Događaji se nazivaju nezavisnim ako. Zavisni i nezavisni slučajni događaji. Formula ukupne vjerojatnosti

Ovisnost događaja shvaća se u vjerojatnosni smislu, ne funkcionalno. To znači da po pojavi jednog od ovisni događaji nemoguće je jednoznačno prosuditi izgled drugog. Probabilistička ovisnost znači da pojava jednog od ovisnih događaja samo mijenja vjerojatnost pojave drugog. Ako se vjerojatnost ne promijeni, tada se događaji smatraju neovisnima.

Definicija: Neka - proizvoljni prostor vjerojatnosti, - neki slučajni događaji. To kažu događaj ALI ne ovisi o događaju NA , ako uvjetna vjerojatnost poklapa se s bezuvjetnom vjerojatnošću:

Ako a , onda kažemo da je događaj ALI ovisno o događaju NA.

Pojam neovisnosti je simetričan, odnosno ako događaj ALI ne ovisi o događaju NA, zatim događaj NA ne ovisi o događaju ALI. Doista, neka . Zatim . Stoga jednostavno kažu da događaji ALI i NA nezavisna.

Sljedeća simetrična definicija neovisnosti događaja proizlazi iz pravila množenja vjerojatnosti.

Definicija: Razvoj ALI i NA, definirani na istom prostoru vjerojatnosti nazivaju se nezavisna, ako

Ako a , zatim događaji ALI i NA nazvao ovisan.

Imajte na umu da ova definicija vrijedi i kada ili .

Svojstva nezavisnih događaja.

1. Ako događaji ALI i NA neovisni, onda su sljedeći parovi događaja također neovisni: .

▲ Dokažimo, na primjer, neovisnost događaja. Zamislite događaj ALI kao: . Budući da su događaji nespojivi, onda , i zbog neovisnosti događaja ALI i NA shvaćamo to. Dakle, što znači neovisnost. ■

2. Ako događaj ALI ne ovisi o događajima U 1 i U 2, koji su nekompatibilni () , taj događaj ALI ne ovisi o iznosu.

▲ Doista, korištenjem aksioma aditivnosti vjerojatnosti i neovisnosti događaja ALI od događaja U 1 i U 2, imamo:

Odnos pojmova neovisnosti i nekompatibilnosti.

Neka ALI i NA- svi događaji koji imaju vjerojatnost različitu od nule: , dakle . Ako događaji ALI i NA su nekonzistentni (), i stoga nikada ne može doći do jednakosti. Na ovaj način, nekompatibilni događaji su ovisni.

Kada se istovremeno razmatraju više od dva događaja, njihova neovisnost u paru ne karakterizira dovoljno vezu između događaja cijele grupe. U ovom slučaju uvodi se koncept neovisnosti u agregatu.

Definicija: Pozivaju se događaji definirani na istom prostoru vjerojatnosti kolektivno neovisni, ako postoji 2 £m £n a svaka kombinacija indeksa vrijedi jednakost:

Na m = 2 neovisnost u agregatu implicira parnu neovisnost događaja. Obrnuto ne vrijedi.

Primjer. (Bernstein S.N.)

Slučajni pokus sastoji se u bacanju pravilnog tetraedra (tetraedra). Postoji lice koje je palo. Lica tetraedra obojena su na sljedeći način: 1. lice - bijelo, 2. lice - crno,
3 lica - crvena, 4 lica - sadrži sve boje.

Razmotrite događaje:

ALI= (Ispuštanje bijela boja}; B= (Black drop out);

C= (Crveno ispadanje).

Zatim ;

Prema tome, događaji ALI, NA i IZ su u paru neovisni.

Međutim, .

Stoga događaji ALI, NA i IZ kolektivno nisu neovisni.

U praksi se u pravilu neovisnost događaja ne utvrđuje provjerom po definiciji, već obrnuto: događaji se smatraju neovisnima o bilo kakvim vanjskim razmatranjima ili uzimajući u obzir okolnosti slučajni eksperiment, i koristiti neovisnost za pronalaženje vjerojatnosti stvaranja događaja.

Teorem (množenja vjerojatnosti za neovisne događaje).

Ako su događaji definirani na istom prostoru vjerojatnosti neovisni u agregatu, tada je vjerojatnost njihovog umnoška jednaka umnošku vjerojatnosti:

▲ Dokaz teorema proizlazi iz definicije neovisnosti događaja u agregatu ili iz općeg teorema množenja vjerojatnosti, uzimajući u obzir činjenicu da je u ovom slučaju

Primjer 1 (tipičan primjer za nalaženje uvjetnih vjerojatnosti, koncept neovisnosti, teorem zbrajanja vjerojatnosti).

Električni krug se sastoji od tri neovisno radna elementa. Vjerojatnosti kvara svakog od elemenata su redom jednake .

1) Pronađite vjerojatnost kvara kruga.

2) Poznato je da strujni krug nije uspio.

Kolika je vjerojatnost da ne uspije:

a) 1. element; b) 3. element?

Riješenje. Razmotriti događaje = (Neuspješno k th element), i događaj ALI= (shema nije uspjela). Zatim događaj ALI predstavlja se u obliku:

1) Budući da događaji i nisu nekompatibilni, tada aksiom aditivnosti vjerojatnosti P3) nije primjenjiv i za pronalaženje vjerojatnosti treba koristiti opći teorem zbrajanja vjerojatnosti, prema kojem

Neka je vjerojatnost događaja NA ne ovisi o pojavi događaja ALI.

Definicija. Događaj NA nazvao neovisno o događaju A ako je pojava događaja ALI ne mijenja vjerojatnost događaja NA, tj. ako je uvjetna vjerojatnost događaja NA jednaka je bezuvjetnoj vjerojatnosti:

RA(NA) = R(NA). (2.12)

Zamjenom (2.12) u relaciju (2.11) dobivamo

R(ALI)R(NA) = R(NA)R B(ALI).

R B(ALI) = R(ALI),

oni. uvjetna vjerojatnost događaja ALI pod pretpostavkom da se događaj dogodio NA, jednaka je njegovoj bezuvjetnoj vjerojatnosti. Drugim riječima, događaj ALI ne ovisi o događaju B.

Lema (o međusobnoj neovisnosti događaja): ako događaj NA ne ovisi o događaju ALI, zatim događaj ALI ne ovisi o događaju NA; to znači da svojstvo nezavisnosti događaja međusobno.

Za nezavisne događaje, teorem množenja R(AB) = R(ALI) RA(NA) ima oblik

R(AB) = R(ALI) R(NA), (2.13)

oni. vjerojatnost zajedničkog nastupa dvaju neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja.

Jednakost (2.13) je uzeta kao definicija nezavisnih događaja. Za dva događaja kaže se da su neovisna ako pojavljivanje jednog od njih ne mijenja vjerojatnost događanja drugog.

Definicija. Pozivaju se dva događaja nezavisna, ako je vjerojatnost njihove kombinacije jednaka umnošku vjerojatnosti tih događaja; inače se zovu događaji ovisan.

U praksi se neovisnost događaja zaključuje prema značenju problema. Na primjer, vjerojatnosti pogađanja mete sa svakim od dva oružja ne ovise o tome je li drugo oružje pogodilo metu, tako da su događaji "prvi top pogodio metu" i "drugi top pogodio metu" neovisni.

Primjer. Odredite vjerojatnost zajedničkog pogotka mete s dva oružja ako je vjerojatnost pogotka mete s prvom puškom (događaj ALI) jednak je 0,8, a sekunda (događaj NA) – 0,7.

Riješenje. Razvoj događaja ALI i NA nezavisna, dakle, po teoremu množenja, željena vjerojatnost

R(AB) = R(ALI)R(NA) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Komentar 1. Ako događaji ALI i NA neovisni, onda su i događaji neovisni. ALI i , i NA, i . Stvarno,

Posljedično,

, ili .

oni. razvoja događaja ALI i NA nezavisna.

Neovisnost događaja i NA, a posljedica je dokazane tvrdnje.

Koncept neovisnosti može se proširiti na slučaj n događanja.

Definicija. Poziva se nekoliko događaja upareno nezavisni ako su svaka dva od njih neovisna. Na primjer, događaji ALI, NA, IZ po parovima neovisni ako su događaji neovisni ALI i NA, ALI i IZ, NA i IZ.

Kako bismo generalizirali teorem množenja na nekoliko događaja, uvodimo koncept neovisnosti događaja u agregatu.

Definicija. Poziva se nekoliko događaja kolektivno neovisni(ili jednostavno neovisno) ako su svaka dva od njih neovisna i svaki događaj i svi mogući produkti ostalih neovisni. Na primjer, ako događaji ALI 1 , A 2 , ALI 3 neovisna u zbroju, tada su događaji neovisni ALI 1 i A 2 , ALI 1 i ALI 3 , A 2 i ALI 3 ; ALI 1 i A 2 ALI 3 , A 2 i ALI 1 ALI 3 , ALI 3 i ALI 1 A 2. Iz rečenog proizlazi da ako su događaji neovisni u zbroju, tada je uvjetna vjerojatnost pojave bilo kojeg događaja među njima, izračunata pod pretpostavkom da su se dogodili bilo koji drugi događaji između ostalih, jednaka njegovu bezuvjetnu vjerojatnost.

Naglašavamo da ako je nekoliko događaja neovisno u parovima, onda iz toga još ne proizlazi njihova neovisnost u zbiru. U tom smislu, zahtjev za neovisnošću događaja u agregatu je jači od zahtjeva za njihovom parnom neovisnošću.

Pojasnimo rečeno na primjeru. Pretpostavimo da se u urni nalaze 4 obojene kugle: jedna je crvena ( ALI), jedan - u plavoj ( NA), jedan je crn ( IZ) i jedan - u sve ove tri boje ( ABC). Koja je vjerojatnost da je kuglica izvučena iz urne crvena?

Budući da su dvije od četiri kuglice crvene, dakle R(ALI) = 2/4 = 1/2. Raspravljajući slično, nalazimo R(NA) = 1/2, R(IZ) = 1/2. Pretpostavimo sada da je uzeta lopta plava, tj. događaj NA već se dogodilo. Hoće li se promijeniti vjerojatnost da je izvučena kuglica crvena, tj. Hoće li se promijeniti vjerojatnost događaja? ALI? Od dvije kuglice koje su plave, jedna kuglica je također crvena, pa je vjerojatnost događaja ALI još uvijek je 1/2. Drugim riječima, uvjetna vjerojatnost događaja ALI, izračunato pod pretpostavkom da se događaj dogodio NA, jednaka je njegovoj bezuvjetnoj vjerojatnosti. Prema tome, događaji ALI i NA nezavisna. Slično tome zaključujemo da događaji ALI i IZ, NA i IZ nezavisna. Dakle događaji ALI, NA i IZ su u paru neovisni.

Jesu li ovi događaji ukupno neovisni? Ispostavilo se da nije. Doista, neka izvađena kugla ima dvije boje, na primjer, plavu i crnu. Kolika je vjerojatnost da je i ova kuglica crvena? Samo je jedna kuglica obojena u sve tri boje, pa je i uhvaćena kuglica crvena. Dakle, pod pretpostavkom da događaji NA i IZ dogodio, zaključujemo da je događaj ALI sigurno će doći. Stoga je ovaj događaj pouzdan i njegova je vjerojatnost jednaka jedinici. Drugim riječima, uvjetna vjerojatnost R prije Krista(ALI)= 1 događaj ALI nije jednaka svojoj bezuvjetnoj vjerojatnosti R(ALI) = 1/2. Dakle, u parovima neovisni događaji ALI, NA, IZ nisu kolektivno neovisni.

Sada predstavljamo korolar teoreme množenja.

Posljedica. Vjerojatnost zajedničke pojave više događaja koji su neovisni u agregatu jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja:

Dokaz. Razmotrite tri događaja: ALI, NA i IZ. Kombinacija događaja ALI, NA i IZ jednako kombinaciji događaja AB i IZ, zato

R(ABC) = R(AB×C).

Od događaja ALI, NA i IZ nezavisni su u ukupnosti, onda su neovisni, posebno, događaji AB i IZ, kao i ALI i NA. Prema teoremu množenja za dva nezavisna događaja, imamo:

R(AB×C) = R(AB)R(IZ) i R(AB) = R(ALI)R(NA).

Dakle, konačno smo dobili

R(ABC) = R(ALI)R(NA)R(IZ).

Za proizvoljno n dokaz se provodi metodom matematičke indukcije.

Komentar. Ako događaji ALI 1 , ALI 2 , ...,A n neovisni u agregatu, tada su i suprotni događaji također neovisni u agregatu.

Primjer. Odredite vjerojatnost da se grb pojavi zajedno u jednom bacanju dvaju novčića.

Riješenje. Vjerojatnost pojavljivanja grba prvog novčića (događaj ALI)

R(ALI) = 1/2.

Vjerojatnost pojavljivanja grba drugog novčića (događaj NA)

R(NA) = 1/2.

Razvoj događaja ALI i NA nezavisna, pa je željena vjerojatnost prema teoremu množenja jednaka

R(AB) = R(ALI)R(NA) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Primjer. Postoje 3 kutije po 10 komada. Prva ladica sadrži 8, druga ladica 7, a treća ladica 9 standardnih dijelova. Iz svake se kutije nasumično izvlači po jedan predmet. Nađite vjerojatnost da su sva tri izvađena dijela standardna.

Riješenje. Vjerojatnost da je standardni dio uzet iz prve kutije (događaj ALI),

R(ALI) = 8/10 = 0,8.

Vjerojatnost da je standardni dio uzet iz druge kutije (događaj NA),

R(NA) = 7/10 = 0,7.

Vjerojatnost da je standardni dio uzet iz treće kutije (događaj IZ),

R(IZ) = 9/10 = 0,9.

Od događaja ALI, NA i IZ neovisno u agregatu, tada je željena vjerojatnost (prema teoremu množenja) jednaka

R(ABC) = R(ALI)R(NA)R(IZ) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Navedimo primjer zajedničke primjene teorema zbrajanja i množenja.

Primjer. Vjerojatnosti pojavljivanja svakog od tri nezavisna događaja ALI 1 , ALI 2 , ALI 3 jednaka R 1 , R 2 , R 3. Odredite vjerojatnost događanja samo jednog od tih događaja.

Riješenje. Imajte na umu da je, na primjer, izgled samo prvi događaj ALI 1 je ekvivalent pojavljivanju događaja (prvi se pojavio, a drugi i treći događaj se nisu pojavili). Uvedimo oznaku:

B 1 - pojavio se jedini događaj ALI 1, tj. ;

B 2 – pojavio se jedini događaj ALI 2, tj. ;

B 3 – pojavio se jedini događaj ALI 3, tj. .

Dakle, pronaći vjerojatnost pojavljivanja samo jednog od događaja ALI 1 , ALI 2 , ALI 3 , tražit ćemo vjerojatnost P(B 1 + B 2 + NA 3) pojava jednog, svejedno kojeg od događaja NA 1 , NA 2 , NA 3 .

Od događaja NA 1 , NA 2 , NA 3 su nekonzistentni, tada vrijedi teorem o zbrajanju

P(B 1 + B 2 + NA 3) = R(NA 1) + R(NA 2) + R(NA 3). (*)

Ostaje pronaći vjerojatnosti svakog od događaja NA 1 , NA 2 , NA 3. Razvoj događaja ALI 1 , ALI 2 , ALI 3 su neovisni, dakle, događaji su neovisni, pa na njih vrijedi teorem množenja

Također,

Zamjenom ovih vjerojatnosti u (*) nalazimo željenu vjerojatnost pojavljivanja samo jednog od događaja ALI 1 , ALI 2 , ALI 3.

Definicije vjerojatnosti

Klasična definicija

Klasična "definicija" vjerojatnosti dolazi od pojma jednake prilike kao objektivno svojstvo pojava koje se proučavaju. Ekvivalencija je neodrediv koncept i utvrđuje se iz općih razmatranja simetrije fenomena koji se proučavaju. Na primjer, kada se baca novčić, pretpostavlja se da, zbog navodne simetrije novčića, homogenosti materijala i slučajnosti (nepristranosti) bacanja, nema razloga da se preferiraju "repovi" u odnosu na “orlova” ili obrnuto, odnosno gubitak ovih strana može se smatrati jednako vjerojatnim (equiprobable) .

Uz koncept jednakovjerojatnosti u općem slučaju, klasična definicija zahtijeva i koncept elementarnog događaja (ishoda) koji pogoduje ili ne pogoduje proučavanom događaju A. Riječ je o ishodima čija pojava isključuje mogućnost pojave drugih ishoda. To su nespojivi elementarni događaji. Na primjer, kod bacanja kocke Ispuštanje određenog broja isključuje izbacivanje drugih brojeva.

Klasična definicija vjerojatnosti može se formulirati na sljedeći način:

Vjerojatnost slučajnog događaja A naziva se omjer n nekompatibilni jednako vjerojatni elementarni događaji koji čine događaj A , na broj svih mogućih elementarnih događaja N :

Na primjer, pretpostavimo da su bačene dvije kocke. Ukupan broj jednako mogućih ishoda (elementarnih događaja) očito je 36 (6 mogućnosti na svakoj kockici). Procijenite vjerojatnost dobivanja 7 bodova. Osvojiti 7 bodova moguće je na sljedeće načine: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. To jest, postoji samo 6 jednako vjerojatnih ishoda koji favoriziraju događaj A - dobivanje 7 bodova. Stoga će vjerojatnost biti jednaka 6/36=1/6. Za usporedbu, vjerojatnost dobivanja 12 bodova ili 2 boda je samo 1/36 - 6 puta manje.

Geometrijska definicija

Unatoč činjenici da je klasična definicija intuitivna i proizašla iz prakse, barem se ne može izravno primijeniti ako je broj jednako mogućih ishoda beskonačan. Živopisan primjer beskonačnog broja mogućih ishoda je ograničena geometrijska regija G, na primjer, na ravnini, s površinom S. Nasumično "bačena" "točka" može biti u bilo kojoj točki u ovoj regiji s jednakom vjerojatnošću. Problem je odrediti vjerojatnost pada točke u neku poddomenu g površine s. U ovom slučaju, generalizirajući klasičnu definiciju, možemo doći do geometrijske definicije vjerojatnosti pada u poddomenu:

S obzirom na jednaku mogućnost, ta vjerojatnost ne ovisi o obliku područja g, već samo o njegovoj površini. Ova definicija se prirodno može generalizirati na prostor bilo koje dimenzije, gdje se umjesto površine koristi koncept "volumena". Štoviše, upravo ova definicija vodi do moderne aksiomatske definicije vjerojatnosti. Pojam volumena generalizira se na pojam "mjere" nekog apstraktnog skupa, na koji se postavljaju zahtjevi koje "volumen" također ima u geometrijskoj interpretaciji - prije svega, to su nenegativnost i aditivnost.

Određivanje učestalosti (statističko).

Klasična definicija pri razmatranju složenih problema nailazi na teškoće nepremostive prirode. Konkretno, u nekim slučajevima možda neće biti moguće identificirati jednako vjerojatne slučajeve. Čak i u slučaju novčića, kao što je poznato, postoji očito ne jednako vjerojatna mogućnost ispadanja "ruba", koja se ne može procijeniti iz teoretskih razmatranja (može se samo reći da je malo vjerojatno i ovo razmatranje je više praktično ). Stoga je u osvit formiranja teorije vjerojatnosti predložena alternativna "frekvencijska" definicija vjerojatnosti. Naime, formalno se vjerojatnost može definirati kao granica učestalosti opažanja događaja A, uz pretpostavku homogenosti opažanja (odnosno istovjetnosti svih uvjeta opažanja) i njihove međusobne neovisnosti:

gdje je broj opažanja, a je broj pojavljivanja događaja .

Unatoč činjenici da ova definicija više ukazuje na način procjene nepoznate vjerojatnosti - pomoću velikog broja homogenih i neovisnih opažanja - ipak, ova definicija odražava sadržaj pojma vjerojatnosti. Naime, ako se nekom događaju pripiše određena vjerojatnost, kao objektivna mjera njegove mogućnosti, onda to znači da bismo uz fiksne uvjete i višestruko ponavljanje trebali dobiti frekvenciju njegovog pojavljivanja blisku (što bliže, to više opažanja). Zapravo, ovo je izvorno značenje pojma vjerojatnosti. Temelji se na objektivističkom pogledu na prirodne pojave. Ispod su zakoni tzv velike brojke, koji pružaju teorijsku osnovu (u okviru modernog aksiomatskog pristupa predstavljenog u nastavku), uključujući i za procjenu učestalosti vjerojatnosti.

Aksiomatska definicija

U modernom matematičkom pristupu, vjerojatnost je dana izrazom Kolmogorovljeva aksiomatika. Pretpostavlja se da neki prostor elementarnih događaja. Podskupovi ovog prostora tumače se kao slučajni događaji. Unija (zbroj) nekih podskupova (događaja) tumači se kao događaj koji se sastoji od pojave najmanje jedan od ovih događaja. Sjecište (produkt) podskupova (događaja) tumači se kao događaj koji se sastoji od pojave svi ovi događaji. Disjunktni skupovi se tumače kao nekompatibilan događaja (njihova zajednička ofenziva je nemoguća). Prema tome, prazan skup znači nemoguće događaj.

Vjerojatnost ( mjera vjerojatnosti) Zove se mjera(numerička funkcija) definirana na skupu događaja, koja ima sljedeća svojstva:

Ako je prostor elementarnih događaja X sigurno, tada je navedeni uvjet aditivnosti za proizvoljna dva nekompatibilna događaja dovoljan, iz čega će aditivnost slijediti za bilo koji konačni broj nekompatibilnih događaja. Međutim, u slučaju beskonačnog (prebrojivog ili neprebrojivog) prostora elementarnih događaja ovaj uvjet nije dovoljan. Takozvani prebrojiva ili sigma aditivnost, odnosno ispunjenje svojstva aditivnosti za bilo koji ne više nego prebrojivo obitelji parno nekompatibilnih događaja. Ovo je neophodno kako bi se osigurao "kontinuitet" mjere vjerojatnosti.

Mjera vjerojatnosti možda neće biti definirana za sve podskupove skupa. Pretpostavlja se da je definirana na nekim sigma algebra podskupovi . Ti se podskupovi nazivaju mjerljiv prema zadanoj mjeri vjerojatnosti, a radi se o slučajnim događajima. Skup - to jest skup elementarnih događaja, sigma-algebra njegovih podskupova i mjera vjerojatnosti - naziva se prostor vjerojatnosti.

Kontinuirane slučajne varijable. Osim diskretnih slučajnih varijabli, čije moguće vrijednosti tvore konačan ili beskonačan niz brojeva koji ne ispunjavaju u potpunosti nijedan interval, često postoje slučajne varijable čije moguće vrijednosti tvore određeni interval. Primjer takve slučajne varijable je odstupanje od nazivne vrijednosti određene veličine dijela s pravilno uspostavljenim tehnološkim procesom. Ova vrsta slučajnih varijabli ne može se specificirati korištenjem zakona distribucije vjerojatnosti p(x). Međutim, oni se mogu odrediti korištenjem funkcije distribucije vjerojatnosti F(x). Ova je funkcija definirana na potpuno isti način kao u slučaju diskretne slučajne varijable:

Dakle, i ovdje funkcija F(x) definiran na cijeloj brojčanoj osi, a njegova vrijednost u točki x jednaka je vjerojatnosti da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od x. Formula (19) i svojstva 1° i 2° vrijede za funkciju distribucije bilo koje slučajne varijable. Dokaz se provodi slično kao u slučaju diskretne količine. Slučajna varijabla se zove stalan, ako za njega postoji nenegativna komadno-kontinuirana funkcija* koja zadovoljava za bilo koje vrijednosti x jednakost

Na temelju geometrijskog značenja integrala kao površine, možemo reći da je vjerojatnost ispunjenja nejednakosti jednaka površini krivocrtnog trapeza s bazom omeđen gore krivuljom (slika 6).

Od , a na temelju formule (22)

Imajte na umu da je za kontinuiranu slučajnu varijablu funkcija distribucije F(x) kontinuirano u bilo kojoj točki x, gdje je funkcija kontinuirana. To proizlazi iz činjenice da F(x) je diferencijabilna u tim točkama. Na temelju formule (23), uz pretpostavku x 1 =x, , imamo

Zbog kontinuiteta funkcije F(x) shvaćamo to

Slijedom toga

Na ovaj način, vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla može poprimiti bilo koju pojedinačnu vrijednost x je nula. Iz ovoga slijedi da događaji koji se sastoje u ispunjenju svake od nejednakosti

Imaju istu vjerojatnost, tj.

Doista, npr.

jer Komentar. Kao što znamo, ako je neki događaj nemoguć, tada je vjerojatnost njegovog pojavljivanja jednaka nuli. U klasičnoj definiciji vjerojatnosti, kada je broj ishoda testa konačan, vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako je vjerojatnost događaja jednaka nuli, tada je događaj nemoguć, jer mu u tom slučaju niti jedan od ishoda testa ne ide u prilog. U slučaju kontinuirane slučajne varijable, broj njezinih mogućih vrijednosti je beskonačan. Vjerojatnost da će ta vrijednost poprimiti bilo koju određenu vrijednost x 1 kao što smo vidjeli, jednaka je nuli. Međutim, iz ovoga ne slijedi da je ovaj događaj nemoguć, jer kao rezultat testa slučajna varijabla može, posebice, poprimiti vrijednost x 1 . Dakle, u slučaju kontinuirane slučajne varijable ima smisla govoriti o vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u interval, a ne o vjerojatnosti da će poprimiti određenu vrijednost. Tako, na primjer, u proizvodnji valjka ne zanima nas vjerojatnost da će njegov promjer biti jednak nominalnoj vrijednosti. Za nas je bitna vjerojatnost da promjer valjka ne izađe iz tolerancije. Primjer. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable dana je kako slijedi:

Grafikon funkcije prikazan je na sl. 7. Odrediti vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja zadovoljava nejednakosti.Naći funkciju distribucije zadane slučajne varijable. ( Riješenje)

Sljedeća dva odlomka posvećena su distribucijama kontinuiranih slučajnih varijabli koje se često susreću u praksi - uniformnoj i normalnoj distribuciji.

* Funkcija se naziva kontinuiranom po komadu na cijeloj numeričkoj osi ako je kontinuirana na bilo kojem segmentu ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste. ** Pravilo diferenciranja integrala s promjenjivom gornjom granicom, izvedeno u slučaju konačne donje granice, ostaje važeće za integrale s beskonačnom donjom granicom. Doista,

Budući da integral

je konstantna vrijednost.

Zavisni i nezavisni događaji. Uvjetna vjerojatnost

Razlikovati zavisne i nezavisne događaje. Za dva događaja se kaže da su neovisna ako pojavljivanje jednog od njih ne mijenja vjerojatnost događanja drugog. Na primjer, ako u radionici rade dvije automatske linije koje nisu međusobno povezane prema proizvodnim uvjetima, tada su zaustavljanja tih linija neovisni događaji.

Primjer 3 Novčić se baca dvaput. Vjerojatnost pojavljivanja "grba" u prvom testu (događaj ) ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju "grba" u drugom testu (događaj ). S druge strane, vjerojatnost pojavljivanja "grba" u drugom testu ne ovisi o rezultatu prvog testa. Dakle, događaji i neovisni.

Poziva se nekoliko događaja kolektivno neovisni , ako bilo koji od njih ne ovisi o bilo kojem drugom događaju i o bilo kojoj kombinaciji ostalih.

Događaji se zovu ovisan , ako jedan od njih utječe na vjerojatnost pojavljivanja drugog. Na primjer, dva proizvodna pogona povezana su jednim tehnološkim ciklusom. Tada vjerojatnost kvara jednog od njih ovisi o stanju drugog. Vjerojatnost jednog događaja, izračunata uz pretpostavku pojave drugog događaja, naziva se uvjetna vjerojatnost događaja i označava se sa .

Uvjet neovisnosti događaja od događaja napisan je u obliku , a uvjet njegove ovisnosti - u obliku . Razmotrimo primjer izračuna uvjetne vjerojatnosti događaja.

Primjer 4 U kutiji je 5 sjekutića: dva nošena i tri nova. Rade se dvije uzastopne ekstrakcije sjekutića. Odredite uvjetnu vjerojatnost pojave istrošenog rezača tijekom drugog vađenja, pod uvjetom da se prvi put izvađeni rezač ne vraća u kutiju.

Riješenje. Označimo vađenje istrošenog glodala u prvom slučaju, a - vađenje novog. Zatim . Budući da se uklonjeni rezač ne vraća u kutiju, mijenja se omjer između broja istrošenih i novih noževa. Stoga vjerojatnost uklanjanja istrošenog rezača u drugom slučaju ovisi o tome koji se događaj dogodio prije.

Označimo događaj koji znači izvlačenje istrošenog glodala u drugom slučaju. Vjerojatnosti za ovaj događaj su:

Dakle, vjerojatnost događaja ovisi o tome je li se događaj dogodio ili nije.

Gustoća vjerojatnosti- jedan od načina postavljanja mjere vjerojatnosti na euklidskom prostoru. U slučaju kada je mjera vjerojatnosti distribucija slučajne varijable, govori se o gustoćanasumična varijabla.

Gustoća vjerojatnosti Neka je mjera vjerojatnosti na, tj. definiran je prostor vjerojatnosti, gdje označava Borelovu σ-algebru na. Označimo Lebesgueovu mjeru na.

Definicija 1. Vjerojatnost se naziva apsolutno kontinuiranom (s obzirom na Lebesgueovu mjeru) () ako bilo koji Borelov skup nulte Lebesgueove mjere također ima vjerojatnost nula:

Ako je vjerojatnost apsolutno kontinuirana, tada prema Radon-Nikodymovom teoremu postoji nenegativna Borelova funkcija takva da

gdje se koristi uobičajena kratica , a integral se shvaća u Lebesgueovom smislu.

Definicija 2. Općenitije, neka je proizvoljan mjerljiv prostor i neka su i dvije mjere na tom prostoru. Ako postoji nenegativan , koji omogućuje izražavanje mjere u smislu mjere u obliku

tada se ova funkcija poziva mjeriti gustoću kao , ili derivat Radon-Nikodima mjera s obzirom na mjeru , i označiti

Ako pri nastanku događaja vjerojatnost događaja ne mijenja, onda događaji i nazvao nezavisna.

Teorema:Vjerojatnost zajedničke pojave dvaju neovisnih događaja i (djela i ) jednak je umnošku vjerojatnosti tih događaja.

Doista, budući da razvoja događaja i neovisno, dakle
. U ovom slučaju, formula za vjerojatnost produkta događaja i poprima oblik.

Razvoj događaja
nazvao upareno nezavisni ako su bilo koja dva od njih neovisna.

Razvoj događaja
nazvao kolektivno neovisni (ili jednostavno neovisni), ako su svaka dva od njih neovisna i svaki događaj i svi mogući proizvodi ostalih su neovisni.

Teorema:Vjerojatnost umnoška konačnog broja neovisnih događaja u agregatu
jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja.

Ilustrirajmo na primjerima razliku u primjeni formule vjerojatnosti događaja za zavisne i nezavisne događaje

Primjer 1. Vjerojatnost da će prvi strijelac pogoditi metu je 0,85, a drugi 0,8. Puške su pucale jedan po jedan. Kolika je vjerojatnost da barem jedan projektil pogodi cilj?

Rješenje: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Budući da su udarci nezavisni, tada

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Primjer 2. Urna sadrži 2 crvene i 4 crne kugle. Iz njega se izvlače 2 kuglice u nizu. Kolika je vjerojatnost da su obje kuglice crvene.

Rješenje: 1 slučaj. Događaj A - pojava crvene kuglice pri prvom uklanjanju, događaj B - pri drugom. Događaj C je pojava dviju crvenih kuglica.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2 slučaj. Prva izvučena lopta se vraća u koš.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Formula ukupne vjerojatnosti.

Neka događaj može dogoditi samo jedan od nekompatibilnih događaja
tvoreći kompletnu grupu. Na primjer, trgovina prima iste proizvode od tri poduzeća iu različitim količinama. Vjerojatnost proizvodnje proizvoda niske kvalitete u tim poduzećima je različita. Jedan od proizvoda je slučajnim odabirom. Potrebno je utvrditi vjerojatnost da je ovaj proizvod loše kvalitete (događaj ). Događaji ovdje
je izbor proizvoda iz proizvodnje odgovarajućeg poduzeća.

U ovom slučaju, vjerojatnost događaja može se smatrati zbrojem proizvoda događaja
.

Teoremom zbrajanja za vjerojatnosti nekompatibilnih događaja dobivamo
. Koristeći teorem množenja vjerojatnosti, nalazimo

Dobivena formula se zove formula ukupne vjerojatnosti.

Bayesova formula

Neka događaj događa se u isto vrijeme kao jedan od nespojivi događaji
, čije su vjerojatnosti
(
) poznati su prije iskustva ( apriorne vjerojatnosti). Provodi se eksperiment, rezultat kojeg se registrira pojava događaja , a poznato je da je ovaj događaj imao određene uvjetne vjerojatnosti
(
). Potrebno je pronaći vjerojatnosti događaja
ako je događaj poznat dogodilo se ( aposteriorne vjerojatnosti).

Problem je u tome što, imajući nove informacije(dogodio se događaj A), trebate ponovno procijeniti vjerojatnosti događaja
.

Na temelju teorema o vjerojatnosti umnoška dva događaja

Dobivena formula se zove Bayesove formule.

Osnovni pojmovi kombinatorike.

Pri rješavanju niza teorijskih i praktičnih problema potrebno je od konačnog skupa elemenata napraviti različite kombinacije prema zadanim pravilima i prebrojati sve moguće takve kombinacije. Takvi se zadaci nazivaju kombinatorni.

Pri rješavanju zadataka kombinatorika se služi pravilima zbroja i umnoška.

Opća postavka problema: vjerojatnosti nekih događaja su poznate, ali treba izračunati vjerojatnosti drugih događaja koji su povezani s tim događajima. U ovim problemima postoji potreba za takvim operacijama nad vjerojatnostima kao što su zbrajanje i množenje vjerojatnosti.

Primjerice, u lovu su ispaljena dva hica. Događaj A- pogađanje patke iz prvog hica, događaj B- pogodak iz drugog udarca. Zatim zbroj događaja A i B- pogodak iz prvog ili drugog udarca ili iz dva udarca.

Zadaci drugog tipa. Zadano je nekoliko događaja, na primjer, novčić se baca tri puta. Traži se pronaći vjerojatnost da će ili sva tri puta ispasti grb ili da će grb ispasti barem jednom. Ovo je problem množenja.

Zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja

Zbrajanje vjerojatnosti koristi se kada je potrebno izračunati vjerojatnost kombinacije ili logičkog zbroja slučajnih događaja.

Zbroj događaja A i B odrediti A + B ili A ∪ B. Zbroj dva događaja je događaj koji se dogodi ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B- događaj koji se događa ako i samo ako se događaj dogodi tijekom promatranja A ili događaj B, ili u isto vrijeme A i B.

Ako događaji A i B su međusobno nekonzistentni i njihove su vjerojatnosti dane, tada se vjerojatnost da će se jedan od tih događaja dogoditi kao rezultat jednog pokušaja izračunava korištenjem zbrajanja vjerojatnosti.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja:

Primjerice, u lovu su ispaljena dva hica. Događaj ALI– pogađanje patke iz prvog hica, događaj NA– pogodak iz drugog udarca, događaj ( ALI+ NA) - pogodak iz prvog ili drugog udarca ili iz dva udarca. Dakle, ako dva događaja ALI i NA su dakle nespojivi događaji ALI+ NA- pojava najmanje jednog od ovih događaja ili dva događaja.

Primjer 1 Kutija sadrži 30 kuglica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerojatnost da se obojena (ne bijela) lopta uzme bez gledanja.

Riješenje. Pretpostavimo da je događaj ALI– “crvena lopta je uzeta”, i događaj NA- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj "uzeta obojena (ne bijela) lopta". Odredite vjerojatnost događaja ALI:

i događanja NA:

Razvoj događaja ALI i NA- međusobno nekompatibilne, jer ako se uzme jedna lopta, ne mogu se uzeti kuglice različitih boja. Stoga koristimo zbrajanje vjerojatnosti:

Teorem zbrajanja vjerojatnosti za više nekompatibilnih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, tada je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1:

Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja također je jednak 1:

Suprotni događaji čine potpuni skup događaja, a vjerojatnost potpunog skupa događaja je 1.

Vjerojatnosti suprotnih događaja obično se označavaju malim slovima. str i q. Posebno,

iz čega slijede sljedeće formule za vjerojatnost suprotnih događaja:

Primjer 2 Meta u zaletu je podijeljena u 3 zone. Vjerojatnost da će određeni strijelac pogoditi metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni - 0,23, u trećoj zoni - 0,17. Nađite vjerojatnost da strijelac pogodi metu i vjerojatnost da strijelac promaši metu.

Rješenje: Pronađite vjerojatnost da strijelac pogodi metu:

Odredite vjerojatnost da strijelac promaši metu:

Teži zadaci u kojima treba primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Zbrajanje vjerojatnosti međusobno povezanih događaja

Za dva slučajna događaja kaže se da su zajednička ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom promatranju. Na primjer, kod bacanja kocke, događaj ALI smatra se pojava broja 4, a događaj NA- ispuštanje parnog broja. Budući da je broj 4 paran broj, dva događaja su kompatibilna. U praksi se javljaju zadaci za izračunavanje vjerojatnosti nastanka jednog od međusobno zajedničkih događaja.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti za zajedničke događaje. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja od kojeg se oduzima vjerojatnost zajedničkog događanja oba događaja, odnosno umnožak vjerojatnosti. Formula za vjerojatnosti zajedničkih događaja je sljedeća:

Jer događaji ALI i NA kompatibilan, događaj ALI+ NA događa ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremu zbrajanja nekompatibilnih događaja izračunavamo na sljedeći način:

Događaj ALI događa se ako se dogodi jedan od dva nekompatibilna događaja: ili AB. Međutim, vjerojatnost pojave jednog događaja od nekoliko nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svih tih događaja:

Slično:

Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobivamo formulu vjerojatnosti zajedničkih događaja:

Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji ALI i NA Može biti:

međusobno nezavisni;
međusobno ovisni.

Formula vjerojatnosti za međusobno neovisne događaje:

Formula vjerojatnosti za međusobno ovisne događaje:

Ako događaji ALI i NA nekonzistentni, onda je njihova slučajnost nemoguć slučaj i, prema tome, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerojatnosti za nekompatibilne događaje je sljedeća:

Primjer 3 U auto utrkama, kada se vozi u prvom automobilu, vjerojatnost pobjede, kada se vozi u drugom automobilu. Pronaći:

vjerojatnost da će oba automobila pobijediti;
vjerojatnost da će barem jedan automobil pobijediti;

1) Vjerojatnost da će prvi automobil pobijediti ne ovisi o rezultatu drugog automobila, tako da događaji ALI(prvi automobil pobjeđuje) i NA(drugi automobil pobjeđuje) - nezavisni događaji. Odredite vjerojatnost da oba automobila pobijede:

2) Nađite vjerojatnost da će jedan od dva automobila pobijediti:

Teži zadaci u kojima treba primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Riješite sami problem zbrajanja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novčiću. Događaj B- gubitak grba na drugom novčiću. Odredite vjerojatnost događaja C = A + B .

Množenje vjerojatnosti

Množenje vjerojatnosti koristi se kada se želi izračunati vjerojatnost logičkog produkta događaja.

U ovom slučaju slučajni događaji moraju biti neovisni. Za dva događaja kažemo da su međusobno neovisna ako pojava jednog događaja ne utječe na vjerojatnost pojave drugog događaja.

Teorem množenja vjerojatnosti za neovisne događaje. Vjerojatnost istodobne pojave dvaju neovisnih događaja ALI i NA jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja i izračunava se formulom:

Primjer 5 Novčić se baca tri puta zaredom. Nađite vjerojatnost da će grb ispasti sva tri puta.

Riješenje. Vjerojatnost da će grb pasti pri prvom bacanju novčića, drugom i trećem. Nađite vjerojatnost da će grb ispasti sva tri puta:

Riješite sami zadatke množenja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6 Tu je kutija sa devet novih teniskih loptica. Uzimaju se tri lopte za igru, nakon igre se vraćaju. Pri izboru lopti ne razlikuju igrane i neodigrane lopte. Kolika je vjerojatnost da nakon tri utakmice neće biti neodigranih lopti u polju?

Primjer 7 32 slova ruske abecede ispisana su na izrezanim karticama abecede. Nasumično se izvlači pet karata, jedna za drugom, i stavljaju na stol redoslijedom kojim se pojavljuju. Odredite vjerojatnost da će slova tvoriti riječ "kraj".

Primjer 8 Iz punog špila karata (52 lista) odjednom se vade četiri karte. Odredite vjerojatnost da su sve četiri karte iste boje.

Primjer 9 Isti problem kao u primjeru 8, ali se svaka karta nakon izvlačenja vraća u špil.

Složeniji zadaci, u kojima treba primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti, kao i izračunati umnožak više događaja - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Vjerojatnost da će se dogoditi barem jedan od međusobno neovisnih događaja može se izračunati oduzimanjem umnoška vjerojatnosti suprotnih događaja od 1, odnosno pomoću formule.