W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest podwajana. Problemy z teorii prawdopodobieństwa. Kombinowana metoda wyliczania

Formuła zadania: W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że orła (reszki) nie wypadną ani razu (wypadną dokładnie / co najmniej 1, 2 razy).

Zadanie jest zawarte w USE w matematyce poziomu podstawowego dla klasy 11 pod numerem 10 (klasyczna definicja prawdopodobieństwa).

Zobaczmy, jak takie problemy są rozwiązywane na przykładach.

Przykład zadania 1:

W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszki nigdy nie wyskoczą.

OO LUB RO RR

W sumie są 4 takie kombinacje, nas interesują tylko te, w których nie ma ani jednego orła. Jest tylko jedna taka kombinacja (PP).

P = 1/4 = 0,25

Odpowiedź: 0,25

Przykład zadania 2:

W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że wypadnie rewersem dokładnie dwa razy.

Rozważ wszystkie możliwe kombinacje, które mogą wypaść, jeśli moneta zostanie rzucona dwukrotnie. Dla wygody orła oznaczymy literą O, a ogony literą P:

OO LUB RO RR

W sumie są takie kombinacje 4. Interesują nas tylko te kombinacje, w których główki pojawiają się dokładnie 2 razy. Jest tylko jedna taka kombinacja (OO).

P = 1/4 = 0,25

Odpowiedź: 0,25

Przykład zadania 3:

W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że wypadnie rewersem dokładnie raz.

Rozważ wszystkie możliwe kombinacje, które mogą wypaść, jeśli moneta zostanie rzucona dwukrotnie. Dla wygody orła oznaczymy literą O, a ogony literą P:

OO LUB RO RR

W sumie są takie kombinacje 4. Interesują nas tylko te z nich, w których głowy wypadły dokładnie 1 raz. Są tylko dwie takie kombinacje (OP i RO).

Odpowiedź: 0,5

Przykład zadania 4:

W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszki pojawią się przynajmniej raz.

Rozważ wszystkie możliwe kombinacje, które mogą wypaść, jeśli moneta zostanie rzucona dwukrotnie. Dla wygody orła oznaczymy literą O, a ogony literą P:

OO LUB RO RR

Łącznie są takie kombinacje 4. Interesują nas tylko te kombinacje, w których głowy wypadają przynajmniej raz. Są tylko trzy takie kombinacje (OO, OR i RO).

P = 3/4 = 0,75

W losowym eksperymencie rzucana jest symetryczna moneta...

Jako wstęp.
Każdy wie, że moneta ma dwie strony – reszki i reszki.
Numizmatycy uważają, że moneta ma trzy strony - awers, rewers i krawędź.
A wśród nich i między innymi niewiele osób wie, czym jest moneta symetryczna. Ale wiedzą o tym (cóż, a raczej powinni wiedzieć :), ci, którzy przygotowują się do egzaminu.

Ogólnie w tym artykule skupimy się na niezwykła moneta, który nie ma nic wspólnego z numizmatyką, ale jednocześnie jest najpopularniejszą monetą wśród uczniów.

Więc.
Symetryczna moneta- jest to wyimaginowana matematycznie idealna moneta bez rozmiaru, wagi, średnicy itp. W rezultacie taka moneta również nie ma krawędzi, to znaczy tak naprawdę ma tylko dwie strony. Główną cechą monety symetrycznej jest to, że w takich warunkach prawdopodobieństwo wypadnięcia orła lub reszki jest dokładnie takie samo. I wymyślili symetryczną monetę do eksperymentów myślowych.
Najpopularniejszy problem z monetą symetryczną brzmi tak: „W losowym eksperymencie moneta symetryczna jest rzucana dwa razy (trzy razy, cztery razy itd.). Wymagane jest określenie prawdopodobieństwa wypadnięcia jednej ze stron określoną liczbę razy.

Rozwiązanie problemu z symetryczną monetą

Oczywiste jest, że w wyniku rzutu moneta spadnie albo orła, albo reszki. Ile razy - zależy od tego, ile rzutów wykonać. Prawdopodobieństwo uzyskania orła lub reszki oblicza się, dzieląc liczbę wyników spełniających warunek przez całkowitą liczbę możliwych wyników.

Jeden rzut

Tutaj wszystko jest proste. Pojawią się głowy lub ogony. Tych. mamy dwa możliwe wyniki, z których jeden nas satysfakcjonuje - 1/2=50%

Dwa rzuty

Na dwa rzuty mogą spaść:
dwa orły
dwa ogony
głowy, potem ogony
ogony, potem głowy
Tych. możliwe są tylko cztery opcje. Problemy z więcej niż jednym rzutem najłatwiej rozwiązać, układając tabelę możliwych opcji. Dla uproszczenia oznaczmy głowy jako „0”, a ogony jako „1”. Wtedy tabela możliwych wyników będzie wyglądać tak:
00
01
10
11
Jeśli chcesz np. obliczyć prawdopodobieństwo, że orła padnie raz, wystarczy policzyć liczbę odpowiednich opcji w tabeli – czyli te linie, w których orzeł występuje raz. Są dwie takie linie. Czyli prawdopodobieństwo trafienia jednego orła w dwóch rzutach symetryczną monetą wynosi 2/4=50%
Prawdopodobieństwo trafienia reszki dwukrotnie w dwóch rzutach wynosi 1/4=25%

Trzy róże

Wykonujemy tabelę opcji:
000
001
010
011
100
101
110
111
Ci, którzy znają rachunek binarny, rozumieją, do czego doszliśmy. :) Tak, są to liczby binarne od „0” do „7”. W ten sposób łatwiej nie pomylić się z opcjami.
Rozwiążmy problem z poprzedniego akapitu - obliczamy prawdopodobieństwo, że orzeł raz wypadnie. Istnieją trzy wiersze, w których „0” występuje raz. Zatem prawdopodobieństwo trafienia jednej orła w trzech rzutach symetryczną monetą wynosi 3/8=37,5%
Prawdopodobieństwo dwukrotnego wypadnięcia głowy w trzech rzutach wynosi 3/8=37,5%, czyli absolutnie to samo.
Prawdopodobieństwo, że głowa w trzech rzutach wypadnie trzy razy, wynosi 1/8 = 12,5%.

Cztery rzuty

Wykonujemy tabelę opcji:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Prawdopodobieństwo, że heads wyskoczy raz. Są tylko trzy rzędy, w których „0” występuje raz, tak jak w przypadku trzech rzutów. Ale istnieje już szesnaście opcji. Zatem prawdopodobieństwo trafienia jednej orła w czterech rzutach symetryczną monetą wynosi 3/16=18,75%
Prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dwa razy w trzech rzutach wynosi 6/8=75%.
Prawdopodobieństwo, że reszki padną trzy razy w trzech rzutach, wynosi 4/8=50%.

Czyli wraz ze wzrostem liczby rzutów zasada rozwiązywania problemu w ogóle się nie zmienia - tylko w odpowiednim postępie zwiększa się liczba opcji.

W rachunku prawdopodobieństwa istnieje grupa problemów, do rozwiązania których wystarczy znajomość klasycznej definicji prawdopodobieństwa i wizualizacja proponowanej sytuacji. Te problemy to większość problemów z rzutami monetą i kośćmi. Przypomnijmy klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A (obiektywna możliwość zajścia zdarzenia w kategoriach liczbowych) jest równa stosunkowi liczby skutków korzystnych dla tego zdarzenia do łącznej liczby wszystkich równie możliwych niezgodnych wyników elementarnych: P(A)=m/n, gdzie:

• m to liczba elementarnych wyników testów, które sprzyjają wystąpieniu zdarzenia A;
• n to całkowita liczba wszystkich możliwych wyników testów elementarnych.

Wygodnie jest określić liczbę możliwych wyników testów elementarnych i liczbę wyników korzystnych w rozważanych problemach poprzez wyliczenie wszystkich możliwych opcji (kombinacji) i bezpośrednie obliczenie.

Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=4. Korzystne wyniki zdarzenia A = (orzeł wypada 1 raz) odpowiadają wariantom nr 2 i nr 3 eksperymentu, są dwie takie opcje m=2.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia Р(А)=m/n=2/4=0,5

Zadanie 2 . W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszki nigdy nie wyskoczą.

Rozwiązanie . Ponieważ moneta jest rzucana dwukrotnie, tak jak w Zadaniu 1, liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=4. Korzystne wyniki zdarzenia A = (orzeł nie wypadnie ani razu) odpowiadają wariantowi nr 4 eksperymentu (patrz tabela w zadaniu 1). Jest tylko jedna taka opcja, więc m=1.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia Р(А)=m/n=1/4=0,25

Zadanie 3 . W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana trzy razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że wypadnie rewersem dokładnie 2 razy.

Rozwiązanie . Możliwe opcje trzy rzuty monetą (wszystkie możliwe kombinacje orłów i reszek) przedstawione są w formie tabeli:

Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=8. Korzystne wyniki zdarzenia A = (głowy 2 razy) odpowiadają wariantom nr 5, 6 i 7 eksperymentu. Są trzy takie opcje, więc m=3.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia Р(А)=m/n=3/8=0,375

Zadanie 4 . W losowym eksperymencie symetryczna moneta jest rzucana cztery razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że wypadnie rewersem dokładnie 3 razy.

Rozwiązanie . Możliwe warianty czterech rzutów monetą (wszystkie możliwe kombinacje orłów i reszek) przedstawione są w formie tabeli:

Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=16. Korzystne wyniki zdarzenia A = (orzeł wypada 3 razy) odpowiadają wariantom nr 12, 13, 14 i 15 eksperymentu, co oznacza m=4.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia Р(А)=m/n=4/16=0,25

Określanie prawdopodobieństwa w problemach z kośćmi

Zadanie 5 . Określ prawdopodobieństwo, że po rzuceniu kostką (prawidłowa kostka) wypadną więcej niż 3 punkty.

Rozwiązanie . Podczas rzucania kostką (zwykłą kostką) może wypadnąć dowolna z jej sześciu ścian, tj. zaistnienia któregokolwiek ze zdarzeń elementarnych - strata od 1 do 6 punktów (punktów). Tak więc liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=6.
Zdarzenie A = (odpadło więcej niż 3 punkty) oznacza, że ​​wypadło 4, 5 lub 6 punktów (punktów). A więc liczba korzystnych wyników m=3.
Prawdopodobieństwo zdarzenia Р(А)=m/n=3/6=0,5

Zadanie 6 . Określ prawdopodobieństwo, że przy rzucie kostką liczba punktów nie przekroczy 4. Zaokrąglij wynik do najbliższej tysięcznej.

Rozwiązanie . Podczas rzucania kostką może wypaść dowolna z jej sześciu ścianek, tj. zaistnienia któregokolwiek ze zdarzeń elementarnych - strata od 1 do 6 punktów (punktów). Tak więc liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=6.
Zdarzenie A = (nie więcej niż 4 punkty wypadły) oznacza, że ​​wypadły 4, 3, 2 lub 1 punkt (punkt). A więc liczba korzystnych wyników m=4.
Prawdopodobieństwo zdarzenia Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Zadanie 7 . Kość jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie liczby są mniejsze niż 4.

Rozwiązanie . Dlatego kostka do gry(kostka) jest rzucana dwa razy, to będziemy się spierać w następujący sposób: jeśli na pierwszej kostce padnie jeden punkt, to na drugiej wypadnie 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otrzymujemy pary (1; 1) , (1; 2 ), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) itd. z każdą twarzą. Wszystkie sprawy przedstawiamy w formie tabeli 6 wierszy i 6 kolumn:

Obliczone zostaną korzystne wyniki zdarzenia A = (w obu wypadkach liczba mniejsza niż 4) (wyróżnione pogrubioną czcionką) i otrzymamy m=9.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia Р(А)=m/n=9/36=0,25

Zadanie 8 . Kość jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że największa z dwóch wylosowanych liczb wynosi 5. Zaokrąglij swoją odpowiedź do najbliższej tysięcznej.

Rozwiązanie . Wszystkie możliwe wyniki dwóch rzutów kostką przedstawiono w tabeli:

Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=6*6=36.
Obliczane są korzystne wyniki zdarzenia A = (największa z dwóch wylosowanych liczb to 5) (wyróżnione pogrubioną czcionką) i otrzymujemy m=8.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia Р(А)=m/n=8/36=0,222…≈0,222

Zadanie 9 . Kość jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba mniejsza niż 4 zostanie wyrzucona przynajmniej raz.

Rozwiązanie . Wszystkie możliwe wyniki dwóch rzutów kostką przedstawiono w tabeli:

Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=6*6=36.
Wyrażenie „co najmniej raz wypadła liczba mniejsza niż 4” oznacza „liczba mniejsza niż 4 wypadła raz lub dwa razy”, wtedy liczba korzystnych wyników zdarzenia A = (przynajmniej raz wypadła liczba mniejsza niż 4 ) (pogrubione) m=27.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia Р(А)=m/n=27/36=0,75

W zadaniach z teorii prawdopodobieństwa, które są przedstawione w Zjednoczonym Egzaminie Państwowym pod nr 4, oprócz zadań rzucania monetą i rzucania kostką, znajdują się dodatkowo. Dzisiaj je przeanalizujemy.

Problemy z rzutem monetą

Zadanie 1. Symetryczna moneta jest rzucana dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że wypadnie dokładnie raz.

W takich problemach wygodnie jest wypisać wszystkie możliwe wyniki, pisząc je literami P (ogony) i O (głowy). Zatem wynik OR oznacza, że ​​w pierwszym rzucie wypadły reszki, a w drugim reszki. W rozważanym problemie możliwe są 4 wyniki: PP, RO, OR, OO. Sprzyjać wydarzeniu „ogony wychodzą dokładnie raz” 2 wyniki: RO i OR. Wymagane prawdopodobieństwo to .

Odpowiedź: 0,5.

Zadanie 2. Symetryczna moneta jest rzucana trzy razy. Ustal prawdopodobieństwo, że orła wypadnie dokładnie dwa razy.

W sumie możliwych jest 8 wyników: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Wyróżnij wydarzenie "głowa dokładnie dwa razy" 3 wyniki: ROO, ORO, OOR. Wymagane prawdopodobieństwo to .

Odpowiedź: 0,375.

Zadanie 3. Przed rozpoczęciem mecz piłki nożnej Sędzia rzuca monetą, aby określić, która drużyna rozpocznie grę z piłką. Drużyna Emerald rozgrywa trzy mecze z różne zespoły. Znajdź prawdopodobieństwo, że w tych grach „Szmaragd” wygra los dokładnie raz.

To zadanie jest podobne do poprzedniego. Niech każdorazowo przegrana reszek oznacza wygranie losu przez „Szmaragd” (takie założenie nie ma wpływu na obliczanie prawdopodobieństw). Wtedy możliwych jest 8 wyników: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Istnieją 3 wyniki, które faworyzują wydarzenie „ogonki wychodzą dokładnie raz”: POO, ORO, OOP. Wymagane prawdopodobieństwo to .

Odpowiedź: 0,375.

Zadanie 4. Symetryczna moneta jest rzucana trzy razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że wynik ROO nadejdzie (za pierwszym razem wypadnie reszek, drugi i trzeci - orła).

Podobnie jak w poprzednich zadaniach jest tu 8 wyników: PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO. Prawdopodobieństwo wyniku ROO jest równe .

Odpowiedź: 0,125.

Problemy z rzutem kostką

Zadanie 5. Kości są rzucane dwukrotnie. Ile elementarnych wyników doświadczenia sprzyja zdarzeniu „suma punktów 8”?

Zadanie 6. Rzuca się jednocześnie dwiema kośćmi. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma wyniesie 4. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli rzuca się kośćmi (kostkami), są równie możliwe wyniki. Taka sama liczba wyników jest uzyskiwana, jeśli ta sama kostka zostanie rzucona raz z rzędu.

Następujące wyniki faworyzują zdarzenie „w sumie 4”: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Ich liczba to 3. Pożądane prawdopodobieństwo to .

Aby obliczyć przybliżoną wartość ułamka, wygodnie jest użyć dzielenia przez róg. Zatem jest w przybliżeniu równy 0,083 ..., zaokrąglając do części setnych, mamy 0,08.

Odpowiedź: 0,08

Zadanie 7. Rzuca się jednocześnie trzema kośćmi. Znajdź prawdopodobieństwo uzyskania w sumie 5 punktów. Zaokrąglij wynik do najbliższej setnej części.

Rozważymy wynik jako trójkę liczb: punkty, które padły na pierwszą, drugą i trzecią kostkę. W sumie są równie możliwe wyniki. Następujące wyniki faworyzują wydarzenie „w sumie 5”: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Ich liczba to 6. Pożądane prawdopodobieństwo to . Aby obliczyć przybliżoną wartość ułamka, wygodnie jest użyć dzielenia przez róg. W przybliżeniu otrzymujemy 0,027 ..., zaokrąglając do setnych, mamy 0,03. Źródło „Przygotowanie do egzaminu. Matematyka. Teoria prawdopodobieństwa". Pod redakcją F.F. Łysenko, S.Ju. Kulabuchow