ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและสูตรพื้นฐานที่ง่ายที่สุด ทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ซึ่งหนึ่งในนั้นเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง
4. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข. ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น.
ในหลายปัญหาจำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นของการรวมเหตุการณ์ และและ ที่หากทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และและ ที่.
พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ให้โยนเหรียญสองเหรียญ ค้นหาความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของสองตราแผ่นดิน เรามีผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ที่น่าจะเป็นไปได้เท่าๆ กัน 4 รายการซึ่งเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์:
| เหรียญที่ 1 | เหรียญที่2 | |
| ผลลัพธ์ที่ 1 | แขนเสื้อ | แขนเสื้อ |
| ผลลัพธ์ที่ 2 | แขนเสื้อ | จารึก |
| การอพยพครั้งที่ 3 | จารึก | แขนเสื้อ |
| ผลลัพธ์ที่ 4 | จารึก | จารึก |
ดังนั้น, P (ตราแผ่นดิน, ตราแผ่นดิน)=1/4.
ตอนนี้ขอให้เรารู้ว่าตราแผ่นดินตกลงบนเหรียญแรก ความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะปรากฏบนเหรียญทั้งสองจะเปลี่ยนไปอย่างไรหลังจากนี้? เนื่องจากตราแผ่นดินตกลงบนเหรียญแรก ตอนนี้กลุ่มเต็มประกอบด้วยสองผลลัพธ์ที่น่าจะเข้ากันไม่ได้เท่าๆ กัน:
| เหรียญที่ 1 | เหรียญที่2 | |
| ผลลัพธ์ที่ 1 | แขนเสื้อ | แขนเสื้อ |
| ผลลัพธ์ที่ 2 | แขนเสื้อ | จารึก |
ในกรณีนี้ มีเพียงหนึ่งในผลลัพธ์เท่านั้นที่สนับสนุนเหตุการณ์นี้ (เสื้อคลุมแขน, เสื้อคลุมแขน) ดังนั้นภายใต้สมมติฐานที่ตั้งไว้ P(ตราแผ่นดิน, ตราแผ่นดิน) \u003d 1/2. แสดงโดย และลักษณะเป็นตราแผ่นดิน 2 ข้าง และทะลุ ที่- ลักษณะตราแผ่นดินบนเหรียญรุ่นแรก เราเห็นว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และเปลี่ยนไปเมื่อรู้ว่าเหตุการณ์นั้น ขที่เกิดขึ้น.
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใหม่ และสมมติว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้น ขเราจะแสดงว่า พี บี (เอ).
ดังนั้น, P(A)=1/4; PB (A) \u003d 1/2
ทฤษฎีบทการคูณ ความน่าจะเป็นของการรวมเหตุการณ์ A และ B เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง โดยคำนวณจากสมมติฐานว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้น เช่น
| P(AB)=P(A)PA A (B) | (4) |
การพิสูจน์.ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของความสัมพันธ์ (4) ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ให้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ อี 1, อี 2, ..., อี เอ็นของประสบการณ์นี้ก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ที่น่าจะเป็นไปได้เท่าๆ กัน ซึ่งเหตุการณ์นั้น กโปรดปราน มผลลัพธ์และปล่อยให้จากสิ่งเหล่านี้ มผลลัพธ์ แอลผลลัพธ์สนับสนุนเหตุการณ์ ข. เห็นได้ชัดว่าการรวมกันของเหตุการณ์ กและ ขโปรดปราน แอลจาก เอ็นผลการทดสอบที่เป็นไปได้ สิ่งนี้ให้ ; ;
ดังนั้น, 
การแลกเปลี่ยนสถานที่ กและ ขในทำนองเดียวกันเราได้รับ
ทฤษฎีบทการคูณสามารถสรุปได้อย่างง่ายดายสำหรับเหตุการณ์จำนวนจำกัดใดๆ ตัวอย่างเช่น ในกรณีของสามเหตุการณ์ เอ 1, A2, 3เรามี *
โดยทั่วไป
จากความสัมพันธ์ (6) มันตามมาว่าจากสองความเท่าเทียมกัน (8) สิ่งหนึ่งเป็นผลมาจากอีกสิ่งหนึ่ง
ตัวอย่างเช่นเหตุการณ์ ก- การปรากฏตัวของแขนเสื้อในระหว่างการโยนเหรียญเพียงครั้งเดียวและเหตุการณ์ ข- ลักษณะของไพ่ชุดเพชรเมื่อไพ่ถูกนำออกจากสำรับ เห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์ กและ ขเป็นอิสระ.
หากเหตุการณ์เป็นอิสระ กถึง ขสูตร (4) จะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า:
* เหตุการณ์ ก1ก2ก3สามารถแสดงเป็นการรวมกันของสองเหตุการณ์: เหตุการณ์ C=ก 1 ก 2และกิจกรรมต่างๆ 3.
พิจารณาเหตุการณ์ กและ ขเกี่ยวข้องกับประสบการณ์เดียวกัน ให้เป็นที่ทราบจากบางแหล่งว่าเหตุการณ์ ขเกิดขึ้น แต่ไม่ทราบว่าผลลัพธ์เบื้องต้นใดที่ประกอบกันเป็นเหตุการณ์ ข, เกิดขึ้น. สิ่งที่สามารถพูดได้ในกรณีนี้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก?
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กคำนวณภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์ ขเกิดขึ้นเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและแสดงว่า ป(ก|ข).
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ป(ก|ข)การพัฒนา กขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ ขภายใต้กรอบของโครงร่างแบบคลาสสิก เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดความน่าจะเป็นเป็นอัตราส่วน แนบผลลัพธ์ที่สนับสนุนการดำเนินการร่วมกันของเหตุการณ์ กและ ขไปที่หมายเลข หมายเหตุผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ ข, นั่นคือ
ถ้าเราหารตัวเศษและตัวส่วนของนิพจน์นี้ด้วยจำนวนทั้งหมด เอ็นเราได้รับผลลัพธ์เบื้องต้น
คำนิยาม. ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของเหตุการณ์ กขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ ขเรียกว่าอัตราส่วนของความน่าจะเป็นของการตัดกันของเหตุการณ์ กและ ขถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ข:
ในขณะเดียวกันก็สันนิษฐานว่า P(B) ≠ 0.
ทฤษฎีบท. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ป(ก|ข)มีคุณสมบัติของความน่าจะเป็นที่ไม่มีเงื่อนไขทั้งหมด พี(เอ).
ความหมายของทฤษฎีบทนี้คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขที่กำหนดบนพื้นที่ใหม่ โอห์ม 1ผลลัพธ์เบื้องต้นที่สอดคล้องกับเหตุการณ์ ข.
ตัวอย่าง. จากโกศที่ ก=7ทรายขาว ข=3ลูกบอลสีดำ ลูกบอลสองลูกถูกสุ่มจับโดยไม่มีการเปลี่ยน ปล่อยให้เหตุการณ์ เอ 1คือลูกบอลแรกที่จับเป็นสีขาวและ A2- ลูกที่สองเป็นสีขาว อยากไปหา ป(ก 2 | ก 1).
วิธีที่ 1.. ตามนิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
วิธีที่ 2. ไปสู่พื้นที่ใหม่ของผลลัพธ์เบื้องต้น โอห์ม 1. ตั้งแต่เหตุการณ์ เอ 1เกิดขึ้น หมายความว่าในพื้นที่ใหม่ของผลลัพธ์เบื้องต้น จำนวนรวมของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน NΩ 1 =a+b-1=9และกิจกรรม A2ชอบมัน ยังไม่มีข้อความ 2 \u003d a-1 \u003d 6ผลลัพธ์ เพราะเหตุนี้,
ทฤษฎีบท [การคูณความน่าจะเป็น]. ปล่อยให้เหตุการณ์ A=A 1 A 2 …A nและ P(A)>0. จากนั้นความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:
P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).
ความคิดเห็น. จากคุณสมบัติการสลับสับเปลี่ยนของจุดตัด เราสามารถเขียนได้
P(ก 1 A 2) = P(ก 1) P(ก 2 |ก 1)
ป(ก 1 ก 2) = ป(ก 2) ป(ก 1 | ก 2).
ตัวอย่าง. ตัวอักษรที่สร้างคำว่า "NIGHTINGALE" เขียนบนการ์ด 7 ใบ ไพ่จะถูกสับและไพ่สามใบจะถูกนำออกจากไพ่แบบสุ่มและเรียงจากซ้ายไปขวา จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้คำว่า "VOL" (เหตุการณ์ ก).
ปล่อยให้เหตุการณ์ เอ 1- ตัวอักษร "B" เขียนบนการ์ดใบแรก A2- ตัวอักษร "O" เขียนอยู่บนการ์ดใบที่สอง A2- บนการ์ดใบที่สาม - ตัวอักษร "L" แล้วเหตุการณ์ ก- การตัดกันของเหตุการณ์ เอ 1, A2, 3. เพราะเหตุนี้,
P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).
P(A1)=1/7; ถ้าเหตุการณ์ เอ 1เกิดขึ้น จากนั้นในไพ่ 6 ใบที่เหลือ “O” จะเกิดขึ้นสองครั้ง ซึ่งหมายความว่า P(ก 2 |ก 1)=2/6=1/3. เช่นเดียวกัน, ป(ก 3 |ก 1)=2/6=1/3. เพราะเหตุนี้,
คำนิยาม. การพัฒนา กและ ขซึ่งมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า อิสระ ถ้าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข กกำหนดว่า ขเกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็นที่ไม่มีเงื่อนไข กหรือถ้าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ขกำหนดว่า กเกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็นที่ไม่มีเงื่อนไข ข, นั่นคือ
พี(เอ|บี) = พี(เอ)หรือ พี(บี|เอ) = พี(บี),
มิฉะนั้นเหตุการณ์ กและ ขเรียกว่าพึ่ง.
ทฤษฎีบท. การพัฒนา กและ ขซึ่งมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ มีความเป็นอิสระก็ต่อเมื่อ
P(AB) = P(A) P(B).
ดังนั้น เราสามารถให้คำจำกัดความที่เทียบเท่าได้:
คำนิยาม. การพัฒนา กและ ขจะเรียกว่าอิสระถ้า P(AB) = P(A) P(B).
ตัวอย่าง. จากสำรับไพ่ที่มี n=36การ์ด ไพ่หนึ่งใบจะถูกสุ่มออกมา แสดงโดย กเหตุการณ์ที่สอดคล้องกับความจริงที่ว่าแผนที่ที่แยกออกมาจะเป็นจุดสูงสุดและ ข- เหตุการณ์ที่สอดคล้องกับการปรากฏตัวของ "ผู้หญิง" ตรวจสอบว่าเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ กและ ข.
P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, 
. ดังนั้นเหตุการณ์ กและ ขเป็นอิสระ. เช่นเดียวกัน, 
.
ปล่อยให้เป็น และและ ที่เป็นสองเหตุการณ์ที่พิจารณาในการทดสอบนี้ ในกรณีนี้ การเกิดเหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งอาจส่งผลต่อความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์อื่น เช่น เกิดเหตุการณ์ และสามารถมีอิทธิพลต่อเหตุการณ์ ที่หรือในทางกลับกัน เพื่อคำนึงถึงการพึ่งพาเหตุการณ์บางอย่างกับเหตุการณ์อื่น ๆ แนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะถูกนำมาใช้
คำนิยาม.หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขว่าเหตุการณ์นั้น และเกิดขึ้นแล้ว ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ที่เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขการพัฒนา ที่. สัญลักษณ์ต่อไปนี้ใช้เพื่อแสดงถึงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขดังกล่าว: รและ ( ที่) หรือ ร(ที่ / และ).
หมายเหตุ 2. ตรงกันข้ามกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบ "ไม่มีเงื่อนไข" จะถูกพิจารณาด้วย เมื่อมีเงื่อนไขใดๆ สำหรับการเกิดเหตุการณ์บางอย่าง ที่หายไป.
ตัวอย่าง. โกศบรรจุลูกบอล 5 ลูก โดย 3 ลูกเป็นสีแดงและ 2 ลูกเป็นสีน้ำเงิน ในทางกลับกันลูกบอลหนึ่งลูกจะถูกดึงออกมาโดยมีการส่งคืนและไม่มีการส่งคืน ค้นหาความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของการได้ลูกบอลสีแดงเป็นครั้งที่สอง โดยมีเงื่อนไขว่าครั้งแรกที่ได้คือ: ก) ลูกบอลสีแดง; b) ลูกบอลสีน้ำเงิน
ปล่อยให้เหตุการณ์ และวาดลูกบอลสีแดงเป็นครั้งแรกและเหตุการณ์ ที่– สกัดลูกบอลสีแดงเป็นครั้งที่สอง เห็นได้ชัดว่า ร(และ) = 3/5; แล้วในกรณีที่ลูกที่หยิบออกมาในครั้งแรกกลับเข้าโกศ ร(ที่)=3/5. ในกรณีที่ไม่มีการส่งคืนลูกบอลที่ดึงออกมา ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดง ร(ที่) ขึ้นอยู่กับว่าลูกใดถูกจับเป็นครั้งแรก - สีแดง (เหตุการณ์ และ) หรือสีน้ำเงิน (เหตุการณ์) จากนั้นในกรณีแรก รและ ( ที่) = 2 / 4 และในวินาที ( ที่) = 3 / 4.
ทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ซึ่งหนึ่งในนั้นเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง
ความน่าจะเป็นของผลคูณของสองเหตุการณ์เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งพบได้ภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้น:
ร(เอ ∙ บี) = ร(และ) ∙ รและ ( ที่) . (1.7)
การพิสูจน์. แท้จริงปล่อยให้ น- จำนวนรวมของผลการทดสอบที่น่าจะเป็นไปได้และเข้ากันไม่ได้ (เบื้องต้น) เท่าๆ กัน ปล่อยมันไป น 1 - จำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนกิจกรรม และซึ่งเกิดขึ้นที่จุดเริ่มต้นและ ม- จำนวนผลลัพธ์ที่เหตุการณ์เกิดขึ้น ที่สมมติว่าเหตุการณ์ และได้มา. ดังนั้น, มคือจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ ที่.แล้ว เราได้รับ:
เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นของผลคูณของหลายเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของหนึ่งในเหตุการณ์เหล่านี้โดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์อื่น ๆ และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของแต่ละเหตุการณ์ที่ตามมาจะคำนวณบนสมมติฐานว่าเหตุการณ์ก่อนหน้านี้ทั้งหมดได้เกิดขึ้น
ตัวอย่าง.มีผู้เชี่ยวชาญด้านกีฬา 4 คนในทีมนักกีฬา 10 คน โดยการจับฉลากเลือกนักกีฬา 3 คนจากทีม ความน่าจะเป็นที่นักกีฬาที่เลือกทั้งหมดเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านกีฬาเป็นเท่าใด
การตัดสินใจ. ให้เราลดปัญหาไปที่รูปแบบ "โกศ" นั่นคือ สมมติว่ามีลูกบอลสีแดง 4 ลูกและสีขาว 6 ลูกในโกศที่มีลูกบอล 10 ลูก สุ่มจับลูกบอล 3 ลูกจากโกศนี้ (ตัวเลือก ส= 3). ปล่อยให้เหตุการณ์ และประกอบด้วยสกัดบอล 3 ลูก ปัญหาสามารถแก้ไขได้สองวิธี: โดยรูปแบบคลาสสิกและตามสูตร (1.9)
วิธีแรกตามสูตร combinatorics:
วิธีที่สอง (ตามสูตร (1.9)) ลูกบอล 3 ลูกถูกดึงออกมาจากโกศติดต่อกันโดยไม่มีการเปลี่ยน ปล่อยให้เป็น และ 1 - ลูกบอลลูกแรกที่จับเป็นสีแดง และ 2 - ลูกบอลลูกที่สองเป็นสีแดง และ 3 - ลูกบอลลูกที่สามเป็นสีแดง ให้เหตุการณ์ด้วย และหมายความว่าลูกบอลที่จับออกมาทั้ง 3 ลูกเป็นสีแดง แล้ว: และ = และ 1 ∙ (และ 2 / และ 1) ∙ และ 3 / (และ 1 ∙ และ 2) เช่น
ตัวอย่าง.ให้จากชุดไพ่ a, a, r, b, o, tไพ่จะถูกดึงทีละใบ ความน่าจะเป็นที่จะได้รับคำว่า " งาน” เมื่อพับตามลำดับเป็นบรรทัดเดียวจากซ้ายไปขวา?
ปล่อยให้เป็น ที่- เหตุการณ์ที่ได้รับคำประกาศ จากนั้นตามสูตร (1.9) เราได้รับ:
ร(ที่) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.
ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นใช้รูปแบบที่ง่ายที่สุดเมื่อผลคูณเกิดจากเหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกัน
คำนิยาม.เหตุการณ์ ที่เรียกว่า เป็นอิสระจากเหตุการณ์ และหากความน่าจะเป็นไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าเหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ตาม และหรือไม่. เหตุการณ์สองเหตุการณ์เรียกว่าอิสระ (ขึ้นอยู่กับ) หากการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่เปลี่ยนแปลง (เปลี่ยน) ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ดังนั้นสำหรับไม่ เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ พี(B/ก) = ร(ที่) หรือ = ร(ที่) และสำหรับเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน ร(ที่/ก)
เหตุการณ์. พื้นที่ของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา เหตุการณ์ที่แน่นอน เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์ร่วมและไม่ร่วม เหตุการณ์ที่เท่าเทียมกัน ครบทุกกลุ่มกิจกรรม การดำเนินงานเกี่ยวกับเหตุการณ์
เหตุการณ์เป็นปรากฏการณ์ที่กล่าวได้ว่า กำลังเกิดขึ้นหรือ ไม่ได้เกิดขึ้นขึ้นอยู่กับลักษณะของเหตุการณ์นั้นเอง
ภายใต้ เหตุการณ์ระดับประถมศึกษาที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบเฉพาะ เข้าใจผลลัพธ์ที่แยกย่อยไม่ได้ทั้งหมดของการทดสอบนั้น แต่ละเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นจากผลการทดสอบนี้ถือเป็นชุดของเหตุการณ์พื้นฐานที่แน่นอน
พื้นที่ของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาเรียกว่าเซตตามอำเภอใจ (จำกัด หรือ ไม่จำกัด) องค์ประกอบคือจุด (เหตุการณ์เบื้องต้น) ส่วนย่อยของพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นเรียกว่าเหตุการณ์
เหตุการณ์บางอย่างเหตุการณ์ที่เรียกว่าซึ่งเป็นผลมาจากการทดสอบนี้จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน (แสดงโดย E)
เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เหตุการณ์นี้เรียกว่าเหตุการณ์ดังกล่าวซึ่งเป็นผลมาจากการทดสอบที่กำหนด ไม่สามารถเกิดขึ้นได้; (แทนตัว U). ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของหนึ่งในหกจุดระหว่างการโยนหนึ่งครั้ง ลูกเต๋า- เหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือและการปรากฏตัวของ 8 คะแนนเป็นไปไม่ได้
เรียกทั้งสองเหตุการณ์ว่า ข้อต่อ(เข้ากันได้) ในประสบการณ์ที่กำหนด หากลักษณะที่ปรากฏของหนึ่งในนั้นไม่ได้แยกลักษณะของอีกลักษณะหนึ่งออก
เรียกทั้งสองเหตุการณ์ว่า เข้ากันไม่ได้(เข้ากันไม่ได้) ในการทดลองที่กำหนดหากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในการทดลองเดียวกัน มีการกล่าวถึงเหตุการณ์หลายอย่างที่เข้ากันไม่ได้หากจับคู่กันไม่ได้
เริ่มฟอร์ม
จบแบบ
| เหตุการณ์เป็นปรากฏการณ์ที่อาจกล่าวได้ว่าเป็น กำลังเกิดขึ้นหรือ ไม่ได้เกิดขึ้นขึ้นอยู่กับลักษณะของเหตุการณ์นั้นเอง เหตุการณ์จะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ของตัวอักษรละติน A, B, C, ... เหตุการณ์ใด ๆ เกิดขึ้นเนื่องจาก การทดสอบ. ตัวอย่างเช่นเราโยนเหรียญ - การทดสอบ การปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนเป็นเหตุการณ์ เรานำหลอดไฟออกจากกล่อง - การทดสอบมีข้อบกพร่อง - เหตุการณ์ เราสุ่มเอาลูกบอลออกจากกล่อง - การทดสอบ ลูกบอลกลายเป็นสีดำ - เหตุการณ์ เหตุการณ์แบบสุ่มคือเหตุการณ์ที่สามารถ เกิดขึ้นหรือ ไม่เกิดขึ้นระหว่างการทดสอบนี้ ตัวอย่างเช่น การจั่วไพ่หนึ่งใบโดยสุ่มจากสำรับ คุณหยิบไพ่เอซ การยิง ผู้ยิงเข้าเป้า ศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นเท่านั้น มโหฬารเหตุการณ์สุ่ม เหตุการณ์บางอย่างคือเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนจากผลการทดสอบที่กำหนด (แสดงโดย E) เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือเหตุการณ์ที่เป็นผลมาจากการทดสอบที่กำหนด ไม่สามารถเกิดขึ้นได้; (แทนตัว U). ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของหนึ่งในหกแต้มระหว่างการทอยลูกเต๋าหนึ่งครั้งเป็นเหตุการณ์บางอย่าง แต่การปรากฏของแต้ม 8 แต้มนั้นเป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์ที่เท่าเทียมกันคือเหตุการณ์เหล่านั้นซึ่งแต่ละเหตุการณ์ ไม่มีประโยชน์ในรูปลักษณ์บ่อยกว่าครั้งอื่นในระหว่างการทดสอบจำนวนมากที่ดำเนินการภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบจับคู่คือเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์นี้ต่อจำนวนรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดเท่าๆ กัน: P(A) = โดยที่ A คือเหตุการณ์; P(A) - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์; N คือจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้และเข้ากันไม่ได้เท่าๆ กัน N(A) คือจำนวนเหตุการณ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ A นี่คือคำจำกัดความแบบดั้งเดิมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นใช้กับการทดสอบที่มีผลการทดสอบที่มีโอกาสเท่ากันจำนวนจำกัด ให้มีการยิงเข้าเป้า n ครั้ง ในจำนวนนี้มีการยิงเข้าเป้า 1 ครั้ง อัตราส่วน W(A) = เรียกว่าความถี่ทางสถิติสัมพัทธ์ของเหตุการณ์ A ดังนั้น W(A) จึงเป็นความถี่ทางสถิติ เมื่อถ่ายภาพเป็นชุด (ตารางที่ 1) ความถี่ทางสถิติจะผันผวนตามค่าคงที่จำนวนหนึ่ง ขอแนะนำให้ใช้ตัวเลขนี้เป็นค่าประมาณความน่าจะเป็นของการชน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือหมายเลขที่ไม่รู้จัก P ซึ่งรวบรวมค่าของความถี่ทางสถิติของการเกิดเหตุการณ์ A โดยเพิ่มจำนวนการทดลอง นี่คือการกำหนดทางสถิติสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม |
| การดำเนินงานเกี่ยวกับเหตุการณ์ |
| ภายใต้เหตุการณ์เบื้องต้นที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบเฉพาะ ให้เข้าใจผลลัพธ์ที่แยกย่อยไม่ได้ทั้งหมดของการทดสอบนี้ แต่ละเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นจากผลการทดสอบนี้ถือเป็นชุดของเหตุการณ์พื้นฐานที่แน่นอน ช่องว่างของเหตุการณ์เบื้องต้นเป็นชุดตามอำเภอใจ (จำกัด หรือ ไม่มีที่สิ้นสุด) องค์ประกอบคือจุด (เหตุการณ์เบื้องต้น) ส่วนย่อยของพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นเรียกว่าเหตุการณ์ ความสัมพันธ์และการดำเนินการที่ทราบทั้งหมดในชุดจะถูกโอนไปยังเหตุการณ์ กล่าวกันว่าเหตุการณ์ A เป็นกรณีพิเศษของเหตุการณ์ B (หรือ B เป็นผลลัพธ์ของ A) ถ้าเซต A เป็นสับเซตของ B ความสัมพันธ์นี้แสดงในลักษณะเดียวกับเซต: A ⊂ B หรือ B ⊃ A ดังนั้น ความสัมพันธ์ A ⊂ B หมายความว่าเหตุการณ์พื้นฐานทั้งหมดที่รวมอยู่ใน A จะรวมอยู่ใน B ด้วย นั่นคือ เมื่อเหตุการณ์ A เกิดขึ้น เหตุการณ์ B ก็เกิดขึ้นเช่นกัน นอกจากนี้ ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ A แล้ว A = B. เหตุการณ์ A ซึ่งเกิดขึ้นในขณะนั้นและเฉพาะเมื่อเหตุการณ์ A ไม่เกิดขึ้นเท่านั้นเรียกว่าตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ A เนื่องจากในการทดลองแต่ละครั้งจะมีเหตุการณ์ A หรือ A เพียงเหตุการณ์เดียวเท่านั้น ดังนั้น P(A) + P (A) = 1 หรือ P(A) = 1 − P(A) การรวมกันหรือผลรวมของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ C ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเหตุการณ์ A เกิดขึ้น หรือเหตุการณ์ B เกิดขึ้น หรือ A และ B เกิดขึ้นพร้อมกัน ซึ่งเขียนแทนด้วย C = A ∪ B หรือ C = A + B การรวมกันของเหตุการณ์ A 1 , A 2 , ... A n เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งในเหตุการณ์เหล่านี้เกิดขึ้น การรวมกันของเหตุการณ์จะแสดงเป็น A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n หรือ A k หรือ A 1 + A 2 + ... + A n อินเตอร์เซกชันหรือผลคูณของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ D ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นพร้อมกัน และเขียนแทนด้วย D = A ∩ B หรือ D = A × B การรวมกันหรือผลคูณของเหตุการณ์ A 1 , A 2 , ... A n เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อทั้งเหตุการณ์ A 1 และเหตุการณ์ A 2 ฯลฯ และเหตุการณ์ A n เกิดขึ้น ชุดค่าผสมจะแสดงดังนี้: A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n หรือ A k หรือ A 1 × A 2 × ... × A n |
หัวข้อหมายเลข 2 นิยามเชิงสัจพจน์ของความน่าจะเป็น คลาสสิก สถิติ เรขาคณิต คำจำกัดความของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คุณสมบัติความน่าจะเป็น ทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เป็นอิสระ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จะเกิดขึ้น สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด สูตรเบย์
การวัดเชิงตัวเลขของระดับความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเรียกว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คำจำกัดความนี้ซึ่งสะท้อนแนวคิดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในเชิงคุณภาพ ไม่ใช่เรื่องทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้เป็นเช่นนั้น จำเป็นต้องกำหนดในเชิงคุณภาพ
ตาม คำนิยามคลาสสิก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนคดีที่เอื้อต่อเหตุการณ์ A ต่อจำนวนคดีทั้งหมด นั่นคือ:
โดยที่ P(A) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A
จำนวนคดีที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ ก
จำนวนคดีทั้งหมด
คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น:
ความน่าจะเป็นทางสถิติของเหตุการณ์ A คือความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดสอบที่ดำเนินการ นั่นคือ:
ความน่าจะเป็นทางสถิติของเหตุการณ์ A อยู่ที่ไหน
ความถี่สัมพัทธ์ (frequency) ของเหตุการณ์ก.
จำนวนการทดลองที่เหตุการณ์ A ปรากฏขึ้น
จำนวนการทดลองทั้งหมด
ซึ่งแตกต่างจากความน่าจะเป็น "ทางคณิตศาสตร์" ซึ่งพิจารณาในคำจำกัดความแบบดั้งเดิม ความน่าจะเป็นทางสถิติเป็นลักษณะของการทดลอง การทดลอง
หากมีสัดส่วนของกรณีที่สนับสนุนเหตุการณ์ A ซึ่งถูกกำหนดโดยตรงโดยไม่มีการทดลองใด ๆ นั่นคือสัดส่วนของการทดลองเหล่านั้นที่ดำเนินการจริงในเหตุการณ์ A ปรากฏขึ้น
ความหมายทางเรขาคณิตของความน่าจะเป็น:
ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิตของเหตุการณ์ A คืออัตราส่วนของการวัดพื้นที่ที่เอื้อต่อการเกิดเหตุการณ์ A ต่อการวัดพื้นที่ทั้งหมด นั่นคือ:
ในกรณีมิติเดียว:
จำเป็นต้องประเมินความน่าจะเป็นที่จะถึงจุดบนแผ่นซีดี/
ปรากฎว่าความน่าจะเป็นนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของซีดีในส่วน AB แต่ขึ้นอยู่กับความยาวของมันเท่านั้น
ความน่าจะเป็นของการกดปุ่มไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างหรือตำแหน่งของ B บน A แต่ขึ้นอยู่กับพื้นที่ของส่วนนี้เท่านั้น
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
ความน่าจะเป็นที่เรียกว่า มีเงื่อนไข หากคำนวณภายใต้เงื่อนไขบางประการและแสดงว่า:
นี่คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขว่าเหตุการณ์ B ได้เกิดขึ้นแล้ว
ตัวอย่าง. เราทำการทดสอบดึงไพ่สองใบออกจากสำรับ: ความน่าจะเป็นแรกไม่มีเงื่อนไข
เราคำนวณความน่าจะเป็นที่จะวาดเอซจากสำรับ:
เราคำนวณการเกิดขึ้นของ 2-ace จากเด็ค:
A*B - เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกัน
– ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น
ผลที่ตามมา:
ทฤษฎีบทการคูณสำหรับการเกิดเหตุการณ์ร่วมกันมีรูปแบบ:
นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่ตามมาแต่ละรายการจะถูกคำนวณโดยคำนึงถึงเงื่อนไขก่อนหน้านี้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นแล้ว
ความเป็นอิสระของเหตุการณ์:
เหตุการณ์สองเหตุการณ์เรียกว่าเป็นอิสระต่อกันหากเหตุการณ์หนึ่งไม่ขัดแย้งกับอีกเหตุการณ์หนึ่ง
ตัวอย่างเช่น หากไพ่เอซถูกจั่วจากสำรับซ้ำๆ กัน แสดงว่าไพ่เหล่านั้นไม่เป็นอิสระจากกัน อีกครั้งนั่นคือการ์ดถูกดูและกลับไปที่สำรับ
กิจกรรมร่วมและไม่ร่วม:
ข้อต่อเรียกเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ถ้าหนึ่งในนั้นไม่ขัดแย้งกับอีกเหตุการณ์หนึ่ง
ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วม:
ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ร่วมหนึ่งในสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้โดยไม่มีการเกิดขึ้นร่วมกัน
สำหรับสามกิจกรรมร่วมกัน:
เหตุการณ์จะเรียกว่าไม่สอดคล้องกันหากไม่มีสองเหตุการณ์ที่สามารถปรากฏขึ้นพร้อมกันอันเป็นผลมาจากการทดสอบแบบสุ่มเพียงครั้งเดียว
ทฤษฎีบท:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หนึ่งในสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้
ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์:
ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น:
ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในจำนวนจำกัดจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:
ข้อโต้แย้งที่ 1:
ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สร้างกลุ่มทั้งหมดเท่ากับหนึ่ง:
ข้อโต้แย้ง 2:
ความคิดเห็น:ควรเน้นย้ำว่าทฤษฎีบทการบวกที่พิจารณานั้นใช้ได้กับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เท่านั้น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม:
ตรงข้ามเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่ไม่ซ้ำกันสองเหตุการณ์ซึ่งรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์เรียกว่า หนึ่งในสองเหตุการณ์ที่ตรงกันข้ามแสดงด้วย และ, อื่น ๆ - ผ่าน .
ตัวอย่าง: การตีและพลาดเมื่อยิงไปที่เป้าหมายเป็นเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม ถ้า A ถูกตี แสดงว่าพลาด
ทฤษฎีบท:ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามเท่ากับหนึ่ง:
หมายเหตุ 1:หากความน่าจะเป็นของหนึ่งในสองเหตุการณ์ตรงข้ามแสดงด้วย p ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งจะแสดงด้วย q ดังนั้นโดยอาศัยทฤษฎีบทก่อนหน้า:
โน้ต 2:เมื่อแก้ปัญหาเพื่อหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A มักจะเป็นประโยชน์ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นก่อน แล้วจึงค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการโดยใช้สูตร:
ความน่าจะเป็นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น:
สมมติว่าเป็นผลจากการทดลอง เหตุการณ์บางส่วนหรือไม่มีเลยอาจปรากฏขึ้น
ทฤษฎีบท:ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จากชุดของเหตุการณ์อิสระเท่ากับความแตกต่างระหว่างเอกภาพและความน่าจะเป็นที่จะไม่เกิดเหตุการณ์
สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดช่วยให้คุณค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กซึ่งเกิดขึ้นได้กับแต่ละแห่งเท่านั้น นเหตุการณ์พิเศษร่วมกันที่ก่อตัวเป็นระบบที่สมบูรณ์หากทราบความน่าจะเป็น และ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข การพัฒนา กที่เกี่ยวกับแต่ละเหตุการณ์ของระบบมีค่าเท่ากับ
เหตุการณ์เรียกอีกอย่างว่าสมมติฐาน ดังนั้นในวรรณคดีคุณสามารถค้นหาการกำหนดไม่ได้ตามตัวอักษร ขแต่ด้วยจดหมาย ชม(สมมุติฐาน).
การแก้ปัญหาด้วยเงื่อนไขดังกล่าวจำเป็นต้องพิจารณาข้อ 3, 4, 5 หรือในกรณีทั่วไป นความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ ก- กับทุกเหตุการณ์
การใช้ทฤษฎีบทของการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น เราได้ผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ของระบบโดย ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข การพัฒนา กสำหรับแต่ละเหตุการณ์ในระบบ นั่นคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กสามารถคำนวณได้ด้วยสูตร
หรือโดยทั่วไป
,
ซึ่งเรียกว่า สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด .
สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด: ตัวอย่างของการแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 1มีโกศที่ดูเหมือนกันสามอัน: อันแรกมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 อันอันที่สอง - สีขาว 4 อันและสีดำหนึ่งอันอันที่สาม - ลูกบอลสีขาวสามลูก มีคนสุ่มเข้าใกล้โกศหนึ่งและหยิบลูกบอลออกมาหนึ่งลูก การใช้ประโยชน์ สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด, จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลเป็นสีขาว
การตัดสินใจ. เหตุการณ์ ก- ลักษณะของลูกบอลสีขาว เราเสนอสมมติฐานสามข้อ:
เลือกโกศแรก;
เลือกโกศที่สอง
โกศที่สามได้รับเลือกแล้ว
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แบบมีเงื่อนไข กสำหรับแต่ละสมมติฐาน:
,
,
.
เราใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็นผล - ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:
.
ตัวอย่างที่ 2ที่โรงงานแห่งแรก จากทุก ๆ 100 หลอดไฟ มีการผลิตหลอดไฟมาตรฐานเฉลี่ย 90 หลอด ที่สอง - 95 ที่สาม - 85 และผลิตภัณฑ์ของโรงงานเหล่านี้คิดเป็น 50% 30% และ 20% ตามลำดับของหลอดไฟฟ้าทั้งหมดที่จ่ายให้กับร้านค้าในพื้นที่หนึ่งๆ จงหาความน่าจะเป็นในการซื้อหลอดไฟมาตรฐาน
การตัดสินใจ. ให้เราระบุความน่าจะเป็นของการได้รับหลอดไฟมาตรฐานเป็น กและเหตุการณ์ที่หลอดไฟที่ซื้อมาผลิตขึ้นที่โรงงานแห่งที่หนึ่ง สอง และสามตามลำดับ ผ่าน ตามเงื่อนไข จะทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้: , , และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กเกี่ยวกับแต่ละคน: 
,
,
. นี่คือความเป็นไปได้ที่จะได้รับหลอดไฟมาตรฐาน โดยมีเงื่อนไขว่าผลิตขึ้นที่โรงงานแห่งที่หนึ่ง แห่งที่สอง และแห่งที่สามตามลำดับ
เหตุการณ์ กจะเกิดขึ้นหากมีเหตุการณ์เกิดขึ้นหรือ เค- หลอดไฟผลิตที่โรงงานแห่งแรกและเป็นมาตรฐานหรือเหตุการณ์ แอล- หลอดไฟผลิตที่โรงงานแห่งที่สองและเป็นมาตรฐานหรือเหตุการณ์ ม- หลอดไฟผลิตที่โรงงานแห่งที่สามและได้มาตรฐาน ความเป็นไปได้อื่น ๆ สำหรับการเกิดเหตุการณ์ กไม่. ดังนั้นเหตุการณ์ กเป็นผลรวมของเหตุการณ์ เค, แอลและ มที่เข้ากันไม่ได้ การใช้ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น เราแสดงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กเช่น
และจากทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นที่เราได้รับ
นั่นคือ, กรณีพิเศษของสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด.
แทนที่ความน่าจะเป็นทางด้านซ้ายของสูตร จะได้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก :
ตัวอย่างที่ 3เครื่องบินกำลังลงจอดที่สนามบิน หากสภาพอากาศเอื้ออำนวย นักบินจะนำเครื่องบินลงจอดโดยใช้อุปกรณ์ต่างๆ นอกเหนือจากเครื่องมือต่างๆ แล้ว ยังใช้การสังเกตการณ์ด้วยสายตาอีกด้วย ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการลงจอดสำเร็จคือ หากสนามบินมืดครึ้มด้วยเมฆลอยต่ำ นักบินจะนำเครื่องลงจอดโดยหันเข้าหาอุปกรณ์เท่านั้น ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการลงจอดสำเร็จคือ ; . อุปกรณ์ที่ลงจอดแบบตาบอดมีความน่าเชื่อถือ (ความน่าจะเป็นของการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลว) พี. เมื่อมีเมฆครึ้มต่ำและอุปกรณ์ลงจอดที่ล้มเหลว ความน่าจะเป็นของการลงจอดสำเร็จคือ ; . สถิติแสดงให้เห็นว่าใน เค% ของการลงจอด สนามบินถูกปกคลุมด้วยเมฆต่ำ หา ความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์ ก- การลงจอดอย่างปลอดภัยของเครื่องบิน
การตัดสินใจ. สมมติฐาน:
ไม่มีเมฆปกคลุมต่ำ
มีเมฆปกคลุมต่ำ
ความน่าจะเป็นของสมมติฐาน (เหตุการณ์):
;
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขถูกค้นพบอีกครั้งโดยสูตรสำหรับความน่าจะเป็นทั้งหมดที่มีสมมติฐาน
อุปกรณ์ลงจอดคนตาบอดทำงาน
เครื่องลงจอดตาบอดล้มเหลว
ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้คือ:
ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 4อุปกรณ์สามารถทำงานได้สองโหมด: ปกติและผิดปกติ โหมดปกติพบได้ใน 80% ของทุกกรณีของการทำงานของอุปกรณ์และผิดปกติใน 20% ของกรณี ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์จะล้มเหลวในช่วงเวลาหนึ่ง ทีเท่ากับ 0.1; ใน 0.7 ที่ผิดปกติ หา ความน่าจะเป็นอย่างเต็มที่ความล้มเหลวของอุปกรณ์ในเวลา ที.
การตัดสินใจ. เราระบุความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์จะล้มเหลวอีกครั้งเป็น ก. ดังนั้นเกี่ยวกับการทำงานของอุปกรณ์ในแต่ละโหมด (เหตุการณ์) ความน่าจะเป็นจะทราบตามเงื่อนไข: สำหรับโหมดปกติคือ 80% () สำหรับโหมดผิดปกติ - 20% () ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก(นั่นคือความล้มเหลวของอุปกรณ์) ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์แรก (โหมดปกติ) คือ 0.1 (); ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ที่สอง (โหมดผิดปกติ) - 0.7 ( 
). เราแทนที่ค่าเหล่านี้ในสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด (นั่นคือผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ของระบบและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กเกี่ยวกับแต่ละเหตุการณ์ของระบบ) และเราได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ
