Две независими събития. Зависими и независими събития. Условна вероятност. Лекционни бележки основни понятия на теорията на вероятностите и статистиката, използвани в иконометрията

В задачите за USE по математика има и по-сложни задачи за вероятност (отколкото разгледахме в част 1), където трябва да приложите правилото за събиране, умножение на вероятностите и да правите разлика между съвместни и несъвместими събития.

И така, теория.

Съвместни и несъвместни събития

Събитията се наричат несъвместими, ако настъпването на едно от тях изключва настъпването на останалите. Тоест, може да се случи само едно конкретно събитие или друго.

Например, като хвърлите зар, можете да разграничите събития като четен брой точки и нечетен брой точки. Тези събития са несъвместими.

Събитията се наричат съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото.

Например, когато хвърляте зар, можете да разграничите събития като появата на нечетен брой точки и загубата на брой точки, кратен на три. Когато се хвърлят три, и двете събития се реализират.

Сума от събития

Сумата (или обединението) от няколко събития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития.

При което сумата от две несвързани събития е сумата от вероятностите за тези събития:

Например, вероятността да получите 5 или 6 на заровепри едно хвърляне, ще бъде, защото и двете събития (хвърляне 5, хвърляне 6) са несъвместими и вероятността едното или другото събитие да се случи се изчислява, както следва:

Вероятността сумата от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития, без да се взема предвид тяхното съвместно възникване:

Например в търговски център две еднакви вендинг машини продават кафе. Вероятността кафето в машината да свърши до края на деня е 0,3. Вероятността и двете машини да останат без кафе е 0,12. Нека намерим вероятността до края на деня кафето да свърши в поне една от машините (тоест или в едната, или в другата, или и в двете наведнъж).

Вероятността за първото събитие "кафето ще свърши в първата машина", както и вероятността за второто събитие "кафето ще свърши във втората машина" по условието е равна на 0,3. Събитията са съвместни.

Вероятността за съвместна реализация на първите две събития е равна на 0,12 според условието.

Това означава, че вероятността до края на деня кафето да свърши в поне една от машините е

Зависими и независими събития

Две случайни събития A и B се наричат независими, ако настъпването на едно от тях не променя вероятността за настъпване на другото. В противен случай събитията A и B се наричат зависими.

Например, когато хвърляте два зара едновременно, падането на единия от тях, да речем 1, а на втория 5, - независими събития.

Произведение на вероятностите

Продукт (или пресичане) на няколко събития е събитие, състоящо се от съвместното възникване на всички тези събития.

Ако са две независими събития A и B с вероятности съответно P(A) и P(B), тогава вероятността за реализиране на събития A и B е едновременно равна на произведението на вероятностите:

Например, интересуваме се от загубата на шестица на зара два пъти подред. И двете събития са независими и вероятността всяко от тях да се случи поотделно е . Вероятността и двете събития да се случат ще се изчисли по горната формула: .

Вижте селекция от задачи за разработка на темата.

Събития A, B, C... се извикват зависимедно от друго, ако вероятността за настъпване на поне едно от тях варира в зависимост от настъпването или ненастъпването на други събития. Събитията се наричат независимаако вероятностите за възникване на всеки от тях не зависят от възникването или невъзникването на останалите.

Условна вероятност(RA (B)-условна вероятност за събитие B спрямо A) е вероятността за събитие B, изчислена при предположението, че събитие A вече се е случило. пример за условна вероятност Условната вероятност за събитие B, при условие че събитие A вече се е случило, по дефиниция е равна на RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

Умножаване на вероятностите от зависими събития:вероятността за съвместно възникване на две събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях от условната вероятност за другото, изчислена при предположението, че първото събитие вече се е случило:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

Пример. Колекторът има 3 конични и 7 елипсовидни ролки. Колекционерът взе една ролка, а след това и втората. Намерете вероятността първата от взетите ролки да е конична, а втората елипсовидна.

решение:Вероятността първата ролка да бъде конична (събитие A), P (A) = 3 / 10. Вероятността втората ролка да бъде елипсовидна (събитие B), изчислена при допускането, че първата ролка е конична, т.е. условна вероятност RA (B) = 7/9.
Съгласно формулата за умножение, желаната вероятност P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. Имайте предвид, че запазвайки нотацията, ние можете лесно да намерите: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30

Условие за независимост на събитията. Умножение на вероятностите за независими събития. Примери.

Събитие B е независимо от събитие A, ако

P(B/A) = P(B) т.е. Вероятността за събитие B не зависи от това дали събитие A се е случило или не.

В този случай събитието A не зависи от събитието B, тоест свойството за независимост на събитията е взаимно.

Вероятността за произведението на две независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

P(AB) = P(A)P(B) .

Пример 1:Устройство, работещо през време t, се състои от три възела, всеки от които, независимо от другите, може да се повреди (да излезе от строя) през време t. Повредата на поне един възел води до повреда на устройството като цяло. През времето t надеждността (вероятността за безотказна работа) на първия възел е равна на p 1 = 0,8; второ p 2 = 0,9 трето p 3 = 0,7. Намерете надеждността на устройството като цяло.

Решение.Означаващ:

A - безпроблемна работа на устройствата,

A 1 - работа без отказ на първия възел,

A 2 - безпроблемна работа на втория възел,

A 3 - безпроблемна работа на третия възел,

откъдето чрез теоремата за умножение за независими събития

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Пример 2. Намерете вероятността една цифра да се появи заедно при едно хвърляне на две монети.

Решение. Вероятност за поява на цифрата на първата монета (събитие А) Р(А) = 1/2; вероятността за появата на цифрата на втората монета (събитие B) е P(B) = 1/2.

Събития A и B са независими, така че намираме желаната вероятност

по формулата:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

Последователност и непоследователност на събитията. Добавяне на вероятностите за две съвместни събития. Примери.

Двете събития се наричат ставаако настъпването на едно от тях не засяга или изключва настъпването на другото. Съвместни събития могат да се реализират едновременно, като например появата на произволно число на един и същ зар

по никакъв начин не влияе върху появата на числа върху друга кост. Събитията са непоследователни, ако в едно явление или в един тест те не могат да се реализират едновременно и появата на едно от тях изключва появата на другото (попадение в целта и пропуск са несъвместими).

Вероятността за настъпване на поне едно от двете съвместни събития A или B е равна на сумата от вероятностите на тези събития без вероятността за съвместното им настъпване:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Пример. Вероятността за попадение в целта за първия спортист е 0,85, а за втория - 0,8. Спортисти самостоятелно

произвел един изстрел. Намерете вероятността поне един атлет да уцели целта?

Решение. Нека въведем обозначението: събития А - "удар на първия спортист", B - "удар на втория спортист", C - "удар на поне един от спортистите". Очевидно A + B = C и събитията A и B са съвместими. В съответствие с формулата получаваме:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

защото A и B са независими събития. Замествайки тези стойности P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 във формулата за P(C), намираме желаната вероятност

P (C) \u003d (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Теорема за събиране на вероятности от противоположни събития

Отсрещаназовете две несъвместими събития, които образуват пълна група. Ако едно от две противоположни събития се означи с И,другият обикновено се обозначава . Противоположно събитие се състои в ненастъпването на събитието И.

Теорема.Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица:

P(A)+P()= 1.

Пример 4Кутията съдържа 11 части, 8 от които стандартни. Намерете вероятността сред 3 произволно извлечени части да има поне една дефектна.

Решение.Проблемът може да се реши по два начина.

1 начин. Събитията „сред извлечените части има поне една дефектна част“ и „сред извлечените части няма нито една дефектна част“ са противоположни. Нека означим първото събитие като И,и вторият през :

P(A) =1 - P( ) .

Да намерим R(). Общият брой начини, по които 3 части могат да бъдат извлечени от 11 части, е равен на броя на комбинациите
. Броят на стандартните части е 8 ; от този брой части
начини за извличане на 3 стандартни части. Следователно вероятността сред извлечените 3 части да няма нестандартни части е равна на:

Съгласно теоремата за събиране на вероятностите за противоположни събития, желаната вероятност е равна на: P(A)=1 - P()=

2 начина.Събитие И- "сред извлечените части има поне една дефектна" - може да се осъзнае като появата на:

или събития AT- "отстранени 1 дефектна и 2 недефектни части",

или събития с- "отстранени 2 дефектни и 1 недефектна част",

или събития д - "Отстранени са 3 дефектни части".

Тогава А= б+ ° С+ д. От събитията б, ° С и д несъвместими, тогава можем да приложим теоремата за добавяне за вероятностите за несъвместими събития:

4. Теорема за умножение на вероятностите за независими събития

Продукт на две събитияИ иAT обадете се на събитието ° С=AB,състоящ се в съвместната поява (комбинация) на тези събития.

Продукт на няколко събитияназовете събитието, състоящо се в съвместното възникване на всички тези събития. Например събитие ABCе комбинация от събития А, Би с.

Извикват се две събития независимаако вероятността за едно от тях не зависи от настъпването или ненастъпването на другото.

Теорема.Вероятността за съвместна поява на две независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

P(AB)=P(A) P(B).

Последица.Вероятността за съвместна поява на няколко събития, които са независими в съвкупността, е равна на произведението на вероятностите за тези събития :

P(A 1 И 2 ... И н ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A н ).

Пример 5Намерете вероятността гербът да се появи заедно при едно хвърляне на две монети.

Решение. Нека обозначим събитията: И -появата на герба на първата монета, В -появата на герба на втората монета, с- появата на герба на две монети C=AB.

Вероятността за появата на герба на първата монета :

P(A) =.

Вероятността за появата на герба на втората монета :

P(B) =.

От събитията Ии ATнезависимо, тогава желаната вероятност съгласно теоремата за умножение е равна на:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

Пример 6Има 3 кутии, съдържащи 10 части. Първото чекмедже съдържа 8, второто чекмедже 7 и третото чекмедже 9 стандартни части. От всяка кутия се изтегля произволен предмет. Намерете вероятността и трите извадени части да са стандартни.

Решение. Вероятността стандартна част да бъде взета от първата кутия (събитието И):

P(A) =

Вероятността стандартна част да бъде взета от втората кутия (събитието AT):

Вероятността стандартна част да бъде взета от третата кутия (събитието с):

P(C)=

От събитията А, Би снезависими в съвкупността, тогава желаната вероятност (според теоремата за умножение) е равна на:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Пример 7Вероятности за настъпване на всяко от две независими събития И 1 и И 2 съответно равни Р 1 и Р 2. Намерете вероятността за възникване само на едно от тези събития.

Решение. Нека въведем обозначението на събитията:

AT 1 – се появи единствено събитие И 1 ; AT 2 – се появи единствено събитие И 2 .

Поява на събитие AT 1 е еквивалентно на настъпването на събитие И 1 2 (първото събитие се появи, а второто не се появи), т.е. AT 1 = А 1 2 .

Поява на събитие AT 2 е еквивалентно на настъпването на събитие 1 И 2 (първото събитие не се появи и се появи второто), т.е. AT 1 = 1 И 2 .

По този начин да се намери вероятността за настъпване само на едно от събитията И 1 или И 2 , достатъчно е да се намери вероятността за възникване на едно, без значение кое от събитията AT 1 и AT 2 . Разработки AT 1 и AT 2 са непоследователни, следователно е приложима теоремата за добавяне на несъвместими събития:

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Теореми за събиране и умножение на вероятности.
Зависими и независими събития

Заглавието изглежда страшно, но всъщност е много просто. В този урок ще се запознаем с теоремите за събиране и умножение на вероятностите за събития, както и ще анализираме типични задачи, които наред с задача за класическото определение на вероятносттасъс сигурност ще се срещнете или, по-вероятно, вече сте срещнали по пътя си. За да изучавате ефективно материалите на тази статия, трябва да знаете и разбирате основните термини теория на вероятноститеи да може да извършва прости аритметични операции. Както можете да видите, изисква се много малко и следователно тлъст плюс в актива е почти гарантиран. Но от друга страна, отново предупреждавам за повърхностно отношение към практическите примери - има и достатъчно тънкости. Късмет:

Теорема за добавяне за вероятностите от несъвместими събития: вероятността за поява на едно от двете несъвместимисъбития или (без значение какво), е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Подобен факт е верен и за по-голям брой несъвместими събития, например за три несъвместими събития и :

Теорема на съня =) Такъв сън обаче също подлежи на доказателство, което може да се намери например в учебно ръководствоВ.Е. Гмурман.

Да се запознаем с нови, невиждани досега концепции:

Зависими и независими събития

Да започнем с независими събития. Събитията са независима ако вероятността за възникване Всеки от тях не зависиот поява/непоява на други събития от разглеждания набор (във всички възможни комбинации). ... Но какво има за смилане на общи фрази:

Теорема за умножение на вероятностите за независими събития: вероятността за съвместна поява на независими събития и е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

Нека се върнем към най-простия пример от 1-ви урок, в който се хвърлят две монети и следните събития:

- главите ще паднат върху 1-вата монета;
- Глави на 2-ра монета.

Нека намерим вероятността за събитието (главите ще се появят на 1-вата монета иОрел ще се появи на втората монета - помнете как да четете продукт на събитията!) . Вероятността да получите глави на една монета не зависи от резултата от хвърлянето на друга монета, следователно събитията и са независими.

По същия начин:
е вероятността първата монета да падне с глави ина 2-ра опашка;
е вероятността главите да се появят на 1-вата монета ина 2-ра опашка;
е вероятността първата монета да падне на опашка ина 2-ри орел.

Имайте предвид, че формират събития пълна групаи сумата от техните вероятности е равна на единица: .

Теоремата за умножение очевидно се простира до по-голям брой независими събития, така че, например, ако събитията са независими, тогава вероятността за тяхното съвместно възникване е: . Нека практикуваме с конкретни примери:

Задача 3

Всяка от трите кутии съдържа 10 части. В първата кутия има 8 стандартни части, във втората - 7, в третата - 9. От всяка кутия произволно се изважда по една част. Намерете вероятността всички части да са стандартни.

Решение: вероятността за извличане на стандартна или нестандартна част от която и да е кутия не зависи от това кои части ще бъдат извлечени от други кутии, така че проблемът е за независими събития. Помислете за следните независими събития:

– от 1-ва кутия е извадена стандартна част;
– от 2-ра кутия е свалена стандартна част;
– От 3-то чекмедже е извадена стандартна част.

Според класическото определение:
са съответните вероятности.

Събитие, което ни интересува (Стандартната част ще бъде взета от 1-во чекмедже иот 2-ри стандарт иот 3-ти стандарт)се изразява чрез продукта.

Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

е вероятността една стандартна част да бъде извлечена от три кутии.

Отговор: 0,504

След тонизиращи упражнения с кутии ни очакват не по-малко интересни урни:

Задача 4

Три урни съдържат 6 бели и 4 черни топки. От всяка урна се тегли произволно една топка. Намерете вероятността: а) и трите топки да са бели; б) и трите топки ще бъдат с един и същи цвят.

Въз основа на получената информация познайте как да се справите с елемента „бъдете“ ;-) Приблизително примерно решение е проектирано в академичен стил с подробно описание на всички събития.

Зависими събития. Събитието се нарича зависим ако неговата вероятност Зависиот едно или повече събития, които вече са се случили. Не е нужно да ходите далеч за примери - просто отидете до най-близкия магазин:

- Утре в 19.00 часа ще се продава пресен хляб.

Вероятността за това събитие зависи от много други събития: дали утре ще бъде доставен пресен хляб, дали ще бъде разпродаден преди 19 часа или не и т.н. В зависимост от различни обстоятелства това събитие може да бъде както надеждно, така и невъзможно. Така че събитието е зависим.

Хляб ... и, както изискват римляните, циркове:

- на изпита студентът ще получи обикновен билет.

Ако не отидете първият, тогава събитието ще бъде зависимо, тъй като вероятността му ще зависи от това кои билети съучениците вече са изтеглили.

Как да определим зависимостта/независимостта на събитията?

Понякога това е директно посочено в условието на проблема, но най-често трябва да извършите независим анализ. Тук няма еднозначна насока и фактът на зависимост или независимост на събитията следва от естествено логическо разсъждение.

За да не хвърляте всичко на една купчина, задачи за зависими събитияЩе подчертая следващия урок, но засега ще разгледаме най-често срещания набор от теореми в практиката:

Задачи върху теореми за добавяне за непоследователни вероятности
и умножаване на вероятностите за независими събития

Този тандем по моя субективна оценка работи в около 80% от задачите по разглежданата тема. Хит от хитове и истинска класика на теорията на вероятностите:

Задача 5

Двама стрелци са произвели по един изстрел в мишената. Вероятността за попадение за първия стрелец е 0,8, за втория - 0,6. Намерете вероятността, че:

а) само един стрелец ще уцели целта;
б) поне един от стрелците ще уцели целта.

Решение: Вероятността за попадение/пропускане на един стрелец очевидно е независима от представянето на другия стрелец.

Помислете за събитията:
– 1-ви стрелец ще уцели целта;
– Вторият стрелец ще уцели целта.

По условие:.

Нека намерим вероятностите за противоположни събития - че съответните стрелки ще пропуснат:

a) Разгледайте събитието: - само един стрелец уцелва целта. Това събитие се състои от два несъвместими резултата:

Първият стрелец ще уцели и 2-ри пропуски
или
1-ви ще пропусне и 2-ри ще удари.

На езика алгебри на събитиятатози факт може да се запише като:

Първо използваме теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития, след това - теоремата за умножение на вероятности от независими събития:

е вероятността да има само едно попадение.

b) Помислете за събитието: - поне един от стрелците ще уцели целта.

Първо ДА ПОМИСЛИМ - какво означава условието "ПОНЕ ЕДИН"? В този случай това означава, че или първият стрелец ще уцели (вторият ще пропусне) или 2-ри (1-ви пропуски) илидвете стрелки наведнъж - общо 3 несъвместими резултата.

Метод първи: като се има предвид подготвената вероятност от предишния елемент, е удобно събитието да се представи като сбор от следните несвързани събития:

човек ще получи (събитие, състоящо се на свой ред от 2 несъвместими резултата) или
Ако и двете стрелки са уцелени, означаваме това събитие с буквата .

Поради това:

Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:
е вероятността първият стрелец да уцели и 2-ри стрелец ще уцели.

Според теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития:
е вероятността за поне едно попадение в целта.

Метод втори: разгледайте обратното събитие: – и двамата стрелци ще пропуснат.

Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

Като резултат:

Специално вниманиеобърнете внимание на втория метод - в общия случай е по-рационален.

Освен това има алтернативен, трети начин за решаване, базиран на теоремата за сумиране на съвместни събития, за която беше премълчано по-горе.

! Ако четете материала за първи път, тогава, за да избегнете объркване, е по-добре да пропуснете следващия параграф.

Метод трети : събитията са съвместни, което означава, че тяхната сума изразява събитието „поне един стрелец уцелва целта“ (виж Фиг. алгебра на събитията). от теорема за събиране на вероятности от съвместни събитияи теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

Да проверим: събития и (съответно 0, 1 и 2 попадения)образуват пълна група, така че сумата от техните вероятности трябва да бъде равна на единица:
, което трябваше да бъде проверено.

Отговор:

При задълбочено изучаване на теорията на вероятността ще попаднете на десетки задачи с милитаристично съдържание и, което е типично, след това няма да искате да застреляте никого - задачите са почти подарък. Защо не направите шаблона още по-прост? Нека съкратим записа:

Решение: според условието: , е вероятността за попадение на съответните стрелци. Тогава техните вероятности за пропуск са:

а) Съгласно теоремите за събиране на вероятности за несъвместими и умножение на вероятности за независими събития:
е вероятността само един стрелец да уцели целта.

б) Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:
е вероятността и двамата стрелци да пропуснат.

Тогава: е вероятността поне един от стрелците да уцели целта.

Отговор:

На практика можете да използвате всяка опция за дизайн. Разбира се, много по-често вървят по краткия път, но не бива да забравяме първия метод - въпреки че е по-дълъг, той е по-смислен - в него е по-ясен, какво, защо и защосъбира и умножава. В някои случаи е подходящ хибриден стил, когато е удобно да посочите само някои събития с главни букви.

Подобни задачи за самостоятелно решаване:

Задача 6

Монтирани са два независимо работещи сензора за пожароизвестяване. Вероятностите сензорът да работи при пожар са съответно 0,5 и 0,7 за първия и втория сензор. Намерете вероятността при пожар:

а) и двата сензора ще се повредят;
б) и двата сензора ще работят.
в) Използване теорема за добавяне за вероятностите събития, образуващи пълна група, намерете вероятността само един сензор да работи по време на пожар. Проверете резултата чрез директно изчисляване на тази вероятност (използвайки теореми за събиране и умножение).

Тук независимостта на работата на устройствата е директно изписана в условието, което между другото е важно уточнение. Примерното решение е оформено в академичен стил.

Ами ако в подобна задача са дадени еднакви вероятности, например 0,9 и 0,9? Трябва да решите точно същото! (което всъщност вече беше демонстрирано в примера с две монети)

Задача 7

Вероятността за попадение в целта от първия стрелец с един изстрел е 0,8. Вероятността мишената да не бъде улучена, след като първият и вторият стрелец стрелят по един изстрел, е 0,08. Каква е вероятността вторият стрелец да уцели целта с един изстрел?

И това е малък пъзел, който е рамкиран накратко. Условието може да се преформулира по-сбито, но няма да преправям оригинала - на практика трябва да се ровя в по-пищни измислици.

Запознайте се с него - той е този, който е изрязал непремерено количество детайли за вас =):

Задача 8

Един работник управлява три машини. Вероятността по време на смяна първата машина да изисква настройка е 0,3, втората - 0,75, третата - 0,4. Намерете вероятността по време на смяната:

а) всички машини ще изискват настройка;
б) само една машина ще изисква настройка;
в) поне една машина ще изисква настройка.

Решение: тъй като условието не казва нищо за един технологичен процес, тогава работата на всяка машина трябва да се счита за независима от работата на други машини.

По аналогия със задача № 5, тук можете да въведете събития за разглеждане, състоящи се в това, че съответните машини ще изискват настройка по време на смяната, запишете вероятностите, намерете вероятностите за противоположни събития и т.н. Но с три обекта наистина не искам да съставя задачата така - ще се окаже дълго и досадно. Ето защо е значително по-изгодно да използвате „бързия“ стил тук:

По условие: - вероятността по време на смяната съответните машини да изискват настройка. Тогава вероятностите те да не изискват внимание са:

Един от читателите намери страхотна печатна грешка тук, дори няма да я коригирам =)

а) Според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:
е вероятността по време на смяната и трите машини да изискват настройка.

b) Събитието „По време на смяната само една машина ще изисква настройка“ се състои от три несъвместими резултата:

1) 1-ва машина ще изисквавнимание и 2-ра машина няма да изискват и 3-та машина няма да изискват
или:
2) 1-ва машина няма да изискватвнимание и 2-ра машина ще изисква и 3-та машина няма да изискват
или:
3) 1-ва машина няма да изискватвнимание и 2-ра машина няма да изискват и 3-та машина ще изисква.

Съгласно теоремите за събиране на вероятности за несъвместими и умножение на вероятности за независими събития:

- вероятността по време на смяна само една машина да изисква настройка.

Мисля, че вече трябва да ви е ясно откъде идва изразът

в) Изчислете вероятността машините да не се нуждаят от настройка и след това вероятността от обратното събитие:
– фактът, че поне една машина ще изисква настройка.

Отговор:

Елемент "ve" също може да бъде решен чрез сумата , където е вероятността по време на смяна само две машини да изискват настройка. Това събитие от своя страна включва 3 несъвместими резултата, които са подписани по аналогия с елемента "be". Опитайте се сами да намерите вероятността да проверите цялата задача с помощта на равенството.

Задача 9

Три оръдия дадоха залпов удар по целта. Вероятността за попадение с един изстрел само от първия пистолет е 0,7, от втория - 0,6, от третия - 0,8. Намерете вероятността, че: 1) поне един снаряд удари целта; 2) само два снаряда ще ударят целта; 3) целта ще бъде ударена поне два пъти.

Решение и отговор в края на урока.

И отново за съвпаденията: в случай, че по условие две или дори всички стойности на първоначалните вероятности съвпадат (например 0,7; 0,7 и 0,7), тогава трябва да се следва точно същият алгоритъм за решение.

В заключение на статията ще анализираме друг често срещан пъзел:

Задача 10

Стрелецът уцелва целта с еднаква вероятност при всеки изстрел. Каква е тази вероятност, ако вероятността за поне едно попадение в три изстрела е 0,973.

Решение: означете с - вероятността за попадение в целта с всеки изстрел.
и чрез - вероятността за пропуск с всеки изстрел.

Нека запишем събитията:
- при 3 изстрела стрелецът ще уцели целта поне веднъж;
- стрелецът ще пропусне 3 пъти.

Според условието тогава вероятността от обратното събитие:

От друга страна, според теоремата за умножение на вероятностите за независими събития:

Поради това:

- вероятността за пропуск при всеки изстрел.

Като резултат:
е вероятността за уцелване на всеки изстрел.

Отговор: 0,7

Просто и елегантно.

В разглеждания проблем могат да бъдат повдигнати допълнителни въпроси относно вероятността само за едно попадение, само за две попадения и вероятността за три попадения в целта. Схемата на решение ще бъде точно същата като в двата предишни примера:

Основната съществена разлика обаче е, че има повтарящи се независими тестове, които се извършват последователно, независимо едно от друго и с еднаква вероятност за резултати.

Обща формулировка на проблема: вероятностите за някои събития са известни, но вероятностите за други събития, които са свързани с тези събития, трябва да бъдат изчислени. В тези задачи има нужда от такива операции върху вероятностите като събиране и умножение на вероятности.

Например два изстрела са произведени по време на лов. Събитие А- уцелване на патица от първия изстрел, събитие б- попадение от втория удар. След това сумата от събития Аи б- попадение от първи или втори изстрел или от два изстрела.

Задачи от различен тип. Дават се няколко събития, например монета се хвърля три пъти. Изисква се да се намери вероятността или трите пъти да изпаднат гербовете, или гербът да изпадне поне веднъж. Това е задача за умножение.

Добавяне на вероятности за несъвместими събития

Вероятностното добавяне се използва, когато е необходимо да се изчисли вероятността от комбинация или логическа сума от случайни събития.

Сума от събития Аи бобозначавам А + били А ∪ б. Сумата от две събития е събитие, което се случва тогава и само ако се случи поне едно от събитията. Означава, че А + б- събитие, което настъпва тогава и само ако настъпи събитие по време на наблюдението Аили събитие б, или по едно и също време Аи б.

Ако събития Аи бса взаимно несъвместими и техните вероятности са дадени, тогава вероятността едно от тези събития да се случи в резултат на един опит се изчислява чрез добавяне на вероятности.

Теорема за събиране на вероятности.Вероятността да се случи едно от две взаимно несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Например два изстрела са произведени по време на лов. Събитие И– уцелване на патица от първия изстрел, събитие AT– попадение от втори удар, събитие ( И+ AT) - попадение от първия или втория изстрел или от два изстрела. Така че, ако две събития Ии ATтогава са несъвместими събития И+ AT- настъпването на поне едно от тези събития или две събития.

Пример 1Една кутия съдържа 30 топки с еднакъв размер: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Изчислете вероятността цветна (не бяла) топка да бъде взета, без да се гледа.

Решение. Да приемем, че събитието И– „червената топка е взета“ и събитието AT- "Синята топка е взета." Тогава събитието е „взета е цветна (не бяла) топка“. Намерете вероятността за събитие И:

и събития AT:

Разработки Ии AT- взаимно несъвместими, тъй като ако се вземе една топка, тогава не могат да се вземат топки с различни цветове. Затова използваме добавянето на вероятности:

Теорема за събиране на вероятности за няколко несъвместими събития.Ако събитията съставят пълния набор от събития, тогава сумата от техните вероятности е равна на 1:

Сумата от вероятностите за противоположни събития също е равна на 1:

Противоположните събития образуват пълен набор от събития, а вероятността за пълен набор от събития е 1.

Вероятностите за противоположни събития обикновено се обозначават с малки букви. стри р. В частност,

от което следват следните формули за вероятността от противоположни събития:

Пример 2Мишената в тирето е разделена на 3 зони. Вероятността даден стрелец да стреля по мишена в първата зона е 0,15, във втората зона - 0,23, в третата зона - 0,17. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта и вероятността стрелецът да пропусне целта.

Решение: Намерете вероятността стрелецът да уцели целта:

Намерете вероятността стрелецът да пропусне целта:

По-трудни задачи, в които трябва да приложите едновременно събиране и умножение на вероятности - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности" .

Събиране на вероятности за взаимно съвместни събития

Две случайни събития се наричат съвместни, ако появата на едно събитие не изключва появата на второ събитие в същото наблюдение. Например при хвърляне на зарове събитието Исе счита за появата на числото 4, а събитието AT- отпадане на четно число. Тъй като числото 4 е четно число, двете събития са съвместими. В практиката се срещат задачи за изчисляване на вероятностите за настъпване на едно от взаимно съвместните събития.

Теорема за събиране на вероятности за съвместни събития.Вероятността едно от съвместните събития да се случи е равна на сумата от вероятностите за тези събития, от която се изважда вероятността за общото случване на двете събития, т.е. произведението на вероятностите. Формулата за вероятностите за съвместни събития е следната:

Тъй като събитията Ии ATсъвместим, събитие И+ ATвъзниква, ако настъпи едно от три възможни събития: или AB. Съгласно теоремата за събиране на несъвместими събития, изчисляваме, както следва:

Събитие Ивъзниква, ако се случи едно от две несъвместими събития: или AB. Въпреки това, вероятността за възникване на едно събитие от няколко несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на всички тези събития:

По същия начин:

Замествайки изрази (6) и (7) в израз (5), получаваме формулата на вероятността за съвместни събития:

При използване на формула (8) трябва да се има предвид, че събитията Ии ATможе би:

взаимно независими;
взаимно зависими.

Формула за вероятност за взаимно независими събития:

Формула за вероятност за взаимно зависими събития:

Ако събития Ии ATса непоследователни, тогава съвпадението им е невъзможен случай и следователно, П(AB) = 0. Четвъртата вероятностна формула за несъвместими събития е както следва:

Пример 3В автомобилните състезания, когато шофирате в първата кола, вероятността за победа, когато шофирате във втората кола. Намирам:

вероятността и двете коли да спечелят;
вероятността поне една кола да спечели;

1) Вероятността първата кола да спечели не зависи от резултата на втората кола, така че събитията И(първата кола печели) и AT(втора кола печели) - независими събития. Намерете вероятността и двете коли да спечелят:

2) Намерете вероятността една от двете коли да спечели:

Решете сами задачата за събиране на вероятности и след това вижте решението

Пример 4Хвърлят се две монети. Събитие А- загуба на герб на първата монета. Събитие б- загуба на герб на втората монета. Намерете вероятността за събитие ° С = А + б .

Умножение на вероятностите

Умножението на вероятностите се използва, когато трябва да се изчисли вероятността за логически продукт от събития.

В този случай случайните събития трябва да са независими. Две събития се наричат взаимно независими, ако настъпването на едно събитие не влияе върху вероятността за настъпване на второто събитие.

Теорема за умножение на вероятностите за независими събития.Вероятността за едновременно възникване на две независими събития Ии ATе равна на произведението на вероятностите за тези събития и се изчислява по формулата:

Пример 5Монетата се хвърля три пъти подред. Намерете вероятността гербът да изпадне и трите пъти.

Решение. Вероятността гербът да падне при първото хвърляне на монета, втория път и третия път. Намерете вероятността гербът да изпадне и трите пъти:

Решете сами задачи за умножаване на вероятности и след това вижте решението

Пример 6Има кутия с девет нови тенис топки. За играта се вземат три топки, след играта се връщат обратно. При избора на топки не правят разлика между играни и неиграни топки. Каква е вероятността след три игриняма ли да има неотиграни топки в полето?

Пример 7 32 букви от руската азбука са написани на изрязани азбучни карти. Пет карти се теглят на случаен принцип една след друга и се поставят на масата в реда, в който се появяват. Намерете вероятността буквите да образуват думата "край".

Пример 8От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите карти да са от една боя.

Пример 9Същият проблем като в пример 8, но всяка карта се връща в тестето, след като бъде изтеглена.

По-сложни задачи, в които трябва да приложите както събиране и умножение на вероятности, така и да пресмятате произведението на няколко събития – на страницата „Различни задачи за събиране и умножение на вероятности“ .

Вероятността поне едно от взаимно независимите събития да се случи може да се изчисли чрез изваждане на произведението на вероятностите на противоположни събития от 1, тоест по формулата.