Условна вероятност. Условна вероятност и най-прости основни формули. Теорема за умножение на вероятностите за събития, едното от които се извършва при условие на другото

4. Условна вероятност. Теорема за умножение на вероятностите.

В много задачи е необходимо да се намери вероятността за комбиниране на събития Ии ATако са известни вероятностите за събития Ии AT.

Помислете за следния пример. Нека се хвърлят две монети. Намерете вероятността за появата на два герба. Имаме 4 еднакво вероятни по двойки несъвместими резултата, които образуват пълна група:

Сега да знаем, че гербът падна на първата монета. Как ще се промени вероятността гербът да се появи и на двете монети след това? Тъй като гербът падна върху първата монета, сега пълната група се състои от два еднакво вероятни несъвместими резултата:

вероятност за ново събитие И, като се приеме, че е настъпило събитие Б, ще обозначим P B (A).

Поради това, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Теорема за умножение. Вероятността за комбиниране на събития А и Б е равна на произведението на вероятността за едно от тях от условната вероятност за другото, изчислена при предположението, че първото събитие се е случило, т.е.

Доказателство.Нека докажем валидността на съотношението (4) въз основа на класическата дефиниция на вероятността. Нека възможните резултати Е 1, Е 2, ..., E Nот този опит образуват пълна група от еднакво вероятни по двойки несъвместими събития, от които събитието Ауслуга Мрезултати и нека от тях Мрезултати Лрезултатите благоприятстват събитието Б. Очевидно комбинацията от събития Аи Буслуга Лот нвъзможни резултати от тестове. Това дава; ;
Поради това,
Размяна на местата Аи Б, по подобен начин получаваме
Теоремата за умножение може лесно да се обобщи за всеки краен брой събития. Така, например, в случай на три събития A 1, A2, A 3ние имаме *
Общо взето

От връзка (6) следва, че от две равенства (8) едното е следствие от другото.

Нека, например, събитието А- появата на герба при едно хвърляне на монета и събитието Б- появата на карта с диамантен цвят, когато карта бъде извадена от тестето. Очевидно събитията Аи Бнезависима.

Ако събитията са независими Ада се Бформула (4) ще приеме по-проста форма:

* Събитие A 1 A 2 A 3може да се представи като комбинация от две събития: събития C=A 1 A 2и събития A 3.

Обмислете събитията Аи Бсвързани със същия опит. Нека стане известно от някои източници, че събитието Бе настъпило, но не е известно кой от елементарните резултати, съставляващи събитието Б, се случи. Какво може да се каже в този случай за вероятността от събитие А?

Вероятност на събитието А, изчислено при предположението, че събитието Бсе е случило, обичайно е да се нарича условна вероятност и да се означава P(A|B).

условна вероятност P(A|B)разработки Ав зависимост от събитието Бв рамките на класическата схема е естествено вероятността да се дефинира като отношение NABрезултати, които благоприятстват съвместното изпълнение на събитията Аи Б, към броя NBрезултати в полза на събитието Б, това е

Ако разделим числителя и знаменателя на този израз на общото число нелементарни резултати, получаваме

Определение. Условна вероятност за събитие Ав зависимост от събитието Бсе нарича съотношение на вероятността за пресичане на събития Аи Бкъм вероятността от събитие Б:

В същото време се предполага, че P(B) ≠ 0.

Теорема. Условна вероятност P(A|B)има всички свойства на безусловната вероятност P(A).

Значението на тази теорема е, че условната вероятност е безусловната вероятност, дадена в новото пространство Ω 1елементарни резултати, съвпадащи със събитието Б.

Пример. От урната, в която а=7бял пясък b=3черни топки, две топки се изтеглят на случаен принцип без подмяна. Нека събитието A 1е, че първата изтеглена топка е бяла и A2- втората топка е бяла. Исках да намеря P(A 2 |A 1).

Метод 1.. По дефиниция на условната вероятност

Метод 2.. Нека да преминем към ново пространство на елементарни резултати Ω 1. От събитието A 1случи, това означава, че в новото пространство от елементарни резултати, общият брой еднакво възможни резултати NΩ 1 =a+b-1=9, и събитието A2го облагодетелства N A 2 \u003d a-1 \u003d 6резултати. Следователно,

Теорема [умножение на вероятности]. Нека събитието A=A 1 A 2 …A nи P(A)>0. Тогава равенството е вярно:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Коментирайте. От свойството комутативност на пресичане може да се напише

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Пример. На 7 карти са изписани букви, образуващи думата "СЛАВЕЕВ". Картите се разбъркват и три карти се изваждат произволно от тях и се подреждат отляво надясно. Намерете вероятността думата "VOL" да бъде получена (събитието А).

Нека събитието A 1- буквата "B" е написана на първата карта, A2- буквата "О" е написана на втората карта, A2- на третата карта - буквата "L". Тогава събитието А- пресечна точка на събитията A 1, A2, A 3. Следователно,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; ако събитие A 1се случи, тогава на останалите 6 карти „О“ се появява два пъти, което означава P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. по същия начин, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Следователно,

Определение. Разработки Аи Б, имащи ненулева вероятност, се наричат ​​независими, ако условната вероятност Апредвид това Бсъвпада с безусловната вероятност Аили ако условната вероятност Бпредвид това Асъвпада с безусловната вероятност Б, това е

P(A|B) = P(A)или P(B|A) = P(B),

иначе събитията Аи Бнаречена зависима.

Теорема. Разработки Аи Б, които имат ненулева вероятност, са независими тогава и само ако

P(AB) = P(A) P(B).

Така можем да дадем еквивалентно определение:

Определение. Разработки Аи Бсе наричат ​​независими ако P(AB) = P(A) P(B).

Пример. От тесте карти, съдържащо n=36карти, една карта се тегли на случаен принцип. Означаваме с Асъбитие, съответстващо на факта, че извлечената карта ще бъде връх, и Б- събитие, съответстващо на появата на "дама". Определете дали събитията са зависими Аи Б.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Следователно събитията Аи Бнезависима. по същия начин, .

Нека бъде Ии ATса двете събития, разглеждани в този тест. В този случай настъпването на едно от събитията може да повлияе на възможността за настъпване на друго. Например настъпването на събитие Иможе да повлияе на събитието ATили обратното. За да се вземе предвид такава зависимост на едни събития от други, се въвежда понятието условна вероятност.

Определение.Ако вероятността от събитие ATсе намира при условие, че събитието Исе случи, тогава произтичащата вероятност от събитието ATНаречен условна вероятностразработки AT. Следните символи се използват за обозначаване на такава условна вероятност: РИ ( AT) или Р(AT / И).

Забележка 2. За разлика от условната вероятност, „безусловната“ вероятност също се разглежда, когато има условия за настъпване на някакво събитие. ATлипсва.

Пример. Една урна съдържа 5 топки, 3 от които са червени и 2 са сини. На свой ред от него се тегли една топка с връщане и без връщане. Намерете условната вероятност да изтеглите червена топка за втори път, при условие че първият път е: а) червена топка; б) синя топка.

Нека събитието Итегли червената топка за първи път и събитието AT– изваждане на червената топка за втори път. Очевидно е, че Р(И) = 3/5; след това в случай, че извадената топка за първи път се върне в урната, Р(AT)=3/5. В случай, че изтеглената топка не бъде върната, вероятността да изтеглите червена топка Р(AT) зависи от това коя топка е изтеглена за първи път - червена (събитие И) или синьо (събитие). След това в първия случай РИ ( AT) = 2 / 4, а във втория ( AT) = 3 / 4.

Теорема за умножение на вероятностите за събития, едното от които се извършва при условие на другото

Вероятността за произведението на две събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях по условната вероятност за другото, получена при допускането, че първото събитие се е случило:

Р(A ∙ B) = Р(И) ∙ РИ ( AT) . (1.7)

Доказателство. Наистина, нека н- общият брой еднакво вероятни и несъвместими (елементарни) резултати от теста. Остави н 1 - броят резултати, които благоприятстват събитието И, което се случва в началото, и м- броят на резултатите, в които се случва събитието ATприемайки, че събитието ИДойде. Поради това, ме броят на резултатите, които благоприятстват събитието AT.Тогава получаваме:

Тези. вероятността за произведението на няколко събития е равна на произведението на вероятността за едно от тези събития от условните вероятности на останалите, а условната вероятност за всяко следващо събитие се изчислява при предположението, че всички предишни събития са се случили.

Пример.В отбор от 10 състезатели има 4 майстори на спорта. Чрез жребий от отбора се избират 3 състезатели. Каква е вероятността всички избрани спортисти да са майстори на спорта?

Решение. Нека сведем проблема до модела „урна“, т.е. Да приемем, че има 4 червени топки и 6 бели в урна, съдържаща 10 топки. 3 топки се изтеглят на случаен принцип от тази урна (избор С= 3). Нека събитието Исе състои в изваждане на 3 топки. Задачата може да се реши по два начина: по класическата схема и по формула (1.9).

Първият метод, базиран на формулата на комбинаториката:

Вторият метод (по формула (1.9)). От урната се изтеглят последователно 3 топки без подмяна. Нека бъде И 1 - първата изтеглена топка е червена, И 2 - втората изтеглена топка е червена, И 3 - третата изтеглена топка е червена. Нека и събитието Иозначава, че всичките 3 изтеглени топки са червени. Тогава: И = И 1 ∙ (И 2 / И 1) ∙ И 3 / (И 1 ∙ И 2), т.е.

Пример.Нека от комплекта карти a, a, r, b, o, tкартите се теглят една по една. Каква е вероятността да получите думата " работа” при последователното им сгъване в един ред отляво надясно?

Нека бъде AT- събитието, при което се получава декларираната дума. Тогава по формула (1.9) получаваме:

Р(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Теоремата за умножение на вероятността приема най-простата си форма, когато продуктът се образува от събития, независими едно от друго.

Определение.Събитие ATНаречен независимаот събитието Иако неговата вероятност не се променя, независимо дали събитието се е случило Иили не. Две събития се наричат ​​независими (зависими), ако настъпването на едно от тях не променя (променя) вероятността за настъпване на другото. Така, за не зависими събития p(B/А) = Р(AT) или = Р(AT), и за зависими събития Р(AT/А)

Събитие. Пространство на елементарни събития. Определено събитие, невъзможно събитие. Съвместни, несъвместни събития. Еквивалентни събития. Пълна група от събития. Операции върху събития.

Събитиее феномен, за който може да се каже, че е продължаваили няма да се случи, в зависимост от характера на самото събитие.

Под елементарни събитиясвързани с конкретен тест разбират всички неразложими резултати от този тест. Всяко събитие, което може да възникне в резултат на този тест, може да се разглежда като определен набор от елементарни събития.

Пространство на елементарни събитиясе нарича произволно множество (крайно или безкрайно). Нейните елементи са точки (елементарни събития). Подмножествата на пространството на елементарните събития се наричат ​​събития.

определено събитиеизвиква се събитие, което определено ще се случи в резултат на този тест; (обозначено с E).

Невъзможно събитиесъбитие се нарича такова събитие, което в резултат на даден тест не може да се случи; (означен с U). Например появата на една от шестте точки по време на едно хвърляне зарове- надеждно събитие и появата на 8 точки е невъзможна.

Двете събития се наричат става(съвместими) в даден опит, ако появата на единия от тях не изключва появата на другия.

Двете събития се наричат несъвместими(несъвместими) в дадено изпитване, ако не могат да се появят заедно в едно и също изпитване. Казват, че няколко събития са несъвместими, ако са несъвместими по двойки.

Начало на формуляра

Край на формата

Тема номер 2. Аксиоматично определение на вероятността. Класическа, статистическа, геометрична дефиниция на вероятността от събитие. Вероятностни свойства. Теореми за събиране и умножение на вероятности. независими събития. Условна вероятност. Вероятността поне едно от събитията да се случи. Формула за пълна вероятност. Формула на Бейс

Нарича се числена мярка за степента на обективна възможност за настъпване на събитие вероятността от събитие. Това определение, което качествено отразява концепцията за вероятността от събитие, не е математическо. За да стане така, е необходимо да се дефинира качествено.

Според класическа дефиниция вероятността за събитие А е равна на съотношението на броя на благоприятните за него случаи към общия брой случаи, т.е.

Където P(A) е вероятността за събитие A.

Брой случаи, благоприятни за събитие А

Общият брой случаи.

Статистическа дефиниция на вероятността:

Статистическата вероятност за събитие А е относителната честота на възникване на това събитие в извършените тестове, тоест:

Къде е статистическата вероятност за събитие А.

Относителна честота (честота) на събитието А.

Брой опити, в които се появяват събития А

Общият брой опити.

За разлика от "математическата" вероятност, разглеждана в класическата дефиниция, статистическата вероятност е характеристика на експериментален, експериментален.

Ако има част от случаите, които благоприятстват събитие А, което се определя директно, без каквито и да е опити, т.е. делът на тези действително извършени опити, при които се появи събитие А.

Геометрична дефиниция на вероятността:

Геометричната вероятност за събитие А е съотношението на мярката на площта, благоприятстваща настъпването на събитие А, към мярката на всички области, тоест:

В едномерния случай:

Необходимо е да се оцени вероятността за попадение в точка на CD/

Оказва се, че тази вероятност не зависи от местоположението на CD върху сегмента AB, а зависи само от неговата дължина.

Вероятността за попадение в точка не зависи от формите или от местоположението на B върху A, а зависи само от площта на този сегмент.

Условна вероятност

Вероятността се нарича условно , ако се изчислява при определени условия и се обозначава:

Това е вероятността за събитие A. Тя се изчислява при условие, че събитие B вече се е случило.

Пример. Правим тест, извличаме две карти от тестето: Първата вероятност е безусловна.

Изчисляваме вероятността да изтеглим асо от тестето:

Изчисляваме появата на 2-асо от тестето:

A*B - съвместно възникване на събития

– теорема за умножение на вероятностите

Последица:

Теоремата за умножение за съвместно възникване на събития има формата:

Тоест, всяка следваща вероятност се изчислява, като се вземе предвид, че всички предишни условия вече са настъпили.

Независимост на събитието:

Две събития се наричат ​​независими, ако настъпването на едното не противоречи на настъпването на другото.

Например, ако асата се изтеглят многократно от тестето, те са независими едно от друго. Отново, тоест картата беше прегледана и върната обратно в тестето.

Съвместни и несъвместни събития:

Става 2 събития се наричат, ако настъпването на едно от тях не противоречи на настъпването на другото.

Теоремата за добавяне на вероятности от съвместни събития:

Вероятността за настъпване на едно от двете съвместни събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития без съвместното им настъпване.

За три съвместни събития:

Събитията се наричат ​​непоследователни, ако две от тях не могат да се появят едновременно в резултат на единичен тест на случаен експеримент.

Теорема:Вероятността за настъпване на едно от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Вероятността за сумата от събития:

Теорема за добавяне на вероятности:

Вероятността за сумата от краен брой несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Следствие 1:

Сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група, е равна на единица:

Следствие 2:

коментар:Трябва да се подчертае, че разглежданата теорема за добавяне е приложима само за несъвместими събития.

Вероятност за противоположни събития:

Отсрещасе наричат ​​две уникални възможни събития, които образуват пълна група. Едно от две противоположни събития се означава с И, другата - през .

Пример: Попадение и пропуск при стрелба по мишена са противоположни събития. Ако А е попадение, тогава пропуск.

Теорема:Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица:

Бележка 1:Ако вероятността за едно от две противоположни събития е означена с p, тогава вероятността за другото събитие е означена с q. Така, по силата на предишната теорема:

Бележка 2:Когато решавате задачи за намиране на вероятността за събитие A, често е полезно първо да изчислите вероятността за събитието и след това да намерите желаната вероятност, като използвате формулата:

Вероятност за настъпване на поне едно събитие:

Да приемем, че в резултат на експеримент може да се появи едно, някаква част или никакво събитие.

Теорема:Вероятността за възникване на поне едно събитие от набор от независими събития е равна на разликата между единица и тяхната вероятност за несбъдване на събития.

Формулата за обща вероятност ви позволява да намерите вероятността за събитие А, което може да се случи само с всеки от нвзаимно изключващи се събития, които образуват пълна система, ако техните вероятности са известни, и условни вероятности разработки Апо отношение на всяко от събитията на системата са равни на .

Събитията се наричат ​​още хипотези, те се изключват взаимно. Следователно в литературата можете да намерите и тяхното обозначение не по буквата Б, но с писмо з(хипотеза).

За решаване на задачи с такива условия е необходимо да се разглеждат 3, 4, 5 или в общия случай нвъзможността за събитие А- с всяко събитие.

Използвайки теоремите за събиране и умножение на вероятностите, получаваме сумата от продуктите на вероятностите за всяко от събитията на системата по условна вероятност разработки Аза всяко събитие в системата. Тоест вероятността от събитие Аможе да се изчисли по формулата

или като цяло

,

което се нарича формула за обща вероятност .

Формула за пълна вероятност: примери за решаване на проблеми

Пример 1Има три еднакви на вид урни: в първата има 2 бели топки и 3 черни, във втората - 4 бели и една черна, в третата - три бели топки. Някой произволно се приближава до една от урните и изважда една топка от нея. Възползвам се формула за обща вероятност, намерете вероятността топката да е бяла.

Решение. Събитие А- появата на бяла топка. Излагаме три хипотези:

Избрана първа урна;

Избира се втората урна;

Третата урна е избрана.

Вероятности за условни събития Аза всяка от хипотезите:

, , .

Прилагаме формулата за обща вероятност, като резултат - необходимата вероятност:

.

Пример 2В първия завод от всеки 100 електрически крушки се произвеждат средно 90 стандартни, във втория - 95, в третия - 85, като продуктите на тези заводи са 50%, 30% и 20%, съответно на всички електрически крушки, доставени на магазините в определен район. Намерете вероятността да закупите стандартна електрическа крушка.

Решение. Нека обозначим вероятността за придобиване на стандартна електрическа крушка като А, и събитията, че закупената електрическа крушка е произведена съответно в първи, втори и трети завод до . По условие са известни вероятностите за тези събития: , , и условните вероятности за събитието Апо отношение на всеки от тях: , , . Това са вероятностите за придобиване на стандартна електрическа крушка, при условие че е произведена съответно в първия, втория и третия завод.

Събитие Аще се случи, ако се случи събитие или К- крушката е произведена в първия завод и е стандартна, или събитие Л- крушката е направена във втория завод и е стандартна или събитие М- крушката е произведена в третия завод и е стандартна. Други възможности за настъпване на събитието Ане. Следователно събитието Ае сумата от събития К, Ли Мкоито са несъвместими. Прилагайки теоремата за добавяне на вероятностите, представяме вероятността за събитие Акато

и чрез теоремата за умножение на вероятността получаваме

това е, специален случай на формулата за пълна вероятност.

Замествайки вероятностите в лявата част на формулата, получаваме вероятността за събитието А :

Пример 3Самолетът каца на летището. Ако времето позволява, пилотът приземява самолета, като използва освен прибори и визуално наблюдение. В този случай вероятността за успешно кацане е . Ако летището е облачно с ниска облачност, тогава пилотът приземява самолета, като се ориентира само по прибори. В този случай вероятността за успешно кацане е ; . Устройствата, които осигуряват сляпо кацане, имат надеждност (вероятност за безотказна работа) П. При наличие на ниска облачност и неуспешни инструменти за сляпо кацане, вероятността за успешно кацане е ; . Статистиката показва, че в к% от кацанията, летището е покрито с ниска облачност. намирам пълна вероятност за събитието А- безопасно кацане на самолета.

Решение. Хипотези:

Няма ниска облачност;

Има ниска облачност.

Вероятностите на тези хипотези (събития):

;

Условна вероятност.

Условната вероятност отново се намира по формулата за общата вероятност с хипотези

Устройствата за сляпо кацане работят;

Инструментите за сляпо кацане не успяха.

Вероятностите на тези хипотези са:

Според формулата за пълна вероятност

Пример 4Устройството може да работи в два режима: нормален и ненормален. Нормален режим се наблюдава в 80% от всички случаи на работа на устройството, а ненормален - в 20% от случаите. Вероятност за повреда на устройството за определено време Tравно на 0,1; в ненормалното 0,7. намирам пълна вероятностповреда на устройството във времето T.

Решение. Отново означаваме вероятността от повреда на устройството като А. И така, по отношение на работата на устройството във всеки режим (събития), вероятностите са известни по условие: за нормален режим е 80% (), за ненормален режим - 20% (). Вероятност на събитието А(т.е. повреда на устройството) в зависимост от първото събитие (нормален режим) е 0,1 (); в зависимост от второто събитие (ненормален режим) - 0,7 ( ). Ние заместваме тези стойности във формулата за обща вероятност (т.е. сумата от продуктите на вероятността на всяко от събитията на системата и условната вероятност на събитието Аотносно всяко от събитията на системата) и имаме търсения резултат.