Събитията се наричат независими ако. Зависими и независими случайни събития. Формула за пълна вероятност

Зависимостта на събитията се разбира в вероятностенсмисъл, а не функционално. Това означава, че при появата на един от зависими събитияневъзможно е недвусмислено да се прецени външният вид на друг. Вероятностната зависимост означава, че настъпването на едно от зависимите събития променя само вероятността за настъпване на другото. Ако вероятността не се промени, тогава събитията се считат за независими.

Определение: Нека - произволно вероятностно пространство, - някои случайни събития. Казват, че събитие НОне зависи от събитието AT , ако то условна вероятностсъвпада с безусловната вероятност:

Ако , тогава казваме, че събитието НОзависим от събитието AT.

Концепцията за независимост е симетрична, т.е. ако е събитие НОне зависи от събитието AT, след това събитието ATне зависи от събитието НО. Наистина, нека . Тогава . Следователно те просто казват, че събитията НОи ATнезависима.

Следното симетрично определение за независимостта на събитията следва от правилото за умножение на вероятностите.

Определение: Разработки НОи AT,дефинирани в същото вероятностно пространство се наричат независима, ако

Ако , след това събитията НОи ATНаречен зависим.

Имайте предвид, че това определение е валидно и когато или .

Свойства на независими събития.

1. Ако събития НОи ATса независими, тогава следните двойки събития също са независими: .

▲ Нека докажем, например, независимостта на събитията. Представете си събитие НОкато: . Тъй като събитията са несъвместими, тогава , и поради независимостта на събитията НОи ATразбираме това. Следователно, което означава независимост. ■

2. Ако събитието НОне зависи от събитията В 1и В 2, които са несъвместими () , това събитие НОне зависи от сумата.

▲ Наистина, използвайки аксиомата за адитивност на вероятността и независимост на събитието НОот събития В 1и В 2, ние имаме:

Съотношение между понятията независимост и несъвместимост.

Позволявам НОи AT- всякакви събития, които имат различна от нула вероятност: , така . Ако събитията НОи ATса непоследователни () и следователно равенство никога не може да се осъществи. По този начин, несъвместимите събития са зависими.

Когато се разглеждат повече от две събития едновременно, тяхната двойна независимост не характеризира в достатъчна степен връзката между събитията на цялата група. В този случай се въвежда концепцията за независимост в съвкупността.

Определение: Извикват се събития, дефинирани в същото вероятностно пространство колективно независими, ако има такива 2 £m £nи всяка комбинация от индекси поддържа равенството:

При m = 2независимостта в съвкупността предполага двойна независимост на събитията. Обратното не е вярно.

Пример. (Bernstein S.N.)

Произволен експеримент се състои в хвърляне на правилен тетраедър (тетраедър). Има изпаднало лице отгоре надолу. Лицата на тетраедъра са оцветени както следва: 1-во лице - бяло, 2-ро лице - черно,
3 лице - червено, 4 лице - съдържа всички цветове.

Помислете за събитията:

НО= (Отпадане бял цвят}; б= (Черно отпадане);

° С= (Червено отпадане).

Тогава ;

Следователно събитията НО, ATи ОТса независими по двойки.

Въпреки това, .

Следователно, събития НО, ATи ОТколективно те не са независими.

На практика, като правило, независимостта на събитията не се установява чрез проверка по дефиниция, а обратното: събитията се считат за независими от всякакви външни съображения или като се вземат предвид обстоятелствата случаен експерименти използвайте независимостта, за да намерите вероятностите за генериране на събития.

Теорема (умножения на вероятности за независими събития).

Ако събитията, дефинирани в едно и също вероятностно пространство, са независими в съвкупността, тогава вероятността за техния продукт е равна на произведението на вероятностите:

▲ Доказателството на теоремата следва от определението за независимост на събитията в съвкупността или от общата теорема за умножение на вероятностите, като се вземе предвид фактът, че в този случай

Пример 1 (типичен пример за намиране на условни вероятности, концепция за независимост, теорема за добавяне на вероятности).

Електрическата верига се състои от три независимо работещи елемента. Вероятностите за отказ на всеки от елементите са съответно равни на .

1) Намерете вероятността от повреда на веригата.

2) Известно е, че веригата е повредена.

Каква е вероятността да се провали:

а) 1-ви елемент; б) 3-ти елемент?

Решение.Обмислете събития = (Неуспешно келемент) и събитието НО= (Схемата е неуспешна). Тогава събитието НОсе представя във формата:

1) Тъй като събитията и не са несъвместими, тогава аксиомата за адитивност на вероятността Р3) не е приложима и за намиране на вероятността трябва да се използва общата теорема за добавяне на вероятности, според която

Нека вероятността от събитие ATне зависи от настъпването на събитието НО.

Определение.Събитие ATНаречен независимо от събитието Аако настъпването на събитието НОне променя вероятността от събитие AT, т.е. ако условната вероятност на събитието ATе равна на неговата безусловна вероятност:

Р А(AT) = Р(AT). (2.12)

Замествайки (2.12) във връзка (2.11), получаваме

Р(НО)Р(AT) = Р(AT)Р Б(НО).

Р Б(НО) = Р(НО),

тези. условна вероятност за събитие НОприемайки, че е настъпило събитие AT, е равно на неговата безусловна вероятност. С други думи, събитието НОне зависи от събитието б.

Лема (за взаимната независимост на събитията): ако събитие ATне зависи от събитието НО, след това събитието НОне зависи от събитието AT; означава, че свойство на независимост на събитията взаимно.

За независими събития, теоремата за умножение Р(AB) = Р(НО) Р А(AT) има формата

Р(AB) = Р(НО) Р(AT), (2.13)

тези. вероятността за съвместна поява на две независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития.

Равенството (2.13) се приема като дефиниция на независими събития. Две събития се наричат независими, ако настъпването на едно от тях не променя вероятността за настъпване на другото.

Определение.Извикват се две събития независима, ако вероятността от тяхната комбинация е равна на произведението от вероятностите на тези събития; иначе събитията се наричат зависим.

На практика независимостта на събитията се заключава според смисъла на проблема. Например, вероятностите за поразяване на цел с всеки от двата пистолета не зависят от това дали другият пистолет е уцелил целта, така че събитията „първият пистолет е уцелил целта“ и „вторият пистолет е уцелил целта“ са независими.

Пример. Намерете вероятността за поразяване на целта съвместно от две оръдия, ако вероятността за поразяване на целта от първия пистолет (събитие НО) е равно на 0,8, а второто (събитието AT) – 0,7.

Решение.Разработки НОи ATнезависимо, следователно, според теоремата за умножение, желаната вероятност

Р(AB) = Р(НО)Р(AT) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Коментирайте 1. Ако събития НОи ATса независими, тогава събитията също са независими. НОи , и AT, и . Наистина ли,

Следователно,

, или .

тези. разработки НОи ATнезависима.

Независимост от събития и AT, и е следствие от доказаното твърдение.

Концепцията за независимост може да се разшири до случая нсъбития.

Определение.Извикват се няколко събития независими по двойкиако всеки две от тях са независими. Например събития НО, AT, ОТнезависими по двойки, ако събитията са независими НОи AT, НОи ОТ, ATи ОТ.

За да обобщим теоремата за умножение към няколко събития, въвеждаме концепцията за независимост на събитията в съвкупността.

Определение.Извикват се няколко събития колективно независими(или просто независими), ако всеки две от тях са независими и всяко събитие и всички възможни продукти на останалите са независими. Например, ако събитията НО 1 , А 2 , НО 3 са независими в съвкупността, тогава събитията са независими НО 1 и А 2 , НО 1 и НО 3 , А 2 и НО 3 ; НО 1 и А 2 НО 3 , А 2 и НО 1 НО 3 , НО 3 и НО 1 А 2. От казаното следва, че ако събитията са независими в съвкупност, то условната вероятност за настъпване на някое събитие от тях, изчислена при предположението, че са се случили и други събития от останалите, е равна на неговата безусловна вероятност.

Подчертаваме, че ако няколко събития са независими по двойки, тогава тяхната независимост в съвкупността все още не следва от това. В този смисъл изискването за независимост на събитията в съвкупност е по-силно от изискването за тяхната двойна независимост.

Нека обясним казаното с пример. Да предположим, че в урната има 4 цветни топки: едната е червена ( НО), един - в синьо ( AT), един - черен ( ОТ) и един - и в тези три цвята ( ABC). Каква е вероятността топка, извадена от урната, да е червена?

Тъй като две от четирите топки са червени, тогава Р(НО) = 2/4 = 1/2. Като спорим по подобен начин, намираме Р(AT) = 1/2, Р(ОТ) = 1/2. Нека сега приемем, че взетата топка е синя, т.е. събитие ATвече се случи. Ще се промени ли вероятността изтеглената топка да е червена, т.е. Ще се промени ли вероятността от събитие? НО? От двете топки, които са сини, едната топка също е червена, така че вероятността за събитието е НОвсе още е 1/2. С други думи, условната вероятност за събитие НО, изчислено при предположението, че е настъпило събитие AT, е равно на неговата безусловна вероятност. Следователно събитията НОи ATнезависима. По същия начин заключаваме, че събитията НОи ОТ, ATи ОТнезависима. Така че събитията НО, ATи ОТса независими по двойки.

Независими ли са тези събития като съвкупност? Оказва се, че не. Наистина, нека извлечената топка има два цвята, например син и черен. Каква е вероятността тази топка също да е червена? Само една топка е оцветена и в трите цвята, така че уловената топка също е червена. По този начин, ако приемем, че събитията ATи ОТнастъпило, заключаваме, че събитието НОсъс сигурност ще дойде. Следователно това събитие е надеждно и неговата вероятност е равна на единица. С други думи, условната вероятност R пр.н.е(НО)= 1 събития НОне е равно на неговата безусловна вероятност Р(НО) = 1/2. И така, независими по двойки събития НО, AT, ОТне са колективно независими.

Сега представяме следствие от теоремата за умножение.

Последица.Вероятността за съвместно възникване на няколко събития, които са независими в съвкупността, е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

Доказателство.Помислете за три събития: НО, ATи ОТ. Комбинация от събития НО, ATи ОТе равносилно на комбинация от събития ABи ОТ, Ето защо

Р(ABC) = Р(AB×C).

От събитията НО, ATи ОТса независими в съвкупността, тогава независими, в частност, са събитията ABи ОТ, както и НОи AT. По теоремата за умножение за две независими събития имаме:

Р(AB×C) = Р(AB)Р(ОТ) и Р(AB) = Р(НО)Р(AT).

И така, най-накрая получаваме

Р(ABC) = Р(НО)Р(AT)Р(ОТ).

За произволен ндоказателството се извършва по метода на математическата индукция.

Коментирайте.Ако събития НО 1 , НО 2 , ...,A nса независими в съвкупността, тогава противоположните събития също са независими в съвкупността.

Пример.Намерете вероятността гербът да се появи заедно при едно хвърляне на две монети.

Решение.Вероятността за появата на герба на първата монета (събитие НО)

Р(НО) = 1/2.

Вероятността за появата на герба на втората монета (събитие AT)

Р(AT) = 1/2.

Разработки НОи ATнезависима, така че желаната вероятност от теоремата за умножение е равна на

Р(AB) = Р(НО)Р(AT) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Пример.Има 3 кутии, съдържащи 10 части. Първото чекмедже съдържа 8, второто чекмедже 7 и третото чекмедже 9 стандартни части. От всяка кутия се изтегля произволен предмет. Намерете вероятността и трите извадени части да са стандартни.

Решение.Вероятността стандартна част да бъде взета от първата кутия (събитието НО),

Р(НО) = 8/10 = 0,8.

Вероятността стандартна част да бъде взета от втората кутия (събитието AT),

Р(AT) = 7/10 = 0,7.

Вероятността стандартна част да бъде взета от третата кутия (събитието ОТ),

Р(ОТ) = 9/10 = 0,9.

От събитията НО, ATи ОТнезависими в съвкупността, тогава желаната вероятност (по теоремата за умножение) е равна на

Р(ABC) = Р(НО)Р(AT)Р(ОТ) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Нека дадем пример за съвместно прилагане на теоремите за събиране и умножение.

Пример.Вероятности за настъпване на всяко от три независими събития НО 1 , НО 2 , НО 3 съответно равни Р 1 , Р 2 , Р 3 . Намерете вероятността за възникване само на едно от тези събития.

Решение. Обърнете внимание, че например външният вид самопърво събитие НО 1 е еквивалентно на появата на събитие (първото се появи, а второто и третото събитие не се появиха). Нека въведем обозначението:

б 1 - появи се само събитие НО 1 , т.е. ;

б 2 – появява се само събитие НО 2 , т.е. ;

б 3 – появява се само събитие НО 3 , т.е. .

По този начин да се намери вероятността за настъпване само на едно от събитията НО 1 , НО 2 , НО 3, ще търсим вероятността П(б 1 + б 2 + AT 3) появата на едно, без значение кое от събитията AT 1 , AT 2 , AT 3 .

От събитията AT 1 , AT 2 , AT 3 са непоследователни, тогава се прилага теоремата за събиране

П(б 1 + б 2 + AT 3) = Р(AT 1) + Р(AT 2) + Р(AT 3). (*)

Остава да се намерят вероятностите за всяко от събитията AT 1 , AT 2 , AT 3 . Разработки НО 1 , НО 2 , НО 3 са независими, следователно събитията са независими, така че теоремата за умножение се прилага за тях

по същия начин,

Замествайки тези вероятности в (*), намираме желаната вероятност за настъпване само на едно от събитията НО 1 , НО 2 , НО 3.

Дефиниции на вероятностите

Класическо определение

Класическата "дефиниция" на вероятността идва от понятието равни възможностикато обективно свойство на изучаваните явления. Еквивалентността е неопределимо понятие и се установява от общи съображения за симетрията на изследваните явления. Например, когато се хвърля монета, се приема, че поради предполагаемата симетрия на монетата, хомогенността на материала и произволността (непредубедеността) на хвърлянето, няма причина да се предпочитат „опашките“ пред „орли“ или обратното, тоест загубата на тези страни може да се счита за еднакво вероятна (equiprobable).

Наред с концепцията за равновероятност в общия случай, класическата дефиниция изисква и концепцията за елементарно събитие (резултат), което благоприятства или не благоприятства изследваното събитие А. Говорим за резултати, настъпването на които изключва възможността настъпването на други резултати. Това са несъвместими елементарни събития. Например при хвърляне заровеОтпадането на определено число изключва отпадането на други числа.

Класическата дефиниция на вероятността може да се формулира по следния начин:

Вероятността за случайно събитиеА наречено отношение на числотон несъвместими еднакво вероятни елементарни събития, които съставят събитиетоА , до броя на всички възможни елементарни събитиян :

Да предположим например, че са хвърлени два зара. Общият брой на еднакво възможните резултати (елементарни събития) очевидно е 36 (6 възможности за всеки зар). Оценете вероятността да получите 7 точки. Получаването на 7 точки е възможно по следните начини: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Тоест има само 6 еднакво вероятни резултата, които благоприятстват събитие А - получаване на 7 точки. Следователно вероятността ще бъде равна на 6/36=1/6. За сравнение, вероятността да получите 12 точки или 2 точки е само 1/36 - 6 пъти по-малко.

Геометрична дефиниция

Въпреки факта, че класическата дефиниция е интуитивна и извлечена от практиката, тя поне не може да бъде директно приложена, ако броят на еднакво възможните резултати е безкраен. Ярък пример за безкраен брой възможни резултати е ограничена геометрична област G, например в равнина, с площ S. Произволно "хвърлена" "точка" с еднаква вероятност може да бъде във всяка точка от тази област. Проблемът е да се определи вероятността точка да попадне в някаква подобласт g с площ s. В този случай, обобщавайки класическата дефиниция, можем да стигнем до геометрична дефиниция на вероятността за попадане в поддомейна:

С оглед на равната възможност тази вероятност не зависи от формата на областта g, а само от нейната площ. Тази дефиниция може естествено да се обобщи за пространство от всякакво измерение, където понятието "обем" се използва вместо площ. Освен това именно тази дефиниция води до съвременната аксиоматична дефиниция на вероятността. Понятието обем се обобщава до понятието "мярка" на някакво абстрактно множество, към което се налагат изискванията, които "обемът" има и в геометричната интерпретация - на първо място това са неотрицателност и адитивност.

Честотно (статистическо) определяне

Класическата дефиниция при разглеждане на сложни проблеми среща трудности от непреодолим характер. По-специално, в някои случаи може да не е възможно да се идентифицират еднакво вероятни случаи. Дори в случай на монета, както е известно, има очевидно не еднакво вероятна възможност за изпадане на "ръб", която не може да бъде оценена от теоретични съображения (може само да се каже, че е малко вероятно и това съображение е по-скоро практическо ). Следователно, в зората на формирането на теорията на вероятността, беше предложено алтернативно "честотно" определение на вероятността. А именно, формално вероятността може да се дефинира като границата на честотата на наблюденията на събитието А, като се приеме хомогенността на наблюденията (т.е. еднаквостта на всички условия на наблюдение) и тяхната независимост едно от друго:

където е броят на наблюденията и е броят на събитията на събитието.

Въпреки факта, че това определение по-скоро показва начин за оценка на неизвестна вероятност - чрез голям брой хомогенни и независими наблюдения - все пак това определение отразява съдържанието на понятието вероятност. А именно, ако на дадено събитие се приписва определена вероятност, като обективна мярка за неговата възможност, то това означава, че при фиксирани условия и многократни повторения трябва да получим честота на случването му, близка до (колкото по-близо, толкова повече наблюдения). Всъщност това е първоначалното значение на понятието вероятност. Основава се на обективистичен възглед за природните явления. По-долу са законите на т.нар големи числа, които предоставят теоретична основа (в рамките на съвременния аксиоматичен подход, представен по-долу), включително за честотната оценка на вероятността.

Аксиоматично определение

В съвременния математически подход вероятността се дава от Аксиоматика на Колмогоров. Предполага се, че някои пространство на елементарни събития. Подмножествата на това пространство се интерпретират като случайни събития. Обединението (сумата) на някои подмножества (събития) се интерпретира като събитие, състоящо се в настъпването поне единот тези събития. Пресечната точка (продукт) на подмножества (събития) се интерпретира като събитие, състоящо се в настъпването всичкотези събития. Несъответстващите множества се интерпретират като несъвместимисъбития (съвместното им настъпление е невъзможно). Съответно празното множество означава невъзможенсъбитие.

Вероятност ( вероятностна мярка) е наречен мярка(числова функция), дефинирана в набор от събития, имаща следните свойства:

Ако пространството на елементарните събития X със сигурност, тогава определеното условие за адитивност за произволни две несъвместими събития е достатъчно, от което ще последва адитивност за всяко финалброя на несъвместимите събития. Но в случай на безкрайно (изброимо или неизброимо) пространство от елементарни събития това условие не е достатъчно. Така нареченият изброима или сигма адитивност, тоест изпълнението на свойството на адитивност за всяко не повече от изброимосемейства от несъвместими по двойки събития. Това е необходимо, за да се гарантира "непрекъснатостта" на вероятностната мярка.

Вероятностната мярка може да не е дефинирана за всички подмножества на множеството. Предполага се, че е определена на някои сигма алгебраподмножества . Тези подмножества се наричат измеримиспоред дадена вероятностна мярка и те са случайни събития. Наборът - т.е. наборът от елементарни събития, сигма-алгебрата на неговите подмножества и вероятностната мярка - се нарича вероятностно пространство.

Непрекъснати случайни променливи.В допълнение към дискретните случайни променливи, чиито възможни стойности образуват крайна или безкрайна последователност от числа, които не запълват напълно нито един интервал, често има случайни променливи, чиито възможни стойности образуват определен интервал. Пример за такава случайна величина е отклонението от номиналната стойност на определен размер на детайл с правилно установен технологичен процес. Този вид случайни променливи не могат да бъдат определени с помощта на закона за разпределение на вероятностите p(x). Те обаче могат да бъдат определени с помощта на функцията за разпределение на вероятностите F(x). Тази функция се дефинира точно по същия начин, както в случай на дискретна случайна променлива:

Така и тук функцията F(x)дефинирана на цялата числова ос, и нейната стойност в точката хе равна на вероятността случайната променлива да приеме стойност, по-малка от х. Формула (19) и свойства 1° и 2° са валидни за функцията на разпределение на всяка случайна променлива. Доказателството се извършва подобно на случая на дискретно количество. Случайната променлива се извиква непрекъснато, ако за него съществува неотрицателна частично-непрекъсната функция*, която удовлетворява за всякакви стойности хравенство

Въз основа на геометричния смисъл на интеграла като площ, можем да кажем, че вероятността за изпълнение на неравенствата е равна на площта на криволинейния трапец с основа ограничена отгоре с крива (фиг. 6).

Тъй като и въз основа на формула (22)

Имайте предвид, че за непрекъсната случайна променлива функцията на разпределение F(x)непрекъснато във всяка точка х, където функцията е непрекъсната. Това следва от факта, че F(x)е диференцируем в тези точки. Въз основа на формула (23), приемайки х 1 =x, , ние имаме

Поради непрекъснатостта на функцията F(x)разбираме това

Следователно

По този начин, вероятността една непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност на x е нула. От това следва, че събитията, състоящи се в изпълнението на всяко от неравенствата

Те имат еднаква вероятност, т.е.

Наистина, напр.

защото Коментирайте.Както знаем, ако дадено събитие е невъзможно, тогава вероятността то да се случи е нула. В класическата дефиниция на вероятността, когато броят на резултатите от теста е краен, има и обратното твърдение: ако вероятността за събитие е нула, тогава събитието е невъзможно, тъй като в този случай нито един от резултатите от теста не го благоприятства. В случай на непрекъсната случайна променлива, броят на възможните й стойности е безкраен. Вероятността тази стойност да приеме някаква конкретна стойност х 1 както видяхме, е равно на нула. От това обаче не следва, че това събитие е невъзможно, тъй като в резултат на теста случайната променлива може по-специално да приеме стойността х 1 . Следователно, в случай на непрекъсната случайна променлива, има смисъл да се говори за вероятността случайната променлива да попадне в интервала, а не за вероятността тя да приеме определена стойност. Така например при производството на ролка не се интересуваме от вероятността нейният диаметър да бъде равен на номиналната стойност. За нас е важна вероятността диаметърът на ролката да не излезе извън допустимите граници. Пример.Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива се дава, както следва:

Графиката на функцията е показана на фиг. 7. Определете вероятността случайна променлива да приеме стойност, която удовлетворява неравенствата Намерете функцията на разпределение на дадена случайна променлива. ( Решение)

Следващите два параграфа са посветени на често срещаните в практиката разпределения на непрекъснати случайни величини – равномерно и нормално разпределение.

* Една функция се нарича частично непрекъсната по цялата числена ос, ако е непрекъсната на който и да е сегмент или има краен брой точки на прекъсване от първи вид. ** Правилото за диференциране на интеграл с променлива горна граница, получено в случай на крайна долна граница, остава валидно за интеграли с безкрайна долна граница. Наистина,

Тъй като интегралът

е постоянна стойност.

Зависими и независими събития. Условна вероятност

Правете разлика между зависимите и независимите събития. Две събития се наричат независими, ако настъпването на едно от тях не променя вероятността за настъпване на другото. Например, ако в един цех работят две автоматични линии, които не са свързани помежду си според производствените условия, тогава спиранията на тези линии са независими събития.

Пример 3Монетата се хвърля два пъти. Вероятността за поява на "герба" в първия тест (събитие) не зависи от появата или непоявата на "герба" във втория тест (събитие). От своя страна вероятността за появата на "герба" във втория тест не зависи от резултата от първия тест. По този начин, събития и независими.

Извикват се няколко събития колективно независими , ако някое от тях не зависи от друго събитие и от комбинация от останалите.

Събитията се наричат зависим , ако едното от тях влияе върху вероятността за поява на другото. Например две производствени предприятия са свързани с един технологичен цикъл. Тогава вероятността от повреда на един от тях зависи от състоянието на другия. Вероятността за едно събитие, изчислена при допускане на настъпването на друго събитие, се нарича условна вероятност събития и се означава с .

Условието за независимост на събитие от събитие се записва във формата , а условието за неговата зависимост - във формата . Помислете за пример за изчисляване на условната вероятност за събитие.

Пример 4В кутията има 5 резци: два носени и три нови. Правят се две последователни екстракции на резци. Определете условната вероятност за появата на износен нож по време на второто извличане, при условие че отстраненият за първи път нож не се връща в кутията.

Решение. Нека обозначим изваждането на износен фрез в първия случай и - изваждането на нов. Тогава . Тъй като отстраненият нож не се връща в кутията, съотношението между броя на износените и новите ножове се променя. Следователно вероятността за отстраняване на износен нож във втория случай зависи от това какво събитие се е случило преди това.

Нека обозначим събитието, което означава изваждането на износения нож във втория случай. Вероятностите за това събитие са:

Следователно вероятността от събитие зависи от това дали събитието се е случило или не.

Плътност на вероятността- един от начините за задаване на вероятностна мярка на евклидовото пространство. В случай, че вероятностната мярка е разпределението на случайна променлива, се говори за плътностслучайна величина.

Плътност на вероятността Нека е вероятностна мярка на, т.е. дефинирано е вероятностно пространство, където означава Борелова σ-алгебра на. Нека обозначаваме мярката на Лебег на.

Определение 1.Вероятността се нарича абсолютно непрекъсната (по отношение на мярката на Лебег) (), ако всяко Борелово множество от нулева мярка на Лебег също има вероятност нула:

Ако вероятността е абсолютно непрекъсната, тогава според теоремата на Радон-Никодим съществува неотрицателна Борелова функция, така че

където се използва общоприетото съкращение , а интегралът се разбира в смисъла на Лебег.

Определение 2.По-общо, нека е произволно измеримо пространство и нека и са две мерки в това пространство. Ако има неотрицателно , което позволява изразяване на мярката по отношение на мярката във формата

тогава тази функция се извиква измерване на плътността като , или производно на Радон-Никодиммярка по отношение на мярка , и означават

Ако при настъпване на събитие, вероятността от събитие не се променя, тогава събитията и Наречен независима.

Теорема:Вероятност за съвместна поява на две независими събития и (върши работа и ) е равно на произведението на вероятностите за тези събития.

Наистина, тъй като разработки и независим, тогава
. В този случай формулата за вероятността за продукт от събития и приема формата.

Разработки
Наречен независими по двойкиако две от тях са независими.

Разработки
Наречен колективно независими (или просто независими), ако всеки две от тях са независими и всяко събитие и всички възможни продукти на останалите са независими.

Теорема:Вероятност за произведение на краен брой независими събития в съвкупността
е равно на произведението на вероятностите за тези събития.

Нека илюстрираме разликата в приложението на формулите за вероятност на събитието за зависими и независими събития, използвайки примери

Пример 1. Вероятността за попадение в целта от първия стрелец е 0,85, вторият е 0,8. Оръжията стреляха по един изстрел. Каква е вероятността поне един снаряд да удари целта?

Решение: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Тъй като ударите са независими, тогава

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Пример 2. Една урна съдържа 2 червени и 4 черни топки. От него се изваждат последователно 2 топки. Каква е вероятността и двете топки да са червени.

Решение: 1 случай. Събитие А - появата на червена топка при първото изваждане, събитие Б - при второто. Събитие C е появата на две червени топки.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2-ри случай. Първата изтеглена топка се връща в коша.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Формула за пълна вероятност.

Нека събитието може да се случи само на едно от несъвместимите събития
, образувайки пълна група. Например магазинът получава едни и същи продукти от три предприятия и в различни количества. Вероятността за производство на продукти с ниско качество в тези предприятия е различна. Един от продуктите е избран на случаен принцип. Необходимо е да се определи вероятността този продукт да е с лошо качество (събитие ). Събития тук
- това е изборът на продукт от продуктите на съответното предприятие.

В този случай вероятността от събитието може да се разглежда като сбор от продуктите на събитията
.

Чрез теоремата за добавяне за вероятностите от несъвместими събития получаваме
. Използвайки теоремата за умножение на вероятностите, намираме

Получената формула се нарича формула за обща вероятност.

Формула на Бейс

Нека събитието се случва едновременно с един от несъвместими събития
, чиито вероятности
(
) са известни преди опит ( априорни вероятности). Провежда се експеримент, в резултат на който се регистрира настъпването на събитие и е известно, че това събитие има определени условни вероятности
(
). Необходимо е да се намерят вероятностите за събития
ако събитието е известно се случи ( апостериорни вероятности).

Проблемът е, че имайки нова информация(събитие А се е случило), трябва да преоцените вероятностите на събитията
.

Въз основа на теоремата за вероятността от произведението на две събития

Получената формула се нарича Формули на Бейс.

Основни понятия на комбинаториката.

При решаването на редица теоретични и практически задачи се изисква да се съставят различни комбинации от краен набор от елементи по зададени правила и да се преброи броят на всички възможни такива комбинации. Такива задачи се наричат комбинативен.

При решаване на задачи комбинаториката използва правилата за сбор и произведение.

Обща формулировка на проблема: вероятностите за някои събития са известни, но вероятностите за други събития, които са свързани с тези събития, трябва да бъдат изчислени. В тези задачи има нужда от такива операции върху вероятностите като събиране и умножение на вероятности.

Например два изстрела са произведени по време на лов. Събитие А- уцелване на патица от първия изстрел, събитие б- попадение от втория удар. След това сумата от събития Аи б- попадение от първи или втори изстрел или от два изстрела.

Задачи от различен тип. Дават се няколко събития, например монета се хвърля три пъти. Изисква се да се намери вероятността или трите пъти да изпаднат гербовете, или гербът да изпадне поне веднъж. Това е задача за умножение.

Добавяне на вероятности за несъвместими събития

Вероятностното добавяне се използва, когато е необходимо да се изчисли вероятността от комбинация или логическа сума от случайни събития.

Сума от събития Аи бобозначавам А + били А ∪ б. Сумата от две събития е събитие, което се случва тогава и само ако се случи поне едно от събитията. Означава, че А + б- събитие, което настъпва тогава и само ако настъпи събитие по време на наблюдението Аили събитие б, или по едно и също време Аи б.

Ако събития Аи бса взаимно несъвместими и техните вероятности са дадени, тогава вероятността едно от тези събития да се случи в резултат на един опит се изчислява чрез добавяне на вероятности.

Теорема за събиране на вероятности.Вероятността да се случи едно от две взаимно несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Например два изстрела са произведени по време на лов. Събитие НО– уцелване на патица от първия изстрел, събитие AT– попадение от втори удар, събитие ( НО+ AT) - попадение от първия или втория изстрел или от два изстрела. Така че, ако две събития НОи ATтогава са несъвместими събития НО+ AT- настъпването на поне едно от тези събития или две събития.

Пример 1Една кутия съдържа 30 топки с еднакъв размер: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Изчислете вероятността цветна (не бяла) топка да бъде взета, без да се гледа.

Решение. Да приемем, че събитието НО– „червената топка е взета“ и събитието AT- "Синята топка е взета." Тогава събитието е „взета е цветна (не бяла) топка“. Намерете вероятността за събитие НО:

и събития AT:

Разработки НОи AT- взаимно несъвместими, тъй като ако се вземе една топка, тогава не могат да се вземат топки с различни цветове. Затова използваме добавянето на вероятности:

Теорема за събиране на вероятности за няколко несъвместими събития.Ако събитията съставят пълния набор от събития, тогава сумата от техните вероятности е равна на 1:

Сумата от вероятностите за противоположни събития също е равна на 1:

Противоположните събития образуват пълен набор от събития, а вероятността за пълен набор от събития е 1.

Вероятностите за противоположни събития обикновено се обозначават с малки букви. стри р. По-специално,

от което следват следните формули за вероятността от противоположни събития:

Пример 2Мишената в тирето е разделена на 3 зони. Вероятността даден стрелец да стреля по мишена в първата зона е 0,15, във втората зона - 0,23, в третата зона - 0,17. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта и вероятността стрелецът да пропусне целта.

Решение: Намерете вероятността стрелецът да уцели целта:

Намерете вероятността стрелецът да пропусне целта:

По-трудни задачи, в които трябва да приложите едновременно събиране и умножение на вероятности - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности" .

Събиране на вероятности за взаимно съвместни събития

Две случайни събития се наричат съвместни, ако появата на едно събитие не изключва появата на второ събитие в същото наблюдение. Например при хвърляне на зарове събитието НОсе счита за появата на числото 4, а събитието AT- отпадане на четно число. Тъй като числото 4 е четно число, двете събития са съвместими. В практиката се срещат задачи за изчисляване на вероятностите за настъпване на едно от взаимно съвместните събития.

Теорема за събиране на вероятности за съвместни събития.Вероятността едно от съвместните събития да се случи е равна на сумата от вероятностите за тези събития, от която се изважда вероятността за общото случване на двете събития, т.е. произведението на вероятностите. Формулата за вероятностите за съвместни събития е следната:

Тъй като събитията НОи ATсъвместим, събитие НО+ ATвъзниква, ако настъпи едно от три възможни събития: или AB. Съгласно теоремата за събиране на несъвместими събития, изчисляваме, както следва:

Събитие НОвъзниква, ако се случи едно от две несъвместими събития: или AB. Въпреки това, вероятността за възникване на едно събитие от няколко несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на всички тези събития:

По същия начин:

Замествайки изрази (6) и (7) в израз (5), получаваме формулата на вероятността за съвместни събития:

При използване на формула (8) трябва да се има предвид, че събитията НОи ATможе да бъде:

взаимно независими;
взаимно зависими.

Формула за вероятност за взаимно независими събития:

Формула за вероятност за взаимно зависими събития:

Ако събития НОи ATса непоследователни, тогава съвпадението им е невъзможен случай и следователно, П(AB) = 0. Четвъртата вероятностна формула за несъвместими събития е както следва:

Пример 3В автомобилните състезания, когато шофирате в първата кола, вероятността за победа, когато шофирате във втората кола. Намирам:

вероятността и двете коли да спечелят;
вероятността поне една кола да спечели;

1) Вероятността първата кола да спечели не зависи от резултата на втората кола, така че събитията НО(първата кола печели) и AT(втора кола печели) - независими събития. Намерете вероятността и двете коли да спечелят:

2) Намерете вероятността една от двете коли да спечели:

Решете сами задачата за събиране на вероятности и след това вижте решението

Пример 4Хвърлят се две монети. Събитие А- загуба на герб на първата монета. Събитие б- загуба на герб на втората монета. Намерете вероятността за събитие ° С = А + б .

Умножение на вероятностите

Умножението на вероятностите се използва, когато трябва да се изчисли вероятността за логически продукт от събития.

В този случай случайните събития трябва да са независими. Две събития се наричат взаимно независими, ако настъпването на едно събитие не влияе върху вероятността за настъпване на второто събитие.

Теорема за умножение на вероятностите за независими събития.Вероятността за едновременно възникване на две независими събития НОи ATе равна на произведението на вероятностите за тези събития и се изчислява по формулата:

Пример 5Монетата се хвърля три пъти подред. Намерете вероятността гербът да изпадне и трите пъти.

Решение. Вероятността гербът да падне при първото хвърляне на монета, втория път и третия път. Намерете вероятността гербът да изпадне и трите пъти:

Решете сами задачи за умножаване на вероятности и след това вижте решението

Пример 6Има кутия с девет нови тенис топки. За играта се вземат три топки, след играта се връщат обратно. При избора на топки не правят разлика между играни и неиграни топки. Каква е вероятността след три игриняма ли да има неотиграни топки в полето?

Пример 7 32 букви от руската азбука са написани на изрязани азбучни карти. Пет карти се теглят на случаен принцип една след друга и се поставят на масата в реда, в който се появяват. Намерете вероятността буквите да образуват думата "край".

Пример 8От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите карти да са от една боя.

Пример 9Същият проблем като в пример 8, но всяка карта се връща в тестето, след като бъде изтеглена.

По-сложни задачи, в които трябва да приложите както събиране и умножение на вероятности, така и да пресмятате произведението на няколко събития – на страницата „Различни задачи за събиране и умножение на вероятности“ .

Вероятността поне едно от взаимно независимите събития да се случи може да се изчисли чрез изваждане на произведението на вероятностите на противоположни събития от 1, тоест по формулата.

Събитията се наричат ​​независими ако. Зависими и независими случайни събития. Формула за пълна вероятност