Несъвместими и независими събития. Теорема за умножение на вероятностите. Обща вероятност за събитие

Научихме се и как да решаваме стандартни задачи с независими събития и сега ще последва много по-интересно продължение, което не само ще ни позволи да овладеем нов материал, но и, може би, ще ни осигури практическа ежедневна помощ.

Нека повторим накратко какво е независимост на събитията: събитията са НЕЗАВИСИМИ, ако вероятността за някое от тях не зависиот настъпването или ненастъпването на друго събитие. Най-простият пример е хвърлянето на две монети. Вероятността за глави или опашки на една монета не зависи по никакъв начин от резултата от хвърлянето на друга монета.

Концепцията за зависимост на събитията също ви е позната и е време да ги разгледаме по-отблизо.

Първо разгледайте традиционния набор, състоящ се от две събития: събитието е зависим , ако освен от случайни фактори неговата вероятност зависи от настъпването или ненастъпването на събитието. Вероятност за събитие, изчислена при предположението, че събитието вече се е случило, Наречен условна вероятност настъпването на събитието и се означава с . В този случай събитията се извикват зависими събития (въпреки че, строго погледнато, само един от тях е зависим).

Карти в ръка:

Проблем 1

От тесте от 36 карти се теглят последователно 2 карти. Намерете вероятността втората карта да бъде сърце, ако преди:

а) изваден е червей;
б) изтеглена е карта от различна боя.

Решение: разгледайте събитието: – втората карта ще бъде сърце. Абсолютно ясно е, че вероятността от това събитие зависи от това дали червей е бил изтеглен по-рано или не.

a) Ако първо е изтеглено сърце (събитие), тогава в тестето остават 35 карти, сред които вече има 8 карти от цвета на сърцето. от класическа дефиниция:
предвид това, че преди това е ваден и червей.

b) Ако първо е изтеглена карта от различен цвят (събитие), тогава всичките 9 сърца остават в тестето. от класическа дефиниция:
– вероятността втората карта да бъде сърце предвид товаче преди е била изтеглена карта от различна боя.

Всичко е логично - ако вероятността да изтеглите сърца от пълна колода е такава , тогава когато бъде изтеглена следващата карта, подобна вероятност ще се промени: в първия случай тя ще намалее (защото има по-малко сърца), а във второто ще се увеличи: (тъй като всички сърца останаха в тестето).

Отговор:

Разбира се, може да има повече зависими събития. Докато проблемът е още горещ, нека добавим още нещо: – с третата карта ще бъде изтеглено сърце. Да предположим, че събитието се е случило и след това събитието; след това в тестето остават 34 карти, включително 7 сърца. от класическа дефиниция:
– вероятност за настъпване на събитие предвид товаче преди са били нарисувани две сърца.

За самостоятелно обучение:

Проблем 2

Пликът съдържа 10 лотарийни билета, включително 3 печеливши. Билетите се изваждат последователно от плика. Намерете вероятностите, че:

а) вторият изтеглен билет ще бъде печеливш, ако първият е печеливш;
б) 3-тият ще бъде печеливш, ако предишните два билета са печеливши;
в) Четвъртият ще бъде печеливш, ако предишните билети са били печеливши.

Кратко решение с коментари в края на урока.

Сега нека обърнем внимание на един фундаментално важен момент: в разгледаните примери беше необходимо да се намерят само условни вероятности, докато предишните събития се считат за надеждно случили се. Но в действителност те също са случайни! По този начин, в „загрята“ задача, тегленето на сърца от пълно тесте е случайно събитие, чиято вероятност е равна на .

На практика много по-често е необходимо да се намери вероятността съвместна появазависими събития. Как, например, да се намери вероятността за събитие, състоящо се от пълно тесте щеизваден червей Итогава друго сърце? Отговорът на този въпрос е даден от

теорема за умножаване на вероятности от зависими събития: вероятността за съвместна поява на две зависими събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях от условната вероятност за другото, изчислена при допускането, че първото събитие вече е настъпило:

В нашия случай:
– вероятността 2 сърца да бъдат изтеглени подред от пълно тесте.

По същия начин:
– вероятността първо да бъде изтеглена карта от различен цвят Ислед това сърце.

Вероятността на събитието се оказа значително по-голяма от вероятността на събитието, което като цяло беше очевидно без никакви изчисления.

И, разбира се, не е нужно да имате някакви специални надежди, че от плик с десет лотарийни билета (Задача 2)ще изтеглите 3 печеливши билета подред:
, но това все още е щедър шанс.

Да, това е абсолютно вярно - теоремата за умножаване на вероятностите от зависими събития естествено се разпростира върху по-голям брой от тях.

Нека консолидираме материала с няколко типични примера:

Проблем 3

В урната има 4 бели и 7 черни топки. От урната се изтеглят произволно две топки, една след друга, без да се подменят. Намерете вероятността, че:

а) и двете топки ще бъдат бели;
б) и двете топки ще бъдат черни;
в) първо ще бъде изтеглена бялата топка, а след това черната.

Обърнете внимание на квалификатора „без да ги връщате обратно“. Този коментар допълнително подчертава факта, че събитията са зависими. Наистина, какво ще стане, ако извадените топки се върнат обратно? В случай на обратна проба, вероятностите за изтегляне на черна и бяла топка няма да се променят и при такъв проблем човек вече трябва да се ръководи теорема за умножение на вероятностите за НЕЗАВИСИМИТЕ събития.

Решение: общо в урната: 4 + 7 = 11 топки. Отивам:

а) Разгледайте събитията - първата топка ще бъде бяла, - втората топка ще бъде бяла и намерете вероятността на събитието, че първата топка ще бъде бяла И 2-ро бяло.

Според класическата дефиниция на вероятността: . Да предположим, че бялата топка е премахната, тогава в урната ще останат 10 топки, включително 3 бели, следователно:
– вероятността да се изтегли бяла топка във втория опит, при условие че бяла топка е била изтеглена преди това.

– вероятността и двете топки да са бели.

b) Намерете вероятността на събитието, че първата топка ще бъде черна И 2-ро черно

Според класическата дефиниция: – вероятността черна топка да бъде изтеглена при първия опит. Нека бъде изтеглена черна топка, тогава в урната ще останат 10 топки, включително 6 черни, следователно: – вероятността при втория опит да бъде изтеглена черна топка, при условие че черна топка е била изтеглена преди това.

Според теоремата за умножение на вероятностите от зависими събития:
– вероятността и двете топки да са черни.

в) Намерете вероятността за събитието (бялата топка ще бъде изтеглена първа Ислед това черно)

След отстраняване на бялата топка (с вероятност ) ще останат 10 топки в урната, включително 3 бели и 7 черни, по този начин: – вероятността при 2-рото изпитание да бъде изтеглена черна топка, при условие че е изтеглена бяла топка преди.

Според теоремата за умножение на вероятностите от зависими събития:
– желаната вероятност.

Отговор:

Този проблем може лесно да се провери с помощта на теоремата за събиране на вероятностите за събития, образуващи пълна група. За да направим това, намираме вероятността за 4-то липсващо събитие: – че черната топка ще бъде изтеглена първа Ислед това бяло.

събития образуват пълна група, така че сумата от техните вероятности трябва да е равна на единица:
, което трябваше да се провери.

И веднага предлагам да проверите колко добре сте усвоили представения материал:

Проблем 4

Каква е вероятността две аса да бъдат изтеглени един след друг от тесте от 36 карти?

Проблем 5

В урната има 6 черни, 5 червени и 4 бели топки. Изтеглят се последователно три топки. Намерете вероятността, че

а) третата топка ще се окаже бяла, ако преди това са изтеглени черна и червена топка;
б) първата топка ще бъде черна, втората – червена, а третата – бяла.

Решения и отговори в края на урока.

Трябва да се каже, че много от разглежданите проблеми могат да бъдат решени по друг начин, но за да избегна объркване, вероятно ще премълча напълно за това.

Вероятно всеки е забелязал, че зависимите събития възникват в случаите, когато се извършва определена верига от действия. Но последователността от действия сама по себе си не гарантира зависимостта на събитията. Нека, например, студент отговори на въпросите на някакъв тест произволно - въпреки че тези събития се случват едно след друго, но незнанието на отговора на един въпрос не зависи по никакъв начин от незнанието на други отговори =) Въпреки че, разбира се, тук има модели =) Тогава напълно прост пример с многократно хвърляне на монета - този завладяващ процес дори се нарича така: повтарящи се независими тестове.

Опитах се, доколкото можах, да забавя този момент и да избера различни примери, но ако имам проблеми на теорема за умножение за независими събитиястрелците са начело, тогава тук има истинско нашествие на урни с топки =) Следователно няма спасение - отново урна:

Проблем 6

От урна, съдържаща 6 бели и 4 черни топки, се изтеглят три топки на случаен принцип една след друга. Намерете вероятността, че:

а) и трите топки ще бъдат черни;
б) ще има поне две черни топки.

Решение:общо: 6 + 4 = 10 топки в урната.

В тази задача ще има много събития и в тази връзка е по-препоръчително да използвате смесен стил на проектиране, обозначавайки само основните събития с главни букви. Надявам се, че вече разбирате принципа, по който се изчисляват условните вероятности.

а) Разгледайте събитието: – и трите топки ще бъдат черни.

Според теоремата за умножение на вероятностите от зависими събития:

б) Втората точка е по-интересна, разгледайте събитието: – ще има поне две черни топки. Това събитие се състои от 2 несъвместими резултата: или всички топки ще бъдат черни (събитие) или 2 топки ще бъдат черни и 1 бяла - нека означим последното събитие с буквата .

Събитието включва 3 несъвместими резултата:

при 1-ви тест беше извлечено бяло Ивъв 2-ра Ив 3-ти тестове - черни топки
или
Ивъв 2-ра – Б.С Ив 3-та – ЧС
или
при първия тест BS беше извлечен Ивъв 2-ра – ЧС Ив 3-та – б.с.

Желаещите могат да се запознаят с по-трудни примери от колекция от Чудесенко, в който се прехвърлят няколко топки. За специални фенове предлагам задачи с повишена комбинативна сложност - с две последователни движения на топки от 1-ва към 2-ра урна, от 2-ра към 3-та и окончателно изваждане на топката от последната урна - вижте най-новите проблеми в файл Допълнителни задачи върху теореми за събиране и умножение на вероятности. Между другото, там има много други интересни задачи.

И в края на тази статия ще анализираме най-интересния проблем, с който ви примамих в първия урок =) Дори няма да го анализираме, а ще проведем малко практическо изследване. Изчисленията като цяло ще бъдат твърде тромави, така че нека разгледаме конкретен пример:

Петя се явява на изпит по теория на вероятностите и знае 20 билета добре и 10 зле. Да предположим, че на първия ден част от групата, например, 16 души, включително нашия герой, се явяват на изпит. Общо взето ситуацията е до болка позната: учениците един след друг влизат в класната стая и вадят билетчета.

Очевидно е, че последователното извличане на билети представлява верига от зависими събития и спешно въпрос: В кой случай Петя има по-голяма вероятност да получи „добър“ билет – ако отиде „на първия ред“, или ако отиде „в средата“, или ако е сред последните, които теглят билет? Кога е най-добре да дойдете?

Първо, нека разгледаме една „експериментално чиста“ ситуация, в която Петя запазва шансовете си постоянни – не получава информация какви въпроси вече са получили съучениците му, не научава нищо в коридора, чакайки своя ред и т.н.

Да разгледаме събитието: - Петя ще влезе първа в публиката и ще извади „добър” билет. Според класическата дефиниция на вероятността: .

Как ще се промени вероятността за получаване на успешен билет, ако отличничката Настя бъде изпреварена? В този случай са възможни две противоречиви хипотези:

– Настя ще изтегли „добър” (за Петя) билет;
– Настя ще изтегли „лош“ билет, т.е. ще увеличи шансовете на Петя.

Събитието (Петя ще дойде на второ място и ще получи „добър“ билет) става зависим.

1) Да предположим, че Настя е с вероятност „открадна“ едно късметче от Петя. Тогава на масата ще останат 29 билета, сред които 19 са „добри“. Според класическата дефиниция на вероятността:

2) Сега да предположим, че Настя с вероятност “спаси” Петя от 1-вия “лош” билет. Тогава на масата ще останат 29 билета, сред които все още има 20 „добри“. Според класическото определение:

Използвайки теоремите за събиране на вероятностите за несъвместими събития и умножаване на вероятностите за зависими събития, изчисляваме вероятността Петя да изтегли „добър“ билет, като е втора по ред:

Вероятността... остава същата! Добре, нека разгледаме събитието: - Петя ще отиде трета, оставяйки Настя и Лена напред и ще извади „добър“ билет.

Тук ще има още хипотези: дамите могат да „ограбят“ един кавалер от 2 успешни билета или обратното – да го отърват от 2 неуспешни, или да измъкнат 1 „добър“ и 1 „лош“ билет. Ако проведем подобни разсъждения и използваме същите теореми, тогава... ще получим същата вероятностна стойност!

Така, от чисто математическа гледна точка, без значение кога да тръгнем, първоначалните вероятности ще останат непроменени. НО. Това е само средна теоретична оценка, така че, например, ако Петя отиде последен, това изобщо не означава, че той ще има 10 „добри“ и 5 „лоши“ билета, от които да избира според първоначалните си шансове. Това съотношение може да варира към по-добро или към по-лошо, но все пак е малко вероятно сред билетите да има „един гратис“, или обратното – „чист ужас“. Въпреки че не са изключени „уникални“ случаи, все още няма 3 милиона лотарийни билета с почти нулева вероятност за голяма печалба. Следователно „невероятен късмет“ или „зла съдба“ биха били твърде преувеличени твърдения. Дори ако Петя знае само 3 билета от 30, тогава шансовете му са 10%, което е осезаемо по-високо от нула. А от личен опит ще ти кажа и обратния случай: по време на изпита аналитична геометрияЗнаех добре 24 въпроса от 28, така че попаднах на два „лоши“ въпроса в билета; Изчислете сами вероятността за това събитие :)

Математиката и „чистият експеримент“ са добри, но каква стратегия и тактика са по-изгодни за следване? в реални условия? Разбира се, трябва да се вземат предвид субективни фактори, например „отстъпката“ на учителя за „смелите“ или неговата умора в края на изпита. Често тези фактори могат дори да бъдат решаващи, но в последните дискусии ще се опитам да не отхвърлям допълнителните вероятностни аспекти:

Ако сте добре подготвени за изпита, вероятно е по-добре да отидете „на преден план“. Въпреки че има пълен набор от билети, постулатът „ не се случват малко вероятни събития"работи за вас в много по-голяма степен. Съгласете се, че е много по-приятно да имате съотношението „30 билета, включително 2 лоши“, отколкото „15 билета, включително 2 лоши“. И фактът, че два неуспешни билета на отделен изпит (а не според средната теоретична оценка!) ще останат на масата - напълно възможно е.

Сега да разгледаме „ситуацията на Петя“ - когато студентът е подготвен за изпита доста добре, но от друга страна, той също „плува“ добре. С други думи, „той знае повече, отколкото не знае“. В този случай е препоръчително да оставите 5-6 души напред и да изчакате подходящия момент извън публиката. Действайте според ситуацията. Съвсем скоро ще започне да постъпва информация за това какви билети са извадили съучениците. (отново зависими събития!) и не е нужно да губите повече енергия за „изиграни“ въпроси - научете и повторете други билети, като по този начин увеличите първоначалната вероятност за вашия успех. Ако „първата партида“ изпитващи ви „спаси“ от 3-4 трудни (лично за вас) билета наведнъж, тогава е по-изгодно да стигнете до изпита възможно най-бързо - точно сега шансовете са се увеличили значително. Опитайте се да не пропуснете момента - само няколко души пуснете напред и предимството най-вероятно ще се стопи. Ако, напротив, има малко „лоши“ билети, изчакайте. След няколко души тази „аномалия“ е отново, с голяма вероятност, ако не изчезне, тогава ще се изглади към по-добро. В „обичайния“ и най-често срещан случай също има полза: съотношението „24 билета/8 лоши“ ще бъде по-добро от съотношението „30 билета/10 лоши“. Защо? Вече няма десет трудни билета, а осем! Учим материала с удвоена енергия!

Ако сте подготвени без значение или зле, тогава, разбира се, е по-добре да отидете в „последните редове“ (въпреки че са възможни и оригинални решения, особено ако няма какво да губите). Има малка, но все пак ненулева вероятност да останете с относително прости въпроси + допълнително тъпчене + шпори, които ще ви дадат състуденти, които са стреляли =) И да - в много критична ситуация все още има на следващия ден, когато втората част от групата се явява на изпит;-)

Има зависими и независими събития. Две събития се наричат независими, ако настъпването на едно от тях не променя вероятността за настъпване на другото. Например, ако в един цех работят две автоматични линии, които не са свързани помежду си поради производствените условия, тогава спиранията на тези линии са независими събития.

Извикват се няколко събития колективно независими, ако някое от тях не зависи от друго събитие и от комбинация от останалите.

Събитията се наричат зависим, ако едно от тях влияе върху вероятността на другото. Например две производствени предприятия са свързани с един технологичен цикъл. Тогава вероятността от повреда на един от тях зависи от състоянието на другия. Извиква се вероятността за едно събитие B, изчислена при допускане на настъпването на друго събитие A условна вероятностсъбития B и се означават с P(A|B).

Условието за независимост на събитие B от събитие A се записва като P(B|A)=P(B), а условието за неговата зависимост като P(B|A)≠P(B).

Вероятност за събитие в тестовете на Бернули. Формула на Поасон.

Повтарящи се независими тестове, Тестове на Бернули или схема на Бернулитакива тестове се извикват, ако за всеки тест има само два резултата - възникване на събитие А или и вероятността от тези събития остава непроменена за всички тестове. Този прост дизайн на случаен тест е от голямо значение в теорията на вероятностите.

Най-известният пример за тестове на Бернули е експериментът с последователно хвърляне на справедлива (симетрична и равномерна) монета, където събитие А е загубата например на „герб“ („опашки“).

Нека в някакъв експеримент вероятността за събитие А е равна на P(A)=p, тогава , където p+q=1. Нека проведем експеримента n пъти, като приемем, че отделните опити са независими, което означава, че резултатът от нито един от тях не е свързан с резултатите от предишни (или следващи) опити. Нека намерим вероятността за възникване на събития А точно k пъти, да речем само в първите k опита. Нека е събитието, че в n опита събитие А ще се появи точно k пъти в първите опити. Събитието може да се представи като

След като предположихме, че експериментите са независими, тогава

41) [страница 2]Ако зададем въпроса за появата на събитие A k пъти в n опита в случаен ред, тогава събитието може да бъде представено във формата

Броят на различните членове от дясната страна на това равенство е равен на броя на опитите от n до k, следователно вероятността от събития, които ще обозначим, е равна на

Последователността от събития образува пълна група от независими събития . Всъщност от независимостта на събитията получаваме

Малко вероятно е много хора да мислят дали е възможно да се изчислят събития, които са повече или по-малко случайни. С прости думи, възможно ли е да се знае коя страна на куба ще дойде следващата? Именно този въпрос си зададоха двама велики учени, които поставиха основите на такава наука като теорията на вероятностите, в която вероятността от събитие се изучава доста широко.

Произход

Ако се опитате да дефинирате такова понятие като теория на вероятностите, ще получите следното: това е един от клоновете на математиката, който изучава постоянството на случайни събития. Разбира се, тази концепция всъщност не разкрива цялата същност, така че е необходимо да я разгледаме по-подробно.

Бих искал да започна със създателите на теорията. Както бе споменато по-горе, имаше двама от тях и те бяха едни от първите, които се опитаха да изчислят резултата от това или онова събитие, използвайки формули и математически изчисления. Като цяло началото на тази наука се появява през Средновековието. По това време различни мислители и учени се опитват да анализират хазартни игри, като рулетка, зарове и т.н., като по този начин установяват модела и процента на изпадане на определено число. Основата е положена през седемнадесети век от гореспоменатите учени.

Отначало техните трудове не можеха да се считат за големи постижения в тази област, защото всичко, което правеха, бяха просто емпирични факти, а експериментите се извършваха визуално, без да се използват формули. С течение на времето беше възможно да се постигнат страхотни резултати, които се появиха в резултат на наблюдение на хвърлянето на зарове. Именно този инструмент помогна да се изведат първите разбираеми формули.

Съмишленици

Невъзможно е да не споменем такъв човек като Кристиан Хюйгенс в процеса на изучаване на тема, наречена „теория на вероятностите“ (вероятността за събитие се разглежда точно в тази наука). Този човек е много интересен. Той, подобно на учените, представени по-горе, се опита да изведе модела на случайни събития под формата на математически формули. Трябва да се отбележи, че той не е направил това заедно с Паскал и Ферма, тоест всичките му творби не са се пресичали с тези умове. Хюйгенс изведе

Интересен факт е, че работата му се появи много преди резултатите от работата на откривателите, или по-скоро двадесет години по-рано. Сред идентифицираните концепции най-известните са:

концепцията за вероятността като стойност на шанса;
математическо очакване за дискретни случаи;
теореми за умножение и събиране на вероятности.

Също така е невъзможно да не си спомним кой също има значителен принос в изследването на проблема. Провеждайки собствени тестове, независимо от никого, той успя да представи доказателство за закона за големите числа. На свой ред учените Поасон и Лаплас, работили в началото на деветнадесети век, успяха да докажат оригиналните теореми. От този момент теорията на вероятностите започва да се използва за анализ на грешки в наблюденията. Руските учени, или по-скоро Марков, Чебишев и Дяпунов, не можеха да пренебрегнат тази наука. Въз основа на работата, извършена от велики гении, те установиха този предмет като клон на математиката. Тези фигури са работили още в края на деветнадесети век и благодарение на техния принос са доказани следните явления:

закон на големите числа;
теория на веригата на Марков;
централна гранична теорема.

И така, с историята на раждането на науката и с основните хора, които са я повлияли, всичко е повече или по-малко ясно. Сега е време да се изяснят всички факти.

Основни понятия

Преди да се докоснете до законите и теоремите, си струва да изучите основните понятия на теорията на вероятностите. Водеща роля в него има събитието. Тази тема е доста обемна, но без нея няма да може да се разбере всичко останало.

Събитие в теорията на вероятностите е всеки набор от резултати от експеримент. Има доста концепции за това явление. Така ученият Лотман, работещ в тази област, каза, че в този случай говорим за това, което „се е случило, въпреки че може да не се е случило“.

Случайни събития (теорията на вероятностите обръща специално внимание на тях) е концепция, която предполага абсолютно всяко явление, което има възможност да се случи. Или, обратно, този сценарий може да не се случи, ако са изпълнени много условия. Също така си струва да знаете, че случайните събития обхващат целия обем от явления, които са се случили. Теорията на вероятностите показва, че всички условия могат да се повтарят постоянно. Именно тяхното поведение се нарича „опит“ или „тест“.

Надеждно събитие е явление, което е сто процента вероятно да се случи при даден тест. Съответно невъзможно събитие е това, което няма да се случи.

Комбинацията от двойка действия (условно случай А и случай Б) е явление, което се случва едновременно. Те са обозначени като АВ.

Сумата от двойки събития A и B е C, с други думи, ако се случи поне едно от тях (A или B), тогава ще се получи C. Формулата за описаното явление се записва, както следва: C = A + Б.

Несъответстващите събития в теорията на вероятностите предполагат, че два случая са взаимно изключващи се. При никакви обстоятелства те не могат да се случат едновременно. Съвместните събития в теорията на вероятностите са техен антипод. Това, което се има предвид тук е, че ако А се е случило, това не предотвратява B по никакъв начин.

Противоположните събития (теорията на вероятностите ги разглежда много подробно) са лесни за разбиране. Най-добрият начин да ги разберете е чрез сравнение. Те са почти същите като несъвместимите събития в теорията на вероятностите. Но тяхната разлика се състои в това, че едно от многото явления трябва да се случи във всеки случай.

Еднакво вероятни събития са онези действия, чиято повторяемост е еднаква. За да стане по-ясно, можете да си представите, че хвърляте монета: загубата на едната й страна е еднакво вероятно да падне от другата.

По-лесно е да разгледате благоприятно събитие с пример. Да кажем, че има епизод B и епизод A. Първият е хвърлянето на зара с нечетно число, а вторият е появата на числото пет на зара. Тогава се оказва, че А предпочита Б.

Независимите събития в теорията на вероятностите се проектират само върху два или повече случая и предполагат независимост на всяко действие от друго. Например A е загубата на глави при хвърляне на монета, а B е тегленето на вале от тестето. Те са независими събития в теорията на вероятностите. В този момент стана по-ясно.

Зависимите събития в теорията на вероятностите също са допустими само за набор от тях. Те предполагат зависимостта на едното от другото, тоест явление Б може да възникне само ако А вече се е случило или, обратно, не се е случило, когато това е основното условие за Б.

Резултатът от случаен експеримент, състоящ се от един компонент, са елементарни събития. Теорията на вероятностите обяснява, че това е явление, което се е случило само веднъж.

Основни формули

И така, понятията „събитие“ и „теория на вероятностите“ бяха обсъдени по-горе; беше дадено определение на основните термини на тази наука. Сега е време да се запознаете директно с важните формули. Тези изрази математически потвърждават всички основни концепции в толкова сложен предмет като теорията на вероятностите. Вероятността за събитие играе огромна роля и тук.

По-добре е да започнете с основните и преди да започнете с тях, струва си да помислите какви са те.

Комбинаториката е преди всичко клон на математиката; тя се занимава с изучаването на огромен брой цели числа, както и различни пермутации както на самите числа, така и на техните елементи, различни данни и т.н., водещи до появата на редица комбинации. В допълнение към теорията на вероятностите, този клон е важен за статистиката, компютърните науки и криптографията.

И така, сега можем да преминем към представяне на самите формули и тяхната дефиниция.

Първият от тях ще бъде изразът за броя на пермутациите, изглежда така:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Уравнението се прилага само ако елементите се различават само по реда на тяхното подреждане.

Сега ще бъде разгледана формулата за поставяне, изглежда така:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Този израз е приложим не само за реда на разполагане на елемента, но и за неговия състав.

Третото уравнение от комбинаториката, а то е и последно, се нарича формула за броя на комбинациите:

C_n^m = n! : ((n - m))! :м!

Комбинацията се отнася за селекции, които не са подредени, съответно това правило важи за тях.

Беше лесно да разберете комбинаторните формули; сега можете да преминете към класическата дефиниция на вероятностите. Този израз изглежда така:

В тази формула m е броят на благоприятните условия за събитие А, а n е броят на абсолютно всички еднакво възможни и елементарни резултати.

Има голям брой изрази; статията няма да обхване всички от тях, но най-важните ще бъдат засегнати, като например вероятността за сумата от събития:

P(A + B) = P(A) + P(B) - тази теорема е за добавяне само на несъвместими събития;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - и това е за добавяне само на съвместими.

Вероятност за настъпване на събития:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - тази теорема е за независими събития;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - и това е за зависими.

Списъкът на събитията ще бъде допълнен от формулата на събитията. Теорията на вероятностите ни разказва за теоремата на Бейс, която изглежда така:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., н

В тази формула H 1, H 2, ..., H n е пълна група от хипотези.

Примери

Ако внимателно изучавате който и да е раздел от математиката, той не е пълен без упражнения и примерни решения. Така е и с теорията на вероятностите: събитията и примерите тук са неразделна част, която потвърждава научните изчисления.

Формула за броя на пермутациите

Да кажем, че има тридесет карти в тесте карти, като се започне със стойност едно. Следващ въпрос. Колко начина има за подреждане на тестето, така че картите със стойност едно и две да не са една до друга?

Задачата е поставена, сега нека да преминем към нейното решаване. Първо трябва да определите броя на пермутациите на тридесет елемента, за това вземаме формулата, представена по-горе, оказва се, че P_30 = 30!.

Въз основа на това правило откриваме колко опции има за сгъване на тестето по различни начини, но трябва да извадим от тях тези, в които първата и втората карта са една до друга. За да направите това, нека започнем с опцията, когато първият е над втория. Оказва се, че първата карта може да заеме двадесет и девет места – от първо до двадесет и девето, а втората карта от второ до тридесето, което прави общо двадесет и девет места за чифт карти. На свой ред останалите могат да приемат двадесет и осем места и в произволен ред. Тоест, за да пренаредите двадесет и осем карти, има двадесет и осем опции P_28 = 28!

В резултат на това се оказва, че ако разгледаме решението, когато първата карта е над втората, ще има 29 ⋅ 28 допълнителни възможности! = 29!

Използвайки същия метод, трябва да изчислите броя на излишните опции за случая, когато първата карта е под втората. Оказва се също 29 ⋅ 28! = 29!

От това следва, че има 2 ⋅ 29 допълнителни опции!, докато необходимите начини за сглобяване на тесте са 30! - 2 ⋅ 29!. Остава само да броим.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Сега трябва да умножите всички числа от едно до двадесет и девет и след това накрая да умножите всичко по 28. Отговорът е 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Примерно решение. Формула за номер на разположение

В тази задача трябва да разберете колко начина има да поставите петнадесет тома на един рафт, но при условие, че има общо тридесет тома.

Решението на този проблем е малко по-просто от предишния. Използвайки вече известната формула, е необходимо да се изчисли общият брой аранжименти на тридесет тома от петнадесет.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Отговорът съответно ще бъде равен на 202 843 204 931 727 360 000.

Сега нека вземем малко по-трудна задача. Трябва да разберете колко начина има да подредите тридесет книги на две лавици, като се има предвид, че една лавица може да побере само петнадесет тома.

Преди да започна решението, бих искал да поясня, че някои проблеми могат да бъдат решени по няколко начина, а този има два метода, но и двата използват една и съща формула.

В тази задача можете да вземете отговора от предишната, защото там изчислихме колко пъти можете да запълните рафт с петнадесет книги по различни начини. Оказа се, че A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Ще изчислим втория рафт, като използваме формулата за пермутация, защото в него могат да бъдат поставени петнадесет книги, а остават само петнадесет. Използваме формулата P_15 = 15!.

Оказва се, че общата сума ще бъде A_30^15 ⋅ P_15 начина, но в допълнение към това произведението на всички числа от тридесет до шестнадесет ще трябва да се умножи по произведението на числата от едно до петнадесет, в крайна сметка вие ще получи произведението на всички числа от едно до тридесет, тоест отговорът е равен на 30!

Но този проблем може да се реши по друг начин – по-лесно. За да направите това, можете да си представите, че има един рафт за тридесет книги. Всички те са поставени на тази равнина, но тъй като условието изисква да има два рафта, разрязахме един дълъг наполовина, така че получаваме два от петнадесет. От това излиза, че може да има P_30 = 30 варианта за подреждане!.

Примерно решение. Формула за номер на комбинация

Сега ще разгледаме вариант на третата задача от комбинаториката. Необходимо е да разберете колко начина има за подреждане на петнадесет книги, при условие че трябва да изберете от тридесет абсолютно еднакви.

За решаване, разбира се, ще се приложи формулата за броя на комбинациите. От условието става ясно, че редът на еднаквите петнадесет книги не е важен. Следователно, първоначално трябва да разберете общия брой комбинации от тридесет книги от петнадесет.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Това е всичко. Използвайки тази формула, успяхме да решим този проблем за възможно най-кратко време; отговорът съответно е 155 117 520.

Примерно решение. Класическа дефиниция на вероятността

Използвайки формулата по-горе, можете да намерите отговора на прост проблем. Но това ще помогне ясно да видите и проследите напредъка на действията.

Задачата гласи, че в урната има десет абсолютно еднакви топки. От тях четири са жълти и шест са сини. От урната се взема една топка. Трябва да разберете вероятността да станете синьо.

За да се реши задачата, е необходимо да се определи получаването на синята топка като събитие А. Този експеримент може да има десет резултата, които от своя страна са елементарни и еднакво възможни. В същото време от десет шест са благоприятни за събитие А. Решаваме по формулата:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Прилагайки тази формула, научихме, че вероятността да получим синята топка е 0,6.

Примерно решение. Вероятност за сумата от събития

Сега ще бъде представена опция, която се решава с помощта на вероятностната формула за сумата от събития. И така, дадено е условието, че има две кутии, първата съдържа една сива и пет бели топки, а втората съдържа осем сиви и четири бели топки. В резултат те взеха един от тях от първата и втората кутия. Трябва да разберете какъв е шансът топките, които получавате, да са сиви и бели.

За да се реши този проблем, е необходимо да се идентифицират събитията.

И така, A - взе сива топка от първата кутия: P(A) = 1/6.
A’ - взе бяла топка също от първото поле: P(A") = 5/6.
B - сива топка е извадена от втората кутия: P(B) = 2/3.
B’ - взе сива топка от второто поле: P(B") = 1/3.

Според условията на задачата е необходимо да се случи едно от явленията: AB’ или A’B. Използвайки формулата, получаваме: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сега е използвана формулата за умножаване на вероятността. След това, за да разберете отговора, трябва да приложите уравнението на тяхното добавяне:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Ето как можете да решите подобни задачи, като използвате формулата.

Долен ред

Статията представя информация по темата "Теория на вероятностите", в която вероятността от събитие играе жизненоважна роля. Разбира се, не всичко беше взето под внимание, но въз основа на представения текст можете теоретично да се запознаете с този раздел от математиката. Въпросната наука може да бъде полезна не само в професионалните дела, но и в ежедневието. С негова помощ можете да изчислите всяка възможност за всяко събитие.

В текста бяха засегнати и значими дати от историята на формирането на теорията на вероятностите като наука и имената на хората, чийто труд е вложен в нея. Ето как човешкото любопитство доведе до факта, че хората се научиха да изчисляват дори случайни събития. Някога те просто се интересуваха от това, но днес всички вече знаят за това. И никой няма да каже какво ни очаква в бъдеще, какви други блестящи открития, свързани с разглежданата теория, ще бъдат направени. Но едно е сигурно - научните изследвания не стоят!

Дефиниции на вероятността

Класическо определение

Класическата "дефиниция" на вероятността идва от концепцията равни възможностикато обективно свойство на изучаваните явления. Равната възможност е недефинирано понятие и се установява от общи съображения за симетрията на изучаваните явления. Например, при хвърляне на монета се приема, че поради предполагаемата симетрия на монетата, хомогенността на материала и произволността (безпристрастността) на хвърлянето, няма причина да се предпочитат „опашки“ пред „глави“ или обратното, тоест появата на тези страни може да се счита за еднакво възможна (еднакво вероятна) .

Наред с концепцията за равни възможности в общия случай, класическата дефиниция изисква и концепцията за елементарно събитие (резултат), независимо дали е благоприятно или не за събитието, което се изследва А. Говорим за резултати, настъпването на които изключва възможността за настъпване на други резултати. Това са несъвместими елементарни събития. Например, когато хвърляте зар, уцелването на конкретно число изключва другите числа от показване.

Класическата дефиниция на вероятността може да се формулира по следния начин:

Вероятността за случайно събитиеА се нарича числово отношениен несъвместими еднакво вероятни елементарни събития, които съставят събитиетоА , до броя на всички възможни елементарни събитиян :

Например, да кажем, че са хвърлени два зара. Общият брой на еднакво възможните резултати (елементарни събития) очевидно е 36 (6 възможности за всеки зар). Нека оценим вероятността да получим 7 точки. Получаването на 7 точки е възможно по следните начини: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Тоест има само 6 еднакво възможни резултата, които благоприятстват събитие А - получаване на 7 точки. Следователно вероятността ще бъде равна на 6/36=1/6. За сравнение, вероятността да получите 12 точки или 2 точки е само 1/36 - 6 пъти по-малко.

Геометрична дефиниция

Въпреки факта, че класическата дефиниция е интуитивна и извлечена от практиката, тя поне не може да бъде приложена директно в случай, когато броят на еднакво възможните резултати е безкраен. Ярък пример за безкраен брой възможни резултати е ограничена геометрична област G, например на равнина, с площ S. Произволно „хвърлена“ „точка“ с еднаква вероятност може да се окаже във всяка точка от тази област. Проблемът е да се определи вероятността точка да попадне в определен подрегион g с площ s. В този случай, обобщавайки класическата дефиниция, можем да стигнем до геометрична дефиниция на вероятността да попаднем в поддомейна:

Поради равнопоставеността, тази вероятност не зависи от формата на областта g, зависи само от нейната площ. Тази дефиниция може естествено да се обобщи за пространство с всякакво измерение, където понятието „обем“ може да се използва вместо площ. Нещо повече, точно тази дефиниция води до съвременната аксиоматична дефиниция на вероятността. Концепцията за обем се обобщава до концепцията за „мярка“ на някакво абстрактно множество, което е предмет на същите изисквания, които „обемът“ има в геометричната интерпретация - на първо място, това са неотрицателност и адитивност.

Честотна (статистическа) дефиниция

Класическата дефиниция при разглеждане на сложни проблеми среща трудности от непреодолим характер. По-специално, в някои случаи може да не е възможно да се идентифицират еднакво вероятни случаи. Дори в случай на монета, както знаем, има очевидно не еднакво вероятна възможност за изпадане на „ръба“, която от теоретични съображения не може да бъде оценена (може само да се каже, че е малко вероятно и че това съображение е по-скоро практичен). Следователно, дори в зората на формирането на теорията на вероятностите, беше предложено алтернативно „честотно“ определение на вероятността. А именно, формално вероятността може да се дефинира като границата на честотата на наблюденията на събитие А, като се приеме хомогенността на наблюденията (т.е. еднаквостта на всички условия на наблюдение) и тяхната независимост едно от друго:

където е броят на наблюденията и е броят на случванията на събитието.

Въпреки факта, че това определение по-скоро показва начин за оценка на неизвестна вероятност - чрез голям брой хомогенни и независими наблюдения - все пак това определение отразява съдържанието на понятието вероятност. А именно, ако на дадено събитие се припише определена вероятност като обективна мярка за неговата възможност, то това означава, че при фиксирани условия и многократни повторения трябва да получим честота на случването му, близка до (колкото по-близо, толкова повече наблюдения има). Всъщност това е първоначалното значение на понятието вероятност. Основава се на обективистичен възглед за природните явления. По-долу ще разгледаме така наречените закони на големите числа, които предоставят теоретична основа (в рамките на съвременния аксиоматичен подход, описан по-долу), включително за честотна оценка на вероятността.

Аксиоматично определение

В съвременния математически подход вероятността е дадена Аксиоматика на Колмогоров. Предполага се, че някои пространство на елементарни събития. Подмножествата на това пространство се интерпретират като случайни събития. Обединението (сумата) на някои подмножества (събития) се интерпретира като събитие, състоящо се от събитието поне единот тези събития. Пресечната точка (продукт) на подмножества (събития) се тълкува като събитие, състоящо се в появата всекитези събития. Несъответстващите множества се интерпретират като несъвместимисъбития (съвместното им настъпление е невъзможно). Съответно празното множество означава невъзможенсъбитие.

Вероятност ( вероятностна мярка) е наречен мярка(числова функция), дефинирана върху набор от събития, имаща следните свойства:

Ако пространството на елементарните събития X Със сигурност, тогава определеното условие за адитивност за произволни две несъвместими събития е достатъчно, от което ще последва адитивност за всяко финалброй несъвместими събития. Но в случай на безкрайно (изброимо или неизброимо) пространство от елементарни събития това условие не е достатъчно. Така нареченият изброима или сигма адитивност, тоест изпълнението на свойството на адитивност за всяко не повече от изброимосемейства от несъвместими по двойки събития. Това е необходимо, за да се гарантира „непрекъснатостта“ на вероятностната мярка.

Вероятностната мярка може да не е дефинирана за всички подмножества на набора. Предполага се, че е определена при някои сигма алгебраподмножества . Тези подмножества се наричат измеримиспоред дадена вероятностна мярка те са точно случайни събития. Набор - т.е. набор от елементарни събития, сигма алгебра на неговите подмножества и вероятностна мярка - се нарича вероятностно пространство.

Непрекъснати случайни променливи.В допълнение към дискретните случайни променливи, чиито възможни стойности образуват крайна или безкрайна последователност от числа, които не запълват напълно нито един интервал, често има случайни променливи, чиито възможни стойности образуват определен интервал. Пример за такава случайна променлива е отклонението от номиналната стойност на определен размер на детайл с правилно настроен технологичен процес. Този вид случайни променливи не могат да бъдат определени чрез закона за разпределение на вероятностите p(x). Те обаче могат да бъдат определени с помощта на функцията за разпределение на вероятностите F(x). Тази функция се дефинира точно по същия начин, както в случай на дискретна случайна променлива:

Така и тук функцията F(x)дефинирана върху цялата числова ос, и нейната стойност в точката хе равна на вероятността случайната променлива да приеме стойност, по-малка от х. Формула (19) и свойства 1° и 2° са валидни за функцията на разпределение на всяка случайна променлива. Доказателството се извършва подобно на случая на дискретно количество. Случайната променлива се извиква непрекъснато, ако за него има неотрицателна непрекъсната функция*, която удовлетворява за всякакви стойности хравенство

Въз основа на геометричния смисъл на интеграла като площ, можем да кажем, че вероятността за изпълнение на неравенствата е равна на площта на криволинейния трапец с основа , ограничена отгоре от кривата (фиг. 6).

Тъй като и въз основа на формула (22)

Имайте предвид, че за непрекъсната случайна променлива функцията на разпределение F(x)непрекъснато във всяка точка х, където функцията е непрекъсната. Това следва от факта, че F(x)е диференцируем в тези точки. Въз основа на формула (23), приемайки х 1 =x, , ние имаме

Поради непрекъснатостта на функцията F(x)разбираме това

Следователно

По този начин, вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност x е нула. От това следва, че събитията, състоящи се в изпълнението на всяко от неравенствата

Те имат еднаква вероятност, т.е.

Всъщност напр.

защото Коментирайте.Както знаем, ако дадено събитие е невъзможно, тогава вероятността то да се случи е нула. С класическата дефиниция на вероятността, когато броят на резултатите от теста е краен, важи и обратното твърдение: ако вероятността за събитие е нула, тогава събитието е невъзможно, тъй като в този случай нито един от резултатите от теста не го благоприятства. В случай на непрекъсната случайна променлива, броят на възможните й стойности е безкраен. Вероятността това количество да приеме определена стойност х 1 както видяхме, е равно на нула. От това обаче не следва, че това събитие е невъзможно, тъй като в резултат на теста случайната променлива може по-специално да приеме стойността х 1 . Следователно, в случай на непрекъсната случайна променлива, има смисъл да се говори за вероятността случайната променлива да попадне в интервала, а не за вероятността тя да приеме някаква конкретна стойност. Така например, когато правим ролка, не се интересуваме от вероятността нейният диаметър да бъде равен на номиналната стойност. Това, което е важно за нас, е вероятността диаметърът на ролката да е в диапазона на допустимите отклонения. Пример.Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива се дава, както следва:

Функционалната графика е показана на фиг. 7. Определете вероятността случайна променлива да приеме стойност, която удовлетворява неравенствата Намерете функцията на разпределение на дадена случайна променлива. ( Решение)

Следващите два параграфа са посветени на често срещаните в практиката разпределения на непрекъснати случайни величини – равномерно и нормално разпределение.

* Една функция се нарича частично непрекъсната на цялата числова ос, ако е или непрекъсната на всеки сегмент, или има краен брой точки на прекъсване от първи вид. ** Правилото за диференциране на интеграл с променлива горна граница, получено в случай на крайна долна граница, остава валидно за интеграли с безкрайна долна граница. Наистина,

Тъй като интегралът

има постоянна стойност.

Зависими и независими събития. Условна вероятност

Пример 3.Монетата се хвърля два пъти. Вероятността „гербът“ да се появи при първия опит (събитие) не зависи от появата или непоявата на „герба“ при втория опит (събитие). От своя страна вероятността „гербът“ да се появи във втория тест не зависи от резултата от първия тест. Така събитията са независими.

Извикват се няколко събития колективно независими , ако някое от тях не зависи от друго събитие и от комбинация от останалите.

Събитията се наричат зависим , ако едно от тях влияе върху вероятността на другото. Например две производствени предприятия са свързани с един технологичен цикъл. Тогава вероятността от повреда на един от тях зависи от състоянието на другия. Вероятността за едно събитие, изчислена при допускане на настъпването на друго събитие, се нарича условна вероятност събития и се означава с .

Условието за независимост на събитие от събитие се записва във формата , а условието за неговата зависимост - във формата . Нека разгледаме пример за изчисляване на условната вероятност за събитие.

Пример 4.Кутията съдържа 5 фрези: две носени и три нови. Извършват се две последователни екстракции на резците. Определете условната вероятност износен нож да се появи по време на второто изваждане, при условие че ножът, отстранен първия път, не се връща в кутията.

Решение. Нека обозначим извличането на износен фреза в първия случай и - извличането на нов. Тогава . Тъй като извадената фреза не се връща в кутията, съотношението между количествата износени и нови фрези се променя. Следователно вероятността за отстраняване на износен нож във втория случай зависи от това какво събитие се е случило преди това.

Нека обозначим събитието, което означава отстраняване на износен нож във втория случай. Вероятностите за това събитие могат да бъдат:

Следователно вероятността от събитие зависи от това дали събитието се е случило или не.

Плътност на вероятността- един от начините за определяне на вероятностна мярка в евклидовото пространство. В случай, че вероятностната мярка е разпределение на случайна променлива, говорим за плътностслучайна величина.

Плътност на вероятността Нека е вероятностна мярка на, т.е. дефинирано е вероятностно пространство, където означава Борелова σ-алгебра на. Нека обозначаваме мярката на Лебег на.

Определение 1.Казва се, че една вероятност е абсолютно непрекъсната (по отношение на мярката на Лебег) (), ако всяко Борелово множество от мярка на Лебег нула също има вероятност нула:

Ако вероятността е абсолютно непрекъсната, тогава според теоремата на Радон-Никодим съществува неотрицателна Борелова функция, така че

където се използва общоприетото съкращение , а интегралът се разбира в смисъла на Лебег.

Определение 2.В по-обща форма нека е произволно измеримо пространство и и са две мерки в това пространство. Ако има неотрицателна, която позволява да се изрази мярката по отношение на мярката във формата

тогава се извиква такава функция мярка за плътност като , или Производно на Радон-Никодиммерки спрямо мярката , и означават