Feltételes valószínűség. Feltételes valószínűség és a legegyszerűbb alapképletek. Az események valószínűségeinek szorzásának tétele, amelyek közül az egyik a másik feltétele mellett játszódik le

4. Feltételes valószínűség. Valószínűségszorzó tétel.

Sok problémában meg kell találni az események kombinálásának valószínűségét DEés NÁL NÉL ha ismertek az események valószínűségei DEés NÁL NÉL.

Tekintsük a következő példát. Hadd dobjanak két érmét. Határozza meg a két címer megjelenésének valószínűségét! Négy egyformán valószínű páronkénti összeférhetetlen kimenetelünk van, amelyek egy teljes csoportot alkotnak:

Most tudassa velünk, hogy a címer az első érmére esett. Hogyan változik ezután annak a valószínűsége, hogy mindkét érmén megjelenik a címer? Mivel a címer az első érmére esett, most a teljes csoport két egyformán valószínű összeférhetetlen kimenetelből áll:

új esemény valószínűsége DE, feltételezve, hogy egy esemény történt B, jelöljük P B (A).

Ily módon P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Szorzási tétel. Az A és B események kombinálásának valószínűsége egyenlő az egyik valószínűségének a másik feltételes valószínűségével, amelyet abból a feltételezésből számítunk ki, hogy az első esemény megtörtént, azaz.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be a (4) összefüggés érvényességét a valószínűség klasszikus definíciója alapján. Legyen szó a lehetséges eredményekről E 1, E 2, ..., E N ennek a tapasztalatnak egy teljes csoportját alkotják az egyenlően valószínű páronként összeférhetetlen események, amelyek közül az esemény A szívességet M eredményeket, és hagyjuk ezekből M eredmények L az eredmények kedveznek az eseménynek B. Nyilvánvalóan az események kombinációja Aés B szívességet L tól től N lehetséges vizsgálati eredmények. Ez ad ; ;
Ily módon
Helyet cserélni Aés B, hasonlóan kapjuk
A szorzási tétel könnyen általánosítható tetszőleges számú eseményre. Így például három esemény esetén A 1, A2, A 3 nekünk van *
Általában

A (6) összefüggésből az következik, hogy két egyenlőségből (8) az egyik a másik következménye.

Legyen például az esemény A- a címer megjelenése egyetlen érmefeldobás során, és az esemény B- egy gyémántszínű kártya megjelenése, amikor egy lapot eltávolítanak a pakliból. Nyilvánvalóan az események Aés B független.

Ha az események függetlenek A nak nek B A (4) képlet egyszerűbb formát ölt:

* Esemény A 1 A 2 A 3 két esemény kombinációjaként ábrázolható: események C=A 1 A 2és események A 3.

Vegye figyelembe az eseményeket Aés B ugyanazzal a tapasztalattal társul. Egyes forrásokból váljon ismertté, hogy az esemény B megtörtént, de nem ismert, hogy az eseményt alkotó elemi kimenetek közül melyik B, történt. Mit mondhatunk ebben az esetben egy esemény valószínűségéről A?

Eseményvalószínűség A, azzal a feltételezéssel számolva, hogy az esemény B megtörtént, a feltételes valószínűséget szokás nevezni és jelölni P(A|B).

feltételes valószínűség P(A|B) fejlesztéseket A az esemény tárgya B a klasszikus séma keretein belül természetes, hogy a valószínűséget arányként definiáljuk ELCSÍP az események közös megvalósítását elősegítő eredmények Aés B, a számra Megjegyzés az eseményt kedvezõ eredmények B, vagyis

Ha ennek a kifejezésnek a számlálóját és nevezőjét elosztjuk a teljes számmal N elemi eredményeket kapunk

Meghatározás. Egy esemény feltételes valószínűsége A az esemény tárgya B az események metszésponti valószínűségének arányának nevezzük Aés B egy esemény valószínűségére B:

Ugyanakkor azt feltételezik P(B) ≠ 0.

Tétel. Feltételes valószínűség P(A|B) rendelkezik a feltétlen valószínűség összes tulajdonságával P(A).

Ennek a tételnek az a jelentése, hogy a feltételes valószínűség az új térre adott feltétlen valószínűség Ω 1 az eseménnyel egybeeső elemi eredmények B.

Példa. Az urnától, amelyben a=7 fehér homok b=3 fekete golyókat, két golyót véletlenszerűen húznak ki csere nélkül. Legyen az esemény A 1 az, hogy az első húzott labda fehér, és A2- a második labda fehér. Meg akarta találni P(A 2 |A 1).

1. módszer.. A feltételes valószínűség definíciója szerint

2. módszer.. Térjünk át az elemi eredmények új terére Ω 1. Az esemény óta A 1 megtörtént, ez azt jelenti, hogy az elemi eredmények új terében az egyformán lehetséges kimenetelek száma összesen NΩ 1 =a+b-1=9, és az esemény A2 kedvez neki N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 eredmények. Következésképpen,

Tétel [valószínűségek szorzása]. Legyen az esemény A=A 1 A 2 …A nés P(A)>0. Akkor igaz az egyenlőség:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Megjegyzés. Egy metszés kommutativitásából lehet írni

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Példa. A „NIGHTINGALE” szót alkotó betűk 7 kártyára vannak felírva. A kártyákat megkeverik, és véletlenszerűen három kártyát vesznek ki belőlük, és balról jobbra raknak ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a „VOL” szót megkapjuk (az esemény A).

Legyen az esemény A 1- a "B" betű az első kártyára van írva, A2- az "O" betű a második kártyára van írva, A2- a harmadik kártyán - az "L" betű. Aztán az esemény A- események metszéspontja A 1, A2, A 3. Következésképpen,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; ha esemény A 1 megtörtént, akkor a maradék 6 lapon kétszer fordul elő az „O”, ami azt jelenti P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Hasonlóképpen, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Következésképpen,

Meghatározás. Fejlesztések Aés B, amelyeknek a valószínűsége nem nulla, függetlennek nevezzük, ha a feltételes valószínűség A azzal a feltétellel B egybeesik a feltétlen valószínűséggel A vagy ha a feltételes valószínűség B azzal a feltétellel A egybeesik a feltétlen valószínűséggel B, vagyis

P(A|B) = P(A) vagy P(B|A) = P(B),

egyébként az események Aés B függőnek nevezik.

Tétel. Fejlesztések Aés B, amelyeknek a valószínűsége nem nulla, akkor és csak akkor függetlenek

P(AB) = P(A) P(B).

Így ekvivalens definíciót adhatunk:

Meghatározás. Fejlesztések Aés B függetlennek nevezzük, ha P(AB) = P(A) P(B).

Példa. Egy pakliból, amely tartalmaz n=36 kártyákat, egy kártya véletlenszerűen kerül kihúzásra. Jelölje A esemény, amely megfelel annak, hogy a kivont térkép csúcs lesz, és B- egy „hölgy” megjelenésének megfelelő esemény. Határozza meg, hogy az események függőek-e Aés B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Ezért az események Aés B független. Hasonlóképpen, .

Hadd DEés NÁL NÉL ez a két esemény a tesztben. Ebben az esetben az egyik esemény bekövetkezése befolyásolhatja egy másik esemény bekövetkezésének lehetőségét. Például egy esemény bekövetkezése DE befolyásolhatja az eseményt NÁL NÉL Vagy fordítva. Annak érdekében, hogy figyelembe vegyük egyes események ilyen függőségét a többitől, bevezetjük a feltételes valószínűség fogalmát.

Meghatározás. Ha egy esemény valószínűsége NÁL NÉL található azzal a feltétellel, hogy az esemény DE megtörtént, akkor az esemény eredő valószínűsége NÁL NÉL hívott feltételes valószínűség fejlesztéseket NÁL NÉL. A következő szimbólumokat használjuk egy ilyen feltételes valószínűség jelölésére: R DE ( NÁL NÉL) vagy R(NÁL NÉL / DE).

2. megjegyzés. A feltételes valószínűséggel ellentétben a „feltétel nélküli” valószínűséget is figyelembe kell venni, ha valamilyen esemény bekövetkezésének bármilyen feltétele NÁL NÉL hiányzó.

Példa. Egy urnában 5 golyó található, ebből 3 piros és 2 kék. Viszont egy labdát húznak belőle visszaküldéssel és visszaküldés nélkül. Határozzuk meg annak feltételes valószínűségét, hogy másodszor is húzunk egy piros golyót, feltéve, hogy az első alkalom: a) piros golyó; b) kék golyó.

Legyen az esemény DE először húzza a piros labdát, és az eseményt NÁL NÉL– a piros labda másodszori kihúzása. Ez nyilvánvaló R(DE) = 3/5; majd abban az esetben, ha az első alkalommal kivett labda visszakerül az urnába, R(NÁL NÉL)=3/5. Abban az esetben, ha a kihúzott labdát nem adják vissza, a piros golyó húzásának valószínűsége R(NÁL NÉL) attól függ, melyik golyót húzták ki először - piros (esemény DE) vagy kék (esemény). Akkor az első esetben R DE ( NÁL NÉL) = 2/4, a másodikban pedig ( NÁL NÉL) = 3 / 4.

Az események valószínűségeinek szorzásának tétele, amelyek közül az egyik a másik feltétele mellett játszódik le

Két esemény szorzatának valószínűsége egyenlő az egyik esemény valószínűségének és a másik feltételes valószínűségének szorzatával, feltéve, hogy az első esemény bekövetkezett:

R(A∙ B) = R(DE) ∙ R DE ( NÁL NÉL) . (1.7)

Bizonyíték. Valóban, hagyjuk n- a teszt egyformán valószínű és inkompatibilis (elemi) kimeneteleinek száma. Elengedni n 1 – az eseménynek kedvezõ kimenetelek száma DE, amely az elején fordul elő, és m- azon kimenetelek száma, amelyekben az esemény bekövetkezik NÁL NÉL feltételezve, hogy az esemény DE jött. Ily módon m az eseménynek kedvezõ kimenetelek száma NÁL NÉL. Akkor kapunk:

Azok. több esemény szorzatának valószínűsége egyenlő az egyik esemény valószínűségének a többi feltételes valószínűségével való szorzatával, és minden következő esemény feltételes valószínűségét úgy számítjuk ki, hogy feltételezzük, hogy minden korábbi esemény megtörtént.

Példa. Egy 10 fős csapatban 4 sportmester szerepel. A csapatból sorsolással 3 versenyző kerül kiválasztásra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott sportolók mindegyike mestere a sportnak?

Megoldás. Szűkítsük le a problémát az „urna” modellre, pl. Tegyük fel, hogy egy 10 golyót tartalmazó urnában 4 piros és 6 fehér golyó van. Ebből az urnából véletlenszerűen 3 golyót húznak ki (válogatás S= 3). Legyen az esemény DE 3 golyó kihúzásából áll. A probléma kétféleképpen oldható meg: a klasszikus sémával és az (1.9) képlettel.

Az első módszer a kombinatorika képletén:

A második módszer (az (1.9) képlet szerint). 3 golyót húznak ki egymás után az urnából csere nélkül. Hadd DE 1 - az első húzott golyó piros, DE 2 - a második kihúzott labda piros, DE 3 - a harmadik húzott labda piros. Legyen az esemény is DE azt jelenti, hogy mind a 3 kihúzott golyó piros. Akkor: DE = DE 1 ∙ (DE 2 / DE 1) ∙ DE 3 / (DE 1 ∙ DE 2), azaz

Példa. Hadd a kártyakészletből a, a, r, b, o, t a kártyákat egyenként húzzák. Mekkora a valószínűsége annak, hogy megkapjuk a szót " Munka” amikor egymás után balról jobbra hajtogatja őket egy sorba?

Hadd NÁL NÉL- az esemény, amelyen a deklarált szót megszerezték. Ekkor az (1.9) képletből kapjuk:

R(NÁL NÉL) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

A valószínűségi szorzás tétele akkor kapja meg legegyszerűbb formáját, ha a szorzatot egymástól független események alkotják.

Meghatározás. Esemény NÁL NÉL hívott független az eseményből DE ha annak valószínűsége az esemény bekövetkeztétől függetlenül nem változik DE vagy nem. Két eseményt függetlennek (függőnek) nevezünk, ha az egyik esemény bekövetkezése nem változtatja (változtatja) a másik bekövetkezési valószínűségét. Így azért, mert nem függő események p(B/A) = R(NÁL NÉL) vagy = R(NÁL NÉL), valamint a függő eseményekhez R(NÁL NÉL/A)

Esemény. Az elemi események tere. Bizonyos esemény, lehetetlen esemény. Közös, nem közös rendezvények. Egyenértékű események. A rendezvények teljes csoportja. Műveletek eseményeken.

Esemény jelenségnek mondható történik vagy nem történik meg, magának az eseménynek a jellegétől függően.

Alatt elemi események egy adott teszthez kapcsolódóan megértsék a teszt összes felbonthatatlan eredményét. Minden esemény, amely ennek a tesztnek az eredményeként bekövetkezhet, elemi események bizonyos halmazának tekinthető.

Az elemi események tere tetszőleges halmaznak (véges vagy végtelen) nevezzük. Elemei pontok (elemi események). Az elemi események terének részhalmazait eseményeknek nevezzük.

egy bizonyos esemény olyan eseményt hívnak meg, amely ennek a tesztnek az eredményeként biztosan bekövetkezik; (E-vel jelölve).

Lehetetlen esemény eseményt olyan eseménynek nevezünk, amely egy adott teszt eredményeként nem történhet meg; (U jelöléssel). Például a hat pont egyikének megjelenése egy dobás során dobókocka- megbízható esemény, és a 8 pont megjelenése lehetetlen.

A két esemény ún közös(kompatibilis) egy adott élményben, ha az egyik megjelenése nem zárja ki a másik megjelenését.

A két esemény ún összeegyeztethetetlen(inkompatibilis) egy adott vizsgálatban, ha nem fordulhatnak elő együtt ugyanabban a vizsgálatban. Számos eseményt összeférhetetlennek mondanak, ha páronként nem kompatibilisek.

Űrlap indítása

A forma vége

2. számú téma. A valószínűség axiomatikus meghatározása. Egy esemény valószínűségének klasszikus, statisztikai, geometriai meghatározása. Valószínűségi tulajdonságok. Valószínűségek összeadási és szorzási tételei. független események. Feltételes valószínűség. Annak a valószínűsége, hogy legalább egy esemény bekövetkezik. Teljes valószínűségi képlet. Bayes képlet

Egy esemény bekövetkezésének objektív lehetőségének numerikus mértékét nevezzük egy esemény valószínűsége. Ez a meghatározás, amely minőségileg tükrözi az esemény valószínűségének fogalmát, nem matematikai. Ahhoz, hogy így legyen, minőségileg kell meghatározni.

Alapján klasszikus meghatározás az A esemény valószínűsége egyenlő a számára kedvező esetek számának az összes esetszámhoz viszonyított arányával, azaz:

Ahol P(A) az A esemény valószínűsége.

Az A eseménynek kedvező esetek száma

Az összes esetszám.

A valószínűség statisztikai meghatározása:

Az A esemény statisztikai valószínűsége az esemény előfordulásának relatív gyakorisága az elvégzett tesztekben, azaz:

Hol van az A esemény statisztikai valószínűsége?

Az A esemény relatív gyakorisága (gyakorisága).

Azon kísérletek száma, amelyekben az A események megjelentek

A kísérletek teljes száma.

A klasszikus definícióban figyelembe vett "matematikai" valószínűségtől eltérően a statisztikai valószínűség a kísérleti, kísérleti jellemző jellemzője.

Ha van olyan esetek aránya, amelyek az A eseményt részesítik előnyben, akkor ezt közvetlenül, mindenféle próba nélkül határozzák meg, vagyis azon kísérletek tényleges arányát, amelyekben A esemény megjelent.

A valószínűség geometriai meghatározása:

Az A esemény geometriai valószínűsége az A esemény bekövetkezését elősegítő terület mértékének az összes terület mértékéhez viszonyított aránya, azaz:

Egydimenziós esetben:

Meg kell becsülni, hogy mekkora valószínűséggel találunk el egy pontot a CD/

Kiderült, hogy ez a valószínűség nem függ a CD helyétől az AB szakaszon, hanem csak a hosszától függ.

Egy pont eltalálásának valószínűsége nem függ az alakzatoktól vagy B helyétől A-n, hanem csak ennek a szakasznak a területétől függ.

Feltételes valószínűség

A valószínűséget ún feltételes , ha bizonyos feltételek mellett számítják ki és jelölik:

Ez az A esemény valószínűsége. Kiszámítása azzal a feltétellel történik, hogy B esemény már megtörtént.

Példa. Tesztet készítünk, kihúzunk két lapot a pakliból: Az első valószínűség feltétel nélküli.

Kiszámoljuk annak a valószínűségét, hogy ászt húzunk a pakliból:

Kiszámoljuk a 2-ász előfordulását a pakliból:

A*B - események együttes előfordulása

– valószínűségi szorzási tétel

Következmény:

Az események együttes előfordulásának szorzási tétele a következőképpen alakul:

Ez azt jelenti, hogy minden további valószínűséget úgy számítanak ki, hogy figyelembe veszik, hogy minden korábbi feltétel már bekövetkezett.

A rendezvény függetlensége:

Két eseményt függetlennek nevezünk, ha az egyik bekövetkezése nem mond ellent a másik bekövetkezésének.

Például, ha az ászokat ismételten húzzák a pakliból, akkor ezek függetlenek egymástól. Ismét, vagyis a kártyát megnézték, és visszavitték a pakliba.

Közös és nem közös rendezvények:

Közös 2 eseményt akkor hívunk meg, ha az egyik előfordulása nem mond ellent a másik bekövetkezésének.

A közös események valószínűségeinek összeadásának tétele:

A két együttes esemény valamelyikének bekövetkezésének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, ezek együttes előfordulása nélkül.

Három közös rendezvényre:

Az eseményeket inkonzisztensnek nevezzük, ha egy véletlenszerű kísérlet egyetlen tesztjének eredményeként nem jelenhet meg kettő egyszerre.

Tétel: Két összeférhetetlen esemény közül az egyik bekövetkezésének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével.

Az események összegének valószínűsége:

Valószínűségi összeadás tétel:

Véges számú összeférhetetlen esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével:

1. következmény:

A teljes csoportot alkotó események valószínűségeinek összege eggyel egyenlő:

2. következmény:

Megjegyzés: Hangsúlyozni kell, hogy a figyelembe vett összeadási tétel csak inkompatibilis eseményekre alkalmazható.

Ellentétes események valószínűsége:

Szemben két egyedi lehetséges eseményt nevezünk, amelyek egy teljes csoportot alkotnak. A két ellentétes esemény egyikét jelöli DE, a másik - át .

Példa: A célba lövéskor eltalálás és hiányzás ellentétes események. Ha A találat, akkor kihagyás.

Tétel: Az ellentétes események valószínűségeinek összege eggyel egyenlő:

1. megjegyzés: Ha két ellentétes esemény közül az egyik valószínűségét p-vel jelöljük, akkor a másik esemény valószínűségét q-val jelöljük. Így az előző tétel értelmében:

Jegyzet 2: Az A esemény valószínűségének meghatározására irányuló feladatok megoldása során gyakran előnyös, ha először kiszámítjuk az esemény valószínűségét, majd a kívánt valószínűséget a következő képlettel keressük meg:

Legalább egy esemény bekövetkezésének valószínűsége:

Tételezzük fel, hogy egy kísérlet eredményeként előfordulhat, hogy valamilyen esemény része, vagy egyáltalán nem jelenik meg.

Tétel: A független események halmazából legalább egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az egység és az események bekövetkezésének valószínűsége közötti különbséggel.

A teljes valószínűségi képlet lehetővé teszi egy esemény valószínűségének meghatározását A, amely csak mindegyiknél fordulhat elő n egymást kölcsönösen kizáró események, amelyek teljes rendszert alkotnak, ha ismertek a valószínűségeik, és feltételes valószínűségek fejlesztéseket A a rendszer minden egyes eseménye tekintetében egyenlőek .

Az eseményeket hipotéziseknek is nevezik, kölcsönösen kizárják egymást. Ezért a szakirodalomban is megtalálhatók a megnevezésük nem betű szerint B, hanem levéllel H(hipotézis).

Az ilyen feltételekkel kapcsolatos problémák megoldásához figyelembe kell venni a 3, 4, 5 vagy általános esetben n egy esemény lehetőségét A- minden eseménnyel.

A valószínűségek összeadási és szorzási tételeit felhasználva megkapjuk a rendszer egyes eseményei valószínűségének szorzatának összegét feltételes valószínűség fejlesztéseket A a rendszer minden egyes eseményéhez. Vagyis egy esemény valószínűsége A képlettel lehet kiszámítani

vagy általában

,

amelyet úgy hívnak teljes valószínűségi képlet .

Teljes valószínűségi képlet: példák a problémamegoldásra

1. példa Három egyforma kinézetű urna van: az elsőben 2 fehér és 3 fekete, a másodikban 4 fehér és egy fekete, a harmadikban három fehér golyó található. Valaki véletlenszerűen megközelíti az egyik urnát, és kivesz belőle egy labdát. Kihasználva teljes valószínűségi képlet, határozza meg annak valószínűségét, hogy a golyó fehér.

Megoldás. Esemény A- fehér golyó megjelenése. Három hipotézist állítunk fel:

Első urna kiválasztott;

A második urnát választják;

A harmadik urnát választották.

Feltételes esemény valószínűségek A mindegyik hipotézishez:

, , .

Alkalmazzuk a teljes valószínűségi képletet, ennek eredményeként - a szükséges valószínűség:

.

2. példa Az első üzemben minden 100 izzóból átlagosan 90 szabványos, a másodikban 95, a harmadikban 85 izzót gyártanak, és ezen gyárak termékei 50%, 30% és 20% -ot tesznek ki. egy adott területen az üzletekbe szállított összes villanykörtét. Határozza meg a szabványos izzó vásárlásának valószínűségét.

Megoldás. Jelöljük a szabványos izzó beszerzésének valószínűségét mint A, illetve az események, hogy a vásárolt izzót az első, második és harmadik gyárban gyártották keresztül. Feltétel alapján ezeknek az eseményeknek a valószínűségei ismertek: , , és az esemény feltételes valószínűségei A mindegyikkel kapcsolatban: , , . Ezek a szabványos izzó beszerzésének valószínűségei, feltéve, hogy azt az első, második, illetve harmadik gyárban gyártják.

Esemény A akkor fog bekövetkezni, ha egy esemény bekövetkezik, ill K- az izzót az első gyárban gyártják és szabványos, vagy rendezvény L- az izzó a második gyárban készül és szabványos, vagy rendezvény M- az izzót a harmadik gyárban gyártják és szabványos. Az esemény bekövetkezésének egyéb lehetőségei A nem. Ezért az esemény A az események összessége K, Lés M amelyek összeférhetetlenek. A valószínűségi összeadás tételét alkalmazva egy esemény valószínűségét ábrázoljuk A mint

és a valószínűségi szorzás tételével azt kapjuk

vagyis a teljes valószínűségi képlet speciális esete.

A valószínűségeket behelyettesítve a képlet bal oldalába, megkapjuk az esemény valószínűségét A :

3. példa A repülőgép leszáll a repülőtéren. Ha az időjárás engedi, a pilóta a műszerek mellett vizuális megfigyeléssel is leszállítja a gépet. Ebben az esetben a sikeres leszállás valószínűsége . Ha a repülőtéren alacsony a felhőzet, akkor a pilóta leszáll a géppel, és csak a műszerekre tájékozódik. Ebben az esetben a sikeres leszállás valószínűsége ; . A vakleszállást biztosító eszközök megbízhatóak (a hibamentes működés valószínűsége) P. Alacsony felhőzet és meghibásodott vakleszállási műszerek esetén a sikeres leszállás valószínűsége ; . A statisztikák azt mutatják, hogy in k A leszállások %-ában alacsony felhőzet borítja a repülőteret. megtalálja az esemény teljes valószínűsége A- a repülőgép biztonságos leszállása.

Megoldás. Hipotézisek:

Nincs alacsony felhőzet;

Alacsony a felhőzet.

Ezen hipotézisek (események) valószínűségei:

;

Feltételes valószínűség.

A feltételes valószínűséget ismét a teljes valószínűség képlete találja meg hipotézisekkel

A vakleszállási eszközök működnek;

A vakleszállási műszerek meghibásodtak.

Ezeknek a hipotéziseknek a valószínűsége a következő:

A teljes valószínűségi képlet szerint

4. példa A készülék két üzemmódban működhet: normál és abnormális. A normál üzemmód az eszköz működésének 80% -ában, a kóros - az esetek 20% -ában figyelhető meg. Az eszköz meghibásodásának valószínűsége egy adott időn belül t egyenlő 0,1; a kóros 0.7. megtalálja teljes valószínűséggel a készülék időben meghibásodik t.

Megoldás. Az eszköz meghibásodásának valószínűségét ismét mint A. Tehát az eszköz működését illetően az egyes üzemmódokban (eseményekben) a valószínűségek feltétel szerint ismertek: normál módban 80% (), abnormális módban - 20% (). Eseményvalószínűség A(vagyis az eszköz meghibásodása) az első eseménytől függően (normál mód) 0,1 (); a második eseménytől függően (rendellenes mód) - 0,7 ( ). Ezeket az értékeket behelyettesítjük a teljes valószínűségi képletbe (azaz a rendszer egyes eseményei valószínűségének és az esemény feltételes valószínűségének szorzatába A a rendszer minden egyes eseményére vonatkozóan), és megvan a kívánt eredmény.