احتمال وقوع یک رویداد. تعیین احتمال وقوع یک رویداد. استقلال رویدادها قضیه ضرب احتمال چگونه احتمال رویدادهای مستقل را پیدا کنیم

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. قضیه جمع کردن احتمالات وقایع متضاد

در مقابلدو رویداد ناسازگار که یک گروه کامل را تشکیل می دهند نام ببرید. اگر یکی از دو رویداد متضاد با آ،معمولاً چیز دیگری نشان داده می شود . رویداد مخالف شامل عدم وقوع یک رویداد است آ.

قضیه.مجموع احتمالات وقایع متضاد برابر با یک است:

P(A)+P()= 1.

مثال 4.جعبه شامل 11 قسمت است که 8 قطعه استاندارد است. این احتمال را پیدا کنید که از بین 3 قسمت به طور تصادفی استخراج شده حداقل یک قطعه معیوب وجود داشته باشد.

راه حل.مشکل از دو طریق قابل حل است.

1 راه. وقایع «در بین قطعات استخراج شده حداقل یک قطعه معیوب وجود دارد» و «در بین قطعات استخراج شده حتی یک قطعه معیوب وجود ندارد» برعکس است. اجازه دهید اولین رویداد را با علامت گذاری کنیم آ،و دوم از طریق :

P(A) =1 - P( ) .

پیدا خواهیم کرد R(). مجموع روش هایی که می توان از 11 قسمت 3 قسمت استخراج کرد با تعداد ترکیب ها برابر است
. تعداد قطعات استاندارد 8 عدد می باشد ; از این تعداد قسمت امکان پذیر است
روش های استخراج 3 قطعه استاندارد بنابراین، احتمال اینکه از بین 3 قسمت استخراج شده یک قطعه غیر استاندارد وجود نداشته باشد برابر است با:

بر اساس قضیه جمع احتمالات رویدادهای متضاد، احتمال مورد نظر برابر است با: P(A)=1 - P()=

روش 2.رویداد آ- "در بین قطعات استخراج شده حداقل یک قطعه معیوب وجود دارد" - می توان به صورت ظاهری متوجه شد:

یا رویدادها که در- "1 قطعه معیوب و 2 قطعه غیر معیوب حذف شد"

یا رویدادها با- "2 قطعه معیوب و 1 قطعه غیر معیوب حذف شد"

یا رویدادها D - "3 قسمت معیوب حذف شد."

سپس آ= ب+ سی+ D. از زمان وقایع ب, سی و D ناسازگار است، پس می‌توانیم قضیه را برای جمع کردن احتمالات رویدادهای ناسازگار اعمال کنیم:

4. قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل

محصول دو اتفاق استآ وکه در با رویداد تماس بگیرید سی=AB،متشکل از ظاهر مشترک (ترکیب) این رویدادها.

محصول چندین رویدادیک رویداد متشکل از وقوع مشترک همه این رویدادها نامیده می شود. به عنوان مثال، رویداد ABCاز ترکیب رویدادها تشکیل شده است الف، بو با.

دو رویداد نامیده می شود مستقل، در صورتی که احتمال یکی از آنها منوط به ظاهر یا عدم ظهور دیگری نباشد.

قضیه.احتمال وقوع مشترک دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

P(AB)=P(A) P(B).

نتیجه.احتمال وقوع مشترک چندین رویداد که در مجموع مستقل هستند برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها. :

P(A 1 آ 2 ... آ n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A n ).

مثال 5.هنگام پرتاب دو سکه احتمال کنار هم ظاهر شدن نشان را پیدا کنید.

راه حل. بیایید وقایع را نشان دهیم: آ -ظاهر نشان روی اولین سکه، که در -ظاهر نشان روی سکه دوم، با- ظاهر نشان روی دو سکه C=AB.

احتمال پیدایش نشان سکه اول :

P(A) =.

احتمال پیدایش نشان سکه دوم :

P(B) =.

از زمان وقایع آو که درمستقل است، پس احتمال لازم توسط قضیه ضرب برابر است با:

P(C)=P(AB) = P(A) P(B) = =.

مثال 6. 3 جعبه شامل 10 قسمت وجود دارد. جعبه اول شامل 8، دومی 7 و سومی 9 قسمت استاندارد است. یک قسمت به صورت تصادفی از هر جعبه خارج می شود. احتمال استاندارد بودن هر سه قسمت خارج شده را پیدا کنید.

راه حل. احتمال حذف یک قطعه استاندارد از جعبه اول (رویداد آ):

P(A) =

احتمال حذف یک قطعه استاندارد از کادر دوم (رویداد که در):

احتمال حذف یک قطعه استاندارد از کادر سوم (رویداد با):

P(C)=

از زمان وقایع الف، بو بادر مجموع مستقل است، پس احتمال مورد نظر (با قضیه ضرب) برابر است با:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

مثال 7.احتمال وقوع هر یک از دو رویداد مستقل آ 1 و آ 2 به ترتیب برابر آر 1 و آر 2. احتمال وقوع تنها یکی از این رویدادها را بیابید.

راه حل. اجازه دهید نام رویدادها را معرفی کنیم:

که در 1 – فقط رویداد ظاهر شد آ 1 ; که در 2 – فقط رویداد ظاهر شد آ 2 .

وقوع رویداد که در 1 معادل وقوع یک رویداد است آ 1 2 (حادثه اول ظاهر شد و دومی ظاهر نشد) یعنی. که در 1 = A 1 2 .

وقوع رویداد که در 2 معادل وقوع یک رویداد است 1 آ 2 (حادثه اول ظاهر نشد و دومی ظاهر شد) یعنی. که در 1 = 1 آ 2 .

بنابراین، برای یافتن احتمال وقوع تنها یکی از رویدادها آ 1 یا آ 2 ، کافی است احتمال وقوع یکی را پیدا کنیم، مهم نیست کدام یک از رویدادها که در 1 و که در 2 . مناسبت ها که در 1 و که در 2 ناسازگار هستند، بنابراین قضیه جمع رویدادهای ناسازگار اعمال می شود:

P(B 1 + بی 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

قضیه

احتمال وقوع دو رویداد برابر است با حاصلضرب احتمالات یکی از آنها و احتمال مشروط دیگری که در شرایطی محاسبه می شود که اولی اتفاق افتاده باشد.

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

رویداد $A$ فراخوانی می شود رویداد مستقل$B$ اگر احتمال رویداد $A$ بستگی به این ندارد که آیا رویداد $B$ رخ داده است یا خیر. رویداد $A$ فراخوانی می شود وابسته به رویداد$B$ اگر احتمال رویداد $A$ بسته به اینکه رویداد $B$ رخ دهد یا خیر تغییر کند.

احتمال رویداد $A$، محاسبه شده با توجه به اینکه رویداد دیگری $B$ رخ داده است، نامیده می شود احتمال شرطی یک رویداد$A$ و با $P(A | B)$ نشان داده می شود.

شرط استقلال رویداد $A$ از رویداد $B$ را می توان به صورت زیر نوشت:

$$P(A | B)=P(A)$$

و شرط وابستگی به شکل زیر است:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

نتیجه 1.اگر رویداد $A$ به رویداد $B$ بستگی ندارد، رویداد $B$ به رویداد $A$ بستگی ندارد.

نتیجه 2.احتمال حاصل ضرب دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

قضیه ضرب احتمال را می توان در مورد تعداد دلخواه رویداد تعمیم داد. به طور کلی به صورت زیر فرموله شده است.

احتمال وقوع چندین رویداد برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها و احتمال هر رویداد بعدی به ترتیب محاسبه می شود مشروط بر اینکه همه رویدادهای قبلی اتفاق افتاده باشد:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2) | A_(1) \right) \cdot P\left(A_(3) | A_(1) A_(2)\right) \cdots \cdots P\left(A_(n) | A_(1) A_(2) \ldots A_( n-1)\راست)$$

در مورد رویدادهای مستقل، قضیه ساده می شود و به شکل زیر است:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right) \cdot P\left(A_(3)\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_(n)\راست)$$

یعنی احتمال ایجاد رویدادهای مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

$$P\left(\prod_(i=1)^(n) A_(i)\right)=\prod_(i=1)^(n) P\left(A_(i)\راست)$$

نمونه هایی از حل مسئله

مثال

ورزش. 2 توپ سفید و 3 توپ سیاه در کوزه وجود دارد. دو توپ پشت سر هم از کوزه بیرون آورده شده و پس داده نمی شود. احتمال سفید بودن هر دو توپ را پیدا کنید.

راه حل.اجازه دهید رویداد $A$ ظاهر دو توپ سفید باشد. این رویداد محصول دو رویداد است:

$$A=A_(1) A_(2)$$

در جایی که رویداد $A_1$ ظاهر یک توپ سفید در حین حذف اول است، $A_2$ ظاهر یک توپ سفید در طول حذف دوم است. سپس با قضیه ضرب احتمال

$$P(A)=P\left(A_(1) A_(2)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2) | A_(1)\ راست)=\frac(2)(5) \cdot \frac(1)(4)=\frac(1)(10)=0.1$$

پاسخ. $0,1$

مثال

ورزش. 2 توپ سفید و 3 توپ سیاه در کوزه وجود دارد. دو توپ پشت سر هم از کوزه کشیده می شود. پس از اولین قرعه کشی، توپ به داخل کوزه برگردانده می شود و توپ های داخل کوزه با هم مخلوط می شوند. احتمال سفید بودن هر دو توپ را پیدا کنید.

راه حل.در این حالت، رویدادهای $A_1$ و $A_2$ مستقل هستند، و سپس احتمال لازم

$$P(A)=P\left(A_(1) A_(2)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right)=\frac (2)(5) \cdot \frac(2)(5)=\frac(4)(25)=0.16$$

تعریف کلاسیک احتمال

احتمال وقوع یک معیار کمی است که برای مقایسه رویدادها با توجه به میزان احتمال وقوع آنها معرفی می شود.

رویدادی که بتوان آن را به صورت مجموعه ای (مجموع) از چندین رویداد ابتدایی نشان داد، ترکیبی نامیده می شود.

رویدادی که نمی توان آن را به موارد ساده تر تقسیم کرد، ابتدایی نامیده می شود.

رویدادی غیرممکن نامیده می شود که هرگز تحت شرایط یک آزمایش (آزمون) معین رخ ندهد.

رویدادهای قطعی و غیرممکن تصادفی نیستند.

رویدادهای مشترک- چندین رویداد مشترک نامیده می شوند که در نتیجه آزمایش، وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع موارد دیگر نباشد.

رویدادهای ناسازگار- چندین رویداد در یک آزمایش معین ناسازگار نامیده می شوند که وقوع یکی از آنها، وقوع سایرین را منتفی کند. این دو رویداد نامیده می شوند مقابل،اگر یکی از آنها اتفاق بیفتد اگر و فقط اگر دیگری رخ ندهد.

احتمال رویداد A است P(A) – نسبت عددی نامیده می شود متررویدادهای اولیه (نتایج) مطلوب برای وقوع رویداد آ،به شماره nهمه رویدادهای ابتدایی تحت شرایط یک آزمایش احتمالی معین.

ویژگی های احتمال زیر از تعریف به دست می آید:

1. احتمال یک رویداد تصادفی یک عدد مثبت بین 0 و 1 است:

2. احتمال وقوع یک رویداد معین 1 است: (3)

3. اگر رویدادی محال است، احتمال آن برابر است با

4. اگر رویدادها ناسازگار هستند، پس

5. اگر رویدادهای الف و ب مشترک باشند، احتمال مجموع آنها برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون احتمال وقوع مشترک:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)(6)

6. اگر و رویدادهای متضاد هستند، پس (7)

7. مجموع احتمالات رویداد A 1، A 2، …، A nبا تشکیل یک گروه کامل، برابر با 1 است:

P(A 1) + P(A 2) + …+ P(A n) = 1.(8)

در مطالعات اقتصادی، مقادیر و در فرمول ممکن است متفاوت تفسیر شوند. در تعریف آماریاحتمال یک رویداد، تعداد مشاهدات نتایج تجربی است که در آن رویداد دقیقاً یک بار رخ داده است. در این حالت رابطه نامیده می شود فرکانس (فرکانس) نسبی یک رویداد

مناسبت ها الف، بنامیده می شوند مستقل، در صورتی که احتمال هر یک از آنها به وقوع یا عدم وقوع رویداد دیگری بستگی ندارد. احتمالات رویدادهای مستقل نامیده می شود بدون قید و شرط.

مناسبت ها الف، بنامیده می شوند وابسته، اگر احتمال هر یک از آنها بستگی به این دارد که آیا رویداد دیگری رخ داده است یا خیر. احتمال رویداد B که با این فرض محاسبه می شود که یک رویداد دیگر A قبلاً رخ داده است، نامیده می شود احتمال شرطی.

اگر دو رویداد A و B مستقل باشند، برابری ها صادق هستند:

P(B) = P(B/A)، P(A) = P(A/B) یا P(B/A) - P(B) = 0(9)

احتمال حاصلضرب دو رویداد وابسته A, B برابر است با حاصل ضرب احتمال یکی از آنها با احتمال شرطی دیگری:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B)یا P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

احتمال رخداد B با توجه به وقوع رویداد A:

احتمال حاصلضرب دو مستقلرویدادهای A، B برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

اگر چندین رویداد به صورت زوجی مستقل باشند، استقلال آنها در مجموع به دنبال ندارد.

مناسبت ها A 1، A 2، ...، A n (n>2)در مجموع مستقل نامیده می شوند که احتمال هر یک از آنها به وقوع یا عدم وقوع هر یک از رویدادهای دیگر بستگی ندارد.

احتمال وقوع مشترک چندین رویداد که در مجموع مستقل هستند برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

اگر دو رویداد A و B مستقل باشند، برابری ها صادق هستند:

P(B) = P(B/A)، P(A) = P(A/B) یا P(B/A) - P(B) = 0(9)

احتمال حاصلضرب دو رویداد وابسته A, B برابر است با حاصل ضرب احتمال یکی از آنها با احتمال شرطی دیگری:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B)یا P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

احتمال رخداد B با توجه به وقوع رویداد A:

احتمال حاصلضرب دو مستقلرویدادهای A، B برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

اگر چندین رویداد به صورت زوجی مستقل باشند، استقلال آنها در مجموع به دنبال ندارد.

احتمال وقوع مشترک چندین رویداد که در مجموع مستقل هستند برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

پایان کار -

این موضوع متعلق به بخش:

نکات سخنرانی: مفاهیم اساسی نظریه احتمال و آمار مورد استفاده در اقتصاد سنجی

ایالت کازان.. موسسه مالی و اقتصادی.. گروه آمار و اقتصاد سنجی..

اگر به مطالب اضافی در مورد این موضوع نیاز دارید یا آنچه را که به دنبال آن بودید پیدا نکردید، توصیه می کنیم از جستجو در پایگاه داده آثار ما استفاده کنید:

با مطالب دریافتی چه خواهیم کرد:

اگر این مطالب برای شما مفید بود، می توانید آن را در صفحه خود در شبکه های اجتماعی ذخیره کنید:

تمامی موضوعات این بخش:

متغیر تصادفی گسسته
کامل ترین و جامع ترین توصیف یک متغیر گسسته، قانون توزیع آن است

متغیر تصادفی پیوسته
برای یک SV پیوسته، تعیین احتمال این که مقدار خاصی (احتمال نقطه ای) به خود بگیرد، غیرممکن است. از آنجایی که هر بازه ای حاوی تعداد نامتناهی از مقادیر است، محتمل است

رابطه بین متغیرهای تصادفی
بسیاری از شاخص های اقتصادی با اعداد متعددی تعیین می شوند که SV های چند بعدی هستند. یک مجموعه مرتب شده از X = (X1، X2، ...، Xn) تصادفی در

مشاهده انتخابی
جمعیت عمومی مجموعه ای از تمام مقادیر ممکن یا تحقق SV X مورد مطالعه تحت یک مجموعه شرایط واقعی معین است. نمونه برداری

محاسبه مشخصات نمونه
برای هر SV X، علاوه بر تعیین تابع توزیع آن، مطلوب است که مشخصه های عددی را نشان دهیم که مهمترین آنها عبارتند از: - انتظار ریاضی. - پراکندگی

توزیع نرمال
توزیع نرمال (توزیع گاوسی) یک حالت شدید تقریباً همه توزیع‌های احتمال واقعی است. بنابراین، در تعداد بسیار زیادی از کاربردهای واقعی نظریه استفاده می شود

توزیع دانش آموزی
فرض کنید SV U ~ N (0،1)، SV V کمیتی مستقل از U است که طبق قانون χ2 با n درجه آزادی توزیع شده است. سپس مقدار

توزیع فیشر
فرض کنید V و W SVهای مستقلی باشند که طبق قانون χ2 با درجات آزادی به ترتیب v1 = m و v2 = n توزیع شده اند. سپس مقدار

تخمین نقطه ای و ویژگی های آنها
اجازه دهید برخی از پارامترهای SW مشاهده شده را تخمین بزنیم

ثروت
تخمین در صورتی که ریاضیات باشد، تخمین پارامتر بی طرف نامیده می شود

ویژگی های برآورد نمونه
در مرحله اولیه، یک مشخصه عددی نمونه به عنوان تخمینی از یک یا دیگری مشخصه عددی (انتظار ریاضی، پراکندگی و غیره) گرفته می شود. سپس با بررسی این ارزیابی مشخص می شود

فاصله اطمینان برای واریانس SV نرمال
فرض کنید X ~ N (m، σ2) و and مجهول هستند. برای ارزیابی بگذارید

معیارهای تأیید منطقه بحرانی
فرضیه آماری بر اساس داده های نمونه بررسی می شود برای این منظور از یک SV (آمار، معیار) خاص استفاده می شود که مقدار دقیق یا تقریبی آن مشخص است. E

رویدادهای A، B، C... نامیده می شوند وابستهاز یکدیگر در صورتی که احتمال وقوع حداقل یکی از آنها بسته به وقوع یا عدم وقوع حوادث دیگر تغییر کند. رویدادها نامیده می شوند مستقل، در صورتی که احتمالات ظهور هر یک از آنها منوط به ظاهر یا عدم ظهور دیگران نباشد.

احتمال مشروط(PA (B) - احتمال شرطی رویداد B نسبت به A) احتمال رویداد B است که با این فرض محاسبه می شود که رویداد A قبلاً رخ داده است. مثالی از احتمال شرطی احتمال شرطی رویداد B، مشروط بر اینکه رویداد A قبلاً رخ داده باشد، طبق تعریف، برابر است با PA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)> 0).

ضرب احتمال رویدادهای وابسته:احتمال وقوع مشترک دو رویداد برابر است با حاصل ضرب احتمال یکی از آنها با احتمال شرطی دیگری که با این فرض محاسبه می شود که اولین رویداد قبلاً رخ داده است:
P (AB) = P (A) PA (B)

مثال. کلکتور دارای 3 غلتک مخروطی و 7 غلتک بیضوی می باشد. جمع کننده یک غلتک و سپس دومی را گرفت. احتمال اینکه اولی از غلتک های گرفته شده مخروطی و دومی بیضی باشد را پیدا کنید.

راه حل:احتمال اینکه غلتک اول مخروطی شود (رویداد A)، P (A) = 3/10. احتمال اینکه غلتک دوم بیضوی شود (رویداد B)، با این فرض محاسبه می شود که غلتک اول است. مخروطی، یعنی احتمال شرطی RA (B) = 7/9.
با توجه به فرمول ضرب، احتمال مورد نظر P (AB) = P (A) PA (B) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30 است. توجه داشته باشید که با حفظ نماد، می توانیم به راحتی پیدا کنید: P (B) = 7 / 10، РB (A) = 3/9، Р (В) РB (А) = 7 / 30

شرط استقلال رویدادها. ضرب احتمال رویدادهای مستقل. مثال ها.

رویداد B به رویداد A اگر بستگی ندارد

P(B/A) = P(B) یعنی. احتمال رخداد B به وقوع رویداد A بستگی ندارد.

در این صورت رویداد الف به رویداد ب بستگی ندارد، یعنی خاصیت استقلال رویدادها متقابل است.

احتمال حاصلضرب دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها:

P(AB) = P(A)P(B) .

مثال 1:دستگاهی که برای زمان t کار می کند از سه گره تشکیل شده است که هر گره، مستقل از بقیه، می توانند در طول زمان t از کار بیفتند. خرابی حداقل یک گره منجر به خرابی کل دستگاه می شود. در طول زمان t، قابلیت اطمینان (احتمال عملکرد بدون خرابی) گره اول p 1 = 0.8 است. دوم p 2 = 0.9 سوم p 3 = 0.7. قابلیت اطمینان دستگاه را در کل پیدا کنید.

راه حل.دلالت بر:

الف – کارکرد بدون مشکل دستگاه ها،

1-عملکرد بدون مشکل اولین گره،

2-عملکرد بدون مشکل گره دوم،

3-عملکرد بدون مشکل گره سوم

از آنجا، با قضیه ضرب برای رویدادهای مستقل

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0.504

مثال 2. هنگام پرتاب دو سکه، احتمال کنار هم ظاهر شدن یک عدد را پیدا کنید.

راه حل. احتمال ظهور رقم اولین سکه (رویداد A) P(A) = 1/2; احتمال ظهور رقم سکه دوم (رویداد B) P(B) = 1/2 است.

رویدادهای A و B مستقل هستند، بنابراین احتمال لازم را خواهیم یافت

طبق فرمول:

P(AB) = P(A)P(B) = 1/2 *1/2 = 1/4

سازگاری و ناسازگاری رویدادها. جمع کردن احتمالات دو رویداد مشترک. مثال ها.

این دو رویداد نامیده می شوند مفصلدر صورتی که ظاهر یکی از آنها تأثیری بر ظاهر دیگری نداشته باشد یا از آن خارج نشود. رویدادهای مشترک می توانند به طور همزمان رخ دهند، مانند، برای مثال، ظاهر شدن یک عدد روی یک تاس یا

به هیچ وجه بر ظاهر اعداد در قالب دیگر تأثیر نمی گذارد. رویدادها ناسازگار هستنددر صورتی که در یک پدیده یا در حین یک آزمایش نتوان به طور همزمان به آنها پی برد و ظاهر یکی از آنها ظاهر دیگری را منتفی کند (اصابت به هدف و مفقود شدن ناسازگار است).

احتمال وقوع حداقل یکی از دو رویداد مشترک A یا B برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون احتمال وقوع مشترک:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

مثال. احتمال برخورد به هدف برای اولین ورزشکار 0.85 و برای دوم - 0.8 است. ورزشکاران مستقل از یکدیگر

هر کدام یک گلوله شلیک کرد. احتمال اینکه حداقل یک ورزشکار به هدف بخورد را پیدا کنید؟

راه حل. اجازه دهید نمادهای زیر را معرفی کنیم: رویدادهای A - "ضربه توسط ورزشکار اول"، B - "ضربه توسط ورزشکار دوم"، C - "ضربه توسط حداقل یکی از ورزشکاران". بدیهی است که A + B = C و رویدادهای A و B همزمان هستند. مطابق با فرمول دریافت می کنیم:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(C) = P(A)+ P(B)-P(A)P(B)،

زیرا A و B رویدادهای مستقلی هستند. با جایگزینی این مقادیر P(A) = 0.85، P(B) = 0.8 در فرمول P(C)، احتمال مورد نظر را پیدا می کنیم.

P(C) = (0.85 + 0.8) - 0.85·0.8 = 0.97