در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو برابر می شود. مشکلات در نظریه احتمال. روش شمارش ترکیبی

فرمول وظیفه:در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که سرها (دم) حتی یک بار هم از بین نرود (دقیقا / حداقل 1، 2 بار می افتد).

این کار در USE در ریاضیات سطح پایه برای کلاس 11 در شماره 10 (تعریف کلاسیک احتمال) گنجانده شده است.

بیایید ببینیم که چگونه چنین مشکلاتی با مثال حل می شوند.

مثال وظیفه 1:

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که سرها هرگز بالا نمی آیند.

OO یا RO RR

در کل 4 ترکیب از این دست وجود دارد که ما فقط به آن دسته از آنها علاقه مندیم که در آنها حتی یک عقاب وجود نداشته باشد. تنها یک چنین ترکیبی (PP) وجود دارد.

P = 1/4 = 0.25

پاسخ: 0.25

مثال وظیفه 2:

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که دقیقاً دو بار بالا بیاید.

تمام ترکیبات احتمالی را در نظر بگیرید که اگر سکه دو بار پرتاب شود ممکن است سقوط کند. برای راحتی، عقاب را با حرف O و دم ها را با حرف P نشان می دهیم:

OO یا RO RR

در کل 4 ترکیب از این قبیل وجود دارد ما فقط به ترکیباتی علاقه داریم که در آنها سرها دقیقاً 2 بار ظاهر شوند. تنها یک چنین ترکیبی (OO) وجود دارد.

P = 1/4 = 0.25

پاسخ: 0.25

مثال وظیفه 3:

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که دقیقاً یک بار بالا بیاید.

تمام ترکیبات احتمالی را در نظر بگیرید که اگر سکه دو بار پرتاب شود ممکن است سقوط کند. برای راحتی، عقاب را با حرف O و دم ها را با حرف P نشان می دهیم:

OO یا RO RR

در مجموع، 4 ترکیب از این دست وجود دارد، ما فقط به آن دسته از آنها علاقه مندیم که دقیقاً 1 بار سرها از بین رفته اند. تنها دو چنین ترکیبی وجود دارد (OP و RO).

پاسخ: 0.5

مثال وظیفه 4:

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه سرها حداقل یک بار بالا بیایند را پیدا کنید.

تمام ترکیبات احتمالی را در نظر بگیرید که اگر سکه دو بار پرتاب شود ممکن است سقوط کند. برای راحتی، عقاب را با حرف O و دم ها را با حرف P نشان می دهیم:

OO یا RO RR

در کل 4 ترکیب از این دست وجود دارد ما فقط به ترکیباتی علاقه داریم که حداقل یک بار سرها از بین بروند. تنها سه ترکیب از این قبیل (OO، OR و RO) وجود دارد.

P = 3/4 = 0.75

در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن پرتاب می شود...

به عنوان پیشگفتار.
همه می دانند که یک سکه دو روی دارد - سر و دم.
سکه شناسان بر این باورند که سکه سه روی دارد - روی، عقب و لبه.
و در میان آنها، و در میان دیگران، تعداد کمی از مردم می دانند که یک سکه متقارن چیست. اما آنها در مورد آن می دانند (خوب، یا باید بدانند :)، کسانی که برای شرکت در آزمون آماده می شوند.

به طور کلی، این مقاله بر روی آن تمرکز خواهد کرد سکه غیر معمول، که ربطی به سکه شناسی ندارد، اما در عین حال محبوب ترین سکه در بین دانش آموزان است.

بنابراین.
سکه متقارن- این یک سکه خیالی از نظر ریاضی ایده آل بدون اندازه، وزن، قطر و غیره است. در نتیجه، چنین سکه ای نیز لبه ندارد، یعنی واقعاً فقط دو روی دارد. خاصیت اصلی یک سکه متقارن این است که در چنین شرایطی احتمال سقوط سر یا دم دقیقاً یکسان است. و آنها یک سکه متقارن برای آزمایش های فکری ارائه کردند.
رایج ترین مشکل یک سکه متقارن به این صورت است - "در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار (سه بار، چهار بار و غیره) پرتاب می شود. لازم است احتمال افتادن یکی از اضلاع آن مشخص شود. تعداد معینی بار

حل مسئله با یک سکه متقارن

واضح است که در نتیجه پرتاب، سکه یا سر یا دم می افتد. چند بار - بستگی به تعداد پرتاب ها دارد. احتمال به دست آوردن سر یا دم با تقسیم تعداد نتایجی که شرایط را برآورده می کند بر تعداد کل نتایج ممکن محاسبه می شود.

یک پرتاب

اینجا همه چیز ساده است. یا سر یا دم بالا می آید. آن ها ما دو نتیجه ممکن داریم، یکی از آنها ما را راضی می کند - 1/2 = 50٪

دو پرتاب

برای دو پرتاب ممکن است سقوط کند:
دو عقاب
دو دم
سر، سپس دم
دم، سپس سر
آن ها تنها چهار گزینه ممکن است. مشکلاتی که بیش از یک پرتاب دارند، با تهیه جدولی از گزینه‌های ممکن، راحت‌تر حل می‌شوند. برای سادگی، اجازه دهید سرها را با "0" و دم ها را با "1" نشان دهیم. سپس جدول نتایج ممکن به صورت زیر خواهد بود:
00
01
10
11
برای مثال، اگر باید احتمال سقوط سرها را یک بار پیدا کنید، فقط باید تعداد گزینه های مناسب در جدول را بشمارید - یعنی. آن خطوطی که عقاب یک بار رخ می دهد. این دو خط وجود دارد. بنابراین احتمال بدست آوردن یک سر در دو پرتاب یک سکه متقارن 2/4=50% است.
احتمال دوبار گرفتن سر در دو پرتاب 1/4=25% است.

سه گل رز

ما یک جدول از گزینه ها را تهیه می کنیم:
000
001
010
011
100
101
110
111
کسانی که با حساب دیفرانسیل و انتگرال آشنا هستند، متوجه می شوند که ما به چه چیزی رسیده ایم. :) بله، آنها اعداد باینری از "0" تا "7" هستند. به این ترتیب راحت تر با گزینه ها اشتباه گرفته نمی شود.
بیایید مشکل پاراگراف قبل را حل کنیم - احتمال اینکه عقاب یک بار بیفتد را محاسبه می کنیم. سه خط وجود دارد که "0" یک بار رخ می دهد. بنابراین احتمال به دست آوردن یک سر در سه پرتاب یک سکه متقارن 3/8=37.5٪ است.
احتمال دوبار افتادن سر در سه پرتاب 3/8=37.5% است. کاملا همینطور
احتمال اینکه سر در سه پرتاب سه بار بیفتد 1/8 = 12.5٪ است.

چهار پرتاب

ما یک جدول از گزینه ها را تهیه می کنیم:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
احتمال اینکه هد یک بار بالا بیاید. فقط سه ردیف وجود دارد که "0" یک بار رخ می دهد، درست مانند مورد سه پرتاب. اما، در حال حاضر شانزده گزینه وجود دارد. بنابراین احتمال بدست آوردن یک سر در چهار پرتاب یک سکه متقارن 16/3=18.75 درصد است.
احتمال دوبار افتادن عقاب در سه پرتاب 6/8=75 درصد است.
احتمال اینکه سرها در سه پرتاب سه بار بالا بیایند 50=4/8 است.

بنابراین با افزایش تعداد پرتاب ها، اصل حل مشکل به هیچ وجه تغییر نمی کند - فقط در یک پیشرفت مناسب، تعداد گزینه ها افزایش می یابد.

در نظریه احتمال گروهی از مسائل وجود دارد که برای حل آنها کافی است تعریف کلاسیک احتمال را بدانیم و موقعیت پیشنهادی را تجسم کنیم. این مشکلات بیشتر مشکلات پرتاب سکه و مشکلات پرتاب تاس است. تعریف کلاسیک احتمال را به خاطر بیاورید.

احتمال رویداد A (امکان عینی وقوع یک رویداد به صورت عددی) برابر است با نسبت تعداد نتایج مطلوب برای این رویداد به تعداد کل همه پیامدهای ابتدایی ناسازگار به همان اندازه ممکن: P(A)=m/n، جایی که:

• m تعداد نتایج آزمون ابتدایی است که به نفع وقوع رویداد A است.
• n تعداد کل تمام نتایج آزمون ابتدایی ممکن است.

تعیین تعداد نتایج احتمالی آزمون ابتدایی و تعداد نتایج مطلوب در مسائل مورد بررسی با شمارش همه گزینه های ممکن (ترکیب ها) و محاسبه مستقیم راحت است.

از جدول می بینیم که تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=4 است. نتایج مطلوب رویداد A = (عقاب 1 بار می افتد) با گزینه شماره 2 و شماره 3 آزمایش مطابقت دارد، دو گزینه از این قبیل m=2 وجود دارد.
احتمال رویداد Р(А)=m/n=2/4=0.5 را بیابید

وظیفه 2 . در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که سرها هرگز بالا نخواهند آمد.

راه حل . از آنجایی که سکه دو بار پرتاب می شود، مانند مسئله 1، تعداد نتایج اولیه ممکن n=4 است. نتایج مطلوب رویداد A = (عقاب حتی یک بار هم نمی افتد) با نوع شماره 4 آزمایش مطابقت دارد (جدول کار 1 را ببینید). فقط یک گزینه وجود دارد، بنابراین m=1.
احتمال رویداد Р(А)=m/n=1/4=0.25 را بیابید

وظیفه 3 . در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن سه بار پرتاب می شود. احتمال بالا آمدن آن را دقیقاً 2 بار پیدا کنید.

راه حل . گزینه های ممکنسه پرتاب سکه (تمام ترکیبات ممکن از سر و دم) در قالب یک جدول ارائه شده است:

از جدول می بینیم که تعداد پیامدهای ابتدایی ممکن n=8 است. نتایج مطلوب رویداد A = (سر 2 بار) با گزینه های شماره 5، 6 و 7 آزمایش مطابقت دارد. سه گزینه وجود دارد، بنابراین m=3.
احتمال رویداد Р(А)=m/n=3/8=0.375 را بیابید

وظیفه 4 . در یک آزمایش تصادفی، یک سکه متقارن چهار بار پرتاب می شود. احتمال بالا آمدن آن را دقیقاً 3 بار پیدا کنید.

راه حل . انواع احتمالی چهار پرتاب سکه (تمام ترکیبات ممکن از سر و دم) در قالب یک جدول ارائه شده است:

از جدول می بینیم که تعداد نتایج اولیه ممکن n=16 است. نتایج مطلوب رویداد A = (عقاب 3 بار بیرون می افتد) با گزینه های شماره 12، 13، 14 و 15 آزمایش مطابقت دارد که به معنی m = 4 است.
احتمال رویداد Р(А)=m/n=4/16=0.25 را بیابید

تعیین احتمال در مسائل تاس

وظیفه 5 . احتمال سقوط بیش از 3 امتیاز هنگام پرتاب تاس (قالب صحیح) را تعیین کنید.

راه حل . هنگام پرتاب تاس (یک قالب معمولی)، هر یک از شش وجه آن ممکن است بیفتد، یعنی. برای رخ دادن هر یک از رویدادهای ابتدایی - از دست دادن از 1 تا 6 امتیاز (امتیاز). بنابراین تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=6 است.
رویداد A = (بیش از 3 امتیاز حذف شد) یعنی 4، 5 یا 6 امتیاز (امتیاز) از بین رفت. بنابراین تعداد پیامدهای مطلوب m=3.
احتمال رویداد Р(А)=m/n=3/6=0.5

وظیفه 6 . احتمال اینکه وقتی یک تاس پرتاب می شود، تعداد امتیازها از 4 تجاوز نکند را تعیین کنید. نتیجه را به نزدیکترین هزارم گرد کنید.

راه حل . هنگام پرتاب تاس، هر یک از شش وجه آن ممکن است بیفتد، یعنی. برای رخ دادن هر یک از رویدادهای ابتدایی - از دست دادن از 1 تا 6 امتیاز (امتیاز). بنابراین تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=6 است.
رویداد A = (بیشتر از 4 امتیاز حذف نمی شود) به این معنی است که 4، 3، 2 یا 1 امتیاز (امتیاز) از بین رفته است. بنابراین تعداد پیامدهای مطلوب m=4.
احتمال رویداد Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667

وظیفه 7 . یک قالب دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه هر دو عدد کمتر از 4 باشند را پیدا کنید.

راه حل . زیرا تاس(تاس) دو بار پرتاب می شود، سپس به این صورت استدلال می کنیم: اگر یک امتیاز روی قالب اول افتاد، در دومی 1، 2، 3، 4، 5، 6 می تواند بیفتد. جفت می گیریم (1؛ 1) ، (1; 2)، (1;3)، (1;4)، (1;5)، (1;6) و غیره با هر صورت. ما تمام موارد را در قالب یک جدول 6 ردیفی و 6 ستونی ارائه می کنیم:

نتایج مطلوب رویداد A = (هر دو بار یک عدد کمتر از 4 خارج شد) (با پررنگ مشخص شده اند) محاسبه می شود و m=9 را به دست خواهیم آورد.
احتمال رویداد Р(А)=m/n=9/36=0.25 را بیابید

وظیفه 8 . یک قالب دو بار پرتاب می شود. احتمال این را بیابید که بزرگترین عدد از دو عدد ترسیم شده 5 باشد. جواب خود را به نزدیکترین هزارم گرد کنید.

راه حل . تمام نتایج ممکن دو پرتاب تاس در جدول ارائه شده است:

از جدول می بینیم که تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=6*6=36 است.
نتایج مطلوب رویداد A = (بزرگترین عدد از دو عدد ترسیم شده 5 است) (با پررنگ مشخص شده اند) محاسبه می شود و m=8 به دست می آید.
احتمال رخداد را پیدا کنید Р(А)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222

وظیفه 9 . یک قالب دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه عددی کمتر از 4 حداقل یک بار رول شود را پیدا کنید.

راه حل . تمام نتایج ممکن دو پرتاب تاس در جدول ارائه شده است:

از جدول می بینیم که تعداد پیامدهای اولیه ممکن n=6*6=36 است.
عبارت "حداقل یک بار عدد کمتر از 4 از بین رفت" به معنای "عدد کمتر از 4 یک یا دو بار خارج شد"، سپس تعداد نتایج مطلوب رویداد A = (حداقل یک بار عدد کمتر از 4 از بین رفت. ) (به صورت پررنگ هستند) m=27.
احتمال رخداد را پیدا کنید Р(А)=m/n=27/36=0.75

در تکالیف تئوری احتمال که در آزمون یکپارچه ایالتی با شماره 4 ارائه شده است، علاوه بر این، تکالیفی برای پرتاب سکه و پرتاب تاس نیز وجود دارد. امروز آنها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مشکلات پرتاب سکه

وظیفه 1.یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که دقیقا یک بار به سمت بالا بیاید.

در چنین مسائلی، نوشتن تمام نتایج ممکن، نوشتن آنها با استفاده از حروف P (دم) و O (سر) راحت است. بنابراین، نتیجه OR به این معنی است که پرتاب اول به سمت بالا آمد و دومین پرتاب به سمت بالا آمد. در مسئله مورد بررسی، 4 نتیجه ممکن است: PP، RO، OR، OO. رویداد "دم دقیقا یک بار بالا می آید" 2 نتیجه: RO و OR. احتمال مورد نیاز است.

پاسخ: 0.5.

وظیفه 2.یک سکه متقارن سه بار پرتاب می شود، احتمال اینکه سرها دقیقاً دو بار بالا بیایند را پیدا کنید.

در مجموع، 8 نتیجه ممکن است: PRR، RRO، ROR، ROO، ORR، ORO، OOR، OOO. رویداد "دقیقاً دو بار سر می‌زند" 3 نتیجه: ROO، ORO، OOR. احتمال مورد نیاز است.

پاسخ: 0.375.

وظیفه 3.قبل از شروع مسابقه فوتبالداور یک سکه پرتاب می کند تا مشخص کند کدام تیم بازی را با توپ شروع می کند. تیم زمرد سه بازی با تیم های مختلف. این احتمال را پیدا کنید که در این بازی ها "زمرد" دقیقاً یک بار برنده شود.

این کار مشابه کار قبلی است. اجازه دهید هر بار از دست دادن دم به معنای برنده شدن قرعه توسط "زمرد" باشد (چنین فرضی بر محاسبه احتمالات تأثیر نمی گذارد). سپس 8 نتیجه ممکن است: PRR، RRO، ROR، ROO، ORR، ORO، OOR، OOO. 3 نتیجه وجود دارد که به نفع رویداد "دم دقیقا یک بار بالا می آید" وجود دارد: POO، ORO، OOP. احتمال مورد نیاز است.

پاسخ: 0.375.

وظیفه 4. یک سکه متقارن سه بار پرتاب می شود. احتمال اینکه نتیجه ROO بیاید را پیدا کنید (اولین باری که دم بالا می آید، بار دوم و سوم - سر).

مانند کارهای قبلی، 8 نتیجه در اینجا وجود دارد: PPP، PPO، POP، POO، OPP، ORO، OOP، OOO. احتمال نتیجه ROO برابر است با .

پاسخ: 0.125.

مشکلات ریختن تاس

وظیفه 5.تاس دو بار پرتاب می شود. چه تعداد از نتایج ابتدایی تجربه به نفع رویداد "مجموع امتیازها 8 است" است؟

وظیفه 6. دو تاس به طور همزمان پرتاب می شود. احتمال اینکه مجموع آن 4 شود را پیدا کنید. نتیجه را به نزدیکترین صدم گرد کنید.

به طور کلی، اگر تاس (تاس) پرتاب شود، نتایج به همان اندازه ممکن است. اگر همان قالب یک بار پشت سر هم پرتاب شود، همان تعداد نتیجه حاصل می شود.

نتایج زیر به نفع رویداد "در کل 4" است: 1 - 3، 2 - 2، 3 - 1. تعداد آنها 3 است. احتمال مورد نظر .

برای محاسبه مقدار تقریبی یک کسری، استفاده از تقسیم بر یک گوشه راحت است. بنابراین، تقریباً برابر با 0.083 ... است که به صدم گرد شده، 0.08 داریم.

پاسخ: 0.08

وظیفه 7. سه تاس به طور همزمان پرتاب می شود. احتمال کسب 5 امتیاز را در کل پیدا کنید. نتیجه را به نزدیکترین صدم گرد کنید.

ما نتیجه را به عنوان یک عدد سه گانه در نظر می گیریم: امتیازهایی که روی تاس های اول، دوم و سوم افتادند. در مجموع نتایج به همان اندازه ممکن وجود دارد. نتایج زیر به نفع رویداد "در کل 5" است: 1-1-3، 1-3-1، 3-1-1، 1-2-2، 2-1-2، 2-2-1. تعداد آنها 6 است. احتمال مورد نظر . برای محاسبه مقدار تقریبی یک کسری، استفاده از تقسیم بر یک گوشه راحت است. تقریباً 0.027 ... را به دست می آوریم که به صدم گرد می شود، 0.03 داریم. منبع “آمادگی برای آزمون. ریاضی. نظریه احتمال». ویرایش شده توسط F.F. لیسنکو، اس.یو. کولابوخوف