رویدادها اگر مستقل نامیده می شوند. رویدادهای تصادفی وابسته و مستقل. فرمول احتمال کل

وابستگی رویدادها در درک می شود احتمالیحس، نه عملکردی این بدان معنی است که ظاهر یکی از رویدادهای وابسته نمی تواند ظاهر دیگری را بدون ابهام قضاوت کند. وابستگی احتمالی به این معناست که وقوع یکی از رویدادهای وابسته فقط احتمال وقوع دیگری را تغییر می دهد. اگر احتمال تغییر نکند، رویدادها مستقل در نظر گرفته می شوند.

تعریف: اجازه دهید - فضای احتمال دلخواه، - برخی رویدادهای تصادفی. آنها گفتند که رویداد ولیبه رویداد بستگی ندارد AT , اگر این احتمال شرطیمنطبق بر احتمال بی قید و شرط:

.

اگر یک ، سپس می گوییم که رویداد ولیوابسته به رویداد AT.

مفهوم استقلال متقارن است، یعنی اگر یک رویداد ولیبه رویداد بستگی ندارد AT، سپس رویداد ATبه رویداد بستگی ندارد ولی. در واقع، اجازه دهید . سپس . بنابراین، آنها به سادگی می گویند که حوادث ولیو ATمستقل.

تعریف متقارن زیر از استقلال رویدادها از قاعده ضرب احتمالات ناشی می شود.

تعریف: تحولات ولیو AT،تعریف شده در همان فضای احتمال نامیده می شوند مستقل، اگر

اگر یک ، سپس وقایع ولیو ATتماس گرفت وابسته.

توجه داشته باشید که این تعریف زمانی نیز معتبر است یا .

خواص رویدادهای مستقل

1. اگر حوادث ولیو ATمستقل هستند، سپس جفت رویدادهای زیر نیز مستقل هستند: .

▲ مثلاً استقلال وقایع را ثابت کنیم. یک رویداد را تصور کنید ولیمانند: . از آنجایی که رویدادها ناسازگار هستند، پس و به دلیل استقلال رویدادها ولیو ATما آن را دریافت می کنیم. از این رو که به معنای استقلال است. ■

2. اگر رویداد ولیبه رویدادها بستگی ندارد در 1و در 2، که ناسازگار هستند () , آن رویداد ولیبستگی به مقدار ندارد

▲ در واقع، با استفاده از اصل موضوع افزایش احتمال و استقلال رویداد ولیاز رویدادها در 1و در 2، ما داریم:

رابطه بین مفاهیم استقلال و ناسازگاری.

اجازه دهید ولیو AT- هر رویدادی که احتمال غیر صفر دارد: , بنابراین . اگر حوادث ولیو ATناسازگار هستند () و بنابراین هیچ گاه برابری نمی تواند رخ دهد. به این ترتیب، رویدادهای ناسازگار وابسته هستند.

هنگامی که بیش از دو رویداد به طور همزمان در نظر گرفته شود، استقلال زوجی آنها به اندازه کافی ارتباط بین رویدادهای کل گروه را مشخص نمی کند. در این صورت مفهوم استقلال در مجموع مطرح می شود.

تعریف: رویدادهای تعریف شده در فضای احتمال یکسان نامیده می شوند مستقل جمعی، در صورت وجود 2 پوند میلیون پوندو هر ترکیبی از شاخص ها برابر است:

در m = 2استقلال در مجموع دلالت بر استقلال زوجی رویدادها دارد. عکس این قضیه درست نیست.

مثال. (برنشتاین اس.ن.)

یک آزمایش تصادفی شامل پرتاب کردن یک چهار وجهی معمولی (چهاروجهی) است. چهره ای هست که از بالا به پایین افتاده است. چهره های چهار وجهی به شرح زیر رنگی می شوند: صورت اول - سفید، وجه دوم - سیاه،
3 صورت - قرمز، 4 چهره - شامل تمام رنگ ها است.

وقایع را در نظر بگیرید:

ولی= (ترک تحصیل رنگ سفید}; ب= (قطع سیاه);

سی= (ترک تحصیل قرمز).

سپس ;

بنابراین، حوادث ولی, ATو از جانبدو به دو مستقل هستند.

با این حال، .

بنابراین، حوادث ولی, ATو از جانبدر مجموع آنها مستقل نیستند.

در عمل، به عنوان یک قاعده، استقلال رویدادها با بررسی آن با تعریف مشخص نمی شود، بلکه برعکس: رویدادها مستقل از هرگونه ملاحظات بیرونی یا با در نظر گرفتن شرایط در نظر گرفته می شوند. آزمایش تصادفیو از استقلال برای یافتن احتمالات تولید رویدادها استفاده کنید.

قضیه (ضرب احتمالات برای رویدادهای مستقل).

اگر رویدادهایی که در فضای احتمال یکسان تعریف شده اند در مجموع مستقل باشند، احتمال حاصلضرب آنها برابر است با حاصل ضرب احتمالات:

▲ اثبات قضیه از تعریف استقلال رویدادها در مجموع یا از قضیه ضرب احتمال عمومی با در نظر گرفتن این واقعیت حاصل می شود که در این مورد

مثال 1 (مثال معمولی برای یافتن احتمالات شرطی، مفهوم استقلال، قضیه جمع احتمال).

مدار الکتریکی از سه عنصر مستقل تشکیل شده است. احتمال خرابی هر یک از عناصر به ترتیب برابر است.

1) احتمال خرابی مدار را بیابید.

2) مدار از کار افتاده است.

احتمال شکست آن چقدر است:

الف) عنصر اول؛ ب) عنصر سوم؟

راه حل.رویدادها را در نظر بگیرید = (شکست خورد کعنصر ام)، و رویداد ولی= (طرح شکست خورد). سپس رویداد ولیدر قالب ارائه شده است:

.

1) از آنجایی که رویدادها با هم ناسازگار نیستند، بنابراین اصل افزایشی احتمال Р3) قابل اجرا نیست و برای یافتن احتمال باید از قضیه جمع احتمال عمومی استفاده کرد که بر اساس آن.

اجازه دهید احتمال یک رویداد ATبه وقوع رویداد بستگی ندارد ولی.

تعریف.رویداد ATتماس گرفت مستقل از رویداد Aدر صورت وقوع واقعه ولیاحتمال وقوع یک رویداد را تغییر نمی دهد AT، یعنی اگر احتمال مشروط واقعه باشد ATبرابر است با احتمال نامشروط آن:

R A(AT) = آر(AT). (2.12)

با جایگزینی (2.12) به رابطه (2.11)، به دست می آوریم

آر(ولی)آر(AT) = آر(AT)R B(ولی).

R B(ولی) = آر(ولی),

آن ها احتمال شرطی یک رویداد ولیبا فرض وقوع یک رویداد AT، برابر با احتمال نامشروط آن است. به عبارت دیگر، رویداد ولیبه رویداد بستگی ندارد ب.

لما (در مورد استقلال متقابل رویدادها): اگر رویداد ATبه رویداد بستگی ندارد ولی، سپس رویداد ولیبه رویداد بستگی ندارد AT; معنیش اینه که خاصیت استقلال رویدادها متقابل.

برای رویدادهای مستقل، قضیه ضرب آر(AB) = آر(ولی) R A(AT) دارای فرم است

آر(AB) = آر(ولی) آر(AT), (2.13)

آن ها احتمال وقوع مشترک دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها.

برابری (2.13) به عنوان تعریف رویدادهای مستقل در نظر گرفته شده است. به دو رویداد مستقل گفته می شود که وقوع یکی از آنها احتمال وقوع دیگری را تغییر ندهد.

تعریف.دو رویداد نامیده می شود مستقلاگر احتمال ترکیب آنها برابر با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها باشد. در غیر این صورت رویدادها نامیده می شوند وابسته.

در عمل، استقلال رویدادها با توجه به معنای مسئله به نتیجه می رسد. به عنوان مثال، احتمال اصابت یک هدف با هر یک از دو اسلحه به اصابت اسلحه دیگر به هدف بستگی ندارد، بنابراین رویدادهای "اولین اسلحه به هدف اصابت کرد" و "تفنگ دوم به هدف اصابت کرد" مستقل هستند.

مثال. احتمال اصابت دو اسلحه به هدف را در صورت احتمال اصابت اولین اسلحه به هدف بیابید (رویداد ولی) برابر با 0.8 است و دومی (رویداد AT) – 0,7.

راه حل.تحولات ولیو ATمستقل، بنابراین، با قضیه ضرب، احتمال مورد نظر

آر(AB) = آر(ولی)آر(AT) = 0.7 × 0.8 = 0.56.

اظهار نظر 1. اگر حوادث ولیو ATمستقل هستند، پس رویدادها نیز مستقل هستند. ولیو و AT، و . واقعا،

در نتیجه،

، یا .

، یا .

آن ها تحولات ولیو ATمستقل.

استقلال حوادث و AT، و نتیجه ادعای اثبات شده است.

مفهوم استقلال را می توان به مورد تعمیم داد nمناسبت ها.

تعریف.چند رویداد نامیده می شود مستقل جفتیاگر هر دوتای آنها مستقل باشند. به عنوان مثال، رویدادها ولی, AT, از جانباگر رویدادها مستقل باشند به صورت زوجی مستقل هستند ولیو AT, ولیو از جانب, ATو از جانب.

به منظور تعمیم قضیه ضرب به چندین رویداد، مفهوم استقلال رویدادها را در مجموع معرفی می کنیم.

تعریف.چند رویداد نامیده می شود مستقل جمعی(یا به سادگی مستقل) اگر هر دو مستقل باشند و هر رویداد و همه محصولات ممکن دیگران مستقل باشند. به عنوان مثال، اگر حوادث ولی 1 , آ 2 , ولی 3 در مجموع مستقل هستند، سپس رویدادها مستقل هستند ولی 1 و آ 2 , ولی 1 و ولی 3 , آ 2 و ولی 3 ; ولی 1 و آ 2 ولی 3 , آ 2 و ولی 1 ولی 3 , ولی 3 و ولی 1 آ 2. از آنچه گفته شد چنین برمی‌آید که اگر رویدادها در مجموع مستقل باشند، احتمال مشروط وقوع هر رویدادی از میان آن‌ها، با فرض وقوع هر رویداد دیگری از میان دیگر، برابر است با احتمال بی قید و شرط آن

ما تأکید می کنیم که اگر چندین رویداد به صورت جفت مستقل باشند، استقلال آنها در مجموع هنوز از این نتیجه نمی گیرد. از این نظر، نیاز به استقلال رویدادها در مجموع قوی‌تر از الزام استقلال زوجی آنهاست.

اجازه دهید آنچه را که گفته شد با یک مثال توضیح دهیم. فرض کنید در ظرف 4 توپ رنگی وجود دارد: یکی قرمز ( ولی)، یک - به رنگ آبی ( AT، یک - سیاه ( از جانب) و یک - در هر سه رنگ ( ABC). احتمال اینکه توپی که از کوزه کشیده می شود قرمز باشد چقدر است؟

از آنجایی که دو توپ از چهار توپ قرمز هستند، پس آر(ولی) = 2/4 = 1/2. با استدلال مشابه، متوجه می شویم آر(AT) = 1/2, آر(از جانب) = 1/2. اکنون فرض می کنیم که توپ گرفته شده آبی است، یعنی. رویداد ATقبلا اتفاق افتاده است آیا احتمال قرمز بودن توپ کشیده شده تغییر می کند، یعنی. آیا احتمال وقوع یک رویداد تغییر می کند؟ ولی? از دو توپی که آبی هستند، یک توپ نیز قرمز است، بنابراین احتمال وقوع این اتفاق است ولیهنوز 1/2 است. به عبارت دیگر، احتمال شرطی یک رویداد ولی، با این فرض محاسبه می شود که یک رویداد رخ داده است AT، برابر با احتمال نامشروط آن است. بنابراین، حوادث ولیو ATمستقل. به همین ترتیب نتیجه می گیریم که وقایع ولیو از جانب, ATو از جانبمستقل. بنابراین حوادث ولی, ATو از جانبدو به دو مستقل هستند.

آیا این رویدادها در مجموع مستقل هستند؟ معلوم می شود که نه. در واقع، اجازه دهید توپ استخراج شده دارای دو رنگ باشد، به عنوان مثال، آبی و سیاه. احتمال اینکه این توپ هم قرمز باشد چقدر است؟ فقط یک توپ در هر سه رنگ رنگی است، بنابراین توپ گرفته شده نیز قرمز است. بنابراین، با فرض اینکه حوادث ATو از جانبرخ داده است، نتیجه می گیریم که رویداد ولیحتما خواهد آمد بنابراین این رویداد قابل اعتماد و احتمال آن برابر با یک است. به عبارت دیگر، احتمال شرطی R BC(ولی)= 1 رویداد ولیبا احتمال بی قید و شرط آن برابر نیست آر(ولی) = 1/2. بنابراین، به صورت جفت رویدادهای مستقل ولی, AT, از جانببه طور جمعی مستقل نیستند.

اکنون نتیجه ای از قضیه ضرب را ارائه می کنیم.

نتیجه.احتمال وقوع مشترک چندین رویداد که در مجموع مستقل هستند برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

اثباتسه رویداد را در نظر بگیرید: ولی, ATو از جانب. ترکیبی از رویدادها ولی, ATو از جانبمعادل ترکیبی از رویدادها ABو از جانب، از همین رو

آر(ABC) = آر(AB×C).

از وقایع ولی, ATو از جانبدر مجموع مستقل هستند، سپس مستقل هستند، به طور خاص، رویدادها ABو از جانب، همچنین ولیو AT. با قضیه ضرب برای دو رویداد مستقل، داریم:

آر(AB×C) = آر(AB)آر(از جانب) و آر(AB) = آر(ولی)آر(AT).

بنابراین، در نهایت ما دریافت می کنیم

آر(ABC) = آر(ولی)آر(AT)آر(از جانب).

برای یک دلخواه nاثبات با روش استقراء ریاضی انجام می شود.

اظهار نظر.اگر حوادث ولی 1 , ولی 2 , ...,A nدر مجموع مستقل هستند، سپس رویدادهای مخالف نیز در مجموع مستقل هستند.

مثال.احتمال اینکه نشان با هم در یک پرتاب دو سکه ظاهر شود را بیابید.

راه حل.احتمال ظهور نشان اولین سکه (رویداد ولی)

آر(ولی) = 1/2.

احتمال ظهور نشان سکه دوم (رویداد AT)

آر(AT) = 1/2.

تحولات ولیو ATمستقل، بنابراین احتمال مورد نظر توسط قضیه ضرب برابر است با

آر(AB) = آر(ولی)آر(AT) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

مثال. 3 جعبه شامل 10 قسمت وجود دارد. کشو اول شامل 8، کشو دوم 7 و کشو سوم 9 قطعه استاندارد می باشد. از هر جعبه یک مورد به صورت تصادفی کشیده می شود. احتمال استاندارد بودن هر سه قسمت خارج شده را پیدا کنید.

راه حل.احتمال اینکه یک قطعه استاندارد از کادر اول گرفته شود (رویداد ولی),

آر(ولی) = 8/10 = 0,8.

احتمال اینکه یک قطعه استاندارد از کادر دوم گرفته شود (رویداد AT),

آر(AT) = 7/10 = 0,7.

احتمال اینکه یک قطعه استاندارد از کادر سوم (رویداد از جانب),

آر(از جانب) = 9/10 = 0,9.

از وقایع ولی, ATو از جانبمستقل در مجموع، پس احتمال مورد نظر (با قضیه ضرب) برابر است با

آر(ABC) = آر(ولی)آر(AT)آر(از جانب) = 0.8×0.7×0.9 = 0.504.

اجازه دهید مثالی از کاربرد مشترک قضایای جمع و ضرب بیاوریم.

مثال.احتمال وقوع هر یک از سه رویداد مستقل ولی 1 , ولی 2 , ولی 3 به ترتیب برابر آر 1 , آر 2 , آر 3 . احتمال وقوع تنها یکی از این رویدادها را بیابید.

راه حل. توجه داشته باشید که مثلاً ظاهر فقطاولین رویداد ولی 1 معادل ظهور یک رویداد است (اول ظاهر شد و رویداد دوم و سوم ظاهر نشدند). اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:

ب 1 - فقط رویداد ظاهر شد ولی 1، یعنی ;

ب 2 - فقط رویداد ظاهر شد ولی 2، یعنی ;

ب 3 - فقط رویداد ظاهر شد ولی 3، یعنی .

بنابراین، برای یافتن احتمال وقوع تنها یکی از رویدادها ولی 1 , ولی 2 , ولی 3، ما به دنبال احتمال خواهیم بود پ(ب 1 + ب 2 + AT 3) ظهور یکی، مهم نیست کدام یک از وقایع AT 1 , AT 2 , AT 3 .

از وقایع AT 1 , AT 2 , AT 3 ناسازگار هستند، سپس قضیه جمع اعمال می شود

پ(ب 1 + ب 2 + AT 3) = آر(AT 1) + آر(AT 2) + آر(AT 3). (*)

باقی مانده است که احتمالات هر یک از رویدادها را پیدا کنیم AT 1 , AT 2 , AT 3 . تحولات ولی 1 , ولی 2 , ولی 3 مستقل هستند، بنابراین، رویدادها مستقل هستند، بنابراین قضیه ضرب در مورد آنها صدق می کند

به همین ترتیب،

با جایگزینی این احتمالات به (*)، احتمال مورد نظر وقوع تنها یکی از رویدادها را پیدا می کنیم. ولی 1 , ولی 2 , ولی 3.

تعاریف احتمال

تعریف کلاسیک

"تعریف" کلاسیک احتمال از این مفهوم می آید فرصت برابربه عنوان ویژگی عینی پدیده های مورد مطالعه. هم ارزی مفهومی غیرقابل تعریف است و از ملاحظات کلی تقارن پدیده های مورد مطالعه ایجاد می شود. به عنوان مثال، هنگام پرتاب سکه، فرض بر این است که به دلیل تقارن مفروض سکه، همگن بودن مواد، و تصادفی بودن (غیر سوگیری) پرتاب، دلیلی برای ترجیح دادن «دم» به سکه وجود ندارد. «عقاب ها» یا برعکس، یعنی از دست دادن این اضلاع را می توان به همان اندازه محتمل (معادل) دانست.

در کنار مفهوم احتمال همسانی در حالت کلی، تعریف کلاسیک نیز مستلزم مفهوم یک رویداد ابتدایی (نتیجه) است که به نفع رویداد A مورد مطالعه است یا خیر. ما در مورد نتایجی صحبت می کنیم که وقوع آنها امکان را منتفی می کند. از وقوع سایر پیامدها اینها رویدادهای ابتدایی ناسازگار هستند. مثلا هنگام پرتاب تاسحذف یک عدد خاص، حذف اعداد دیگر را مستثنی می کند.

تعریف کلاسیک احتمال را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

احتمال وقوع یک رویداد تصادفیآ نسبت عدد نامیده می شود n رویدادهای ابتدایی ناسازگار به همان اندازه محتمل که رویداد را تشکیل می دهندآ ، به تعداد همه رویدادهای ابتدایی ممکنن :

به عنوان مثال، فرض کنید دو تاس پرتاب شده است. تعداد کل نتایج ممکن (رویدادهای ابتدایی) به طور واضح 36 است (6 احتمال در هر قالب). احتمال کسب 7 امتیاز را تخمین بزنید. کسب ۷ امتیاز به روش های زیر امکان پذیر است: ۱+۶، ۲+۵، ۳+۴، ۴+۳، ۵+۲، ۶+۱. یعنی تنها 6 نتیجه به همان اندازه وجود دارد که به نفع رویداد A - کسب 7 امتیاز است. بنابراین احتمال برابر با 6/36=1/6 خواهد بود. برای مقایسه، احتمال کسب 12 امتیاز یا 2 امتیاز فقط 1/36 - 6 برابر کمتر است.

تعریف هندسی

علیرغم این واقعیت که تعریف کلاسیک شهودی و برگرفته از تمرین است، حداقل نمی‌توان آن را مستقیماً اعمال کرد اگر تعداد نتایج به همان اندازه ممکن نامحدود باشد. یک مثال واضح از تعداد نامتناهی از نتایج ممکن، یک منطقه هندسی محدود G است، به عنوان مثال، در یک صفحه، با مساحت S. یک "نقطه" به طور تصادفی "پرتاب" با احتمال مساوی می تواند در هر نقطه ای از این منطقه باشد. مشکل این است که احتمال سقوط یک نقطه به زیر دامنه g با مساحت s را تعیین کنیم. در این حالت، با تعمیم تعریف کلاسیک، می‌توان به یک تعریف هندسی از احتمال قرار گرفتن در زیر دامنه رسید:

با توجه به احتمال مساوی، این احتمال به شکل ناحیه g بستگی ندارد، فقط به مساحت آن بستگی دارد. این تعریف را می توان به طور طبیعی به فضایی با هر ابعادی تعمیم داد که در آن به جای مساحت از مفهوم «حجم» استفاده می شود. علاوه بر این، این تعریف است که منجر به تعریف بدیهی مدرن از احتمال می شود. مفهوم حجم به مفهوم "میزان" مجموعه ای انتزاعی تعمیم داده می شود که الزاماتی به آن تحمیل می شود ، که "حجم" در تفسیر هندسی نیز دارد - اول از همه اینها غیر منفی بودن و افزایشی است.

تعیین فراوانی (آماری).

تعریف کلاسیک، هنگام بررسی مسائل پیچیده، با مشکلاتی با ماهیت غیرقابل حل مواجه می شود. به ویژه، در برخی موارد ممکن است امکان شناسایی موارد به همان اندازه محتمل نباشد. حتی در مورد یک سکه، همانطور که مشخص است، به وضوح احتمال ریزش یک "لبه" وجود ندارد، که نمی توان آن را از ملاحظات تئوریک تخمین زد (فقط می توان گفت که بعید است و این ملاحظه عملی است. ). بنابراین، در طلوع شکل گیری نظریه احتمال، یک تعریف جایگزین «فرکانس» از احتمال ارائه شد. یعنی، به طور رسمی، احتمال را می توان به عنوان حد فراوانی مشاهدات رویداد A با فرض همگنی مشاهدات (یعنی یکسان بودن همه شرایط مشاهده) و استقلال آنها از یکدیگر تعریف کرد:

تعداد مشاهدات کجاست و تعداد وقوع رویداد است.

علیرغم اینکه این تعریف بیشتر بیانگر روشی برای تخمین یک احتمال مجهول - با استفاده از تعداد زیادی مشاهدات همگن و مستقل است - با این حال، این تعریف محتوای مفهوم احتمال را منعکس می کند. یعنی اگر یک احتمال معین به یک رویداد به عنوان معیار عینی امکان آن نسبت داده شود، این بدان معناست که در شرایط ثابت و تکرارهای متعدد، فرکانس وقوع آن را نزدیک به (هر چه نزدیکتر، مشاهدات بیشتر) بدست آوریم. در واقع، این معنای اصلی مفهوم احتمال است. مبتنی بر دیدگاه عینی گرایانه از پدیده های طبیعی است. در زیر به اصطلاح قوانین آمده است اعداد بزرگکه یک مبنای نظری (در چارچوب رویکرد بدیهی مدرن ارائه شده در زیر) از جمله برای تخمین فرکانس احتمال فراهم می کند.

تعریف بدیهی

در رویکرد ریاضی مدرن، احتمال توسط بدیهیات کلموگروف. فرض بر این است که برخی فضای رویدادهای ابتدایی. زیر مجموعه های این فضا به این صورت تعبیر می شوند رویدادهای تصادفی. اتحاد (جمع) برخی از زیرمجموعه ها (رویدادها) به عنوان یک رویداد متشکل از وقوع تفسیر می شود. حداقل یکیاز این اتفاقات تقاطع (محصول) زیر مجموعه ها (رویدادها) به عنوان یک رویداد متشکل از وقوع تفسیر می شود. همهاین رویدادها مجموعه های گسسته به این صورت تعبیر می شوند ناسازگاررویدادها (حمله مشترک آنها غیرممکن است). بر این اساس مجموعه خالی یعنی غیر ممکنرویداد.

احتمال ( اندازه گیری احتمال) نامیده میشود اندازه گرفتن(تابع عددی) که بر روی مجموعه رویدادها تعریف می شود و دارای ویژگی های زیر است:

اگر فضای رویدادهای ابتدایی X قطعا، پس شرط افزایشی مشخص شده برای دو رویداد ناسازگار دلخواه کافی است، که از آن افزایش برای هر نهاییتعداد رویدادهای ناسازگار اما در مورد فضای نامتناهی (قابل شمارش یا غیرقابل شمارش) رویدادهای ابتدایی، این شرط کافی نیست. به اصطلاح افزودنی قابل شمارش یا سیگما، یعنی تحقق خاصیت افزودنی برای هر بیش از قابل شمارش نیستخانواده رویدادهای ناسازگار دوتایی این برای اطمینان از "تداوم" اندازه گیری احتمال ضروری است.

اندازه گیری احتمال ممکن است برای همه زیر مجموعه های مجموعه تعریف نشده باشد. فرض بر این است که بر روی برخی تعریف شده است جبر سیگمازیر مجموعه ها . این زیر مجموعه ها نامیده می شوند قابل اندازه گیریبا توجه به یک اندازه احتمال داده شده، و آنها رویدادهای تصادفی هستند. مجموعه - یعنی مجموعه رویدادهای ابتدایی، سیگما جبر زیر مجموعه های آن و اندازه گیری احتمال - نامیده می شود. فضای احتمال.

متغیرهای تصادفی پیوستهعلاوه بر متغیرهای تصادفی گسسته، که مقادیر ممکن آنها یک دنباله متناهی یا نامتناهی از اعداد را تشکیل می دهند که هیچ بازه ای را به طور کامل پر نمی کنند، اغلب متغیرهای تصادفی وجود دارند که مقادیر ممکن آنها یک بازه مشخص را تشکیل می دهند. نمونه ای از چنین متغیرهای تصادفی انحراف از مقدار اسمی اندازه معینی از یک قطعه با یک فرآیند تکنولوژیکی به درستی تعیین شده است. این نوع متغیرهای تصادفی را نمی توان با استفاده از قانون توزیع احتمال مشخص کرد p(x). با این حال، آنها را می توان با استفاده از تابع توزیع احتمال مشخص کرد F(x). این تابع دقیقاً به همان روشی که در مورد یک متغیر تصادفی گسسته تعریف می شود:

بنابراین، در اینجا نیز تابع F(x)بر روی محور عدد کامل و مقدار آن در نقطه تعریف شده است ایکسبرابر است با احتمال اینکه متغیر تصادفی مقداری کمتر از آن به خود بگیرد ایکس. فرمول (19) و خواص 1 درجه و 2 درجه برای تابع توزیع هر متغیر تصادفی معتبر است. اثبات به طور مشابه در مورد یک کمیت گسسته انجام می شود. متغیر تصادفی نامیده می شود مداوم، اگر برای آن یک تابع تکه ای-پیوسته غیر منفی* وجود داشته باشد که برای هر مقداری راضی کننده باشد ایکسبرابری

بر اساس معنای هندسی انتگرال به عنوان یک مساحت، می توان گفت که احتمال تحقق نابرابری ها برابر است با مساحت یک ذوزنقه منحنی با قاعده. در بالا توسط یک منحنی محدود شده است (شکل 6).

از آنجا که و بر اساس فرمول (22)

توجه داشته باشید که برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تابع توزیع است F(x)پیوسته در هر نقطه ایکس، که در آن تابع پیوسته است. این از این واقعیت ناشی می شود که F(x)در این نقاط قابل تمایز است. بر اساس فرمول (23) با فرض ایکس 1 =x، ، ما داریم

با توجه به تداوم عملکرد F(x)ما آن را دریافت می کنیم

در نتیجه

به این ترتیب، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته بتواند هر مقدار x را بگیرد صفر است. از این نتیجه می شود که وقایع شامل تحقق هر یک از نابرابری ها است

احتمال یکسانی دارند، یعنی.

در واقع، برای مثال،

زیرا اظهار نظر.همانطور که می دانیم، اگر رویدادی غیرممکن باشد، احتمال وقوع آن صفر است. در تعریف کلاسیک احتمال، زمانی که تعداد نتایج آزمون محدود است، گزاره معکوس نیز اتفاق می‌افتد: اگر احتمال یک رویداد صفر باشد، آن رویداد غیرممکن است، زیرا در این مورد هیچ یک از نتایج آزمون به نفع آن نیست. در مورد یک متغیر تصادفی پیوسته، تعداد مقادیر ممکن آن بی نهایت است. احتمال اینکه این مقدار مقدار خاصی به خود بگیرد ایکس 1 همانطور که دیدیم برابر با صفر است. با این حال، از این نتیجه نمی‌شود که این رویداد غیرممکن است، زیرا در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی به ویژه می‌تواند مقدار را به خود بگیرد. ایکس 1 . بنابراین، در مورد یک متغیر تصادفی پیوسته، منطقی است که در مورد احتمال قرار گرفتن متغیر تصادفی در بازه صحبت کنیم، و نه در مورد احتمال اینکه مقدار خاصی به خود بگیرد. بنابراین، برای مثال، در ساخت یک غلتک، ما علاقه ای به این نداریم که قطر آن برابر با مقدار اسمی باشد. برای ما احتمال اینکه قطر غلتک از حد تحمل خارج نشود مهم است. مثال.چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته به شرح زیر است:

نمودار تابع در شکل نشان داده شده است. 7. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری را که نابرابری ها را برآورده می کند را تعیین کنید تابع توزیع یک متغیر تصادفی داده شده را بیابید. ( راه حل)

دو پاراگراف بعدی به توزیع متغیرهای تصادفی پیوسته که اغلب در عمل با آنها مواجه می شوند - توزیع یکنواخت و نرمال - اختصاص دارد.

* اگر تابعی در تمام محور عددی پیوسته باشد یا تعداد محدودی از نقاط ناپیوستگی نوع اول داشته باشد، به صورت تکه ای پیوسته نامیده می شود. ** قانون تمایز یک انتگرال با یک کران بالایی متغیر، که در مورد کران پایین محدود به دست می‌آید، برای انتگرال‌هایی با کران پایین بی‌نهایت معتبر باقی می‌ماند. در واقع،

از آنجایی که انتگرال است

یک مقدار ثابت است

رویدادهای وابسته و مستقل. احتمال شرطی

بین رویدادهای وابسته و مستقل تمایز قائل شوید. به دو رویداد مستقل گفته می شود که وقوع یکی از آنها احتمال وقوع دیگری را تغییر ندهد. به عنوان مثال، اگر در یک کارگاه دو خط اتوماتیک کار کنند که با توجه به شرایط تولید به هم متصل نباشند، توقف این خطوط رویدادهای مستقلی هستند.

مثال 3سکه دو بار ورق می خورد. احتمال ظاهر شدن "نشان" در آزمون اول (رویداد) به ظاهر یا عدم ظهور "نشان" در آزمون دوم (رویداد) بستگی ندارد. به نوبه خود، احتمال ظاهر شدن "نشان" در آزمون دوم به نتیجه آزمایش اول بستگی ندارد. بنابراین، رویدادها و مستقل است.

چند رویداد نامیده می شود مستقل جمعی ، در صورتی که هر یک از آنها به هیچ رویداد دیگری و به ترکیبی از دیگران وابسته نباشد.

رویدادها نامیده می شوند وابسته ، اگر یکی از آنها بر احتمال وقوع دیگری تأثیر بگذارد. به عنوان مثال، دو کارخانه تولید با یک چرخه فناوری واحد به هم متصل می شوند. سپس احتمال شکست یکی از آنها به وضعیت دیگری بستگی دارد. احتمال یک رویداد که با فرض وقوع یک رویداد دیگر محاسبه می شود، نامیده می شود احتمال شرطی رویدادها و با نشان داده می شود.

شرط استقلال یک رویداد از یک رویداد به شکل نوشته شده است و شرط وابستگی آن - به شکل. مثالی از محاسبه احتمال شرطی یک رویداد را در نظر بگیرید.

مثال 4در جعبه 5 دندان ثنایا وجود دارد: دو عدد فرسوده و سه عدد نو. دو کشیدن متوالی ثنایا انجام می شود. احتمال مشروط ظاهر شدن کاتر فرسوده را در حین استخراج دوم تعیین کنید، مشروط بر اینکه کاتری که برای بار اول برداشته شده است به جعبه بازگردانده نشود.

راه حل. اجازه دهید در مورد اول استخراج یک کاتر فرسوده و - استخراج یک کاتر جدید را مشخص کنیم. سپس . از آنجایی که کاتر حذف شده به جعبه بر نمی گردد، نسبت بین تعداد کاترهای فرسوده و جدید تغییر می کند. بنابراین، احتمال برداشتن کاتر فرسوده در حالت دوم بستگی به این دارد که قبلاً چه اتفاقی رخ داده است.

اجازه دهید رویدادی را تعیین کنیم که به معنای استخراج کاتر فرسوده در مورد دوم است. احتمالات این رویداد عبارتند از:

بنابراین، احتمال وقوع یک رویداد بستگی به وقوع یا عدم وقوع آن رویداد دارد.

چگالی احتمالی- یکی از راه های تنظیم یک اندازه گیری احتمال در فضای اقلیدسی. در موردی که معیار احتمال توزیع یک متغیر تصادفی است، از آن صحبت می شود تراکممتغیر تصادفی.

تراکم احتمال یک اندازه گیری احتمالی باشد، یعنی یک فضای احتمالی تعریف شده است، جایی که نشانگر σ-جبر بورل است. اجازه دهید نشانگر اندازه گیری Lebesgue در.

تعریف 1.احتمال مطلقاً پیوسته نامیده می شود (با توجه به اندازه لبگ) () اگر هر مجموعه بورل از اندازه گیری لبگ صفر نیز احتمال صفر داشته باشد:

اگر احتمال مطلقاً پیوسته باشد، طبق قضیه رادون-نیکودیم، یک تابع بورل غیر منفی وجود دارد به طوری که

,

که در آن از مخفف رایج استفاده می شود و انتگرال به معنای لبسگ فهمیده می شود.

تعریف 2.به طور کلی تر، اجازه دهید یک فضای قابل اندازه گیری دلخواه باشد، و اجازه دهید و دو معیار در این فضا باشد. اگر یک غیر منفی وجود داشته باشد، که اجازه می دهد اندازه را بر حسب اندازه در فرم بیان کنید

سپس این تابع فراخوانی می شود اندازه گیری چگالی مانند ، یا مشتق از Radon-Nikodimاندازه گیری با توجه به اندازه گیری، و نشان می دهد

اگر در هنگام وقوع یک رویداد، احتمال یک رویداد تغییر نمی کند، پس از آن حوادث و تماس گرفت مستقل.

قضیه:احتمال وقوع مشترک دو رویداد مستقل و (آثار و ) برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها.

در واقع، از آن زمان تحولات و پس مستقل
. در این مورد، فرمول احتمال حاصلضرب رویدادها و شکل می گیرد.

تحولات
تماس گرفت مستقل جفتیاگر هر دو از آنها مستقل باشند.

تحولات
تماس گرفت به طور جمعی مستقل (یا به سادگی مستقل)، در صورتی که هر دو تای آنها مستقل باشند و هر رویداد و همه محصولات ممکن دیگران مستقل باشند.

قضیه:احتمال حاصل ضرب تعداد محدودی از رویدادهای مستقل در مجموع
برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها.

اجازه دهید تفاوت در کاربرد فرمول‌های احتمال رویداد برای رویدادهای وابسته و مستقل را با استفاده از مثال‌ها نشان دهیم.

مثال 1. احتمال اصابت به هدف توسط تیرانداز اول 0.85 و دومی 0.8 است. اسلحه ها یکی یکی شلیک کردند. احتمال اصابت حداقل یک پرتابه به هدف چقدر است؟

راه حل: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) از آنجایی که عکس ها مستقل هستند، پس

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

مثال 2. یک کوزه شامل 2 توپ قرمز و 4 توپ سیاه است. 2 توپ پشت سر هم از آن خارج می شود. احتمال قرمز بودن هر دو توپ چقدر است.

راه حل: 1 مورد. رویداد A - ظاهر شدن یک توپ قرمز در اولین حذف، رویداد B - در مرحله دوم. رویداد C ظهور دو توپ قرمز است.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

مورد دوم اولین توپ کشیده شده به سبد بازگردانده می شود.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

فرمول احتمال کل

اجازه دهید رویداد فقط می تواند برای یکی از رویدادهای ناسازگار رخ دهد
، تشکیل یک گروه کامل. به عنوان مثال، فروشگاه محصولات مشابهی را از سه شرکت و در مقادیر متفاوت دریافت می کند. احتمال تولید محصولات بی کیفیت در این شرکت ها متفاوت است. یکی از محصولات به صورت تصادفی انتخاب شده است. تعیین احتمال بی کیفیت بودن این محصول الزامی است (رویداد ). رویدادهای اینجا
- این انتخاب یک محصول از محصولات شرکت مربوطه است.

در این صورت احتمال وقوع را می توان به عنوان مجموع محصولات رویدادها در نظر گرفت
.

با قضیه جمع برای احتمالات رویدادهای ناسازگار، به دست می آوریم
. با استفاده از قضیه ضرب احتمال، پیدا می کنیم

.

فرمول حاصل نامیده می شود فرمول احتمال کل.

فرمول بیز

اجازه دهید رویداد همزمان با یکی از رویدادهای ناسازگار
، که احتمالات
(
) قبل از تجربه شناخته شده اند ( احتمالات پیشینی). آزمایشی انجام می شود که در نتیجه آن وقوع یک رویداد ثبت می شود ، و معلوم است که این رویداد احتمالات مشروط خاصی داشته است
(
). برای یافتن احتمالات وقایع مورد نیاز است
اگر واقعه معلوم باشد اتفاق افتاد ( احتمالات پسینی).

مشکل این است که، داشتن اطلاعات جدید(رویداد A اتفاق افتاد)، شما باید احتمالات وقایع را مجدداً برآورد کنید
.

بر اساس قضیه احتمال حاصلضرب دو رویداد

.

فرمول حاصل نامیده می شود فرمول های بیز.

مفاهیم اساسی ترکیبیات.

هنگام حل تعدادی از مسائل نظری و عملی، لازم است که ترکیبات مختلفی از مجموعه محدودی از عناصر مطابق قوانین داده شده ایجاد شود و تعداد تمام ترکیبات ممکن از این قبیل شمارش شود. چنین وظایفی نامیده می شود ترکیبی.

هنگام حل مسائل، ترکیبات از قواعد مجموع و حاصلضرب استفاده می کند.

بیان کلی مسئله: احتمال برخی از رویدادها مشخص است، اما احتمالات سایر رویدادها که با این رویدادها مرتبط هستند باید محاسبه شوند. در این مسائل نیاز به عملیاتی بر روی احتمالات مانند جمع و ضرب احتمالات وجود دارد.

مثلاً هنگام شکار دو گلوله شلیک شد. رویداد آ- ضربه زدن به اردک از اولین شلیک، رویداد ب- ضربه از شلیک دوم. سپس مجموع وقایع آو ب- ضربه از شلیک اول یا دوم یا از دو شلیک.

وظایف از نوع متفاوت چندین رویداد داده می شود، به عنوان مثال، یک سکه سه بار پرتاب می شود. باید این احتمال را پیدا کرد که یا هر سه دفعه نشان بیرون بیفتد و یا حداقل یک بار نشان بیفتد. این یک مشکل ضرب است.

اضافه شدن احتمالات رویدادهای ناسازگار

جمع احتمال زمانی استفاده می شود که محاسبه احتمال ترکیب یا مجموع منطقی رویدادهای تصادفی ضروری باشد.

مجموع رویدادها آو بتعیین کنید آ + بیا آ ∪ ب. مجموع دو رویداد رویدادی است که اگر و تنها در صورتی رخ دهد که حداقل یکی از رویدادها رخ دهد. معنیش اینه که آ + ب- رویدادی که اگر و تنها در صورتی رخ دهد که رویدادی در حین مشاهده رخ دهد آیا رویداد ب، یا در همان زمان آو ب.

اگر حوادث آو بمتقابل ناسازگار هستند و احتمالات آنها داده می شود، سپس احتمال وقوع یکی از این رویدادها در نتیجه یک آزمایش با استفاده از جمع احتمالات محاسبه می شود.

قضیه جمع احتمالات.احتمال وقوع یکی از دو رویداد متقابل ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها:

مثلاً هنگام شکار دو گلوله شلیک شد. رویداد ولی– ضربه زدن به اردک از اولین شلیک، رویداد AT– ضربه از شلیک دوم، رویداد ( ولی+ AT) - ضربه از ضربه اول یا دوم یا از دو ضربه. بنابراین اگر دو رویداد ولیو ATپس رویدادهای ناسازگار هستند ولی+ AT- وقوع حداقل یکی از این رویدادها یا دو رویداد.

مثال 1یک جعبه حاوی 30 توپ به همان اندازه است: 10 توپ قرمز، 5 آبی و 15 سفید. احتمال اینکه یک توپ رنگی (نه سفید) بدون نگاه کردن گرفته شود را محاسبه کنید.

راه حل. بیایید فرض کنیم که این رویداد ولی- "توپ قرمز گرفته شد" و رویداد AT- "توپ آبی گرفته شده است." سپس رویداد "یک توپ رنگی (نه سفید) گرفته می شود". احتمال یک رویداد را بیابید ولی:

و رویدادها AT:

تحولات ولیو AT- متقابل ناسازگار است، زیرا اگر یک توپ گرفته شود، نمی توان توپ هایی با رنگ های مختلف گرفت. بنابراین، از جمع احتمالات استفاده می کنیم:

قضیه جمع احتمالات برای چندین رویداد ناسازگار.اگر رویدادها مجموعه کامل رویدادها را تشکیل دهند، مجموع احتمالات آنها برابر با 1 است:

مجموع احتمالات وقایع متضاد نیز برابر با 1 است:

رویدادهای مخالف مجموعه کاملی از رویدادها را تشکیل می دهند و احتمال یک مجموعه کامل از رویدادها 1 است.

احتمالات وقایع متضاد معمولا با حروف کوچک نشان داده می شود. پو q. به خصوص،

که از آن فرمول های زیر برای احتمال رویدادهای متضاد به دست می آید:

مثال 2هدف در خط تیره به 3 منطقه تقسیم می شود. احتمال شلیک یک تیرانداز خاص به یک هدف در منطقه اول 0.15، در منطقه دوم - 0.23، در منطقه سوم - 0.17 است. احتمال اصابت تیرانداز به هدف و احتمال از دست دادن هدف را پیدا کنید.

راه حل: احتمال برخورد تیرانداز به هدف را پیدا کنید:

احتمال اینکه تیرانداز هدف را از دست بدهد را بیابید:

کارهای دشوارتر که در آنها باید هم جمع و هم ضرب احتمالات را اعمال کنید - در صفحه "کارهای مختلف برای جمع و ضرب احتمال" .

اضافه شدن احتمالات رویدادهای مشترک متقابل

دو رویداد تصادفی مشترک گفته می شود که وقوع یک رویداد مانع از وقوع یک رویداد دوم در همان مشاهده نباشد. به عنوان مثال، هنگام پرتاب تاس، رویداد ولیوقوع عدد 4 و رویداد در نظر گرفته می شود AT- انداختن عدد زوج از آنجایی که عدد 4 یک عدد زوج است، این دو رویداد با هم سازگار هستند. در عمل، وظایفی برای محاسبه احتمال وقوع یکی از رویدادهای مشترک متقابل وجود دارد.

قضیه جمع احتمالات برای رویدادهای مشترک.احتمال وقوع یکی از رویدادهای مشترک برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها که احتمال وقوع مشترک هر دو رویداد از آن کم می شود، یعنی حاصل ضرب احتمالات. فرمول احتمالات رویدادهای مشترک به شرح زیر است:

چون اتفاقات ولیو ATسازگار، رویداد ولی+ ATاگر یکی از سه رویداد ممکن رخ دهد رخ می دهد: یا AB. با توجه به قضیه جمع رویدادهای ناسازگار، به صورت زیر محاسبه می کنیم:

رویداد ولیاگر یکی از دو رویداد ناسازگار رخ دهد رخ می دهد: یا AB. با این حال، احتمال وقوع یک رویداد از چندین رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات همه این رویدادها:

به همین ترتیب:

با جایگزینی عبارات (6) و (7) به عبارت (5)، فرمول احتمال رویدادهای مشترک را بدست می آوریم:

هنگام استفاده از فرمول (8) باید در نظر گرفت که وقایع ولیو ATمی تواند:

• مستقل متقابل؛
• متقابل وابسته

فرمول احتمال برای رویدادهای متقابل مستقل:

فرمول احتمال رویدادهای متقابل وابسته:

اگر حوادث ولیو ATناسازگار هستند، پس همزمانی آنها یک مورد غیرممکن است و بنابراین، پ(AB) = 0. فرمول احتمال چهارم برای رویدادهای ناسازگار به شرح زیر است:

مثال 3در مسابقات اتومبیل رانی، هنگام رانندگی با ماشین اول، احتمال برنده شدن، هنگام رانندگی در ماشین دوم. پیدا کردن:

• احتمال برنده شدن هر دو ماشین؛
• احتمال برنده شدن حداقل یک ماشین؛

1) احتمال برنده شدن ماشین اول به نتیجه ماشین دوم بستگی ندارد، بنابراین اتفاقات ولی(برنده ماشین اول) و AT(برنده ماشین دوم) - رویدادهای مستقل. احتمال برنده شدن هر دو ماشین را پیدا کنید:

2) احتمال برنده شدن یکی از دو ماشین را پیدا کنید:

کارهای دشوارتر که در آنها باید هم جمع و هم ضرب احتمالات را اعمال کنید - در صفحه "کارهای مختلف برای جمع و ضرب احتمال" .

مسئله جمع احتمالات را خودتان حل کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

مثال 4دو سکه پرتاب می شود. رویداد آ- گم شدن نشان روی سکه اول. رویداد ب- گم شدن نشان روی سکه دوم. احتمال یک رویداد را بیابید سی = آ + ب .

ضرب احتمال

ضرب احتمالات زمانی استفاده می شود که قرار است احتمال حاصلضرب منطقی رویدادها محاسبه شود.

در این حالت، رویدادهای تصادفی باید مستقل باشند. اگر وقوع یک رویداد بر احتمال وقوع رویداد دوم تأثیری نداشته باشد، دو رویداد از یکدیگر مستقل هستند.

قضیه ضرب احتمال برای رویدادهای مستقل.احتمال وقوع همزمان دو رویداد مستقل ولیو ATبرابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها و با فرمول محاسبه می شود:

مثال 5سکه سه بار پشت سر هم پرتاب می شود. احتمال افتادن نشان هر سه بار را پیدا کنید.

راه حل. احتمال افتادن نشان روی اولین پرتاب سکه، بار دوم و بار سوم. احتمال افتادن نشان هر سه بار را پیدا کنید:

خودتان مسائل را برای ضرب احتمالات حل کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

مثال 6یک جعبه با نه توپ تنیس جدید وجود دارد. سه توپ برای بازی گرفته می شود، بعد از بازی دوباره بر می گردند. هنگام انتخاب توپ، بین توپ های بازی شده و بازی نشده تمایز قائل نمی شوند. احتمال اینکه بعد از آن چقدر است سه بازیآیا هیچ توپ بازی نشده در جعبه وجود نخواهد داشت؟

مثال 7 32 حرف از الفبای روسی بر روی کارت های الفبای بریده شده نوشته شده است. پنج کارت به صورت تصادفی یکی پس از دیگری کشیده می شوند و به ترتیبی که ظاهر می شوند روی میز قرار می گیرند. احتمال اینکه حروف کلمه "پایان" را تشکیل دهند را پیدا کنید.

مثال 8از یک دسته کامل کارت (52 برگ)، چهار کارت به طور همزمان خارج می شود. این احتمال را پیدا کنید که هر چهار کارت از یک لباس باشند.

مثال 9همان مشکل در مثال 8، اما هر کارت پس از کشیده شدن به عرشه بازگردانده می شود.

کارهای پیچیده تر، که در آنها باید هم جمع و هم ضرب احتمالات را اعمال کنید، و همچنین حاصل ضرب چندین رویداد را محاسبه کنید - در صفحه "کارهای مختلف برای جمع و ضرب احتمالات" .

احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادهای متقابل مستقل را می توان با کم کردن حاصل ضرب احتمالات رویدادهای مخالف از 1، یعنی با فرمول محاسبه کرد.