Mos kelmaydigan va mustaqil hodisalar. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi. Hodisaning umumiy ehtimoli

Shuningdek, biz mustaqil hodisalar bilan standart muammolarni qanday hal qilishni o'rgandik va endi yanada qiziqarli davomi keladi, bu bizga nafaqat yangi materialni o'zlashtirishga imkon beradi, balki, ehtimol, amaliy kundalik yordam beradi.

Keling, voqealarning mustaqilligi nima ekanligini qisqacha takrorlaylik: hodisalar, agar ulardan birortasining yuzaga kelishi ehtimoli bo'lsa, MUSTAQIL bo'ladi. bog'liq emas boshqa hodisaning sodir bo'lishi yoki sodir bo'lmasligidan. Eng oddiy misol - ikkita tanga tashlash. Bitta tangada boshlar yoki dumlar paydo bo'lishi ehtimoli hech qanday tarzda boshqa tanga otish natijasiga bog'liq emas.

Voqealar bog'liqligi tushunchasi sizga ham tanish va ularni diqqat bilan ko'rib chiqish vaqti keldi.

Avval ikkita voqeadan iborat an'anaviy to'plamni ko'rib chiqing: voqea qaram , agar tasodifiy omillarga qo'shimcha ravishda, uning ehtimolligi hodisaning yuzaga kelishi yoki sodir bo'lmasligiga bog'liq bo'lsa. Voqea sodir bo'lishi taxmini ostida hisoblangan hodisa ehtimoli allaqachon sodir bo'lgan, chaqirildi shartli ehtimollik hodisaning yuzaga kelishi va bilan belgilanadi. Bunday holda, voqealar chaqiriladi bog'liq hodisalar (qat'iy aytganda, ulardan faqat bittasi bog'liq bo'lsa-da).

Qo'lda kartalar:

Muammo 1

36 ta kartadan 2 ta karta ketma-ket tortiladi. Ikkinchi kartaning yurak bo'lish ehtimolini toping, agar ilgari:

a) qurt chiqarildi;
b) boshqa kostyumning kartasi chizilgan.

Yechim: voqeani ko'rib chiqing: - ikkinchi karta yurak bo'ladi. Bu hodisaning ehtimolligi qurtning ilgari chizilgan yoki chizilmaganligiga bog'liqligi aniq.

a) Agar yurak birinchi bo'lib chizilgan bo'lsa (voqea), unda kemada 35 ta karta qoladi, ular orasida endi yurak kostyumining 8 ta kartasi mavjud. tomonidan klassik ta'rif:
shartiga ko'ra, bundan oldin ham qurt chiqarilgan.

b) Agar birinchi navbatda boshqa kostyumning kartasi chizilgan bo'lsa (voqea), unda barcha 9 ta yurak kemada qoldi. tomonidan klassik ta'rif:
- ikkinchi kartaning yurak bo'lish ehtimoli shartiga ko'ra ilgari boshqa kostyumning kartasi chizilgan.

Hammasi mantiqiy - agar to'liq palubadan yuraklarni chizish ehtimoli bo'lsa , keyin keyingi karta chizilganida, shunga o'xshash ehtimollik o'zgaradi: birinchi holatda u kamayadi (chunki yuraklar kamroq), ikkinchisida esa ko'payadi: (chunki barcha yuraklar kemada qolgan).

Javob:

Albatta, ko'proq bog'liq hodisalar bo'lishi mumkin. Muammo hali ham iliq bo'lsa-da, yana bir narsani qo'shamiz: - uchinchi karta bilan yurak chiziladi. Faraz qilaylik, voqea sodir bo'ldi va keyin voqea; keyin kemada 34 ta karta qoladi, shu jumladan 7 ta yurak. tomonidan klassik ta'rif:
- voqea sodir bo'lish ehtimoli shartiga ko'ra oldin ikkita yurak chizilgan edi.

Mustaqil ta'lim uchun:

Muammo 2

Konvertda 10 ta lotereya chiptasi, shu jumladan 3 ta yutuq bor. Chiptalar konvertdan ketma-ket chiqariladi. Quyidagi ehtimollarni toping:

a) 2-chi o'ynalgan chipta, agar birinchisi g'olib bo'lsa, g'olib bo'ladi;
b) oldingi ikkita chipta yutgan bo'lsa, uchinchisi g'olib bo'ladi;
c) Agar oldingi chiptalar yutgan bo'lsa, 4-chi g'olib bo'ladi.

Dars oxirida sharhlar bilan qisqacha yechim.

Endi bir prinsipial muhim jihatga e'tibor qarataylik: ko'rib chiqilgan misollarda faqat shartli ehtimollarni topish kerak edi. oldingi voqealar ishonchli tarzda sodir bo'lgan deb hisoblangan. Lekin aslida ular ham tasodifiy! Shunday qilib, "qizdirilgan" vazifada yuraklarni to'liq palubadan chizish tasodifiy hodisa bo'lib, uning ehtimoli teng.

Amalda, ehtimollikni topish juda tez-tez talab qilinadi birgalikda yuzaga kelishi bog'liq hodisalar. Qanday qilib, masalan, to'liq palubadan iborat voqea ehtimolini topish bo'ladi qurt ekstrakti Va keyin boshqa yurakmi? Bu savolga javob beradi

bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasi: ikkita bog'liq hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli, birinchi hodisa allaqachon sodir bo'lgan degan faraz bilan hisoblangan, ulardan birining ehtimolining ikkinchisining shartli ehtimolligiga ko'paytmasiga teng:

Bizning holatda:
- to'liq palubadan ketma-ket 2 ta yurak chizilishi ehtimoli.

Xuddi shunday:
- birinchi navbatda boshqa kostyumning kartasini olish ehtimoli Va keyin yurak.

Hodisa ehtimoli, umuman olganda, hech qanday hisob-kitoblarsiz aniq bo'lgan voqea ehtimolidan sezilarli darajada kattaroq bo'lib chiqdi.

Va, albatta, siz o'nta lotereya chiptasi solingan konvertdan umid qilishingiz shart emas. (2-topshiriq) siz ketma-ket 3 ta yutuqli chiptani o'ynaysiz:
, ammo, bu hali ham saxiy imkoniyat.

Ha, bu mutlaqo to'g'ri - bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasi tabiiy ravishda ularning ko'p sonini qamrab oladi.

Keling, materialni bir nechta tipik misollar bilan birlashtiramiz:

Muammo 3

Idishda 4 ta oq va 7 ta qora shar bor. Idishdan tasodifiy, birin-ketin, almashtirmasdan ikkita shar chiqariladi. Buning ehtimolini toping:

a) ikkala shar ham oq bo'ladi;
b) ikkala shar ham qora bo'ladi;
v) avval oq to'p, so'ngra qora to'p chiziladi.

"Ularni qaytarib bermasdan" saralovchiga e'tibor bering. Ushbu sharh voqealarning bog'liqligini yana bir bor ta'kidlaydi. Haqiqatan ham, chiqarilgan to'plar qaytarib berilsa-chi? Qayta namuna olishda qora va oq to'pni chizish ehtimoli o'zgarmaydi va bunday muammoda siz allaqachon rahbarlik qilishingiz kerak. MUSTAQIL hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasi.

Yechim: urnadagi jami: 4 + 7 = 11 to'p. Boring:

a) Hodisalarni ko'rib chiqing - birinchi to'p oq bo'ladi, - ikkinchi shar oq bo'ladi va 1-to'p oq bo'lish ehtimolini toping. Va 2-oq.

Ehtimolning klassik ta'rifiga ko'ra: . Aytaylik, oq to'p olib tashlangan bo'lsa, urnada 10 ta to'p qoladi, shu jumladan 3 ta oq, shuning uchun:
- 2-sinovda oq to'pni chizish ehtimoli, agar oldin oq to'p chizilgan bo'lsa.

- ikkala to'pning oq bo'lish ehtimoli.

b) 1-to'pning qora bo'lishi hodisasining ehtimolligini toping Va 2-qora

Klassik ta'rifga ko'ra: - birinchi sinovda qora to'pni tortib olish ehtimoli. Qora to'p chizilsin, keyin urnada 10 ta to'p qoladi, shu jumladan 6 ta qora, shuning uchun: - 2-sinovda qora to'pning tortilishi ehtimoli, agar oldin qora to'p chizilgan bo'lsa.

Bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
- ikkala to'pning ham qora bo'lish ehtimoli.

c) Hodisa ehtimolini toping (avval oq shar chiziladi Va keyin qora)

Oq to'pni olib tashlaganingizdan so'ng (ehtimollik bilan) urnada 10 ta to'p qoladi, shu jumladan 3 oq va 7 qora, shuning uchun: - 2-sinovda oq to'p chizilgan bo'lsa, qora to'p tortilishi ehtimoli. oldin.

Bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
- kerakli ehtimollik.

Javob:

Ushbu muammo yordamida osongina tekshirilishi mumkin to'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimolliklarini qo'shish teoremasi. Buning uchun biz to'rtinchi yo'qolgan hodisaning ehtimolini topamiz: - qora to'p birinchi bo'lib chiziladi Va keyin oq.

Voqealar to'liq guruhni tashkil qiladi, shuning uchun ularning ehtimoli yig'indisi bittaga teng bo'lishi kerak:
, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.

Va men darhol taqdim etilgan materialni qanchalik yaxshi o'zlashtirganingizni tekshirishni taklif qilaman:

Muammo 4

36 ta kartadan ikkita eysning ketma-ket olinishi ehtimoli qanday?

Muammo 5

Idishda 6 ta qora, 5 ta qizil va 4 ta oq shar bor. Uchta to'p ketma-ket tortiladi. Buning ehtimolini toping

a) agar ilgari qora va qizil to'p chizilgan bo'lsa, uchinchi to'p oq rangga aylanadi;
b) birinchi to'p qora, ikkinchisi qizil va uchinchisi oq bo'ladi.

Dars oxiridagi yechimlar va javoblar.

Aytish kerakki, ko'rib chiqilayotgan ko'plab muammolarni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, ammo chalkashmaslik uchun men bu haqda umuman jim turaman.

Ehtimol, har bir kishi ma'lum bir harakatlar zanjiri amalga oshirilgan hollarda bog'liq hodisalar paydo bo'lishini payqagan. Biroq, harakatlar ketma-ketligining o'zi hodisalarning bog'liqligini kafolatlamaydi. Misol uchun, talaba test savollariga tasodifiy javob bersin - garchi bu hodisalar birin-ketin sodir bo'lsa-da, lekin bir savolga javobni bilmaslik boshqa javoblarni bilmaslikka bog'liq emas =) Garchi, albatta, Bu erda naqshlar mavjud =) Keyin tangani qayta-qayta tashlash bilan oddiy misol - bu qiziqarli jarayon hatto shunday deyiladi: takroriy mustaqil testlar.

Men imkon qadar bu lahzani kechiktirishga va turli misollarni tanlashga harakat qildim, lekin agar muammolar bo'lsa mustaqil hodisalar uchun ko'paytirish teoremasi otishmachilar javobgar, keyin bu erda to'plar bilan urnalar haqiqiy bostirib bor =) Shuning uchun, hech qanday qochish yo'q - yana urn:

Muammo 6

6 ta oq va 4 ta qora shar bo'lgan urnadan tasodifiy uchta to'p birin-ketin tortiladi. Buning ehtimolini toping:

a) uchta shar ham qora bo'ladi;
b) kamida ikkita qora shar bo'ladi.

Yechim:jami: urnadagi 6 + 4 = 10 to'p.

Bu vazifada juda ko'p voqealar bo'ladi va bu borada faqat bosh harflar bilan asosiy voqealarni bildiruvchi aralash dizayn uslubidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Umid qilamanki, siz shartli ehtimolliklarni hisoblash tamoyilini allaqachon tushungansiz.

a) Hodisani ko'rib chiqing: - uchta to'p ham qora bo'ladi.

Bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:

b) Ikkinchi nuqta qiziqroq, hodisani ko'rib chiqing: - kamida ikkita qora shar bo'ladi. Ushbu hodisa ikkita mos kelmaydigan natijadan iborat: yoki barcha to'plar qora (hodisa) yoki 2 to'p qora va 1 oq bo'ladi - keling, oxirgi voqeani harf bilan belgilaymiz.

Tadbir 3 ta mos kelmaydigan natijani o'z ichiga oladi:

1-sinovda oq rang chiqarildi Va 2-da Va 3-sinovlarda - qora sharlar
yoki
Va 2-da - BS Va 3-da - ChS
yoki
1-sinovda BS chiqarildi Va 2-chi - ChSda Va 3-da - BS.

Qiziqqanlar undan qiyinroq misollar bilan tanishishlari mumkin Chudesenko tomonidan to'plam, unda bir nechta to'plar uzatiladi. Maxsus ishqibozlar uchun men kombinatsiyalangan murakkablikdagi vazifalarni taklif qilaman - to'plarning 1-dan 2-gachasi, 2-dan 3-gachasi ketma-ket ikki harakati va oxirgi urnadan to'pni yakuniy chiqarib olish bilan - eng so'nggi muammolarni ko'ring. fayl Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalariga qo'shimcha masalalar. Aytgancha, u erda boshqa ko'plab qiziqarli vazifalar mavjud.

Va ushbu maqolaning oxirida biz sizni birinchi darsda jalb qilgan eng qiziqarli muammoni tahlil qilamiz =) Biz uni hatto tahlil qilmaymiz, balki kichik amaliy ish o'tkazamiz. Umuman olganda, hisob-kitoblar juda og'ir bo'ladi, shuning uchun aniq bir misolni ko'rib chiqaylik:

Petya ehtimollar nazariyasidan imtihon topshiradi va u 20 ta biletni yaxshi, 10 tasini yomon biladi. Faraz qilaylik, guruhning birinchi kunida, masalan, qahramonimiz bilan birga 16 kishi imtihon topshiradi. Umuman olganda, vaziyat juda tanish: talabalar birin-ketin sinfga kirib, chiptalarni tortib olishadi.

Ko'rinib turibdiki, chiptalarni ketma-ket olish bog'liq voqealar zanjirini va shoshilinch savol: Qaysi holatda Petya "yaxshi" chipta olish ehtimoli ko'proq - agar u "oldingi qatorga" kirsa yoki "o'rtaga" kirsa yoki u chiptani eng oxirgilar qatoriga qo'ygan bo'lsa? Eng yaxshi vaqt qachon keladi?

Birinchidan, Petya o'z imkoniyatlarini doimiy ravishda ushlab turadigan "eksperimental toza" vaziyatni ko'rib chiqaylik - u sinfdoshlari qanday savollarni olgani haqida ma'lumot olmaydi, u koridorda hech narsa o'rganmaydi, o'z navbatini kutadi va hokazo.

Keling, voqeani ko'rib chiqaylik: - Petya birinchi bo'lib tomoshabinga kirib, "yaxshi" chiptani tortib oladi. Ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra: .

Agar a'lochi Nastya oldinga o'tib ketsa, muvaffaqiyatli chipta olish ehtimoli qanday o'zgaradi? Bunday holda, ikkita nomuvofiq faraz bo'lishi mumkin:

- Nastya "yaxshi" (Petya uchun) chipta tortadi;
- Nastya "yomon" chiptani tortadi, ya'ni. Petyaning imkoniyatlarini oshiradi.

Tadbir (Petya ikkinchi o'rinda turadi va "yaxshi" chipta oladi) bo'ladi qaram.

1) Aytaylik, Nastya ehtimollik bilan Petyadan bitta omadli chiptani "o'g'irladi". Keyin stolda 29 ta chipta qoladi, ulardan 19 tasi "yaxshi". Ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra:

2) Endi Nastyani ehtimollik bilan deylik Petyani birinchi "yomon" chiptadan "qutqardi". Keyin stolda 29 ta chipta qoladi, ulardan 20 tasi "yaxshi". Klassik ta'rifga ko'ra:

Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimolini qo'shish va bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremalaridan foydalanib, biz Petya ikkinchi qatorda "yaxshi" chipta olish ehtimolini hisoblaymiz:

Ehtimollik... o'zgarishsiz qoladi! Xo'sh, keling, voqeani ko'rib chiqaylik: - Petya uchinchi o'rinni egallaydi, Nastya va Lena oldinga borishga ruxsat beradi va "yaxshi" chiptani tortib oladi.

Bu erda ko'proq gipotezalar bo'ladi: xonimlar janobdan 2 ta muvaffaqiyatli chiptani "o'g'irlashlari" mumkin yoki aksincha - uni 2 ta muvaffaqiyatsiz chiptadan xalos qilishlari yoki 1 ta "yaxshi" va 1 ta "yomon" chiptalarni olishlari mumkin. Agar biz shunga o'xshash fikr yuritsak va bir xil teoremalardan foydalansak, unda ... biz bir xil ehtimollik qiymatini olamiz!

Shunday qilib, sof matematik nuqtai nazardan, qachon borishdan qat'i nazar, dastlabki ehtimollar o'zgarishsiz qoladi. LEKIN. Bu faqat o'rtacha nazariy taxmin, shuning uchun, masalan, agar Petya oxirgi bo'lsa, bu uning dastlabki imkoniyatlariga muvofiq tanlash uchun 10 ta "yaxshi" va 5 ta "yomon" chiptaga ega bo'lishini anglatmaydi. Bu nisbat yaxshi yoki yomon tomonga o'zgarishi mumkin, ammo chiptalar orasida "bitta bepul" yoki aksincha - "shaffof dahshat" bo'lishi ehtimoldan yiroq emas. Garchi "noyob" holatlar bundan mustasno bo'lmasa-da, katta yutuq ehtimoli deyarli nolga teng bo'lgan 3 million lotereya chiptalari hali ham mavjud emas. Shuning uchun "aql bovar qilmaydigan omad" yoki "yomon taqdir" juda bo'rttirilgan bayonotlar bo'ladi. Petya 30 ta chiptadan atigi 3 tasini bilsa ham, uning imkoniyati 10% ni tashkil qiladi, bu noldan sezilarli darajada yuqori. Va shaxsiy tajribamdan men sizga teskari holatni aytaman: imtihon paytida analitik geometriya Men 28 ta savoldan 24 tasini yaxshi bilardim, shuning uchun chiptada ikkita “yomon” savolga duch keldim; Ushbu hodisaning ehtimolini o'zingiz hisoblang :)

Matematika va "sof eksperiment" yaxshi, ammo qanday strategiya va taktikaga amal qilish foydaliroq? real sharoitda? Albatta, sub'ektiv omillarni hisobga olish kerak, masalan, o'qituvchining "jasur" uchun "chegirmasi" yoki imtihon oxirida uning charchoqlari. Ko'pincha bu omillar hatto hal qiluvchi bo'lishi mumkin, ammo yakuniy munozaralarda men qo'shimcha ehtimollik jihatlarini kamaytirmaslikka harakat qilaman:

Agar siz imtihonga yaxshi tayyorgarlik ko'rsangiz, unda "oldingi o'ringa" borish yaxshiroqdir. To'liq chiptalar to'plami mavjud bo'lsa-da, postulat " kutilmagan hodisalar sodir bo'lmaydi"Siz uchun ko'proq darajada ishlaydi. Qabul qiling, "15 chipta, shu jumladan 2 ta yomon" dan ko'ra, "30 ta chipta, shu jumladan 2 ta yomon" nisbati juda yoqimli. Va haqiqat shundaki, ikkita muvaffaqiyatsiz chipta alohida imtihonda (va o'rtacha nazariy bahoga ko'ra emas!) ular stolda qoladilar - bu juda mumkin.

Keling, "Petya holati" ni ko'rib chiqaylik - talaba imtihonga juda yaxshi tayyorlangan, ammo boshqa tomondan u ham yaxshi "suzadi". Boshqacha qilib aytganda, "u bilmaganidan ko'proq narsani biladi". Bunday holda, 5-6 kishini oldinga qo'yib, auditoriyadan tashqarida kerakli daqiqani kutish tavsiya etiladi. Vaziyatga qarab harakat qiling. Tez orada sinfdoshlar qanday chipta olib chiqqani haqida ma'lumotlar kela boshlaydi. (yana bog'liq voqealar!) , va siz "o'ynagan" savollarga ko'proq kuch sarflashingiz shart emas - boshqa chiptalarni o'rganing va takrorlang, shu bilan muvaffaqiyatingizning dastlabki ehtimolini oshiring. Agar imtihon topshiruvchilarning "birinchi partiyasi" sizni bir vaqtning o'zida 3-4 ta qiyin (shaxsan siz uchun) chiptalardan "qutqarib qo'ygan" bo'lsa, imtihonga imkon qadar tezroq borish foydaliroq - hozirda imkoniyatlar sezilarli darajada oshdi. Lahzani o'tkazib yubormaslikka harakat qiling - bir nechta odam oldinga yo'l qo'ysa, ustunlik katta ehtimol bilan yo'qoladi. Agar, aksincha, "yomon" chiptalar kam bo'lsa, kuting. Bir necha kishidan so'ng, bu "anomaliya" yana, yuqori ehtimollik bilan, agar u yo'qolmasa, u yaxshi tomonga silliqlashadi. "Oddiy" va eng keng tarqalgan holatda ham foyda bor: "24 chipta / 8 yomon" nisbati "30 chipta / 10 yomon" nisbatidan yaxshiroq bo'ladi. Nega? Endi o'nta qiyin chipta emas, sakkiztasi bor! Biz materialni ikki baravar energiya bilan o'rganmoqdamiz!

Agar siz baribir yoki yomon tayyorgarlik ko'rsangiz, albatta "oxirgi qatorlarga" o'tganingiz ma'qul. (asl echimlar ham mumkin, ayniqsa yo'qotadigan hech narsa bo'lmasa). Kichik, ammo nolga teng bo'lmagan ehtimol sizda nisbatan oddiy savollar + qo'shimcha tortishish + o'q otgan kursdoshlar tomonidan beriladigan shporlar qoladi =) Va ha - juda og'ir vaziyatda hali ham bor. ertasi kuni guruhning ikkinchi qismi imtihon topshirganda;-)

Bog'liq va mustaqil hodisalar mavjud. Ikki hodisa mustaqil deb ataladi, agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa. Misol uchun, agar ustaxonada ishlab chiqarish sharoitlari tufayli o'zaro bog'lanmagan ikkita avtomatik liniya ishlayotgan bo'lsa, u holda bu liniyalarning to'xtashlari mustaqil hodisalardir.

Bir nechta tadbirlar chaqiriladi jamoaviy mustaqil, agar ulardan birortasi boshqa biron bir hodisaga va boshqalarning har qanday kombinatsiyasiga bog'liq bo'lmasa.

Voqealar deyiladi qaram, agar ulardan biri ikkinchisining ehtimoliga ta'sir qilsa. Masalan, ikkita ishlab chiqarish korxonasi bitta texnologik sikl orqali bog'langan. Keyin ulardan birining ishlamay qolish ehtimoli boshqasining holatiga bog'liq. Boshqa bir hodisaning sodir bo'lishini hisobga olgan holda hisoblangan bir B hodisaning ehtimolligi deyiladi shartli ehtimollik hodisalari B va P(A|B) bilan belgilanadi.

B hodisaning A hodisadan mustaqilligi sharti P(B|A)=P(B), bog’liqlik sharti esa P(B|A)≠P(B) shaklida yoziladi.

Bernoulli testlarida hodisa ehtimoli. Puasson formulasi.

Takroriy mustaqil testlar, Bernoulli testlari yoki Bernoulli sxemasi har bir test uchun faqat ikkita natija mavjud bo'lsa, bunday testlar chaqiriladi - A hodisasining paydo bo'lishi yoki va bu hodisalarning ehtimoli barcha testlar uchun o'zgarishsiz qolsa. Ushbu oddiy tasodifiy test dizayni ehtimollik nazariyasida katta ahamiyatga ega.

Bernulli sinovlarining eng mashhur namunasi adolatli (nosimmetrik va bir xil) tangani ketma-ket uloqtirish tajribasi bo'lib, bunda A hodisasi, masalan, "gerb" ("dumlar") yo'qolishidir.

Qandaydir tajribada A hodisaning ehtimoli teng bo'lsin P(A)=p, u holda, bu erda p+q=1. Alohida sinovlar mustaqil deb faraz qilib, tajribani n marta bajaramiz, ya'ni ularning birortasining natijasi oldingi (yoki keyingi) sinovlar natijalari bilan bog'liq emas. A hodisalarining ro'y berish ehtimolini aniq k marta topamiz, deylik faqat birinchi k sinovlarda. n ta sinovda A hodisasi birinchi sinovlarda aynan k marta paydo bo'ladigan hodisa bo'lsin. Hodisa sifatida ifodalanishi mumkin

Biz tajribalarni mustaqil deb hisoblaganimiz uchun

41)[2-sahifa] Agar n ta sinovda A hodisasining k marta sodir bo‘lishi haqidagi savolni tasodifiy tartibda bersak, u holda hodisani ko‘rinishda ifodalash mumkin.

Ushbu tenglikning o'ng tomonidagi turli xil atamalar soni n dan k gacha bo'lgan sinovlar soniga teng, shuning uchun biz belgilaydigan hodisalar ehtimoli tengdir.

Voqealarning ketma-ketligi mustaqil hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi . Darhaqiqat, biz voqealarning mustaqilligidan olamiz

Ko'p odamlar ko'proq yoki kamroq tasodifiy hodisalarni hisoblash mumkinmi, deb o'ylashlari dargumon. Oddiy qilib aytganda, kubning qaysi tomoni keyingi chiqishini bilish mumkinmi? Aynan mana shu savolni ikki buyuk olim o‘zlariga berishgan, ular ehtimollar nazariyasi kabi fanga asos solgan, unda hodisa ehtimoli ancha keng o‘rganiladi.

Kelib chiqishi

Agar siz ehtimollik nazariyasi kabi tushunchaga ta'rif berishga harakat qilsangiz, siz quyidagilarni olasiz: bu tasodifiy hodisalarning doimiyligini o'rganadigan matematikaning bo'limlaridan biridir. Albatta, bu kontseptsiya haqiqatan ham butun mohiyatni ochib bermaydi, shuning uchun uni batafsilroq ko'rib chiqish kerak.

Men nazariyani yaratuvchilardan boshlamoqchiman. Yuqorida aytib o'tilganidek, ularning ikkitasi bor edi va ular birinchilardan bo'lib u yoki bu hodisaning natijasini formulalar va matematik hisoblar yordamida hisoblashga harakat qilishdi. Umuman olganda, bu fanning boshlanishi o'rta asrlarda paydo bo'lgan. O'sha paytda turli mutafakkirlar va olimlar qimor o'yinlarini, masalan, ruletka, craps va hokazolarni tahlil qilishga harakat qilishdi va shu bilan ma'lum bir raqamning tushishi naqshini va foizini aniqladilar. XVII asrda yuqorida tilga olingan olimlar tomonidan asos solingan.

Avvaliga ularning ishlarini bu sohadagi katta yutuqlar deb hisoblash mumkin emas edi, chunki ular qilgan hamma narsa shunchaki empirik faktlar edi va tajribalar formuladan foydalanmasdan, vizual tarzda amalga oshirildi. Vaqt o'tishi bilan zar otishni kuzatish natijasida paydo bo'lgan ajoyib natijalarga erishish mumkin edi. Aynan shu vosita birinchi tushunarli formulalarni olishga yordam berdi.

Hamfikr odamlar

“Ehtimollar nazariyasi” deb nomlangan mavzuni o'rganish jarayonida Kristian Gyuygens kabi shaxsni eslatib o'tmaslikning iloji yo'q (hodisa ehtimoli aynan shu fanda yoritilgan). Bu odam juda qiziq. U, yuqorida keltirilgan olimlar singari, tasodifiy hodisalarning naqshini matematik formulalar shaklida olishga harakat qildi. Shunisi e'tiborga loyiqki, u buni Paskal va Fermat bilan birga qilmagan, ya'ni uning barcha asarlari bu aqllar bilan kesishmagan. Gyuygens xulosa qildi

Qizig'i shundaki, uning ishi kashfiyotchilar faoliyati natijalaridan ancha oldin, aniqrog'i, yigirma yil oldin paydo bo'lgan. Aniqlangan tushunchalar orasida eng mashhurlari:

tasodifning qiymati sifatida ehtimollik tushunchasi;
diskret holatlar uchun matematik kutish;
ehtimollarni ko'paytirish va qo'shish teoremalari.

Muammoni o'rganishga kimning ham katta hissa qo'shganini eslamaslik ham mumkin emas. Hech kimdan qat'iy nazar, o'z sinovlarini o'tkazib, u katta sonlar qonunining isbotini keltira oldi. O'z navbatida, XIX asr boshlarida ishlagan olimlar Puasson va Laplas asl teoremalarni isbotlay oldilar. Aynan shu paytdan boshlab ehtimollar nazariyasi kuzatishlardagi xatolarni tahlil qilish uchun ishlatila boshlandi. Rus olimlari, toʻgʻrirogʻi Markov, Chebishev va Dyapunovlar bu fanni eʼtibordan chetda qoldira olmadilar. Buyuk daholar qilgan ishlarga asoslanib, bu fanni matematikaning bir tarmog‘i sifatida asos solganlar. Bu raqamlar XIX asrning oxirida allaqachon ishlagan va ularning hissasi tufayli quyidagi hodisalar isbotlangan:

katta sonlar qonuni;
Markov zanjiri nazariyasi;
markaziy chegara teoremasi.

Shunday qilib, fanning tug'ilish tarixi va unga ta'sir qilgan asosiy odamlar bilan hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq. Endi barcha faktlarga oydinlik kiritish vaqti keldi.

Asosiy tushunchalar

Qonunlar va teoremalarga murojaat qilishdan oldin, ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalarini o'rganishga arziydi. Bunda tadbir yetakchi rol o‘ynaydi. Bu mavzu juda katta, ammo usiz hamma narsani tushunish mumkin bo'lmaydi.

Ehtimollar nazariyasidagi hodisa - bu tajriba natijalarining har qanday to'plamidir. Ushbu hodisaning bir nechta tushunchalari mavjud. Shunday qilib, ushbu sohada ishlayotgan olim Lotman, bu holatda biz "bo'lmagan bo'lishi mumkin bo'lgan narsa" haqida gapirayotganini aytdi.

Tasodifiy hodisalar (ehtimollik nazariyasi ularga alohida e'tibor beradi) - bu sodir bo'lish imkoniyatiga ega bo'lgan mutlaqo har qanday hodisani nazarda tutadigan tushuncha. Yoki, aksincha, agar ko'p shartlar bajarilsa, bu stsenariy sodir bo'lmasligi mumkin. Shuni ham bilish kerakki, bu sodir bo'lgan hodisalarning butun hajmini qamrab oladigan tasodifiy hodisalar. Ehtimollar nazariyasi barcha shartlarni doimiy ravishda takrorlash mumkinligini ko'rsatadi. Bu ularning xatti-harakatlari "tajriba" yoki "sinov" deb ataladi.

Ishonchli hodisa - bu berilgan testda yuz foiz sodir bo'lishi mumkin bo'lgan hodisa. Shunga ko'ra, imkonsiz voqea sodir bo'lmaydigan voqeadir.

Harakatlar juftligi (shartli ravishda, A va B hollari) kombinatsiyasi bir vaqtning o'zida sodir bo'ladigan hodisadir. Ular AB sifatida belgilanadi.

A va B hodisa juftlarining yig‘indisi C ga teng, boshqacha aytganda, agar ulardan kamida bittasi ro‘y bersa (A yoki B), u holda C ga teng bo‘ladi.Tasvirlangan hodisaning formulasi quyidagicha yoziladi: C = A + B.

Ehtimollar nazariyasidagi mos keluvchi hodisalar ikki holat bir-birini istisno qilishini anglatadi. Hech qanday holatda ular bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin emas. Ehtimollar nazariyasidagi qo'shma hodisalar ularning antipodidir. Bu erda nazarda tutilgan narsa, agar A sodir bo'lgan bo'lsa, u hech qanday tarzda B ga to'sqinlik qilmaydi.

Qarama-qarshi hodisalar (ehtimollik nazariyasi ularni juda batafsil ko'rib chiqadi) tushunish oson. Ularni tushunishning eng yaxshi usuli bu taqqoslashdir. Ular ehtimollik nazariyasidagi mos kelmaydigan hodisalar bilan deyarli bir xil. Ammo ularning farqi shundaki, ko'p hodisalardan biri har qanday holatda sodir bo'lishi kerak.

Teng ehtimolli hodisalar - takrorlanishi teng bo'lgan harakatlar. Aniqroq bo'lishi uchun siz tanga tashlashni tasavvur qilishingiz mumkin: uning bir tomonining yo'qolishi boshqasidan ham bir xil darajada tushishi mumkin.

Bir misol bilan xayrli hodisani ko'rib chiqish osonroq. Aytaylik, B epizod va A epizod bor. Birinchisi, toq raqam paydo bo'lgan zarning ag'darilishi, ikkinchisi esa zarda besh raqamining ko'rinishi. Keyin ma'lum bo'ladiki, A B.

Ehtimollar nazariyasidagi mustaqil hodisalar faqat ikki yoki undan ortiq holatlarga prognoz qilinadi va har qanday harakatning boshqasidan mustaqilligini bildiradi. Misol uchun, A - tanga otishda boshlarning yo'qolishi va B - palubadan jekning chizilganligi. Ular ehtimollik nazariyasidagi mustaqil hodisalardir. Shu nuqtada bu aniqroq bo'ldi.

Ehtimollar nazariyasidagi qaram hodisalar ham faqat ularning majmui uchun joizdir. Ular birining ikkinchisiga bog'liqligini bildiradi, ya'ni B hodisasi faqat A sodir bo'lgan yoki aksincha, sodir bo'lmagan taqdirdagina sodir bo'lishi mumkin, bu B uchun asosiy shartdir.

Bir komponentdan iborat tasodifiy tajriba natijasi elementar hodisalardir. Ehtimollar nazariyasi bu faqat bir marta sodir bo'lgan hodisa ekanligini tushuntiradi.

Asosiy formulalar

Shunday qilib, yuqorida "hodisalar" va "ehtimollar nazariyasi" tushunchalari muhokama qilindi, bu fanning asosiy atamalariga ta'rif ham berildi. Endi muhim formulalar bilan bevosita tanishish vaqti keldi. Bu iboralar ehtimollar nazariyasi kabi murakkab mavzudagi barcha asosiy tushunchalarni matematik jihatdan tasdiqlaydi. Bu erda voqea ehtimoli ham katta rol o'ynaydi.

Asosiylaridan boshlash yaxshidir.Va ular bilan boshlashdan oldin, ular nima ekanligini ko'rib chiqishga arziydi.

Kombinatorika birinchi navbatda matematikaning bir bo'limi bo'lib, u juda ko'p sonlarni o'rganish bilan shug'ullanadi, shuningdek, bir qator kombinatsiyalarning paydo bo'lishiga olib keladigan raqamlarning o'zlari va ularning elementlari, turli xil ma'lumotlar va boshqalarni o'rganish bilan shug'ullanadi. Ehtimollar nazariyasidan tashqari, bu soha statistika, informatika va kriptografiya uchun ham muhimdir.

Shunday qilib, endi biz formulalarning o'zini va ularning ta'rifini taqdim etishga o'tishimiz mumkin.

Ulardan birinchisi almashtirishlar sonining ifodasi bo'ladi, u quyidagicha ko'rinadi:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Tenglama faqat elementlarning joylashish tartibida farq qilsagina qo'llaniladi.

Endi joylashtirish formulasi ko'rib chiqiladi, u quyidagicha ko'rinadi:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Bu ifoda nafaqat elementni joylashtirish tartibiga, balki uning tarkibiga ham tegishli.

Kombinatorikaning uchinchi tenglamasi va u ham oxirgisi kombinatsiyalar soni formulasi deb ataladi:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

Kombinatsiya buyurtma qilinmagan tanlovlarga ishora qiladi, shunga ko'ra, bu qoida ularga nisbatan qo'llaniladi.

Kombinatorik formulalarni tushunish oson edi, endi siz ehtimolliklarning klassik ta'rifiga o'tishingiz mumkin. Bu ifoda quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu formulada m - A hodisasi uchun qulay shartlar soni, n - mutlaqo barcha teng va elementar natijalar soni.

Ko'p sonli iboralar mavjud, maqola ularning barchasini qamrab olmaydi, lekin eng muhimlariga to'xtalib o'tadi, masalan, voqealar yig'indisining ehtimoli:

P(A + B) = P(A) + P(B) - bu teorema faqat mos kelmaydigan hodisalarni qo'shish uchun;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - va bu faqat mos keladiganlarni qo'shish uchun.

Voqealarning sodir bo'lish ehtimoli:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - bu teorema mustaqil hodisalar uchun;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - va bu qaramlik uchun.

Voqealar ro'yxati voqealar formulasi bilan to'ldiriladi. Ehtimollar nazariyasi Bayes teoremasi haqida gapirib beradi, u quyidagicha ko'rinadi:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Ushbu formulada H 1, H 2, ..., H n gipotezalarning to'liq guruhidir.

Misollar

Agar siz matematikaning biron bir bo'limini diqqat bilan o'rgansangiz, u mashqlarsiz va namunali echimlarsiz to'liq bo'lmaydi. Ehtimollar nazariyasi ham shunday: bu yerda voqealar va misollar ilmiy hisob-kitoblarni tasdiqlovchi ajralmas komponent hisoblanadi.

O'zgartirishlar soni uchun formula

Aytaylik, kartalar to'plamida bir qiymatdan boshlab o'ttizta karta bor. Keyingi savol. Bitta va ikkita qiymatli kartalar bir-birining yonida bo'lmasligi uchun palubalarni yig'ishning nechta usuli bor?

Vazifa qo'yildi, endi uni hal qilishga o'tamiz. Avval siz o'ttiz elementning almashtirish sonini aniqlashingiz kerak, buning uchun biz yuqorida keltirilgan formulani olamiz, P_30 = 30 bo'ladi!.

Ushbu qoidaga asoslanib, biz pastki qavatni turli yo'llar bilan katlamaning qancha variantlari borligini bilib olamiz, lekin ulardan birinchi va ikkinchi kartalar bir-birining yonida joylashganlarini ayirishimiz kerak. Buning uchun birinchisi ikkinchisidan yuqori bo'lgan variantdan boshlaylik. Ma'lum bo'lishicha, birinchi karta yigirma to'qqizta o'rinni egallashi mumkin - birinchidan yigirma to'qqizinchigacha, ikkinchi karta esa ikkinchidan o'ttizinchigacha, bir juft karta uchun jami yigirma to'qqizta o'rinni egallaydi. O'z navbatida, qolganlari yigirma sakkizta joyni va istalgan tartibda qabul qilishi mumkin. Ya'ni, yigirma sakkizta kartani qayta tartibga solish uchun P_28 = 28 yigirma sakkizta variant mavjud!

Natijada, agar birinchi karta ikkinchisidan yuqori bo'lsa, yechimni ko'rib chiqsak, 29 ⋅ 28 qo'shimcha imkoniyatlar bo'ladi! = 29!

Xuddi shu usuldan foydalanib, birinchi karta ikkinchisining ostida bo'lgan holat uchun ortiqcha variantlar sonini hisoblashingiz kerak. Bu ham 29 ⋅ 28 bo'lib chiqadi! = 29!

Bundan kelib chiqadiki, 2 ⋅ 29 ta qo'shimcha variant mavjud!, paluba yig'ishning zarur usullari esa 30 ta! - 2 ⋅ 29!. Faqat hisoblash qoladi.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Endi siz barcha raqamlarni birdan yigirma to'qqizgacha ko'paytirishingiz kerak, so'ngra hamma narsani 28 ga ko'paytirishingiz kerak. Javob: 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Misol yechim. Joylashtirish raqami uchun formula

Ushbu muammoda siz o'n besh jildni bitta javonga qo'yishning qancha usullari borligini bilib olishingiz kerak, ammo jami o'ttiz jild bo'lishi sharti bilan.

Ushbu muammoni hal qilish avvalgisiga qaraganda biroz sodda. Allaqachon ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, o'n beshdan o'ttiz jildli tartiblarning umumiy sonini hisoblash kerak.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 720703

Javob, mos ravishda, 202,843,204,931,727,360,000 ga teng bo'ladi.

Endi biroz qiyinroq vazifani olaylik. Bitta javon faqat o'n besh jildni sig'dira olishini hisobga olsak, ikkita kitob javoniga o'ttizta kitobni joylashtirishning qancha usullari borligini bilib olishingiz kerak.

Yechimni boshlashdan oldin, ba'zi muammolarni bir necha usul bilan hal qilish mumkinligini aniqlab bermoqchiman va bu ikkita usulga ega, ammo ikkalasi ham bir xil formuladan foydalanadi.

Ushbu muammoda siz avvalgisidan javob olishingiz mumkin, chunki u erda biz javonni o'n beshta kitob bilan necha marta turli yo'llar bilan to'ldirishingiz mumkinligini hisoblab chiqdik. A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16 bo'lib chiqdi.

Biz ikkinchi javonni almashtirish formulasidan foydalanib hisoblaymiz, chunki unda o'n beshta kitobni joylashtirish mumkin, faqat o'n beshtasi qoladi. Biz P_15 = 15 formulasidan foydalanamiz!.

Ma'lum bo'lishicha, jami A_30^15 ⋅ P_15 yo'l bo'ladi, lekin bunga qo'shimcha ravishda, o'ttizdan o'n oltigacha bo'lgan barcha raqamlarning mahsulotini birdan o'n beshgacha bo'lgan raqamlar mahsulotiga ko'paytirish kerak bo'ladi, oxirida siz birdan o'ttizgacha bo'lgan barcha raqamlarning ko'paytmasini oladi, ya'ni javob 30 ga teng!

Ammo bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin - osonroq. Buning uchun siz o'ttizta kitob uchun bitta javon borligini tasavvur qilishingiz mumkin. Ularning barchasi bu tekislikda joylashtirilgan, ammo shart ikkita javon bo'lishini talab qilganligi sababli, biz bitta uzunni yarmini ko'rdik, shuning uchun biz o'n beshdan ikkitasini olamiz. Bundan ma'lum bo'ladiki, tartibga solish uchun P_30 = 30 variant bo'lishi mumkin!.

Misol yechim. Kombinatsiyalangan raqam uchun formula

Endi biz kombinatorikadan uchinchi masala versiyasini ko'rib chiqamiz. O'n beshta kitobni tartibga solishning qancha usullari borligini aniqlash kerak, agar siz o'ttizta mutlaqo bir xil kitobdan tanlashingiz kerak bo'lsa.

Yechish uchun, albatta, kombinatsiyalar soni formulasi qo'llaniladi. Shartdan ma'lum bo'ladiki, bir xil o'n besh kitobning tartibi muhim emas. Shuning uchun, dastlab siz o'n beshdan o'ttizta kitobning umumiy sonini bilib olishingiz kerak.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Ana xolos. Ushbu formuladan foydalanib, biz bu muammoni eng qisqa vaqt ichida hal qila oldik; javob, mos ravishda, 155,117,520.

Misol yechim. Ehtimollikning klassik ta'rifi

Yuqoridagi formuladan foydalanib, oddiy masalaga javob topishingiz mumkin. Ammo bu harakatlarning borishini aniq ko'rish va kuzatishga yordam beradi.

Muammo shuni ko'rsatadiki, urnada o'nta mutlaqo bir xil to'p bor. Ulardan to'rttasi sariq, oltitasi ko'k. Idishdan bitta to'p olinadi. Siz ko'k rangga ega bo'lish ehtimolini topishingiz kerak.

Muammoni hal qilish uchun ko'k to'pni olishni A hodisasi sifatida belgilash kerak. Bu tajriba o'nta natijaga ega bo'lishi mumkin, bu esa, o'z navbatida, elementar va bir xil darajada mumkin. Shu bilan birga, o'ntadan oltitasi A hodisasi uchun qulaydir. Biz formuladan foydalanib hal qilamiz:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Ushbu formuladan foydalanib, biz ko'k to'pni olish ehtimoli 0,6 ekanligini bilib oldik.

Misol yechim. Hodisalar yig'indisining ehtimoli

Hodisalar yig'indisi ehtimoli formulasi yordamida hal qilinadigan variant hozir taqdim etiladi. Shunday qilib, ikkita quti bor, birinchisida bitta kulrang va beshta oq sharlar, ikkinchisida sakkizta kulrang va to'rtta oq sharlar borligi sharti berilgan. Natijada, birinchi va ikkinchi qutilardan bittasini olishdi. Olingan to'plarning kulrang va oq bo'lishi ehtimoli qanday ekanligini aniqlashingiz kerak.

Ushbu muammoni hal qilish uchun voqealarni aniqlash kerak.

Shunday qilib, A - birinchi qutidan kulrang to'pni oldi: P (A) = 1/6.
A’ - birinchi qutidan oq to'pni ham oldi: P(A") = 5/6.
B - ikkinchi qutidan kulrang to'p olib tashlandi: P (B) = 2/3.
B’ - ikkinchi qutidan kulrang to'pni oldi: P(B") = 1/3.

Muammoning shartlariga ko'ra, hodisalardan biri sodir bo'lishi kerak: AB' yoki A'B. Formuladan foydalanib, biz olamiz: P (AB") = 1/18, P (A" B) = 10/18.

Endi ehtimollikni ko'paytirish formulasi qo'llanildi. Keyinchalik, javobni bilish uchun siz ularni qo'shish tenglamasini qo'llashingiz kerak:

P = P (AB" + A" B) = P (AB") + P (A" B) = 11/18.

Shunday qilib, formuladan foydalanib, shunga o'xshash muammolarni hal qilishingiz mumkin.

Pastki chiziq

Maqolada voqea ehtimoli muhim rol o'ynaydigan "Ehtimollar nazariyasi" mavzusiga oid ma'lumotlar keltirilgan. Albatta, hamma narsa hisobga olinmadi, lekin taqdim etilgan matnga asoslanib, siz matematikaning ushbu bo'limi bilan nazariy jihatdan tanishishingiz mumkin. Ko'rib chiqilayotgan fan nafaqat professional masalalarda, balki kundalik hayotda ham foydali bo'lishi mumkin. Uning yordami bilan siz har qanday hodisaning har qanday imkoniyatini hisoblashingiz mumkin.

Matn, shuningdek, ehtimollik nazariyasining fan sifatida shakllanishi tarixidagi muhim sanalar va unga mehnati sarmoya kiritgan odamlarning ismlariga ham to'xtalib o'tdi. Shunday qilib, insonning qiziquvchanligi odamlarning hatto tasodifiy hodisalarni ham hisoblashni o'rganishiga olib keldi. Bir vaqtlar ular shunchaki bu bilan qiziqishgan, ammo bugun hamma bu haqda biladi. Va hech kim bizni kelajakda nima kutayotganini, ko'rib chiqilayotgan nazariya bilan bog'liq yana qanday ajoyib kashfiyotlar qilishini aytmaydi. Ammo bir narsa aniq - tadqiqot to'xtamaydi!

Ehtimollik ta'riflari

Klassik ta'rif

Ehtimollikning klassik "ta'rifi" tushunchadan kelib chiqadi teng imkoniyat o'rganilayotgan hodisalarning ob'ektiv xususiyati sifatida. Teng imkoniyat aniqlanmagan tushuncha bo'lib, o'rganilayotgan hodisalarning simmetriyasining umumiy mulohazalari asosida o'rnatiladi. Masalan, tanga uloqtirganda, tanganing taxminiy simmetriyasi, materialning bir xilligi va otishning tasodifiyligi (xolisligi) tufayli “dumlar” ni “bosh” yoki aksincha, ya'ni bu tomonlarning yuzaga kelishi teng darajada mumkin deb hisoblanishi mumkin (teng ehtimollik) .

Klassik taʼrifda umumiy holatda teng imkoniyat tushunchasi bilan bir qatorda elementar hodisa (natija) tushunchasi ham talab qilinadi, u oʻrganilayotgan hodisa A uchun qulay yoki qulay emas. Gap natijalar haqida bormoqda, ularning yuzaga kelishi. boshqa natijalarning yuzaga kelish ehtimolini istisno qiladi. Bular mos kelmaydigan elementar hodisalardir. Misol uchun, o'limni tashlashda ma'lum bir raqamni urish boshqa raqamlarning paydo bo'lishini istisno qiladi.

Ehtimollikning klassik ta'rifini quyidagicha shakllantirish mumkin:

Tasodifiy hodisa ehtimoli A son nisbati deyiladi n hodisani tashkil etuvchi mos kelmaydigan teng ehtimolli elementar hodisalar A , barcha mumkin bo'lgan elementar hodisalar soniga N :

Masalan, ikkita zar tashlandi deylik. Bir xil darajada mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni (elementar hodisalar) aniq 36 ta (har bir zarda 6 ta imkoniyat). Keling, 7 ball olish ehtimolini hisoblaylik. 7 ballni quyidagi usullarda olish mumkin: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Ya'ni, A hodisasini qo'llab-quvvatlaydigan atigi 6 ta natija mavjud - 7 ball. Demak, ehtimollik 6/36=1/6 ga teng bo'ladi. Taqqoslash uchun, 12 ball yoki 2 ball olish ehtimoli atigi 1/36 - 6 baravar kam.

Geometrik ta'rif

Klassik ta'rif intuitiv va amaliyotdan olingan bo'lishiga qaramay, hech bo'lmaganda teng darajada mumkin bo'lgan natijalar soni cheksiz bo'lgan hollarda uni bevosita qo'llash mumkin emas. Cheksiz miqdordagi mumkin bo'lgan natijalarning yorqin misoli cheklangan geometrik mintaqa G, masalan, tekislikda, maydoni S. Teng ehtimollik bilan tasodifiy "tashlangan" "nuqta" bu mintaqaning istalgan nuqtasida tugashi mumkin. Muammo nuqtaning s maydonga ega bo'lgan ma'lum bir kichik mintaqaga tushish ehtimolini aniqlashdan iborat. Bunday holda, klassik ta'rifni umumlashtirib, biz subdomenga kirish ehtimolining geometrik ta'rifiga kelishimiz mumkin:

Teng imkoniyat tufayli bu ehtimollik g mintaqasining shakliga bog'liq emas, u faqat uning maydoniga bog'liq. Ushbu ta'rif tabiiy ravishda har qanday o'lchamdagi bo'shliqqa umumlashtirilishi mumkin, bu erda maydon o'rniga "hajm" tushunchasidan foydalanish mumkin. Bundan tashqari, aynan shu ta'rif ehtimollikning zamonaviy aksiomatik ta'rifiga olib keladi. Hajm tushunchasi ba'zi bir mavhum to'plamning "o'lchovi" tushunchasiga umumlashtiriladi, bu "hajm" geometrik talqinda qo'yadigan talablarga bo'ysunadi - birinchi navbatda, bular salbiylik va qo'shimchalar.

Chastotaning (statistik) ta'rifi

Klassik ta'rif, murakkab muammolarni ko'rib chiqishda, engib bo'lmaydigan tabiatdagi qiyinchiliklarga duch keladi. Xususan, ba'zi hollarda teng darajada ehtimoliy holatlarni aniqlash mumkin emas. Hatto tangada ham, biz bilganimizdek, nazariy jihatdan baholab bo'lmaydigan "chet" ning tushishi ehtimoli aniq emas (faqat aytish mumkinki, bu ehtimoldan yiroq va bu mulohaza to'g'ri keladi). amaliy). Shuning uchun, ehtimollik nazariyasi shakllanishining boshida ham, ehtimollikning muqobil "chastota" ta'rifi taklif qilindi. Aniqroq aytganda, ehtimollik A hodisasini kuzatish chastotasining chegarasi sifatida, kuzatuvlarning bir xilligi (ya'ni barcha kuzatish shartlarining bir xilligi) va ularning bir-biridan mustaqilligini nazarda tutgan holda aniqlanishi mumkin:

qayerda kuzatishlar soni va hodisaning sodir bo'lish soni.

Garchi bu ta'rif ko'proq noma'lum ehtimollikni - ko'p sonli bir hil va mustaqil kuzatishlar orqali baholash usulini ko'rsatsa ham, bu ta'rif ehtimollik tushunchasining mazmunini aks ettiradi. Ya'ni, agar biror hodisaga uning imkoniyatining ob'ektiv o'lchovi sifatida ma'lum bir ehtimollik tayinlangan bo'lsa, demak, bu qat'iy sharoitlarda va takroriy takrorlashda biz uning paydo bo'lish chastotasini (kuzatishlar qanchalik yaqin bo'lsa) olishimiz kerakligini anglatadi. Aslida, bu ehtimollik tushunchasining asl ma'nosidir. U tabiat hodisalariga ob'ektiv qarashga asoslanadi. Quyida biz katta sonlar qonunlarini ko'rib chiqamiz, ular nazariy asosni (quyida keltirilgan zamonaviy aksiomatik yondashuv doirasida), shu jumladan ehtimollik chastotasini baholash uchun ham beradi.

Aksiomatik ta'rif

Zamonaviy matematik yondashuvda ehtimollik berilgan Kolmogorov aksiomatikasi. Ba'zilar deb taxmin qilinadi elementar hodisalar maydoni. Ushbu bo'shliqning kichik to'plamlari sifatida talqin qilinadi tasodifiy hodisalar. Ayrim kichik to'plamlar (hodisalar)ning birlashishi (yig'indisi) hodisadan iborat hodisa sifatida talqin qilinadi. kamida bitta bu voqealardan. Kichik to'plamlarning (hodisalarning) kesishishi (mahsuloti) sodir bo'lgan voqea sifatida talqin qilinadi. hamma bu voqealar. Ajratilgan to'plamlar sifatida izohlanadi mos kelmaydigan hodisalar (ularning birgalikdagi hujumi mumkin emas). Shunga ko'ra, bo'sh to'plam anglatadi imkonsiz voqea.

Ehtimollik ( ehtimollik o'lchovi) deyiladi o'lchov(raqamli funktsiya) quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan hodisalar to'plamida aniqlangan:

Agar elementar hodisalar fazosi X Albatta, u holda ixtiyoriy ikkita mos kelmaydigan hodisa uchun belgilangan qo'shimchalilik sharti etarli bo'lib, har qanday hodisa uchun qo'shimchalar kelib chiqadi. final mos kelmaydigan hodisalar soni. Biroq, elementar hodisalarning cheksiz (hisoblanadigan yoki hisoblab bo'lmaydigan) fazosi bo'lsa, bu shart etarli emas. Deb atalmish hisoblanuvchi yoki sigma qo'shimchasi, ya'ni har qanday uchun qo'shilish xususiyatining bajarilishi hisoblash mumkin bo'lganidan ortiq emas juftlik mos kelmaydigan hodisalar oilalari. Bu ehtimollik o'lchovining "uzluksizligini" ta'minlash uchun zarur.

Ehtimollik o'lchovi to'plamning barcha kichik to'plamlari uchun aniqlanmasligi mumkin. Bu ba'zilarida aniqlangan deb taxmin qilinadi sigma algebrasi kichik to'plamlar . Ushbu kichik to'plamlar deyiladi o'lchanadigan berilgan ehtimollik o'lchoviga ko'ra, ular aniq tasodifiy hodisalardir. To'plam - ya'ni elementar hodisalar to'plami, uning kichik to'plamlarining sigma algebrasi va ehtimollik o'lchovi deyiladi. ehtimollik maydoni.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar. Mumkin qiymatlari hech qanday intervalni to'liq to'ldirmaydigan sonli yoki cheksiz ketma-ketlikni tashkil etuvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchilarga qo'shimcha ravishda, ko'pincha mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir intervalni tashkil etuvchi tasodifiy o'zgaruvchilar mavjud. To'g'ri sozlangan texnologik jarayonga ega bo'lgan qismning ma'lum bir o'lchamining nominal qiymatidan og'ish bunday tasodifiy o'zgaruvchiga misol bo'ladi. Bunday tasodifiy o'zgaruvchilarni ehtimollik taqsimoti qonuni yordamida aniqlab bo'lmaydi p(x). Biroq, ular ehtimollik taqsimoti funksiyasi yordamida aniqlanishi mumkin F(x). Bu funksiya diskret tasodifiy o'zgaruvchidagi kabi aniqlangan:

Shunday qilib, bu erda ham funktsiya F(x) butun son chizig'ida aniqlangan va uning nuqtadagi qiymati X tasodifiy o'zgaruvchining dan kichik qiymat olishi ehtimoliga teng X. Formula (19) va 1° va 2° xossalari har qanday tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi uchun amal qiladi. Isbotlash diskret kattalik holatiga o'xshash tarzda amalga oshiriladi. Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi davomiy, agar buning uchun har qanday qiymatlarni qanoatlantiradigan manfiy bo'lmagan bo'lak uzluksiz funksiya* mavjud bo'lsa x tenglik

Integralning maydon sifatidagi geometrik ma'nosiga asoslanib, biz tengsizliklarni bajarish ehtimoli asosli egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng deb aytishimiz mumkin. , yuqorida egri chiziq bilan chegaralangan (6-rasm).

dan beri va formula (22) asosida

E'tibor bering, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimot funktsiyasi F(x) har qanday nuqtada uzluksiz X, bu yerda funksiya uzluksiz. Bu shundan kelib chiqadi F(x) bu nuqtalarda farqlanadi. (23) formulaga asoslanib, faraz qiling x 1 =x, , bizda ... bor

Funksiyaning uzluksizligi tufayli F(x) buni tushunamiz

Shuning uchun

Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining har qanday yagona x qiymatini olish ehtimoli nolga teng. Bundan kelib chiqadiki, har bir tengsizlikning bajarilishidan iborat hodisalar

Ular bir xil ehtimolga ega, ya'ni.

Aslida, masalan,

chunki Izoh. Bizga ma'lumki, agar biror hodisa imkonsiz bo'lsa, unda uning yuzaga kelish ehtimoli nolga teng. Imtihonning klassik ta'rifi bilan, test natijalarining soni cheklangan bo'lsa, qarama-qarshi taklif ham o'rinli bo'ladi: agar hodisaning ehtimoli nolga teng bo'lsa, unda hodisa mumkin emas, chunki bu holda test natijalarining hech biri uni yoqtirmaydi. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, uning mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir. Ushbu miqdorning ma'lum bir qiymatga ega bo'lish ehtimoli x 1 ko'rganimizdek, nolga teng. Biroq, bundan bu hodisa mumkin emas degan xulosa kelib chiqmaydi, chunki test natijasida tasodifiy o'zgaruvchi, xususan, qiymatni olishi mumkin. x 1 . Shuning uchun, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchida, tasodifiy o'zgaruvchining biron bir o'ziga xos qiymatni olish ehtimoli haqida emas, balki intervalga tushish ehtimoli haqida gapirish mantiqan. Shunday qilib, masalan, rolik yasashda biz uning diametri nominal qiymatga teng bo'lish ehtimoli bilan qiziqmaymiz. Biz uchun muhim bo'lgan narsa, rulonning diametri bardoshlik oralig'ida bo'lish ehtimoli. Misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi quyidagicha berilgan:

Funktsiya grafigi rasmda ko'rsatilgan. 7. Tasodifiy miqdorning tengsizliklarni qanoatlantiradigan qiymat olishi ehtimolligini aniqlang Berilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping. ( Yechim)

Keyingi ikki paragraf amaliyotda tez-tez uchrab turadigan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimotiga bag'ishlangan - bir xil va normal taqsimotlar.

* Agar funksiya har qanday segmentda uzluksiz bo'lsa yoki birinchi turdagi chekli sonli uzilish nuqtalariga ega bo'lsa, u butun son chizig'ida bo'lakli uzluksiz deyiladi. ** O‘zgaruvchan yuqori chegaraga ega bo‘lgan integralni differensiallash qoidasi cheksiz pastki chegaraga ega bo‘lgan integrallar uchun o‘z kuchida qoladi. Haqiqatdan ham,

Integraldan boshlab

doimiy qiymat mavjud.

Bog'liq va mustaqil hodisalar. Shartli ehtimollik

3-misol. Tanga ikki marta tashlanadi. Birinchi sudda (hodisada) "gerb" ning paydo bo'lish ehtimoli ikkinchi sudda (hodisada) "gerb" ning ko'rinishi yoki ko'rinmasligiga bog'liq emas. O'z navbatida, ikkinchi sinovda "gerb" paydo bo'lish ehtimoli birinchi sinov natijasiga bog'liq emas. Shunday qilib, voqealar ikkalasi ham mustaqildir.

Bir nechta tadbirlar chaqiriladi jamoaviy mustaqil , agar ulardan birortasi boshqa biron bir hodisaga va boshqalarning har qanday kombinatsiyasiga bog'liq bo'lmasa.

Voqealar deyiladi qaram , agar ulardan biri ikkinchisining ehtimoliga ta'sir qilsa. Masalan, ikkita ishlab chiqarish korxonasi bitta texnologik sikl orqali bog'langan. Keyin ulardan birining ishlamay qolish ehtimoli boshqasining holatiga bog'liq. Bir hodisaning boshqa hodisa sodir bo'lishini hisobga olgan holda hisoblangan ehtimollik deyiladi shartli ehtimollik hodisalar va bilan belgilanadi.

Hodisaning hodisadan mustaqillik sharti shaklda, bog'liqlik sharti esa shaklda yoziladi. Keling, hodisaning shartli ehtimolligini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

4-misol. Qutida 5 ta kesgich mavjud: ikkitasi eskirgan va uchtasi yangi. Kesuvchi tishlarning ikkita ketma-ket ekstraktsiyasi amalga oshiriladi. Birinchi marta olib tashlangan to'sar qutiga qaytarilmasa, eskirgan to'sarning ikkinchi ekstraktsiya paytida paydo bo'lishining shartli ehtimolini aniqlang.

Yechim. Birinchi holatda eskirgan to'sarning chiqarilishini va - yangisini olishni belgilaymiz. Keyin. Olib tashlangan to'sar qutiga qaytarilmaganligi sababli, eskirgan va yangi kesgichlar miqdori o'rtasidagi nisbat o'zgaradi. Binobarin, ikkinchi holatda eskirgan to'sarni olib tashlash ehtimoli avval sodir bo'lgan voqeaga bog'liq.

Keling, ikkinchi holatda eskirgan to'sarni olib tashlashni anglatuvchi hodisani belgilaylik. Ushbu hodisaning ehtimoli quyidagicha bo'lishi mumkin:

Shuning uchun hodisaning yuzaga kelish ehtimoli voqea sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganiga bog'liq.

Ehtimollik zichligi- Evklid fazosida ehtimollik o'lchovini belgilash usullaridan biri. Agar ehtimollik o'lchovi tasodifiy o'zgaruvchining taqsimoti bo'lsa, biz gaplashamiz zichliktasodifiy o'zgaruvchi.

Ehtimollar zichligi bo'yicha ehtimollik o'lchovi bo'lsin, ya'ni ehtimollik fazosi aniqlanadi, bu erda Borel s-algebrasini bildiradi. Lebeg o'lchovini on belgilaymiz.

Ta'rif 1. Agar Lebeg o'lchovining biron bir Borel to'plami nolga teng ehtimollik nolga ega bo'lsa, ehtimollik mutlaq uzluksiz (Lebeg o'lchoviga nisbatan) deyiladi:

Agar ehtimollik mutlaqo uzluksiz bo'lsa, Radon-Nikodim teoremasiga ko'ra manfiy bo'lmagan Borel funktsiyasi mavjud

bu erda umumiy qisqartma ishlatiladi , integral esa Lebeg ma’nosida tushuniladi.

Ta'rif 2. Umumiyroq shaklda, ixtiyoriy o'lchanadigan bo'shliq bo'lsin va bu bo'shliqda ikkita o'lchov bo'lsin. Shakl bo'yicha o'lchovni ifodalashga imkon beradigan salbiy bo'lmagan bo'lsa

keyin bunday funktsiya chaqiriladi zichlik o'lchovi kabi , yoki Radon-Nikodim hosilasi o'lchovga nisbatan o'lchovlar , va bildiradi