Dva nezavisna događaja. Zavisni i nezavisni događaji. Uslovna verovatnoća. Predavanje beleži osnovne koncepte teorije verovatnoće i statistike koje se koriste u ekonometriji

U USE zadacima iz matematike postoje i složeniji zadaci vjerovatnoće (nego što smo razmatrali u prvom dijelu), gdje morate primijeniti pravilo sabiranja, množenja vjerovatnoća i razlikovati zajedničke i nekompatibilne događaje.

Dakle, teorija.

Zajednički i ne-zajednički događaji

Za događaje se kaže da su nespojivi ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih. Odnosno, može se dogoditi samo jedan određeni događaj, ili drugi.

Na primjer, bacanjem kocke možete razlikovati događaje kao što je paran broj bodova i neparan broj bodova. Ovi događaji su nekompatibilni.

Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog.

Na primjer, kada bacate kocku, možete razlikovati događaje kao što je pojavljivanje neparnog broja bodova i gubitak broja bodova koji je višestruki od tri. Kada se bacaju tri, oba događaja se realizuju.

Zbir događaja

Zbir (ili unija) nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja.

Gde zbir dva nepovezana događaja je zbir vjerovatnoća ovih događaja:

Na primjer, vjerovatnoća da dobijete 5 ili 6 kockice na jednom bacanju, bit će zato što su oba događaja (peto bacanje, bacanje 6) nekompatibilna i vjerovatnoća da će se jedan ili drugi događaj desiti se izračunava na sljedeći način:

Verovatnoća zbir dva zajednička događaja jednak je zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez uzimanja u obzir njihove zajedničke pojave:

Na primjer, u trgovačkom centru dva identična automata prodaju kafu. Vjerovatnoća da će aparat ostati bez kafe do kraja dana je 0,3. Vjerovatnoća da će obje mašine ostati bez kafe je 0,12. Nađimo vjerovatnoću da će do kraja dana kafa završiti u barem jednoj od mašina (odnosno, ili u jednoj, ili u drugoj, ili u obje odjednom).

Vjerovatnoća prvog događaja "kafa će završiti u prvoj mašini" kao i vjerovatnoća drugog događaja "kafa će završiti u drugoj mašini" prema uslovu jednaka je 0,3. Događaji su kolaborativni.

Vjerovatnoća zajedničke realizacije prva dva događaja jednaka je 0,12 prema uslovu.

To znači da je vjerovatnoća da će do kraja dana kafa nestati u barem jednoj od mašina

Zavisni i nezavisni događaji

Dva slučajna događaja A i B nazivaju se nezavisnim ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću da se drugi dogodi. Inače, događaji A i B se nazivaju zavisni.

Na primjer, kada bacate dvije kocke u isto vrijeme, pad na jednu od njih, recimo 1, a na drugu 5, - nezavisnih događaja.

Proizvod vjerovatnoća

Proizvod (ili presek) nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničkog nastupa svih ovih događaja.

Ako postoje dva nezavisnih događaja A i B sa verovatnoćama P(A) i P(B), respektivno, tada je verovatnoća realizacije događaja A i B istovremeno jednaka proizvodu verovatnoća:

Na primjer, zanima nas gubitak šestice na kocki dva puta zaredom. Oba događaja su nezavisna i vjerovatnoća da se svaki od njih dogodi zasebno je . Vjerovatnoća da će se oba ova događaja dogoditi će se izračunati korištenjem gornje formule: .

Pogledajte izbor zadataka za razradu teme.

Događaji A, B, C... se nazivaju zavisan jedni od drugih ako vjerovatnoća pojave barem jednog od njih varira u zavisnosti od pojave ili nenastupanja drugih događaja. Događaji se zovu nezavisni ako vjerovatnoće pojave svakog od njih ne zavise od pojave ili nepojave ostalih.

Uslovna verovatnoća(RA (B)-uslovna vjerovatnoća događaja B u odnosu na A) je vjerovatnoća događaja B, izračunata pod pretpostavkom da se događaj A već dogodio. primjer uslovne vjerovatnoće Uslovna vjerovatnoća događaja B, pod uslovom da se događaj A već dogodio, po definiciji je jednaka RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

Množenjem vjerovatnoća zavisnih događaja: vjerovatnoća zajedničkog nastupa dva događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoće jednog od njih sa uslovnom vjerovatnoćom drugog, izračunatom pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

Primjer. Kolektor ima 3 konusna i 7 eliptičnih valjaka. Sakupljač je uzeo jedan valjak, pa drugi. Nađite vjerovatnoću da je prvi od uzetih valjaka koničan, a drugi eliptičan.

Odluka: Vjerovatnoća da će prvi valjak biti koničan (događaj A), P (A) = 3 / 10. Vjerovatnoća da će drugi valjak biti eliptičan (događaj B), izračunata pod pretpostavkom da je prvi valjak koničan, tj. vjerovatnoća RA (B) = 7 / 9.
Prema formuli množenja, željena vjerovatnoća P (AB) = P (A) RA (B) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30. Imajte na umu da, držeći notaciju, mi može lako pronaći: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30

Uslov nezavisnosti događaja. Množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja. Primjeri.

Događaj B je nezavisan od događaja A ako

P(B/A) = P(B) tj. Vjerovatnoća događaja B ne ovisi o tome da li se događaj A dogodio ili ne.

U ovom slučaju, događaj A ne zavisi od događaja B, odnosno svojstvo nezavisnosti događaja je obostrano.

Verovatnoća proizvoda dva nezavisna događaja jednaka je proizvodu njihovih verovatnoća:

P(AB) = P(A)P(B) .

Primjer 1: Uređaj koji radi u vremenu t sastoji se od tri čvora, od kojih svaki, nezavisno od drugih, može pokvariti (biti van funkcije) tokom vremena t. Otkazivanje barem jednog čvora dovodi do kvara uređaja u cjelini. Za vrijeme t, pouzdanost (vjerovatnoća rada bez otkaza) prvog čvora je jednaka p 1 = 0,8; drugi p 2 = 0,9 treći p 3 = 0,7. Pronađite pouzdanost uređaja u cjelini.

Odluka. označavajući:

A - nesmetan rad uređaja,

A 1 - rad bez greške prvog čvora,

A 2 - rad drugog čvora bez problema,

A 3 - rad trećeg čvora bez problema,

odakle teoremom množenja za nezavisne događaje

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Primjer 2. Odredite vjerovatnoću da se cifra pojavi zajedno u jednom bacanju dva novčića.

Odluka. Vjerovatnoća pojavljivanja cifre prvog novčića (događaj A) R(A) = 1/2; vjerovatnoća pojave cifre drugog novčića (događaj B) je P(B) = 1/2.

Događaji A i B su nezavisni, tako da nalazimo željenu vjerovatnoću

prema formuli:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

Dosljednost i nedosljednost događaja. Sabiranje vjerovatnoće dva zajednička događaja. Primjeri.

Dva događaja se zovu joint ako pojava jednog od njih ne utiče ili ne isključuje pojavu drugog. Zajednički događaji se mogu realizovati istovremeno, kao što je pojavljivanje bilo kojeg broja na istoj kocki

ni na koji način ne utiče na pojavu brojeva na drugoj kosti. Događaji su nedosljedni, ako se u jednoj pojavi ili u jednom testu ne mogu realizovati istovremeno i pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog (pogoditi metu i promašiti su nespojive).

Vjerovatnoća pojave barem jednog od dva zajednička događaja A ili B jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez vjerovatnoće njihovog zajedničkog nastupa:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Primjer. Vjerovatnoća da pogodi metu za prvog sportistu je 0,85, a za drugog - 0,8. Sportisti samostalno

ispalio jedan hitac. Pronađite vjerovatnoću da barem jedan sportista pogodi metu?

Odluka. Uvedemo oznaku: događaji A - "pogodan prvog sportiste", B - "pogodan drugog sportiste", C - "pogodan najmanje jednog od sportista". Očigledno, A + B = C, a događaji A i B su kompatibilni. U skladu sa formulom dobijamo:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

jer su A i B nezavisni događaji. Zamjenom ovih vrijednosti P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 u formulu za P(C), nalazimo željenu vjerovatnoću

P (C) = (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Teorema sabiranja vjerovatnoća suprotnih događaja

Nasuprot navedite dva nekompatibilna događaja koji čine kompletnu grupu. Ako je jedan od dva suprotna događaja označen sa I, drugi se obično označava . Događaj nasuprot sastoji se u nenastupanju događaja I.

Teorema. Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan:

P(A)+P()= 1.

Primjer 4 Kutija sadrži 11 dijelova, od kojih je 8 standardnih. Pronađite vjerovatnoću da među 3 nasumično izvađena dijela postoji barem jedan neispravan.

Odluka. Problem se može riješiti na dva načina.

1 način. Događaji „među izvađenim delovima postoji najmanje jedan defektan deo“ i „među izvađenim delovima nema ni jednog defektnog dela“ su suprotni. Označimo prvi događaj kao I, i drugi kroz :

P(A) =1 - P( ) .

Hajde da nađemo R(). Ukupan broj načina na koje se 3 dijela mogu izdvojiti iz 11 dijelova jednak je broju kombinacija
. Broj standardnih dijelova je 8 ; od ovog broja delova
načini za izdvajanje 3 standardna dijela. Dakle, vjerovatnoća da među izvađena 3 dijela nema nestandardnih dijelova jednaka je:

Prema teoremi sabiranja vjerovatnoća suprotnih događaja, željena vjerovatnoća je jednaka: P(A)=1 - P()=

2 way. Događaj I- "među izvađenim delovima postoji najmanje jedan neispravan" - može se realizovati kao izgled:

ili događaje AT- "uklonjen 1 neispravan i 2 neispravna dijela",

ili događaje With- "uklonjena 2 neispravna i 1 neispravan dio",

ili događaje D - "3 neispravna dijela uklonjena".

Onda A= B+ C+ D. Od događaja B, C i D nekompatibilno, onda možemo primijeniti teoremu sabiranja za vjerovatnoće nekompatibilnih događaja:

4. Teorema množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja

Proizvod dva događajaI iAT pozovite događaj C=AB, koji se sastoji u zajedničkom pojavljivanju (kombinaciji) ovih događaja.

Proizvod nekoliko događaja nazovite događaj koji se sastoji od zajedničkog nastupa svih ovih događaja. Na primjer, događaj ABC je kombinacija događaja A, B i With.

Pozivaju se dva događaja nezavisni ako vjerovatnoća jednog od njih ne zavisi od pojave ili nenastupanja drugog.

Teorema. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa dva nezavisna događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

P(AB)=P(A) P(B).

Posljedica. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa više događaja koji su u zbiru neovisni jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja :

P(A 1 I 2 ... I n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A n ).

Primjer 5 Nađite vjerovatnoću da se grb pojavi zajedno u jednom bacanju dva novčića.

Odluka. Označimo događaje: I - izgled grba na prvom novcu, AT - izgled grba na drugom novcu, With- izgled grba na dva novčića C=AB.

Vjerojatnost pojave grba prvog novčića :

P(A) =.

Vjerovatnoća pojave grba drugog novčića :

P(B) =.

Od događaja I i AT nezavisno, tada je željena vjerovatnoća prema teoremi množenja jednaka:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

Primjer 6 Postoje 3 kutije koje sadrže 10 dijelova. Prva ladica sadrži 8, druga ladica 7 i treća ladica 9 standardnih dijelova. Iz svake kutije nasumično se izvlači po jedna stavka. Pronađite vjerovatnoću da su sva tri izvađena dijela standardna.

Odluka. Vjerovatnoća da je standardni dio uzet iz prve kutije (događaj I):

P(A) =

Vjerovatnoća da je standardni dio uzet iz drugog okvira (događaj AT):

Vjerovatnoća da je standardni dio uzet iz trećeg polja (događaj With):

P(C)=

Od događaja A, B i With nezavisno u agregatu, tada je željena vjerovatnoća (prema teoremi množenja) jednaka:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Primjer 7 Vjerovatnoće pojave svakog od dva nezavisna događaja I 1 i I 2 odnosno jednaki R 1 i R 2. Naći vjerovatnoću pojave samo jednog od ovih događaja.

Odluka. Hajde da uvedemo notaciju događaja:

AT 1 – pojavio se samo događaj I 1 ; AT 2 – pojavio se samo događaj I 2 .

Pojava događaja AT 1 je ekvivalentno nastanku događaja I 1 2 (prvi događaj se pojavio, a drugi se nije pojavio), tj. AT 1 = A 1 2 .

Pojava događaja AT 2 je ekvivalentno nastanku događaja 1 I 2 (prvi događaj se nije pojavio, a pojavio se drugi), tj. AT 1 = 1 I 2 .

Dakle, pronaći vjerovatnoću pojave samo jednog od događaja I 1 ili I 2 , dovoljno je pronaći vjerovatnoću pojave jednog, bez obzira koji od događaja AT 1 i AT 2 . Razvoj AT 1 i AT 2 su nedosljedni, stoga je primjenjiva teorema sabiranja nespojivih događaja:

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća.
Zavisni i nezavisni događaji

Naslov izgleda zastrašujuće, ali je zapravo vrlo jednostavan. U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa teoremama sabiranja i množenja verovatnoća događaja, kao i analizirati tipične zadatke koji, uz zadatak za klasičnu definiciju vjerovatnoće sigurno ćete se sresti ili, što je vjerovatnije, već sreli na svom putu. Da biste efikasno proučavali materijale ovog članka, morate znati i razumjeti osnovne pojmove teorija vjerovatnoće i biti u stanju da izvodi jednostavne aritmetičke operacije. Kao što vidite, potrebno je vrlo malo, pa je stoga masni plus u aktivi gotovo zagarantovan. Ali s druge strane, opet upozoravam na površan odnos prema praktičnim primjerima - ima i dovoljno suptilnosti. Sretno:

Teorema sabiranja za vjerovatnoće nekompatibilnih događaja: vjerovatnoća pojave jednog od dva nekompatibilno događaji ili (bez obzira na sve), jednak je zbiru vjerovatnoća ovih događaja:

Slična činjenica vrijedi i za veći broj nekompatibilnih događaja, na primjer za tri nekompatibilna događaja i :

Teorema snova =) Međutim, takav san je također podložan dokazu, koji se može naći, na primjer, u studijski vodič V.E. Gmurman.

Upoznajmo se sa novim, do sada neviđenim konceptima:

Zavisni i nezavisni događaji

Počnimo sa nezavisnim događajima. Događaji su nezavisni ako je vjerovatnoća pojave bilo koji od njih ne zavisi od pojave/nepojavljivanja drugih događaja razmatranog skupa (u svim mogućim kombinacijama). ... Ali šta ima da se melje uobičajene fraze:

Teorema množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja: vjerovatnoća zajedničkog nastupa nezavisnih događaja i jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

Vratimo se na najjednostavniji primjer prve lekcije, u kojoj se bacaju dva novčića i sljedeći događaji:

- glave će pasti na 1. novčić;
- Glave na 2. novčiću.

Nađimo vjerovatnoću događaja (glave će se pojaviti na 1. novčiću i Orao će se pojaviti na 2. novčiću - zapamtite kako da čitate proizvod događaja!) . Vjerojatnost da dobijete jedan novčić ne ovisi o rezultatu bacanja drugog novčića, stoga su događaji i nezavisni.

Slično:
je vjerovatnoća da će 1. novčić sletjeti glavom i na 2. repu;
je vjerovatnoća da se glave pojave na 1. novčiću i na 2. repu;
je vjerovatnoća da će prvi novčić pasti na rep i na 2. orlu.

Imajte na umu da se događaji formiraju puna grupa a zbir njihovih vjerovatnoća jednak je jedan: .

Teorema množenja očito se proteže na veći broj nezavisnih događaja, pa, na primjer, ako su događaji nezavisni, onda je vjerovatnoća njihovog zajedničkog nastupa: . Vježbajmo na konkretnim primjerima:

Zadatak 3

Svaka od tri kutije sadrži 10 dijelova. U prvoj kutiji je 8 standardnih dijelova, u drugoj - 7, u trećoj - 9. Iz svake kutije se nasumično uklanja jedan dio. Pronađite vjerovatnoću da su svi dijelovi standardni.

Odluka: vjerovatnoća izdvajanja standardnog ili nestandardnog dijela iz bilo koje kutije ne ovisi o tome koji će dijelovi biti izvučeni iz drugih kutija, tako da je problem u nezavisnim događajima. Razmotrite sljedeće nezavisne događaje:

– standardni dio se uklanja iz 1. kutije;
– standardni dio se uklanja iz 2. kutije;
– Standardni dio je uklonjen iz 3. ladice.

Prema klasičnoj definiciji:
su odgovarajuće vjerovatnoće.

Događaj koji nas zanima (Standardni dio će biti uzet iz 1. ladice i iz 2. standarda i iz 3. standarda) se izražava proizvodom.

Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

je vjerovatnoća da će jedan standardni dio biti izvučen iz tri kutije.

Odgovori: 0,504

Nakon okrepljujućih vježbi s kutijama, očekuju nas ništa manje zanimljive urne:

Zadatak 4

Tri urne sadrže 6 bijelih i 4 crne kuglice. Iz svake urne nasumično se izvlači jedna loptica. Odrediti vjerovatnoću da: a) sve tri lopte budu bijele; b) sve tri lopte će biti iste boje.

Na osnovu dobijenih informacija, pogodite kako da se nosite sa stavkom „biti“ ;-) Okvirno rešenje za primer je dizajnirano u akademskom stilu sa detaljnim opisom svih događaja.

Zavisni događaji. Događaj se zove zavisan ako je njegova vjerovatnoća zavisi od jednog ili više događaja koji su se već desili. Za primjere ne morate ići daleko - samo idite do najbliže trgovine:

- Sutra u 19.00 svež hleb će biti u prodaji.

Vjerovatnoća ovog događaja ovisi o mnogim drugim događajima: da li će svježi kruh biti isporučen sutra, da li će biti rasprodat prije 19 sati ili ne, itd. Ovisno o različitim okolnostima, ovaj događaj može biti pouzdan i nemoguć. Dakle, događaj je zavisan.

Hleb ... i, kako su Rimljani zahtevali, cirkusi:

- na ispitu student dobija običnu kartu.

Ako ne idete prvi, onda će događaj biti ovisan, jer će njegova vjerovatnoća ovisiti o tome koje su karte već izvukli drugovi iz razreda.

Kako odrediti zavisnost/nezavisnost događaja?

Ponekad je to direktno navedeno u stanju problema, ali najčešće morate provesti nezavisnu analizu. Ovdje nema jednoznačne smjernice, a činjenica ovisnosti ili nezavisnosti događaja proizlazi iz prirodno logičkog zaključivanja.

Da ne bacim sve na jednu gomilu, zadaci za zavisne događaje Istaknut ću sljedeću lekciju, ali za sada ćemo razmotriti najčešći niz teorema u praksi:

Problemi o teoremama sabiranja za nekonzistentne vjerovatnoće
i množenje vjerovatnoće nezavisnih događaja

Ovaj tandem, prema mojoj subjektivnoj procjeni, radi u oko 80% zadataka na temu koja se razmatra. Hit hitova i pravi klasik teorije vjerovatnoće:

Zadatak 5

Dva strijelca su ispalila po jedan hitac u metu. Verovatnoća pogodaka za prvog strelca je 0,8, za drugog - 0,6. Pronađite vjerovatnoću da:

a) samo jedan strijelac će pogoditi metu;
b) najmanje jedan od strijelaca će pogoditi metu.

Odluka: Verovatnoća pogodaka/promašaja jednog strelca je očigledno nezavisna od učinka drugog strelca.

Razmotrite događaje:
– 1. strijelac će pogoditi metu;
– Drugi strijelac će pogoditi metu.

Po uslovu: .

Nađimo vjerovatnoće suprotnih događaja - da će odgovarajuće strelice promašiti:

a) Razmotrite događaj: - samo jedan strijelac pogađa metu. Ovaj događaj se sastoji od dva nespojiva ishoda:

Prvi strijelac će pogoditi i 2nd promašaji
ili
1. će propustiti i 2. će pogoditi.

Na jeziku algebre događaja ova činjenica se može napisati kao:

Prvo koristimo teoremu o sabiranju vjerovatnoća nekompatibilnih događaja, zatim - teoremu množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

je vjerovatnoća da će biti samo jedan pogodak.

b) Uzmite u obzir događaj: - najmanje jedan od strijelaca će pogoditi metu.

Prije svega, RAZMISLIMO - šta znači uslov "BAR JEDAN"? U ovom slučaju, to znači da će ili prvi strijelac pogoditi (drugi će promašiti) ili 2. (1. promašaji) ili obje strelice odjednom - ukupno 3 nekompatibilna ishoda.

Prvi metod: s obzirom na pripremljenu vjerovatnoću prethodne stavke, prikladno je događaj predstaviti kao zbir sljedećih disjunktnih događaja:

jedan će dobiti (događaj koji se sastoji od 2 nekompatibilna ishoda) ili
Ako obje strelice pogode, ovaj događaj označavamo slovom .

ovako:

Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
je vjerovatnoća da će prvi strijelac pogoditi i Drugi strijelac će pogoditi.

Prema teoremi sabiranja vjerovatnoća nespojivih događaja:
je vjerovatnoća najmanje jednog pogotka u metu.

Metod dva: razmotrite suprotan događaj: – oba strijelca će promašiti.

Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

Kao rezultat:

Posebna pažnja obratite pažnju na drugu metodu - u opštem slučaju je racionalnija.

Osim toga, postoji i alternativni, treći način rješavanja, zasnovan na teoremi sabiranja zajedničkih događaja, o kojoj je gore šutjelo.

! Ako prvi put čitate materijal, onda je bolje da preskočite sljedeći pasus kako biste izbjegli zabunu.

Treći metod : događaji su zajednički, što znači da njihov zbir izražava događaj „barem jedan strijelac pogodi metu“ (vidi sl. algebra događaja). By teorema sabiranja vjerovatnoća zajedničkih događaja i teorema množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

Provjerimo: događaji i (0, 1 i 2 pogotka respektivno) formiraju kompletnu grupu, tako da zbir njihovih vjerovatnoća mora biti jednak jedan:
, što je trebalo provjeriti.

Odgovori:

Uz temeljno proučavanje teorije vjerovatnoće, naići ćete na desetine zadataka militarističkog sadržaja i, što je tipično, nakon toga nećete htjeti nikoga upucati - zadaci su gotovo poklon. Zašto ne učiniti šablon još jednostavnijim? Skratimo unos:

Odluka: prema uslovu: , je vjerovatnoća pogađanja odgovarajućih strijelaca. Tada su njihove vjerovatnoće promašaja:

a) Prema teoremama sabiranja vjerovatnoća nespojivosti i množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
je vjerovatnoća da će samo jedan strijelac pogoditi metu.

b) Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
je vjerovatnoća da će oba strijelca promašiti.

Zatim: je vjerovatnoća da će barem jedan od strijelaca pogoditi metu.

Odgovori:

U praksi možete koristiti bilo koju opciju dizajna. Naravno, mnogo češće idu kratkim putem, ali ne treba zaboraviti 1. metod - iako je duži, smisleniji je - u njemu je jasniji, šta, zašto i zašto sabira i množi. U nekim slučajevima je prikladan hibridni stil, kada je zgodno naznačiti samo neke događaje velikim slovima.

Slični zadaci za samostalno rješavanje:

Zadatak 6

Za dojavu požara instalirana su dva nezavisno radna senzora. Vjerovatnoće da će senzor raditi tokom požara su 0,5 odnosno 0,7 za prvi i drugi senzor. Pronađite vjerovatnoću da u požaru:

a) oba senzora će otkazati;
b) oba senzora će raditi.
c) korišćenje teorema sabiranja za vjerovatnoće događaja koji formiraju kompletnu grupu, pronađite vjerovatnoću da će samo jedan senzor raditi tokom požara. Provjerite rezultat direktnim izračunavanjem ove vjerovatnoće (koristeći teoreme sabiranja i množenja).

Ovdje je neovisnost rada uređaja direktno navedena u stanju, što je, inače, važno pojašnjenje. Primjer rješenja je dizajniran u akademskom stilu.

Šta ako se u sličnom zadatku daju iste vjerovatnoće, na primjer, 0,9 i 0,9? Morate odlučiti potpuno isto! (što je, zapravo, već pokazano u primjeru sa dva novčića)

Zadatak 7

Vjerovatnoća da prvi strijelac pogodi metu jednim hicem je 0,8. Vjerovatnoća da meta nije pogođena nakon što prvi i drugi strijelac ispucaju jedan hitac je 0,08. Kolika je vjerovatnoća da će drugi strijelac pogoditi metu jednim udarcem?

A ovo je mala slagalica koja je uokvirena na kratak način. Uslov se može konciznije preformulisati, ali neću prepravljati original - u praksi moram da se udubim u kitnjastije izmišljotine.

Upoznajte ga - on je taj koji vam je izrezao neizmjerenu količinu detalja =):

Zadatak 8

Radnik upravlja sa tri mašine. Vjerovatnoća da će tokom smjene prva mašina zahtijevati podešavanje je 0,3, druga - 0,75, treća - 0,4. Pronađite vjerovatnoću da će tokom smjene:

a) sve mašine će zahtevati podešavanje;
b) samo jedna mašina će zahtevati podešavanje;
c) najmanje jedna mašina će zahtijevati podešavanje.

Odluka: budući da uvjet ne govori ništa o jednom tehnološkom procesu, onda rad svake mašine treba smatrati nezavisnim od rada drugih mašina.

Po analogiji sa zadatkom br. 5, ovdje možete ući u razmatranje događaja koji se sastoje u tome da će odgovarajuće mašine zahtijevati podešavanje tokom smjene, zapisati vjerovatnoće, pronaći vjerovatnoće suprotnih događaja itd. Ali s tri objekta, ne želim baš tako sastaviti zadatak - ispast će dugo i zamorno. Stoga je primjetno isplativije koristiti "brzi" stil ovdje:

Po uslovu: - vjerovatnoća da će tokom smjene odgovarajuće mašine zahtijevati podešavanje. Tada su vjerovatnoće da neće zahtijevati pažnju:

Jedan od čitalaca je pronašao kul grešku u kucanju, neću je ni ispravljati =)

a) Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
je vjerovatnoća da će tokom smjene sve tri mašine zahtijevati podešavanje.

b) Događaj "Tokom smjene samo jedna mašina će zahtijevati podešavanje" sastoji se od tri nekompatibilna ishoda:

1) 1. mašina će zahtijevati pažnju i 2nd machine neće zahtijevati i 3rd machine neće zahtijevati
ili:
2) 1. mašina neće zahtijevati pažnju i 2nd machine će zahtijevati i 3rd machine neće zahtijevati
ili:
3) 1. mašina neće zahtijevati pažnju i 2nd machine neće zahtijevati i 3rd machine će zahtijevati.

Prema teoremama sabiranja vjerovatnoća nespojivosti i množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

- vjerovatnoća da će tokom smjene samo jedna mašina zahtijevati podešavanje.

Mislim da bi vam do sada trebalo biti jasno odakle dolazi taj izraz

c) Izračunajte vjerovatnoću da mašine neće zahtijevati podešavanje, a zatim vjerovatnoću suprotnog događaja:
– činjenica da će barem jedna mašina zahtijevati podešavanje.

Odgovori:

Stavka "ve" se takođe može rešiti kroz zbir, gde je verovatnoća da će u toku smene samo dve mašine zahtevati podešavanje. Ovaj događaj, zauzvrat, uključuje 3 nekompatibilna ishoda, koji su potpisani po analogiji sa stavkom "biti". Pokušajte sami pronaći vjerovatnoću da provjerite cijeli problem uz pomoć jednakosti.

Zadatak 9

Tri topa su ispalila rafal na metu. Vjerovatnoća pogađanja jednim udarcem samo iz prve puške je 0,7, iz druge - 0,6, iz treće - 0,8. Odrediti vjerovatnoću da: 1) najmanje jedan projektil pogodi metu; 2) samo dva projektila će pogoditi metu; 3) cilj će biti pogođen najmanje dva puta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I opet o slučajnostima: u slučaju da se, prema uvjetu, poklapaju dvije ili čak sve vrijednosti početnih vjerojatnosti (na primjer, 0,7; 0,7 i 0,7), tada treba slijediti potpuno isti algoritam rješenja.

U zaključku članka analizirat ćemo još jednu uobičajenu zagonetku:

Zadatak 10

Strijelac sa svakim udarcem pogađa metu sa istom vjerovatnoćom. Kolika je ovo vjerovatnoća ako je vjerovatnoća najmanje jednog pogotka u tri hica 0,973.

Odluka: označiti sa - vjerovatnoća da ćete pogoditi metu svakim udarcem.
i kroz - verovatnoća promašaja sa svakim udarcem.

Zapišimo događaje:
- sa 3 hica, strijelac će pogoditi metu najmanje jednom;
- strijelac će promašiti 3 puta.

Prema uslovu, onda je vjerovatnoća suprotnog događaja:

S druge strane, prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

ovako:

- vjerovatnoća promašaja sa svakim udarcem.

Kao rezultat:
je vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki hitac.

Odgovori: 0,7

Jednostavno i elegantno.

U razmatranom problemu mogu se postaviti dodatna pitanja o vjerovatnoći samo jednog pogotka, samo dva pogotka i vjerovatnoći tri pogotka u metu. Shema rješenja bit će potpuno ista kao u prethodna dva primjera:

Međutim, fundamentalna suštinska razlika je u tome što postoje ponovljeni nezavisni testovi, koji se izvode uzastopno, nezavisno jedan od drugog i sa istom verovatnoćom ishoda.

Opšta izjava problema: vjerovatnoće nekih događaja su poznate, ali je potrebno izračunati vjerovatnoće drugih događaja koji su povezani s tim događajima. U ovim problemima postoji potreba za takvim operacijama nad vjerovatnoćama kao što su sabiranje i množenje vjerovatnoća.

Na primjer, dva hica su ispaljena tokom lova. Događaj A- pogoditi patku iz prvog udarca, događaj B- pogodio iz drugog udarca. Zatim zbir događaja A i B- pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica.

Zadaci drugačijeg tipa. Dato je nekoliko događaja, na primjer, novčić se baca tri puta. Potrebno je pronaći vjerovatnoću da će ili sva tri puta ispasti grb, ili da će grb ispasti barem jednom. Ovo je problem množenja.

Sabiranje vjerovatnoća nespojivih događaja

Sabiranje vjerovatnoće se koristi kada je potrebno izračunati vjerovatnoću kombinacije ili logički zbir slučajnih događaja.

Zbir događaja A i B odrediti A + B ili A ∪ B. Zbir dva događaja je događaj koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B- događaj koji se dešava ako i samo ako se događaj dogodi tokom posmatranja A ili događaj B, ili istovremeno A i B.

Ako događaji A i B su međusobno nedosljedni i njihove vjerovatnoće su date, onda se vjerovatnoća da će se jedan od ovih događaja dogoditi kao rezultat jednog pokušaja izračunava sabiranjem vjerovatnoća.

Teorema sabiranja vjerovatnoća. Vjerovatnoća da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća ovih događaja:

Na primjer, dva hica su ispaljena tokom lova. Događaj I– pogađanje patke iz prvog hica, događaj AT– pogodak iz drugog hica, događaj ( I+ AT) - pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica. Dakle, ako dva događaja I i AT onda su nekompatibilni događaji I+ AT- pojava najmanje jednog od ovih događaja ili dva događaja.

Primjer 1 Kutija sadrži 30 loptica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerovatnoću da se obojena (ne bijela) lopta uzme bez gledanja.

Odluka. Pretpostavimo da je događaj I– „crvena lopta je uzeta“, i događaj AT- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj „uzima se obojena (ne bijela) lopta“. Pronađite vjerovatnoću događaja I:

i događaje AT:

Razvoj I i AT- međusobno nekompatibilni, jer ako se uzme jedna lopta, ne mogu se uzeti loptice različitih boja. Stoga koristimo sabiranje vjerovatnoća:

Teorema sabiranja vjerovatnoća za nekoliko nekompatibilnih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, onda je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1:

Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja je također jednak 1:

Suprotni događaji čine kompletan skup događaja, a vjerovatnoća kompletnog skupa događaja je 1.

Vjerovatnoće suprotnih događaja obično se označavaju malim slovima. str i q. posebno,

iz čega slijede sljedeće formule za vjerovatnoću suprotnih događaja:

Primjer 2 Meta na ploči je podijeljena u 3 zone. Verovatnoća da će određeni strelac gađati metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni - 0,23, u trećoj zoni - 0,17. Pronađite vjerovatnoću da strijelac pogodi metu i vjerovatnoću da strijelac promaši metu.

Rješenje: Pronađite vjerovatnoću da će strijelac pogoditi metu:

Pronađite vjerovatnoću da strijelac promaši metu:

Teži zadaci u kojima je potrebno primijeniti i sabiranje i množenje vjerovatnoća - na stranici "Razni zadaci za sabiranje i množenje vjerovatnoća" .

Sabiranje vjerovatnoća zajedničkih događaja

Za dva slučajna događaja se kaže da su zajednička ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom opažanju. Na primjer, kada se baca kocka, događaj I se smatra pojavljivanjem broja 4 i događajem AT- ispuštanje paran broj. Pošto je broj 4 paran broj, ova dva događaja su kompatibilna. U praksi postoje zadaci za izračunavanje vjerovatnoće nastanka jednog od zajedničkih događaja.

Teorema sabiranja vjerovatnoća za zajedničke događaje. Vjerovatnoća da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja, od čega se oduzima vjerovatnoća zajedničkog nastupa oba događaja, odnosno proizvod vjerovatnoća. Formula za vjerovatnoću zajedničkih događaja je sljedeća:

Jer događaji I i AT kompatibilan, događaj I+ AT se dešava ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremi sabiranja nespojivih događaja računamo na sljedeći način:

Događaj I se dešava ako se dogodi jedan od dva nekompatibilna događaja: ili AB. Međutim, vjerovatnoća pojave jednog događaja iz više nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća svih ovih događaja:

Slično:

Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobijamo formulu vjerovatnoće za zajedničke događaje:

Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji I i AT možda:

međusobno nezavisni;
međusobno zavisne.

Formula vjerovatnoće za međusobno nezavisne događaje:

Formula vjerovatnoće za međusobno zavisne događaje:

Ako događaji I i AT su nedosljedni, onda je njihova podudarnost nemoguć slučaj i, stoga, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerovatnoće za nekompatibilne događaje je sljedeća:

Primjer 3 U auto trkama, kada vozite u prvom automobilu, vjerovatnoća pobjede, kada vozite u drugom automobilu. Pronađite:

vjerovatnoća da će oba automobila pobijediti;
vjerovatnoća da će barem jedan automobil pobijediti;

1) Vjerovatnoća da će prvi automobil pobijediti ne zavisi od rezultata drugog automobila, dakle od događaja I(prvi automobil pobjeđuje) i AT(pobjeda drugog auta) - nezavisni događaji. Pronađite vjerovatnoću da oba auta pobijede:

2) Pronađite vjerovatnoću da će jedan od dva automobila pobijediti:

Teži zadaci u kojima je potrebno primijeniti i sabiranje i množenje vjerovatnoća - na stranici "Razni zadaci za sabiranje i množenje vjerovatnoća" .

Sami riješite problem sabiranja vjerovatnoća, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novcu. Događaj B- gubitak grba na drugom novcu. Pronađite vjerovatnoću događaja C = A + B .

Množenje vjerovatnoće

Množenje vjerovatnoća se koristi kada treba izračunati vjerovatnoću logičkog proizvoda događaja.

U ovom slučaju, slučajni događaji moraju biti nezavisni. Za dva događaja se kaže da su međusobno nezavisna ako pojava jednog događaja ne utiče na verovatnoću pojave drugog događaja.

Teorema množenja vjerovatnoće za nezavisne događaje. Vjerovatnoća istovremene pojave dva nezavisna događaja I i AT jednak je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja i izračunava se po formuli:

Primjer 5 Novčić se baca tri puta za redom. Nađite vjerovatnoću da će grb sva tri puta ispasti.

Odluka. Vjerovatnoća da će grb pasti pri prvom bacanju novčića, drugi put i treći put. Pronađite vjerovatnoću da će grb ispasti sva tri puta:

Sami riješite probleme za množenje vjerovatnoća, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6 Tu je kutija sa devet novih teniskih loptica. Tri lopte se uzimaju za igru, nakon igre se vraćaju. Prilikom odabira lopti ne prave razliku između odigranih i neizigranih lopti. Kolika je vjerovatnoća da poslije tri utakmice da li u kutiji neće biti neodigranih lopti?

Primjer 7 32 slova ruske abecede ispisana su na isečenim karticama abecede. Pet karata se nasumično izvlače, jedna za drugom, i stavljaju na sto onim redom kojim se pojavljuju. Pronađite vjerovatnoću da će slova formirati riječ "kraj".

Primjer 8 Iz punog špila karata (52 lista) vade se četiri karte odjednom. Pronađite vjerovatnoću da su sve četiri ove karte iste boje.

Primjer 9 Isti problem kao u primjeru 8, ali svaka karta se vraća u špil nakon što je izvučena.

Složeniji zadaci, u kojima je potrebno primijeniti i sabiranje i množenje vjerovatnoća, kao i izračunati proizvod nekoliko događaja - na stranici "Razni zadaci za sabiranje i množenje vjerovatnoća" .

Vjerovatnoća da će se dogoditi barem jedan od međusobno nezavisnih događaja može se izračunati oduzimanjem proizvoda vjerovatnoća suprotnih događaja od 1, odnosno po formuli.