Dva nezavisna događaja. Zavisni i nezavisni događaji. Uvjetna vjerojatnost. Bilješke s predavanja temeljni pojmovi teorije vjerojatnosti i statistike koji se koriste u ekonometriji

U USE zadacima iz matematike postoje i složeniji zadaci vjerojatnosti (od onih koje smo razmatrali u 1. dijelu), gdje morate primijeniti pravilo zbrajanja, množenja vjerojatnosti i razlikovati zajedničke i nekompatibilne događaje.

Dakle, teorija.

Zajednički i nezajednički događaji

Za događaje se kaže da su nekompatibilni ako pojava jednog od njih isključuje pojavu ostalih. To jest, može se dogoditi samo jedan određeni događaj ili drugi.

Na primjer, bacanjem kocke možete razlikovati događaje poput parnog i neparnog broja bodova. Ovi događaji su nespojivi.

Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog.

Na primjer, kada bacate kocku, možete razlikovati događaje kao što je pojavljivanje neparnog broja bodova i gubitak broja bodova koji je višekratnik tri. Kada se baci tri, oba događaja su realizirana.

Zbroj događaja

Zbroj (ili unija) nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od tih događaja.

pri čemu zbroj dva disjunktna događaja je zbroj vjerojatnosti ovih događaja:

Na primjer, vjerojatnost dobivanja 5 ili 6 kocke na jednom bacanju, bit će zato što su oba događaja (bacivanje 5, bacanje 6) nekompatibilna i vjerojatnost da se dogodi jedan ili drugi događaj izračunava se na sljedeći način:

Vjerojatnost zbroj dvaju zajedničkih događaja jednak je zbroju vjerojatnosti ovih događaja ne uzimajući u obzir njihovo zajedničko pojavljivanje:

Na primjer, u trgovačkom centru dva identična automata prodaju kavu. Vjerojatnost da će aparat ostati bez kave do kraja dana je 0,3. Vjerojatnost da će oba aparata ostati bez kave je 0,12. Nađimo vjerojatnost da će do kraja dana kava završiti u barem jednom od aparata (odnosno, ili u jednom, ili u drugom, ili u oba odjednom).

Vjerojatnost prvog događaja "kava će završiti u prvom aparatu" kao i vjerojatnost drugog događaja "kava će završiti u drugom aparatu" po uvjetu je jednaka 0,3. Događaji su suradnički.

Vjerojatnost zajedničke realizacije prva dva događaja je prema uvjetu jednaka 0,12.

To znači da je vjerojatnost da će do kraja dana nestati kave u barem jednom od aparata

Zavisni i nezavisni događaji

Dva slučajna događaja A i B nazivaju se neovisnima ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerojatnost da će se drugi dogoditi. Inače se događaji A i B nazivaju ovisnima.

Na primjer, kada bacate dvije kocke u isto vrijeme, pad na jednu od njih, recimo 1, a na drugu 5, - nezavisni događaji.

Umnožak vjerojatnosti

Umnožak (ili presjek) nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničke pojave svih tih događaja.

Ako postoje dva nezavisni događaji A i B s vjerojatnostima P(A) odnosno P(B), tada je vjerojatnost realizacije događaja A i B istovremeno jednaka umnošku vjerojatnosti:

Na primjer, zanima nas gubitak šestice na kocki dva puta zaredom. Oba događaja su neovisna i vjerojatnost da se svaki od njih dogodi zasebno je . Vjerojatnost da će se oba ova događaja dogoditi izračunat će se pomoću gornje formule: .

Pogledajte izbor zadataka za izradu teme.

Događaji A, B, C... se nazivaju ovisan međusobno ako vjerojatnost pojavljivanja barem jednog od njih varira ovisno o pojavljivanju ili nepojavljivanju drugih događaja. Događaji se zovu nezavisna ako vjerojatnosti pojavljivanja svake od njih ne ovise o pojavljivanju ili nepojavljivanju ostalih.

Uvjetna vjerojatnost(RA (B)-uvjetna vjerojatnost događaja B u odnosu na A) je vjerojatnost događaja B, izračunata pod pretpostavkom da se događaj A već dogodio. primjer uvjetne vjerojatnosti Uvjetna vjerojatnost događaja B, pod uvjetom da se događaj A već dogodio, po definiciji je jednaka RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

Množenje vjerojatnosti zavisnih događaja: vjerojatnost zajedničkog događanja dva događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih s uvjetnom vjerojatnošću drugog, izračunatom pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

Primjer. Kolektor ima 3 konusna i 7 eliptičnih valjaka. Sakupljač je uzeo jedan valjak, a zatim i drugi. Odredite vjerojatnost da je prvi od uzetih valjaka stožast, a drugi eliptičan.

Odluka: Vjerojatnost da će prvi valjak biti stožast (događaj A), P(A) = 3 / 10. Vjerojatnost da će drugi valjak biti eliptičan (događaj B), izračunata pod pretpostavkom da je prvi valjak stožast, tj. uvjetna vjerojatnost RA (B) = 7 / 9.
Prema formuli množenja, željena vjerojatnost P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. Imajte na umu da, zadržavajući notaciju, mi može lako pronaći: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30

Uvjet neovisnosti događaja. Množenje vjerojatnosti neovisnih događaja. Primjeri.

Događaj B je neovisan o događaju A ako

P(B/A) = P(B) tj. Vjerojatnost događaja B ne ovisi o tome je li se događaj A dogodio ili nije.

U ovom slučaju događaj A ne ovisi o događaju B, odnosno svojstvo neovisnosti događaja je obostrano.

Vjerojatnost umnoška dvaju neovisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti:

P(AB) = P(A)P(B) .

Primjer 1: Uređaj koji radi tijekom vremena t sastoji se od tri čvora od kojih svaki, neovisno o drugima, može otkazati (biti u kvaru) tijekom vremena t. Kvar barem jednog čvora dovodi do kvara uređaja u cjelini. Tijekom vremena t, pouzdanost (vjerojatnost rada bez kvara) prvog čvora je jednaka p 1 = 0,8; drugi p 2 = 0,9 treći p 3 = 0,7. Pronađite pouzdanost uređaja u cjelini.

Odluka. Označava:

A - nesmetan rad uređaja,

A 1 - rad prvog čvora bez greške,

A 2 - nesmetan rad drugog čvora,

A 3 - nesmetan rad trećeg čvora,

odakle po teoremu množenja za nezavisne događaje

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Primjer 2. Odredite vjerojatnost da se znamenka pojavi zajedno u jednom bacanju dvaju novčića.

Odluka. Vjerojatnost pojavljivanja znamenke prvog novčića (događaj A) R(A) = 1/2; vjerojatnost pojave znamenke drugog novčića (događaj B) je P(B) = 1/2.

Događaji A i B su neovisni pa nalazimo željenu vjerojatnost

prema formuli:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

Dosljednost i nedosljednost događaja. Zbrajanje vjerojatnosti dvaju zajedničkih događaja. Primjeri.

Dva događaja se zovu spojnica ako pojava jedne od njih ne utječe ili ne isključuje pojavu druge. Zajednički događaji mogu se realizirati istovremeno, kao što je pojavljivanje bilo kojeg broja na istoj kocki

ni na koji način ne utječe na pojavu brojeva na drugoj kosti. Događaji su nedosljedni, ako se u jednoj pojavi ili u jednom testu ne mogu realizirati istovremeno i pojava jedne od njih isključuje pojavu druge (pogađanje mete i promašaj su nespojivi).

Vjerojatnost pojavljivanja barem jednog od dvaju zajedničkih događaja A ili B jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez vjerojatnosti njihovog zajedničkog događanja:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Primjer. Vjerojatnost pogađanja mete za prvog sportaša je 0,85, a za drugog 0,8. Sportaši samostalno

ispalio jedan metak. Odredite vjerojatnost da barem jedan sportaš pogodi metu?

Odluka. Uvodimo oznake: događaji A - "pogodak prvog sportaša", B - "udarac drugog sportaša", C - "pogodak barem jednog od sportaša". Očito je A + B = C, a događaji A i B su kompatibilni. U skladu s formulom dobivamo:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

jer su A i B nezavisni događaji. Zamjenom ovih vrijednosti P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 u formulu za P(C), nalazimo željenu vjerojatnost

P (C) \u003d (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Teorem zbrajanja vjerojatnosti suprotnih događaja

Suprotan imenovati dva nespojiva događaja koji čine cjelovitu skupinu. Ako se jedan od dva suprotna događaja označi sa I, drugi se obično označava . Suprotan događaj sastoji se u nenastanku događaja I.

Teorema. Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja jednak je jedan:

P(A)+P()= 1.

Primjer 4 Kutija sadrži 11 dijelova od kojih je 8 standardnih. Nađite vjerojatnost da među 3 slučajno izvađena dijela postoji barem jedan neispravan.

Odluka. Problem se može riješiti na dva načina.

1 način. Događaji “među izvađenim dijelovima postoji barem jedan neispravan dio” i “među izvađenim dijelovima nema niti jednog neispravnog dijela” su suprotni. Označimo prvi događaj kao I, a drugi kroz :

P(A) =1 - P( ) .

Nađimo R(). Ukupan broj načina na koji se iz 11 dijelova mogu izdvojiti 3 dijela jednak je broju kombinacija
. Broj standardnih dijelova je 8 ; od ovog broja dijelova
načini izdvajanja 3 standardna dijela. Stoga je vjerojatnost da među izdvojena 3 dijela nema nestandardnih dijelova jednaka:

Prema teoremu zbrajanja vjerojatnosti suprotnih događaja željena vjerojatnost jednaka je: P(A)=1 - P()=

2 način. Događaj I- "među izvađenim dijelovima postoji barem jedan neispravan" - može se realizirati kao pojava:

ili događaja NA- "uklonjen 1 neispravan i 2 neispravna dijela",

ili događaja IZ- "uklonjena 2 neispravna i 1 neispravan dio",

ili događaja D - "3 neispravna dijela uklonjena".

Zatim A= B+ C+ D. Od događaja B, C i D nekompatibilni, tada možemo primijeniti teorem zbrajanja za vjerojatnosti nekompatibilnih događaja:

4. Teorem množenja vjerojatnosti neovisnih događaja

Proizvod dva događajaI iNA nazovi događaj C=AB, koji se sastoji u zajedničkoj pojavi (kombinaciji) tih događaja.

Proizvod nekoliko događaja imenovati događaj koji se sastoji od zajedničke pojave svih tih događaja. Na primjer, događaj ABC je kombinacija događaja A, B i IZ.

Pozivaju se dva događaja nezavisna ako vjerojatnost jednog od njih ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju drugoga.

Teorema. Vjerojatnost zajedničkog događanja dvaju neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja:

P(AB)=P(A) P(B).

Posljedica. Vjerojatnost zajedničke pojave više događaja koji su neovisni u agregatu jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja :

GODIŠNJE 1 I 2 ... I n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...GODIŠNJE n ).

Primjer 5 Odredite vjerojatnost da se grb pojavi zajedno u jednom bacanju dvaju novčića.

Odluka. Označimo događaje: I - izgled grba na prvom novčiću, U - izgled grba na drugom novčiću, IZ- izgled grba na dva novčića C=AB.

Vjerojatnost pojave grba prvog novčića :

P(A) =.

Vjerojatnost pojave grba drugog novčića :

P(B) =.

Od događaja I i NA neovisno, tada je željena vjerojatnost prema teoremu množenja jednaka:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

Primjer 6 Postoje 3 kutije koje sadrže 10 dijelova. Prva ladica sadrži 8, druga ladica 7, a treća ladica 9 standardnih dijelova. Iz svake se kutije nasumično izvlači po jedan predmet. Nađite vjerojatnost da su sva tri izvađena dijela standardna.

Odluka. Vjerojatnost da je standardni dio uzet iz prve kutije (događaj I):

P(A) =

Vjerojatnost da je standardni dio uzet iz druge kutije (događaj NA):

Vjerojatnost da je standardni dio uzet iz treće kutije (događaj IZ):

P(C)=

Od događaja A, B i IZ neovisno o agregatu, tada je željena vjerojatnost (prema teoremu množenja) jednaka:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Primjer 7 Vjerojatnosti pojavljivanja svakog od dva nezavisna događaja I 1 i I 2 odnosno jednaki R 1 i R 2. Odredite vjerojatnost događanja samo jednog od tih događaja.

Odluka. Uvedimo oznaku događaja:

NA 1 – pojavio se jedini događaj I 1 ; NA 2 – pojavio se jedini događaj I 2 .

Pojava događaja NA 1 je ekvivalentna pojavi događaja I 1 2 (prvi događaj se pojavio, a drugi se nije pojavio), tj. NA 1 = A 1 2 .

Pojava događaja NA 2 je ekvivalentna pojavi događaja 1 I 2 (prvi događaj se nije pojavio, a pojavio se drugi), tj. NA 1 = 1 I 2 .

Dakle, pronaći vjerojatnost pojave samo jednog od događaja I 1 ili I 2 , dovoljno je pronaći vjerojatnost pojavljivanja jednog, bez obzira kojeg od događaja NA 1 i NA 2 . Razvoj događaja NA 1 i NA 2 su nekonzistentni, stoga je primjenjiv teorem zbrajanja nekompatibilnih događaja:

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Teoremi zbrajanja i množenja vjerojatnosti.
Zavisni i nezavisni događaji

Naslov izgleda zastrašujuće, ali je zapravo vrlo jednostavan. U ovoj lekciji ćemo se upoznati s teoremima zbrajanja i množenja vjerojatnosti događaja, te analizirati tipične zadatke koji uz zadatak za klasičnu definiciju vjerojatnosti sigurno ćete sresti ili, što je vjerojatnije, već sresti na vašem putu. Da biste učinkovito proučavali materijale ovog članka, morate znati i razumjeti osnovne pojmove teorija vjerojatnosti te moći izvoditi jednostavne aritmetičke operacije. Kao što vidite, potrebno je vrlo malo, pa je masni plus u aktivi gotovo zajamčen. Ali s druge strane, opet upozoravam na površan odnos prema praktičnim primjerima - ima i dovoljno suptilnosti. Sretno:

Teorem zbrajanja za vjerojatnosti nekompatibilnih događaja: vjerojatnost pojave jednog od dva nekompatibilan događanja ili (bez obzira), jednaka je zbroju vjerojatnosti ovih događaja:

Slična činjenica vrijedi i za veći broj nekompatibilnih događaja, npr. za tri nekompatibilna događaja i :

Teorem o snu =) Međutim, takav san također podliježe dokazu, koji se može naći, na primjer, u vodič za učenje V.E. Gmurman.

Upoznajmo se s novim, do sada neviđenim pojmovima:

Zavisni i nezavisni događaji

Počnimo s nezavisnim događajima. Događaji su nezavisna ako je vjerojatnost pojave bilo koji od njih ne ovisi od pojavljivanja/nejavljivanja ostalih događaja razmatranog skupa (u svim mogućim kombinacijama). ... Ali što je tu za mljevenje uobičajenih fraza:

Teorem množenja vjerojatnosti neovisnih događaja: vjerojatnost zajedničkog pojavljivanja neovisnih događaja i jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja:

Vratimo se najjednostavnijem primjeru 1. lekcije, u kojoj se bacaju dva novčića i sljedeći događaji:

- glave će pasti na 1. novčić;
- Glave na 2. novčiću.

Nađimo vjerojatnost događaja (glave će se pojaviti na 1. novčiću i Orao će se pojaviti na 2. novčiću - zapamtite kako čitati proizvod događaja!) . Vjerojatnost dobivanja glava na jednom novčiću ne ovisi o rezultatu bacanja drugog novčića, stoga su događaji i neovisni.

Slično:
je vjerojatnost da će 1. novčić pasti glave i na 2. repu;
je vjerojatnost da se glave pojave na 1. novčiću i na 2. repu;
je vjerojatnost da će prvi novčić pasti na repove i na 2. orao.

Imajte na umu da se događaji oblikuju puna grupa a zbroj njihovih vjerojatnosti jednak je jedinici: .

Teorem množenja se očito proteže na veći broj nezavisnih događaja, pa npr. ako su događaji nezavisni, tada je vjerojatnost njihovog zajedničkog pojavljivanja: . Vježbajmo na konkretnim primjerima:

Zadatak 3

Svaka od tri kutije sadrži 10 dijelova. U prvoj kutiji nalazi se 8 standardnih dijelova, u drugoj - 7, u trećoj - 9. Jedan dio se nasumično uklanja iz svake kutije. Nađite vjerojatnost da su svi dijelovi standardni.

Odluka: vjerojatnost izdvajanja standardnog ili nestandardnog dijela iz bilo koje kutije ne ovisi o tome koji će dijelovi biti ekstrahirani iz drugih kutija, tako da je problem u neovisnim događajima. Razmotrite sljedeće neovisne događaje:

– standardni dio je uklonjen iz 1. kutije;
– standardni dio je uklonjen iz 2. kutije;
– Standardni dio je uklonjen iz 3. ladice.

Prema klasičnoj definiciji:
su odgovarajuće vjerojatnosti.

Događaj koji nas zanima (Standardni dio će se uzeti iz 1. ladice i od 2. standarda i od 3. standarda) izražava se umnoškom.

Prema teoremu množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:

je vjerojatnost da će se iz tri kutije izdvojiti jedan standardni dio.

Odgovor: 0,504

Nakon okrepljujućih vježbi s kutijama očekuju nas ništa manje zanimljive urne:

Zadatak 4

Tri urne sadrže 6 bijelih i 4 crne kugle. Iz svake urne nasumično se izvlači jedna kuglica. Odredite vjerojatnost da će: a) sve tri kuglice biti bijele; b) sve tri kuglice će biti iste boje.

Na temelju dobivenih informacija, pogodite kako se nositi sa stavkom "biti" ;-) Približno ogledno rješenje dizajnirano je u akademskom stilu s detaljnim opisom svih događaja.

Ovisni događaji. Događaj se zove ovisan ako je njegova vjerojatnost ovisi od jednog ili više događaja koji su se već dogodili. Ne morate ići daleko po primjere - samo idite do najbliže trgovine:

- Sutra u 19 sati svježi kruh je u prodaji.

Vjerojatnost ovog događaja ovisi o mnogim drugim događajima: hoće li svježi kruh sutra biti isporučen, hoće li biti rasprodan prije 19 sati ili ne itd. Ovisno o različitim okolnostima, ovaj događaj može biti pouzdan i nemoguć. Dakle, događaj je ovisan.

Kruh ... i, kako su Rimljani zahtijevali, cirkusi:

- na ispitu student dobiva običnu kartu.

Ako ne idete prvi, tada će događaj biti ovisan, jer će njegova vjerojatnost ovisiti o tome koje su karte kolege iz razreda već izvukli.

Kako odrediti ovisnost/neovisnost događaja?

Ponekad je to izravno navedeno u stanju problema, ali najčešće morate provesti neovisnu analizu. Ovdje nema jednoznačne smjernice, a činjenica ovisnosti ili neovisnosti događaja proizlazi iz prirodnog logičnog zaključivanja.

Da se ne baci sve na jednu hrpu, zadaci za zavisne događaje Istaknut ću sljedeću lekciju, ali za sada ćemo razmotriti najčešću hrpu teorema u praksi:

Zadaci o adicijskim teoremima za nekonzistentne vjerojatnosti
i množenje vjerojatnosti neovisnih događaja

Ovaj tandem, prema mojoj subjektivnoj procjeni, radi oko 80% zadataka na temu koja se razmatra. Hit nad hitovima i pravi klasik teorije vjerojatnosti:

Zadatak 5

Dva strijelca su ispalila po jedan hitac u metu. Vjerojatnost pogotka za prvog strijelca je 0,8, za drugog - 0,6. Nađite vjerojatnost da:

a) samo jedan strijelac će pogoditi metu;
b) barem jedan od strijelaca će pogoditi metu.

Odluka: Vjerojatnost pogotka/promašaja jednog strijelca očito je neovisna o učinku drugog strijelca.

Razmotrite događaje:
– 1. strijelac će pogoditi metu;
– Drugi strijelac će pogoditi metu.

Prema stanju: .

Nađimo vjerojatnosti suprotnih događaja - da će odgovarajuće strelice promašiti:

a) Razmotrite događaj: - samo jedan strijelac pogađa metu. Ovaj događaj sastoji se od dva nekompatibilna ishoda:

1. strijelac će pogoditi i 2. promašaji
ili
1. će nedostajati i 2. će pogoditi.

Na jeziku algebre događaja ova se činjenica može napisati kao:

Prvo koristimo teorem zbrajanja vjerojatnosti nekompatibilnih događaja, zatim - teorem množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:

je vjerojatnost da će biti samo jedan pogodak.

b) Razmotrite događaj: - barem jedan od strijelaca će pogoditi metu.

Prije svega RAZMISLIMO - što znači uvjet "BAREM JEDAN"? U ovom slučaju to znači da će prvi strijelac pogoditi (drugi će promašiti) ili 2. (1. promašaji) ili obje strijele odjednom - ukupno 3 nespojiva ishoda.

Prva metoda: s obzirom na pripremljenu vjerojatnost prethodne stavke, pogodno je prikazati događaj kao zbroj sljedećih disjunktnih događaja:

jedan će dobiti (događaj koji se redom sastoji od 2 nekompatibilna ishoda) ili
Ako su obje strelice pogodile, taj događaj označavamo slovom .

Na ovaj način:

Prema teoremu množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:
je vjerojatnost da će prvi strijelac pogoditi i 2. strijelac će pogoditi.

Prema teoremu zbrajanja vjerojatnosti nekompatibilnih događaja:
je vjerojatnost najmanje jednog pogotka u metu.

Druga metoda: razmotrite suprotni događaj: – oba strijelca će promašiti.

Prema teoremu množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:

Kao rezultat:

Posebna pažnja obratite pozornost na drugu metodu - u općem slučaju je racionalnija.

Osim toga, postoji i alternativni, treći način rješavanja, temeljen na teoremu zbrajanja zajedničkih događaja, o kojem je gore bilo riječi.

! Ako prvi put čitate materijal, kako biste izbjegli zabunu, bolje je preskočiti sljedeći odlomak.

Metoda tri : događaji su zajednički, što znači da njihov zbroj izražava događaj „najmanje jedan strijelac pogađa metu” (vidi sl. algebra događaja). Po teorem zbrajanja vjerojatnosti zajedničkih događaja i teorem množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:

Provjerimo: događaje i (0, 1 i 2 pogotka redom)čine potpunu grupu, pa zbroj njihovih vjerojatnosti mora biti jednak jedan:
, što je trebalo provjeriti.

Odgovor:

Uz temeljito proučavanje teorije vjerojatnosti, naići ćete na desetke zadataka militarističkog sadržaja i, što je tipično, nakon toga nećete htjeti nikoga upucati – zadaci su gotovo poklon. Zašto ne biste predložak učinili još jednostavnijim? Da skratimo unos:

Odluka: prema uvjetu: , je vjerojatnost pogotka odgovarajućih strijelaca. Tada su njihove vjerojatnosti promašaja:

a) Prema teoremima zbrajanja vjerojatnosti nekompatibilnih i množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:
je vjerojatnost da će samo jedan strijelac pogoditi metu.

b) Prema teoremu množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:
je vjerojatnost da će oba strijelca promašiti.

Zatim: je vjerojatnost da će barem jedan od strijelaca pogoditi metu.

Odgovor:

U praksi možete koristiti bilo koju opciju dizajna. Naravno, puno češće idu kraćim putem, ali ne treba zaboraviti 1. metodu - iako je duža, sadržajnija je - u njoj je jasnija, što, zašto i zašto zbraja i množi. U nekim slučajevima prikladan je hibridni stil, kada je prikladno naznačiti samo neke događaje velikim slovima.

Slični zadaci za samostalno rješavanje:

Zadatak 6

Ugrađena su dva neovisno radna senzora za dojavu požara. Vjerojatnosti da će senzor raditi tijekom požara su 0,5 odnosno 0,7 za prvi i drugi senzor. Nađite vjerojatnost da u požaru:

a) oba senzora neće uspjeti;
b) oba senzora će raditi.
c) Korištenje adicijski teorem za vjerojatnosti događaja koji tvore potpunu grupu, pronađite vjerojatnost da će samo jedan senzor raditi tijekom požara. Provjerite rezultat izravnim izračunom ove vjerojatnosti (koristeći teoreme zbrajanja i množenja).

Ovdje je neovisnost rada uređaja izravno navedena u uvjetu, što je, usput rečeno, važno pojašnjenje. Ogledno rješenje izrađeno je u akademskom stilu.

Što ako su u sličnom problemu zadane iste vjerojatnosti, na primjer, 0,9 i 0,9? Morate odlučiti potpuno isto! (što je, zapravo, već pokazano u primjeru s dva novčića)

Zadatak 7

Vjerojatnost da prvi strijelac pogodi metu jednim hicem je 0,8. Vjerojatnost da meta nije pogođena nakon što prvi i drugi strijelac ispale jedan hitac je 0,08. Kolika je vjerojatnost da će drugi strijelac pogoditi metu jednim hicem?

A ovo je mala zagonetka, koja je uokvirena na kratak način. Uvjet se može konciznije preformulirati, ali neću prepravljati izvornik - u praksi se moram upuštati u kićenije izmišljotine.

Upoznajte ga - on je taj koji je izrezao neizmjernu količinu detalja za vas =):

Zadatak 8

Radnik upravlja s tri stroja. Vjerojatnost da će tijekom smjene prvi stroj zahtijevati podešavanje je 0,3, drugi - 0,75, treći - 0,4. Nađite vjerojatnost da će tijekom smjene:

a) svi će strojevi zahtijevati podešavanje;
b) samo će jedan stroj zahtijevati podešavanje;
c) barem će jedan stroj zahtijevati podešavanje.

Odluka: budući da uvjet ne govori ništa o jednom tehnološkom procesu, onda rad svakog stroja treba smatrati neovisnim o radu drugih strojeva.

Po analogiji sa zadatkom br. 5, ovdje možete unijeti u razmatranje događaje koji se sastoje u činjenici da će odgovarajući strojevi zahtijevati prilagodbu tijekom smjene, zapisati vjerojatnosti, pronaći vjerojatnosti suprotnih događaja itd. Ali s tri predmeta, ne želim baš tako sastaviti zadatak - ispast će dug i zamoran. Stoga je ovdje znatno isplativije koristiti "brzi" stil:

Po uvjetu: - vjerojatnost da će tijekom smjene odgovarajući strojevi zahtijevati podešavanje. Tada su vjerojatnosti da im neće biti potrebna pažnja:

Jedan od čitatelja je ovdje pronašao cool tipfeler, neću je ni ispravljati =)

a) Prema teoremu množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:
je vjerojatnost da će tijekom smjene sva tri stroja zahtijevati podešavanje.

b) Događaj "Tijekom smjene samo će jedan stroj zahtijevati podešavanje" sastoji se od tri nekompatibilna ishoda:

1) 1. stroj zahtijevat će pažnja i 2. stroj neće zahtijevati i 3. stroj neće zahtijevati
ili:
2) 1. stroj neće zahtijevati pažnja i 2. stroj zahtijevat će i 3. stroj neće zahtijevati
ili:
3) 1. stroj neće zahtijevati pažnja i 2. stroj neće zahtijevati i 3. stroj zahtijevat će.

Prema teoremima zbrajanja vjerojatnosti nekompatibilnih i množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:

- vjerojatnost da će tijekom smjene samo jedan stroj zahtijevati podešavanje.

Mislim da bi vam do sada trebalo biti jasno odakle taj izraz

c) Izračunajte vjerojatnost da strojevi neće zahtijevati podešavanje, a zatim vjerojatnost suprotnog događaja:
– činjenica da će barem jedan stroj zahtijevati podešavanje.

Odgovor:

Zadatak "ve" također se može riješiti preko zbroja , gdje je vjerojatnost da će tijekom smjene samo dva stroja zahtijevati podešavanje. Ovaj događaj pak uključuje 3 nekompatibilna ishoda, koji su potpisani analogno stavci "biti". Pokušajte sami pronaći vjerojatnost da cijeli problem provjerite uz pomoć jednakosti.

Zadatak 9

Tri su topova ispalila rafal u metu. Vjerojatnost pogotka jednim hicem samo iz prve puške je 0,7, iz druge - 0,6, iz treće - 0,8. Odredite vjerojatnost da: 1) barem jedan projektil pogodi cilj; 2) samo dva projektila će pogoditi metu; 3) meta će biti pogođena najmanje dva puta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I opet o slučajnostima: u slučaju da se prema uvjetu dvije ili čak sve vrijednosti početnih vjerojatnosti podudaraju (na primjer, 0,7; 0,7 i 0,7), tada treba slijediti točno isti algoritam rješenja.

U zaključku članka analizirat ćemo još jednu uobičajenu zagonetku:

Zadatak 10

Strijelac pogađa metu s istom vjerojatnošću pri svakom hicu. Kolika je to vjerojatnost ako je vjerojatnost barem jednog pogotka u tri hica 0,973.

Odluka: označimo s - vjerojatnost pogotka mete svakim hicem.
i kroz - vjerojatnost promašaja sa svakim hicem.

Zapišimo događaje:
- kod 3 hica strijelac će pogoditi metu najmanje jednom;
- strijelac će promašiti 3 puta.

Prema uvjetu tada je vjerojatnost suprotnog događaja:

S druge strane, prema teoremu množenja vjerojatnosti neovisnih događaja:

Na ovaj način:

- vjerojatnost promašaja kod svakog hica.

Kao rezultat:
je vjerojatnost pogađanja svakog udarca.

Odgovor: 0,7

Jednostavno i elegantno.

U razmatranom problemu mogu se postaviti dodatna pitanja o vjerojatnosti samo jednog pogotka, samo dva pogotka i vjerojatnosti tri pogotka u metu. Shema rješenja bit će potpuno ista kao u prethodna dva primjera:

Međutim, temeljna suštinska razlika je u tome što postoje ponovljena neovisna ispitivanja, koji se izvode sekvencijalno, neovisno jedan o drugom i s istom vjerojatnošću ishoda.

Opća postavka problema: vjerojatnosti nekih događaja su poznate, ali je potrebno izračunati vjerojatnosti drugih događaja koji su povezani s tim događajima. U ovim problemima postoji potreba za takvim operacijama nad vjerojatnostima kao što su zbrajanje i množenje vjerojatnosti.

Primjerice, u lovu su ispaljena dva hica. Događaj A- pogađanje patke iz prvog hica, događaj B- pogodak iz drugog udarca. Zatim zbroj događaja A i B- pogodak iz prvog ili drugog udarca ili iz dva udarca.

Zadaci drugačijeg tipa. Zadano je nekoliko događaja, na primjer, novčić se baca tri puta. Traži se pronaći vjerojatnost da će ili sva tri puta ispasti grb ili da će grb ispasti barem jednom. Ovo je problem množenja.

Zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja

Zbrajanje vjerojatnosti koristi se kada je potrebno izračunati vjerojatnost kombinacije ili logičkog zbroja slučajnih događaja.

Zbroj događaja A i B odrediti A + B ili A ∪ B. Zbroj dva događaja je događaj koji se dogodi ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B- događaj koji se događa ako i samo ako se događaj dogodi tijekom promatranja A ili događaj B, ili u isto vrijeme A i B.

Ako događaji A i B su međusobno nekonzistentni i njihove su vjerojatnosti dane, tada se vjerojatnost da će se jedan od tih događaja dogoditi kao rezultat jednog pokušaja izračunava korištenjem zbrajanja vjerojatnosti.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja:

Primjerice, u lovu su ispaljena dva hica. Događaj I– pogađanje patke iz prvog hica, događaj NA– pogodak iz drugog udarca, događaj ( I+ NA) - pogodak iz prvog ili drugog udarca ili iz dva udarca. Dakle, ako dva događaja I i NA su dakle nekompatibilni događaji I+ NA- pojava najmanje jednog od ovih događaja ili dva događaja.

Primjer 1 Kutija sadrži 30 kuglica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerojatnost da se obojena (ne bijela) lopta uzme bez gledanja.

Odluka. Pretpostavimo da je događaj I– “crvena lopta je uzeta”, i događaj NA- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj "uzeta obojena (ne bijela) lopta". Pronađite vjerojatnost događaja I:

i događanja NA:

Razvoj događaja I i NA- međusobno nekompatibilne, jer ako se uzme jedna lopta, ne mogu se uzeti kuglice različitih boja. Stoga koristimo zbrajanje vjerojatnosti:

Teorem zbrajanja vjerojatnosti za više nekompatibilnih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, tada je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1:

Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja također je jednak 1:

Suprotni događaji čine potpuni skup događaja, a vjerojatnost potpunog skupa događaja je 1.

Vjerojatnosti suprotnih događaja obično se označavaju malim slovima. str i q. Posebno,

iz čega slijede sljedeće formule za vjerojatnost suprotnih događaja:

Primjer 2 Meta u zaletu je podijeljena u 3 zone. Vjerojatnost da će određeni strijelac pogoditi metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni - 0,23, u trećoj zoni - 0,17. Nađite vjerojatnost da strijelac pogodi metu i vjerojatnost da strijelac promaši metu.

Rješenje: Pronađite vjerojatnost da strijelac pogodi metu:

Odredite vjerojatnost da strijelac promaši metu:

Teži zadaci u kojima treba primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Zbrajanje vjerojatnosti međusobno povezanih događaja

Za dva slučajna događaja kaže se da su zajednička ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom promatranju. Na primjer, kod bacanja kocke, događaj I smatra se pojava broja 4, a događaj NA- ispuštanje parnog broja. Budući da je broj 4 paran broj, dva događaja su kompatibilna. U praksi se javljaju zadaci za izračunavanje vjerojatnosti nastanka jednog od međusobno zajedničkih događaja.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti za zajedničke događaje. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja od kojeg se oduzima vjerojatnost zajedničkog događanja oba događaja, odnosno umnožak vjerojatnosti. Formula za vjerojatnosti zajedničkih događaja je sljedeća:

Jer događaji I i NA kompatibilan, događaj I+ NA događa ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremu zbrajanja nekompatibilnih događaja izračunavamo na sljedeći način:

Događaj I događa se ako se dogodi jedan od dva nekompatibilna događaja: ili AB. Međutim, vjerojatnost pojave jednog događaja od nekoliko nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svih tih događaja:

Slično:

Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobivamo formulu vjerojatnosti zajedničkih događaja:

Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji I i NA Može biti:

međusobno nezavisni;
međusobno ovisni.

Formula vjerojatnosti za međusobno neovisne događaje:

Formula vjerojatnosti za međusobno ovisne događaje:

Ako događaji I i NA nekonzistentni, onda je njihova slučajnost nemoguć slučaj i, prema tome, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerojatnosti za nekompatibilne događaje je sljedeća:

Primjer 3 U auto utrkama, kada se vozi u prvom automobilu, vjerojatnost pobjede, kada se vozi u drugom automobilu. Pronaći:

vjerojatnost da će oba automobila pobijediti;
vjerojatnost da će barem jedan automobil pobijediti;

1) Vjerojatnost da će prvi automobil pobijediti ne ovisi o rezultatu drugog automobila, tako da događaji I(prvi automobil pobjeđuje) i NA(drugi automobil pobjeđuje) - nezavisni događaji. Odredite vjerojatnost da oba automobila pobijede:

2) Nađite vjerojatnost da će jedan od dva automobila pobijediti:

Teži zadaci u kojima treba primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Riješite sami problem zbrajanja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novčiću. Događaj B- gubitak grba na drugom novčiću. Pronađite vjerojatnost događaja C = A + B .

Množenje vjerojatnosti

Množenje vjerojatnosti koristi se kada se želi izračunati vjerojatnost logičkog produkta događaja.

U ovom slučaju slučajni događaji moraju biti neovisni. Za dva događaja kažemo da su međusobno neovisna ako pojava jednog događaja ne utječe na vjerojatnost pojave drugog događaja.

Teorem množenja vjerojatnosti za neovisne događaje. Vjerojatnost istodobne pojave dvaju neovisnih događaja I i NA jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja i izračunava se formulom:

Primjer 5 Novčić se baca tri puta zaredom. Nađite vjerojatnost da će grb ispasti sva tri puta.

Odluka. Vjerojatnost da će grb pasti pri prvom bacanju novčića, drugom i trećem. Nađite vjerojatnost da će grb ispasti sva tri puta:

Riješite sami zadatke množenja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6 Tu je kutija sa devet novih teniskih loptica. Uzimaju se tri lopte za igru, nakon igre se vraćaju. Pri izboru lopti ne razlikuju igrane i neodigrane lopte. Kolika je vjerojatnost da nakon tri utakmice neće biti neodigranih lopti u polju?

Primjer 7 32 slova ruske abecede ispisana su na izrezanim karticama abecede. Nasumično se izvlači pet karata, jedna za drugom, i stavljaju na stol redoslijedom kojim se pojavljuju. Odredite vjerojatnost da će slova tvoriti riječ "kraj".

Primjer 8 Iz punog špila karata (52 lista) odjednom se vade četiri karte. Odredite vjerojatnost da su sve četiri karte iste boje.

Primjer 9 Isti problem kao u primjeru 8, ali se svaka karta nakon izvlačenja vraća u špil.

Složeniji zadaci, u kojima treba primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti, kao i izračunati umnožak više događaja - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Vjerojatnost da će se dogoditi barem jedan od međusobno neovisnih događaja može se izračunati oduzimanjem umnoška vjerojatnosti suprotnih događaja od 1, odnosno pomoću formule.