юу болохыг харцгаая?

Хүснэгт 26.4

Мөн яг юу ч өөрчлөгдөхгүй, учир нь стратегиас ямар нэгэн хазайлт нь бидний нөхцөл байдлыг улам дордуулж болзошгүй юм. Үүний нэгэн адил өрсөлдөгчийн хүлээн авсан мэдээлэл нь түүнийг стратегиасаа ухрахыг албадахгүй.Хос стратеги нь тэнцвэрт шинж чанартай (тэнцвэртэй хос стратеги) бөгөөд энэ хос стратегийн үр дүнд хүрэх үр дүн (манай тохиолдолд 6) байна. "матрицын эмээл цэг" гэж нэрлэдэг. Эмээлийн цэг, тэнцвэртэй хос стратеги байгаагийн шинж тэмдэг бол тоглоомын доод ба дээд үнийн тэгш байдал юм; нийт үнэ цэнийг тоглоомын үнэ гэж нэрлэдэг. Бид үүнийг тэмдэглэнэ

Энэхүү олзыг олж авах стратегийг (энэ тохиолдолд, ) оновчтой цэвэр стратеги гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хослол нь тоглоомын шийдэл юм. Энэ тохиолдолд тоглоом өөрөө цэвэр стратегиар шийдэгддэг гэж хэлдэг. А болон В талуудын аль алинд нь тэдний байр суурь хамгийн сайн байх оновчтой стратеги өгч болно. Тэгээд тэр А тоглогч 6 хожиж, В тоглогч хожигдсон нь тоглоомын нөхцөлүүд: А-д ашигтай, Б-д сөрөг талтай.

Уншигчдад асуулт гарч ирж магадгүй: яагаад оновчтой стратегийг "цэвэр" гэж нэрлэдэг вэ? Урагшаа харж байгаад энэ асуултад хариулъя: "холимог" стратеги байдаг бөгөөд тэдгээр нь тоглогч нэг стратеги биш, хэд хэдэн стратеги ашигладаг бөгөөд тэдгээрийг санамсаргүй байдлаар сольж өгдөг. Тиймээс, хэрэв бид цэвэр стратегиас гадна холимог стратегиудаас гадна аливаа хязгаарлагдмал тоглоом шийдэлтэй байдаг - тэнцвэрийн цэг. Гэхдээ энэ талаар илүү их зүйл хараахан ирээгүй байна.

Тоглоомонд эмээлийн цэг байх нь дүрэм биш, харин үл хамаарах зүйл юм. Ихэнх тоглоомуудад эмээлийн цэг байдаггүй. Гэсэн хэдий ч үргэлж эмээлийн цэгтэй байдаг тул цэвэр стратегиар шийдэгддэг олон төрлийн тоглоомууд байдаг. Эдгээр нь "бүрэн мэдээлэл бүхий тоглоомууд" гэж нэрлэгддэг тоглоомууд юм. Бүрэн мэдээлэл бүхий тоглоом гэдэг нь тоглогч бүр хувийн болон санамсаргүй байдлаар өмнөх бүх нүүдлүүдийн үр дүнг хувийн нүүдэл болгондоо өөрийн хөгжлийн түүхийг бүхэлд нь мэддэг тоглоом юм. Бүрэн мэдээлэл бүхий тоглоомуудын жишээ бол даам, шатар, тик-так-тое гэх мэт тоглоомууд юм.

Тоглоомын онолын хувьд бүрэн мэдээлэл бүхий тоглоом бүр эмээлийн цэгтэй байдаг тул цэвэр стратегиар шийдэж болдог нь батлагдсан. Төгс мэдээлэл бүхий тоглоом бүрт тоглоомын үнэтэй тэнцэх тогтвортой ашиг өгдөг хос оновчтой стратеги байдаг. Хэрэв ийм тоглоом нь зөвхөн хувийн нүүдлээс бүрддэг бол тоглогч бүр өөрийн оновчтой стратегийг хэрэгжүүлэхэд энэ нь тодорхой байдлаар дуусах ёстой - тоглоомын үнэтэй тэнцэх өгөөжтэй байх ёстой. Тиймээс, хэрэв тоглоомын шийдэл нь мэдэгдэж байвал тоглоом өөрөө утгаа алддаг!

Бүрэн мэдээлэл бүхий тоглоомын энгийн жишээг авч үзье: хоёр тоглогч ээлжлэн дугуй ширээн дээр никель байрлуулж, зоосны төвийн байрлалыг дур мэдэн сонгоно (зоосыг харилцан давхцахыг хориглоно). Сүүлчийн пенни (бусад явах зайгүй үед) тавьсан хүн ялагч болно. Энэ тоглоомын үр дүн нь үндсэндээ урьдчилан таамагласан дүгнэлт гэдгийг харахад хялбар байдаг. Зоосоо түрүүлж тавьсан тоглогч хождог тодорхой стратеги байдаг.

Тодруулбал, тэрээр ширээний голд анх удаа никель тавьж, дараа нь өрсөлдөгчийнхөө хөдөлгөөн бүрт тэгш хэмтэй хөдөлгөөнөөр хариулах ёстой. Өрсөлдөгч нь яаж аашилсан ч ялагдахаас зайлсхийж чадахгүй нь ойлгомжтой. Нөхцөл байдал ерөнхийдөө бүрэн мэдээлэл бүхий шатар, тоглоомын хувьд яг адилхан: тэдгээрийн аль нэг нь матриц хэлбэрээр бичигдсэн эмээлийн цэгтэй, тиймээс шийдэл нь цэвэр стратеги байдаг тул энэ шийдэлд нийцсэн тохиолдолд л утга учиртай болно. олдсонгүй. гэж хэлье шатрын тоглоомНэг бол энэ нь үргэлж Цагааны ялалтаар төгсдөг, эсвэл үргэлж Харын ялалтаар төгсдөг, эсвэл үргэлж тэнцдэг, гэхдээ яг юу болохыг бид хараахан мэдэхгүй байна (азаар шатар сонирхогчдод). Өөр нэг зүйлийг нэмж хэлье: ойрын ирээдүйд бид үүнийг бараг мэдэхгүй, учир нь стратегийн тоо маш их тул тоглоомыг матриц хэлбэрт оруулж, эмээлийн цэгийг олоход маш хэцүү (хэрэв боломжгүй бол).

Одоо тоглоомонд эмээлийн цэг байхгүй бол яах вэ гэж өөрөөсөө асууя: Хэрэв тоглогч бүр нэг цэвэр стратеги сонгохоос өөр аргагүйд хүрвэл хийх зүйл байхгүй: бид minimax зарчмаар удирдагдах ёстой. Өөр нэг зүйл бол хэрэв та стратегиа "холих" боломжтой бол тэдгээрийг зарим магадлалаар санамсаргүй байдлаар солих явдал юм. Холимог стратеги ашиглах нь ийм байдлаар хийгдсэн: тоглоом олон удаа давтагддаг; Тоглолтын тоглолт бүрийн өмнө тоглогчид хувийн нүүдэл хийх үед тэр сонголтоо "даатгаж", "шоугаа шидэж", унасан стратегийг хэрэгжүүлдэг (бид өмнөх үеийнхээс багцаа хэрхэн зохион байгуулахаа мэддэг байсан. бүлэг).

Тоглоомын онол дахь холимог стратеги нь тухайн тоглоомонд өрсөлдөгчөө хэрхэн авч явахыг тоглогчдын хэн нь ч мэдэхгүй байх үед өөрчлөгдөж болох, уян хатан тактикийн загвар юм. Энэ тактикийг (ихэвчлэн математикийн үндэслэлгүй ч) ихэвчлэн ашигладаг карт тоглоом. Өөрийнхөө зан авирыг дайснаас нуух хамгийн сайн арга бол түүнд санамсаргүй шинж чанар өгөх, тиймээс юу хийхээ урьдчилан мэдэхгүй байх явдал гэдгийг бид нэгэн зэрэг тэмдэглэе.

Тиймээс холимог стратегийн талаар ярилцъя. Бид A болон B тоглогчдын холимог стратегийг тус тус илэрхийлэх болно

Тодорхой тохиолдолд нэгээс бусад бүх магадлал нь тэгтэй тэнцүү, энэ нь нэгтэй тэнцүү байх үед холимог стратеги нь цэвэр нэг болж хувирдаг.

Тоглоомын онолын үндсэн теорем байдаг: ямар ч хоёр тоглогчийн төгсгөлтэй тэг нийлбэртэй тоглоом нь дор хаяж нэг шийдэлтэй байдаг - ерөнхийдөө холимог оновчтой стратеги, түүнд тохирсон үнэ.

Тоглоомын шийдлийг бүрдүүлдэг хос оновчтой стратеги нь дараахь шинж чанартай байдаг: хэрэв тоглогчдын аль нэг нь оновчтой стратегиа дагаж мөрдвөл нөгөө нь түүний стратегиас хазайх нь ашиггүй болно. Энэ хос стратеги нь тоглоомын нэг төрлийн тэнцвэрийг бүрдүүлдэг: нэг тоглогч үр ашгаа дээд тал руу нь эргүүлэхийг хүсдэг, нөгөө нь - хамгийн багадаа, тус бүр өөрийн чиглэлд татдаг бөгөөд хоёулангийнх нь зохистой зан үйлийн дагуу тэнцвэрт байдал, тогтвортой өгөөж v тогтоогдсон. Хэрэв тоглоом нь бидэнд ашигтай бол, хэрэв - дайсанд; тоглоом "шударга" үед оролцогчид хоёуланд нь адилхан ашиг тустай.

Эмээлийн цэггүй тоглоомын жишээг авч үзээд түүний шийдлийг (нотолгоогүйгээр) өг. Тоглолт дараах байдалтай байна: хоёр тоглогч А, В нэгэн зэрэг, үг хэлэлгүйгээр нэг, хоёр, гурван хуруугаа харуулна. Ялагчийг нийт хурууны тоогоор шийднэ: хэрэв тэгш бол А хожиж, В-ээс энэ тоотой тэнцэх хэмжээний мөнгийг авна; Хэрэв сондгой бол, эсрэгээр, А энэ тоотой тэнцэх хэмжээний мөнгийг Б-д төлнө. Тоглогчид юу хийх ёстой вэ?

Тоглоомын матриц үүсгэцгээе. Нэг тоглоомонд тоглогч бүр гурван стратегитай байдаг: нэг, хоёр, гурван хуруугаа харуул. 3x3 матрицыг Хүснэгт 26.5-д үзүүлэв; баруун талын нэмэлт багана нь мөрний минимумыг, нэмэлт доод мөрөнд баганын максимумыг харуулна.

Тоглоомын хямд үнэ нь стратегид нийцэж байна. Энэ нь боломжийн, болгоомжтой хандвал бид 3-аас илүүг алдахгүй гэсэн үг юм. Жижигхэн тайтгарал, гэхдээ хожсоноос илүү сайн - 5, заримд нь олддог. матрицын эсүүд. Энэ нь бидний хувьд муу юм, тоглогч Л... Гэхдээ өөрсдийгөө тайвшруулъя: өрсөлдөгчийн байр суурь бүр ч дордох шиг байна: тоглоомын хямд үнэ. боломжийн зан авир, тэр бидэнд хамгийн багадаа 4 өгөх болно.