Uganka s številkami od 1 do 9. Kako rešiti čarobne kvadrate? Kakšne so rešitve?

Obstajajo različne tehnike za konstruiranje kvadratov enojne in dvojne paritete.

Kako rešiti magične kvadrate?

Uganka, kot je sudoku, se običajno imenuje čarobni kvadrat. To je kvadrat, katerega celice so zapolnjene s številkami, tako da je vsota na koncu katere koli vrstice, stolpca in diagonale enaka. V ugankah s čarobnimi kvadrati nekaj števil manjka in jih morate razporediti tako, da bodo izpolnjeni zgoraj opisani pogoj enake vsote. Kako rešiti magične kvadrate?

Metode reševanja magičnih kvadratov

Da bi bila rešitev magičnih kvadratov pravilna, morate poznati prav magično vsoto, ki jo morate dobiti pri seštevanju števil v vrsticah, stolpcih in diagonalah. Po tem postane vstavljanje manjkajočih številk veliko lažje. Kako najti ta znesek?

1. metoda

Najenostavnejša različica magičnega kvadrata je, ko je ena od vrstic, eden od stolpcev ali ena od diagonal popolnoma zapolnjena s številkami. V tem primeru ostane le še izračunati vsoto teh števil in izbrati rešitve.

Metoda 2

Vsoto števil na koncih vrstic, stolpcev in diagonal je mogoče izračunati s posebnimi formulami. V tem primeru se bo formula za kvadrate s sodim številom celic v eni vrsti razlikovala od kvadratov z lihim številom celic.

Torej, za sode kvadrate je primerna naslednja formula:

• n + ((n+1) * n * (n-1) / 2) , kjer je n število celic v eni vrstici.

Za lihe kvadrate je formula:

• n * (n 2 +1) / 2, kjer je n tudi število celic v eni vrstici.

Primer rešitve

Razmislimo o rešitvah magičnega kvadrata devetih celic s števili od 1 do 9. Najprej izračunajmo vsoto, ki naj bi nastala na koncih. V eni vrstici imamo 3 celice, to je n = 3. Nadomestite vrednost v formulo:

• 3 * (3 2 +1) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15

Sedaj izberemo števila tako, da bo vsota 15.

Nato bo algoritem zahteval malo prostorske domišljije. Postavite številko 1 na sredino zgornje vrstice. Vsako naslednjo številko postavimo na desno diagonalno navzgor. Poskušamo postaviti 2. Vendar tam ni nobenih celic, če nad našim kvadratom nadomestimo drug enak namišljeni kvadrat, se bo številka 2 pojavila v spodnjem desnem kotu tega
nov kvadrat. Prenesemo ga na naš kvadrat in ga postavimo v spodnji desni kot. Tudi številko 3 postavimo na desno diagonalno navzgor - in tam spet ni celice, z namišljenim kvadratom ugotovimo, da je njeno mesto na sredini levega stolpca. Številko 4 postavimo po istem principu, le da to celico zaseda ena - v tem primeru jo postavimo neposredno pod številko 3. Številka 5 diagonalno navzgor in desno od 4 je v samem središču, številka 6 je v zgornjem desnem kotu. Številka 7 bi s pomočjo domišljije morala končati v spodnjem levem kotu. A tam je že štirica, zato jo postavimo neposredno pod številko 6. Številka 8 se pojavi s pomočjo namišljenega kvadrata v zgornjem levem kotu, številka 9 pa v preostali celici na sredini desnega stolpca . Splošni algoritem je naslednji: naslednjo številko postavite zgoraj desno diagonalno, če ni prostora, uporabite namišljeni kvadrat, če je celica zasedena, pa številko postavite neposredno pod prejšnjo.

Obožujem igre, kjer moraš razmišljati. Zato se naša serija člankov o »top 10« gladko prelije v uganke. Danes bom govoril o desetih številskih ugankah. Ko sem hitel sestavljati to oceno, sem se soočil s težavo najti deset dobrih iger, kljub dejstvu, da je v App Store na tone digitalnih ugank! Slaba stvar je, da je veliko klonov, ponavljanj in nekakovostnih obrti ... Toda ko je bil sestavljen vrh, sem ugotovil, da bo vsak našel nekaj novega v njem! Celo jaz sem spoznal tri odlične igre. Pojdi!

Trojke!

Na igralnem polju so številke. Igralec lahko premakne vse številke v katero koli od 4 smeri. Poleg tega, če gibanje katere koli vrstice ali stolpca ovira stena in obstajajo:

a) enaka števila, večja ali enaka 3
b) 1 in 2

nato se seštejejo in namesto dveh števil se pojavi tretje - vsota. Cilj je doseči čim več točk. Igra je neskončna, vendar je zelo težko doseči veliko točk.

Po izidu Trojk! App Store je postal preplavljen s kloni pod imenom "2048".

Shikaku

Preprosta in nepop uganka ustvarjalcev sudokuja. Cilj te igre je razdeliti polje s številkami na pravokotnike, tako da je površina pravokotnikov enaka številu v njem. Obstaja samo ena izvedba te igre za iPad.

Numtris: igra logike in številk

To je izvirna pustolovska igra. Tetris s številkami. Številke padajo od zgoraj in jih morate zbrati po načelu trojk (1 in 2 bosta dala 3) ali jih odstraniti tako, da zberete več enakih (na primer štiri enake štirice). Numtris ima polno kampanjo s številnimi misijami. Misije so raznolike: od tega, da zdržiš 40 sekund, do ubijanja pošasti ... Tekmuješ lahko s prijatelji tako na spletu kot na istem iPadu.

Igra je zelo elegantna z lepo grafiko. Priporočam, da ga preizkusite, saj je brezplačen.

Prenesite Numtris brezplačno (na voljo so nakupi v aplikaciji)

GREG — Matematična ugankarska igra

Zanimiva igra za hitrost in sposobnost hitrega seštevanja številk. Na polju 4 x 4 so številke. Vsoto teh števil je treba vtipkati tako, da dobite številko v krogu na vrhu. Takoj, ko je številka zbrana, se spremeni in morate znova izbrati številke. Manj ko uporabljate nekatere številke na igrišču, bolj se segrevajo ... Po 5 takšnih “segrevanjih” se igra lahko konča. Ponastavitev se pojavi po vsaki stopnji. Na koncu vas igra nagradi z naslovom. Lahko izločite "Math Genius"?

Matematičnih ugank je nepredstavljivo veliko. Vsak od njih je edinstven na svoj način, vendar je njihova lepota v tem, da je za rešitev nujno potrebna formula. Seveda jih lahko poskusite rešiti, kot pravijo, vendar bo zelo dolgo in praktično neuspešno.

Ta članek bo govoril o eni od teh ugank, natančneje o čarobnem kvadratu. Podrobno si bomo ogledali, kako rešiti magični kvadrat. 3. razred splošnega izobraževalnega programa, seveda, to gre skozi, vendar morda vsi niso razumeli ali se sploh ne spomnijo.

Kaj je ta skrivnost?

Ali, kot se tudi imenuje, magija, je tabela, v kateri je število stolpcev in vrstic enako, vsi pa so napolnjeni z različnimi številkami. Glavna naloga je, da se te številke navpično, vodoravno in diagonalno seštejejo na isto vrednost.

Poleg magičnega kvadrata obstaja tudi polmagični kvadrat. Pomeni, da je vsota števil enaka samo navpično in vodoravno. Čarobni kvadrat je »normalen« samo, če je bil uporabljen za njegovo zapolnitev.

Obstaja tudi nekaj takega, kot je simetrični magični kvadrat - to je, ko je vrednost vsote dveh števk enaka, medtem ko se nahajajo simetrično glede na sredino.

Pomembno je tudi vedeti, da so lahko polja poljubne velikosti, razen 2 krat 2. Kvadrat 1 krat 1 velja tudi za magičen, saj so izpolnjeni vsi pogoji, čeprav je sestavljen iz ene same številke.

Torej, seznanili smo se z definicijo, zdaj pa se pogovorimo o tem, kako rešiti čarobni kvadrat. Šolski načrt za 3. razred verjetno ne bo razložil vsega tako podrobno kot ta članek.

Kakšne so rešitve?

Tisti, ki znajo rešiti magični kvadrat (razred 3 zagotovo ve), bodo takoj rekli, da obstajajo samo tri rešitve in vsaka od njih je primerna za različne kvadrate, vendar kljub temu ne moremo prezreti četrte rešitve, in sicer »naključno ”. Konec koncev do neke mere obstaja možnost, da bo nevedna oseba še vedno rešila ta problem. Vendar bomo to metodo vrgli v dolgo škatlo in prešli neposredno na formule in metode.

Prvi način. Ko je kvadrat neparen

Ta metoda je primerna samo za reševanje kvadrata, ki ima liho število celic, na primer 3 krat 3 ali 5 krat 5.

Torej, v vsakem primeru je najprej treba najti čarobno konstanto. To je število, ki ga dobimo s seštevanjem števil diagonalno, navpično in vodoravno. Izračuna se po formuli:

V tem primeru bomo obravnavali kvadrat tri krat tri, zato bo formula videti tako (n je število stolpcev):

Torej, pred nami je kvadrat. Prva stvar, ki jo morate narediti, je, da v sredino prve vrstice od zgoraj vnesete številko ena. Vse naslednje številke morajo biti postavljene eno polje v desno diagonalno.

Toda tukaj se takoj pojavi vprašanje: kako rešiti čarobni kvadrat? 3. razred verjetno ne bo uporabil te metode in večina bo imela problem, kako to storiti na ta način, če ta celica ne obstaja? Če želite narediti vse pravilno, morate vklopiti svojo domišljijo in narisati podoben čarobni kvadrat na vrhu in izkazalo se bo, da bo številka 2 v njej v spodnji desni celici. To pomeni, da v našem kvadratu oba vnesemo na isto mesto. To pomeni, da moramo številke vnesti tako, da seštevek znaša 15.

Naslednje številke se vnesejo na popolnoma enak način. To pomeni, da bo 3 v središču prvega stolpca. Toda po tem principu ne bo mogoče vnesti 4, saj je na njegovem mestu že enota. V tem primeru postavite številko 4 pod 3 in nadaljujte. 5 je v sredini kvadrata, 6 je v zgornjem desnem kotu, 7 je pod 6, 8 je zgoraj levo in 9 je v sredini spodnje vrstice.

Zdaj veste, kako rešiti čarobni kvadrat. Opravil sem 3. razred Demidova, vendar je imel ta avtor nekoliko enostavnejše naloge, a če poznaš to metodo, boš lahko rešil kateri koli podoben problem. Ampak to je, če je število stolpcev liho. Kaj pa storiti, če imamo na primer kvadrat 4 krat 4? Več o tem v nadaljevanju besedila.

Drugi način. Za dvojni paritetni kvadrat

Kvadrat z dvojno pariteto je tisti, katerega število stolpcev je mogoče deliti z 2 in 4. Zdaj bomo obravnavali kvadrat 4 krat 4.

Torej, kako rešiti čarobni kvadrat (3. razred, Demidov, Kozlov, Tonkikh - naloga v učbeniku matematike), ko je število njegovih stolpcev 4? In to je zelo preprosto. Lažje kot prejšnji primer.

Najprej najdemo čarobno konstanto z isto formulo, ki je bila dana zadnjič. V tem primeru je število 34. Zdaj moramo številke razporediti tako, da bo vsota navpično, vodoravno in diagonalno enaka.

Najprej morate prebarvati nekaj celic, to lahko storite s svinčnikom ali v svoji domišljiji. Prebarvamo vse vogale, to je zgornjo levo celico in zgornjo desno, spodnjo levo in spodnjo desno. Če bi bil kvadrat 8 krat 8, potem ne bi smeli prebarvati enega kvadrata v kotu, ampak štiri, ki merijo 2 krat 2.

Zdaj morate pobarvati sredino tega kvadrata, tako da se njegovi vogali dotikajo vogalov že zasenčenih celic. V tem primeru bomo v sredini dobili kvadrat 2 krat 2.

Začnimo ga izpolnjevati. Polnili bomo od leve proti desni, v vrstnem redu kot se nahajajo celice, le vrednost bomo vpisali v osenčene celice. Izkazalo se je, da v zgornjem levem kotu vnesemo 1, v desnem kotu 4, nato pa v osrednji vnesemo 6, 7 in nato 10, 11. Spodnji levi 13 in 16 v desnem polnjenja je jasno.

Preostale celice izpolnimo na enak način, le v padajočem vrstnem redu. Se pravi, ker je bila zadnja vnesena številka 16, potem na vrhu kvadratka napišemo 15. Sledi 14. Nato 12, 9 in tako naprej, kot je prikazano na sliki.

Zdaj poznate drugi način reševanja čarobnega kvadrata. 3. letnik se bo strinjal, da je kvadrat dvojne paritete veliko lažje rešiti kot druge. No, preidemo na zadnjo metodo.

Tretji način. Za kvadrat enojne paritete

Kvadrat enojne paritete je kvadrat, katerega število stolpcev je mogoče deliti z dva, ne pa s štirimi. V tem primeru je to kvadrat 6 krat 6.

Torej, izračunajmo magično konstanto. Enako je 111.

Sedaj moramo naš kvadrat vizualno razdeliti na štiri različne kvadrate 3 krat 3. Dobili boste štiri majhne kvadrate mer 3 krat 3 v enem velikem 6 krat 6. Poimenujmo zgornji levi kvadrat A, spodnji desni - B, zgornji. desni - C in spodnji levi - D.

Zdaj morate rešiti vsak majhen kvadrat s prvo metodo, podano v tem članku. Izkazalo se je, da bodo v kvadratu A številke od 1 do 9, v B - od 10 do 18, v C - od 19 do 27 in D - od 28 do 36.

Ko rešite vse štiri kvadrate, se začne delo na A in D. V kvadratu A je potrebno vizualno ali s svinčnikom poudariti tri celice, in sicer: zgornjo levo, sredinsko in spodnjo levo. Izkazalo se je, da so označene številke 8, 5 in 4. Na enak način morate izbrati kvadrat D (35, 33, 31). Vse, kar je treba storiti, je zamenjati izbrane številke iz polja D v polje A.

Zdaj poznate zadnji način za rešitev čarobnega kvadrata. 3. razredu kvadrat enojne paritete ni najbolj všeč. In to ni presenetljivo, od vseh predstavljenih je najbolj zapleten.

Zaključek

Po branju tega članka ste se naučili rešiti čarobni kvadrat. 3. razred (Moro je avtor učbenika) ponuja podobne probleme z le nekaj zapolnjenimi celicami. Nima smisla obravnavati njegovih primerov, saj s poznavanjem vseh treh metod zlahka rešite vse predlagane težave.

Malokdo je imel matematiko rad v otroštvu, a matematične uganke na spletu vedno postanejo uspešnice, saj njihovo reševanje običajno ne zahteva poglobljenega znanja, zahteva pa iznajdljivost in inovativno razmišljanje. Vabimo vas, da se preizkusite v petih glavnih logičnih ugankah tega leta.

Naloga št. 1

Kumar Ankit je povabil uporabnike Facebooka, naj preštejejo, koliko trikotnikov je prikazanih na njegovi risbi. Skoraj nihče od uporabnikov se ni spopadel z navidez preprosto nalogo štetja številk. Mnogi so blizu pravilnemu odgovoru, a večini manjka malo skrbi.

odgovor:

Znotraj velikega trikotnika je 24 trikotnikov, ni težko prešteti, vendar večina uporabnikov ni bila pozorna na še en trikotnik, skrit v podpisu avtorja. Tako je na sliki skupaj 25 trikotnikov.

Naloga št. 2

Nenavaden problem z dvema rešitvama so uporabnikom spleta ponudili ustvarjalci strani gotumble.com. Po njihovem mnenju je ena rešitev uganke enostavnejša, približno 10% ljudi jo lahko najde, drugo rešitev pa lahko doseže le ena oseba od tisoč. Poskusite sami.

odgovor:

Prva rešitev sestoji iz tega, da vsakemu naslednjemu primeru dodamo rezultat prejšnjega. Torej, če dodamo 5 vsoti 2 in 5, dobimo 12. Če dodamo 12 vsoti 3 in 6, dobimo 21. In tako naprej. V tem primeru bo pravilen odgovor na uganko 40.

In tukaj druga rešitev, ki ga razume samo ena oseba na tisoč, je sestavljen iz seštevanja prve števke primera z zmnožkom dveh števk:

2 + 2*5 = 12, 3 + 3*6 = 21, 8 + 8*11 = 96.

Naloga št. 3

Imamo trikotnik, sestavljen iz štirih delov, a če dele prerazporedimo, je videti kot prazen kvadrat. Kako je to mogoče?

odgovor:

To sploh ni optična prevara. Gre za različne kote naklona hipotenuze rdečega in turkiznega trikotnika - od tod tudi različne velikosti figur.

Naloga št. 4

Kolumnist Guardiana Alex Bellos je bralce povabil k rešitvi naloge, ki je v nekaterih državah del zaključnega izpita iz matematike. Po statističnih podatkih jo reši le ena oseba od 10.

Imamo valj, okoli katerega je štirikrat simetrično ovita nit. Obseg valja je 4 cm, njegova dolžina pa 12 cm. Najti morate dolžino niti.

odgovor:

Naloga se večini šolarjev zdi preveč zapletena, v resnici pa morate le razumeti, da z obračanjem valja na ravnino dobimo navaden pravokotnik s stranicama 4 in 12 cm, ki ga lahko razdelimo na štiri manjše pravokotnike s stranicami. 4 in 3 cm, v tem primeru bo to hipotenuza pravokotnega trikotnika in njegova dolžina v vsaki od štirih številk se lahko izračuna s preprosto šolsko formulo, kot rezultat skupna dolžina niti je 20 centimetrov.

Problem #5

Za konec pa še zadnja matematična uganka, ki je razstrelila družbena omrežja. Po besedah ​​avtorja prispevka prikazuje uganko, ki jo študentje v Singapurju dobijo kot dodatno vprašanje. Sestavljalci uganke predlagajo preučevanje številskega zaporedja in izpolnjevanje štirih praznih okenc z manjkajočimi številkami.

odgovor:

Uporabniki interneta so se dolgo ugankali nad to težavo, vendar se ji niso mogli spopasti niti resni matematiki. In ministrstvo za šolstvo Singapurja se je tej nalogi odreklo, češ da nima nič s tem. Torej je bila uganka najverjetneje le nečija kruta šala.