دو رویداد مستقل رویدادهای وابسته و مستقل. احتمال شرطی سخنرانی مفاهیم اساسی نظریه احتمال و آمار مورد استفاده در اقتصاد سنجی را یادداشت می کند

در تکالیف USE در ریاضیات، وظایف احتمالی پیچیده تری نیز وجود دارد (از آنچه در قسمت 1 در نظر گرفتیم)، که در آن باید قانون جمع، ضرب احتمالات و تمایز بین رویدادهای مشترک و ناسازگار را اعمال کنید.

بنابراین، نظریه.

رویدادهای مشترک و غیر مشترک

وقایع را در صورتی ناسازگار می گویند که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع دیگر باشد. یعنی فقط یک رویداد خاص می تواند اتفاق بیفتد یا رویداد دیگر.

به عنوان مثال، با پرتاب یک قالب، می توانید بین رویدادهایی مانند تعداد نقاط زوج و تعداد نقاط فرد تمایز قائل شوید. این رویدادها ناسازگار هستند.

وقایع را در صورتی مشترک می گویند که وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع دیگری نباشد.

به عنوان مثال، هنگام پرتاب یک قالب، می توانید بین رویدادهایی مانند وقوع تعداد فرد امتیاز و از دست دادن تعدادی امتیاز که مضرب سه است، تمایز قائل شوید. هنگامی که سه رول می شود، هر دو رویداد تحقق می یابد.

مجموع رویدادها

مجموع (یا اتحاد) چند رویداد رویدادی است که حداقل یکی از این رویدادها را در خود دارد.

که در آن مجموع دو رویداد ناهمگون مجموع احتمالات این رویدادها است:

به عنوان مثال، احتمال گرفتن 5 یا 6 در تاسدر یک رول، به این دلیل خواهد بود که هر دو رویداد (رول 5، رول 6) ناسازگار هستند و احتمال وقوع یک یا آن رویداد به صورت زیر محاسبه می شود:

احتمالی مجموع دو رویداد مشترک برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون در نظر گرفتن وقوع مشترک آنها:

به عنوان مثال، در یک مرکز خرید، دو دستگاه خودکار یکسان قهوه می فروشند. احتمال تمام شدن قهوه دستگاه تا پایان روز 0.3 است. احتمال تمام شدن قهوه هر دو دستگاه 0.12 است. بیایید این احتمال را پیدا کنیم که در پایان روز قهوه حداقل در یکی از دستگاه ها (یعنی در یکی، یا در دیگری، یا در هر دو به طور همزمان) تمام شود.

احتمال رخداد اول «قهوه در دستگاه اول به پایان می رسد» و همچنین احتمال رویداد دوم «قهوه در دستگاه دوم به پایان می رسد» با شرط برابر با 3/0 است. رویدادها مشارکتی هستند.

احتمال تحقق مشترک دو رویداد اول طبق شرط برابر با 12/0 است.

این به این معنی است که احتمال اینکه در پایان روز قهوه در حداقل یکی از دستگاه ها تمام شود.

رویدادهای وابسته و مستقل

دو رویداد تصادفی A و B در صورتی مستقل نامیده می شوند که وقوع یکی از آنها احتمال وقوع دیگری را تغییر ندهد. در غیر این صورت رویدادهای A و B وابسته نامیده می شوند.

به عنوان مثال، هنگام پرتاب دو تاس به طور همزمان، قطره روی یکی از آنها، مثلاً 1، و در 5 تاس دوم، - رویدادهای مستقل.

محصول احتمالات

محصول (یا تقاطع) چندین رویداد رویدادی است که شامل وقوع مشترک همه این رویدادها است.

اگر دو تا هستند رویدادهای مستقل A و B با احتمالات P(A) و P(B) به ترتیب، پس احتمال تحقق رویدادهای A و B به طور همزمان برابر با حاصلضرب احتمالات است:

به عنوان مثال، ما علاقه مند به از دست دادن یک شش بر روی یک تاس دو بار متوالی هستیم. هر دو رویداد مستقل هستند و احتمال وقوع هر یک از آنها جداگانه است. احتمال وقوع هر دوی این رویدادها با استفاده از فرمول بالا محاسبه می شود: .

منتخبی از کارها را برای کار کردن موضوع مشاهده کنید.

رویدادهای A، B، C... نامیده می شوند وابستهاز یکدیگر در صورتی که احتمال وقوع حداقل یکی از آنها بسته به وقوع یا عدم وقوع حوادث دیگر متفاوت باشد. رویدادها نامیده می شوند مستقلدر صورتی که احتمال وقوع هر یک از آنها منوط به وقوع یا عدم وقوع سایرین نباشد.

احتمال شرطی(RA (B) -احتمال شرطی رویداد B نسبت به A) احتمال رویداد B است که با این فرض محاسبه می شود که رویداد A قبلاً رخ داده است. مثالی از احتمال شرطی احتمال شرطی رویداد B، مشروط بر اینکه رویداد A قبلاً رخ داده باشد، طبق تعریف، برابر است با RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)> 0).

ضرب احتمال رویدادهای وابسته:احتمال وقوع مشترک دو رویداد برابر است با حاصل ضرب احتمال یکی از آنها با احتمال شرطی دیگری که با این فرض محاسبه می شود که اولین رویداد قبلاً رخ داده است:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

مثال. کلکتور دارای 3 غلتک مخروطی و 7 غلتک بیضوی می باشد. جمع کننده یک غلتک و سپس دومی را گرفت. احتمال اینکه اولی از غلتک های گرفته شده مخروطی و دومی بیضوی باشد را پیدا کنید.

تصمیم:احتمال اینکه غلتک اول مخروطی باشد (رویداد A)، P (A) = 3/10. احتمال اینکه غلتک دوم بیضوی باشد (رویداد B)، با این فرض محاسبه می شود که غلتک اول مخروطی است، یعنی مشروط احتمال RA (B) = 7/9.
با توجه به فرمول ضرب، احتمال مورد نظر P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. توجه داشته باشید که با حفظ نماد، ما به راحتی می توانید پیدا کنید: P (B) = 7/10، PB (A) = 3/9، P (B) PB (A) = 7/30

شرط استقلال رویدادها. ضرب احتمالات رویدادهای مستقل. مثال ها.

رویداد B مستقل از رویداد A اگر است

P(B/A) = P(B) یعنی. احتمال رخداد B به وقوع یا عدم وقوع رویداد A بستگی ندارد.

در این صورت رویداد الف به واقعه ب بستگی ندارد، یعنی خاصیت استقلال رویدادها متقابل است.

احتمال حاصلضرب دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها:

P(AB) = P(A)P(B) .

مثال 1:دستگاهی که در زمان t کار می کند از سه گره تشکیل شده است که هر یک به طور مستقل از بقیه گره ها می توانند در طول زمان t از کار بیفتند (از کار بیفتند). خرابی حداقل یک گره منجر به خرابی کل دستگاه می شود. در طول زمان t، قابلیت اطمینان (احتمال عملکرد بدون خرابی) گره اول برابر با p 1 = 0.8 است. دوم p 2 = 0.9 سوم p 3 = 0.7. قابلیت اطمینان دستگاه را به طور کلی پیدا کنید.

تصمیم.نشان دهنده:

الف - کارکرد بدون مشکل دستگاه ها،

1 - عملیات بدون شکست اولین گره،

2 - عملکرد بدون مشکل گره دوم،

3-عملکرد بدون مشکل گره سوم،

از آنجا با قضیه ضرب برای رویدادهای مستقل

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0.504

مثال 2. احتمال اینکه یک رقم با هم در یک پرتاب دو سکه ظاهر شود را بیابید.

تصمیم. احتمال ظهور رقم اولین سکه (رویداد A) Р(А) = 1/2; احتمال ظهور رقم سکه دوم (رویداد B) P(B) = 1/2 است.

رویدادهای A و B مستقل هستند، بنابراین احتمال مورد نظر را پیدا می کنیم

طبق فرمول:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

یکنواختی و ناهماهنگی رویدادها. جمع کردن احتمالات دو رویداد مشترک مثال ها.

این دو رویداد نامیده می شوند مفصلدر صورتی که وقوع یکی از آنها تأثیری بر وقوع دیگری نداشته باشد یا منتفی نباشد. رویدادهای مشترک را می توان به طور همزمان تحقق بخشید، مانند ظاهر شدن هر عددی روی یک تاس

به هیچ وجه بر ظاهر اعداد روی استخوان دیگر تأثیر نمی گذارد. رویدادها ناسازگار هستنددر صورتی که در یک پدیده یا در یک آزمایش به طور همزمان نتوان به آنها پی برد و ظاهر یکی از آنها ظاهر دیگری را منتفی کند (اصابت به هدف و مفقود شدن ناسازگار است).

احتمال وقوع حداقل یکی از دو رویداد مشترک A یا B برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون احتمال وقوع مشترک:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

مثال. احتمال برخورد به هدف برای اولین ورزشکار 0.85 و برای دوم - 0.8 است. ورزشکاران به صورت مستقل

یک گلوله شلیک کرد احتمال برخورد حداقل یک ورزشکار به هدف را پیدا کنید؟

تصمیم. اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: رویدادهای A - "ضربه ورزشکار اول"، B - "ضربه ورزشکار دوم"، C - "ضربه حداقل یکی از ورزشکاران". بدیهی است که A + B = C و رویدادهای A و B با هم سازگار هستند. مطابق با فرمول، به دست می آوریم:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B)

زیرا A و B رویدادهای مستقلی هستند. با جایگزینی این مقادیر P(A) = 0.85، P(B) = 0.8 در فرمول P(C)، احتمال مورد نظر را پیدا می کنیم.

P (C) \u003d (0.85 + 0.8) - 0.85 0.8 \u003d 0.97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. قضیه جمع احتمالات وقایع متضاد

در مقابلدو رویداد ناسازگار را نام ببرید که یک گروه کامل را تشکیل می دهند. اگر یکی از دو واقعه متضاد با نشان داده شود و،دیگری معمولا نشان داده می شود . رویداد مخالف شامل عدم وقوع واقعه است و.

قضیه.مجموع احتمالات رویدادهای متضاد برابر با یک است:

P(A)+P()= 1.

مثال 4جعبه شامل 11 قسمت است که 8 قطعه آن استاندارد است. این احتمال را پیدا کنید که از بین 3 قسمت به طور تصادفی استخراج شده حداقل یک قطعه معیوب وجود داشته باشد.

تصمیم.مشکل از دو طریق قابل حل است.

1 راه. رویدادهای «در بین قطعات استخراج شده حداقل یک قطعه معیوب وجود دارد» و «در بین قطعات استخراج شده یک قطعه معیوب وجود ندارد» مخالف هستند. بیایید اولین رویداد را به عنوان نشان دهیم و،و دوم از طریق :

P(A) =1 - P( ) .

بیایید پیدا کنیم R(). مجموع روش هایی که می توان از 11 قسمت 3 قسمت استخراج کرد با تعداد ترکیب ها برابر است
. تعداد قطعات استاندارد 8 عدد می باشد ; از این تعداد قسمت
روش های استخراج 3 قطعه استاندارد بنابراین، احتمال وجود هیچ قطعه غیر استاندارد در بین 3 قسمت استخراج شده برابر است با:

بر اساس قضیه جمع احتمالات رویدادهای متضاد، احتمال مورد نظر برابر است با: P(A)=1 - P()=

2 راه.رویداد و- "در بین قطعات استخراج شده حداقل یک نقص وجود دارد" - می توان به شکل ظاهری متوجه شد:

یا رویدادها AT- "1 قطعه معیوب و 2 قطعه غیر معیوب حذف شده است"

یا رویدادها با- "حذف 2 قطعه معیوب و 1 قطعه غیر معیوب"

یا رویدادها دی - "3 قطعه معیوب حذف شده است".

سپس آ= ب+ سی+ دی. از وقایع ب, سی و دی ناسازگار است، پس می توانیم قضیه جمع را برای احتمالات رویدادهای ناسازگار اعمال کنیم:

4. قضیه ضرب احتمالات رخدادهای مستقل

محصول دو اتفاق استو وAT با رویداد تماس بگیرید سی=AB،متشکل از ظاهر مشترک (ترکیب) این رویدادها.

محصول چندین رویدادرویدادی را نام ببرید که شامل وقوع مشترک همه این رویدادها است. به عنوان مثال، رویداد ABCترکیبی از رویدادها است الف، بو با.

دو رویداد نامیده می شود مستقلدر صورتی که احتمال یکی از آنها منوط به وقوع یا عدم وقوع دیگری نباشد.

قضیه.احتمال وقوع مشترک دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

P(AB)=P(A) P(B).

نتیجه.احتمال وقوع مشترک چندین رویداد که در مجموع مستقل هستند برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها. :

P(A 1 و 2 ... و n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A n ).

مثال 5احتمال اینکه نشان با هم در یک پرتاب دو سکه ظاهر شود را بیابید.

تصمیم. بیایید وقایع را نشان دهیم: و -ظاهر نشان روی اولین سکه، AT -ظاهر نشان روی سکه دوم، با- ظاهر نشان روی دو سکه C=AB.

احتمال پیدایش نشان سکه اول :

P(A) =.

احتمال پیدایش نشان سکه دوم :

P(B) =.

از زمان اتفاقات وو ATمستقل، پس احتمال مورد نظر طبق قضیه ضرب برابر است با:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

مثال 6 3 جعبه شامل 10 قسمت وجود دارد. کشو اول شامل 8، کشو دوم 7 و کشو سوم 9 قطعه استاندارد می باشد. از هر جعبه یک مورد به صورت تصادفی کشیده می شود. احتمال استاندارد بودن هر سه قسمت خارج شده را پیدا کنید.

تصمیم. احتمال اینکه یک قطعه استاندارد از کادر اول گرفته شود (رویداد و):

P(A) =

احتمال اینکه یک قطعه استاندارد از کادر دوم گرفته شود (رویداد AT):

احتمال اینکه یک قطعه استاندارد از کادر سوم (رویداد با):

P(C)=

از زمان اتفاقات الف، بو بادر مجموع مستقل است، پس احتمال مورد نظر (طبق قضیه ضرب) برابر است با:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

مثال 7احتمال وقوع هر یک از دو رویداد مستقل و 1 و و 2 به ترتیب برابر آر 1 و آر 2. احتمال وقوع تنها یکی از این رویدادها را بیابید.

تصمیم. بیایید نماد رویدادها را معرفی کنیم:

AT 1 – تنها رویداد ظاهر شد و 1 ; AT 2 – تنها رویداد ظاهر شد و 2 .

وقوع رویداد AT 1 معادل وقوع یک رویداد است و 1 2 (حادثه اول ظاهر شد و دومی ظاهر نشد) یعنی. AT 1 = A 1 2 .

وقوع رویداد AT 2 معادل وقوع یک رویداد است 1 و 2 (حادثه اول ظاهر نشد و دومی ظاهر شد) یعنی. AT 1 = 1 و 2 .

بنابراین، برای یافتن احتمال وقوع تنها یکی از رویدادها و 1 یا و 2 ، برای یافتن احتمال وقوع یک، صرف نظر از هر یک از رویدادها، کافی است AT 1 و AT 2 . تحولات AT 1 و AT 2 ناسازگار هستند، بنابراین قضیه جمع رویدادهای ناسازگار قابل اعمال است:

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

قضایای جمع و ضرب احتمالات.
رویدادهای وابسته و مستقل

عنوان ترسناک به نظر می رسد، اما در واقع بسیار ساده است. در این درس با قضایای جمع و ضرب احتمالات رویداد آشنا می شویم و همچنین به تحلیل تکالیف معمولی می پردازیم که به همراه وظیفه برای تعریف کلاسیک احتمالقطعاً ملاقات خواهید کرد یا به احتمال زیاد قبلاً در راه شما ملاقات کرده اید. برای مطالعه مؤثر مواد این مقاله، باید اصطلاحات اساسی را بدانید و درک کنید نظریه احتمالو قادر به انجام عملیات حسابی ساده باشد. همانطور که می بینید، مقدار بسیار کمی مورد نیاز است، و بنابراین اضافه وزن در دارایی تقریبا تضمین شده است. اما از سوی دیگر، من دوباره نسبت به نگرش سطحی به نمونه های عملی هشدار می دهم - ظرافت های کافی نیز وجود دارد. موفق باشید:

قضیه جمع برای احتمالات رویدادهای ناسازگار: احتمال وقوع یکی از این دو ناسازگاررویدادها یا (مهم نیست چه باشد)، برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها:

یک واقعیت مشابه برای تعداد بیشتری از رویدادهای ناسازگار نیز صادق است، به عنوان مثال، برای سه رویداد ناسازگار و:

قضیه رویا =) با این حال چنین رویایی مشمول برهان هم هست که مثلاً در راهنمای مطالعه V.E. گمورمن.

بیایید با مفاهیم جدید و تا به حال دیده نشده آشنا شویم:

رویدادهای وابسته و مستقل

بیایید با رویدادهای مستقل شروع کنیم. رویدادها هستند مستقل در صورت احتمال وقوع هر یک از آنها وابسته نیستاز ظهور/عدم ظهور سایر رویدادهای مجموعه در نظر گرفته شده (در تمامی ترکیبات ممکن). ... اما چه چیزی برای خرد کردن عبارات رایج وجود دارد:

قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل: احتمال وقوع مشترک رویدادهای مستقل و برابر است با حاصلضرب احتمالات این رویدادها:

بیایید به ساده ترین مثال درس اول برگردیم که در آن دو سکه پرتاب می شود و اتفاقات زیر:

- سرها روی سکه اول می افتند.
- سرهای روی سکه دوم.

بیایید احتمال رویداد را پیدا کنیم (سرها روی سکه اول ظاهر می شوند وعقاب روی سکه دوم ظاهر می شود - یادت باشد چگونه بخوانی محصول رویدادها!) . احتمال سر در آوردن یک سکه به نتیجه پرتاب سکه دیگر بستگی ندارد، بنابراین، رویدادها و مستقل هستند.

به همین ترتیب:
این احتمال وجود دارد که سکه اول به سر برسد ودر دم دوم؛
احتمال ظاهر شدن سرها روی سکه اول است ودر دم دوم؛
احتمال این است که سکه اول روی دم فرود آید ودر دومین عقاب

توجه داشته باشید که رویدادها شکل می گیرند گروه کاملو مجموع احتمالات آنها برابر با یک است: .

قضیه ضرب بدیهی است که به تعداد بیشتری از رویدادهای مستقل گسترش می یابد، بنابراین، برای مثال، اگر رویدادها مستقل باشند، احتمال وقوع مشترک آنها عبارت است از: . بیایید با مثال های خاص تمرین کنیم:

وظیفه 3

هر یک از سه جعبه شامل 10 قسمت است. در جعبه اول 8 قسمت استاندارد وجود دارد، در دوم - 7، در سوم - 9. یک قسمت به طور تصادفی از هر جعبه حذف می شود. احتمال استاندارد بودن تمام قطعات را پیدا کنید.

تصمیم: احتمال استخراج یک قطعه استاندارد یا غیر استاندارد از هر جعبه ای بستگی به این ندارد که کدام قسمت از جعبه های دیگر استخراج شود، بنابراین مشکل مربوط به رویدادهای مستقل است. رویدادهای مستقل زیر را در نظر بگیرید:

- یک قسمت استاندارد از جعبه 1 حذف می شود.
- یک قسمت استاندارد از جعبه دوم حذف می شود.
– یک قسمت استاندارد از کشوی سوم خارج شده است.

طبق تعریف کلاسیک:
احتمالات مربوطه هستند.

رویدادی که به آن علاقه مندیم (قسمت استاندارد از کشو 1 برداشته می شود واز استاندارد 2 واز استاندارد 3)توسط محصول بیان می شود.

طبق قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل:

این احتمال وجود دارد که یک قطعه استاندارد از سه جعبه استخراج شود.

پاسخ: 0,504

پس از تمرینات نیروبخش با جعبه ها، کوزه های کمتر جالبی در انتظار ما هستند:

وظیفه 4

سه کوزه شامل 6 توپ سفید و 4 توپ سیاه است. از هر کوزه یک توپ به طور تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که: الف) هر سه توپ سفید باشند. ب) هر سه توپ یک رنگ خواهند بود.

بر اساس اطلاعات دریافت شده، حدس بزنید که چگونه با آیتم "be" برخورد کنید ;-) یک راه حل نمونه تقریبی به سبک آکادمیک با شرح دقیق همه رویدادها طراحی شده است.

رویدادهای وابسته. رویداد نامیده می شود وابسته اگر احتمالش هست بستگی دارداز یک یا چند رویداد که قبلاً اتفاق افتاده است. برای مثال لازم نیست راه دور بروید - فقط به نزدیکترین فروشگاه بروید:

- فردا ساعت 19:00 نان تازه به فروش می رسد.

احتمال این اتفاق به بسیاری از اتفاقات دیگر بستگی دارد: آیا نان تازه فردا تحویل داده می شود، آیا تا قبل از ساعت 19 فروخته می شود یا خیر و غیره. بسته به شرایط مختلف، این رویداد می تواند قابل اعتماد و غیرممکن باشد. بنابراین رویداد است وابسته.

نان ... و همانطور که رومیان خواستار سیرک ها شدند:

- در امتحان، دانش آموز یک بلیط ساده دریافت می کند.

اگر اولین بار نروید، این رویداد وابسته خواهد بود، زیرا احتمال آن بستگی به بلیط هایی دارد که همکلاسی ها قبلاً ترسیم کرده اند.

چگونه وابستگی/استقلال رویدادها را تعیین کنیم؟

گاهی اوقات این به طور مستقیم در شرایط مشکل بیان می شود، اما اغلب شما باید یک تجزیه و تحلیل مستقل انجام دهید. در اینجا هیچ دستورالعمل روشنی وجود ندارد و واقعیت وابستگی یا استقلال رویدادها از استدلال منطقی طبیعی ناشی می شود.

برای اینکه همه چیز را در یک پشته نیندازیم، وظایف برای رویدادهای وابستهمن درس بعدی را برجسته می کنم، اما در حال حاضر ما رایج ترین دسته قضایا را در عمل در نظر خواهیم گرفت:

مسائل مربوط به قضایای جمع برای احتمالات ناسازگار
و ضرب احتمالات رخدادهای مستقل

این پشت سر هم، طبق ارزیابی ذهنی من، در حدود 80 درصد از وظایف مربوط به موضوع مورد بررسی کار می کند. یک موفقیت و یک کلاسیک واقعی از نظریه احتمال:

وظیفه 5

دو تیرانداز هر کدام یک تیر به سمت هدف شلیک کردند. احتمال ضربه برای تیرانداز اول 0.8 و برای دوم - 0.6 است. این احتمال را پیدا کنید که:

الف) فقط یک تیرانداز به هدف برخورد می کند.
ب) حداقل یکی از تیراندازان به هدف برخورد کند.

تصمیم: احتمال ضربه / از دست دادن یک تیرانداز به وضوح مستقل از عملکرد تیرانداز دیگر است.

وقایع را در نظر بگیرید:
- تیرانداز اول به هدف برخورد می کند.
- تیرانداز دوم به هدف برخورد خواهد کرد.

با شرط: .

بیایید احتمالات رویدادهای متضاد را پیدا کنیم - که فلش های مربوطه را از دست می دهند:

الف) رویداد را در نظر بگیرید: - فقط یک تیرانداز به هدف برخورد می کند. این رویداد شامل دو نتیجه ناسازگار است:

تیرانداز اول ضربه خواهد زد و 2 فقدان
یا
1 از دست خواهد داد و 2 ضربه خواهد زد.

روی زبان جبرهای رویداداین واقعیت را می توان به صورت زیر نوشت:

ابتدا از قضیه جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار استفاده می کنیم، سپس از قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل استفاده می کنیم:

این احتمال وجود دارد که تنها یک ضربه وجود داشته باشد.

ب) رویداد را در نظر بگیرید: - حداقل یکی از تیراندازان به هدف برخورد خواهد کرد.

اول از همه، بیایید فکر کنیم - شرط "حداقل یک" به چه معناست؟ در این صورت، این بدان معنی است که یا تیرانداز اول ضربه می زند (دومی از دست می دهد) یادوم (اول از دست دادن) یاهر دو فلش به طور همزمان - در مجموع 3 نتیجه ناسازگار.

روش یک: با توجه به احتمال آماده شده مورد قبلی، به راحتی می توان رویداد را به عنوان مجموع رویدادهای متمایز زیر نشان داد:

یکی خواهد گرفت (رویدادی متشکل از 2 نتیجه ناسازگار) یا
اگر هر دو فلش برخورد کرد، این رویداد را با حرف نشان می دهیم.

بدین ترتیب:

طبق قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل:
احتمال ضربه زدن تیرانداز اول است وتیرانداز دوم ضربه خواهد زد.

طبق قضیه جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار:
احتمال حداقل یک ضربه به هدف است.

روش دو: رویداد مخالف را در نظر بگیرید: - هر دو تیرانداز از دست خواهند داد.

طبق قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل:

در نتیجه:

توجه ویژهبه روش دوم توجه کنید - در حالت کلی منطقی تر است.

علاوه بر این، یک راه حل جایگزین، سوم، بر اساس قضیه جمع وقایع مشترک، که در بالا ساکت بود، وجود دارد.

! اگر برای اولین بار است که مطالب را می خوانید، برای جلوگیری از سردرگمی، بهتر است پاراگراف بعدی را نادیده بگیرید.

روش سه : رویدادها مشترک هستند، به این معنی که مجموع آنها بیانگر رویداد "حداقل یک تیرانداز به هدف می شود" (نگاه کنید به شکل 1). جبر رویداد). توسط قضیه جمع احتمالات رویدادهای مشترکو قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل:

بیایید بررسی کنیم: رویدادها و (به ترتیب 0، 1 و 2 بازدید)یک گروه کامل تشکیل دهید، بنابراین مجموع احتمالات آنها باید برابر با یک باشد:
، که قرار بود تایید شود.

پاسخ:

با مطالعه دقیق تئوری احتمال، با ده ها وظیفه با محتوای نظامی مواجه خواهید شد و، که معمولی است، پس از آن نمی خواهید به کسی شلیک کنید - وظایف تقریباً هدیه هستند. چرا قالب را ساده تر نمی کنید؟ بیایید ورودی را کوتاه کنیم:

تصمیم: با توجه به شرط: ، احتمال برخورد تیراندازهای مربوطه است. سپس احتمال عدم موفقیت آنها عبارتند از:

الف) با توجه به قضایای جمع احتمالات ناسازگار و ضرب احتمالات رویدادهای مستقل:
این احتمال وجود دارد که تنها یک تیرانداز به هدف برخورد کند.

ب) با توجه به قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل:
احتمال از دست دادن هر دو تیرانداز است.

سپس: احتمال برخورد حداقل یکی از تیراندازان به هدف است.

پاسخ:

در عمل، می توانید از هر گزینه طراحی استفاده کنید. البته خیلی بیشتر راه کوتاه را می روند، اما نباید روش اول را فراموش کرد - اگرچه طولانی تر است، اما معنی دارتر است - در آن واضح تر است. چی، چرا و چراجمع و ضرب می شود. در برخی موارد، یک سبک ترکیبی مناسب است، زمانی که مناسب است فقط برخی از رویدادها را با حروف بزرگ نشان دهیم.

وظایف مشابه برای راه حل مستقل:

وظیفه 6

دو سنسور مستقل برای اعلام حریق نصب شده است. احتمال عملکرد سنسور در هنگام آتش سوزی برای سنسور اول و دوم به ترتیب 0.5 و 0.7 است. این احتمال را پیدا کنید که در آتش سوزی:

الف) هر دو سنسور از کار می افتند.
ب) هر دو سنسور کار خواهند کرد.
ج) با استفاده از قضیه جمع برای احتمالات وقایع تشکیل یک گروه کامل، احتمال اینکه فقط یک حسگر در هنگام آتش سوزی کار کند را پیدا کنید. نتیجه را با محاسبه مستقیم این احتمال بررسی کنید (با استفاده از قضایای جمع و ضرب).

در اینجا، استقلال عملکرد دستگاه ها به طور مستقیم در شرایط بیان شده است، که به هر حال، یک توضیح مهم است. راه حل نمونه به سبک آکادمیک طراحی شده است.

اگر در یک مسئله مشابه، احتمالات یکسانی داده شود، مثلاً 0.9 و 0.9 چه می شود؟ شما باید دقیقاً همان تصمیم را بگیرید! (که در واقع قبلاً در مثال با دو سکه نشان داده شده است)

وظیفه 7

احتمال اصابت تیرانداز اول به هدف با یک شلیک 0.8 است. احتمال اصابت نکردن هدف پس از شلیک تیرانداز اول و دوم 0.08 است. احتمال برخورد تیرانداز دوم با یک شلیک به هدف چقدر است؟

و این یک پازل کوچک است که به صورت کوتاه قاب شده است. این شرط را می‌توان به طور خلاصه‌تر مجدداً فرمول‌بندی کرد، اما من اصل را بازسازی نمی‌کنم - در عمل، باید در جعل‌های پر زرق و برق بیشتر بگردم.

با او ملاقات کنید - او کسی است که جزئیات غیر قابل اندازه گیری را برای شما کاهش می دهد =):

وظیفه 8

یک کارگر سه ماشین را اداره می کند. احتمال اینکه در طول شیفت ماشین اول نیاز به تنظیم داشته باشد 0.3 است، دومی - 0.75، سومی - 0.4 است. این احتمال را پیدا کنید که در حین جابجایی:

الف) همه ماشین ها نیاز به تنظیم دارند.
ب) فقط یک ماشین نیاز به تنظیم دارد.
ج) حداقل یک دستگاه نیاز به تنظیم دارد.

تصمیم: از آنجایی که شرط چیزی در مورد یک فرآیند تکنولوژیکی واحد نمی گوید، بنابراین عملکرد هر ماشین باید مستقل از عملکرد ماشین های دیگر در نظر گرفته شود.

در قیاس با کار شماره 5، در اینجا می توانید رویدادهایی را در نظر بگیرید که شامل این واقعیت است که ماشین های مربوطه در طول جابجایی نیاز به تنظیم دارند، احتمالات را یادداشت می کنند، احتمالات رویدادهای مخالف را پیدا می کنند و غیره. اما با سه شی ، من واقعاً نمی خواهم کار را اینطور ترسیم کنم - طولانی و خسته کننده خواهد شد. بنابراین، استفاده از سبک "سریع" در اینجا به طور قابل توجهی سودآورتر است:

با شرط: - احتمال اینکه در طول شیفت ماشین های مربوطه نیاز به تنظیم داشته باشند. سپس احتمالاتی که نیاز به توجه ندارند عبارتند از:

یکی از خوانندگان یک اشتباه تایپی جالب اینجا پیدا کرده است، من حتی آن را اصلاح نمی کنم =)

الف) بر اساس قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل:
این احتمال وجود دارد که در طول شیفت، هر سه ماشین نیاز به تنظیم داشته باشند.

ب) رویداد "در طول شیفت، فقط یک ماشین نیاز به تنظیم دارد" شامل سه نتیجه ناسازگار است:

1) دستگاه اول نیاز خواهد داشتتوجه وماشین دوم نیاز نخواهد داشت ودستگاه 3 نیاز نخواهد داشت
یا:
2) دستگاه اول نیاز نخواهد داشتتوجه وماشین دوم نیاز خواهد داشت ودستگاه 3 نیاز نخواهد داشت
یا:
3) دستگاه اول نیاز نخواهد داشتتوجه وماشین دوم نیاز نخواهد داشت ودستگاه 3 نیاز خواهد داشت.

طبق قضایای جمع احتمالات ناسازگار و ضرب احتمالات رویدادهای مستقل:

- احتمال اینکه در طول شیفت فقط یک دستگاه نیاز به تنظیم داشته باشد.

فکر می کنم تا الان باید برای شما مشخص باشد که این عبارت از کجا آمده است

ج) احتمال عدم نیاز ماشین‌ها به تنظیم و سپس احتمال رخداد مخالف را محاسبه کنید:
- این واقعیت که حداقل یک دستگاه نیاز به تنظیم دارد.

پاسخ:

مورد "ve" را نیز می توان از طریق مجموع حل کرد، که این احتمال وجود دارد که در طول شیفت فقط دو ماشین نیاز به تنظیم داشته باشند. این رویداد به نوبه خود شامل 3 نتیجه ناسازگار است که با قیاس با آیتم "be" امضا می شود. سعی کنید خودتان این احتمال را پیدا کنید که کل مسئله را با کمک برابری بررسی کنید.

وظیفه 9

سه اسلحه یک رگبار به سمت هدف شلیک کردند. احتمال ضربه زدن با یک شلیک فقط از اسلحه اول 0.7، از دوم - 0.6، از سوم - 0.8 است. این احتمال را بیابید که: 1) حداقل یک پرتابه به هدف اصابت کند. 2) فقط دو پرتابه به هدف اصابت می کند. 3) هدف حداقل دو بار مورد اصابت قرار می گیرد.

راه حل و پاسخ در پایان درس.

و دوباره در مورد تصادفات: در صورتی که بر اساس شرط، دو یا حتی همه مقادیر احتمالات اولیه مطابقت داشته باشند (مثلاً 0.7؛ 0.7 و 0.7)، باید دقیقاً همان الگوریتم راه حل را دنبال کرد.

در پایان مقاله، یک پازل رایج دیگر را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

وظیفه 10

تیرانداز با هر شلیک با احتمال یکسان به هدف می زند. اگر حداقل یک ضربه در سه شلیک 0.973 باشد، این احتمال چقدر است.

تصمیم: نشان دهنده - احتمال اصابت به هدف با هر شلیک است.
و از طریق - احتمال از دست دادن با هر ضربه.

بیایید وقایع را بنویسیم:
- با 3 شلیک، تیرانداز حداقل یک بار به هدف برخورد می کند.
- تیرانداز 3 بار از دست خواهد داد.

با توجه به شرط، پس احتمال رویداد مخالف:

از سوی دیگر، با توجه به قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل:

بدین ترتیب:

- احتمال از دست دادن با هر ضربه.

در نتیجه:
احتمال زدن هر شلیک است.

پاسخ: 0,7

ساده و شیک.

در مسئله در نظر گرفته شده، سؤالات اضافی در مورد احتمال فقط یک ضربه، فقط دو ضربه و احتمال سه ضربه به هدف قابل طرح است. طرح راه حل دقیقاً مانند دو مثال قبلی خواهد بود:

با این حال، تفاوت اساسی اساسی این است که وجود دارد تست های مستقل مکرر، که به صورت متوالی، مستقل از یکدیگر و با احتمال نتایج یکسان انجام می شوند.

بیان کلی مسئله: احتمال برخی از رویدادها مشخص است، اما احتمالات سایر رویدادها که با این رویدادها مرتبط هستند باید محاسبه شوند. در این مسائل نیاز به عملیاتی بر روی احتمالات مانند جمع و ضرب احتمالات وجود دارد.

مثلاً هنگام شکار دو گلوله شلیک شد. رویداد آ- ضربه زدن به اردک از اولین شلیک، رویداد ب- ضربه از شلیک دوم. سپس مجموع وقایع آو ب- ضربه از شلیک اول یا دوم یا از دو شلیک.

وظایف از نوع متفاوت چندین رویداد داده می شود، به عنوان مثال، یک سکه سه بار پرتاب می شود. باید این احتمال را پیدا کرد که یا هر سه دفعه نشان بیرون بیفتد و یا حداقل یک بار نشان بیفتد. این یک مشکل ضرب است.

اضافه شدن احتمالات رویدادهای ناسازگار

جمع احتمال زمانی استفاده می شود که محاسبه احتمال ترکیب یا مجموع منطقی رویدادهای تصادفی ضروری باشد.

مجموع رویدادها آو بتعیین کنید آ + بیا آ ∪ ب. مجموع دو رویداد رویدادی است که اگر و تنها در صورتی رخ دهد که حداقل یکی از رویدادها رخ دهد. این به آن معنا است آ + ب- رویدادی که اگر و تنها در صورتی رخ دهد که رویدادی در حین مشاهده رخ دهد آیا رویداد ب، یا در همان زمان آو ب.

اگر حوادث آو بمتقابل ناسازگار هستند و احتمالات آنها داده می شود، سپس احتمال وقوع یکی از این رویدادها در نتیجه یک آزمایش با استفاده از جمع احتمالات محاسبه می شود.

قضیه جمع احتمالات.احتمال وقوع یکی از دو رویداد متقابل ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها:

مثلاً هنگام شکار دو گلوله شلیک شد. رویداد و– ضربه زدن به اردک از اولین شلیک، رویداد AT– ضربه از شلیک دوم، رویداد ( و+ AT) - ضربه از ضربه اول یا دوم یا از دو ضربه. بنابراین اگر دو رویداد وو ATپس رویدادهای ناسازگار هستند و+ AT- وقوع حداقل یکی از این رویدادها یا دو رویداد.

مثال 1یک جعبه حاوی 30 توپ به همان اندازه است: 10 توپ قرمز، 5 آبی و 15 سفید. احتمال اینکه یک توپ رنگی (نه سفید) بدون نگاه کردن گرفته شود را محاسبه کنید.

تصمیم. بیایید فرض کنیم که این رویداد و- "توپ قرمز گرفته شد" و رویداد AT- "توپ آبی گرفته شده است." سپس رویداد "یک توپ رنگی (نه سفید) گرفته می شود". احتمال یک رویداد را بیابید و:

و رویدادها AT:

تحولات وو AT- متقابل ناسازگار است، زیرا اگر یک توپ گرفته شود، نمی توان توپ هایی با رنگ های مختلف گرفت. بنابراین، از جمع احتمالات استفاده می کنیم:

قضیه جمع احتمالات برای چندین رویداد ناسازگار.اگر رویدادها مجموعه کامل رویدادها را تشکیل دهند، مجموع احتمالات آنها برابر با 1 است:

مجموع احتمالات وقایع متضاد نیز برابر با 1 است:

رویدادهای مخالف مجموعه کاملی از رویدادها را تشکیل می دهند و احتمال یک مجموعه کامل از رویدادها 1 است.

احتمالات وقایع متضاد معمولا با حروف کوچک نشان داده می شود. پو q. به خصوص،

که از آن فرمول های زیر برای احتمال رویدادهای متضاد به دست می آید:

مثال 2هدف در خط تیره به 3 منطقه تقسیم می شود. احتمال شلیک یک تیرانداز خاص به یک هدف در منطقه اول 0.15، در منطقه دوم - 0.23، در منطقه سوم - 0.17 است. احتمال اصابت تیرانداز به هدف و احتمال از دست دادن هدف را پیدا کنید.

راه حل: احتمال برخورد تیرانداز به هدف را پیدا کنید:

احتمال اینکه تیرانداز هدف را از دست بدهد را بیابید:

کارهای دشوارتر که در آنها باید هم جمع و هم ضرب احتمالات را اعمال کنید - در صفحه "کارهای مختلف برای جمع و ضرب احتمال" .

اضافه شدن احتمالات رویدادهای مشترک متقابل

دو رویداد تصادفی مشترک گفته می شود که وقوع یک رویداد مانع از وقوع یک رویداد دوم در همان مشاهده نباشد. به عنوان مثال، هنگام پرتاب تاس، رویداد ووقوع عدد 4 و رویداد در نظر گرفته می شود AT- انداختن عدد زوج از آنجایی که عدد 4 یک عدد زوج است، این دو رویداد با هم سازگار هستند. در عمل، وظایفی برای محاسبه احتمال وقوع یکی از رویدادهای مشترک متقابل وجود دارد.

قضیه جمع احتمالات برای رویدادهای مشترک.احتمال وقوع یکی از رویدادهای مشترک برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها که احتمال وقوع مشترک هر دو رویداد از آن کم می شود، یعنی حاصل ضرب احتمالات. فرمول احتمالات رویدادهای مشترک به شرح زیر است:

چون اتفاقات وو ATسازگار، رویداد و+ ATاگر یکی از سه رویداد ممکن رخ دهد رخ می دهد: یا AB. با توجه به قضیه جمع رویدادهای ناسازگار، به صورت زیر محاسبه می کنیم:

رویداد واگر یکی از دو رویداد ناسازگار رخ دهد رخ می دهد: یا AB. با این حال، احتمال وقوع یک رویداد از چندین رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات همه این رویدادها:

به همین ترتیب:

با جایگزینی عبارات (6) و (7) به عبارت (5)، فرمول احتمال رویدادهای مشترک را بدست می آوریم:

هنگام استفاده از فرمول (8) باید در نظر گرفت که وقایع وو ATشاید:

• مستقل متقابل؛
• متقابل وابسته

فرمول احتمال برای رویدادهای متقابل مستقل:

فرمول احتمال رویدادهای متقابل وابسته:

اگر حوادث وو ATناسازگار هستند، پس همزمانی آنها یک مورد غیرممکن است و بنابراین، پ(AB) = 0. فرمول احتمال چهارم برای رویدادهای ناسازگار به شرح زیر است:

مثال 3در مسابقات اتومبیل رانی، هنگام رانندگی با ماشین اول، احتمال برنده شدن، هنگام رانندگی در ماشین دوم. پیدا کردن:

• احتمال برنده شدن هر دو ماشین؛
• احتمال برنده شدن حداقل یک ماشین؛

1) احتمال برنده شدن ماشین اول به نتیجه ماشین دوم بستگی ندارد، بنابراین اتفاقات و(برنده ماشین اول) و AT(برنده ماشین دوم) - رویدادهای مستقل. احتمال برنده شدن هر دو ماشین را پیدا کنید:

2) احتمال برنده شدن یکی از دو ماشین را پیدا کنید:

کارهای دشوارتر که در آنها باید هم جمع و هم ضرب احتمالات را اعمال کنید - در صفحه "کارهای مختلف برای جمع و ضرب احتمال" .

مسئله جمع احتمالات را خودتان حل کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

مثال 4دو سکه پرتاب می شود. رویداد آ- گم شدن نشان روی سکه اول. رویداد ب- گم شدن نشان روی سکه دوم. احتمال یک رویداد را بیابید سی = آ + ب .

ضرب احتمال

ضرب احتمالات زمانی استفاده می شود که قرار است احتمال حاصلضرب منطقی رویدادها محاسبه شود.

در این حالت، رویدادهای تصادفی باید مستقل باشند. اگر وقوع یک رویداد بر احتمال وقوع رویداد دوم تأثیری نداشته باشد، دو رویداد از یکدیگر مستقل هستند.

قضیه ضرب احتمال برای رویدادهای مستقل.احتمال وقوع همزمان دو رویداد مستقل وو ATبرابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها و با فرمول محاسبه می شود:

مثال 5سکه سه بار پشت سر هم پرتاب می شود. احتمال افتادن نشان هر سه بار را پیدا کنید.

تصمیم. احتمال افتادن نشان روی اولین پرتاب سکه، بار دوم و بار سوم. احتمال افتادن نشان هر سه بار را پیدا کنید:

خودتان مسائل را برای ضرب احتمالات حل کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

مثال 6یک جعبه با نه توپ تنیس جدید وجود دارد. سه توپ برای بازی گرفته می شود، بعد از بازی دوباره بر می گردند. هنگام انتخاب توپ، بین توپ های بازی شده و بازی نشده تمایز قائل نمی شوند. احتمال اینکه بعد از آن چقدر است سه بازیآیا هیچ توپ بازی نشده در جعبه وجود نخواهد داشت؟

مثال 7 32 حرف از الفبای روسی بر روی کارت های الفبای بریده شده نوشته شده است. پنج کارت به صورت تصادفی یکی پس از دیگری کشیده می شوند و به ترتیبی که ظاهر می شوند روی میز قرار می گیرند. احتمال اینکه حروف کلمه "پایان" را تشکیل دهند را پیدا کنید.

مثال 8از یک دسته کامل کارت (52 برگ)، چهار کارت به طور همزمان خارج می شود. این احتمال را پیدا کنید که هر چهار کارت از یک لباس باشند.

مثال 9همان مشکل در مثال 8، اما هر کارت پس از کشیده شدن به عرشه بازگردانده می شود.

کارهای پیچیده تر، که در آنها باید هم جمع و هم ضرب احتمالات را اعمال کنید، و همچنین حاصل ضرب چندین رویداد را محاسبه کنید - در صفحه "کارهای مختلف برای جمع و ضرب احتمالات" .

احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادهای متقابل مستقل را می توان با کم کردن حاصل ضرب احتمالات رویدادهای مخالف از 1، یعنی با فرمول محاسبه کرد.