สองเหตุการณ์อิสระ เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข บันทึกการบรรยายแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติที่ใช้ในเศรษฐมิติ

ในงาน USE ในวิชาคณิตศาสตร์ ยังมีงานความน่าจะเป็นที่ซับซ้อนกว่า (มากกว่าที่เราพิจารณาในตอนที่ 1) ซึ่งคุณต้องใช้กฎการบวก การคูณของความน่าจะเป็น และแยกแยะระหว่างเหตุการณ์ร่วมและเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

ดังนั้นทฤษฎี

เหตุการณ์ร่วมและไม่ร่วม

เหตุการณ์กล่าวกันว่าเข้ากันไม่ได้หากการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่รวมการเกิดขึ้นของสิ่งอื่น นั่นคือสามารถเกิดขึ้นได้เพียงเหตุการณ์เดียวหรือเหตุการณ์อื่น

ตัวอย่างเช่น การโยนลูกเต๋า คุณสามารถแยกความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ต่างๆ เช่น แต้มเป็นเลขคู่และแต้มเป็นเลขคี่ เหตุการณ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ถูกเรียกว่าร่วมหากการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่ได้แยกการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง

ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนลูกเต๋า คุณสามารถแยกความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ต่างๆ เช่น การเกิดแต้มเป็นจำนวนคี่และการเสียแต้มจำนวนหนึ่งที่เป็นผลคูณของสาม เมื่อทอยสามเหตุการณ์ทั้งสองจะเกิดขึ้น

ผลรวมของเหตุการณ์

ผลรวม (หรือการรวมกัน) ของหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นของเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์

ในนั้น ผลรวมของสองเหตุการณ์ที่ไม่ปะติดปะต่อกัน คือผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้ 5 หรือ 6 บน ลูกเต๋าในหนึ่งม้วนจะเป็นเพราะทั้งสองเหตุการณ์ (ม้วน 5, ม้วน 6) เข้ากันไม่ได้และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหรือเหตุการณ์อื่น ๆ ที่เกิดขึ้นจะถูกคำนวณดังนี้:

ความน่าจะเป็น ผลรวมของสองเหตุการณ์ร่วม เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่คำนึงถึงการเกิดขึ้นร่วมกัน:

ตัวอย่างเช่น ในห้างสรรพสินค้า ตู้ขายกาแฟแบบหยอดเหรียญสองเครื่องที่เหมือนกัน ความน่าจะเป็นที่เครื่องชงกาแฟจะหมดภายในสิ้นวันคือ 0.3 ความน่าจะเป็นที่กาแฟทั้งสองเครื่องจะหมดคือ 0.12 ลองหาความน่าจะเป็นที่เมื่อสิ้นวันกาแฟจะจบลงในเครื่องอย่างน้อยหนึ่งเครื่อง (นั่นคือเครื่องใดเครื่องหนึ่งหรืออีกเครื่องหนึ่งหรือทั้งสองเครื่องพร้อมกัน)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แรก "กาแฟจะสิ้นสุดในเครื่องแรก" เช่นเดียวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง "กาแฟจะสิ้นสุดในเครื่องที่สอง" ตามเงื่อนไขเท่ากับ 0.3 เหตุการณ์เป็นการทำงานร่วมกัน

ความน่าจะเป็นของการรับรู้ร่วมกันของสองเหตุการณ์แรกเท่ากับ 0.12 ตามเงื่อนไข

ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่กาแฟในเครื่องอย่างน้อยหนึ่งเครื่องจะหมดภายในสิ้นวันคือ

เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

เหตุการณ์สุ่ม A และ B สองเหตุการณ์เรียกว่าเป็นอิสระต่อกันหากการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่ได้เปลี่ยนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่นที่เกิดขึ้น มิฉะนั้น เหตุการณ์ A และ B จะเรียกว่าขึ้นต่อกัน

ตัวอย่างเช่น เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน แต้มที่หนึ่ง พูดว่า 1 และที่ 5 ที่สอง - เหตุการณ์ที่เป็นอิสระ.

ผลคูณของความน่าจะเป็น

ผลิตภัณฑ์ (หรือจุดตัด) ของหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์เหล่านี้ทั้งหมด

ถ้ามีสองตัว เหตุการณ์ที่เป็นอิสระ A และ B ด้วยความน่าจะเป็น P(A) และ P(B) ตามลำดับ จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และ B จะเกิดขึ้นพร้อมกันเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น:

ตัวอย่างเช่น เราสนใจที่จะเสียแต้มหกบนลูกเต๋าสองครั้งติดต่อกัน ทั้งสองเหตุการณ์ไม่ขึ้นต่อกันและความน่าจะเป็นที่แต่ละเหตุการณ์จะเกิดขึ้นแยกกันคือ ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองเหตุการณ์จะเกิดขึ้นจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรด้านบน:

ดูงานที่เลือกสำหรับการทำงานตามหัวข้อ

เหตุการณ์ A, B, C... ถูกเรียก ขึ้นอยู่กับจากกันหากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์นั้นแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับเหตุการณ์อื่นที่เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น เหตุการณ์ที่เรียกว่า เป็นอิสระหากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละรายการไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของรายการอื่น

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข(RA (B)-ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B เทียบกับ A) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ซึ่งคำนวณบนสมมติฐานว่าเหตุการณ์ A ได้เกิดขึ้นแล้ว ตัวอย่างของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B หากเหตุการณ์ A เกิดขึ้นแล้ว ตามนิยาม เท่ากับ RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0)

การคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน:ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของสองเหตุการณ์เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งคำนวณภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์แรกได้เกิดขึ้นแล้ว:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

ตัวอย่าง. ตัวสะสมมีลูกกลิ้งรูปกรวย 3 ลูกและลูกกลิ้งวงรี 7 ลูก นักสะสมหยิบลูกกลิ้งหนึ่งอันแล้วอันที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกกลิ้งที่ดึงออกมาอันแรกเป็นรูปกรวยและอันที่สองเป็นวงรี

การตัดสินใจ:ความน่าจะเป็นที่ลูกกลิ้งลูกแรกจะเป็นทรงกรวย (เหตุการณ์ A) P (A) = 3/10 ความน่าจะเป็นที่ลูกกลิ้งลูกที่สองจะเป็นวงรี (เหตุการณ์ B) คำนวณภายใต้สมมติฐานว่าลูกกลิ้งลูกแรกเป็นทรงกรวย เช่น มีเงื่อนไข ความน่าจะเป็น RA (B) = 7 / 9
ตามสูตรการคูณความน่าจะเป็นที่ต้องการ P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30 โปรดทราบว่าเราคงสัญกรณ์ไว้ หาได้ง่ายๆ: P(B) = 7/10, PB(A) = 3/9, P(B) PB(A) = 7/30

สภาพความเป็นอิสระของเหตุการณ์ การคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ตัวอย่าง.

เหตุการณ์ B ไม่ขึ้นกับเหตุการณ์ A ถ้า

P(B/A) = P(B) เช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้นหรือไม่

ในกรณีนี้ เหตุการณ์ A ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ B กล่าวคือ คุณสมบัติของความเป็นอิสระของเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นร่วมกัน

ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์มีค่าเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น:

P(AB) = P(A)P(B) .

ตัวอย่างที่ 1:อุปกรณ์ที่ทำงานในช่วงเวลา t ประกอบด้วยโหนดสามโหนด ซึ่งแต่ละโหนดสามารถทำงานล้มเหลวได้ (ไม่เป็นระเบียบ) ในช่วงเวลา t ความล้มเหลวของโหนดอย่างน้อยหนึ่งโหนดจะนำไปสู่ความล้มเหลวของอุปกรณ์โดยรวม ในช่วงเวลา t ความน่าเชื่อถือ (ความน่าจะเป็นของการดำเนินการที่ปราศจากข้อผิดพลาด) ของโหนดแรกเท่ากับ p 1 = 0.8 หน้าที่สอง 2 = 0.9 หน้าที่สาม 3 = 0.7 ค้นหาความน่าเชื่อถือของอุปกรณ์โดยรวม

การตัดสินใจ.หมายถึง:

A - การทำงานที่ปราศจากปัญหาของอุปกรณ์

A 1 - การดำเนินการที่ไม่มีข้อผิดพลาดของโหนดแรก

A 2 - การทำงานที่ปราศจากปัญหาของโหนดที่สอง

A 3 - การทำงานที่ปราศจากปัญหาของโหนดที่สาม

ดังนั้นโดยทฤษฎีบทการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0.504

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาความน่าจะเป็นของตัวเลขที่ปรากฏพร้อมกันในการโยนเหรียญสองเหรียญ

การตัดสินใจ. ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของเหรียญตัวแรก (เหตุการณ์ A) Р(А) = 1/2; ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของตัวเลขของเหรียญที่สอง (เหตุการณ์ B) คือ P(B) = 1/2

เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกัน เราจึงพบความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตามสูตร:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

ความสอดคล้องและไม่สอดคล้องกันของเหตุการณ์. การเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมสองเหตุการณ์ ตัวอย่าง.

เรียกทั้งสองเหตุการณ์ว่า ข้อต่อหากการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่กระทบหรือยกเว้นการเกิดขึ้นของอีกอันหนึ่ง เหตุการณ์ร่วมสามารถรับรู้ได้พร้อมกัน เช่น การปรากฏตัวของตัวเลขใด ๆ บนลูกเต๋าเดียวกัน

ไม่ส่งผลกระทบต่อการปรากฏตัวของตัวเลขบนกระดูกอื่น เหตุการณ์ไม่สอดคล้องกันหากในปรากฏการณ์หนึ่งหรือในการทดสอบครั้งเดียว พวกเขาไม่สามารถรับรู้พร้อมกันได้ และการปรากฏตัวของหนึ่งในนั้นไม่รวมลักษณะของอีกสิ่งหนึ่ง (การชนเป้าหมายและการขาดหายไปเป็นสิ่งที่เข้ากันไม่ได้)

ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ร่วมอย่างน้อยหนึ่งในสองเหตุการณ์ A หรือ B เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกัน:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

ตัวอย่าง. ความน่าจะเป็นของนักกีฬาคนแรกคือ 0.85 และครั้งที่สอง - 0.8 นักกีฬาอิสระ

ยิงหนึ่งนัด ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักกีฬาอย่างน้อยหนึ่งคนเข้าเป้า?

การตัดสินใจ. ให้เราแนะนำสัญลักษณ์: เหตุการณ์ A - "การตีของนักกีฬาคนแรก", B - "การตีของนักกีฬาคนที่สอง", C - "การตีของนักกีฬาอย่างน้อยหนึ่งคน" แน่นอน A + B = C และเหตุการณ์ A และ B เข้ากันได้ ตามสูตรเราได้รับ:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

เนื่องจาก A และ B เป็นเหตุการณ์อิสระ แทนค่าเหล่านี้ P(A) = 0.85, P(B) = 0.8 ในสูตรสำหรับ P(C) เราจะพบความน่าจะเป็นที่ต้องการ

P (C) \u003d (0.85 + 0.8) - 0.85 0.8 \u003d 0.97

พี(เอ)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม

ตรงข้ามตั้งชื่อเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ที่รวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ หากหนึ่งในสองเหตุการณ์ที่ตรงกันข้ามแสดงด้วย และ,อื่น ๆ มักจะแสดงแทน . เหตุการณ์ตรงข้าม ประกอบด้วยความไม่เกิดแห่งเหตุ และ.

ทฤษฎีบท.ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามเท่ากับหนึ่ง:

พี(เอ)+พี()= 1.

ตัวอย่างที่ 4กล่องประกอบด้วย 11 ส่วน 8 ส่วนที่เป็นมาตรฐาน จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่สุ่มออกมา 3 ชิ้น มีชิ้นส่วนที่ชำรุดอย่างน้อยหนึ่งชิ้น

การตัดสินใจ.ปัญหาสามารถแก้ไขได้สองวิธี

1 วิธี. เหตุการณ์ “มีชิ้นส่วนที่ชำรุดอย่างน้อยหนึ่งชิ้นในชิ้นส่วนที่แยกออกมา” และ “ไม่มีชิ้นส่วนที่ชำรุดแม้แต่ชิ้นเดียวในชิ้นส่วนที่แยกออกมา” นั้นตรงกันข้าม สมมติว่าเหตุการณ์แรกเป็น และ,และครั้งที่สองผ่าน :

พี(เอ) =1 - พี( ) .

หากัน อาร์(). จำนวนวิธีทั้งหมดที่สามารถดึง 3 ส่วนจาก 11 ส่วนได้เท่ากับจำนวนชุดค่าผสม
. จำนวนชิ้นส่วนมาตรฐานคือ 8 ; จากจำนวนส่วนนี้
วิธีการแยก 3 ส่วนมาตรฐาน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ไม่มีส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานใน 3 ส่วนที่แยกออกมาจะเท่ากับ:

ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ: พี(เอ)=1 - พี()=

2 ทางเหตุการณ์ และ- "ในบรรดาชิ้นส่วนที่แยกออกมามีข้อบกพร่องอย่างน้อยหนึ่งชิ้น" - สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นลักษณะของ:

หรือเหตุการณ์ ที่- "ลบ 1 ส่วนที่ชำรุดและ 2 ที่ไม่มีข้อบกพร่อง"

หรือเหตุการณ์ กับ- "ถอดชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่อง 2 ชิ้นและชิ้นส่วนที่ไม่มีข้อบกพร่อง 1 ชิ้น"

หรือเหตุการณ์ ง - "ถอดชิ้นส่วนที่ชำรุด 3 ชิ้นออก"

แล้ว ก= ข+ ค+ ง. ตั้งแต่เหตุการณ์ ข, ค และ ง เข้ากันไม่ได้ เราสามารถใช้ทฤษฎีบทการบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:

4. ทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ผลิตภัณฑ์ของสองเหตุการณ์และ และที่ เรียกเหตุการณ์ ค=เอบี,ประกอบด้วยลักษณะร่วมกัน (รวมกัน) ของเหตุการณ์เหล่านี้

ผลิตภัณฑ์จากเหตุการณ์ต่างๆชื่อว่าเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นร่วมกันแห่งเหตุการณ์ทั้งปวงนี้. ตัวอย่างเช่นเหตุการณ์ เอบีซีเป็นการรวมตัวของเหตุการณ์ เอ บีและ กับ.

เรียกว่าสองเหตุการณ์ เป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของอีกอันหนึ่ง

ทฤษฎีบท.ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของสองเหตุการณ์อิสระเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

พี(AB)=พี(เอ) พี(บี).

ผลที่ตามมาความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของหลายเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นต่อกันในผลรวมเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ :

พี(อ 1 และ 2 ... และ น ) = พ(อ 1 ) ป(อ 2 )...พ(อ น ).

ตัวอย่างที่ 5จงหาความน่าจะเป็นที่ตราอาร์มจะปรากฎพร้อมกันในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง

การตัดสินใจ. เรามาระบุเหตุการณ์: และ -ลักษณะตราแผ่นดินบนเหรียญรุ่นแรก ที่ -ลักษณะของตราอาร์มบนเหรียญที่สอง กับ- ลักษณะของตราแผ่นดินบนสองเหรียญ C=AB.

ความน่าจะเป็นของลักษณะของตราแผ่นดินของเหรียญแรก :

พี(เอ) =.

ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของแขนเสื้อของเหรียญที่สอง :

พี(บี) =.

ตั้งแต่เหตุการณ์ และและ ที่อิสระ ความน่าจะเป็นที่ต้องการตามทฤษฎีบทการคูณจะเท่ากับ:

P(C)=P(AB)=P(A) พี(บี) = =.

ตัวอย่างที่ 6มี 3 กล่อง มี 10 ส่วน ลิ้นชักแรกประกอบด้วย 8 ลิ้นชักที่สอง 7 และลิ้นชักที่สาม 9 ชิ้นส่วนมาตรฐาน หนึ่งรายการสุ่มจากแต่ละกล่อง จงหาความน่าจะเป็นที่ทั้งสามส่วนที่นำออกมานั้นเป็นมาตรฐาน

การตัดสินใจ. ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกนำมาจากกล่องแรก (เหตุการณ์ และ):

พี(เอ) =

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกนำมาจากกล่องที่สอง (เหตุการณ์ ที่):

ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานจะถูกนำมาจากกล่องที่สาม (เหตุการณ์ กับ):

พี(ค)=

ตั้งแต่เหตุการณ์ เอ บีและ กับเป็นอิสระจากผลรวม ความน่าจะเป็นที่ต้องการ (ตามทฤษฎีบทการคูณ) จะเท่ากับ:

พี(เอบีซี)=พี(เอ) พี(บี) พี(ค)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

ตัวอย่างที่ 7ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์จากสองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน และ 1 และ และ 2 เท่ากัน ร 1 และ ร 2. ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์เหล่านี้เพียงเหตุการณ์เดียว

การตัดสินใจ. มาแนะนำสัญกรณ์เหตุการณ์:

ที่ 1 – เหตุการณ์เท่านั้นที่ปรากฏ และ 1 ; ที่ 2 – เหตุการณ์เท่านั้นที่ปรากฏ และ 2 .

เกิดเหตุการณ์ ที่ 1 เทียบเท่ากับการเกิดเหตุการณ์ และ 1 2 (เหตุการณ์แรกปรากฏขึ้นและเหตุการณ์ที่สองไม่ปรากฏ) เช่น ที่ 1 = ก 1 2 .

เกิดเหตุการณ์ ที่ 2 เทียบเท่ากับการเกิดเหตุการณ์ 1 และ 2 (เหตุการณ์แรกไม่ปรากฏและเหตุการณ์ที่สองปรากฏขึ้น) เช่น ที่ 1 = 1 และ 2 .

ดังนั้น เพื่อหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเท่านั้น และ 1 หรือ และ 2 ก็เพียงพอแล้วที่จะค้นหาความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งๆ ไม่ว่าจะเป็นเหตุการณ์ใดก็ตาม ที่ 1 และ ที่ 2 . การพัฒนา ที่ 1 และ ที่ 2 ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้นทฤษฎีบทของการบวกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จึงมีผลบังคับใช้:

พี(บี 1 +V 2 ) = P(ข 1 ) + พ(ข 2 ) .

ทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็น
เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

ชื่อเรื่องดูน่ากลัว แต่จริงๆ แล้วเรียบง่ายมาก ในบทเรียนนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีบทของการบวกและการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตลอดจนวิเคราะห์งานทั่วไปที่พร้อมด้วย งานสำหรับคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นจะเจอแน่นอนหรือน่าจะเจอระหว่างทางแล้ว เพื่อศึกษาเนื้อหาของบทความนี้อย่างมีประสิทธิภาพ คุณจำเป็นต้องรู้และเข้าใจคำศัพท์พื้นฐาน ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายได้ อย่างที่คุณเห็น จำเป็นต้องใช้น้อยมาก ดังนั้นจึงรับประกันการบวกไขมันในสินทรัพย์ได้เกือบทั้งหมด แต่ในทางกลับกัน ฉันขอเตือนอีกครั้งถึงทัศนคติที่ฉาบฉวยต่อตัวอย่างที่ใช้ได้จริง - ยังมีรายละเอียดปลีกย่อยอีกพอสมควร ขอให้โชคดี:

ทฤษฎีบทการบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: ความน่าจะเป็นของการเกิดอย่างใดอย่างหนึ่ง เข้ากันไม่ได้เหตุการณ์หรือ (ไม่ว่าอะไรก็ตาม)เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ข้อเท็จจริงที่คล้ายกันนี้ยังเป็นความจริงสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จำนวนมาก เช่น สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สามเหตุการณ์ และ :

ทฤษฎีบทความฝัน =) อย่างไรก็ตาม ความฝันดังกล่าวยังต้องได้รับการพิสูจน์เช่นกัน ซึ่งสามารถพบได้ใน คู่มือการศึกษาวี.อี. Gmurman.

มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดใหม่ที่ไม่เคยเห็นมาก่อน:

เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

เริ่มจากกิจกรรมอิสระกันก่อน เหตุการณ์คือ เป็นอิสระ หากความน่าจะเป็นเกิดขึ้น อะไรก็ได้ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจากลักษณะที่ปรากฏ/ไม่ปรากฏของเหตุการณ์อื่นๆ ของชุดที่พิจารณา (ในทุกชุดที่เป็นไปได้) ... แต่สิ่งที่ต้องบดขยี้วลีทั่วไป:

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ: ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อิสระร่วมกันและเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

กลับไปที่ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของบทเรียนที่ 1 ซึ่งมีการโยนเหรียญ 2 เหรียญและเหตุการณ์ต่อไปนี้:

- หัวจะตกลงบนเหรียญที่ 1
- หัวที่ 2 เหรียญ

มาหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (หัวจะปรากฏบนเหรียญที่ 1 และนกอินทรีจะปรากฏบนเหรียญที่ 2 - จำวิธีการอ่าน ผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์!) . ความน่าจะเป็นที่จะออกตัวบนเหรียญหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของการโยนเหรียญอีกเหรียญหนึ่ง ดังนั้นเหตุการณ์จึงเป็นอิสระต่อกัน

ในทำนองเดียวกัน:
คือความน่าจะเป็นที่เหรียญที่ 1 จะออกหัว และที่หางที่ 2;
คือความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏบนเหรียญที่ 1 และที่หางที่ 2;
คือความน่าจะเป็นที่เหรียญที่ 1 จะออกก้อย และบนนกอินทรีตัวที่ 2

โปรดทราบว่ารูปแบบเหตุการณ์ เต็มกลุ่มและผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง: .

เห็นได้ชัดว่าทฤษฎีบทการคูณขยายไปสู่จำนวนเหตุการณ์อิสระที่มากขึ้น ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันคือ: มาฝึกฝนด้วยตัวอย่างเฉพาะ:

ภารกิจที่ 3

แต่ละกล่องมี 10 ส่วน ในกล่องแรกมี 8 ส่วนมาตรฐานในส่วนที่สอง - 7 ในส่วนที่สาม - 9 ส่วนหนึ่งจะถูกสุ่มออกจากแต่ละกล่อง จงหาความน่าจะเป็นที่ทุกส่วนจะเป็นมาตรฐาน

การตัดสินใจ: ความน่าจะเป็นในการแยกส่วนมาตรฐานหรือไม่ได้มาตรฐานออกจากกล่องใด ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าส่วนใดจะถูกแยกออกจากกล่องอื่น ดังนั้นปัญหาจึงเกี่ยวกับเหตุการณ์อิสระ พิจารณาเหตุการณ์อิสระต่อไปนี้:

– นำชิ้นส่วนมาตรฐานออกจากกล่องที่ 1
– ชิ้นส่วนมาตรฐานถูกนำออกจากกล่องที่ 2
– ชิ้นส่วนมาตรฐานถูกนำออกจากลิ้นชักที่ 3

ตามคำจำกัดความแบบคลาสสิก:
เป็นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

เหตุการณ์ที่เราสนใจ (ส่วนมาตรฐานจะนำมาจากลิ้นชักที่ 1 และจากมาตรฐานที่ 2 และจากมาตรฐานที่ 3)แสดงโดยผลิตภัณฑ์

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

คือความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานหนึ่งชิ้นจะถูกแยกออกจากกล่องสามกล่อง

ตอบ: 0,504

หลังจากออกกำลังกายด้วยกล่องแล้ว โกศที่น่าสนใจไม่น้อยกำลังรอเราอยู่:

ภารกิจที่ 4

สามโกศบรรจุลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก สุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูกจากแต่ละโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ ก) ลูกบอลทั้งสามลูกจะเป็นสีขาว b) ลูกบอลทั้งสามลูกจะเป็นสีเดียวกัน

จากข้อมูลที่ได้รับ ให้เดาว่าจะจัดการกับรายการ "เป็น" อย่างไร ;-) โซลูชันตัวอย่างโดยประมาณได้รับการออกแบบในรูปแบบวิชาการพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของเหตุการณ์ทั้งหมด

เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ. เหตุการณ์นี้เรียกว่า ขึ้นอยู่กับ หากความน่าจะเป็น พึ่งพาจากเหตุการณ์หนึ่งหรือหลายเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องไปหาตัวอย่างที่ไหนไกล เพียงไปที่ร้านค้าที่ใกล้ที่สุด:

- พรุ่งนี้เวลา 19.00 น. จะขายขนมปังสด

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์อื่น ๆ อีกมากมาย: ขนมปังสดใหม่จะถูกส่งในวันพรุ่งนี้หรือไม่ ขายหมดก่อน 19.00 น. หรือไม่ ฯลฯ เหตุการณ์นี้อาจมีทั้งความน่าเชื่อถือและเป็นไปไม่ได้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ต่างๆ เหตุการณ์จึงเป็น ขึ้นอยู่กับ.

ขนมปัง ... และตามที่ชาวโรมันเรียกร้อง ละครสัตว์:

- ในการสอบนักเรียนจะได้รับตั๋วธรรมดา

หากคุณไม่ได้ไปคนแรก เหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับเนื่องจากความน่าจะเป็นจะขึ้นอยู่กับตั๋วที่เพื่อนร่วมชั้นจับฉลากไปแล้ว

จะกำหนดการพึ่งพา/ความเป็นอิสระของเหตุการณ์ได้อย่างไร

บางครั้งสิ่งนี้ระบุไว้โดยตรงในเงื่อนไขของปัญหา แต่บ่อยครั้งที่คุณต้องทำการวิเคราะห์อย่างอิสระ ไม่มีแนวทางที่ชัดเจนในที่นี้ และข้อเท็จจริงของการพึ่งพาอาศัยกันหรือความเป็นอิสระของเหตุการณ์ต่าง ๆ เป็นไปตามเหตุผลเชิงตรรกะตามธรรมชาติ

เพื่อไม่ให้โยนทุกอย่างในกองเดียว งานสำหรับเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกันฉันจะเน้นบทเรียนถัดไป แต่สำหรับตอนนี้เราจะพิจารณาทฤษฎีบทที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ:

โจทย์ทฤษฎีบทการบวกสำหรับความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกัน
และทวีคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ตามการประเมินอัตนัยของฉันควบคู่นี้ทำงานในประมาณ 80% ของงานในหัวข้อที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ความนิยมและทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกที่แท้จริง:

ภารกิจที่ 5

นักกีฬาสองคนยิงทีละนัดไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะโดนสำหรับมือปืนคนแรกคือ 0.8 สำหรับวินาที - 0.6 ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) นักกีฬาเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะเข้าเป้า;
b) ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนจะยิงเข้าเป้า

การตัดสินใจ: ความน่าจะเป็นในการตี/พลาดของผู้ยิงคนหนึ่งไม่ขึ้นกับผลงานของอีกคนหนึ่งอย่างชัดเจน

พิจารณาเหตุการณ์:
– ผู้ยิงคนที่ 1 จะยิงเข้าเป้า
– ผู้ยิงคนที่ 2 จะยิงเข้าเป้า

ตามเงื่อนไข: .

มาหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม - ลูกศรที่เกี่ยวข้องจะพลาดไป:

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - มีนักกีฬาเพียงคนเดียวที่เข้าเป้า เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยสองผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้:

นักกีฬาคนที่ 1 จะโจมตี และพลาดครั้งที่ 2
หรือ
ที่ 1 จะพลาด และที่ 2 จะตี

บนลิ้น พีชคณิตเหตุการณ์ข้อเท็จจริงนี้สามารถเขียนเป็น:

อันดับแรก เราใช้ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ จากนั้น - ทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

คือความน่าจะเป็นที่จะมีการโจมตีเพียงครั้งเดียว

b) พิจารณาเหตุการณ์: - ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนจะยิงเข้าเป้า

ก่อนอื่นมาคิดกัน - เงื่อนไข "อย่างน้อยหนึ่ง" หมายถึงอะไร? ในกรณีนี้ หมายความว่าผู้ยิงคนที่ 1 จะโดน (คนที่ 2 จะพลาด) หรือครั้งที่ 2 (ครั้งที่ 1 พลาด) หรือลูกศรทั้งสองพร้อมกัน - ผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด 3 รายการ

วิธีที่หนึ่ง: ด้วยความน่าจะเป็นที่เตรียมไว้ของรายการก่อนหน้า จึงสะดวกที่จะแทนเหตุการณ์เป็นผลรวมของเหตุการณ์ที่ไม่ต่อเนื่องกันต่อไปนี้:

หนึ่งจะได้รับ (เหตุการณ์ที่ประกอบด้วย 2 ผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้) หรือ
หากลูกศรทั้งสองโดน เราจะแสดงเหตุการณ์นี้ด้วยตัวอักษร

ดังนั้น:

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงคนที่ 1 จะโดน และนักกีฬาคนที่ 2 จะโจมตี

ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
คือความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

วิธีที่สอง: พิจารณาเหตุการณ์ตรงกันข้าม: – ผู้ยิงทั้งสองจะพลาด

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ผลที่ตามมา:

ความสนใจเป็นพิเศษให้ความสนใจกับวิธีที่สอง - ในกรณีทั่วไปจะมีเหตุผลมากกว่า

นอกจากนี้ยังมีทางเลือกอื่น วิธีที่สาม ในการแก้ปัญหาตามทฤษฎีบทของการสรุปเหตุการณ์ร่วมซึ่งเงียบไปข้างต้น

! หากคุณกำลังอ่านเนื้อหาเป็นครั้งแรก เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน จะเป็นการดีกว่าหากข้ามย่อหน้าถัดไป

วิธีที่สาม : เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกัน ซึ่งหมายความว่าผลรวมของเหตุการณ์นั้นแสดงถึงเหตุการณ์ “ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนยิงถูกเป้าหมาย” (ดูรูปที่ พีชคณิตเหตุการณ์). โดย ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมและทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ตรวจสอบกัน: เหตุการณ์และ (0, 1 และ 2 ครั้งตามลำดับ)สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นจะต้องเท่ากับหนึ่ง:
ซึ่งจะต้องมีการตรวจสอบ

ตอบ:

ด้วยการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างถี่ถ้วน คุณจะพบกับภารกิจมากมายที่เป็นเนื้อหาทางทหาร ซึ่งเป็นเรื่องปกติ หลังจากนั้นคุณจะไม่ต้องการยิงใครเลย - ภารกิจนั้นแทบจะเป็นของกำนัล ทำไมไม่ทำเทมเพลตให้เรียบง่ายกว่านี้ มาย่อรายการให้สั้นลง:

การตัดสินใจ: ตามเงื่อนไข: คือความน่าจะเป็นที่จะชนผู้ยิงที่เกี่ยวข้อง จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะพลาดคือ:

ก) ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นที่เข้ากันไม่ได้และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงเพียงคนเดียวจะเข้าเป้า

b) ตามทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงทั้งสองจะพลาด

จากนั้น: คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนจะยิงถูกเป้าหมาย

ตอบ:

ในทางปฏิบัติ คุณสามารถใช้ตัวเลือกการออกแบบใดก็ได้ แน่นอนว่าพวกเขาไปทางสั้นบ่อยกว่า แต่ก็ไม่ควรลืมวิธีที่ 1 - แม้ว่ามันจะยาวกว่า แต่ก็มีความหมายมากกว่า - มันชัดเจนกว่า อะไร ทำไม และทำไมเพิ่มขึ้นและทวีคูณ ในบางกรณี รูปแบบไฮบริดจะเหมาะสมเมื่อสะดวกที่จะระบุเฉพาะบางเหตุการณ์ด้วยตัวพิมพ์ใหญ่

งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ภารกิจที่ 6

มีการติดตั้งเซ็นเซอร์ที่ทำงานแยกกันสองตัวสำหรับสัญญาณเตือนอัคคีภัย ความน่าจะเป็นที่เซ็นเซอร์จะทำงานระหว่างเกิดไฟไหม้คือ 0.5 และ 0.7 สำหรับเซ็นเซอร์ตัวที่หนึ่งและตัวที่สองตามลำดับ ค้นหาความน่าจะเป็นที่เกิดไฟไหม้:

ก) เซ็นเซอร์ทั้งสองจะล้มเหลว
b) เซ็นเซอร์ทั้งสองจะทำงาน
ค) การใช้ ทฤษฎีบทการบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ค้นหาความน่าจะเป็นที่เซ็นเซอร์เพียงตัวเดียวจะทำงานระหว่างเกิดไฟไหม้ ตรวจสอบผลลัพธ์โดยการคำนวณความน่าจะเป็นนี้โดยตรง (ใช้ทฤษฎีบทการบวกและการคูณ).

ที่นี่ความเป็นอิสระของการทำงานของอุปกรณ์ถูกสะกดโดยตรงในเงื่อนไขซึ่งเป็นคำชี้แจงที่สำคัญ สารละลายตัวอย่างออกแบบมาอย่างเป็นวิชาการ

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าในปัญหาที่คล้ายกัน มีความน่าจะเป็นเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น 0.9 และ 0.9 คุณต้องตัดสินใจเหมือนกัน! (ซึ่งอันที่จริงได้แสดงให้เห็นในตัวอย่างแล้ว 2 เหรียญ)

ภารกิจที่ 7

ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายโดยผู้ยิงคนแรกด้วยการยิงหนึ่งครั้งคือ 0.8 ความน่าจะเป็นที่ไม่โดนเป้าหมายหลังจากผู้ยิงคนแรกและคนที่สองยิงหนึ่งนัดคือ 0.08 ความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าโดยผู้ยิงคนที่สองด้วยการยิงนัดเดียวเป็นเท่าใด

และนี่คือจิ๊กซอว์ตัวเล็กๆ ที่ตีกรอบสั้นๆ เงื่อนไขสามารถปรับเปลี่ยนให้รัดกุมกว่านี้ได้ แต่ฉันจะไม่สร้างของเดิมขึ้นใหม่ - ในทางปฏิบัติ ฉันต้องเจาะลึกถึงการประดิษฐ์ที่หรูหรามากขึ้น

พบเขา - เขาคือผู้ที่ตัดรายละเอียดจำนวนมหาศาลสำหรับคุณ =):

ภารกิจที่ 8

คนงานใช้เครื่องจักรสามเครื่อง ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะเครื่องแรกจะต้องมีการปรับเปลี่ยนคือ 0.3, ที่สอง - 0.75, ที่สาม - 0.4 ค้นหาความน่าจะเป็นระหว่างกะ:

a) เครื่องจักรทั้งหมดจะต้องมีการปรับแต่ง
b) ต้องมีการปรับเปลี่ยนเครื่องจักรเพียงเครื่องเดียว
c) ต้องมีการปรับเครื่องจักรอย่างน้อยหนึ่งเครื่อง

การตัดสินใจ: เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับกระบวนการทางเทคโนโลยีเพียงขั้นตอนเดียว ดังนั้น การทำงานของเครื่องจักรแต่ละเครื่องจึงควรได้รับการพิจารณาโดยไม่ขึ้นกับการทำงานของเครื่องจักรอื่นๆ

โดยการเปรียบเทียบกับงานหมายเลข 5 ที่นี่คุณสามารถเข้าสู่เหตุการณ์การพิจารณาซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเครื่องจักรที่เกี่ยวข้องจะต้องมีการปรับเปลี่ยนระหว่างกะ เขียนความน่าจะเป็น ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม ฯลฯ แต่ด้วยวัตถุสามอย่าง ฉันไม่ต้องการร่างงานแบบนั้น - มันจะใช้เวลานานและน่าเบื่อ ดังนั้นจึงมีผลกำไรมากกว่าการใช้สไตล์ "รวดเร็ว" ที่นี่:

ตามเงื่อนไข: - ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะเครื่องจักรที่เกี่ยวข้องจะต้องมีการปรับแต่ง จากนั้นความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะไม่ต้องการความสนใจคือ:

ผู้อ่านคนหนึ่งพบการพิมพ์ผิดที่นี่ ฉันจะไม่แก้ไขด้วยซ้ำ =)

ก) ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรทั้งสามเครื่องจะต้องมีการปรับเปลี่ยนระหว่างกะ

b) เหตุการณ์ "ระหว่างกะ ต้องมีการปรับเปลี่ยนเครื่องจักรเพียงเครื่องเดียว" ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้สามประการ:

1) เครื่องที่ 1 จะต้องความสนใจ และเครื่องที่2 จะไม่ต้องการ และเครื่องที่3 จะไม่ต้องการ
หรือ:
2) เครื่องที่ 1 จะไม่ต้องการความสนใจ และเครื่องที่2 จะต้อง และเครื่องที่3 จะไม่ต้องการ
หรือ:
3) เครื่องที่ 1 จะไม่ต้องการความสนใจ และเครื่องที่2 จะไม่ต้องการ และเครื่องที่3 จะต้อง.

ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นที่เข้ากันไม่ได้และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

- ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะจะต้องมีการปรับเปลี่ยนเครื่องจักรเพียงเครื่องเดียว

ฉันคิดว่าตอนนี้คุณน่าจะเข้าใจแล้วว่าสำนวนนี้มาจากไหน

ค) คำนวณความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรจะไม่ต้องการการปรับแต่ง จากนั้นจึงคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม:
– ความจริงที่ว่าต้องมีการปรับเปลี่ยนเครื่องจักรอย่างน้อยหนึ่งเครื่อง

ตอบ:

รายการ "ve" สามารถแก้ไขได้ด้วยผลรวม ซึ่งความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะจะต้องมีการปรับเปลี่ยนเครื่องจักรเพียงสองเครื่องเท่านั้น ในทางกลับกัน เหตุการณ์นี้รวมถึงผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ 3 รายการ ซึ่งลงนามโดยการเปรียบเทียบกับรายการ "be" พยายามหาความน่าจะเป็นด้วยตัวคุณเองเพื่อตรวจสอบปัญหาทั้งหมดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน

ภารกิจที่ 9

ปืนสามกระบอกระดมยิงไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นในการยิงนัดเดียวจากปืนกระบอกแรกคือ 0.7 จากปืนที่สอง - 0.6 จากกระบอกที่สาม - 0.8 จงหาความน่าจะเป็นที่: 1) กระสุนอย่างน้อยหนึ่งนัดเข้าเป้า; 2) มีเพียงสองโพรเจกไทล์เท่านั้นที่จะโดนเป้าหมาย; 3) เป้าหมายจะถูกโจมตีอย่างน้อยสองครั้ง

เฉลยและเฉลยท้ายบทเรียน.

และอีกครั้งเกี่ยวกับความบังเอิญ: ในกรณีที่ตามเงื่อนไขแล้วค่าความน่าจะเป็นเริ่มต้นสองค่าหรือแม้กระทั่งทั้งหมดตรงกัน (เช่น 0.7; 0.7 และ 0.7) ควรปฏิบัติตามอัลกอริทึมการแก้ปัญหาเดียวกันทุกประการ

ในบทสรุปของบทความ เราจะวิเคราะห์ปริศนาทั่วไปอื่น:

ภารกิจที่ 10

ผู้ยิงเข้าเป้าด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันในแต่ละนัด ความน่าจะเป็นนี้คืออะไร หากความน่าจะเป็นอย่างน้อยหนึ่งครั้งในการยิงสามครั้งคือ 0.973

การตัดสินใจ: แสดงโดย - ความน่าจะเป็นที่จะชนเป้าหมายในแต่ละนัด
และผ่าน - ความน่าจะเป็นของการพลาดในแต่ละช็อต

ลองเขียนเหตุการณ์:
- ด้วยการยิง 3 นัด ผู้ยิงจะยิงถูกเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
- ผู้ยิงจะพลาด 3 ครั้ง

ตามเงื่อนไข ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม:

ในทางกลับกัน ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ดังนั้น:

- ความน่าจะเป็นของการพลาดในแต่ละนัด

ผลที่ตามมา:
คือความน่าจะเป็นในการยิงแต่ละครั้ง

ตอบ: 0,7

เรียบง่ายและสง่างาม

ในปัญหาที่พิจารณาแล้ว สามารถตั้งคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการโจมตีเพียงครั้งเดียว การโจมตีสองครั้งเท่านั้น และความน่าจะเป็นของการโจมตีเป้าหมายสามครั้ง รูปแบบการแก้ปัญหาจะเหมือนกับในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ทุกประการ:

อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างที่เป็นสาระสำคัญพื้นฐานก็คือมี การทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำอีกซึ่งดำเนินการตามลำดับ เป็นอิสระจากกัน และมีความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เท่ากัน

ข้อความทั่วไปของปัญหา: ทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง แต่จำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่นที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์เหล่านี้ ในปัญหาเหล่านี้ มีความจำเป็นสำหรับการดำเนินการเกี่ยวกับความน่าจะเป็น เช่น การบวกและการคูณของความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น ยิงปืนสองนัดขณะล่าสัตว์ เหตุการณ์ ก- ตีเป็ดตั้งแต่ช็อตแรก เหตุการณ์ ข- ตีจากนัดที่สอง แล้วผลรวมของเหตุการณ์ กและ ข- ตีจากนัดที่หนึ่ง หรือนัดที่สอง หรือจากสองนัด

งานประเภทอื่น มีหลายเหตุการณ์ เช่น โยนเหรียญสามครั้ง จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่เสื้อคลุมแขนจะหลุดออกมาทั้งสามครั้งหรือเสื้อคลุมแขนจะหลุดออกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง นี่คือปัญหาการคูณ

การเพิ่มโอกาสของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

การบวกความน่าจะเป็นจะใช้เมื่อจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมหรือผลรวมเชิงตรรกะของเหตุการณ์สุ่ม

ผลรวมของเหตุการณ์ กและ ขกำหนด ก + ขหรือ ก ∪ ข. ผลรวมของสองเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น มันหมายความว่า ก + ข- เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้นระหว่างการสังเกต กหรือเหตุการณ์ ขหรือในเวลาเดียวกัน กและ ข.

หากเหตุการณ์ กและ ขไม่สอดคล้องกันและให้ค่าความน่าจะเป็น จากนั้นความน่าจะเป็นที่หนึ่งในเหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นจากผลการทดลองหนึ่งครั้งจะคำนวณโดยใช้การบวกของความน่าจะเป็น

ทฤษฎีบทของการบวกของความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นที่หนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ตัวอย่างเช่น ยิงปืนสองนัดขณะล่าสัตว์ เหตุการณ์ และ– ตีเป็ดตั้งแต่ช็อตแรก เหตุการณ์ ที่– ตีจากนัดที่สอง เหตุการณ์ ( และ+ ที่) - ตีจากนัดที่หนึ่งหรือสองหรือจากสองนัด ดังนั้นหากสองเหตุการณ์ และและ ที่เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แล้ว และ+ ที่- เกิดเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์หรือสองเหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 1กล่องหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 30 ลูก: สีแดง 10 ลูก สีน้ำเงิน 5 ลูก และสีขาว 15 ลูก คำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสี (ไม่ใช่สีขาว) ถูกจับโดยไม่ดู

การตัดสินใจ. สมมติว่าเหตุการณ์ และ– “ลูกบอลสีแดงถูกยึด” และกิจกรรม ที่- "ลูกบอลสีน้ำเงินถูกยึดแล้ว" จากนั้นเหตุการณ์คือ "ลูกบอลสี (ไม่ใช่สีขาว) ถูกจับ" ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และ:

และกิจกรรมต่างๆ ที่:

การพัฒนา และและ ที่- เข้ากันไม่ได้ เนื่องจากหากหยิบลูกบอลหนึ่งลูก จะไม่สามารถรับลูกบอลที่มีสีต่างกันได้ ดังนั้นเราจึงใช้การบวกของความน่าจะเป็น:

ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์หากเหตุการณ์ประกอบกันเป็นชุดของเหตุการณ์ทั้งหมด ผลรวมของความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 1:

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามก็เท่ากับ 1 ด้วย:

เหตุการณ์ตรงข้ามก่อตัวเป็นชุดของเหตุการณ์ทั้งหมด และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งชุดคือ 1

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามมักจะแสดงด้วยตัวอักษรขนาดเล็ก หน้าและ ถาม. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

จากสูตรต่อไปนี้สำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 2เป้าหมายในเส้นประแบ่งออกเป็น 3 โซน ความน่าจะเป็นที่นักกีฬาบางคนจะยิงไปที่เป้าหมายในโซนแรกคือ 0.15 ในโซนที่สอง - 0.23 ในโซนที่สาม - 0.17 จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงโดนเป้าหมายและความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงพลาดเป้าหมาย

วิธีแก้ไข: ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดนเป้าหมาย:

ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงพลาดเป้าหมาย:

งานที่ยากขึ้นซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณความน่าจะเป็น - ในหน้า "งานต่างๆ สำหรับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น" .

การบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมกัน

มีการกล่าวถึงเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ว่าเกิดขึ้นร่วมกันหากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้ขัดขวางการเกิดเหตุการณ์ที่สองในการสังเกตเดียวกัน ตัวอย่างเช่นเมื่อโยนลูกเต๋าเหตุการณ์ และถือเป็นการเกิดขึ้นของเลข 4 และเหตุการณ์ ที่- ทิ้งเลขคู่ เนื่องจากเลข 4 เป็นเลขคู่ ทั้งสองเหตุการณ์จึงเข้ากันได้ ในทางปฏิบัติมีงานสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ร่วมกันอย่างใดอย่างหนึ่ง

ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมความน่าจะเป็นที่หนึ่งในเหตุการณ์ร่วมจะเกิดขึ้นเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ ซึ่งลบความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นทั่วไปของทั้งสองเหตุการณ์ นั่นคือผลคูณของความน่าจะเป็น สูตรสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมมีดังนี้:

เพราะเหตุการณ์ และและ ที่เข้ากันได้, เหตุการณ์ และ+ ที่เกิดขึ้นหากหนึ่งในสามเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เกิดขึ้น: หรือ เอบี. ตามทฤษฎีบทของการบวกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เราคำนวณดังนี้:

เหตุการณ์ และจะเกิดขึ้นหากหนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เกิดขึ้น: หรือ เอบี. อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์หนึ่งจากเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดเหล่านี้:

ในทำนองเดียวกัน:

การแทนที่นิพจน์ (6) และ (7) เป็นนิพจน์ (5) เราได้สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ร่วม:

เมื่อใช้สูตร (8) ควรคำนึงถึงเหตุการณ์ และและ ที่อาจจะ:

• เป็นอิสระต่อกัน
• พึ่งพาอาศัยกัน

สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน:

สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน:

หากเหตุการณ์ และและ ที่ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความบังเอิญจึงเป็นเรื่องที่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น พี(เอบี) = 0 สูตรความน่าจะเป็นที่สี่สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้มีดังนี้:

ตัวอย่างที่ 3ในการแข่งรถ เมื่อขับในรถคันแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะ เมื่อขับในรถคันที่สอง หา:

• ความน่าจะเป็นที่รถทั้งสองคันจะชนะ
• ความน่าจะเป็นที่รถอย่างน้อยหนึ่งคันจะชนะ

1) ความน่าจะเป็นที่รถคันแรกจะชนะไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของรถคันที่ 2 ดังนั้นเหตุการณ์ต่างๆ และ(รถคันแรกชนะ) และ ที่(รถคันที่สองชนะ) - เหตุการณ์อิสระ ค้นหาความน่าจะเป็นที่รถทั้งสองคันจะชนะ:

2) ค้นหาความน่าจะเป็นที่หนึ่งในสองคันจะชนะ:

งานที่ยากขึ้นซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณความน่าจะเป็น - ในหน้า "งานต่างๆ สำหรับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น" .

แก้ปัญหาการบวกความน่าจะเป็นด้วยตัวคุณเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4โยนเหรียญสองเหรียญ เหตุการณ์ ก- การสูญเสียตราแผ่นดินในเหรียญแรก เหตุการณ์ ข- การสูญเสียตราแผ่นดินในเหรียญที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ค = ก + ข .

การคูณความน่าจะเป็น

การคูณความน่าจะเป็นจะใช้เมื่อต้องคำนวณความน่าจะเป็นของผลคูณเชิงตรรกะของเหตุการณ์

ในกรณีนี้ เหตุการณ์สุ่มต้องเป็นอิสระต่อกัน กล่าวกันว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกันหากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งผลต่อความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่สอง

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน และและ ที่เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ และคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 5เหรียญถูกโยนสามครั้งติดต่อกัน จงหาความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะหลุดออกทั้ง 3 ครั้ง

การตัดสินใจ. ความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะตกลงในการโยนเหรียญครั้งแรก ครั้งที่สอง และครั้งที่สาม จงหาความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะหลุดออกทั้ง 3 ครั้ง:

แก้ปัญหาสำหรับการคูณความน่าจะเป็นด้วยตัวคุณเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 6มีกล่องพร้อมลูกเทนนิสใหม่ 9 ลูก ลูกบอลสามลูกสำหรับเกมหลังจากจบเกมพวกเขาจะถูกนำกลับมา เมื่อเลือกลูกบอล พวกเขาจะไม่แยกแยะระหว่างลูกบอลที่เล่นแล้วและยังไม่ได้เล่น ความน่าจะเป็นหลังจากนั้นคืออะไร สามเกมจะไม่มีลูกที่ไม่ได้เล่นอยู่ในกล่อง?

ตัวอย่างที่ 7ตัวอักษรรัสเซีย 32 ตัวเขียนบนการ์ดตัวอักษรแบบตัด ไพ่ห้าใบจะถูกสุ่มออกมา ทีละใบ และวางบนโต๊ะตามลำดับที่ปรากฏ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรจะประกอบเป็นคำว่า "end"

ตัวอย่างที่ 8จากไพ่เต็มสำรับ (52 แผ่น) ไพ่สี่ใบจะถูกดึงออกมาพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบนี้จะมีดอกเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 9ปัญหาเดียวกับตัวอย่างที่ 8 แต่ไพ่แต่ละใบจะถูกส่งกลับสำรับหลังจากจั่ว

งานที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณความน่าจะเป็น ตลอดจนคำนวณผลคูณของเหตุการณ์ต่างๆ - ในหน้า "งานต่างๆ สำหรับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น" .

ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งในเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกันจะเกิดขึ้นสามารถคำนวณได้โดยการลบผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามออกจาก 1 นั่นคือตามสูตร