Događaji se nazivaju nezavisnim ako. Zavisni i nezavisni slučajni događaji. Formula ukupne vjerovatnoće

Zavisnost događaja se shvata u vjerovatnoća smislu, ne funkcionalno. To znači da po pojavi jednog od zavisni događaji nemoguće je nedvosmisleno suditi o izgledu drugog. Vjerovatna ovisnost znači da pojava jednog od zavisnih događaja samo mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Ako se vjerovatnoća ne promijeni, onda se događaji smatraju nezavisnim.

Definicija: Neka - proizvoljan prostor vjerovatnoće, - neki slučajni događaji. Kažu to događaj ALI ne zavisi od događaja AT , ako uslovna verovatnoća poklapa se sa bezuslovnom verovatnoćom:

.

Ako a , onda kažemo da je događaj ALI zavisno od događaja AT.

Koncept nezavisnosti je simetričan, odnosno ako je događaj ALI ne zavisi od događaja AT, zatim događaj AT ne zavisi od događaja ALI. Zaista, neka . Onda . Stoga jednostavno kažu da su događaji ALI i AT nezavisni.

Sljedeća simetrična definicija nezavisnosti događaja slijedi iz pravila množenja vjerovatnoća.

Definicija: Developments ALI i AT, definisani na istom prostoru vjerovatnoće se nazivaju nezavisni, ako

Ako a , zatim događaji ALI i AT pozvao zavisan.

Imajte na umu da ova definicija vrijedi i kada ili .

Svojstva nezavisnih događaja.

1. Ako događaji ALI i AT su nezavisni, tada su i sljedeći parovi događaja nezavisni: .

▲ Hajde da dokažemo, na primjer, nezavisnost događaja. Zamislite događaj ALI kao: . Pošto su događaji nekompatibilni, onda , i zbog nezavisnosti događaja ALI i AT mi to shvatamo. Dakle, što znači nezavisnost. ■

2. Ako je događaj ALI ne zavisi od događaja U 1 i U 2, koji su nekompatibilni () , taj događaj ALI ne zavisi od iznosa.

▲ Zaista, koristeći aksiom aditivnosti vjerovatnoće i nezavisnosti događaja ALI od događaja U 1 i U 2, imamo:

Odnos između pojmova nezavisnosti i nekompatibilnosti.

Neka ALI i AT- bilo koji događaj koji ima vjerovatnoću različitu od nule: , dakle . Ako događaji ALI i AT su nedosljedni (), i stoga se jednakost nikada ne može dogoditi. Na ovaj način, nekompatibilni događaji su zavisni.

Kada se istovremeno razmatra više od dva događaja, njihova parna nezavisnost ne karakteriše u dovoljnoj meri vezu između događaja cele grupe. U ovom slučaju se uvodi koncept nezavisnosti u zbiru.

Definicija: Pozivaju se događaji definisani na istom prostoru vjerovatnoće kolektivno nezavisni, ako postoji 2 £m £n i bilo koja kombinacija indeksa drži jednakost:

At m = 2 nezavisnost u zbiru implicira poparnu nezavisnost događaja. Obrnuto nije tačno.


Primjer. (Bernstein S.N.)

Nasumični eksperiment se sastoji u bacanju pravilnog tetraedra (tetraedra). Postoji lice koje je ispalo odozgo prema dolje. Lica tetraedra su obojena na sljedeći način: 1. lice - bijelo, 2. lice - crno,
3 lice - crveno, 4 lice - sadrži sve boje.

Razmotrite događaje:

ALI= (Otpuštanje bijele boje}; B= (Crno ispadanje);

C= (crveno ispadanje).

Onda ;

Dakle, događaji ALI, AT i OD su nezavisni u paru.

Kako god, .

Dakle, događaji ALI, AT i OD kolektivno nisu nezavisni.

U praksi se, po pravilu, nezavisnost događaja ne utvrđuje provjerom po definiciji, već obrnuto: događaji se smatraju neovisnim od bilo kakvih vanjskih razmatranja ili uzimajući u obzir okolnosti. nasumični eksperiment, i koristiti nezavisnost za pronalaženje vjerovatnoće nastanka događaja.

Teorema (množenja vjerovatnoća za nezavisne događaje).

Ako su događaji definisani na istom prostoru vjerovatnoće nezavisni u agregatu, tada je vjerovatnoća njihovog proizvoda jednaka proizvodu vjerovatnoća:

▲ Dokaz teoreme slijedi iz definicije nezavisnosti događaja u agregatu ili iz opšte teoreme množenja vjerovatnoće, uzimajući u obzir činjenicu da je u ovom slučaju

Primjer 1 (tipičan primjer za pronalaženje uslovnih vjerovatnoća, koncept nezavisnosti, teorema o dodavanju vjerovatnoće).

Električni krug se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerojatnosti kvara svakog od elemenata su respektivno jednake .

1) Pronađite vjerovatnoću kvara kola.

2) Poznato je da je kolo pokvarilo.

Kolika je vjerovatnoća da ne uspije:

a) 1. element; b) 3. element?

Rješenje. Uzmite u obzir događaje = (Neuspjelo k th element), i događaj ALI= (Šema nije uspjela). Onda događaj ALI je predstavljen u obliku:

.

1) Pošto događaji i nisu nekompatibilni, onda aksiom aditivnosti verovatnoće R3) nije primenljiv i za pronalaženje verovatnoće treba koristiti opštu teoremu sabiranja verovatnoće, prema kojoj

Neka je vjerovatnoća događaja AT ne zavisi od nastanka događaja ALI.

Definicija. Događaj AT pozvao nezavisno od događaja A ako je nastanak događaja ALI ne mijenja vjerovatnoću događaja AT, tj. ako je uslovna vjerovatnoća događaja AT jednaka je njegovoj bezuslovnoj vjerovatnoći:

R A(AT) = R(AT). (2.12)

Zamjenom (2.12) u relaciju (2.11) dobijamo

R(ALI)R(AT) = R(AT)R B(ALI).

R B(ALI) = R(ALI),

one. uslovna verovatnoća događaja ALI pod pretpostavkom da se dogodio događaj AT, jednaka je njegovoj bezuslovnoj vjerovatnoći. Drugim riječima, događaj ALI ne zavisi od događaja B.

Lema (o međusobnoj nezavisnosti događaja): ako događaj AT ne zavisi od događaja ALI, zatim događaj ALI ne zavisi od događaja AT; to znači da svojstvo nezavisnosti događaja međusobno.

Za nezavisne događaje, teorema množenja R(AB) = R(ALI) R A(AT) ima oblik

R(AB) = R(ALI) R(AT), (2.13)

one. vjerovatnoća zajedničkog nastupa dva nezavisna događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja.

Jednakost (2.13) se uzima kao definicija nezavisnih događaja. Kaže se da su dva događaja nezavisna ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog.

Definicija. Pozivaju se dva događaja nezavisni, ako je vjerovatnoća njihove kombinacije jednaka proizvodu vjerovatnoća ovih događaja; inače se događaji pozivaju zavisan.

U praksi se nezavisnost događaja zaključuje prema značenju problema. Na primjer, vjerovatnoće pogađanja mete sa svakim od dva pištolja ne zavise od toga da li je drugi top pogodio metu, tako da su događaji "prvi top pogodio metu" i "drugi top pogodio metu" nezavisni.

Primjer. Odredite vjerovatnoću da će metu pogoditi zajedno dva puška ako je vjerovatnoća da ćete metu pogoditi prvim pištoljem (događaj ALI) je jednako 0,8, a drugi (događaj AT) – 0,7.

Rješenje. Razvoj ALI i AT nezavisna, dakle, teoremom množenja, željena vjerovatnoća

R(AB) = R(ALI)R(AT) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Komentar 1. Ako događaji ALI i AT su nezavisni, onda su i događaji nezavisni. ALI i , i AT, i . stvarno,

shodno tome,

, ili .

, ili .

one. razvoj događaja ALI i AT nezavisni.

Nezavisnost događaja i AT, a posljedica je dokazane tvrdnje.

Koncept nezavisnosti može se proširiti na slučaj n događaji.

Definicija. Poziva se nekoliko događaja nezavisno u paru ako su svaka dva od njih nezavisna. Na primjer, događaji ALI, AT, OD nezavisni u paru ako su događaji nezavisni ALI i AT, ALI i OD, AT i OD.

Kako bismo teoremu množenja generalizirali na nekoliko događaja, uvodimo koncept nezavisnosti događaja u agregatu.

Definicija. Poziva se nekoliko događaja kolektivno nezavisni(ili jednostavno nezavisni) ako su svaka dva od njih nezavisna i svaki događaj i svi mogući proizvodi ostalih nezavisni. Na primjer, ako događaji ALI 1 , A 2 , ALI 3 su nezavisni u zbiru, onda su događaji nezavisni ALI 1 i A 2 , ALI 1 i ALI 3 , A 2 i ALI 3 ; ALI 1 i A 2 ALI 3 , A 2 i ALI 1 ALI 3 , ALI 3 i ALI 1 A 2. Iz rečenog proizilazi da ako su događaji u zbiru nezavisni, onda je uslovna vjerovatnoća pojave bilo kojeg događaja među njima, izračunata pod pretpostavkom da su se dogodili bilo koji drugi događaji između ostalih, jednaka svoju bezuslovnu vjerovatnoću.



Naglašavamo da ako je nekoliko događaja neovisno u parovima, onda iz toga još ne proizlazi njihova neovisnost u zbiru. U tom smislu, zahtjev za nezavisnošću događaja u agregatu je jači od zahtjeva za njihovom parnom nezavisnošću.

Objasnimo ono što je rečeno na primjeru. Pretpostavimo da se u urni nalaze 4 kuglice, obojene: jedna je crvena ( ALI), jedan - u plavoj boji ( AT), jedan - crni ( OD) i jedan - u sve ove tri boje ( ABC). Kolika je vjerovatnoća da je lopta izvučena iz urne crvena?

Pošto su dvije od četiri kuglice crvene, onda R(ALI) = 2/4 = 1/2. Slično argumentirajući, nalazimo R(AT) = 1/2, R(OD) = 1/2. Pretpostavimo sada da je uzeta lopta plava, tj. događaj AT već se dogodilo. Hoće li se promijeniti vjerovatnoća da je izvučena loptica crvena, tj. Hoće li se vjerovatnoća događaja promijeniti? ALI? Od dvije kuglice koje su plave, jedna je također crvena, tako da je vjerovatnoća događaja ALI je i dalje 1/2. Drugim riječima, uslovna vjerovatnoća događaja ALI, izračunato pod pretpostavkom da se dogodio događaj AT, jednaka je njegovoj bezuslovnoj vjerovatnoći. Dakle, događaji ALI i AT nezavisni. Slično, zaključujemo da događaji ALI i OD, AT i OD nezavisni. Dakle, događaji ALI, AT i OD su nezavisni u paru.

Da li su ovi događaji nezavisni u zbiru? Ispostavilo se da nije. Zaista, neka izvučena lopta ima dvije boje, na primjer, plavu i crnu. Kolika je vjerovatnoća da je i ova lopta crvena? Samo jedna lopta je obojena u sve tri boje, tako da je i uhvaćena loptica crvena. Dakle, pod pretpostavkom da događaji AT i OD dogodio, zaključujemo da je događaj ALI sigurno će doći. Dakle, ovaj događaj je pouzdan i njegova vjerovatnoća jednaka je jedan. Drugim riječima, uslovna vjerovatnoća R BC(ALI)= 1 događaj ALI nije jednaka njegovoj bezuslovnoj vjerovatnoći R(ALI) = 1/2. Dakle, parovi nezavisni događaji ALI, AT, OD nisu kolektivno nezavisni.

Sada predstavljamo posledica teoreme množenja.

Posljedica. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa više događaja koji su u zbiru neovisni jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

Dokaz. Razmotrite tri događaja: ALI, AT i OD. Kombinacija događaja ALI, AT i OD jednako kombinaciji događaja AB i OD, zbog toga

R(ABC) = R(AB×C).

Od događaja ALI, AT i OD su nezavisni u zbiru, onda su nezavisni, posebno, događaji AB i OD, kao i ALI i AT. Po teoremi množenja za dva nezavisna događaja imamo:

R(AB×C) = R(AB)R(OD) i R(AB) = R(ALI)R(AT).

Dakle, konačno dobijamo

R(ABC) = R(ALI)R(AT)R(OD).

Za proizvoljno n dokaz se vrši metodom matematičke indukcije.

Komentar. Ako događaji ALI 1 , ALI 2 , ...,A n su nezavisni u agregatu, onda su suprotni događaji takođe nezavisni u agregatu.

Primjer. Nađite vjerovatnoću da se grb pojavi zajedno u jednom bacanju dva novčića.

Rješenje. Vjerovatnoća pojave grba prvog novčića (događaj ALI)

R(ALI) = 1/2.

Vjerovatnoća pojave grba drugog novčića (događaj AT)

R(AT) = 1/2.

Razvoj ALI i AT nezavisna, pa je željena vjerovatnoća po teoremi množenja jednaka

R(AB) = R(ALI)R(AT) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Primjer. Postoje 3 kutije koje sadrže 10 dijelova. Prva ladica sadrži 8, druga ladica 7 i treća ladica 9 standardnih dijelova. Iz svake kutije nasumično se izvlači po jedna stavka. Pronađite vjerovatnoću da su sva tri izvađena dijela standardna.

Rješenje. Vjerovatnoća da je standardni dio uzet iz prve kutije (događaj ALI),

R(ALI) = 8/10 = 0,8.

Vjerovatnoća da je standardni dio uzet iz drugog okvira (događaj AT),

R(AT) = 7/10 = 0,7.

Vjerovatnoća da je standardni dio uzet iz trećeg polja (događaj OD),

R(OD) = 9/10 = 0,9.

Od događaja ALI, AT i OD nezavisno u agregatu, onda je željena vjerovatnoća (po teoremi množenja) jednaka

R(ABC) = R(ALI)R(AT)R(OD) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Navedimo primjer zajedničke primjene teorema sabiranja i množenja.

Primjer. Vjerovatnoće pojave svakog od tri nezavisna događaja ALI 1 , ALI 2 , ALI 3 odnosno jednake R 1 , R 2 , R 3 . Naći vjerovatnoću pojave samo jednog od ovih događaja.

Rješenje. Imajte na umu da, na primjer, izgled samo prvi događaj ALI 1 je ekvivalentno pojavljivanju događaja (prvi se pojavio, a drugi i treći događaj se nisu pojavili). Hajde da uvedemo notaciju:

B 1 - pojavio se samo događaj ALI 1 , tj. ;

B 2 – pojavio se samo događaj ALI 2 , tj. ;

B 3 – pojavio se samo događaj ALI 3 , tj. .

Dakle, pronaći vjerovatnoću pojave samo jednog od događaja ALI 1 , ALI 2 , ALI 3 , tražit ćemo vjerovatnoću P(B 1 + B 2 + AT 3) pojava jednog, bez obzira na koji događaj AT 1 , AT 2 , AT 3 .

Od događaja AT 1 , AT 2 , AT 3 su nekonzistentne, tada se primjenjuje teorema sabiranja

P(B 1 + B 2 + AT 3) = R(AT 1) + R(AT 2) + R(AT 3). (*)

Ostaje da se pronađu vjerovatnoće svakog od događaja AT 1 , AT 2 , AT 3 . Razvoj ALI 1 , ALI 2 , ALI 3 su nezavisni, dakle, događaji su nezavisni, pa se na njih primjenjuje teorema množenja

Isto tako,

Zamijenivši ove vjerovatnoće u (*), nalazimo željenu vjerovatnoću pojave samo jednog od događaja ALI 1 , ALI 2 , ALI 3.

Definicije vjerovatnoće

Klasična definicija

Klasična "definicija" vjerovatnoće dolazi iz pojma jednake prilike kao objektivno svojstvo pojava koje se proučavaju. Ekvivalencija je nedefinivan koncept i utvrđuje se iz opštih razmatranja simetrije fenomena koji se proučavaju. Na primjer, kada se baca novčić, pretpostavlja se da, zbog navodne simetrije novčića, homogenosti materijala i slučajnosti (nepristrasnosti) bacanja, nema razloga da se preferiraju "repovi" u odnosu na “orlovi” ili obrnuto, odnosno gubitak ovih strana se može smatrati jednako vjerojatnim (jednako vjerovatnim).

Uz koncept ekvivjerovatnosti u opštem slučaju, klasična definicija zahteva i koncept elementarnog događaja (ishoda) koji favorizuje ili ne favorizuje proučavani događaj A. Reč je o ishodima čija pojava isključuje mogućnost pojave drugih ishoda. To su nekompatibilni elementarni događaji. Na primjer, prilikom bacanja kockice Ispuštanje određenog broja isključuje ispuštanje drugih brojeva.

Klasična definicija vjerovatnoće može se formulirati na sljedeći način:

Vjerovatnoća slučajnog događaja A naziva omjerom broja n nekompatibilni jednako vjerovatni elementarni događaji koji čine događaj A , na broj svih mogućih elementarnih događaja N :

Na primjer, pretpostavimo da su bačene dvije kockice. Ukupan broj jednako mogućih ishoda (elementarnih događaja) je očigledno 36 (6 mogućnosti na svakoj kocki). Procijenite vjerovatnoću da dobijete 7 bodova. Dobivanje 7 bodova moguće je na sljedeće načine: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Odnosno, postoji samo 6 jednako verovatnih ishoda koji favorizuju događaj A – dobijanje 7 poena. Prema tome, vjerovatnoća će biti jednaka 6/36=1/6. Poređenja radi, vjerovatnoća da dobijete 12 bodova ili 2 boda je samo 1/36 - 6 puta manja.

Geometrijska definicija

Unatoč činjenici da je klasična definicija intuitivna i izvedena iz prakse, barem se ne može direktno primijeniti ako je broj jednako mogućih ishoda beskonačan. Živopisan primer beskonačnog broja mogućih ishoda je ograničena geometrijska oblast G, na primer, na ravni, sa površinom S. Nasumično "bačena" "tačka" sa jednakom verovatnoćom može biti u bilo kojoj tački u ovom regionu. Problem je odrediti vjerovatnoću da tačka padne u neku poddomenu g sa površinom s. U ovom slučaju, generalizirajući klasičnu definiciju, možemo doći do geometrijske definicije vjerovatnoće pada u poddomen:

S obzirom na jednaku mogućnost, ova vjerovatnoća ne zavisi od oblika oblasti g, ona zavisi samo od njene površine. Ova definicija se prirodno može generalizirati na prostor bilo koje dimenzije, gdje se koncept "volumena" koristi umjesto površine. Štaviše, upravo ova definicija vodi ka modernoj aksiomatskoj definiciji vjerovatnoće. Pojam volumena generaliziran je na koncept "mjere" nekog apstraktnog skupa, kojem se postavljaju zahtjevi, koje "volumen" također ima u geometrijskoj interpretaciji - prije svega, to su nenegativnost i aditivnost.

Određivanje učestalosti (statističko).

Klasična definicija, kada se razmatraju kompleksni problemi, nailazi na teškoće nepremostive prirode. Konkretno, u nekim slučajevima možda neće biti moguće identificirati jednako vjerovatne slučajeve. Čak iu slučaju novčića, kao što je poznato, postoji očigledno ne jednako vjerovatna mogućnost da „ivica“ ispadne, što se ne može procijeniti iz teorijskih razmatranja (može se samo reći da je malo vjerovatno i da je ovo razmatranje prilično praktično ). Stoga je, u zoru formiranja teorije vjerovatnoće, predložena alternativna "frekvencijska" definicija vjerovatnoće. Naime, formalno, vjerovatnoća se može definirati kao granica učestalosti opažanja događaja A, uz pretpostavku homogenosti opažanja (tj. istovjetnosti svih uvjeta posmatranja) i njihovu neovisnost jedno od drugog:

gdje je broj zapažanja, a broj pojavljivanja događaja.

Uprkos činjenici da ova definicija pre ukazuje na način procene nepoznate verovatnoće – putem velikog broja homogenih i nezavisnih opservacija – ipak, ova definicija odražava sadržaj koncepta verovatnoće. Naime, ako se nekom događaju pripisuje određena vjerovatnoća, kao objektivna mjera njegove mogućnosti, onda to znači da pod fiksnim uvjetima i višestrukim ponavljanjima trebamo dobiti frekvenciju njegovog pojavljivanja blizu (što bliže, to više opažanja). Zapravo, ovo je izvorno značenje koncepta vjerovatnoće. Zasniva se na objektivističkom pogledu na prirodne pojave. Ispod su tzv. zakoni veliki brojevi, koji pružaju teorijsku osnovu (u okviru savremenog aksiomatskog pristupa predstavljenog u nastavku), uključujući i procjenu učestalosti vjerovatnoće.

Aksiomatska definicija

U savremenom matematičkom pristupu, vjerovatnoća je data sa Kolmogorovljeva aksiomatika. Pretpostavlja se da neki prostor elementarnih događaja. Podskupovi ovog prostora se tumače kao slučajni događaji. Unija (zbir) nekih podskupova (događaja) tumači se kao događaj koji se sastoji od pojave najmanje jedan od ovih događaja. Presjek (proizvod) podskupova (događaja) tumači se kao događaj koji se sastoji od pojave sve ovih događaja. Disjunktni skupovi se tumače kao nekompatibilno događaja (njihova zajednička ofanziva je nemoguća). Prema tome, prazan skup znači nemoguće događaj.

Vjerovatnoća ( mjera vjerovatnoće) se zove mjera(numerička funkcija) definirana na skupu događaja, koja ima sljedeća svojstva:

Ako je prostor elementarnih događaja X svakako, tada je dovoljan specificirani uvjet aditivnosti za proizvoljna dva nekompatibilna događaja, iz čega će slijediti aditivnost za bilo koji final broj nekompatibilnih događaja. Međutim, u slučaju beskonačnog (prebrojivog ili nebrojivog) prostora elementarnih događaja, ovaj uslov nije dovoljan. tzv prebrojiva ili sigma aditivnost, odnosno ispunjenje svojstva aditivnosti za bilo koji ne više nego izbrojivo porodice događaja nekompatibilnih u parovima. Ovo je neophodno kako bi se osigurao "kontinuitet" mjere vjerovatnoće.

Mjera vjerovatnoće možda nije definirana za sve podskupove skupa. Pretpostavlja se da je definiran na nekima sigma algebra podskupovi . Ovi podskupovi se nazivaju mjerljivo prema datoj mjeri vjerovatnoće, a oni su slučajni događaji. Skup - to jest skup elementarnih događaja, sigma-algebra njegovih podskupova i mjera vjerovatnoće - naziva se prostor vjerovatnoće.

Kontinuirane slučajne varijable. Pored diskretnih slučajnih varijabli, čije moguće vrijednosti formiraju konačan ili beskonačan niz brojeva koji ne ispunjavaju u potpunosti nijedan interval, često postoje slučajne varijable čije moguće vrijednosti čine određeni interval. Primjer takve slučajne varijable je odstupanje od nominalne vrijednosti određene veličine dijela s pravilno uspostavljenim tehnološkim procesom. Ova vrsta slučajnih varijabli ne može se specificirati korištenjem zakona raspodjele vjerovatnoće p(x). Međutim, oni se mogu specificirati korištenjem funkcije raspodjele vjerovatnoće F(x). Ova funkcija je definirana na potpuno isti način kao u slučaju diskretne slučajne varijable:

Dakle, i ovdje je funkcija F(x) definiran na cijeloj brojevnoj osi, i njegova vrijednost u tački X jednaka je vjerovatnoći da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od X. Formula (19) i svojstva 1° i 2° vrijede za funkciju distribucije bilo koje slučajne varijable. Dokaz se izvodi slično kao u slučaju diskretne veličine. Poziva se slučajna varijabla kontinuirano, ako za njega postoji nenegativna po komadima kontinuirana funkcija* koja zadovoljava za bilo koje vrijednosti x jednakost

Na osnovu geometrijskog značenja integrala kao površine, možemo reći da je vjerovatnoća ispunjenja nejednakosti jednaka površini krivolinijskog trapeza sa bazom omeđen odozgo krivom (slika 6).

Budući da , i na osnovu formule (22)

Imajte na umu da je za kontinuiranu slučajnu varijablu, funkcija distribucije F(x) kontinuirano u bilo kojoj tački X, gdje je funkcija kontinuirana. Ovo proizilazi iz činjenice da F(x) je diferencibilan u ovim tačkama. Na osnovu formule (23), uz pretpostavku x 1 =x, , imamo

Zbog kontinuiteta funkcije F(x) mi to shvatamo

Shodno tome

Na ovaj način, vjerovatnoća da kontinuirana slučajna varijabla može poprimiti bilo koju pojedinačnu vrijednost x je nula. Iz ovoga slijedi da se događaji sastoje u ispunjavanju svake od nejednakosti

Imaju istu vjerovatnoću, tj.

Zaista, npr.

jer Komentar. Kao što znamo, ako je događaj nemoguć, onda je vjerovatnoća njegovog nastanka nula. U klasičnoj definiciji vjerovatnoće, kada je broj ishoda testa konačan, javlja se i obrnuta tvrdnja: ako je vjerovatnoća događaja nula, onda je događaj nemoguć, jer mu u ovom slučaju nijedan od ishoda testa ne ide u prilog. U slučaju kontinuirane slučajne varijable, broj njenih mogućih vrijednosti je beskonačan. Vjerovatnoća da će ova vrijednost poprimiti bilo koju određenu vrijednost x 1 kao što smo videli, jednaka je nuli. Međutim, iz ovoga ne proizlazi da je ovaj događaj nemoguć, jer kao rezultat testa, slučajna varijabla može posebno poprimiti vrijednost x 1 . Stoga, u slučaju kontinuirane slučajne varijable, ima smisla govoriti o vjerovatnoći da slučajna varijabla padne u interval, a ne o vjerovatnoći da će poprimiti određenu vrijednost. Tako, na primjer, u proizvodnji valjka, ne zanima nas vjerovatnoća da će njegov promjer biti jednak nominalnoj vrijednosti. Za nas je bitna vjerovatnoća da prečnik valjka ne izađe iz tolerancije. Primjer. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable je data na sljedeći način:

Grafikon funkcije prikazan je na sl. 7. Odrediti vjerovatnoću da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja zadovoljava nejednakosti.Nađi funkciju raspodjele date slučajne varijable. ( Rješenje)

Naredna dva paragrafa posvećena su distribucijama kontinuiranih slučajnih varijabli koje se često susreću u praksi – uniformne i normalne distribucije.

* Funkcija se naziva komadno kontinuiranom na cijeloj numeričkoj osi ako je ili kontinuirana na bilo kojem segmentu ili ima konačan broj diskontinuiteta prve vrste. ** Pravilo za diferenciranje integrala s promjenjivom gornjom granicom, izvedeno u slučaju konačne donje granice, ostaje važeće za integrale s beskonačnom donjom granicom. Zaista,

Pošto je integral

je konstantna vrijednost.

Zavisni i nezavisni događaji. Uslovna verovatnoća

Razlikujte zavisne i nezavisne događaje. Kaže se da su dva događaja nezavisna ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Na primjer, ako u radionici rade dvije automatske linije koje nisu međusobno povezane prema uvjetima proizvodnje, tada su zaustavljanja ovih linija nezavisni događaji.

Primjer 3 Novčić se baca dvaput. Vjerovatnoća pojave "grba" u prvom testu (događaj ) ne zavisi od izgleda ili nepojavljivanja "grba" u drugom testu (događaj ). Zauzvrat, vjerojatnost pojave "grba" u drugom testu ne ovisi o rezultatu prvog testa. Dakle, događaji i nezavisni.

Poziva se nekoliko događaja kolektivno nezavisni , ako bilo koji od njih ne ovisi o bilo kojem drugom događaju i bilo kojoj kombinaciji ostalih.

Događaji se zovu zavisan , ako jedno od njih utiče na vjerovatnoću pojave drugog. Na primjer, dva proizvodna pogona povezana su jednim tehnološkim ciklusom. Tada vjerovatnoća kvara jednog od njih zavisi od stanja drugog. Vjerovatnoća jednog događaja, izračunata pod pretpostavkom da se dogodi neki drugi događaj, naziva se uslovna verovatnoća događaje i označava se sa .

Uslov nezavisnosti događaja od događaja ispisuje se u obliku , a uslov njegove zavisnosti - u obliku . Razmotrimo primjer izračunavanja uslovne vjerovatnoće događaja.

Primjer 4 U kutiji se nalazi 5 sjekutića: dva nošena i tri nova. Izvode se dvije uzastopne ekstrakcije sjekutića. Odredite uslovnu verovatnoću pojave istrošenog rezača tokom drugog vađenja, pod uslovom da se rezač koji je prvi put uklonjen ne vrati u kutiju.

Rješenje. Označimo vađenje istrošenog rezača u prvom slučaju, a - vađenje novog. Onda . Budući da se uklonjeni rezač ne vraća u kutiju, mijenja se omjer između broja istrošenih i novih rezača. Stoga, vjerojatnost uklanjanja istrošenog rezača u drugom slučaju ovisi o tome koji se događaj dogodio prije.

Označimo događaj koji znači izvlačenje istrošenog rezača u drugom slučaju. Vjerovatnoće za ovaj događaj su:

Stoga, vjerovatnoća događaja zavisi od toga da li se događaj desio ili ne.

Gustoća vjerovatnoće- jedan od načina da se postavi mjera vjerovatnoće na euklidskom prostoru. U slučaju kada je mjera vjerovatnoće distribucija slučajne varijable, govori se o gustinaslučajna varijabla.

Gustoća vjerovatnoće Neka je mjera vjerovatnoće na, odnosno definiran je prostor vjerovatnoće, gdje je označena Borelova σ-algebra na. Označimo Lebesgueovu mjeru na.

Definicija 1. Vjerovatnoća se naziva apsolutno kontinuiranom (u odnosu na Lebesgueovu mjeru) () ako bilo koji Borelov skup nulte Lebesgue mjere također ima vjerovatnoću nula:

Ako je vjerovatnoća apsolutno kontinuirana, onda prema teoremi Radon-Nikodyma postoji nenegativna Borelova funkcija takva da

,

gdje se koristi uobičajena skraćenica , a integral se shvata u smislu Lebesguea.

Definicija 2. Općenitije, neka je proizvoljan mjerljiv prostor, i neka su i dvije mjere na ovom prostoru. Ako postoji nenegativna , što omogućava izražavanje mjere u smislu mjere u obliku

tada se poziva ova funkcija izmjeriti gustinu as , ili derivat Radon-Nikodim mjera u odnosu na mjeru , i označiti

Ako je, prilikom nastanka događaja, vjerovatnoća događaja se ne mijenja, zatim događaji i pozvao nezavisni.

Teorema:Vjerovatnoća zajedničke pojave dva nezavisna događaja i (radi i ) jednak je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja.

Zaista, pošto razvoj događaja i nezavisni, dakle
. U ovom slučaju, formula za vjerovatnoću proizvoda događaja i poprima oblik.

Razvoj
pozvao nezavisno u paru ako su bilo koja dva od njih nezavisna.

Razvoj
pozvao kolektivno nezavisni (ili jednostavno nezavisni), ako su svaka dva od njih nezavisna i svaki događaj i svi mogući proizvodi ostalih nezavisni.

Teorema:Vjerovatnoća proizvoda konačnog broja nezavisnih događaja u agregatu
jednak je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja.

Ilustrirajmo razliku u primjeni formula vjerovatnoće događaja za zavisne i nezavisne događaje koristeći primjere

Primjer 1. Vjerovatnoća da prvi strijelac pogodi metu je 0,85, drugi je 0,8. Puške su ispaljivale jedan po jedan hitac. Kolika je vjerovatnoća da je barem jedan projektil pogodio metu?

Rješenje: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Pošto su hici nezavisni, onda

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Primjer 2. Urna sadrži 2 crvene i 4 crne kugle. Iz njega se vade po 2 loptice za redom. Kolika je vjerovatnoća da su obje loptice crvene.

Rješenje: 1 slučaj. Događaj A - pojava crvene lopte pri prvom uklanjanju, događaj B - pri drugom. Događaj C je pojava dvije crvene kuglice.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2nd case. Prva izvučena lopta se vraća u koš.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) = 1/9

Formula ukupne vjerovatnoće.

Neka događaj može se dogoditi samo jednom od nespojivih događaja
, formirajući kompletnu grupu. Na primjer, prodavnica prima iste proizvode od tri preduzeća iu različitim količinama. Vjerovatnoća proizvodnje proizvoda lošeg kvaliteta u ovim preduzećima je različita. Jedan od proizvoda je nasumično odabran. Potrebno je utvrditi vjerovatnoću da je ovaj proizvod loše kvalitete (događaj ). Događaji ovdje
- ovo je izbor proizvoda iz proizvoda odgovarajućeg preduzeća.

U ovom slučaju, vjerovatnoća događaja može se smatrati zbirom proizvoda događaja
.

Teoremom sabiranja za vjerovatnoće nekompatibilnih događaja dobijamo
. Koristeći teorem množenja vjerovatnoće, nalazimo

.

Rezultirajuća formula se zove formula ukupne vjerovatnoće.

Bayesova formula

Neka događaj se dešava u isto vreme kada i jedan od nekompatibilni događaji
, čije vjerovatnoće
(
) poznati su prije iskustva ( apriorne vjerovatnoće). Izvodi se eksperiment, kao rezultat kojeg se registruje pojava događaja , a poznato je da je ovaj događaj imao određene uslovne vjerovatnoće
(
). Potrebno je pronaći vjerovatnoće događaja
ako je događaj poznat dogodilo ( a posteriori vjerovatnoće).

Problem je što, imati nove informacije(događaj A se desio), morate ponovo procijeniti vjerovatnoće događaja
.

Na osnovu teoreme o vjerovatnoći proizvoda dva događaja

.

Rezultirajuća formula se zove Bayesove formule.

Osnovni pojmovi kombinatorike.

Prilikom rješavanja niza teorijskih i praktičnih zadataka potrebno je napraviti različite kombinacije iz konačnog skupa elemenata prema datim pravilima i prebrojati broj svih mogućih takvih kombinacija. Takvi zadaci se zovu kombinatorski.

Prilikom rješavanja zadataka kombinatorika koristi pravila zbira i proizvoda.

Opšta izjava problema: vjerovatnoće nekih događaja su poznate, ali je potrebno izračunati vjerovatnoće drugih događaja koji su povezani s tim događajima. U ovim problemima postoji potreba za takvim operacijama nad vjerovatnoćama kao što su sabiranje i množenje vjerovatnoća.

Na primjer, dva hica su ispaljena tokom lova. Događaj A- pogoditi patku iz prvog udarca, događaj B- pogodio iz drugog udarca. Zatim zbir događaja A i B- pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica.

Zadaci drugačijeg tipa. Dato je nekoliko događaja, na primjer, novčić se baca tri puta. Potrebno je pronaći vjerovatnoću da će ili sva tri puta ispasti grb, ili da će grb ispasti barem jednom. Ovo je problem množenja.

Sabiranje vjerovatnoća nespojivih događaja

Sabiranje vjerovatnoće se koristi kada je potrebno izračunati vjerovatnoću kombinacije ili logički zbir slučajnih događaja.

Zbir događaja A i B odrediti A + B ili A ∪ B. Zbir dva događaja je događaj koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B- događaj koji se dešava ako i samo ako se događaj dogodi tokom posmatranja A ili događaj B, ili istovremeno A i B.

Ako događaji A i B su međusobno nedosljedni i njihove vjerovatnoće su date, onda se vjerovatnoća da će se jedan od ovih događaja dogoditi kao rezultat jednog pokušaja izračunava sabiranjem vjerovatnoća.

Teorema sabiranja vjerovatnoća. Vjerovatnoća da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća ovih događaja:

Na primjer, dva hica su ispaljena tokom lova. Događaj ALI– pogađanje patke iz prvog hica, događaj AT– pogodak iz drugog hica, događaj ( ALI+ AT) - pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica. Dakle, ako dva događaja ALI i AT onda su nekompatibilni događaji ALI+ AT- pojava najmanje jednog od ovih događaja ili dva događaja.

Primjer 1 Kutija sadrži 30 loptica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerovatnoću da se obojena (ne bijela) lopta uzme bez gledanja.

Rješenje. Pretpostavimo da je događaj ALI– „crvena lopta je uzeta“, i događaj AT- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj „uzima se obojena (ne bijela) lopta“. Pronađite vjerovatnoću događaja ALI:

i događaje AT:

Razvoj ALI i AT- međusobno nekompatibilni, jer ako se uzme jedna lopta, ne mogu se uzeti loptice različitih boja. Stoga koristimo sabiranje vjerovatnoća:

Teorema sabiranja vjerovatnoća za nekoliko nekompatibilnih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, onda je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1:

Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja je također jednak 1:

Suprotni događaji čine kompletan skup događaja, a vjerovatnoća kompletnog skupa događaja je 1.

Vjerovatnoće suprotnih događaja obično se označavaju malim slovima. str i q. posebno,

iz čega slijede sljedeće formule za vjerovatnoću suprotnih događaja:

Primjer 2 Meta na ploči je podijeljena u 3 zone. Verovatnoća da će određeni strelac gađati metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni - 0,23, u trećoj zoni - 0,17. Pronađite vjerovatnoću da strijelac pogodi metu i vjerovatnoću da strijelac promaši metu.

Rješenje: Pronađite vjerovatnoću da strijelac pogodi metu:

Pronađite vjerovatnoću da strijelac promaši metu:

Teži zadaci u kojima je potrebno primijeniti i sabiranje i množenje vjerovatnoća - na stranici "Razni zadaci za sabiranje i množenje vjerovatnoća" .

Sabiranje vjerovatnoća zajedničkih događaja

Za dva slučajna događaja se kaže da su zajednička ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom opažanju. Na primjer, kada se baca kocka, događaj ALI se smatra pojavljivanjem broja 4 i događajem AT- ispuštanje paran broj. Pošto je broj 4 paran broj, ova dva događaja su kompatibilna. U praksi postoje zadaci za izračunavanje vjerovatnoće nastanka jednog od zajedničkih događaja.

Teorema sabiranja vjerovatnoća za zajedničke događaje. Vjerovatnoća da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja, od čega se oduzima vjerovatnoća zajedničkog nastupa oba događaja, odnosno proizvod vjerovatnoća. Formula za vjerovatnoću zajedničkih događaja je sljedeća:

Jer događaji ALI i AT kompatibilan, događaj ALI+ AT se dešava ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremi sabiranja nespojivih događaja računamo na sljedeći način:

Događaj ALI se dešava ako se dogodi jedan od dva nekompatibilna događaja: ili AB. Međutim, vjerovatnoća pojave jednog događaja iz više nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća svih ovih događaja:

Slično:

Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobijamo formulu vjerovatnoće za zajedničke događaje:

Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji ALI i AT može biti:

  • međusobno nezavisni;
  • međusobno zavisne.

Formula vjerovatnoće za međusobno nezavisne događaje:

Formula vjerovatnoće za međusobno zavisne događaje:

Ako događaji ALI i AT su nedosljedni, onda je njihova podudarnost nemoguć slučaj i, stoga, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerovatnoće za nekompatibilne događaje je sljedeća:

Primjer 3 U auto trkama, kada vozite u prvom automobilu, vjerovatnoća pobjede, kada vozite u drugom automobilu. Pronađite:

  • vjerovatnoća da će oba automobila pobijediti;
  • vjerovatnoća da će barem jedan automobil pobijediti;

1) Vjerovatnoća da će prvi automobil pobijediti ne zavisi od rezultata drugog automobila, dakle od događaja ALI(prvi automobil pobjeđuje) i AT(pobjeda drugog auta) - nezavisni događaji. Pronađite vjerovatnoću da oba auta pobijede:

2) Pronađite vjerovatnoću da će jedan od dva automobila pobijediti:

Teži zadaci u kojima je potrebno primijeniti i sabiranje i množenje vjerovatnoća - na stranici "Razni zadaci za sabiranje i množenje vjerovatnoća" .

Sami riješite problem sabiranja vjerovatnoća, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novcu. Događaj B- gubitak grba na drugom novcu. Pronađite vjerovatnoću događaja C = A + B .

Množenje vjerovatnoće

Množenje vjerovatnoća se koristi kada treba izračunati vjerovatnoću logičkog proizvoda događaja.

U ovom slučaju, slučajni događaji moraju biti nezavisni. Za dva događaja se kaže da su međusobno nezavisna ako pojava jednog događaja ne utiče na verovatnoću pojave drugog događaja.

Teorema množenja vjerovatnoće za nezavisne događaje. Vjerovatnoća istovremene pojave dva nezavisna događaja ALI i AT jednak je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja i izračunava se po formuli:

Primjer 5 Novčić se baca tri puta za redom. Nađite vjerovatnoću da će grb sva tri puta ispasti.

Rješenje. Vjerovatnoća da će grb pasti pri prvom bacanju novčića, drugi put i treći put. Pronađite vjerovatnoću da će grb ispasti sva tri puta:

Sami riješite probleme za množenje vjerovatnoća, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6 Tu je kutija sa devet novih teniskih loptica. Tri lopte se uzimaju za igru, nakon igre se vraćaju. Prilikom odabira lopti ne prave razliku između odigranih i neizigranih lopti. Kolika je vjerovatnoća da poslije tri utakmice da li u kutiji neće biti neodigranih lopti?

Primjer 7 32 slova ruske abecede ispisana su na isečenim karticama abecede. Pet karata se nasumično izvlače, jedna za drugom, i stavljaju na sto onim redom kojim se pojavljuju. Pronađite vjerovatnoću da će slova formirati riječ "kraj".

Primjer 8 Iz punog špila karata (52 lista) vade se četiri karte odjednom. Pronađite vjerovatnoću da su sve četiri ove karte iste boje.

Primjer 9 Isti problem kao u primjeru 8, ali svaka karta se vraća u špil nakon što je izvučena.

Složeniji zadaci, u kojima je potrebno primijeniti i sabiranje i množenje vjerovatnoća, kao i izračunati proizvod više događaja - na stranici "Razni zadaci za sabiranje i množenje vjerovatnoća" .

Vjerovatnoća da će se dogoditi barem jedan od međusobno nezavisnih događaja može se izračunati oduzimanjem proizvoda vjerovatnoća suprotnih događaja od 1, odnosno po formuli.

Slični postovi