Ngjarje të papajtueshme dhe të pavarura. Teorema e shumëzimit të probabilitetit. Probabiliteti total i një ngjarjeje

Ne gjithashtu mësuam se si të zgjidhim problemet standarde me ngjarje të pavarura, dhe tani do të pasojë një vazhdim shumë më interesant, i cili jo vetëm që do të na lejojë të zotërojmë materiale të reja, por edhe, ndoshta, të ofrojmë ndihmë praktike të përditshme.

Le të përsërisim shkurtimisht se çfarë është pavarësia e ngjarjeve: ngjarjet janë të PAVARUR nëse probabiliteti i ndonjë prej tyre nuk varet nga ndodhja ose mosndodhja e një ngjarjeje tjetër. Shembulli më i thjeshtë është hedhja e dy monedhave. Probabiliteti i kokave ose bishtave në një monedhë nuk varet në asnjë mënyrë nga rezultati i hedhjes së një monedhe tjetër.

Koncepti i varësisë së ngjarjeve është gjithashtu i njohur për ju dhe është koha t'i hidhni një vështrim më të afërt.

Së pari merrni parasysh grupin tradicional të përbërë nga dy ngjarje: ngjarja është i varur , nëse përveç faktorëve të rastësishëm, probabiliteti i tij varet nga ndodhja ose mosndodhja e ngjarjes. Probabiliteti i një ngjarjeje, i llogaritur nën supozimin se ngjarja tashmë ka ndodhur, thirri probabiliteti i kushtëzuar ndodhja e ngjarjes dhe shënohet me . Në këtë rast, ngjarjet quhen ngjarje të varura (megjithëse, në mënyrë rigoroze, vetëm njëri prej tyre është i varur).

Kartat në dorë:

Problemi 1

Nga një kuvertë prej 36 letrash, 2 letra tërhiqen radhazi. Gjeni probabilitetin që letra e dytë të jetë një zemër nëse më parë:

a) u nxor një krimb;
b) është tërhequr një kartë e një kostum tjetër.

Zgjidhje: merrni parasysh ngjarjen: – karta e dytë do të jetë një zemër. Është absolutisht e qartë se probabiliteti i kësaj ngjarjeje varet nga fakti nëse një krimb është tërhequr apo jo një krimb më herët.

a) Nëse një zemër është tërhequr së pari (ngjarja), atëherë në kuvertë mbeten 35 letra, ndër të cilat tani ka 8 letra të kostumit të zemrës. Nga përkufizimi klasik:
duke pasur parasysh se, se para kësaj është nxjerrë edhe një krimb.

b) Nëse një kartë me një kostum tjetër ishte tërhequr së pari (ngjarje), atëherë të gjitha 9 zemrat mbetën në kuvertë. Nga përkufizimi klasik:
- probabiliteti që karta e dytë të jetë një zemër duke pasur parasysh se se një kartë me një kostum tjetër ishte tërhequr më parë.

Gjithçka është logjike - nëse probabiliteti i tërheqjes së zemrave nga një kuvertë e plotë është , atëherë kur të tërhiqet karta tjetër, një probabilitet i ngjashëm do të ndryshojë: në rastin e parë, ajo do të ulet (sepse ka më pak zemra), dhe në të dytën do të rritet: (pasi të gjitha zemrat mbetën në kuvertë).

Përgjigju:

Sigurisht, mund të ketë më shumë ngjarje të varura. Ndërsa problemi është ende i ngrohtë, le të shtojmë edhe një gjë: - me kartonin e tretë do të tërhiqet një zemër. Supozoni se ka ndodhur ngjarja dhe më pas ngjarja; atëherë kanë mbetur 34 letra në kuvertë, duke përfshirë 7 zemra. Nga përkufizimi klasik:
- probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje duke pasur parasysh se se dy zemra ishin vizatuar më parë.

Për trajnim të pavarur:

Problemi 2

Zarfi përmban 10 bileta lotarie, duke përfshirë 3 fituese. Biletat hiqen në mënyrë të njëpasnjëshme nga zarfi. Gjeni probabilitetet që:

a) bileta e dytë e tërhequr do të jetë fituese nëse e para ishte fituese;
b) i treti do të jetë fitues nëse fitonin dy biletat e mëparshme;
c) E katërta do të jetë fituese nëse biletat e mëparshme ishin fituese.

Një zgjidhje e shkurtër me komente në fund të mësimit.

Tani le t'i kushtojmë vëmendje një pike thelbësisht të rëndësishme: në shembujt e konsideruar, ishte e nevojshme të gjendeshin vetëm probabilitete të kushtëzuara, ndërsa ngjarjet e mëparshme konsideroheshin se kishin ndodhur në mënyrë të besueshme. Por në realitet ato janë edhe të rastësishme! Kështu, në një detyrë "të ndezur", tërheqja e zemrave nga një kuvertë e plotë është një ngjarje e rastësishme, probabiliteti i së cilës është i barabartë me .

Në praktikë, është shumë më shpesh e nevojshme të gjendet probabiliteti bashkëndodhja ngjarje të varura. Si, për shembull, të gjesh probabilitetin e një ngjarjeje të përbërë nga një kuvertë e plotë do krimbi i nxjerrë Dhe pastaj një zemër tjetër? Përgjigja për këtë pyetje është dhënë nga

teorema për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të varura: probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të dy ngjarjeve të varura është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej tyre me probabilitetin e kushtëzuar të tjetrës, e llogaritur nën supozimin se ngjarja e parë ka ndodhur tashmë:

Në rastin tonë:
– probabiliteti që 2 zemra të tërhiqen me radhë nga një kuvertë e plotë.

Po kështu:
– probabiliteti që së pari të tërhiqet një kartë e një kostum tjetër Dhe pastaj një zemër.

Probabiliteti i ngjarjes doli të ishte dukshëm më i madh se probabiliteti i ngjarjes, i cili në përgjithësi ishte i dukshëm pa asnjë llogaritje.

Dhe, sigurisht, nuk keni nevojë të keni ndonjë shpresë të veçantë nga një zarf me dhjetë bileta lotarie (Detyra 2) ju do të tërheqni 3 bileta fituese radhazi:
, megjithatë, ky është ende një shans bujar.

Po, kjo është absolutisht e drejtë - teorema për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të varura shtrihet natyrshëm në një numër më të madh të tyre.

Le të konsolidojmë materialin me disa shembuj tipikë:

Problemi 3

Në urnë ka 4 topa të bardhë dhe 7 të zinj. Nga urna nxirren dy topa në mënyrë të rastësishme, njëri pas tjetrit, pa i zëvendësuar ato. Gjeni probabilitetin që:

a) të dy topat do të jenë të bardhë;
b) të dy topat do të jenë të zinj;
c) fillimisht do të vizatohet topi i bardhë dhe më pas ai i zi.

Vini re kualifikuesin "pa i rikthyer ato". Ky koment thekson më tej faktin se ngjarjet janë të varura. Në të vërtetë, çka nëse topat e nxjerrë kthehen? Në rastin e kampionimit të kthimit, probabilitetet për të vizatuar një top bardh e zi nuk do të ndryshojnë, dhe në një problem të tillë tashmë duhet të udhëhiqet teorema e shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të PAVARUR.

Zgjidhje: gjithsej në urnë: 4 + 7 = 11 topa. Shko:

a) Merrni parasysh ngjarjet - topi i parë do të jetë i bardhë, - topi i dytë do të jetë i bardhë dhe gjeni probabilitetin e ngjarjes që topi i parë të jetë i bardhë Dhe E dyta e bardhë.

Sipas përkufizimit klasik të probabilitetit: . Supozoni se topi i bardhë është hequr, atëherë do të mbeten 10 topa në urnë, duke përfshirë 3 të bardhë, prandaj:
– probabiliteti i tërheqjes së një topi të bardhë në provën e dytë, me kusht që një top i bardhë të ishte tërhequr më parë.

– probabiliteti që të dy topat të jenë të bardhë.

b) Gjeni probabilitetin e ngjarjes që topi i parë të jetë i zi Dhe 2 e zezë

Sipas përkufizimit klasik: – probabiliteti që në provën e parë të tërhiqet një top i zi. Lëreni të vizatohet një top i zi, atëherë do të mbeten 10 topa në urnë, duke përfshirë 6 topa të zinj, prandaj: – probabiliteti që në provën e dytë të tërhiqet një top i zi, me kusht që më parë të jetë tërhequr një top i zi.

Sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të varura:
– probabiliteti që të dy topat të jenë të zinj.

c) Gjeni probabilitetin e ngjarjes (topi i bardhë do të vizatohet i pari Dhe pastaj e zezë)

Pas heqjes së topit të bardhë (me probabilitet ) në urnë do të mbeten 10 topa, duke përfshirë 3 të bardhë dhe 7 të zinj, pra: – probabiliteti që në provën e dytë të tërhiqet një top i zi, me kusht që të jetë tërhequr një top i bardhë. përpara.

Sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të varura:
- probabiliteti i dëshiruar.

Përgjigju:

Ky problem mund të kontrollohet lehtësisht duke përdorur teorema për mbledhjen e probabiliteteve të ngjarjeve duke formuar një grup të plotë. Për ta bërë këtë, gjejmë probabilitetin e ngjarjes së 4-të që mungon: – se topi i zi do të vizatohet i pari Dhe pastaj e bardhë.

Ngjarjet formojnë një grup të plotë, kështu që shuma e probabiliteteve të tyre duhet të jetë e barabartë me një:
, e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.

Dhe unë sugjeroj menjëherë të kontrolloni se sa mirë e keni zotëruar materialin e paraqitur:

Problemi 4

Sa është probabiliteti që dy ace të tërhiqen me radhë nga një kuvertë me 36 letra?

Problemi 5

Në urnë ka 6 topa të zinj, 5 të kuq dhe 4 të bardhë. Tre topa vizatohen radhazi. Gjeni probabilitetin që

a) topi i tretë do të dalë i bardhë nëse më parë janë tërhequr një top i zi dhe një i kuq;
b) topi i parë do të jetë i zi, i dyti - i kuq dhe i treti - i bardhë.

Zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Duhet thënë se shumë nga problemet në shqyrtim mund të zgjidhen në një mënyrë tjetër, por për të shmangur konfuzionin, ndoshta do të hesht fare për këtë.

Ndoshta të gjithë e kanë vënë re se ngjarjet e varura lindin në rastet kur kryhet një zinxhir i caktuar veprimesh. Megjithatë, sekuenca e veprimeve në vetvete nuk garanton varësinë e ngjarjeve. Le të, për shembull, një student t'u përgjigjet pyetjeve të disa testeve në mënyrë të rastësishme - megjithëse këto ngjarje ndodhin njëra pas tjetrës, por mosnjohja e përgjigjes së një pyetjeje nuk varet në asnjë mënyrë nga mosnjohja e përgjigjeve të tjera =) Edhe pse, natyrisht, ka modele këtu =) Pastaj një shembull krejtësisht i thjeshtë me hedhje të përsëritur të një monedhe - ky proces magjepsës quhet madje kështu: teste të përsëritura të pavarura.

U përpoqa sa të mundja ta vonoja këtë moment dhe të zgjidhja shembuj të ndryshëm, por nëse kishte probleme teorema e shumëzimit për ngjarje të pavarura qitësit janë në krye, atëherë këtu ka një pushtim të vërtetë të urnave me topa =) Prandaj, nuk ka shpëtim - përsëri një urnë:

Problemi 6

Nga një urnë që përmban 6 topa të bardhë dhe 4 të zinj, nxirren tre topa në mënyrë të rastësishme, njëri pas tjetrit. Gjeni probabilitetin që:

a) të tre topat do të jenë të zinj;
b) do të ketë të paktën dy topa të zinj.

Zgjidhje:total: 6 + 4 = 10 topa në urnë.

Do të ketë shumë ngjarje në këtë detyrë, dhe në këtë drejtim është më e këshillueshme të përdorni një stil të përzier dizajni, duke treguar vetëm ngjarjet kryesore me shkronja të mëdha. Shpresoj se tashmë e kuptoni parimin me të cilin llogariten probabilitetet e kushtëzuara.

a) Merrni parasysh ngjarjen: – të tre topat do të jenë të zinj.

Sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të varura:

b) Pika e dytë është më interesante, merrni parasysh ngjarjen: – do të ketë të paktën dy topa të zinj. Kjo ngjarje përbëhet nga 2 rezultate të papajtueshme: ose të gjithë topat do të jenë të zinj (ngjarje) ose 2 topa do të jenë të zinj dhe 1 i bardhë - le të shënojmë ngjarjen e fundit me shkronjën .

Ngjarja përfshin 3 rezultate të papajtueshme:

në testin e parë u nxorr e bardha Dhe në të 2-tën Dhe në testet e 3-të - topa të zinj
ose
Dhe në 2 – BS Dhe në të 3 – ChS
ose
në testin e parë u nxor BS Dhe në 2 – ChS Dhe në 3 – BS.

Të interesuarit mund të njihen me shembuj më të vështirë nga koleksion nga Chudesenko, në të cilin transferohen disa topa. Për tifozët specialë, unë ofroj detyra me kompleksitet të shtuar kombinimi - me dy lëvizje të njëpasnjëshme të topave nga urna e 1-rë në 2-të, nga e dyta në të 3-tën dhe nxjerrjen përfundimtare të topit nga urna e fundit - shikoni problemet më të fundit në dosje Probleme shtesë mbi teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit. Nga rruga, ka shumë detyra të tjera interesante atje.

Dhe në fund të këtij artikulli, ne do të analizojmë problemin më interesant me të cilin ju joshë në mësimin e parë =) Ne as nuk do ta analizojmë atë, por do të bëjmë një studim të vogël praktik. Llogaritjet në përgjithësi do të jenë shumë të rënda, kështu që le të shqyrtojmë një shembull specifik:

Petya merr një provim në teorinë e probabilitetit, dhe ai njeh 20 bileta mirë dhe 10 keq. Supozoni se në ditën e parë një pjesë e grupit, për shembull, 16 persona, përfshirë heroin tonë, marrin provimin. Në përgjithësi, situata është e njohur me dhimbje: studentët, njëri pas tjetrit, hyjnë në klasë dhe nxjerrin biletat.

Është e qartë se marrja e njëpasnjëshme e biletave përfaqëson një zinxhir ngjarjesh të varura dhe një urgjente pyetje: Në cilin rast Petya ka më shumë gjasa të marrë një biletë "të mirë" - nëse shkon "në rreshtin e parë", ose nëse shkon "në mes", ose nëse është ndër të fundit që nxjerr një biletë? Kur është koha më e mirë për të ardhur?

Së pari, le të shqyrtojmë një situatë "eksperimentalisht të pastër" në të cilën Petya i mban shanset e tij konstante - ai nuk merr informacion se çfarë pyetjesh kanë marrë tashmë shokët e tij të klasës, ai nuk mëson asgjë në korridor, duke pritur radhën e tij, etj.

Le të shqyrtojmë ngjarjen: - Petya do të jetë i pari që do të hyjë në audiencë dhe do të nxjerrë një biletë "të mirë". Sipas përkufizimit klasik të probabilitetit: .

Si do të ndryshojë probabiliteti për të marrë një biletë të suksesshme nëse studenti i shkëlqyer Nastya kalon përpara? Në këtë rast, dy hipoteza jokonsistente janë të mundshme:

- Nastya do të nxjerrë një biletë "të mirë" (për Petya);
- Nastya do të tërheqë një biletë "të keqe", d.m.th. do të rrisë shanset e Petya.

Ngjarja (Petya do të vijë në vendin e dytë dhe do të marrë një biletë "të mirë") bëhet i varur.

1) Supozoni se Nastya është me probabilitet "vodhi" një biletë me fat nga Petya. Më pas në tavolinë do të mbeten 29 bileta, ndër të cilat 19 janë “të mira”. Sipas përkufizimit klasik të probabilitetit:

2) Tani supozoni se Nastya me probabilitet "shpëtoi" Petya nga bileta e parë "e keqe". Më pas në tavolinë do të mbeten edhe 29 bileta, ndër të cilat mbeten edhe 20 “të mira”. Sipas përkufizimit klasik:

Duke përdorur teoremat e shtimit të probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme dhe duke shumëzuar probabilitetet e ngjarjeve të varura, ne llogarisim probabilitetin që Petya të nxjerrë një biletë "të mirë", duke qenë i dyti në rresht:

Probabiliteti... mbetet i njëjtë! Mirë, le të shqyrtojmë ngjarjen: - Petya do të shkojë i treti, duke lënë Nastya dhe Lena të shkojnë përpara dhe të nxjerrin një biletë "të mirë".

Këtu do të ketë më shumë hipoteza: zonjat mund t'i "grabitin" një zotëri 2 bileta të suksesshme, ose anasjelltas - ta shpëtojnë atë nga 2 të pasuksesshme, ose të nxjerrin 1 biletë "të mirë" dhe 1 "të keqe". Nëse kryejmë arsyetime të ngjashme dhe përdorim të njëjtat teorema, atëherë... do të marrim të njëjtën vlerë probabiliteti!

Kështu, nga një këndvështrim thjesht matematikor, pa marrë parasysh se kur të shkohet, probabilitetet fillestare do të mbeten të pandryshuara. POR. Ky është vetëm një vlerësim mesatar teorik, kështu që, për shembull, nëse Petya shkon i fundit, kjo nuk do të thotë aspak se ai do të ketë 10 bileta "të mira" dhe 5 "të këqija" për të zgjedhur në përputhje me shanset e tij fillestare. Ky raport mund të ndryshojë për mirë ose për keq, por ende nuk ka gjasa që midis biletave të ketë "një falas", ose anasjelltas - "tmerr i pastër". Edhe pse nuk përjashtohen rastet “unike”, nuk ka ende 3 milionë bileta lotarie me probabilitet pothuajse zero për një fitore të madhe. Prandaj, "fat i jashtëzakonshëm" ose "fati i keq" do të ishin deklarata shumë të ekzagjeruara. Edhe nëse Petya di vetëm 3 bileta nga 30, atëherë shanset e tij janë 10%, që është dukshëm më e lartë se zero. Dhe nga përvoja personale do t'ju them rastin e kundërt: gjatë provimit gjeometria analitike I dija mirë 24 pyetje nga 28, kështu që në biletë hasa në dy pyetje "të këqija"; Llogaritni vetë probabilitetin e kësaj ngjarje :)

Matematika dhe "eksperimenti i pastër" janë të mira, por cilat strategji dhe taktika janë akoma më fitimprurëse për t'u ndjekur? në kushte reale? Natyrisht, duhet të merren parasysh faktorët subjektivë, për shembull, "zbritja" e mësuesit për "trimat" ose lodhja e tij në fund të provimit. Shpesh këta faktorë mund të jenë edhe vendimtarë, por në diskutimet përfundimtare do të përpiqem të mos i zvogëloj aspektet shtesë probabilistike:

Nëse jeni të përgatitur mirë për provimin, atëherë ndoshta është më mirë të shkoni "në ballë". Ndërsa ekziston një grup i plotë biletash, postulati " ngjarje të pamundura nuk ndodhin"funksionon për ju në një masë shumë më të madhe. Pajtohu se është shumë më e këndshme të kesh raportin "30 bileta, duke përfshirë 2 të këqija" sesa "15 bileta, përfshirë 2 të këqija". Dhe fakti që dy bileta të pasuksesshme në një provim të veçantë (dhe jo sipas vlerësimit mesatar teorik!) ata do të mbeten në tryezë - është mjaft e mundur.

Tani le të shqyrtojmë "situatën e Petya" - kur studenti është i përgatitur për provimin mjaft mirë, por nga ana tjetër, ai gjithashtu "noton" mirë. Me fjalë të tjera, "ai di më shumë sesa nuk di". Në këtë rast, këshillohet që 5-6 persona të shkojnë përpara dhe të presin momentin e duhur jashtë audiencës. Veproni sipas situatës. Shumë shpejt do të fillojnë të vijnë informacione se çfarë lloj biletash kanë nxjerrë shokët e klasës. (ngjarje të varura përsëri!) , dhe nuk duhet të shpenzoni më energji në pyetjet "të luajtura" - mësoni dhe përsëritni biletat e tjera, duke rritur kështu probabilitetin fillestar të suksesit tuaj. Nëse "grumi i parë" i të ekzaminuarve "ju shpëtoi" nga 3-4 bileta të vështira (për ju personalisht) menjëherë, atëherë është më fitimprurëse të arrini në provim sa më shpejt që të jetë e mundur - tani shanset janë rritur ndjeshëm. Mundohuni të mos e humbisni momentin - vetëm disa njerëz lënë përpara, dhe përparësia ka shumë të ngjarë të shkrihet. Nëse, përkundrazi, ka pak bileta "të këqija", prisni. Pas disa njerëzve, kjo "anomali" është përsëri, me një probabilitet të lartë, nëse nuk zhduket, atëherë do të zbutet për mirë. Në rastin e “zakonshëm” dhe më të zakonshëm, ka edhe një përfitim: raporti “24 bileta/8 të këqija” do të jetë më i mirë se raporti “30 bileta/10 të këqija”. Pse? Nuk ka më dhjetë bileta të vështira, por tetë! Po studiojmë materialin me energji të dyfishuar!

Nëse jeni të përgatitur pa marrë parasysh ose dobët, atëherë sigurisht që është më mirë të shkoni në "rreshtat e fundit" (megjithëse zgjidhjet origjinale janë gjithashtu të mundshme, veçanërisht nëse nuk ka asgjë për të humbur). Ekziston një probabilitet i vogël, por gjithsesi jo zero që do të mbeteni me pyetje relativisht të thjeshta + grumbullim shtesë + nxitje që do të jepen nga shokët e tjerë që kanë qëlluar =) Dhe, po - në një situatë shumë kritike ekziston ende ditën tjetër, kur pjesa e dytë e grupit jep provimin;-)

Ka ngjarje të varura dhe të pavarura. Dy ngjarje quhen të pavarura nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin e shfaqjes së tjetrës. Për shembull, nëse në një punishte funksionojnë dy linja automatike, të cilat nuk janë të ndërlidhura për shkak të kushteve të prodhimit, atëherë ndalesat e këtyre linjave janë ngjarje të pavarura.

Quhen disa ngjarje kolektivisht të pavarur, nëse ndonjëra prej tyre nuk varet nga ndonjë ngjarje tjetër dhe nga ndonjë kombinim i të tjerave.

Ngjarjet quhen i varur, nëse njëri prej tyre ndikon në probabilitetin e tjetrit. Për shembull, dy fabrika prodhuese janë të lidhura me një cikël të vetëm teknologjik. Atëherë probabiliteti i dështimit të njërit prej tyre varet nga gjendja e tjetrit. Probabiliteti i një ngjarje B, i llogaritur duke supozuar ndodhjen e një ngjarje tjetër A, quhet probabiliteti i kushtëzuar ngjarjet B dhe shënohen me P(A|B).

Kushti për pavarësinë e ngjarjes B nga ngjarja A shkruhet si P(B|A)=P(B), dhe kushti për varësinë e saj si P(B|A)≠P(B).

Probabiliteti i një ngjarjeje në testet e Bernoulli. formula e Poisson-it.

Teste të përsëritura të pavarura, Testet e Bernulit ose qarku i Bernulit teste të tilla quhen nëse për çdo test ka vetëm dy rezultate - ndodhja e ngjarjes A ose dhe probabiliteti i këtyre ngjarjeve mbetet i pandryshuar për të gjitha testet. Ky dizajn i thjeshtë i testit të rastësishëm ka një rëndësi të madhe në teorinë e probabilitetit.

Shembulli më i famshëm i testeve të Bernoulli-t është eksperimenti me hedhjen e njëpasnjëshme të një monedhe të drejtë (simetrike dhe uniforme), ku ngjarja A është humbja, për shembull, e një "steme" ("bishtet").

Le të jetë e barabartë në disa eksperimente probabiliteti i ngjarjes A me P(A)=p, atëherë , ku p+q=1. Le ta kryejmë eksperimentin n herë, duke supozuar se sprovat individuale janë të pavarura, që do të thotë se rezultati i ndonjërit prej tyre nuk lidhet me rezultatet e provave të mëparshme (ose të mëvonshme). Le të gjejmë probabilitetin e ndodhjes së ngjarjeve A saktësisht k herë, le të themi vetëm në k provat e para. Le të jetë ngjarja që në n prova ngjarja A do të shfaqet saktësisht k herë në sprovat e para. Ngjarja mund të përfaqësohet si

Meqenëse ne supozuam se eksperimentet ishin të pavarura, atëherë

41)[faqe 2] Nëse e bëjmë pyetjen për ndodhjen e ngjarjes A k herë në n prova në mënyrë të rastësishme, atëherë ngjarja mund të paraqitet në formën

Numri i termave të ndryshëm në anën e djathtë të kësaj barazie është i barabartë me numrin e provave nga n në k, prandaj probabiliteti i ngjarjeve që do të shënojmë është i barabartë me

Sekuenca e ngjarjeve formon një grup të plotë ngjarjesh të pavarura . Në të vërtetë, nga pavarësia e ngjarjeve marrim

Nuk ka gjasa që shumë njerëz të mendojnë nëse është e mundur të llogariten ngjarje që janë pak a shumë të rastësishme. Me fjalë të thjeshta, a është e mundur të dihet se cila anë e kubit do të dalë më pas? Pikërisht këtë pyetje i bënë vetes dy shkencëtarë të mëdhenj, të cilët hodhën themelet për një shkencë të tillë si teoria e probabilitetit, në të cilën probabiliteti i një ngjarjeje studiohet mjaft gjerësisht.

Origjina

Nëse përpiqeni të përcaktoni një koncept të tillë si teoria e probabilitetit, do të merrni sa vijon: kjo është një nga degët e matematikës që studion qëndrueshmërinë e ngjarjeve të rastësishme. Sigurisht, ky koncept nuk zbulon në të vërtetë të gjithë thelbin, kështu që është e nevojshme ta shqyrtojmë atë më në detaje.

Do të doja të filloja me krijuesit e teorisë. Siç u përmend më lart, kishte dy prej tyre, dhe ata ishin një nga të parët që u përpoqën të llogaritnin rezultatin e kësaj apo asaj ngjarjeje duke përdorur formula dhe llogaritjet matematikore. Në përgjithësi, fillimet e kësaj shkence u shfaqën në mesjetë. Në atë kohë, mendimtarë dhe shkencëtarë të ndryshëm u përpoqën të analizonin lojërat e lojërave të fatit, të tilla si ruleta, katrahurat, etj., duke përcaktuar kështu modelin dhe përqindjen e rënies së një numri të caktuar. Themeli u hodh në shekullin e shtatëmbëdhjetë nga shkencëtarët e lartpërmendur.

Në fillim, veprat e tyre nuk mund të konsideroheshin arritje të mëdha në këtë fushë, sepse gjithçka që ata bënë ishin thjesht fakte empirike dhe eksperimentet kryheshin vizualisht, pa përdorur formula. Me kalimin e kohës u arrit të arriheshin rezultate të shkëlqyera, të cilat u shfaqën si rezultat i vëzhgimit të hedhjes së zareve. Ishte ky mjet që ndihmoi në nxjerrjen e formulave të para të kuptueshme.

Njerëz me mendje të njëjtë

Është e pamundur të mos përmendet një person i tillë si Christiaan Huygens në procesin e studimit të një teme të quajtur "teoria e probabilitetit" (probabiliteti i një ngjarjeje mbulohet pikërisht në këtë shkencë). Ky person është shumë interesant. Ai, si shkencëtarët e paraqitur më lart, u përpoq të nxirrte modelin e ngjarjeve të rastësishme në formën e formulave matematikore. Vlen të përmendet se ai nuk e bëri këtë së bashku me Pascal dhe Fermat, domethënë të gjitha veprat e tij nuk kryqëzoheshin me këto mendje. Huygens konkludoi

Një fakt interesant është se puna e tij doli shumë përpara rezultateve të punës së zbuluesve, ose më saktë, njëzet vjet më parë. Ndër konceptet e identifikuara, më të famshmit janë:

koncepti i probabilitetit si vlerë e rastësisë;
pritjet matematikore për raste diskrete;
teoremat e shumëzimit dhe mbledhjes së probabiliteteve.

Është gjithashtu e pamundur të mos kujtohet se kush dha gjithashtu një kontribut të rëndësishëm në studimin e problemit. Duke kryer testet e tij, pavarësisht nga kushdo, ai ishte në gjendje të paraqiste një provë të ligjit të numrave të mëdhenj. Nga ana tjetër, shkencëtarët Poisson dhe Laplace, të cilët punuan në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë, ishin në gjendje të vërtetonin teoremat origjinale. Ishte nga ky moment që teoria e probabilitetit filloi të përdoret për të analizuar gabimet në vëzhgime. Shkencëtarët rusë, ose më mirë Markov, Chebyshev dhe Dyapunov, nuk mund ta injoronin këtë shkencë. Bazuar në punën e bërë nga gjenitë e mëdhenj, ata e themeluan këtë lëndë si degë të matematikës. Këto shifra funksionuan tashmë në fund të shekullit të nëntëmbëdhjetë dhe falë kontributit të tyre u vërtetuan fenomenet e mëposhtme:

ligji i numrave të mëdhenj;
teoria e zinxhirit Markov;
teorema e kufirit qendror.

Pra, me historinë e lindjes së shkencës dhe me njerëzit kryesorë që ndikuan në të, gjithçka është pak a shumë e qartë. Tani ka ardhur koha për të sqaruar të gjitha faktet.

Konceptet Bazë

Para se të prekim ligjet dhe teoremat, ia vlen të studiohen konceptet themelore të teorisë së probabilitetit. Ngjarja luan një rol kryesor në të. Kjo temë është mjaft voluminoze, por pa të nuk do të jetë e mundur të kuptohet gjithçka tjetër.

Një ngjarje në teorinë e probabilitetit është çdo grup rezultatesh të një eksperimenti. Ka mjaft koncepte të këtij fenomeni. Kështu, shkencëtari Lotman, që punon në këtë fushë, tha se në këtë rast po flasim për atë që "ndodhi, megjithëse mund të mos kishte ndodhur".

Ngjarjet e rastësishme (teoria e probabilitetit i kushton vëmendje të veçantë) është një koncept që nënkupton absolutisht çdo fenomen që ka mundësi të ndodhë. Ose, anasjelltas, ky skenar mund të mos ndodhë nëse plotësohen shumë kushte. Vlen gjithashtu të dihet se janë ngjarje të rastësishme ato që kapin të gjithë vëllimin e fenomeneve që kanë ndodhur. Teoria e probabilitetit tregon se të gjitha kushtet mund të përsëriten vazhdimisht. Është sjellja e tyre që quhet "përvojë" ose "test".

Një ngjarje e besueshme është një fenomen që ka njëqind për qind gjasa të ndodhë në një test të caktuar. Prandaj, një ngjarje e pamundur është ajo që nuk do të ndodhë.

Kombinimi i një çifti veprimesh (me kusht, rasti A dhe rasti B) është një fenomen që ndodh njëkohësisht. Ata janë caktuar si AB.

Shuma e çifteve të ngjarjeve A dhe B është C, me fjalë të tjera, nëse të paktën njëra prej tyre ndodh (A ose B), atëherë do të fitohet C. Formula për fenomenin e përshkruar është shkruar si më poshtë: C = A + B.

Ngjarjet e papajtueshme në teorinë e probabilitetit nënkuptojnë se dy raste janë reciprokisht ekskluzive. Në asnjë rrethanë nuk mund të ndodhin në të njëjtën kohë. Ngjarjet e përbashkëta në teorinë e probabilitetit janë antipodi i tyre. Ajo që nënkuptohet këtu është se nëse A ka ndodhur, atëherë ajo nuk e pengon B në asnjë mënyrë.

Ngjarjet e kundërta (teoria e probabilitetit i konsideron ato në detaje) janë të lehta për t'u kuptuar. Mënyra më e mirë për t'i kuptuar ato është krahasimi. Ato janë pothuajse të njëjta me ngjarjet e papajtueshme në teorinë e probabilitetit. Por ndryshimi i tyre qëndron në faktin se një nga shumë fenomene duhet të ndodhë në çdo rast.

Ngjarje po aq të mundshme janë ato veprime, përsëritja e të cilave është e barabartë. Për ta bërë më të qartë, mund të imagjinoni hedhjen e një monedhe: humbja e njërës anë të saj ka po aq gjasa të bjerë nga tjetra.

Është më e lehtë të merret në konsideratë një ngjarje e mbarë me një shembull. Le të themi se ka një episod B dhe një episod A. E para është hedhja e zarit me një numër tek që shfaqet dhe e dyta është shfaqja e numrit pesë në peshore. Pastaj rezulton se A favorizon B.

Ngjarjet e pavarura në teorinë e probabilitetit projektohen vetëm në dy ose më shumë raste dhe nënkuptojnë pavarësinë e çdo veprimi nga një tjetër. Për shembull, A është humbja e kokave kur hedh një monedhë, dhe B është tërheqja e një krike nga kuverta. Ato janë ngjarje të pavarura në teorinë e probabilitetit. Në këtë pikë u bë më e qartë.

Ngjarjet e varura në teorinë e probabilitetit janë gjithashtu të lejueshme vetëm për një grup prej tyre. Ato nënkuptojnë varësinë e njërës nga tjetra, domethënë, fenomeni B mund të ndodhë vetëm nëse A ka ndodhur tashmë ose, anasjelltas, nuk ka ndodhur, kur ky është kushti kryesor për B.

Rezultati i një eksperimenti të rastësishëm i përbërë nga një komponent është ngjarje elementare. Teoria e probabilitetit shpjegon se ky është një fenomen që ka ndodhur vetëm një herë.

Formulat bazë

Pra, konceptet e "ngjarjes" dhe "teorisë së probabilitetit" u diskutuan më lart; u dha gjithashtu një përkufizim i termave bazë të kësaj shkence. Tani është koha për t'u njohur drejtpërdrejt me formulat e rëndësishme. Këto shprehje konfirmojnë matematikisht të gjitha konceptet kryesore në një lëndë kaq komplekse si teoria e probabilitetit. Mundësia e një ngjarjeje gjithashtu luan një rol të madh këtu.

Është më mirë të filloni me ato themelore dhe para se të filloni me to, ia vlen të merrni parasysh se cilat janë ato.

Kombinatorika është kryesisht një degë e matematikës; ajo merret me studimin e një numri të madh numrash të plotë, si dhe ndërrime të ndryshme si të vetë numrave ashtu edhe të elementeve të tyre, të dhëna të ndryshme, etj., Duke çuar në shfaqjen e një numri kombinimesh. Përveç teorisë së probabilitetit, kjo degë është e rëndësishme për statistikat, shkencat kompjuterike dhe kriptografinë.

Pra, tani mund të kalojmë në paraqitjen e vetë formulave dhe përkufizimin e tyre.

E para prej tyre do të jetë shprehja për numrin e permutacioneve, duket kështu:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ekuacioni zbatohet vetëm nëse elementët ndryshojnë vetëm në rendin e renditjes së tyre.

Tani formula e vendosjes do të merret parasysh, duket kështu:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Kjo shprehje është e zbatueshme jo vetëm për rendin e vendosjes së elementit, por edhe për përbërjen e tij.

Ekuacioni i tretë nga kombinatorika, dhe është gjithashtu i fundit, quhet formula për numrin e kombinimeve:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

Një kombinim i referohet zgjedhjeve që nuk janë të renditura; në përputhje me rrethanat, ky rregull zbatohet për to.

Ishte e lehtë për të kuptuar formulat e kombinatorikës; tani mund të kaloni në përkufizimin klasik të probabiliteteve. Kjo shprehje duket si kjo:

Në këtë formulë, m është numri i kushteve të favorshme për ngjarjen A, dhe n është numri i absolutisht të gjitha rezultateve elementare dhe po aq të mundshme.

Ka një numër të madh shprehjesh; artikulli nuk do t'i mbulojë të gjitha, por do të preken më të rëndësishmet, siç është, për shembull, probabiliteti i shumës së ngjarjeve:

P(A + B) = P(A) + P(B) - kjo teoremë është për të shtuar vetëm ngjarje të papajtueshme;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - dhe kjo është për të shtuar vetëm ato të përputhshme.

Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - kjo teoremë është për ngjarje të pavarura;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - dhe kjo është për të varurit.

Lista e ngjarjeve do të plotësohet me formulën e ngjarjeve. Teoria e probabilitetit na tregon për teoremën e Bayes, e cila duket si kjo:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Në këtë formulë, H 1, H 2, ..., H n është një grup i plotë hipotezash.

Shembuj

Nëse studioni me kujdes ndonjë seksion të matematikës, ai nuk është i plotë pa ushtrime dhe zgjidhje mostrash. Kështu është edhe teoria e probabilitetit: ngjarjet dhe shembujt këtu janë një komponent integral që konfirmon llogaritjet shkencore.

Formula për numrin e permutacioneve

Le të themi se ka tridhjetë letra në një kuvertë letrash, duke filluar me një vlerë. Pyetja e radhës. Sa mënyra ka për të grumbulluar kuvertën në mënyrë që letrat me vlerën një dhe dy të mos jenë pranë njëra-tjetrës?

Detyra është vendosur, tani le të kalojmë në zgjidhjen e saj. Së pari ju duhet të përcaktoni numrin e permutacioneve të tridhjetë elementeve, për këtë marrim formulën e paraqitur më sipër, rezulton P_30 = 30!.

Bazuar në këtë rregull, ne zbulojmë se sa opsione ka për të palosur kuvertën në mënyra të ndryshme, por duhet të zbresim prej tyre ato në të cilat kartat e para dhe të dyta janë pranë njëra-tjetrës. Për ta bërë këtë, le të fillojmë me opsionin kur i pari është mbi të dytin. Rezulton se letra e parë mund të zërë njëzet e nëntë vende - nga e para në të njëzet e nëntën, dhe letra e dytë nga e dyta në të tridhjetën, duke bërë gjithsej njëzet e nëntë vende për një palë letra. Nga ana tjetër, pjesa tjetër mund të pranojë njëzet e tetë vende, dhe në çdo mënyrë. Kjo do të thotë, për të riorganizuar njëzet e tetë letra, ka njëzet e tetë opsione P_28 = 28!

Si rezultat, rezulton se nëse marrim parasysh zgjidhjen kur letra e parë është mbi të dytin, do të ketë 29 ⋅ 28 mundësi shtesë! = 29!

Duke përdorur të njëjtën metodë, duhet të llogaritni numrin e opsioneve të tepërta për rastin kur karta e parë është nën të dytin. Gjithashtu rezulton të jetë 29 ⋅ 28! = 29!

Nga kjo rezulton se ka 2 ⋅ 29 opsione shtesë!, ndërsa mënyrat e nevojshme për të montuar një kuvertë janë 30! - 2 ⋅ 29!. Gjithçka që mbetet është të numërohet.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Tani ju duhet të shumëzoni të gjithë numrat nga një në njëzet e nëntë dhe më në fund të shumëzoni gjithçka me 28. Përgjigja është 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Shembull zgjidhje. Formula për numrin e vendosjes

Në këtë problem, duhet të zbuloni se sa mënyra ka për të vendosur pesëmbëdhjetë vëllime në një raft, por me kusht që të ketë tridhjetë vëllime në total.

Zgjidhja e këtij problemi është pak më e thjeshtë se ajo e mëparshme. Duke përdorur formulën tashmë të njohur, është e nevojshme të llogaritet numri i përgjithshëm i aranzhimeve prej tridhjetë vëllimesh prej pesëmbëdhjetë.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 72003

Përgjigja, në përputhje me rrethanat, do të jetë e barabartë me 202,843,204,931,727,360,000.

Tani le të marrim një detyrë pak më të vështirë. Ju duhet të zbuloni se sa mënyra ka për të rregulluar tridhjetë libra në dy rafte librash, duke qenë se një raft mund të mbajë vetëm pesëmbëdhjetë vëllime.

Para se të filloj zgjidhjen, do të doja të sqaroja se disa probleme mund të zgjidhen në disa mënyra, dhe kjo ka dy metoda, por të dyja përdorin të njëjtën formulë.

Në këtë problem mund të marrësh përgjigjen nga ai i mëparshmi, sepse aty kemi llogaritur sa herë mund të mbushësh një raft me pesëmbëdhjetë libra në mënyra të ndryshme. Doli A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Raftin e dytë do ta llogarisim duke përdorur formulën e ndërrimit, sepse në të mund të vendosen pesëmbëdhjetë libra, ndërsa mbeten vetëm pesëmbëdhjetë. Ne përdorim formulën P_15 = 15!.

Rezulton se totali do të jetë A_30^15 ⋅ P_15 mënyra, por, përveç kësaj, produkti i të gjithë numrave nga tridhjetë në gjashtëmbëdhjetë do të duhet të shumëzohet me prodhimin e numrave nga një në pesëmbëdhjetë, në fund ju do të marrë prodhimin e të gjithë numrave nga një deri në tridhjetë, domethënë, përgjigja është e barabartë me 30!

Por ky problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër - më e lehtë. Për ta bërë këtë, mund të imagjinoni se ka një raft për tridhjetë libra. Të gjithë janë vendosur në këtë aeroplan, por meqenëse kushti kërkon që të ketë dy rafte, ne pamë një të gjatë një në gjysmë, kështu që marrim dy nga pesëmbëdhjetë. Nga kjo rezulton se mund të ketë P_30 = 30 opsione për rregullim!.

Shembull zgjidhje. Formula për numrin e kombinimit

Tani do të shqyrtojmë një version të problemit të tretë nga kombinatorika. Është e nevojshme të zbuloni se sa mënyra ka për të rregulluar pesëmbëdhjetë libra, me kusht që të duhet të zgjidhni nga tridhjetë absolutisht identikë.

Për të zgjidhur, sigurisht, do të zbatohet formula për numrin e kombinimeve. Nga kushti bëhet e qartë se renditja e pesëmbëdhjetë librave identikë nuk është e rëndësishme. Prandaj, fillimisht duhet të zbuloni numrin e përgjithshëm të kombinimeve të tridhjetë librave me pesëmbëdhjetë.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Kjo eshte e gjitha. Duke përdorur këtë formulë, ne ishim në gjendje ta zgjidhnim këtë problem në kohën më të shkurtër të mundshme; përgjigjja, në përputhje me rrethanat, është 155,117,520.

Shembull zgjidhje. Përkufizimi klasik i probabilitetit

Duke përdorur formulën e mësipërme, mund të gjeni përgjigjen për një problem të thjeshtë. Por kjo do të ndihmojë për të parë dhe gjurmuar qartë ecurinë e veprimeve.

Problemi thotë se ka dhjetë topa absolutisht identikë në urnë. Prej tyre, katër janë të verdha dhe gjashtë janë blu. Një top merret nga urna. Duhet të zbuloni probabilitetin për t'u bërë blu.

Për të zgjidhur problemin, është e nevojshme të caktohet marrja e topit blu si ngjarja A. Ky eksperiment mund të ketë dhjetë rezultate, të cilat, nga ana tjetër, janë elementare dhe po aq të mundshme. Në të njëjtën kohë, nga dhjetë, gjashtë janë të favorshme për ngjarjen A. Ne e zgjidhim duke përdorur formulën:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Duke zbatuar këtë formulë, mësuam se probabiliteti për të marrë topin blu është 0.6.

Shembull zgjidhje. Probabiliteti i shumës së ngjarjeve

Tani do të paraqitet një opsion që zgjidhet duke përdorur formulën e probabilitetit të shumës së ngjarjeve. Pra, jepet kushti që të jenë dy kuti, e para përmban një gri dhe pesë topa të bardhë, dhe e dyta përmban tetë topa gri dhe katër topa të bardhë. Si rezultat, ata morën njërën prej tyre nga kutia e parë dhe e dytë. Duhet të zbuloni se cila është mundësia që topat që merrni të jenë gri dhe të bardhë.

Për të zgjidhur këtë problem, është e nevojshme të identifikohen ngjarjet.

Pra, A - mori një top gri nga kutia e parë: P(A) = 1/6.
A’ - mori një top të bardhë gjithashtu nga kutia e parë: P(A") = 5/6.
B - një top gri u hoq nga kutia e dytë: P(B) = 2/3.
B’ - mori një top gri nga kutia e dytë: P(B") = 1/3.

Sipas kushteve të problemit është e nevojshme që të ndodhë një nga dukuritë: AB’ ose A’B. Duke përdorur formulën, marrim: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Tani është përdorur formula për shumëzimin e probabilitetit. Tjetra, për të gjetur përgjigjen, duhet të zbatoni ekuacionin e mbledhjes së tyre:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Kështu mund të zgjidhni probleme të ngjashme duke përdorur formulën.

Fundi

Artikulli prezantoi informacione mbi temën "Teoria e probabilitetit", në të cilën probabiliteti i një ngjarjeje luan një rol jetik. Sigurisht, jo gjithçka u mor parasysh, por, bazuar në tekstin e paraqitur, teorikisht mund të njiheni me këtë pjesë të matematikës. Shkenca në fjalë mund të jetë e dobishme jo vetëm në çështjet profesionale, por edhe në jetën e përditshme. Me ndihmën e tij, ju mund të llogarisni çdo mundësi për çdo ngjarje.

Teksti preku gjithashtu data të rëndësishme në historinë e formimit të teorisë së probabilitetit si shkencë, dhe emrat e njerëzve, puna e të cilëve u investua në të. Kjo është mënyra se si kurioziteti njerëzor çoi në faktin që njerëzit mësuan të llogarisin edhe ngjarje të rastësishme. Njëherë e një kohë ata thjesht ishin të interesuar për këtë, por sot të gjithë tashmë e dinë për këtë. Dhe askush nuk do të thotë se çfarë na pret në të ardhmen, çfarë zbulimesh të tjera të shkëlqyera në lidhje me teorinë në shqyrtim do të bëhen. Por një gjë është e sigurt - hulumtimi nuk qëndron ende!

Përkufizimet e probabilitetit

Përkufizimi klasik

"Përkufizimi" klasik i probabilitetit vjen nga koncepti mundesi e Barabarte si veti objektive e dukurive që studiohen. Mundësia e barabartë është një koncept i papërcaktuar dhe përcaktohet nga konsideratat e përgjithshme të simetrisë së dukurive që studiohen. Për shembull, kur hedhim një monedhë, supozohet se për shkak të simetrisë së supozuar të monedhës, homogjenitetit të materialit dhe rastësisë (paanësisë) së hedhjes, nuk ka asnjë arsye për të preferuar "bishtin" ndaj "kokave" ose anasjelltas, domethënë, shfaqja e këtyre anëve mund të konsiderohet po aq e mundshme (po aq e mundshme) .

Krahas konceptit të mundësive të barabarta në rastin e përgjithshëm, përkufizimi klasik kërkon edhe konceptin e një ngjarjeje (rezultati) elementare, nëse është e favorshme apo jo për ngjarjen në studim A. Fjala është për rezultate, shfaqja e të cilave përjashton mundësinë e shfaqjes së rezultateve të tjera. Këto janë ngjarje elementare të papajtueshme. Për shembull, kur hidhni një pullë, goditja e një numri specifik përjashton numrat e tjerë nga shfaqja.

Përkufizimi klasik i probabilitetit mund të formulohet si më poshtë:

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme A quhet raporti i numrave n ngjarje elementare të papajtueshme po aq të mundshme që përbëjnë ngjarjen A , në numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme elementare N :

Për shembull, le të themi se janë hedhur dy zare. Numri i përgjithshëm i rezultateve po aq të mundshme (ngjarjet fillore) është padyshim 36 (6 mundësi për secilën zare). Le të vlerësojmë mundësinë e marrjes së 7 pikëve. Marrja e 7 pikëve është e mundur në mënyrat e mëposhtme: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Kjo do të thotë, ka vetëm 6 rezultate po aq të mundshme që favorizojnë ngjarjen A - marrja e 7 pikëve. Prandaj, probabiliteti do të jetë i barabartë me 6/36 = 1/6. Për krahasim, probabiliteti për të marrë 12 pikë ose 2 pikë është vetëm 1/36 - 6 herë më pak.

Përkufizimi gjeometrik

Përkundër faktit se përkufizimi klasik është intuitiv dhe rrjedh nga praktika, të paktën ai nuk mund të zbatohet drejtpërdrejt në rastin kur numri i rezultateve po aq të mundshme është i pafund. Një shembull i mrekullueshëm i një numri të pafund rezultatesh të mundshme është një rajon gjeometrik i kufizuar G, për shembull, në një plan, me sipërfaqe S. Një "pikë" e "hedhur" rastësisht me probabilitet të barabartë mund të përfundojë në çdo pikë në këtë rajon. Problemi është të përcaktohet probabiliteti i një pike që bie në një nënrenditje të caktuar G me zonën s. Në këtë rast, përgjithësimi i përkufizimit klasik, ne mund të arrijmë në një përcaktim gjeometrik të probabilitetit të hyrjes në nënfushën:

Për shkak të barazisë, ky probabilitet nuk varet nga forma e rajonit g, varet vetëm nga zona e tij. Ky përkufizim natyrshëm mund të përgjithësohet në një hapësirë të çdo dimensioni, ku koncepti i "vëllimit" mund të përdoret në vend të zonës. Për më tepër, është pikërisht ky përkufizim që çon në përkufizimin modern aksiomatik të probabilitetit. Koncepti i vëllimit përgjithësohet në konceptin e një "mase" të një grupi abstrakt, i cili i nënshtrohet të njëjtave kërkesa që ka "vëllimi" në interpretimin gjeometrik - para së gjithash, këto janë jonegativiteti dhe aditiviteti.

Përkufizimi i frekuencës (statistikore).

Përkufizimi klasik, kur shqyrton probleme komplekse, has në vështirësi të një natyre të pakapërcyeshme. Në veçanti, në disa raste mund të mos jetë e mundur të identifikohen rastet po aq të mundshme. Edhe në rastin e një monedhe, siç e dimë, ekziston një mundësi qartësisht jo po aq e mundshme që "buza" të bjerë jashtë, e cila nga konsideratat teorike nuk mund të vlerësohet (mund të thuhet vetëm se nuk ka gjasa dhe se kjo konsideratë është më tepër praktike). Prandaj, edhe në agimin e formimit të teorisë së probabilitetit, u propozua një përkufizim alternativ i "frekuencës" së probabilitetit. Gjegjësisht, formalisht, probabiliteti mund të përkufizohet si kufiri në frekuencën e vëzhgimeve të ngjarjes A, duke supozuar homogjenitetin e vëzhgimeve (d.m.th., ngjashmërinë e të gjitha kushteve të vëzhgimit) dhe pavarësinë e tyre nga njëra-tjetra:

ku është numri i vëzhgimeve dhe është numri i dukurive të ngjarjes.

Përkundër faktit se ky përkufizim më tepër tregon një mënyrë për të vlerësuar një probabilitet të panjohur - përmes një numri të madh vëzhgimesh homogjene dhe të pavarura - megjithatë, ky përkufizim pasqyron përmbajtjen e konceptit të probabilitetit. Domethënë, nëse një ngjarjeje i caktohet një probabilitet i caktuar si masë objektive e mundësisë së saj, atëherë kjo do të thotë se në kushte fikse dhe përsëritje të përsëritura duhet të marrim një frekuencë të shfaqjes së saj afër (sa më afër aq më shumë vëzhgime ka). Në fakt, ky është kuptimi origjinal i konceptit të probabilitetit. Ai bazohet në një pikëpamje objektiviste të fenomeneve natyrore. Më poshtë do të shqyrtojmë të ashtuquajturat ligje të numrave të mëdhenj, të cilët ofrojnë një bazë teorike (në kuadrin e qasjes moderne aksiomatike të përshkruar më poshtë), duke përfshirë vlerësimin e frekuencës së probabilitetit.

Përkufizim aksiomatik

Në qasjen moderne matematikore, probabiliteti është dhënë Aksiomatika e Kolmogorovit. Supozohet se disa hapësira e ngjarjeve elementare. Nëngrupet e kësaj hapësire interpretohen si ngjarje të rastësishme. Bashkimi (shuma) e disa nënbashkësive (ngjarjeve) interpretohet si një ngjarje që përbëhet nga ndodhia të paktën një nga këto ngjarje. Kryqëzimi (produkti) i nëngrupeve (ngjarjeve) interpretohet si një ngjarje që konsiston në ndodhjen të gjithë këto ngjarje. Kompletet e shkëputura interpretohen si të papajtueshme ngjarjet (ofensiva e tyre e përbashkët është e pamundur). Prandaj, grupi bosh do të thotë e pamundur ngjarje.

probabiliteti ( masë probabiliteti) quhet masë(funksioni numerik) i përcaktuar në një grup ngjarjesh, që kanë vetitë e mëposhtme:

Nëse hapësira e ngjarjeve elementare X Sigurisht, atëherë kushti i specifikuar i aditivitetit për dy ngjarje arbitrare të papajtueshme është i mjaftueshëm, nga i cili do të pasojë aditiviteti për çdo përfundimtar numri i ngjarjeve të papajtueshme. Megjithatë, në rastin e një hapësire të pafundme (të numërueshme ose të panumërueshme) të ngjarjeve elementare, ky kusht nuk mjafton. I ashtuquajturi aditiviteti i numërueshëm ose sigma, pra plotësimi i vetive të aditivitetit për ndonjë jo më shumë se i numërueshëm familjet e ngjarjeve të papajtueshme në çift. Kjo është e nevojshme për të siguruar "vazhdimësinë" e masës së probabilitetit.

Masa e probabilitetit mund të mos përcaktohet për të gjitha nëngrupet e grupit. Supozohet se është përcaktuar në disa algjebër sigma nënbashkësi . Këto nënbashkësi quhen të matshme sipas një mase të dhënë probabiliteti, ato janë pikërisht ngjarje të rastësishme. Një grup - domethënë një grup ngjarjesh elementare, një algjebër sigma e nëngrupeve të saj dhe një masë probabiliteti - quhet hapësirë probabiliteti.

Variabla të rastësishme të vazhdueshme. Përveç variablave diskrete të rastësishme, vlerat e mundshme të të cilave formojnë një sekuencë të fundme ose të pafundme numrash që nuk plotësojnë plotësisht asnjë interval, shpesh ka variabla të rastësishëm, vlerat e mundshme të të cilave formojnë një interval të caktuar. Një shembull i një ndryshoreje të tillë të rastësishme është devijimi nga vlera nominale e një madhësie të caktuar të një pjese me një proces teknologjik të rregulluar siç duhet. Ky lloj variablash të rastësishëm nuk mund të specifikohet duke përdorur ligjin e shpërndarjes së probabilitetit p(x). Megjithatë, ato mund të specifikohen duke përdorur funksionin e shpërndarjes së probabilitetit F(x). Ky funksion përcaktohet saktësisht në të njëjtën mënyrë si në rastin e një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Kështu, edhe këtu funksioni F(x) të përcaktuara në të gjithë vijën numerike dhe vlerën e saj në pikë Xështë e barabartë me probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të marrë një vlerë më të vogël se X. Formula (19) dhe vetitë 1° dhe 2° janë të vlefshme për funksionin e shpërndarjes së çdo ndryshoreje të rastësishme. Prova kryhet në mënyrë të ngjashme me rastin e një sasie diskrete. Ndryshorja e rastësishme quhet të vazhdueshme, nëse për të ka një funksion të vazhdueshëm jo-negativ pjesë-pjesë* që kënaq për çdo vlerë x barazisë

Bazuar në kuptimin gjeometrik të integralit si zonë, mund të themi se probabiliteti i plotësimit të pabarazive është i barabartë me sipërfaqen e një trapezi lakor me bazë. , i kufizuar sipër nga kurba (Fig. 6).

Që nga , dhe bazuar në formulën (22)

Vini re se për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme funksioni i shpërndarjes F(x) të vazhdueshme në çdo moment X, ku funksioni është i vazhdueshëm. Kjo rrjedh nga fakti se F(x)është i diferencueshëm në këto pika. Bazuar në formulën (23), duke supozuar x 1 =x, , ne kemi

Për shkak të vazhdimësisë së funksionit F(x) ne e marrim atë

Prandaj

Kështu, probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të marrë një vlerë të vetme x është zero. Nga kjo rrjedh se ngjarjet që konsistojnë në përmbushjen e secilës prej pabarazive

Ata kanë të njëjtën probabilitet, d.m.th.

Në fakt, për shembull,

sepse Koment. Siç e dimë, nëse një ngjarje është e pamundur, atëherë probabiliteti i ndodhjes së saj është zero. Me përkufizimin klasik të probabilitetit, kur numri i rezultateve të testit është i fundëm, vlen edhe propozimi i kundërt: nëse probabiliteti i një ngjarjeje është zero, atëherë ngjarja është e pamundur, pasi në këtë rast asnjë nga rezultatet e testit nuk e favorizon atë. Në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, numri i vlerave të tij të mundshme është i pafund. Probabiliteti që kjo sasi të marrë një vlerë specifike x 1 siç e pamë, është e barabartë me zero. Megjithatë, nga kjo nuk rezulton se kjo ngjarje është e pamundur, pasi si rezultat i provës ndryshorja e rastësishme, në veçanti, mund të marrë vlerën x 1 . Prandaj, në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, ka kuptim të flasim për probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të bjerë në interval, dhe jo për probabilitetin që ajo të marrë një vlerë specifike. Kështu, për shembull, kur bëjmë një rul, nuk na intereson probabiliteti që diametri i tij të jetë i barabartë me vlerën nominale. Ajo që është e rëndësishme për ne është probabiliteti që diametri i rulit të jetë brenda intervalit të tolerancës. Shembull. Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme jepet si më poshtë:

Grafiku i funksionit është paraqitur në Fig. 7. Përcaktoni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë që plotëson pabarazitë Gjeni funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të dhënë. ( Zgjidhje)

Dy paragrafët e ardhshëm i kushtohen shpërndarjeve të variablave të rastësishme të vazhdueshme që hasen shpesh në praktikë - shpërndarje uniforme dhe normale.

* Një funksion quhet i vazhdueshëm pjesë-pjesë në të gjithë vijën numerike nëse është ose i vazhdueshëm në ndonjë segment ose ka një numër të kufizuar pikash ndërprerje të llojit të parë. ** Rregulli për diferencimin e një integrali me një kufi të sipërm të ndryshueshëm, i nxjerrë në rastin e një kufiri të poshtëm të fundëm, mbetet i vlefshëm për integralet me një kufi të poshtëm të pafund. Me të vërtetë,

Që nga integrali

ka një vlerë konstante.

Ngjarjet e varura dhe të pavarura. Probabiliteti i kushtëzuar

Shembulli 3. Monedha hidhet dy herë. Probabiliteti i paraqitjes së “stemës” në gjyqin e parë (ngjarjen) nuk varet nga shfaqja ose mosparaqitja e “stemës” në gjyqin e dytë (ngjarja). Nga ana tjetër, probabiliteti i shfaqjes së "stemës" në provën e dytë nuk varet nga rezultati i testit të parë. Kështu, ngjarjet janë të dyja të pavarura.

Quhen disa ngjarje kolektivisht të pavarur , nëse ndonjëra prej tyre nuk varet nga ndonjë ngjarje tjetër dhe nga ndonjë kombinim i të tjerave.

Ngjarjet quhen i varur , nëse njëri prej tyre ndikon në probabilitetin e tjetrit. Për shembull, dy fabrika prodhuese janë të lidhura me një cikël të vetëm teknologjik. Atëherë probabiliteti i dështimit të njërit prej tyre varet nga gjendja e tjetrit. Probabiliteti i një ngjarje të llogaritur duke supozuar ndodhjen e një ngjarjeje tjetër quhet probabiliteti i kushtëzuar ngjarjet dhe shënohet me .

Kushti i pavarësisë së një ngjarjeje nga një ngjarje shkruhet në formën, dhe gjendja e varësisë së saj - në formë. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së probabilitetit të kushtëzuar të një ngjarjeje.

Shembulli 4. Kutia përmban 5 prerëse: dy të konsumuara dhe tre të reja. Bëhen dy ekstraktime sekuenciale të incizivëve. Përcaktoni probabilitetin e kushtëzuar që një prerës i konsumuar të shfaqet gjatë nxjerrjes së dytë, me kusht që prerësi i hequr herën e parë të mos kthehet në kuti.

Zgjidhje. Le të tregojmë nxjerrjen e një prerës të konsumuar në rastin e parë, dhe - nxjerrjen e një të reje. Pastaj . Meqenëse prerësi i hequr nuk kthehet në kuti, raporti midis sasive të prerësve të konsumuar dhe atyre të rinj ndryshon. Rrjedhimisht, probabiliteti i heqjes së një prerës të konsumuar në rastin e dytë varet nga ngjarja që ka ndodhur më parë.

Le të shënojmë ngjarjen që nënkupton heqjen e një prerës të konsumuar në rastin e dytë. Problemet e kësaj ngjarje mund të jenë:

Prandaj, probabiliteti i një ngjarjeje varet nëse ngjarja ka ndodhur apo jo.

Dendësia e probabilitetit- një nga mënyrat për të specifikuar një masë probabiliteti në hapësirën Euklidiane. Në rastin kur masa e probabilitetit është një shpërndarje e një ndryshoreje të rastësishme, flasim për dendësiandryshore e rastësishme.

Dendësia e probabilitetit Le të jetë një masë probabiliteti në, domethënë, përcaktohet një hapësirë probabiliteti, ku tregon σ-algjebër Borel on. Le të tregojë masën Lebesgue.

Përkufizimi 1. Një probabilitet thuhet se është absolutisht i vazhdueshëm (në lidhje me masën e Lebesgue) () nëse ndonjë grup Borel i masës zero të Lebesgue ka gjithashtu një probabilitet zero:

Nëse probabiliteti është absolutisht i vazhdueshëm, atëherë sipas teoremës Radon-Nikodym ekziston një funksion Borel jo negativ i tillë që

ku përdoret shkurtesa e zakonshme , dhe integrali kuptohet në kuptimin Lebesgue.

Përkufizimi 2. Në një formë më të përgjithshme, le të jetë një hapësirë arbitrare e matshme, dhe të jetë dy masa në këtë hapësirë. Nëse ka një jonegativ që lejon të shprehet masa në formë

atëherë thirret një funksion i tillë masë dendësie si , ose Derivati Radon-Nikodym masat në lidhje me masën , dhe tregojnë